[054-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷四十一
宣城梅文鼎撰
方程論卷二
極數
吾論方程至和較之雜之變盡矣雖然不知帶分疊脚
重審之法無以窮其致故極數次之
極數有三一帶分二疊脚三重審皆不離乎和較之四術
[054-1b]
帶分方程例
法曰視原問中有云㡬分之㡬者則以分母通其全數
而列之或云有物㡬數又㡬分之㡬者以分母通其
全數而納其子如法列位遍乗減併以求一法一實
既得法以除實而得者即所求物之一分也以所得
一分之數分母乗之則為物之全數矣
或云㡬分之㡬又㡬分之㡬者以兩分母相乗為全
數而列之又以兩分母互乗其子為所用之分而列
[054-2a]
之所用之分同在一行者併而列之分用于兩行者
不併也併之而所用之分反大於全數者以全
數除之命為幾全數又幾分之幾其入算乗除
仍用所併之分得數後則只以全數之分乗之為全
數以上兩法皆化整為零乗除/竟用零分故先得一分之數
又法
凡較數有以此之全數當彼之㡬分之㡬者則通其
一行之内皆以分母乗之而後列焉則其所得即為
[054-2b]
全數而非其一分也如云乙得甲三分之二則以分/母三乗乙全數得全乙者三乗
甲之二分得六分是為全甲者二則以三乙當二甲/而列之驟視之如倒列其子母其實皆全數耳
若有正負之數亦以分母乗而列之亦全數非零分/也是為以零變
整與化整為零之法不同故徑得其/全數所用乗除皆整數非分故也得即為整其所/用分
母只在本一行中如一物有兩分母又/分用于各行則各以其行中分母為用凡和數中有
一位帶分而餘只全數者亦可以分母通乗而列之
其所得亦為全數而非分如甲三乙二又三之一共/十六則以分母三乗甲得
九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也併得整七/乗共十六得四十八是為甲九乙七共四十八變零
[054-3a]
為整徑以整數乗/除所得即為整數
又法
凡帶分之法或化整為零或變零為整取其畫一也
此外又有雜用零整之法亦所當知如行中有幾位/或原帶有零分
者以化整為零法列之其原未帶分者只以整數列/之但乗除得數後整列者所得即為整數零分列者
所得只為零分之數仍/須以分母乗之為全數
又法
視所帶之分有可以分母除之而盡者則以所除分
[054-3b]
秒附于整數而列之則其乗除後得數亦為所求之
全數若分母除其子不能/盡者則不用此法
今有甲字庫貯金丁字庫貯銀各不知總但云取甲四
之三加丁五之二則一百一十萬若以甲加丁之倍
數則四百四十萬問各若干
畣曰甲庫金四十萬 丁庫銀二百萬
法以分子甲之三分丁之二分列右
以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得
[054-4a]
十分列左
依和數法互乗對減餘丁之分二十二為法餘八百
八十萬為實
法除實得四十萬為丁之一分以丁之分母五乗丁之
一分得二百萬為丁庫銀數 乃以丁庫數倍之得
四百萬減四百四十萬餘四十萬為甲庫金數
[054-4b]
此化整從零法也原列零分故得/亦零分之數
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁
之二得八列右乂以兩分母五/四相乗得二十為甲丁
共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左 乃以
甲丁共母乗一百一十萬得二千二百萬列右乗四
百四十萬得八千八百萬列左分母相乗為母母互/乗子只是通分之法
妙在以分共母乗其和數而零/數皆為整用矣此用法之妙
上 中 下
[054-5a]
依法乗減餘丁四百四十為法 八億八千萬為實
以法除實得二百萬為丁數以丁四十計八千萬減八千
八百萬餘八百萬以甲二十除之得四十萬為甲數
此變零為整法也原列整數故所/得即為整數
又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除
之二得四分列之則其餘數皆不變
[054-5b]
左甲一乗右行皆如原數 右甲○七分五秒乗左
行各得四分之三甲各○七分五秒盡減 丁餘一
一上一整數下一一/分乃十分之一為法共數減餘二百二十萬為
實 法除實得二百萬為丁數 以丁數倍之減共
數餘四十萬即為甲數
此除零附整法也零分既除為分秒則乗除之際/皆以整數為主故所得亦即為
[054-6a]
整/數
今有甲乙二數不知總但云取乙五之三又取乙四之
一以益甲則甲之數倍取甲三之二又取甲七之二
以與乙較則乙多數二百四十問甲乙本數各㡬何
畣曰甲本數一千○七十一 乙本數一千二百六
十
法以較數帶分取之 本二色也却有三位以分母通
之仍二位也 先以乙分母五/四相乗得二十以當乙
[054-6b]
之全數 又以分母五互乗分子一得五以分母四
互乗分子三得十二併之得十七以當乙所益甲之
分 是為乙二十分之十七以益甲也
次以甲分母三/七相乗得二十一以當甲之全數 又
以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二
得十四併之共二十以當甲所與乙較之分 是為
甲二十一分之二十以與乙較也
于是分正負列位
[054-7a]
依較數法乗減 乙餘八十分為法 負數無減就
以五千○四十為實 法除實得六十三為乙之一
分 以乙全分二十乗之得一千二百六十為乙本
數 乙本數同減負二百四十餘一千○二十即甲
與乙較之分也以左行甲之二十分除之得五十一
為甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十
[054-7b]
一為甲本數
乃細攷之 置乙本數三/因五/除之得七百五十六
為五之三 又置一本數四/除之得三百一十五為
四之一 併兩數共一千○七十一則與甲數同故
以此益甲而甲倍也 置甲本數二/因三/除之得七
百一十四為三之二 又置甲本數二/因七/除之得
三百○六為七之二 併兩數共一千○二十以此
較乙則不及二百四十
[054-8a]
此只是以乙之分與甲較又以甲之分與乙較也末
卷所列諸率則是以乙之分益甲而轉與乙所存之
分相較又以甲之分益乙而轉與甲所存之數相較
故自不同合而觀之則見
今有寳泉寳源二局鑄錢不知總但云取寳源五之四
又四之三以益寳泉則寳泉之數倍 若取寳泉三
之二以與寳源較則多于寳源四十二貫
畣曰寳泉原數一千九百五十三貫 寳源原數一
[054-8b]
千二百六十貫
法先以寳源分母五/四相乗得二十分為全數 又以分
母五互乗分子三/得十五分母四/互乗分子四/得十
六併之共三十一分為寳源所以益寳泉之分 全
數二十分所用以益寳泉者反有三十一分是為以
寳源全數又二十分之十一以益寳泉也 其寳泉
只一分母故不用乗併
乃列位
[054-9a]
如法乗減 中位餘二分為法 下位餘一百二十
六貫為實
法除實得六十三貫為寳源局二十分之一分 以分
母二十乗之得一千二百六十貫為寳源數 以寳
源數異加正四十二貫共一千三百○二貫即寳泉
局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得
[054-9b]
一千九百五十三貫為寶泉數置寳源數四因五除/之得一千○八為五
分之四又置寶源數三因四除之得九百四十五為/四之三併兩數亦恰得一千九百五十三貫如寳泉
數以加寳泉是/為寶泉者倍也
論曰乗得數後寶泉分數同惟右行之寳源多于左行
者二分而遂能與寳泉等若左行之寳源少此二分
而其少于寳泉者遂一百二十六貫然則此一百二
十六貫者正是寳源之二分矣知分數即知全數/知寳源即知寳泉
此二則皆化整為零而分母不同也
[054-10a]
今有貨泉刀貝四種之幣各不知數但云泉八之一兼
刀布七之二則如貨數也 若刀布七之三兼貝六
之四則其數如泉也若貝六之五又外加數八千九
百七十則如刀布也 若貨數自加九之一則其數
如貝也問本數各㡬何
畣曰貨五千一百三十 泉九千六百八十
刀布一萬三千七百二十 貝五千七百
法以各分母通其原數然後以正負列之 貨分母九
[054-10b]
泉分母八 刀布分母七 貝分母六 丁行貨/合數一
又九分之一共十是為九分/之十凡全數帯分者準此
先以甲行貨正九分為法徧乗丁行得數 又以丁
行貨負十分為法徧乗甲行得數因首位異名故變/一行以相從而以
[054-11a]
丁從/甲乃以甲丁兩行得數相減 貨同減盡 甲行
泉負十分刀布負二十分皆無對不減 丁行貝負
五十四分亦無對不減 下適足無乗無減仍為適
足
乃以泉刀同名在甲行者為一類 貝同名在丁行
者為一類分正負重列而求之丁行之負甲/行之正也
因餘行已無貨位當以泉為乗法尋乙行中有泉徑用
與減餘相對
[054-11b]
如法徧乗得數乃相減併 泉同減盡 刀布異併
得正/一百九十分 貝同減餘負三百九十二分
以減餘為主命其正負而重列之
因餘行又已無泉當以刀布為乗法尋丙行有刀布徑
用與減餘相對
上 中 下
[054-12a]
如法徧乗得數 刀布同減盡貝同減餘一千七百
九十四分為法正一百七十萬四千三百無減就為
實 法除實得九百五十為負之一分 以丙行貝
之五分該四千七百五十異加正八千九百七十共
一萬三千七百二十為刀布原數 以刀布分母七
除原數得一千九百六十為刀布之一分 以刀布
[054-12b]
之三分該五千八百八十貝之四分該三千八百併
之得九千六百八十為泉數用乙/行也以泉分母八除泉
數得一千二百一十為泉之一分 以泉之一分加
刀布之二分三千九百二十共五千一百三十為貨數
用甲/行也以貨分母九除貨數得五百七十為貨之一分
以貨數加一分共五千七百為貝數用丁/行也
甲丁兩行乗減論曰既互乗則甲丁之貨等而甲行之
泉若刀布及丁行之貝又各與其首位之貨等則甲
[054-13a]
之泉若刀布必與丁之貝等也故對減去貨而徑以
甲之泉若刀布與丁之貝分正負而命之適足也
此即西學中比例之理然方程中自有之且簡快如
此
乙行減併論曰左右兩行之正負皆適足若于右正數
内減左正右負數内減左負其所餘者亦必適足也
今右正内既減去同名之泉右負内又減去同名之
貝而左負内有刀布不與右同名不能相減故反用
[054-13b]
以加加則正數多正數多則負數少而其數亦必適
足矣
又論曰隔行之異名乃同名也今兩行之正與負既皆
適足若以左之正泉/益右之負貝/而共為負以左之
負刀布/貝益右之正泉刀/布而共為正則亦適足也于是
以兩者右泉刀布左刀布貝為/一類左泉右貝為一類對減其相同之物泉/各
減八十分貝/各減四十分則其所餘之物必亦適足也左右刀布/為正右貝
減餘/為負
[054-14a]
又論曰右行刀布正數也正多于負之數也左行刀布
負數也正少于負之數也合此二數則是右正之多
于左正者此兩行之刀布也然刀布之數右正雖多
于左正而貝之數右負亦多于左負故兩行皆適足
也然則右正之所多與右負之所多亦必相當適足
矣
丙行乗減論曰刀布本同惟右之貝多于左右之貝多
則左之貝少左之貝少則刀布多矣然則左之刀布
[054-14b]
布獨有盈數者正是此相差之貝也
此亦化整為零而又有整帯零四色有空/之例也
問品官月俸六品為五品八之五七品為六品四之三
八品為七品十五之十三九品為七品十五之十一
倍九品加八品六品七品各一則如五品之倍數而
多三石各若干
法以分母各通其原數而正負列之 五品通為八
六品通為四 七品通為十五 八品九品以全數
[054-15a]
原無分母故也五品倍則/為十六
先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得數餘/空
位無/乗 次以乙行五品五分遍乗甲行得數 乃對
[054-15b]
減 五品各八十分同名對減盡 六品同名對減
餘四十四分乙行之負物也為乙類
七品八品九品并禄米較數皆無對不減皆甲行之負
物負數也為一類 分正負列之與丙行相對
如法以減餘六品分遍乗丙行六品七品分得數餘/空
無/乗
[054-16a]
又以丙行六品分遍乗減餘得數 乃以對減 六
品得數各一百三十二分同名減盡 七品同名減
餘四百三十五分丙行之負物也自為一類 其餘
三位無減皆減餘之負物負數也共為一類 分正
負列之與丁行相對
又因丁戊兩行皆有七品是多一算也乃更置之以
八品列首位
上 中 下
[054-16b]
如法以丁行八品負一遍乗減餘皆如故首行同名/故兩行之
正負亦/皆不變又以減餘八品負十五分遍乗丁行八品七
品得數 乃對減 八品同減盡 七品同減餘二
百四十分右行之正物也為一類 九品三十無減
禄米四十五石亦無減皆右行之負物負數也同
名共為一類 乃分正負重列之與戊行相對
[054-17a]
如法以左右七品分互遍乗得數首行同名故兩行/之正負皆不變
七品同減盡 九品同減餘九十為法 祿米四
百九十五石無減就為實 法除實得五石五斗為
九品月俸 置九品俸以相當之七品之十一分除
之得五斗為七品月俸十五分之一而以與八品相
當之十三乗之得六石五斗為八品月俸 又以七
[054-17b]
品之分母十五乗其一分得七石五斗為七品月俸
又置七品俸以相當之六品之三分除之得二石
五斗為六品四之一而以其分母四乗之得十石為
六品月俸 置六品俸以相當之五品之五分除之
得二石為五品八之一而以其分母八乗之得十六
石為五品月俸
計開 五品毎月十六石 六品毎月十石 七
品毎月七石五斗 八品毎月六石五斗 九品
[054-18a]
毎月五石五斗
論曰此所列有二種 六品通為四分者問原云四之
三是可以四分者也七品通為十五分者原云十五
之十三之十一是可以十五分者也五品通為十六
分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六
則為八分者二矣此皆以分立算化整從零之法也
八品則只是原數九品亦是原數而又有倍數然
只是原數之倍非如五品倍其分也此兩者皆不用
[054-18b]
分只用整 合而言之乃零整雜用之法也 零與
整雜似不倫矣然乗除得數則同 但用分者所得
數亦為一分之數故必以分母乗之乃合原數而其
原不用分者得即原數更不湏乗能知此理則用分
無誤矣
甲乙兩行論曰兩行正數内五品本同而甲有負多于
正之較乙則無有是此較數乃甲負多于乙負之較
也于是以兩負相減以去其同之分而觀其所不同
[054-19a]
之處則甲有諸品而乙惟六品之減餘然則甲負之
獨多此較者乃甲諸品多于乙六品減餘之較矣
丙行乗減論曰兩得數對減而六品減盡是其數同也
其與六品為正負者又減去相同之七品分而左仍
餘七品之餘分右仍餘諸品之全分則是兩行諸數
皆同而惟此二者有差也然則右之獨有盈于六品
之較者正此二者之差數也
丁行論曰兩行對減而于負數内減去相同之八品惟
[054-19b]
餘九品于正數内減去相同之七品分惟餘七品之
餘分然則右行負數獨有盈于正數者正是右行九
品與其七品餘分之較也何也與之對減者乃左行
適足之數故于較數無闗也重列三/次皆然
戊行論曰右行内減去左行適足數惟餘九品數則其
下盈數必所餘九品之數也 此條逓減歸一其理
較明學者翫之
此零整雜列也亦五色方程有空例也有減無併
[054-20a]
可悟偶加竒減之非
問有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三
仍不足單六丙所分如乙七之三而多二數各幾何
畣曰甲數一百一十二 乙數四十二 丙數二十
甲數三因七除得四十八多于乙數六/乙數三因七除之得十八少于丙數二
法列位 以甲乙分母七化整為零 丙無分仍用整
[054-20b]
○/ 乙之三分正/ 丙一負/負二此行無甲數存與減餘重列/
此三色有空先以和較雜法用兩行甲互遍乗之
和數甲全分七乗較行得數依其/正負以較數甲正三分
乗和行得數從乗法皆/命為正 甲各二十一分同減盡
乙異併七十分正/丙三無減正/下數同減餘四百八
十正/皆同名不分正負以和數重列與第三行較數
求之
上 中 下
[054-21a]
如法互乗減併 乙同減盡 丙異併七十九為法
下數異併一千五百八十為實 法除實得二十
為丙數 丙數同減負二得一十八為乙七之三乃
以三分除之得六為乙七之一以分母七乗之得四
十二為乙數 乙數異加正六共四十八當甲七之
三乃以三分除之得十六為甲七之一以甲分母七
[054-21b]
乗之得一百一十二為甲數 此亦零整雜用之法
也
若依變零從整法則以分子母倒位列之其正負以分
母乗之乃與和數列而求之
論曰倒位何也非倒位也分母遍乗則然也以分母七
乗子三而皆七之則為三分者七為三分七是為全
全數者三矣而其所當者全數也七之則為全數者
七矣是乙以全數當甲七之三者七乗之則七乙當
[054-22a]
三甲也故如倒位然皆全數也非分也故非倒位
正負亦分母乗何也乙一當甲七之三而少六則七
乙當三甲而共少七个六為四十二也丙一當乙七
之三而多二則七丙當三乙而共多七个二為十四也
[054-22b]
如法以前兩行遍乗減併又重列之與第三行遍乗
減併 乙減盡丙異併七十九為法 下數異併一
千五百八十為實 法除實得二十為丙數
七因丙數得一百四十同減負十四餘一百二十六
以乙三除之得四十二為乙數
七因乙數得二百九十四異加正四十二共三百三
十六以甲三除之得一百一十二為甲數
此變零從整而分母同者也亦有分母不同但取
[054-23a]
其本一行中所用之分母遍乗本行以為用不必
齊同如後條
問有數不知總以三人分之亦不知各所分之數但云
甲如乙丙共數二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙
四之三而不足四又四分之一總數分數各幾何
畣曰總數十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十
其二之一則五如甲 甲丙共九其三之二則六如
乙 甲乙共十一其四之三則八义四之一以丙相
[054-23b]
較不足四又四之一也
法曰此各行分母不同如甲有三之二又有四之三乙/有二之一又有四之三丙有二
之一又有三之/二皆有兩分母宜用變零從整之法以不同同之用/分
則不同變而用整/則不同而同矣以分母各遍乗其本行而列之
右行分母二 中行三左行四
[054-24a]
如法互乗減併以三色較數變為二色而重列之雖/減
併不同皆仍為/較數不變宜翫
如法互乗 乙同減盡 丙同減餘負三十四為法
正一百三十六無減就為實 法除實得四為丙
數 六乗丙數得二十四以相當適足之四乙除之
得六為乙數 以原列右行乙丙各一共十以相當
[054-24b]
適足之甲二除之得五為甲數
論曰甲為乙丙二之一則是二甲當一乙一丙也皆二
因之也 乙為甲丙三之二則是三乙當二甲二丙
也皆三因之也 丙為甲乙四之三而不足四又四
之一則是四丙以當三甲三乙而不足十七也皆四
因之也甲乙丙各有兩分母若化整為零當以分母矣/相乗為原數母互乗子為所用之分殊多事
二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
[054-25a]
四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正
四又四之一得正十七以一丙與甲乙四之三較不/足四又四之一若以四丙與
四个甲乙四之三較亦不足四/个四又四个四之一是為十七
問有數九百六十以四人差等分之乙與甲如二與八
丙與乙如三與七丁與丙如四與六各幾何
畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二
丁四十八
法以共數命為和相當數命為較依和較襍法列之
[054-25b]
乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可當二甲也
丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可當三乙也
丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可當四丙也
推此知二八三七四六各/種差分皆可以方程御之
[054-26a]
首次兩行如法互乗減併訖重列之取出第三行與
之為耦
如法減併訖又重列之兩次減餘皆和數/可見立負之非
又取末行與之為耦而列之
[054-26b]
如法乗 丙減盡 丁併得四百八十為法 正二
萬三千○四十無減就為實 法除實得四十八為
丁數 六因丁數得二百八十八以相當之四丙除
之得七十二為丙數 七因丙數得五百○四以相
當之三乙除之得一百六十八為乙數 八因乙數
得一千三百四十四以相當之二甲除之得六百七
十二為甲數
試以甲併乙共八百四十以八因之得甲數若二因亦
[054-27a]
得乙數是乙數甲二八差分也 試以丙併乙共二
百四十以七因之得乙數若三因亦得丙數是丙與
乙三七差分也 併丙丁共一百二十以六因之得
丙數若四因亦得丁數是丁與丙四六差分也
又試以八除甲數得八十四以二除乙數亦得八十四
若以八十四除甲數必得八以八十四除乙數必得
二也 又試以七除乙數以三除丙數皆得二十四
若以二十四除乙數必得七除丙數必得三也 以
[054-27b]
六除丙數以四除丁數皆得十二若以十二除丙數
必得六除丁數必得四也
問有數七百四十一以四人分之乙于甲為三之二丙
于乙為五之三丁于丙為七之五各㡬何
畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十
六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙當二甲也丙得乙五之三
是五丙當三乙也丁得丙七之五是七丁當五丙也
[054-28a]
故皆命以適足而列之
先以孟仲兩行如法互乗減併訖列其餘數取出叔行相對
[054-28b]
如法減併又列其餘與季行相較
如法減併 丁二百四十七為法 正二萬二千二
百三十為實 法除實得九十為丁數
七因丁數五除之得一百二十六為丙數 五因
丙數三除之得二百一十為乙數 三因乙數二除
之得三百一十五為甲數
[054-29a]
問有數七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如
甲五之二丁如甲七之二各幾何
因前問中有疉數故作此問以互明之
乙三當甲二而丙五又當乙三是丙五亦當甲二也
丙五當甲二而丁七又當丙五是丁七亦當甲二也
又丁七亦當乙三今/云兩者以甲為主也
在西法謂之連比例
上 中 下
[054-29b]
首行互乗次行如故 次行乗首行皆二之甲減盡
乙異併得五正/丙二正/丁二正/正一千四百八十
二皆無減皆仍為和同名/在一行故也
次行乗三行因兩首位同不用乗竟以對減 甲減
[054-30a]
盡乙三次行/負也丙五三行/負也皆無減命為正負適足同名在兩行/故為較數
三行末行首位亦同亦徑減 甲減盡 乙空 丙
五三行/負也丁七末行/負也皆亦無減命為正負適足亦同名/在兩行
乃以減餘重列之如三色有空之法
[054-30b]
如法減併得二百四十七為法二萬二千二百三十
為實 法除實得丁數以次求得甲乙丙數皆如前
問之數
問有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六
差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出
率則如上户六之四
畣曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九
十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十
[054-31a]
户共一百九十五石二斗
法以和較列位
如法互乗得四 甲同減盡 乙異併三百一十六
户為法 米一千五百四十二石○八升無減就為
實 法除實得四石八斗八升為下等戸則例 以
下等六户乗其則例得二十九石二斗八升以相當
[054-31b]
之上等四户除之得七石三斗二升為上等户則例
問有米三百一十七石給與四色人户甲二十户乙三
十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙
每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各幾何
畣曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石
乙每户二石一斗 三十户共六十三石
丙每户一石四斗 四十户共五十六石
丁每户六斗 五十户共三十石
[054-32a]
法列位
首行甲二十户十倍於次行甲正二但以首行甲退
一位作二則齊同矣甲退十為單其下各位皆退十
為單即如互遍乗而可以對減矣
[054-32b]
乃以減併之餘重與第三行列之
又以減併之餘重與第四行列之
依法求得六百三十四為法 三百八十石○四斗
為實 法除實得六斗為丁户則例 七因丁則得
[054-33a]
四石二斗丙三除之得一石四斗為丙則 六因丙
則四除之得二石一斗為乙則 四因乙則得八石
四斗為甲則
此條有省算/法說見後卷
此上數條皆變零從整法也
有兩數相較而為十之八十之七者即非二八三七
差分也有二例見末卷
瓔珞方程例
[054-33b]
瓔珞者言其聨綴而垂象瓔珞也謂之疉脚
凡算方程皆以多色逓減至一法一實以先知一色之
數然此所先求之一色却原帶有不同之數則法一
而實非一故以一總法而除多實非疉脚之法不可
也亦有以下為法上為實者則實一而法有/多名在合問者之所求而定之詳刋誤條
今有大江南北兩處糧艘載米不同因氷程逺近給耗
米亦不等但云南船三隻北船兩隻共運米一千九
百七十石外給耗米共六百六十八石又南船一隻
[054-34a]
北船四隻共運米一千九百九十石外給耗米五百
五十六石問各船正耗米數以便稽核
畣曰北船每隻正運米四百石 給耗米一百石
共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升
南船每隻正運米三百九十石 給耗米一百五
十六石 共正耗米五百四十六石
每正米一石給耗米四斗
法各列位
[054-34b]
先以左行南船一遍乗右行各得原數
次以右行南船三遍乗左行得數 南船三與右減
盡 北船十二減去右二餘十隻為總法
正運米五千九百七十石減去右一千九百七十石
餘四千石為運米實
[054-35a]
耗米一千六百六十八石減去六百六十八石餘一
千石為耗米實
以總法除正運米實得四百石為北船每隻運數
以總法除耗米實得一百石為北船每隻耗米數總/計
正耗得北船毎/隻米五百石
任于左行總運米一千九百九十石内減北船四隻
該運米一千六百石餘三百九十石為南船一隻運
數一故不除運或于右行運一千九百七十石内減/北船二隻 八百石餘一千一百七十石以南船
[054-35b]
三隻除之亦得/三百九十石
于左行總耗米五百五十六名内減北船四隻該耗
四百石餘一百五十六石為南船一隻運數或于右/行耗六
百六十八石内減北船二隻耗二百石餘四百六十/八石以南船三隻除之亦得一百五十六石總
計正耗得南船每隻米五百四十六石
以北船四百石除其耗米一百石得每石給耗米二
斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六
石得每石給耗四斗
[054-36a]
此問每船米數故以船為法米為實
若問每米一萬石該用幾船則以減餘船十隻用異乗
同除以一萬乗得十萬為總船實 以運米減餘四
千石為法 法除實得二十五為每運米一萬石用
北船之數 于是任以右行北船二隻亦用異乗同
除以一萬石乗之二十五船除之得八百石以減共
米一千九百七十石餘一千一百七十石又用為法
以右行原列南船三乗一萬石得三萬石為實法除
[054-36b]
實得二十五隻又三十九分之二十五為每米一萬
石用南船之數
若問耗米給過五千石該得幾船者則亦用異乘同除
以五千石乘減餘十隻為北船實 以減餘耗米一
千石為法除實得五十隻為每耗米五千石給北船
之數 任以右行北船二隻五千石乘之五十隻除
之得二百石以減共耗六百六十八石餘四百六十
八石又用為法以原列南船三乘五千石為實法除實
[054-37a]
得三十二隻又三十九分之二為每耗米五千石給南船
之數
假如有南運艘二隻以比北三隻則南船運米不及北
四百二十石其南船帶耗米反多于北一十二石若
以南船三當北船五則南船運米不及北八百三十
石其耗米亦不及北三十二石問各幾何
法以正負列位
上 中 下
[054-37b]
如法乗減餘北船一隻為總法
運米同減餘四百石為運米實即為北船每隻運數
總法一故/不除下同耗米異併得一百石為耗米實即為北船
每隻耗數
任以右行北船三乗其運數得一千二百石同減負
四百二十石餘七百八十石以南船二除之得三百
[054-38a]
九十石為南船運數
以右行北船三乗其耗數得三百石異加正十二石
共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石
為南船耗數
若問毎米一萬石須幾船運者則以減餘北船一以一
萬石乘之為船實 以減餘四百石為運米法法除
實得二十五隻為北船每運一萬石之數 又以一
萬石任乗右行北船三以二十五隻除之得一千二
[054-38b]
百石同減負四百二十石餘七百八十石又為法以
一萬石乘南船二為實法除實得二十五隻又三十
九分船之二十五為南船毎運一萬石之數
若問耗米五千石該給幾船者則亦以五千石乘減餘
北船一隻為船實 以減餘一百石為耗米法法除
實得五十隻為北船耗米五千石之船數 又以五
千石乗右行北船三以五十隻除之得三百石異加
正十二石共三百一十二石又為法以五千石乗南
[054-39a]
船二為實實如法而一得三十二隻又三十九分船
之二為南船耗米五千石之船數
此因耗米與正運不同故也若耗米亦以一萬石
為問則北船之實皆同
今有墨一百二十七錠研六十六枚給與修史局六十
人校書局六十三人又有墨五十八錠研三十二枚
給與修史局二十四人校書局四十二人問各㡬何
畣曰史局每人墨一錠又六分之四六人十/錠也研四分
[054-39b]
之三四人共/三研校書局毎人墨七分之三七人共/三錠研三
分之一三人共/一研
法各列位
如法乗減餘校書一千○○八人為總法
墨餘四百三十二為墨實
研餘三百三十六為研實
[054-40a]
以總法除墨實得七分之三為校書局給墨數七人/得墨
三/錠 就以七人除右行校書六十三人以墨三錠乘
之得二十七錠以減總給一百二十七錠餘一百錠
以史局六十人除之得一錠又六分之四六人得四/錠并整數
為六人/十錠為史局給墨數
又以總法除研實得三分之一為校書局給研數三/人
共/一 就以三除校書六十三人得二十一研以減總
給研六十六餘四十五研以史局六十人除之得四
[054-40b]
分之三四人/三研為史局給研數
問修艌船隻内有舊船二隻新船一隻共用桐油二百
六十斤麻一百三十斤釘十七斤石灰二百一十斤
計工兩月有半又舊船一隻新船三隻共用桐油二
百八十斤麻一百四十斤釘十六斤灰二百三十斤
工兩月有半其新舊船各㡬何
畣曰每新船一隻 用桐油六十斤 麻三十斤
釘三斤 灰五十斤 每工一月修兩隻
[054-41a]
每舊船一隻 用桐油一百斤 麻五十斤 釘七
斤 灰八十斤 每工一月修一隻
法各列位
先以左舊船一遍乗右行如故
次以右舊船二遍乗左行得數 乃相減 上位舊
船對減盡中位新船減餘五為總法
[054-41b]
下位油相減餘三百斤為新船油實以總法除之得六/十斤為新船油數
麻相減餘一百五十斤為新船麻實以總法除之得三/十斤為新船麻數
釘相減餘一十五斤為新船釘實以總法除之得三/斤為新船釘數
灰相減餘二百五十斤為新船灰實以總法除之得五/十斤為新船灰數
任以左行新船三隻乗其油數得一百八十斤以減總
油二百八十斤餘一百斤為舊船一隻油數
以新船三隻乗其麻數得九十斤以減總麻一百四
十斤餘五十斤為舊船一隻麻數
[054-42a]
以新船三隻乘其釘數得九斤以減總釘一十六斤
餘七斤為舊船一隻釘數
以新船三隻乘灰數得一百五十斤以減總灰二百
三十斤餘八十斤為舊船一隻灰數
此為以船求油麻等故以船為法以麻油等為實
乃以減餘新船五隻為總實
以減餘工兩月半為法 法除實得二隻為每工一
月修新船之數就以二隻除左行新船三隻得一月
[054-42b]
有半以減總工兩月半餘一月以除舊船一隻如故
得每工一月修舊船一隻
此以工求船故以工為法船為實與前相反
重審方程例
凡算方程皆以有總數無各數故逓減以求之然有并
其總數亦隠者此當用兩次求之故曰重審
假如品官祿米不知數但云甲支三品俸四个月又帶
支四品俸五个月乙支三品俸六个月又帶支四品
[054-43a]
俸五个月亦不知甲乙各得數但云以甲十三分之
一益乙則三百五十石若以乙十一分之三益甲亦
三百五十石問兩品禄米各幾何
荅曰三品毎月俸三十五石
四品每月俸二十四石
法曰此當先求出甲乙兩家支過禄米再求各品月俸
謂之重審先以帶分法列位
上 中 下
[054-43b]
左甲之一分遍乗右行如故
右甲之十三分遍乗左行得數
甲減盡 乙減餘一百四十分為法 餘俸四千二百
石為實 法除實得三十石為乙之一分 以乙分
母十一乗其一分得三百三十石為乙支過米數
以乙支過米數減總三百五十石餘二十石為甲之
[054-44a]
一分 以甲分母十三乗其一分得二百六十石為
甲支過米數
既得兩家支過米數乃重列之以求品俸
如法左右乗減 餘四品十月為法 餘俸米二百
四十石為實 法除實得二十四石為四品每月俸
以四品五月計一百二十石減甲支二百六十石
[054-44b]
餘一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石
為三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知數但云甲支一品俸四
个月又帶支二品俸五个月乙支一品俸六个月又
帶支二品俸十个月亦不知甲乙支過數但云取乙
本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本
色三分之二以益乙則八百六十五石 取乙折色
五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之
[054-45a]
一以益乙則五百七十九石問各幾何
畣曰一品月俸八十七石
内實支本色一半四十三石五斗 折色鈔一
半數同二品月俸六十一石
内實支本色六分三十六石六斗 折鈔四分
二十四石四斗
法當重審 先求本色依帶分法列位
上 中 下
[054-45b]
如法乗減 餘乙之七分為法 餘本色一千四百
六十三石為實實如法而一得二百○九石為乙本
色之一分以減右行共本色五百六十六石餘三百
五十七石為甲支過本色數 又以乙分母三乗其
一分得六百二十七石為乙支過本色數
計開
[054-46a]
甲支過本色三百五十七石内一品俸四个月/二品俸五个月
乙支過本色六百二十七石内一品俸六个月/二品俸十个月
次求折色 亦依帶分列位
如法左右乗減 乙餘十八分為法 餘折色一千
八百一十八石為實 法除實得一百○一石為乙
折色之一分以乙分母五乗之得五百○五石為乙
[054-46b]
支過折色數 以乙之二分乗其一分得二百○二
石以減共折色四百九十八石餘二百九十六石為
甲支過折色數
計開 甲支過折色二百九十六石内亦一品俸/四个月二品
俸五/个月
乙支過折色五百○五石内亦一品俸六/个月二品俸十
个/月
既得甲乙兩家支過本折然後乃求各品月俸
[054-47a]
依疊脚法列其所得本折而重測之
如法遍乗得數 上位一品減盡 中位二品餘十
个月為總法 下位本色餘三百六十六石為本色
實
折色餘二百四十四石為折色實
乃以總法除本色實得三十六石六斗為二品毎月俸
[054-47b]
本色數 以乙二品十个月計三百六十六石減乙
共本色六百二十七石餘二百六十一石以乙一品
六个月除之得四十三石五斗為一品月俸本色
又以總法除折色實得二十四石四斗為二品月俸折
色 以乙二品十个月計二百四十四石減乙共折
色五百○五石餘二百六十一石以乙一品六个月
除之亦得四十三石五斗為一品月俸折色其右行/亦可互
求則先得/甲數也
[054-48a]
于是以一品本色折色併之得每月俸八十七石本折/各半
支/
以二品本折併之得毎月俸六十一石四六支本色/六分折色四
分/
[054-48b]
厯算全書卷四十一
