[009-1a] 
小引
環中黍尺者所以明平儀弧角正形乃天外觀天之法
而渾天之畫影也天圜而動無晷刻停而六合以内經
緯厯然亘萬古而不變此即常静之體也人惟囿於其
中不惟常動者不能得其端倪即常静之體所為經緯
厯然者亦無能擬諸形容惟置身天外以平觀大圜之
立體則周天三百六十經緯之度擘劃分明皆能變渾
體為平面而寫諸片楮按度攷之若以玻璃水晶通明
[009-1b]
之質琢成渾象而陳之几案也又若有鏤空玲瓏之渾
儀取影於燭而惟肖也故可以算法證儀亦可以量法
代算可以獨喻可以衆曉平儀弧角之用斯其妙矣庚
辰中秋鼎偶霑寒疾諸務屏絶展轉牀褥間斗室虚明
心閒無寄秋光入户秋夜彌長平時測算之緒來我胸
臆積思所通引伸觸類乃知厯書中斜弧三角矢線加
減之圖特以推明算理故為斜望之形其弧線與平面
相離聊足以彷彿意象啓人疑悟而不可以實度比量
[009-2a]
固不如平儀之經緯皆為實度弧角悉歸正形可以算
即可以量為的確而簡易也病間録枕上之所得輙成
小帙然思之所引無方而筆之所追未能什一庶存大
致竢同志之講求耳此第一卷原序/也餘詳目録
康熈三十有九年重九前七日勿菴力疾書時年六十
有八
[009-3a]
欽定四庫全書
厯算全書卷九
宣城梅文鼎撰
環中黍尺卷一之二
總論
有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三邊求角則未
有以處也環中黍尺之法則可以三邊求角如有黄赤/兩緯度可
求其/經可以徑求對角之邊如有黄道經緯可/徑求赤道之緯立術超妙
[009-3b]
而取徑遥深非專書備論難諳厥故矣書成於康熈庚
辰非一時之筆故與舉要各自為首尾
凡測算必有圖而圖弧角者必以正形厥理斯顯于是
以測渾圓則衡縮欹衺環應無窮殆不翅纍黍定尺也
本書命名盖取諸此
用八綫至弧度而竒然理本平實以八綫量弧度至用
矢而簡然義益多通要亦惟平儀正形與之相應一卷
之先數後數所為直探其根以發其藏也
[009-4a]
平儀以視法變渾為平而可算者亦可量即眎度皆實
度矣二卷之平儀論所以博其趣而三極通幾其用法
也黍尺名書/于兹益著
矢度之用已詳首卷而餘弦之用亦可參觀故又有三
卷之初數次數也 初數次數本用乗除亦可以加減
代之故有加減法以疏厥義自三卷以後非非一時所/撰今以類相附而仍各為
之/卷
四卷之甲乙數即初數次數之變也而彼以乗除此以
[009-4b]
加減則繁簡殊矣
五卷之法亦加減也而特為省徑故稱㨗焉用初數不/用次數用
矢度不用餘弦以視/甲乙數又省其半然不可不知其變故又有補遺之
術也
恒星厯指之法别成規式而以加減法相提而論固異
名而同實是以命之又法也
以上環中黍尺之法約之有六用乘除者二其一先/數後數其一初數次數也用加減者四初數次數也
甲乙數也捷法也又法也本書中具此六/術然而加減捷法其尤為善之善者歟
[009-5a]
外有不係三邊求角之正用並可通之以加減之法者
是為加減通法盖術之約者其理必精數之確者為用
斯博並附數則于五卷之末以發其例
弧三角用平儀正形之理
作圖之法有二一為借象一為正形以平寫渾不得已
而為側睨遥望之形以曲狀其變然多借象而非正形
兹一準平儀法度寘二極于上下而從旁平視之如置/身大
員之表以/觀大員則渾球上凸面之經緯弧角一一可寫于平
[009-5b]
面而悉為正形于是測望之法步算之源皆不煩箋疏
而解
[009-6a]
[009-6b]
平儀用實度之理
斜視之圖無實度可紀弧角之形聊足相擬/其實度非算不知兹者平儀
既歸正形則度皆實度循圖可得即量法與算法通為
一術以横徑查角度以距/緯查弧度並詳二卷
平儀用矢線之理
八線中有矢他用甚稀乃若三邊求角則矢綫之用為
多而又特為簡易信古人以弧矢測渾員其法不易然
亦惟平儀正形能著其理下文/詳之
[009-7a]
矢線之用有二
一矢線為角度之限 鈍角用大矢 鋭角用小矢小/矢
即正矢也從半徑言之為/正矢從全徑言之為小矢法曰置角度于平儀之周則
平員全徑為角綫所分而一為小矢一為大矢平儀横/徑即渾
員之腰圍故大矢即鈍/角度小矢即鋭角度
如圖渾球上甲戊甲丁甲丙三小弧與甲已同度故同
用甲已為正矢丁乙戊乙丙乙三過弧與已乙同度故
同用已乙為大矢
[009-7b]
一矢較為弧度之差 大弧用大矢弧度過象限為大/弧故大矢亦大于
半/徑小弧用小矢弧度不及象限為小/弧故正矢小于半徑較弧與對弧並同
法曰置較弧對弧于員周角旁兩弧之較為較弧亦/曰存弧對角之弧為對弧
[009-8a]
亦曰/底弧則各有矢線而同軸可得其差謂之兩矢較也
較弧對弧並小則為兩正矢之較兩弧俱象限以/下故俱用正矢
較弧小對弧大為正矢大矢之較較弧在象限以下用/正矢對弧過象限用
大/矢
較弧對弧並大為兩大矢之較兩弧俱過象限/故俱用大矢
凡較弧必小於對弧則較弧矢亦小於對弧矢故無以
較弧大矢較對弧正矢之事法所以恒用加也若較弧/用大矢
則對弧/必更大
[009-8b]
如圖丑乙弧之正矢辛乙庚乙/寅乙
二弧/同用子乙弧之正矢壬乙癸乙/夘乙
同/用則辛壬為兩矢之較即為癸/乙
寅/乙兩弧度之較也或丑乙與子/乙或庚乙與
癸乙或寅乙/與卯乙並同 又如戊乙弧之
大矢已乙與丑乙弧之正矢辛乙相較得較已辛或子
乙弧之正矢壬乙與丙乙弧之大矢已乙相較得較巳
壬皆大矢與正矢較也 又如甲丑弧之大矢辛甲與
[009-9a]
甲夘弧之大矢壬甲相較得較辛壬則兩大矢較也
約法
凡求對角之弧並以角之矢為比例鈍角用大矢/鋭角用正矢求得
兩矢較半徑方一率正弦矩一率/角之矢三率兩矢較四率以加較弧之矢較弧/大用
大矢較弧/小用正矢得對弧矢加滿半徑以上為大矢其對弧小
遇象/限加不滿半徑為小矢其對弧小不過/象限此不論角之
鋭鈍邊之同異通為一法
凡三邊求角並以兩矢較為比例求角之矢半徑方一/率餘割矩
[009-9b]
二率兩矢較三/率角之矢四率得數大于半徑為大矢其角則鈍得數
小于半徑為正矢其角則鋭亦不論邊之同異通為一
法
問用矢用餘弦異乎曰矢餘弦相待而成者也可以矢
算者亦可用餘弦立算但加減尚須詳審若矢線則一
例用加尤為簡妙
先數後數法
此以平儀弧角正形解渾球上斜弧/三角用矢度矢較為比例之根也
[009-10a]
先得數者正弦上距等圈矢也與角之矢/相比後得數者而矢較也與較弧矢相加
設丙乙丁斜三角形 有乙鋭角 有丙乙弧小于象
限丁乙弧大于象限是為/角旁
之兩弧/不同類 求丁丙為對角
之弧 用較弧角旁兩/弧相減及
對弧兩正矢之較為加差
法以大小兩邊各引長之
滿半周遇于戊作戊甲乙
[009-10b]
圜徑 又于圜徑折半處巳/命為渾圜心 又自己心
作横半徑如巳/寅辛則寅辛即乙角之弧亦即為乙角之矢
平視之為矢度實即/角度之弧躋縮而成而寅已即乙角之餘弧亦即為乙
角餘弦因視法能令餘/弧躋縮成餘弦 又自丁作横半徑巳/辛之平行
線如壬/丁甲此平行線即乙丁大邊之正弦因平視故乙丁/小于乙壬其實
乙丁弧之度與乙壬同大今壬甲既為戊/壬及乙壬之正弦亦即為乙丁之正弦矣而此正弦壬/甲
又即為距等圈之半徑也想戊巳乙為半渾圜之中剖/國面側立形乃自壬丁甲横
切之則壬甲為/其横切之半徑則其丁壬分線亦為距等圈上丁壬弧
[009-11a]
之矢線矣有距等圈半/徑即有其弧而此大小兩矢線各與其半徑
之比例皆等己辛大圜之半徑大故寅辛矢亦大甲壬/距等圈之半徑小故壬丁矢亦小然其度
皆乙角故比例一也距等雖用戊角/而戊角即乙角有兩弧線限之故也法為已辛與甲壬
若寅辛與壬丁
一率 半徑已辛
二率 大弧/正弦壬甲卯距等圈/之半徑
三率 乙角/矢寅辛
四率 先得/數壬丁即距等圏/之正矢
[009-11b]
次從丙向已心作丙巳半徑此線為加減之主線以較/弧對
弧俱用為半/徑而生矢度 又從壬作壬夘為壬丙較弧之正弦壬/乙
既同丁乙則丁乙弧之/大于丙乙其較為壬丙 又從丁作癸丁午線為丁丙
對弧之正弦因平視故丁丙弧小于癸丙其實丁丙弧/與癸丙同大癸午既為癸丙正弦亦即丁
丙之正/弦矣因兩正弦平行又同抵巳丙半徑為十字正方
角故比例生焉此立算之根本 又從丁作丁子線與
午夘平行而等以有對弧較弧兩/正弦為之限也成壬丁子句股形
又從丙作丙辰線為乙丙小邊之正弦成已丙辰句股
[009-12a]
形 此大小兩句股形相似巳丙辰與卯已奎小形相/似則亦與壬丁子形相似
等角等/勢故也法為丙已與辰丙若壬丁與丁子
一率 半徑丙已 弦
二率 小弧/正弦辰丙 股
三率 先得/數壬丁 小弦
四率 兩矢/較丁子 小股
省算法用合理
因上兩宗内各冇先得數而一/為三率一為四率故對去不用
[009-12b]
乃以後得數為矢較加較弧矢以午夘加/夘丙也成對弧矢午/丙
末以對弧矢午/丙減半徑巳/丙成對弧餘弦午/已檢表得對弧
丁/丙之度
又法 以後得數減較弧餘弦以午夘/減夘已成對弧餘弦
[009-13a]
午/己檢表得對弧丁/丙度亦同兩正矢之較即兩餘弦較/也故加之得矢者減之即
得餘/弦
若先有三邊而求乙鈍角則反用其率因前四率反之/以首率為次率
三率為/四率
[009-13b]
以乙角矢寅/辛減半徑辛/巳得餘弦寅/巳檢表得乙角之度
右銳角以二邊求對邊及三邊求角並以兩矢較
為加差以差加較弧矢得對弧/大三邊求角則為三率亦為兩餘弦較依/又
法以差減較弧餘弦為對弧餘弦/三邊求角則兩餘弧相減為三率 角旁弧異類
對邊小
設亥乙丁斜弧三角形 有乙鈍角 有亥乙小弧丁
乙大弧 求亥丁對角/弧 用較弧正矢與對弧大矢之
較為加差
[009-14a]
戊乙徑為取角度之
根亢寅角度及房甲
與亥虚兩正弦皆依
之以立
大矢即鈍角之弧度
小矢即鋭角之弧度
亥斗徑為加減之根
房氐及危心兩正弦
[009-14b]
依之以立 有兩正弦即有兩餘弦及大小矢而加減
之用生焉
法以大小兩邊各引長之滿半周遇于戊 又依小邊
半周乙亥/戊補其餘半周戊辛/乙成全圓 又從戊至乙作
圓徑 又作亢辛横徑兩徑相交于已即圓心 則寅
辛為乙角之小矢而寅亢為乙角之大矢寅已亢即乙/鈍角之弧度
平視之/成大矢 若自寅點作直線與戊乙平行取距戊乙之
度加象限即角度 又從丁作房丁壬横線與亢辛横
[009-15a]
徑平行此線即丁乙大邉正弦之倍數房丁壬與亢辛/平行則房乙即
丁乙也因平視故丁乙小于房乙耳而房甲既為房乙/之正弦亦即丁乙正弦也房甲既為正弦房壬則倍正
弦矣倍正/弦即通弦而此房/壬倍正弦又即為距等圏之全徑想全/體渾
圓從壬丁房横切之成/距等圈而房壬其全徑則房丁分線亦即為距等圏上
丁甲房弧之大矢有距等圈全徑即有其/全圏而房甲丁其切弧而此兩大矢
線各與其全徑之比例皆等亢辛全徑大故寅亢大矢/亦大房壬距等圏之全徑
小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及/乙房戊兩弧線之中故各與其全圓之比例等而其大
矢亦各與其全/徑之比例等即各與其半徑之比例亦等若以甲為/心壬為界
[009-15b]
作半圓于房壬線上/則距等之弧度見矣法為亢辛全/徑與房壬距等全徑/即倍正弦若
寅亢鈍角/大矢與房丁先得數亦/距等大矢而亢已半/徑與房甲乙丁正/弦亦距
等半/徑亦若寅亢與房丁
一率 亢巳半/徑
二率 房甲大邉之正弦/亦距等半徑
三率 寅亢鈍角/大矢
四率 房丁先得數亦/距等大矢
次從亥過巳心作亥已斗全徑為加減主線較弧對弧/之弦俱過
[009-16a]
此全徑而/生大小矢 又從房作房氐線為房亥較弧之正弦准/前
論房乙同丁乙則丁乙/之大于亥乙其較房亥 又從丁作心丁婁線與房氐
正弦平行而交亥斗徑于危如十字則此線為亥丁對
弧之倍正弦因視法心亥弧大于亥丁其實即亥丁也/亥丁為平視躋縮之形心亥為正形而心
危者心亥弧之正弦也是即亥丁/弧之正弦而心丁婁其倍弦矣 又從丁作丁女線
與斗亥徑平行亦引房氐較弧之正弦為通弦而與丁
女線遇于女成丁女房句股形 又從亥作亥虚線與
亢辛横徑及大邊之正弦房甲俱平行成亥虚已句股
[009-16b]
形 此大小兩句股形相似亥巳即徑線與丁女平行/亥虚與房甲丁平行則大
形之丁角與小形之亥角等而女/與虚並正角則為等角而相似法為已亥半/徑與亥虚
小邊/正弦若房丁先得數而/距等大矢與丁女後得數亦即氐危為較/弧正矢氐亥及對弧大
矢危亥/之較
一率 半徑已亥 弦
二率 小邊/正弦亥虚 句
三率 先得/數房丁 大弦
四率 後得/數丁女 大句
[009-17a]
乃以省算法平之
乃以後得數加較弧正矢以氐危加氐/亥成危亥為對弧大矢内
减半徑得對弧餘弦檢表得度以減半周為對弧之度
又法于後得數内減去較弧餘弦成對弧餘弦于氐/危内
[009-17b]
減氐巳其餘危/巳即對弧餘弦乃以餘弦檢表得度以減半周為對弧
之度 大矢與小矢之較即兩餘弦併也内減去一
餘弦即得一餘弦矣觀圖自明 前用鋭角是于較
弦餘弦内減得數為對弧餘弦此用鈍角是于得數
内減較弧餘弦為對弧餘弦
若有三邊而求角度者則反用其率
一半徑上方 一兩正弦矩 半徑上方
二兩正弦矩 二半徑上方 兩餘割相乗矩
[009-18a]
三鈍角大矢寅亢 三兩餘弦并氐危即較弧正矢與/對弧大矢之較
四兩餘弦并丁女即氏/危四鈍角大矢寅亢
乃于所得大矢内減去半徑成餘弦以餘弦檢表得度
用減半周為鈍角之度
右鈍角求對邊及三邊求鈍角並用兩矢之較
為加差以差加較弧正矢得對弧大/矢又為三邊求角之三率亦為兩餘
弦并依又法減較弧餘弦得對弧餘弦/三邊求角即并兩餘弦為三率 其鈍
角旁兩弧異類對弧大
[009-18b]
設丁辛乙斜弧三角形
有辛丁邊五十度/一十分丁乙對角
邊六十/度辛乙邊八十/度三邊並
小求辛鋭角
法先為戊亢辛全員 作戊
辛員徑 又作亢巳横員徑
兩徑十字相交于巳/心此線上有角度
次于戊辛徑左右任取自辛數至丁如所設角旁小邊
[009-19a]
五十度/一十分之數截丁辛為小邊 又從丁過巳作徑線此/線
上有加/減度為較弧對角弧兩正弦所依 仍自辛過丁數
至房如所設大邊八十/度之數截房丁為大小兩邊之較
弧 又自丁過房數至心如所設對邊六十/度之數截心
丁與乙丁等 仍自丁過辛截婁丁度如心丁乃作婁
心直線聨之為心丁對弧之倍正弦 又從房作房甲
横線與亢巳横徑平行此為乙辛大邊之正弦因視法/房辛即
乙辛/詳後 次視婁心倍弦與房甲正弦兩線相遇于乙命
[009-19b]
為斜弧形之角 乃從乙角向辛作乙辛弧此弧亦八/十度與房
辛同/大是所設角旁之大邊理在平儀視法房辛是真度/乙辛是視凸為平躋縮之形
想平儀原係渾體從房乙甲横切之則自房至甲為距/等圈之九十度從此線上度度作弧至辛極並八十度
不惟乙辛與房辛同大即甲/辛亦與房心同大也他倣此 又從乙向丁作乙丁弧
此弧亦六十度/與心丁同大是所設對角之邊切渾角以心婁距等/圈而以丁為極則危
丁亦六十度與心丁同大/矣乙丁同大不言可知 遂成乙辛丁斜弧三角在
球上之形與所設等 又從乙引乙辛弧線至戊成心
乙戊半周側立形此線截亢巳半徑于寅則亢寅為辛
[009-20a]
角矢度而寅己其餘弦 次從丁作丁虚横線與房甲
正弦平行是為辛丁小邊之正弦 又從房作房夘線
與心危婁平行則此線為房丁較弧之正弦其心危則
乙丁對弧之正弦 又從乙作乙女線與夘危平行而
等線在兩正弦平行線之/中而赤平行不得不等是為較弧與對弧兩正矢之
較房夘為較弧正弦則夘已為餘弦而夘丁其矢又心/危為對弧正弦則危巳為餘弦而危丁其矢此兩正
矢之較為危卯而乙女與之/等則乙女亦兩矢之較矣
法曰巳丁虚句股形與房乙女句股形相似房乙與丁/虚平行乙
[009-20b]
女與巳丁平行則所作之大形丁角小形乙角必/等而大形之虚小形之女並正角則兩形相似故丁
虚小邊/正弦與丁巳半/徑若乙女即夘危較弧餘弦/與對弧餘弦之較與乙房先/得
數/
又房甲正弦之分為乙房猶亢巳之分為寅亢其全與
分之比例皆相似從房甲線切渾員成距等圏而房甲/為其半徑猶渾員之有亢巳為半徑
也兩半徑同為戊寅辛弧線所分則乙房為距等圏半/徑之矢度猶寅亢為大員半徑之矢度也其比例俱相
似/故房甲大邉正弦即/距等圏半徑與亢巳大員之/半徑若乙房先得數/即距等
圏之/矢與寅亢後得數即/角之矢線
[009-21a]
以省算法平之即異乘同乘異除同除
較弧二十九度/五十分餘弦八六七/四八正矢一三二/五二其較三六七四八
[009-21b]
對弧六十度/ 五○○/○○ 五○○/○○
一半徑方一○○○○○○○○○○首率除宜去十/尾乃先于二率
二餘割矩一三二二三二三四○八九去五位故得數/只去五位即如
三兩矢較 三六七四八共去十/位也
四銳角矢 四八五九二用減半徑得辛角/餘弦五一四○八
檢表得五十九度四分為辛角之度此與厯書所算五/十八度五十三分
只差十/一分又法徑求餘弦 法曰房甲之分為乙房而其
餘乙甲猶亢已之分為亢寅而其餘寅已也故其全與
[009-22a]
分餘之比例亦相似法為房甲正/弦與亢己半/徑若乙甲正/弦
分線/之餘與寅已半徑截矢之餘/即角之餘弦
准前論小邊之正弦虚丁句/與半徑丁巳弦/若較弧對
弧兩矢之較乙女小/句與大邊正弦之分線乙房小/弦也先
求乙房為先得數以轉減大邊正弦房甲得分餘線乙
甲
一 小邊五十度一○/正弦 丁虚 七六七九一
二 半徑 丁巳一○○○○○
[009-22b]
三 較弧二十九度五○/對弧六 十度○○兩正矢較乙女 三六七四八
四 先得數大邉正弦/之分線 乙房 四七八五四
以先得數減大邉八十度正弦房甲 九八四八一
得大邊正弦内乙房分線之餘乙甲 五○六二七
未以分餘綫為三率
一 大邊正弦 房甲 九八四四一
二 半徑 亢已一○○○○○
三 分餘綫 乙甲 五○六二七
[009-23a]
四 角之餘弦 寅已 五一四○七檢表得五十九度/○四分與先算合
附厯書斜弧三角圖稍為/校正
丙乙丁弧三角形
乙丙角旁小弧 壬乙同丁
乙角旁大弧 壬丙為較弧
癸丙同丁丙為對角之弧
甲壬為大弧正弦 辰丙
為小弧正弦 壬夘為較弧
[009-23b]
正弦 癸午為對弧正弦 寅辛為乙角之弧 庚辛
為乙角之矢 夘丙為較弧之矢 午丙為對弧之矢
午夘為兩矢較 酉壬為先得數 酉子同午夘亦
兩矢之較
法為全數己/辛與大弧正弦甲/壬若角之矢庚/辛與先得數酉/壬
又全數巳/丙與小弧正弦辰/丙若先得數酉/壬與兩矢較酉/子也
一率全之方 二率兩正弦矩 三率角之矢 四率
得兩矢較以兩矢較加較弧之矢為對弧之矢
[009-24a]
論曰此因欲顯酉壬為甲壬距等半圈之矢度故特為
斜望之形其實丁點原在酉寅點原在庚丁壬弧即酉
壬線寅辛弧即庚辛線乙寅丁戊弧原即為乙庚酉戊
弧也故以平儀圖之則皆歸正位矣所以者何平儀上
惟經度有弧線之形其距等圈緯度皆成直線而寅庚
為角度之正弦直立下垂從其頂視之成一點矣丁酉
者大弧正弦甲壬上所作距等圈之正弦也從頂視之
而成一點與寅庚一也其寅已半徑勢成斜倚從上眎
[009-24b]
之與已庚餘弦同為一線甲丁與甲酉亦然此皆平面
正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故謂惟平儀
為正形也
若乙角為鈍角成亥乙丁三角形則當用房亥較弧之
正矢牛/亥與同丁亥對弧之心亥弧大矢危亥相減成兩
矢之較牛危即/女酉以較加較弧正矢為對弧大矢法詳前/例但前
例鈍角旁小弧不同乙丙故此圖/以相同者論之更見其理之不易
乙為鈍角用大矢之圖
[009-25a]
此用平儀正形故/丁與酉同為一點
設角之一邊適足九十度一邊大 用銳角餘角一/鈍一鋭
[009-25b]
法為半徑與大邊之正弦若角之矢與兩矢較也亦若
角之餘弦與對弧之餘弦
乙丁丙斜三角形 丙丁邊適
足九十度乙丁邊大于九十度
丁鋭角求對邊丙乙 法先作
平員分十字從丁數丁壬及丁丑
並如乙丁度作距等線聫之壬/丑
又于壬丑線上取乙點法以壬巳為度/巳為心作半員
[009-26a]
分匀度而自壬/取角度得乙㸃作庚乙癸直線為對弧之正弦 又取
壬丙為較弧作壬夘正弦較弧之矢夘丙對弧之矢癸
丙其較夘癸與壬乙等壬已正弦又即距等圈半徑而
為丁乙戊弧所分則壬乙如矢乙已如餘弦與角之丙
子矢子甲餘弦同比例
一 半徑丙甲 一 半徑丙甲
二 大邉/正弦壬已 二 大邉/正弦壬已
三 角之/矢子丙 三 角之/餘弦子甲
[009-26b]
四 两矢/較壬乙即夘/癸 四 對弧/餘弦乙已即癸/甲
若丁為鈍角 用大矢
法為半徑與大邊之正弦若角之大矢與兩矢較也亦
若鈍角之餘弦與對弧之餘弦
借前圖作乙辛為對角之弧成乙丁辛三角形三角/俱鈍作
丑午為較弧丑辛正弦以丑丁同/乙丁故其庚癸為對弧乙辛
之正弦以庚辛即/乙辛故較弧之正矢午辛對弧之大矢癸辛
其較癸午與丑乙等 依前論壬乙為距等圈小矢則
[009-27a]
乙丑為大矢壬丑為距等圏全徑與其大矢乙丑之比
例若丙辛全徑與鈍角之大矢子辛則已丑為距等半
徑與其大矢丑乙亦若甲辛半徑與鈍角之大矢子辛
也而丑已原為乙丁大邊之正弦丑乙原與/癸午等故法為半
徑甲/辛與鈍角之大矢子/辛若大邊之正弦已/丑與兩矢較丑/乙
或癸/午也
一 半徑甲辛 一 半徑甲辛
二 大邉/正弦丑巳 二 大邉/正弦丑已
[009-27b]
三 鈍角/大矢子辛 三 鈍角/餘弦子甲
四 兩矢/較癸午 四 對邉/餘弦乙已用餘弦入表得度以/減半周得對邉之度
一系 距等圏上弧度所分之矢與餘弦與大矢與其
半徑或全徑並與大圏上諸數比例俱等
又按前法亦可以算一邉小于象限之三角
於前圖取乙戊丙斜弧三角形用戊鋭角餘角一/鈍一鋭有丙
戊大邊足九十度有乙戊邊小于九十度 求對戊角
之乙丙邊
[009-28a]
法從乙㸃作壬已線為小邉乙戊之正弦以壬戊即/乙戊故
又從乙㸃作庚癸為對弧乙丙之正弦以庚丙即/乙丙故 于
是較弧之矢為夘丙 對弧之矢為癸丙而得兩矢之
較為癸夘 則又引戊乙小邉之弧過半徑于子而合
大圏于丁分子丙為戊角之矢子甲為角之餘弦
法曰丙甲半/徑與壬已小邉/弦若子丙戊角/之矢與乙壬兩矢/較也
得乙壬即得癸夘
捷法不用較弧但作壬已為小弧乙戊之正弦作庚癸
[009-28b]
為乙丙對弧之正弦其餘弦癸中 又引小邉戊乙分
半徑於子得子甲為戊角之餘弦
法曰丙甲半/徑與壬已小邉/正弦若子甲戊角/餘弦與乙巳對邉/餘弦得
乙己得癸甲矣
又于前圖取辛戊乙三角形用戊鈍角餘角/並鋭有戊辛大
邉九十度有戊乙邉小于九十度 求對戊鈍角之辛
乙邉
用㨗法 于乙㸃作壬丑為乙戊小邉之通弦 作庚
[009-29a]
癸為乙辛對弧之正弦 其餘弦甲癸 又引戊乙小
邉割丙辛全徑於子分子辛為鈍角大矢子甲為鈍角
餘弦
法為甲辛與丑已若子甲與乙巳得乙巳即得癸甲
一 半徑甲辛即丙辛全/徑之半
二 小邉/王弦丑已即壬丑通/弦之半
三 鈍角/餘弦子甲
四 對邉/餘弦癸甲即乙/巳
[009-29b]
若先有三邉而求角則反用其率
一 半徑
二 小邉餘割
三 對邉餘弦
四 角之餘弦
一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其餘一邉不拘
小大通為一法皆以半徑與正弦若角之矢與兩矢較
也亦若角之餘弦與對邉之餘弦
[009-30a]
若置大小邉于員周其算亦同
乙丁丙斜弧三角形 乙丁
邉適足九十度 丁丙邉小
于九十度 有丁銳角 求
對邉丙乙 法于平員邉取
丙丁度作丙已為小邉之正
弦 又自丙作丙甲過心線
又作壬夘線為丙壬較弧
[009-30b]
之正弦 又作庚乙癸線為對弧乙丙之正弦庚丙/即乙
丙/故 乙壬為丁角之矢 乙甲為丁角之餘弦 癸丙
為對弧之矢 癸甲為餘弦 夘丙為較弧之矢 夘
甲為餘弦 對弧較弧兩矢之較夘癸亦即/乙辰
法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙半/徑
與丙已小邉/正弦若壬乙角之/矢與乙辰兩矢/較亦若乙甲角/之
餘/弦與甲癸對弧/餘弦
三邉未角法
[009-31a]
一 半徑壬甲即甲丙/ 二 小邉/餘割甲甲
三 對弧/餘弦癸甲 四 角之/餘弦乙壬
又于前圖取乙戊丙三角形 用戊鋭角餘角一/鈍一鋭 有
乙戊邉九十度 有戊丙大邉 求對戊角之丙乙邉
用㨗法 自丙作丙已為丙戊大邉之正弦 即從丙
作丙甲半徑 乃于乙點作庚癸為丙乙對弧之正弦
其餘弦癸甲而戊乙弧原分乙甲為戊角之餘弦
法曰甲丙巳句股與乙甲癸相似故甲丙半/徑與丙巳
[009-31b]
若乙甲角之/餘弦與甲癸對邊/餘弦
若丁為鈍角餘角/並鋭 用大矢
借前圖作丑乙為對角之弧
成丑丁乙三角丁為/鈍角 作
丑甲寅徑 又作辛丑較之
正弦辛午 以辛丁同/丁乙故 作
丑乙對弧之正弦子酉引過
乙至亥成通弦 又作辛未
[009-32a]
線與酉午平行而等 較弧之正矢午丑對弧之大矢
酉丑相較得酉午亦即/未辛 乙辛與丁鈍角大矢 乙甲
為鈍角餘弦
法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑半/徑
與丑已小邉/正弦若乙辛角大/矢與未辛兩矢/較亦若乙甲角/之
餘/弦與甲酉對弧/餘弦
又于前圖取乙戊丑形 用戊鈍角三角/俱鈍 有乙戊邉
九十度有丑戊大邉 求對鈍角之丑乙邉
[009-32b]
用㨗法 自丑作丑已為丑戊大邉之正弦 又自丑
作丑甲寅全徑 又自乙作亥酉為對邉丑乙之正弦
以亥丑即/乙丑故 其餘弦酉甲而乙甲原為戊鈍角之餘弦
法曰甲丑己句股形與乙甲酉相似故甲丑半/徑與丑
已大邉/正弦若乙甲鈍角/餘弦與甲酉對邉/餘弦
又設丙乙丁三角形 乙為鈍角餘一鈍/一鋭 乙丙邉小
丁乙邉大 對邉丁丙大于象限 較弧壬丙亦大
于象限
[009-33a]
惟對邉較弧俱大于象限故
所得為兩大矢之較
其正弦比例仍用小矢以角
為鋭角也
[009-33b]
壬丙較弧之大矢夘丙加後得數午夘為對弧丁丙之
大矢丁丙即/癸丙故 大矢午丙内減半徑已丙得午已為餘
弦以檢表得庚癸之度以減半周得癸丙之度即對弧
丁丙之度
又法以得數午夘加較弧之餘弦夘巳得午已為對
弧餘弦以兩大矢較即兩/餘弦較也餘同上
[009-34a]
若于前圖取丁乙庚三角形則角旁兩邉俱大于象限
而對邉小於象限較弧亦小于象限乙為鈍角三角/俱鈍
有庚乙與丁乙兩大邉而較弧丑庚小故所得為兩小
矢之較其正弦比例則用大矢以乙為鈍角故也 丑
庚為較弧其正弦丑亥餘弦亥已 對弧庚丁即庚酉
其正弦酉午餘弦午已兩矢較亥午/即餘弦較
又設丙乙丁三角形
乙為鋭角餘一鈍/一鋭
[009-34b]
乙丙邉小 丁乙邉大 對
弧丁丙大于象限 較弧壬
丙小于象限 所得為對弧
大矢與較弧小矢之較
其正弦比例仍用小矢以乙
鋭角故
[009-35a]
兩餘弦并即大矢與小矢之較也
法以得數午夘加較弧之正矢夘丙成午丙為對弧之
大矢午丙内減去半徑已丙得午巳餘弦乃以餘弦檢
表得度以減半周得對弧丁丙之度
[009-35b]
若于得數内減較弧餘弧夘己亦即得午己餘弦餘
如上
又于前圖取丁乙庚三角形 乙為鈍角三角/俱饒 角旁
兩邉俱大于象限惟對邉小故用兩正矢較其正弦比
例仍用大矢以鈍角故 乙丁弧之通弦丑壬為乙丁
弧所割成丑丁亦割其戌辛全徑于寅成寅戌為鈍角
大矢而比例等 又丑庚為較弧其正弦丑亥其矢亥
庚 對弧庚丁之通弦酉癸其矢午庚兩矢之較為亥
[009-36a]
午
以兩矢較亥午加丑庚較弧之矢庚亥成午庚為對弧
丁庚之矢以矢減半徑庚已得對弧之/餘弦午巳檢表得丁庚度
論曰先得數何以能為句股比例也曰先得數即距等
[009-36b]
圏徑之分線也其勢既與全徑平行又其線為弧線所
分其分之一端必與對弧相㑹葢對弧亦/從此分也其又一端必
與較弧相㑹是此分線恒在較弧對弧兩正弦平行線
之中斜交兩線作角而為弦則兩正弦距線必為此線
之句矣而兩矢之較即從兩正弦之距而生故不論大
矢小矢其義一也
然則正弦上所作句股何以能與先得數之句股相似
邪曰兩全徑相交于員心則成角各正弦又皆為各全
[009-37a]
徑之十字横線則其相交亦必成角而横線所作之角必與
其徑線輳心之角等角等則比例等矣大邉小邉之正弦
皆全徑之十字横線也較弧對弧之正弦皆又一全徑之十
字横線也此兩十字之各線相交而成種種句股其角皆等
[009-37b]
仍于前圖取丁戊庚三角形 戊鈍角餘並/鋭 三邊俱
小于象限 戊丁弧之通弦丑壬正弦甲壬 又引戊
丁弧過全徑于寅㑹于乙則寅戌為戊鈍角之大矢亦
割丑壬通弦于丁則丑丁與通弦若寅戌大矢與全徑
也 又戊庚弧之正弦庚申為句則已庚半徑為其弦
其比例若丑未為句而丑丁為弦也 又丑庚為較弧
其正弦丑亥其餘弦亥已其矢亥庚 對弧庚丁之通
弦酉癸正弦癸午餘弦午已其矢午庚兩矢之較為亥
[009-38a]
午對弧小故用兩小矢之較戊鈍角/故以角之大矢為比例並同上條
兩法並用鈍角其度同所求之庚丁弧又同故其法並
同即此可明三角之理
仍于前圖取丁丙戊三角形 有丁丙及戊丙二大邊有
[009-38b]
丙鋭角餘一鈍/一鋭求丁戊對邊 法引丁丙及戊丙二弧㑹
于庚作庚丙徑作已亢及已戊兩半徑作癸午為丁丙邊
正弦而丁丙弧割癸午正弦于丁亦割亢已半徑丁心則
亢已之分為心亢猶癸午之分癸丁也又作戊井為戊丙
弧之正弦成戊已井勾股形又從丁作壬甲為對弧戊丁之
正弦其矢甲戊又取癸戊為較弧以癸丙同/丁丙故作癸氐為較弧
正弦其矢氐戊兩矢之較為氐甲又從丁作斗丁與氐甲平
行而等成丁斗癸小句股形與戊已井形相似則已戊弦與
[009-39a]
井戊句若癸丁弦與斗丁句也此因對弧小故所得為/小矢之較而用丙鋭角
故只用角之正矢為比例丁又此因用丙角求戊丁邉矣/故另為比例若用戊角求 丙弧則與第一條之法同
以甲氐加較弧之矢氐戊成甲戊為對弧之矢如法取
其度得丁戊
[009-39b]
右例以一圖而成四種三角形皆可以入算而諸綫錯
綜有條不紊可見理之真者如取影于燈宛折惟肖也
又丁丙戊三角形亦可以戊角立算餘三角並然角丁/乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚
計開
一圖中三角形凡四
一丁乙丙形 一丁戊丙形 一丁乙庚形 一丁
戊庚形
全徑凡二
[009-40a]
一戊乙徑 一庚丙徑
算例凡八
[009-40b]
右前四例皆以乙戊徑為主線丙庚徑為加減綫後四
例皆以丙庚徑為主線乙戊徑為加減綫
一係 凡三角形以一邉就全員則此一邉之兩端皆
可作線過心為全員之徑而一為主線一為加減線
皆視其所用之角
凡所用角在徑線之端則此徑為主線餘一徑為加
[009-41a]
減線
几用銳角則主線在形外用鈍角則主線在形内
凡角旁兩弧線引長之各成半周必復相㑹而作角
其角必與原角等
凡主線皆連于所用角之銳端或在形内或在形外
並同其引長之對角亦必連于主線之又一端也若
主線在形内破鈍角端者其引長之鈍角亦然
一係 凡兩徑線必與兩弧相應如角旁弧引長成半
[009-41b]
周其首尾皆至主線之端是主線即為此弧之徑也
如對角弧引長成半周首尾皆至加減線之端是加
減線即為對弧之徑也主線既為引長角旁一弧之
徑又原為全員之徑而角旁又一弧之引長線即全
員也故角旁兩弧皆以主線為之徑 加減線既為
對弧之徑而較弧在員周其端亦與加減線相連又
加減線原為全員徑故較弧對弧皆以加減線為徑
一係 凡全徑必有其十字過心之横徑而正弦皆與
[009-42a]
之平行皆以十字交于全徑引之即成通弦
主線既為角旁兩弧之徑故角旁兩弧之正弦通弦
皆以十字交于主線之上而其餘弦其矢皆在主線
加減線既為對弧較弧之徑故對弧較弧之正弦皆
以十字交于加減線而其餘弦其矢皆在加減線
一係 凡角旁之弧引長之必過横徑分為角之矢角
之餘弦若鈍角則分大矢
角旁引長之弧過横徑者亦過正弦通弦故其全與
[009-42b]
分之比例皆與角之大小矢及餘弦之比例等
平儀論 論以量代算之理
以横線截弧度以直線
取角度並與外周相應
如艮已弧距極三十度
為申未横線所截故其
度與外周未已相應坎
乙應戌乙亦同又乾乙
[009-43a]
弧距極六十度為丑夘横線所截故其度與外周丑乙
相應巽已應午已亦同
又如戊已辛角有未戊辰直線為之限知其為六十度
角以與外周未午辛之度相應也癸乙子三十度角應
子丑度亦然又庚已子鈍角有午夘庚直線為之限知
其為百五十度角以與外周午未已申寅子弧度相應
也壬乙辛百二十度角應戌乙辰夘辛弧亦然
論曰平儀有實度有視度有直線有弧線直線在平面
[009-43b]
皆實度也弧線在平面則惟外周為實度其餘皆視度
也實度有正形故可以量視度無正形故不可以量然
而亦可量者以有外周之實度與之相應也何以言之
曰平儀者渾體之晝影也置渾球于案自其頂視之則
惟外周三百六十度無改觀也其近内之弧度漸以側
立而其線漸縮而短離邉愈逺其側立之勢益髙其躋
縮愈甚至于正中且變為直線而與員徑齊觀矣此躋
縮之狀隨度之髙下而遷其數無紀故曰不可以量也
[009-44a]
然而以法量之則有不得而遁者以有距等圈之緯度為
之限也試横置渾球于案任依一緯度直切之則成側立之
距等圈矣此距等圈與中腰之大圈平行其相距之緯度等
故曰距等也其距既等則其圈踓小于大圈而其為三百六
十度者不殊也從此距等圈上逐度作經度之弧其距極
亦皆等特以側立之故各度之視度躋縮不同而皆小于
邉之真度其實與邉度並同無小大也特外周則眠體
而内線立體耳故曰不可量而可量者以有外周之度
[009-44b]
與之相應也此量弧度之法也弧度者緯度也量法/詳後
然則其量角度也奈何曰角度者乃經度也經度之數
皆在腰圍之夫圈此大圈者在平儀則變為直線不可
以量然而亦可以量者亦以外周之度與之相應也試
于平儀内任作一弧角
如乙已丙平員内作已丙戊角欲知其
度則引此弧線過横徑于戊而㑹于乙
則已戊弧即丙銳角之度戊壬弧即而
[009-45a]
鈍角之度也然已戊壬兩弧皆以視法變為平線又何
以量其度法于戊㸃作庚辛直線與乙丙直徑平行則
已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙銳角之度矣其餘
庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙鈍角之度矣故
曰不可量而實可量者以有外周之度與之相應也
然此法惟角旁弧度適足九十度如戊丙則其數明晣
若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角
者必有三邉如上所疏既以一邉就外周真度其餘二
[009-45b]
邉必與此一邉之兩端相遇于外周而成角此相遇之
兩㸃即餘兩弧起處法即從此起數借外周以求其度
而各循其度作距等横線乃視兩距等線交處而得餘
一角之所在遂補作餘兩弧而弧三角之形宛在平面
再以法量之則所求之角可得其度矣此量角度之法
也
今設乙丁丙弧三角形丁丙邉五十○度乙丙邉五十
五度乙丁邉六十○度而未知其角
[009-46a]
法先作戊巳庚丙平員
又作巳丙及戊庚縱横
兩徑任以丁丙邉之度
自直線之左從丙量至
丁得五十○度為丁丙
邉又自丙左右各數五
十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子線聯
之為五十五度之距等圈 又自丁作夘丁徑線自丁
[009-46b]
左右各數六十○度為癸丁及丑丁皆如乙丁之數亦
作丑癸線聨之為六十○度之距等圈 此兩距等線
相交于乙則乙㸃即為乙丙及乙丁兩邉相遇之處而
又為一角也 乃自乙角作乙丙及乙丁兩弧則乙丙
丁三角弧形宛然平面矣再以法量之則丁丙兩角亦
俱可知 欲知丙角即用辛子距等線以半線午子為
度以午為心作子酉辛半員句分一百八十度此辛子
徑上距等圈之真形也乃自乙㸃作直線與午丙徑平
[009-47a]
行截半員于酉乃從酉數至子得酉子若干度此即乙
丙丁銳角之度以減半周得酉辛若于度亦即乙丙辛
鈍角之度也 欲知丁角亦即用丑癸距等線以半線
辰癸為度辰為心作丑亥癸半員分一百八十度此亦
丑癸徑上距等圈之正形也乃自乙㸃作直線與辰夘
徑平行截半員于亥即從亥數至癸得亥癸若干度此
即乙丁丙鈍角之 度以減半周得亥丑若干度又即
乙丁丑鈍角之度也
[009-47b]
計開
丙角七十八度稍弱以算考之得七十/七度五十五分丁角六十七度
三分度之二以算考之得六十/七度三十九分
右量角度以圖代算欲得零分須再以算/法考之即知無誤
又設乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙邉一
百○○度有丁丙邉一百二十○度求丁乙邉對角/之邉
法先為巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字徑乃自丙
數至辛如所設丁丙邊一百二十○度自丙至子亦知
[009-48a]
之作辛十子線為一百
二十○度之距等圈
又以距等之半線辛午
為度午為心作辛酉子
半圈匀分一百八十度
乃自辛數至酉如所設
丙角六十度而自酉作酉丁直線與已甲徑平行至丁
遂如法作丁丙邉 又自丙數至乙如所設乙丙邉一
[009-48b]
百○○度又從乙過甲心至夘作大圈徑亦作寅壬横
徑乃補作丁乙邉乙丙丁三角弧/形宛然在目 又自丁作丑丁癸
距等線與寅壬平行未自乙數至癸得若干度即乙丁
之度
計開
丁乙線五十九度强以算考之得五/十九度○七分
右量弧度以圖代算若用規尺可免逐圈匀/分之度有例在後條
又若先有乙丁對角邉丁丙角旁邉有丙角而求乙丙
[009-49a]
角旁之邉仍借/前圏
法先作己戊丙員及十字徑線又以丁丙邉之度取丙
辛及丙子作辛子距等線又作子酉辛半員取辛酉角
度作酉丁直線遂從丁作丁丙邉皆如前 次以所設
丁乙邉五十九度倍之作一百十八度少于夲員周取
其通弦即距等線/癸丑之度乃以通弦線就丁㸃遷就游移使合
于外周而不離丁㸃成丑丁癸線即有所乘丑乙癸弧
乃以弧度折半于乙則乙丙外周之度即所求乙丙邉
[009-49b]
于是補作乙丁線成三角之象
又法以丁乙倍度之通弦丑/癸半之于辰乃從辰作夘甲
辰過心徑線即割大員周于乙而乙癸及乙丑之弧度
以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度餘如上
又若先有乙丙兩角及乙丙邉在兩角之中亦仍借/前圖
法先作己戊丙員及十字徑線皆如前乃自丙數至乙
截乙丙為所設之邉 次作丙角法于戊庚横徑如前
法求庚亥如所設丙角之度遂從亥㸃作弧如丙/亥己則丙
[009-50a]
角成矣 次作乙角法于乙㸃作乙甲夘徑亦作壬寅
横徑乃自寅至未如前法求寅未如所設乙角之度遂
從未㸃作弧如夘/未乙則乙鈍角亦成矣 兩弧線交于丁
角乃補作丑癸及辛子兩距等線則弧度皆得案此兩/弧線必
以雞子形作之方凖若丁㸃離/兩横徑不逺則所差亦不多也
再論平儀
凡平儀上弧線皆經度而直線皆緯度
惟外周經度亦可當緯度又最中長徑緯度亦為經度
[009-50b]
平儀上弧線皆在渾靣而直線皆在平靣
試以渾球從兩極中半濶處直切之如用極至交圏/為度以剖渾儀則
成平靣矣以此平面覆置于案而從中腰横切之如赤/道半
圏/則成横徑于平面矣如赤道/之徑又以此横徑為主離其
上下作平行線而横切之則皆成距等圏之徑線于平
面矣大横徑各距極九十度逐度皆可作距等圏即皆
有距等徑線在平面故曰皆緯度也此線既為距等圏
之徑則其徑上所乗之距等圏距極皆等即任指一㸃
[009-51a]
作弧度其去極度皆等故以為緯度之限也
若又别指一處為極如赤道極外又有黄道/極又如天頂亦為極則其對度
亦一極也亦可如前横切作横徑如黄道/之徑于平面其横
徑上下亦皆有九十度之距等圏與其徑線矣如黄道/亦有緯
度/故直線有相交之用也
凖此觀之渾球之外圏隨處可指為極即有對度之極
兩極相對則皆有直線為之軸軸上作横徑横徑上下
即皆有九十度之距等徑線而相交相錯其象千變而
[009-51b]
句股之形成比例之用生加減之法出矣如黄赤兩極/外又有天頂
地心之極而天頂地心/隨北極之髙下而變又此所用外周特渾球上經圏
之一耳若凖上法于球上各經圏皆平切之皆為大圏
則亦可隨處為極以生諸距等緯線而相交相錯之用
乃不可以億計矣如天頂地心既隨極出地度而異其/南北亦可因各地經度而異其東西
由是推之渾球上無一處不可為極故所求之㸃即極
也何以言之凡于球上任指一㸃即能于此㸃之上作
十字直線以㑹于所對之㸃而十字所分之角皆九十
[009-52a]
度即逐度可作線以㑹于對㸃而他線之極此㸃上線
皆能與之㑹故曰所求之㸃即極也
又論平儀
凡平儀上弧線皆經度也而弧有長短者則緯度也是
故弧線為經度而即能載緯度盖載緯度者必以經度
也若無經度則亦無緯度矣
平儀上直線皆緯度也而線有大小者則經度也是故
直線為緯度而即能載經度盖載經度者必以緯度也
[009-52b]
若無緯度則亦無經度矣所云直線指横徑及其/上下之距等徑而言
弧線能載緯度即又能分緯度之大小直線能載經度
即又能分經度之長短
假如平面作一弧引長之其兩端皆至外周則分此外
周為兩半員而各得百八十度即所作之弧亦百八十
度矣此百八十者皆緯度故曰能載緯度也而此平面
上所乘之半渾員其經度亦百八十而皆紀于腰圍之
緯圏若于腰圍緯圏上任指一經度作弧線必會於兩
[009-53a]
極而因此弧線割緯圏以成角度故又曰能分緯度也
不但此也若從此弧線之百八十度上任取一度作平
行距等緯圏其距等圏上所分之緯必小于腰圍之緯
圏而其所載距等圏之經度皆與角度等即近極最小
之緯圏亦然何以能然曰緯圏小則其度從之而小而
為兩弧線所限角度不變也故緯圏之大小弧度分之
也
然弧線之長短又皆以緯圏截之而成而緯圏必有徑
[009-53b]
在平面上與圏相應故曰直線能載經度即又能分經
度之長短也
復論平儀
平儀上直線弧線皆正形也問前論直線有正形弧線
躋縮無正形兹何以云皆正形曰躋縮者球上度也然
其在平靣則亦正形矣有中剖之半渾球于此覆而觀
之任于其緯度直切至平面則皆直線也而其切處則
皆距等圏之半員即皆載有經度一百八十也從此半
[009-54a]
員上任指一經度作直線下垂至平面直立如縣針則
距等圏度之正弦也若引此經度作弧以㑹于兩極則
此弧度上所載之緯度一百八十每度皆可作距等圏
即每度皆可作距等圏之正弦矣由是觀之此弧上一
百八十緯度既各帶有距等圏之正弦即皆能正立于
平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别
以側立之故而視為躋縮而平面上弧形非躋縮也故
曰皆正形也惟其為正形故可以量法御之也
[009-54b]
又
問平儀經緯之度近心濶而近邉狹何也曰渾員之形
從其外而觀之則成中凸之形其中心隆起處近目而
見大四周逺目而見小此視法一理也又中心之經緯
度平舖而其度舒故見大四周之經緯側立而其度垜
壘故見小此又視法一理也若以量法言之則近内之
經緯無均平之數數皆紀之于外周外周之度皆以距
等線為限而近中線之距等線以兩旁所用之弧度皆
[009-55a]
直過與横直線所荖少故其間闊近兩極之距等線則
其兩旁之弧度皆斜過與横直線縣殊故其間窄此
量法之理也固不能强而齊一之矣夫惟不能强而
齊故正弦之數以生八線由斯以出尺算比例之法
由斯可以量代算而測算之用遂可以坐天之内觀天
之外巳
取角度
又法
[009-55b]
設如巳戊丙庚員有子
辛距等緯線有所分丁
辛小緯線求其所載經
度以命所求之角丙/角
本法取距等半徑辛/午作
子酉辛半員從丁作酉
丁線乃紀酉辛之度為丁辛之度
今用㨗法徑于丁㸃作女丁壬線與巳甲徑平行再用
[009-56a]
距等半徑午/辛為度從甲心作虚半員截女壬線于亢即
從此引甲亢線至癸則數大圈庚癸之度為丁辛角度
即丙/角也
解曰試作氐亢房半員其亢甲牛徑既與午辛等則氐
亢房半員與辛酉子等而氐亢房半員又與大員同甲
心則庚癸之度與氐亢等即亦與酉辛等矣
又如先有丙角之度及辛子距等線而求丁㸃所在以
作丙丁弧
[009-56b]
法從大圈庚數至癸令庚癸如丙角之度即從癸向甲
心作癸甲線半/徑 次以距等之半徑辛午為度從甲心
作半員截癸甲半/徑于亢乃自亢作亢丁壬線截辛午於
丁即得丁㸃
用規尺法
設如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五
十度一十分有乙辛邉八十度求辛鋭角
如法依三邊各作圖法以十字剖平員自主線端辛數
[009-57a]
所設丁辛五十度竒至丁乃自
丁作徑線過已心又依所設丁
乙六十度自丁左數至婁右數
至丙皆六十度作丙婁線為距
等圈之徑又自辛依所設辛乙
八十度至房亦左至壬作房壬
距等徑線此兩距等線交於乙乃作乙丁及辛乙丙線
則三角形宛然在目今以量法求辛角
[009-57b]
法曰房甲距等半徑與乙甲分線若亢已半徑與辛角
之餘弦寅已
法以比例尺正弦線用規器取圖中房甲之度于半徑
九十度定尺再取乙甲度于本線求正弦等度得角之
餘度乃以所得餘度轉減象限命為辛角之度
依法得餘弦三十一度弱即得辛角為五十九度强
又法以房甲為度甲為心作房癸壬距等半圈又作乙
癸正弦與已辛平行如前以房甲度于正弦九十度定
[009-58a]
尺再以乙癸度取正弦度命為辛角度
又法作房癸線用分員線取房甲度于六十度定尺再
取房癸線于分員線求等度得數命為辛角之度更㨗
論曰既以房甲為半徑則乙癸即正弦乙甲即餘弦房
癸即分員皆距等圏上比例也其取角度與分半周度
而數房癸之度並同然量法較㨗
又求丁鈍角
法以丙危為度危為心作婁丑丙半員又作丑乙線當
[009-58b]
角之正弦則乙危當餘弦
乃取距等半徑丙危度于正弦線九十度定尺再取乙
危度求得正弦線等度命為鈍角之餘弦以所得加九
十度為丁鈍角度
依法得餘弦十二度太即得丁鈍角一百○二度太
或取丑乙線求正弦線上度命為鈍角之正弦以所得
減半周度餘為丁鈍角度兩法互用/相考更確
又法作婁丑分員線取丙危半徑于分員線六十度定
[009-59a]
尺而求婁丑分員之度分為丁鈍角亦可與正/弦法叅考
論曰兼用弦兩法分員線一法以相考理明數確然比
半周度之工尚為省力是故量㨗於算而尺更㨗矣
若兼作丙丑分員以所得度減半周亦同如此則分員
線亦有兩法合之正弦成四法矣
又論曰此條三邉求角前條有二邉一角求弧可互明
也故用圖亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可
也
[009-59b]
三極通幾
平員則有心渾員則有極如赤道以北辰為極而黄道
亦有黄極人所居又以天頂為極故曰三極也極云者
經緯度之所宗如赤道經緯悉宗北極而黄道經緯自
宗黄極地平上經緯又宗天頂亦如屋之有極為楹桷
宇梠楶梲之所宗也既有三極即有三種之經緯于是
有相交相割而成角度角之鋭端即兩線相交之㸃任
指一㸃而皆有三種經緯之度與之相應焉故可以黄
[009-60a]
道之經緯求赤道之經緯亦可以赤道之經緯求地平
上之經緯以地平求赤道以赤道求黄道亦然舉例如後
以黄道經緯求赤道經緯 已辰庚斜弧三角形
巳丁乙丙為極至交圈
巳為北極 丙甲丁為赤
道 庚為黄極 壬甲寅
為黄道 星在辰 辰庚
為黄極距星之緯 辰庚
[009-60b]
酉角為黄道經度 今求赤道經緯 法自辰作黄道
距等緯圈酉/辛又自辰作赤道距等緯圈戊/午即知此星辰/
在赤道之北其距緯戊丙或午/丁 次以赤道距等半徑
戊夘為度夘為心作午未戊半員又作未辰直線與已
甲平行則未戊弧即為赤道經度即戊巳/辰角
若先有赤道經緯而求黄道經緯亦同
以赤道經緯求地平經緯
巳子戊三角形三角/皆鋭
[009-61a]
戊壬庚辛為子午規 壬
辛為地平 戊為天頂
巳為北極 丁丙為赤道
星在子 子巳為星距
北極 巳角為星距午規
經度即緯圈上/丑子之距 求地平
上經緯 法自子作寅亥線與辛壬地平平行即知地
平上星之髙度亥辛或壬/寅 次作寅酉亥半員以亥寅/半線亥
[009-61b]
午為度/午為心又從子作酉子直線與戊甲天頂垂線平行即
子寅為星距午方之度為子戊寅角數酉至寅之弧即
得星在午左或午右之方位是為地平上之經度按此/圖為
星在夘酉線之北數酉辰若干度/即知其星距夘酉線若干度也 若先得地平上經
緯髙度為緯/方位為經而求赤道經緯星距赤道為緯距/午線時刻為經其理亦
同
以兩緯度求經度
巳子戊斜弧三角形
[009-62a]
假如北極髙三十度巳辛/髙
戊寅壬為午規 太陽
在子距赤道北十度其距/丑丁
或卯丙/緯度 子丑為太陽距
午線加時經度即子巳/丑角
寅壬為太陽髙度即亥/辛
求大陽所在之方 法以太陽髙度亥辛或/寅壬作亥寅地
平髙度緯線又以太陽距赤道緯丑丁/卯丙作丑卯赤道北
[009-62b]
緯線兩線相交于子乃以亥午為度午為心作亥酉寅
半員分百八/十度又自子作酉子直線與戊甲平行截半員
于酉則酉至寅之度即太陽所到方位離午正之度即/子
戊寅/外角 若求加時以北極赤緯線準此求之用子巳戊
角
求北極出地簡法可以出洋知其國土所當經緯西北/廣野亦然與地度弧角可以參用
不拘何日何時刻但有地平真髙度及真方位即可
得之
[009-63a]
法曰先以所測髙度及方
位如法作圖取作平儀上
太陽所在之㸃即地平經/緯交處
次查本日太陽在之道南
北緯度用作半徑于儀心
作一小員末自太陽所在
㸃作横線切小員而過引長之至邊此即赤緯通弦也
乃平分通弦作十字全徑過儀心即兩極之軸數其度
[009-63b]
得出地度
假如測得太陽在辰髙三十四度方位在正卯南三度
强而不知本地極髙但知本日太陽赤緯十九度今求
北極度
如法作圖安太陽于辰詳下/文 先作丙丁線為地平髙
度次用法自正東卯數正弦度至辰得近南三度為地
平經度或以丙卯為半徑作半/規取直應度分亦同次依本日太陽赤緯十
九度以員半徑取庚/甲十九度正弦為小員半徑作子庚小員末自太
[009-64a]
陽辰作横線戊壬切小員于庚乃自庚向甲心作大員
徑線已午則已即北極數己丑之度/為極出地度依法求得本地極
髙四十度
論曰此法最簡最真然必得正方案之法以測地平經
度始無錯誤
[009-64b]
厯算全書卷九
