[064-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十一
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷二
算例
三角形有三類
一曰句股形
即直角三邉形也有正方角一餘並銳角
[064-1b]
一曰銳角形
三角並銳
一曰鈍角形
三角内有鈍角一餘並銳角
以上三類總謂之三角形其算之各有術
[064-2a]
句股形第一術 有一角一邉求餘角餘邉
内分二支
一先有之邉為弦
一先有之邉為句或先有/股亦同
假如壬癸丁/句股形有丁角五十七度/壬丁弦九十一/
丈八尺/
求餘角餘邉
一求癸丁邉
[064-2b]
術曰以半徑全數比丁角之餘弦
若壬丁弦與癸丁句半徑即丁乙/餘弦即甲丁
以丁乙比甲丁/若壬丁比丁癸
一率原設/弦半徑 一○○○○○為法
二率原設/句丁角五十/七度餘弦 五四四六四相乘/
三率今有/弦壬丁邉 九十一丈八尺為實/
四率今所/求句癸丁邉 五十丈 法除實得所求
一求壬癸邉
[064-3a]
術曰以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一率原設/股半徑 一○○○○○ 為法
二率原設/股丁角五十/七度正弦 八三八六七 相乗/
三率今有/弦壬丁邉 九十一丈八尺 為實/
四率今所/求股壬癸邉 七十七丈 法除實得所求
一求壬角
以丁角五十七度/與象限九十度相減得餘三十三度
爲壬角
[064-3b]
計開
先有之三件
癸正方角九十/度 丁角五十/七度 壬丁弦九十一/丈八尺
今求得三件
癸丁旬五十/丈 壬癸股七十/七丈 壬角三十/三度
右例先得弦以求句股也是為句股形第一
術之第一支
[064-4a]
假如壬癸丁/句股形有丁角六十二度/癸丁句二十四/
丈/求餘角餘邉
一求壬角
以丁角六十二度/與象限相減得餘二十八度為壬角
戊丙丁句股形以戊丙切線為/股丙丁半徑為句戊丁割線為
弦是丁角/原有之線
今壬癸丁句股形既/同丁角則其比例等
一求壬丁邉
[064-4b]
術為以半徑比丁角之割線若癸丁句與壬丁弦
一原設/句半徑 一○○○○○ 為法
二原設/弦丁角六十/二度割線 二一三○○五 相乗/
三今有/句癸丁邉 二十四丈 為實/
四所求/弦壬丁邉 五十一丈二尺 法除實得所求
一求壬癸邉
術為以半徑比丁角之切線若癸丁句與壬癸股
一原設/句半徑 一○○○○○為法
[064-5a]
二原設/股丁角六十/二度切線 一八八○七三 相乗/
三今有/句癸丁邉 二十四丈 為實/
四所求/股壬癸邉 四十五丈一尺 法除實得所求
計開
先有之三件
癸正方角 丁角六十/二度 癸丁句二十/四丈
今求得三件
壬角二十/八度 壬丁弦五十一/丈一尺 壬癸股四十五/丈一尺
[064-5b]
右例先得句以求弦及股也或先得股以求
弦及句亦同是為句股形第一術之第二支
[064-6a]
句股形第二術 有邉求角
亦分二支
一先有二邉
一先不知正方角而有三邉新増/
假如壬癸丁/句股形有壬丁弦一百零二丈二尺/癸丁
句四十八丈/
求二角一邉
一求丁角
[064-6b]
術為以壬丁弦比癸丁句若半
徑乙丁與丁角之餘弦甲丁
一 壬丁邉 一百○二丈二尺 今有之弦為法
二 癸丁邉 四十八丈 今有之句相乘/
三 半徑 一○○○○○ 原設之弦為實/
四 丁角餘弦 四六九六六 法除實得所求原設句
依術求得丁角六十二度以所得餘弦/撿表即得
一求壬角
[064-7a]
以丁角六十二度/與象限相減得餘二十八度為壬角
一求壬癸邉
術為以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一 半徑 一○○○○○
二 丁角六十/二度正弦 八八二九五
三 壬丁邉 一百○二丈二尺
四 壬癸邉 九十丈○二尺三寸
計開
[064-7b]
先有之三件
壬丁弦一百○二/丈二尺 癸丁句四十/八丈 癸正方角
今求得三件
丁角六十/二度 壬角二十/八度 壬癸股九十丈○/二尺三寸
右例以邉求角而先知方角故只用二邉也
是為句股形第二術之第一支此先有二邉/為弦與句故
用正餘弦若先有者是句與股/則用切線其比例之理一也
[064-8a]
假如壬癸丁/三角形有壬丁邉一百○六丈/壬癸邉九/
十丈/癸丁邉五十六丈/求角
一求癸角
術以壬丁大邉與丁癸邉相加得一/
百六十二丈/為總又相減得五十/
丈/為較以較乗總得八千一百丈/
為實以壬癸邉九十丈/為法除之
仍得九十丈/與壬癸邉數等即知
[064-8b]
癸角為正方角
依術求得癸角為正方角定為句股形
一求丁角
術為以丁癸邉比壬癸邉若半徑與丁角之切線
一 丁癸句 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角切線 一六○七一四
[064-9a]
依術求得丁角五十八度○六分以所得切線/撿表即得
一求壬角
以丁角五十八度○六分/與象限相減得餘三十一度
五十四分為壬角
計開
先有三邉
壬丁邉一百零/六丈 壬癸邉九十/丈 癸丁邉五十/六丈
求得三角
[064-9b]
癸正方角 丁角五十八度/零六分 壬角三十一度/五十四分
右例亦以邉求角而先不知其為句股形故
兼用三邉是為句股形第二術之第二支
[064-10a]
銳角形第一術 有兩角一邉求餘角餘邉
假如乙丙丁/銳角形有丙角六十度/丁角五十度/丙丁
邉一百二十尺/
先求乙角
術以丙角六十度/丁角五十度/相
併得一百一十度/以減半周一百
八十度餘七十度為乙角
[064-10b]
次求乙丁邉
術為以乙角正弦比丙丁邉若丙角正弦與乙丁邉
一 乙角七十/度正弦 九三九六九
二 丙丁邉即乙角/對邉 一百二十尺
三 丙角六十/度正弦 八六六○三
四 乙丁邉即丙角/對邉 一百一十尺○六寸
次求乙丙邉
術為以乙角正弦比丙丁邉若丁角正弦與乙丙
[064-11a]
邉
一 乙角七十/度正弦 九三九六九
二 丙丁乙角/對邉 一百二十尺
三 丁角五十/度正弦 七六六○四
四 乙丙丁角/對邉 九十七尺八寸
計開
先有之三件
丙角六十/度 丁角五十/度 丙丁邉一百二/十尺
[064-11b]
今求得三件
乙角七十/度 乙丁邉一百一十/尺零六寸 乙丙邉九十七/尺八寸
右例先有之邉在兩角之間也若先有之邉
與一角相對亦同盖三角形有兩角即有第
三角故無兩法
[064-12a]
銳角形第二術 有一角兩邉求餘角餘邉
此分二支
一先有之角與一邉相對
一先有之角不與邉相對
假如甲乙丙/銳角形有丙角六十度/甲丙邉八千尺/甲
乙邉七千零三十四尺/
先求乙角
[064-12b]
術為以甲乙邉比甲丙邉若丙角
正弦與乙角正弦
一 甲乙丙角/對邉 七千○三十四尺
二 甲丙乙角/對邉 八千尺
三 丙角六十/度正弦 八六六○三
四 乙角 正弦 九八四九六
撿正弦表得乙角八十度○三分
[064-13a]
次求甲角
以丙角乙角相併得一百四十度○三分/以減半周餘
三十九度五十七分為甲角
次求乙丙邉
術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邉之
與乙丙邉
一 乙角八十度○/三分正弦 九八四九六
二 甲角三十九度/五十七分正弦 六四二一二
[064-13b]
三 甲丙乙角/對邉 八千尺
四 乙丙甲角/對邉 五千二百一十五尺
計開
先有之三件
丙角六十/度 甲丙邉八千/尺 乙甲邉七千○三/十四尺
今求得三件
乙角八十度/○三分 甲角三十九度/五十七分 乙丙邉五千二百/一十五尺
右例有兩邉一角而角與一邉相對是為銳
[064-14a]
角形第二術之第一支
[064-14b]
假如甲乙丙/銳角形有甲丙邉四百尺/乙丙邉二百六/
十一尺○八分/丙角六十度/ 角在兩邉之中不與邉
對求甲乙邉
先求中長線分為兩句股形
術為以半徑比丙角正弦若甲
丙邉與甲丁中長線
一 半徑 一○○○○○
[064-15a]
二 丙角六十/度正弦 ○八六六○三
三 甲丙邉 四百尺
四 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
次求丙丁邉即所分甲丁丙形之/句而甲丙為之弦
術為以半徑比丙角餘弦若甲丙邉與丙丁邉
一 半徑 一○○○○○
二 丙角六十/度餘弦 五○○○○
三 甲丙邉 四百尺
[064-15b]
四 丙丁邉 二百尺
次求乙丁邉即所分甲丁乙形之/句而甲丁為之股
以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁
次求丁甲乙分角即分形甲丁乙/句股之甲角
術為以甲丁中長線比乙丁分邉若半徑與甲分
角切線
一 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
二 乙丁分邉 六十一尺○八分
[064-16a]
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角切線 一七六三三
撿切線表得一十度為甲分角
末求甲乙邉
術為以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲
乙邉
一 半徑 一○○○○○
二 甲分角十度/割線 一○一五四三
[064-16b]
三 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分
求甲全角
以丙角六十度/之餘角三十度即分形甲丁/丙之甲分角與求到甲
分角一十度/相併得四十度為甲全角
求乙角
以甲分角一十度/減象限得八十度為乙角或併丙甲/二角减半
周亦/同
[064-17a]
計開
先有之三件
甲丙邉四百/尺 乙丙邉二百六十一/尺○八分 丙角六十/度
今求得三件
甲乙邉三百五十一/尺七寸五分 甲角四十/度 乙角八十/度
右例有兩邉一角而角在兩邉之中不與邉
對故用分形以取句股是為銳角形第二術
之第二支
[064-17b]
又術新増/ 用切線分外角
假如甲乙丙/銳角形有甲丙邉四百尺/乙丙邉二百六/
十一尺○八分/丙角六十度/ 此即前例但求甲角
術以甲丙/乙丙兩邉相併為總相減為
較又以丙角六十度/減半周得外
角一百二十度/半之得半外角六/
十度/撿其切線依三率法求得半
較角以減半外角得甲角
[064-18a]
一 兩邉總 六百六十一尺○八分
二 兩邉較 一百三十八尺九寸二分
三 半外角切線 一七三二○五
四 半較角切線 三六三九七
撿切線表得二十度/為半較角轉與半外角六十/
度/相減得甲角四十度
次求乙角
併甲丙二角共一百度/以減半周得餘八十度為乙角
[064-18b]
次求甲乙邉
一 甲角四十/度正弦 六四二七九
二 丙角六十/度正弦 八六六○三
三 乙丙邉 二百六十一尺○八分
四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分
[064-19a]
銳角形第三術 有三邉求角
假如甲乙丙/銳角形有乙丙邉二十丈/甲丙邉一十七/
丈五尺八寸五分/乙甲邉一十三丈○五寸/
術曰任以乙丙/大邉為底從甲角
作甲丁虚垂線至底分為兩句股
形
一甲丁丙形以甲丙邉為弦丁丙
為句
[064-19b]
一甲丁乙形以甲乙邉為弦丁乙為句
兩弦相併為總相減為較 兩句相併即乙丙/邉原數為句總
求兩句相減之數為句較
術為以句總比弦總若弦較與句較也
一 兩句之總即乙/丙 二十丈
二 兩弦之總 三十丈○六尺三寸五分
三 兩弦之較 四丈五尺三寸五分
四 兩句之較即丙/戊 六丈九尺四寸六分
[064-20a]
求分形之兩句
以句較六丈九尺/四寸六分減句總二十丈/即乙丙餘乙戊一十三丈○/五寸四分
半之得丁乙即戊/丁六丈五尺二寸七分為甲丁乙/分形
之句
又以戊丁六丈五尺/二寸七分加句較六丈九尺四寸/六分 即戊丙得丁丙一
十三丈四尺七寸三分為甲丁丙/分形之句
求丙角
術為以甲丙弦比丁丙句若半徑與丙角之餘弦
[064-20b]
一 甲丙邉 一十七丈五尺八寸五分
二 丁丙分邉 一十三丈四尺七寸三分
三 半徑 一○○○○○
四 丙角餘弦 七六六一六
撿餘弦表得丙角四十度
求甲角
術先求分形大半之甲角
以丙角四十度/減象限餘五十度為丁甲丙/分形之甲角
[064-21a]
次求分形小半之甲角
術為以甲乙弦比丁乙句若半徑與分形甲角之正弦
一 甲乙邉 一十三丈○五寸
二 丁乙分邉 六丈五尺二寸七分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角正弦 五○○一五
撿正弦表得三十度為丁甲乙/分形之甲角
併分形兩甲角先得五十度/後得三十度得共八十度為甲全角
[064-21b]
求乙角
倂丙甲二角共一百二十度/以減半周得餘六十度為乙角
計開
先有三邉
甲丙邉一十七丈五/尺八寸五分 乙丙邉二十/丈乙甲邉一十三丈/○五寸
求得三角
丙角四十/度 甲角八十/度 乙角六十/度
[064-22a]
鈍角形第一術 有兩角一邉求餘角餘邉
假如乙丙丁/鈍角形有丙角三十六度半/乙角二十四/
度/丁乙邉五十四丈/
先求丁角
術以丙乙二角併之共六十度半/
以減半周得餘一百一十九度半
為丁鈍角
[064-22b]
次求乙丙邉
術為以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邉與乙丙
邉
一 丙角三十六度/二十分正弦 五九四八二
二 丁角一百十九/度三十分正弦 八七○三六
三 乙丁邉 五十四丈
四 乙丙邉 七十九丈○一寸
右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度減
[064-23a]
半周用之凡鈍角並同
求丁丙邉
術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉與丁丙
邉
一 丙角三十六度/三十分正弦 五九四八二
二 乙角二十四度/正弦 四○六七四
三 乙丁邉 五十四丈
四 丁丙邉 三十六丈九尺二寸
[064-23b]
計開
先有之三件
丙角三十六/度半 乙角二十/四度 丁乙邉五十/四丈
今求得三件
丁鈍角一百一十/九度半 乙丙邉七十九丈/○一寸 丁丙邉三/十
六丈九/尺二寸
[064-24a]
鈍角形第二術 有一角兩邉求餘角餘邉
亦分二支
一先有對角之邉
一先有二邉皆角旁之邉而不對角
假如甲乙丙/鈍角形有乙角九十九度五十七分/甲丙
對邉四千尺/甲乙邉三千五百一十七尺/
求丙角
[064-24b]
術為以甲丙對邉比甲乙邉若
乙角正弦與丙角正弦
一 甲丙邉 四千尺
二 甲乙邉 三千五百一十七尺
三 乙角九十九度/五十七分正弦 九八四九六即八十度/三分正弦
四 丙角 正弦 八六六○三
撿表得丙角六十度
[064-25a]
求甲角
併乙丙二角共一百五十九度五十七分/以減半周得
餘二十度○三分為甲角
求乙丙邉
術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙對邉
與乙丙邉
一 乙角九十九度/五十七分正弦 九八四六九
二 甲角二十○度/三分正弦 三四二八四
[064-25b]
三 甲丙邉 四千尺
四 乙丙邉 一千三百九十二尺
計開
先有之三件
乙鈍角九十九度/五十七分 甲丙邉四千/尺 甲乙邉三千五/百一十
七/尺
今求得三件
丙角六十/度 甲角二十度/○三分 乙丙邉一千三百/九十二尺
[064-26a]
右例有兩邉一角而先有對角之邉是為鈍
角形第二術之第一支
[064-26b]
假如乙丁丙/鈍角形有乙丁邉一千零八十尺/乙丙邉
一千五百八十二尺/乙角二十四度/ 角在兩邉之中
不與邉對
術先求形外之虚垂線補成正方角
從不知之丙角作虚垂線於形外
如丙戊亦引乙丁線於形外如丁
戊兩虚線遇於戊成正方角
術為以半徑比乙角正弦若乙丙邉
[064-27a]
與丙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十/四度正弦 四○六七四
三 乙丙邉 一千五百八十二尺
四 丙戊邉即虚/垂線 六百四十三尺
又以半徑比乙角之餘弦若乙丙邉與乙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十/四度餘弦 九一三五五
[064-27b]
三 乙丙邉 一千五百八十二尺
四 乙戊邉即乙丁/引長線 一千四百四十五尺
以原邉乙丁一千○/八十尺與引長乙戊邉相減得丁戊
三百六/十五尺為形外所作虚句股形之句則先得丙戊/垂線為股而
原邉丁丙/為之弦
求丁丙邉
依句股求弦術以丙戊股自乗四十一萬三千/四百四十九尺丁戊句
自乗一十三萬三千/二百二十五尺併之得數五十四萬六千/六百七十四尺為實平
[064-28a]
方開之得弦七百三十九尺為丁丙邉
求丙角
術為以丁丙邉比丁乙邉若乙角正弦與丙角正
弦
一 丁丙邉 七百三十九尺
二 丁乙邉 一千○八十尺
三 乙角二十/四度正弦 四○六七四
四 丙角 正弦 五九四四二
[064-28b]
撿表得丙角三十六度二十九分
求丁角
併乙丙二角共六十度二十九分/以減半周得餘一百
一十九度三十一分為丁鈍角
計開
先有之三件
乙丁邉一千零/八十尺 乙丙邉一千五百/八十二尺 乙角二十/四度
今求得三件
[064-29a]
丁丙邉七百三/十九尺 丙角三十六度/二十九分 丁鈍角一百一/十九度
三十/一分
右例有兩邉一角而兩邉並在角之兩旁不
與角對是為鈍角形第二術之第二支
[064-29b]
又術新增/ 用切線分外角
假如乙丙丁/鈍角形有丁乙邉五百四十尺/丙乙邉七/
百九十一尺/乙角二十四度/ 角在兩邉之中不與邉對
求丙角
以丁乙/丙乙兩邉相併為總相減為較又以乙角二十/
[064-30a]
四度/減半周得外角一百五十六度/半之得半外
角七十八度/撿其切線得四七○四六三
術為以邉總比邉較若半外角切線與半較角切
線
一 兩邉之總 一千三百三十一尺
二 兩邉之較 二百五十一尺
三 半外角切線 四七○四六三
四 半較角切線 八八七一九
[064-30b]
撿表得半較角四十一度三十五分/以轉減半外
角七十八度/得餘三十六度二十五分為丙角
求丁角
併乙丙二角共六十度二十五分/以減半周得一百一
十九度三十五分為丁鈍角
求丁丙邉
術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉與丁丙
邉
[064-31a]
一 丙角三十六度/二十五分正弦 五九三六五
二 乙角二十四度/正弦 四○六七四
三 乙丁邉 五百四十尺
四 丁丙邉 三百六十九尺九寸八分
計開
先有之三件
丁乙邉五百四/十尺 丙乙邉七百九/十一尺 乙角二十/四度
今求得三件
[064-31b]
丙角三十六度/二十五分 丁鈍角一百一十九/度三十五分 丁丙邉三/百
六十九尺/九寸八分
[064-32a]
鈍角形第三術 有三邉求角新式/
假如乙丙丁/鈍角形有乙丙邉三百七十五尺/乙丁邉
六百○七尺/丁丙邉三百尺/
術自乙角作虚垂線至甲又引丁
丙線横出遇於甲而成正方角則
成乙甲丁句股形
又引横線至辛使甲辛如丙甲成
乙甲辛句股形則丁辛為兩句之
[064-32b]
總而所設丁丙邉為兩句之較
又乙丁邉為大形乙甲/丁之弦乙丙邉為小形乙甲/辛即
乙甲/丙之弦兩弦相併為總相減為較
術為以句較比弦較若弦總與句總
一 句較即丁/丙邉 三百尺
二 弦較即乙丁内减/乙丙之餘 二百三十二尺
三 弦總即乙丁乙丙/二邉相併 九百八十二尺
四 句總 七百五十九尺四寸
[064-33a]
以句較三百/尺減所得句總七百五十/九尺四寸餘數五百二/十九尺
四/寸為大形之句甲丁
求丁角用乙甲/丁大形
術為以乙丁弦比丁甲句若半徑與丁角之餘弦
一 乙丁弦 六百○七尺
二 甲丁句 五百二十九尺七寸
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘弦 八七二六五
[064-33b]
撿表得丁角二十九度一十四分
求丙角用乙甲/丙小形
術為以甲丙句比乙丙弦若半徑與丙角之割線
一 甲丙句 二百二十九尺七寸
二 乙丙弦 三百七十五尺
三 半徑 一○○○○○
四 丙角割線 一六三二五六
撿表得丙角五十二度一十四分/為本形之丙外
[064-34a]
角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分
求乙角
併丁丙二角所得度分共一百五十七度/以減半周得
餘二十三度為乙角
計開
先有三邉
乙丙邉三百七/十五尺 乙丁邉六百/七尺 丁丙邉三百/尺
求得三角
[064-34b]
丁角二十九度/一十四分 丙鈍角一百二十七/度四十六分 乙角二十/
三度/
右例鈍角形三邉求角作垂線於形外徑求
鈍角乃新式也若以大邉為底從鈍角分中
長線同銳角第三術
厯算全書卷五十一
