[004-1a] 
欽定四庫全書
律吕闡㣲卷三
婺源 江永 撰
律度
既得各律之率即可得各律之長律冇倍有正有半凡
三十六律用横黍尺百分者紀其尺寸分釐毫絲忽㣲
纎以為後算周徑幂積張本纎以下略之
倍律通長
黄鍾二尺
[004-1b]
大吕一尺八寸八分七釐七毫四絲八忽六㣲二纎
太蔟一尺七寸八分一釐七毫九絲七忽四㣲三纎
夾鍾一尺六寸八分一釐七毫九絲二忽八㣲三纎
姑洗一尺五寸八分七釐四毫○一忽○五纎
仲吕一尺四寸九分八釐三毫○七忽○七纎
蕤賔一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五㣲六纎
林鍾一尺三寸三分四釐八毫三絲九忽八㣲五纎
[004-2a]
夷則一尺二寸五分九釐九毫二絲一忽○四纎
南吕一尺一寸八分九釐二毫○七忽一㣲一纎
無射一尺一寸二分二釐四毫六絲二忽○四纎
應鍾一尺○五分九釐四毫六絲三忽○九纎
已上諸倍律如欲以次求之則以本律通長為實以
十億乘之以十億○五千九百四十六萬三千○九
十四除之得次律
正律通長
黄鍾一尺
[004-2b]
大吕九寸四分三釐八毫七絲四忽三㣲一纎
太蔟八寸九分○八毫九絲八忽七㣲一纎
夾鍾八寸四分○八毫九絲六忽四㣲一纎
姑洗七寸九分三釐七毫○○五㣲二纎
仲吕七寸四分九釐一毫五絲三忽五㣲三纎
蕤賔七寸○七釐一毫○六忽七㣲八纎
林鍾六寸六分七釐四毫一絲九忽九㣲二纎
[004-3a]
夷則六寸二分九釐九毫六絲 ○ 五㣲二纎
南吕五寸九分四釐六毫○三忽五㣲五纎
無射五寸六分一釐二毫三絲一忽○二纎
應鍾五寸二分九釐七毫三絲一忽五㣲四纎
已上諸正律如欲以次求之則以本律通長為實以
十億乗之以十億○五千九百四十六萬三千○九
十四除之得次律
半律通長
黄鍾五寸
[004-3b]
大吕四寸七分一釐九毫三絲七忽一㣲五纎
太蔟四寸四分五釐四毫四絲九忽三㣲五纎
夾鍾四寸二分○四毫四絲八忽二㣲○
姑洗三寸九分六釐八毫五絲二㣲六纎
仲吕三寸七分四釐五毫七絲六忽七㣲六纎
蕤賔三寸五分三釐五毫五絲三忽三㣲九纎
林鍾三寸三分三釐七毫○九忽九㣲六纎
[004-4a]
夷則三寸一分四釐九毫八絲○二㣲六纎
南吕二寸九分七釐三毫○一忽七㣲七纎
無射二寸八分○六毫一絲五忽五㣲一纎
應鍾二寸六分四釐八毫六絲五忽七㣲七纎
已上諸半律如欲以次求之則以本律通長為實以
十億乗之以十億○五千九百四十六萬三千○九
十四除之得次律應鍾半律以後再如法乘除得二寸五分為黄鍾半律之半
斜黍尺九寸每寸十分紀其尺寸分釐毫絲忽㣲纎
共二十四律載堉書止載十二正律今詳倍律蕤賔以後半律仲吕以前旋宫皆用之故共二十四律
[004-4b]
倍律長
蕤賔一尺二寸七分二釐七毫九絲二忽二㣲
林鍾一尺二寸○一釐三毫五絲五忽八㣲六纎
夷則一尺一寸三分三釐九毫二絲八忽九㣲四纎
南吕一尺○七分○二毫八絲六忽四㣲
無射一尺○一分○二毫一絲五忽八㣲四纎
應鍾九寸五分三釐五毫一絲六忽七㣲八纎
[004-5a]
已上諸倍律如欲以次求之則以本律為實以五億
乘之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七
除之得次律
正律長附舊律備考
黄鍾九寸舊同
大吕八寸四分九釐四毫八絲六忽八㣲八纎舊八寸四分二
釐八毫弱
太蔟八寸○一釐八毫○八忽八㣲四纎舊八寸
夾鍾七寸五分六釐八毫○六忽七㣲七纎舊七寸四分九釐二
[004-5b]
毫弱
姑洗七寸一分四釐三毫三絲○四㣲七纎舊七寸一分一釐一
毫强
仲吕六寸七分四釐二毫三絲八忽一㣲八纎舊六寸六分五
釐九毫强
蕤賔六寸三分六釐三毫九絲六忽一㣲○舊六寸三分二釐○
毫有竒
[004-6a]
林鍾六寸○○六毫七絲七忽九㣲三纎舊六寸
夷則五寸六分六釐九毫六絲四忽四㣲七纎舊五寸六分一
釐八毫强
南吕五寸三分五釐一毫四絲三忽二㣲○舊五寸三分三釐三
毫强
無射五寸○五釐一毫○七忽九㣲二纎舊四寸九分九釐四毫强
應鍾四寸七分六釐七毫五絲八忽三㣲九纎舊四寸七分四
釐○毫强
已上諸正律如欲以次求之則以本律為實以五億
[004-6b]
乗之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七
除之得次律
半律長附舊律備考
黄鍾四寸五分舊同
大吕四寸二分四釐七毫四絲三忽四㣲四纎舊四寸二分一
釐四毫强
太蔟四寸○○九毫○四忽四㣲二纎舊四寸
[004-7a]
夾鍾三寸七分八釐四毫○三忽三㣲八纎舊三寸七分四釐六
毫弱
姑洗三寸五分七釐一毫六絲五忽二㣲三纎舊三寸五分五
釐五毫强
仲吕三寸三分七釐一毫一絲九忽○九纎舊三寸三分二釐九
毫强
已上諸半律如欲以次求之則以本律為實以五億
乗之以五億二千九百七十三萬一千五百四十七
除之得次律諸倍律約十為九正律折半半律又折半得之甚易本不須乗除仍載乘除法
[004-7b]
者欲見句股乘除開方求出應鍾之率實為真率諸律相求皆以此為根用全用半無徃不通也
縱黍八十一分律依新法算惟算正律
黄鍾八寸一分
大吕七寸六分四釐五毫三絲八忽一㣲九纎
太蔟七寸二分一釐六毫二絲七忽九㣲六纎
夾鍾六寸八分一釐一毫二絲六忽○九纎
姑洗六寸四分二釐八毫九絲七忽四㣲二纎
[004-8a]
仲吕六寸○六釐八毫一絲四忽三㣲六纎
蕤賔五寸七分二釐七毫五絲六忽四㣲九纎
林鍾五寸四分○六毫一絲○一㣲四纎
夷則五寸一分○二毫六絲八忽○二纎
南吕四寸八分一釐六毫二絲八忽八㣲八纎
無射四寸五分四釐五毫九絲七忽一㣲二纎
應鍾四寸二分九釐○八絲二忽五㣲五纎
諸律如欲以次求之置本律之率以八十一億乗之
折半退位為實以五億二千九百七十三萬一千五
[004-8b]
百四十七除之得次律
縦黍八十一分作九寸律依新法算
例曰此法每寸九分每分九釐每釐九毫每毫九絲
每絲九忽每忽九㣲每㣲九纎皆以九為法故與十
不同
黄鍾九寸
大吕八寸四分四釐○六絲七忽四㣲五纎
[004-9a]
太蔟八寸○一釐四毫一絲六忽○八纎
夾鍾七寸五分一釐○一絲○七㣲四纎
姑洗七寸一分二釐五毫四絲二忽
仲吕六寸六分六釐一毫一絲六忽八㣲一纎
蕤賔六寸三分二釐四毫二絲八忽四㣲七纎
林鍾六寸○○四毫八絲四忽二㣲七纎
夷則五寸六分○二毫一絲四忽七㣲五纎
南吕五寸三分一釐四毫一絲六忽六㣲三纎
無射五寸○四釐一毫二絲一忽一㣲五纎
[004-9b]
應鍾四寸六分八釐一毫五絲一忽○五纎
黄鍾半律四寸四分四釐四毫四絲四忽四㣲四纎
朱載堉曰約十為九主意蓋為三分損益而設使歸
除無不盡數耳夫律吕之理循環無端而杪忽之數
歸除不盡此自然之理也因其天生自然不須人力
穿鑿以此算律何善如之歴代算律祇欲杪忽除之
有盡遂致律吕往而不返此乃顛倒之見非自然之
[004-10a]
理也是以新法不用三分損益不拘隔八相生然而
相生有序循環無端十二律吕一以貫之此蓋二千
餘年之所未有自我聖朝始也非學者所宜盡心焉
者乎
按古人算律亦非因杪忽欲除盡遂致律吕往而
不返也其根源自宫聲八十一徴聲五十四商聲
七十二羽聲四十八角聲六十四俱是三分損益
之數意其數為天生自然遂以此定律吕之長短
[004-10b]
不知其數仍有毫釐之差也天地之真數潛隠既
乆有時而洩故載堉能思得之耳
律體上
蔡氏律吕新書曰十二律圍徑自先漢以前傳記竝
無明文惟班志云黄鍾八百一十分繇此之義起十
二律之周徑然其説乃是以律之長自乗而因之以
十蓋配合為説耳未可以為據也惟審度章云一黍
之廣度之九十分黄鍾之長一為一分嘉量章則以
[004-11a]
千二百黍實其龠謹衡權章則以千二百黍為十二
銖則是累九十黍以為長積千二百黍以為廣可見
也夫長九十黍容千二百黍則空圍當有九方分乃
是圍十分三釐八毫徑三分四釐六毫也每一分容
十三黍又三分黍之一以九十因之則一千二百也
蓋十其廣之分以為長十一其長之分以為廣自然
之數也又曰夫律以空圍之同故其長短之異可以
定聲之高下孟康不察乃謂凡律圍徑不同各以圍
乘長而得此數者蓋未之考也孟康曰林鍾長六寸圍六分以圍乘長得
[004-11b]
積三百六十分太蔟長八寸圍八分為積六百四十分
朱載堉曰舊律圍徑皆同而新律各不同禮記註䟽曰
凡律空圍九分月令章句曰圍數無増減及隋志安豐
王等説皆不足取也故著此論論曰琴瑟不獨徽柱之
有逺近而弦亦有巨細焉笙竽不獨管孔之有高低而
簧亦有厚薄焉弦之巨細若一但以徽柱逺近别之不
可也簧之厚薄若一但以管孔高低别之不可也譬諸
[004-12a]
律管雖有修短之不齊亦有廣狹之不等先儒以
為長短雖異圍徑皆同此未達之論也今若不信
以竹或筆管製黄鍾之律一様二枚截其一枚分
作兩段全律半律各令一人吹之聲必不同合矣
此昭然可騐也又製大吕之律一様二枚周徑與
黄鍾同截其一枚分作兩段全律半律各令一人
吹之則亦不相合而大吕半律乃與黄鍾全律相
合略差不逺是知所謂半律者皆下全律一律矣大
抵管長則氣隘隘則雖長而反清管短則氣寛寛則雖
[004-12b]
短而反濁此自然之理先儒未達也要之長短廣狹皆
有一定之理一定之數在焉置黄鍾倍律九而一以為
外周用弦求句股術得其内周又置倍律四十而一以
為内徑用句股求弦術得其外徑蓋律管兩端形如環
田有内外周徑焉外周内容之方即内徑也内周外射
之斜即外徑也方圓相容天地之象理數之妙者也黄
鍾通長八十一分者内周九分是為八十一中之九即
[004-13a]
約分法九分中之一也若約黄鍾八十一分作為九寸
則其内周當云一寸舊以九十分為黄鍾而云空圍九
分者誤也况又穿鑿指為面羃九方分則誤益甚矣
按載堉此論亦二千年來所未有者也漢志之説孟
康之釋推其誤有數端黄鍾約十為九内周當云一
寸而云圍九分其誤一圍九分則徑不及三分徑三
分則圍不啻九分而云徑三分圍九分乃徑一圍三
之謬法其誤二諸律以長乗者乃是乗黄鍾之面
幂退位以為本律之面幂非乘其圍分也而云以圍
[004-13b]
乗長其誤三既乗得本律之面幂再以本律之長乘
之乃得本律之積而云以圍乗長即得積其誤四牽
於九六八之數附㑹天地人其誤五劉歆班固孟康
雖有此數誤然猶曰繇此之義起十二律之周徑則
十二律各有周徑其説猶近是也迨漢末諸儒鄭氏
蔡氏之説出乃斷以為凡律圍九分無増減此説遂
牢不可破矣夫使圍徑皆同但以長短别高下則彈
[004-14a]
琴者惟按徽取聲而七弦之粗細同散聲同可乎不
可乎凡圓中容積與方中容積同理試使有方田百
畝其方折半則中容必是二十五畝斷非五十畝故
黄鍾半律必殺小其圍徑截為兩段則與蕤賔同其
容積非半黄鍾矣此理若不抉破後之造律制樂者
雖使製得黄鍾真律大吕以下皆非其律况未必真
得黄鍾乎人知黄鍾中聲之難求不知大吕以下諸
律正未易製黄鍾大吕惟人所命若舊説不破何
[004-14b]
以得真黄鍾真大吕哉惟我
聖祖仁皇帝誨諭臣工之學律者特發線與線體與體之比
例不同一條正所以破前人圍徑皆同之謬説也其
言加減八倍而後應者借立方體積相去八倍言之
若律管容積加減四倍即應也載堉云長短廣狹皆
有一定之理一定之數此語誠然先儒算學不精格
物未至是以前志之猶近是者不能發明後人之立
謬説者遂為蔽惑耳
[004-15a]
載堉言置黄鍾倍律九而一以為外周用弦求句股
術得其内周此算術仍未精宻後詳考訂正之算律
須求真數不可有毫釐之差也
新書言空圍當有九方分非也昔人明言周言圍不
得以周圍為方幂如言方幂則黄鍾不得有九方分
新法算黄鍾面幂九分八釐一毫七絲有竒者横黍
尺之分釐毫絲也以斜黍九十分者約之只得八分
八釐三毫五絲有竒耳其云圍十分三釐八毫徑三
分四釐六毫者圍三徑一之謬法也如圍十分三釐
[004-15b]
八毫則徑只有三分三釐二毫如徑三分四釐六毫
則圍有十一分零七毫有竒矣又以徑自乘為方積
四分取三為圓積以求合於九方分此又圓田求積
之粗率不可用之以算律管也夫徑三分四釐六毫
者安定胡瑗之律也因律太短不能容千二百黍故
擴其圍徑以就之當時用上黨羊頭山黍以三等篩
篩之而取其中則黍亦可遷就矣要之黍非真黍律
[004-16a]
非真律而算亦非真算蔡氏猶仍其誤豈古人有宻
率載在史志者竟未嘗深究耶
周徑幂積密率
按平圓周徑幂積可互相求舊云周三徑一又以方
積四分之三為圓積皆疎舛之率不可承用者也欲
算各律之外周内周外徑内徑及空圍内之面幂實
積須求最宻之率方凖古之算家祖冲之為最其割
圓之法用綴術漸次求之得其周徑之率攷之隋書
律志祖氏原有三率一云徑七周二十二者約率也
[004-16b]
一云徑一百一十三周三百五十五者密率也然約
率則强宻率猶稍弱仍有最宻之率則徑一周三一
四一五九二六五是也葢三一四一五九二七為贏
限三一四一五九二六為朒限正數在贏朒二限之
間末位約之為五三一四一五九二六五共得九位
亦可以為算周徑之用矣周徑相乘得七八五三九
八一六二五為平幂或以半徑乘半周亦得平幂
[004-17a]
此最宻之率也試借西人八線表驗之
西人分周天為三百六十度一度又析為六十分是
分大圓為二萬一千六百邊也八線各有相當正弦
與餘割相乗與半徑全數自乘等積查表一分之餘
割線三四三七七四六八二因此求得一分之正弦
二九○八八八二○四五○一以二萬一千六百折
半為一萬○八百乗之得三一四一五九二六○八
六一八正弦是直線圓周是曲線幾與之等而曲
者必稍贏是以比圓周稍朒焉故徑一則周三一四
[004-17b]
一五九二六五為最宻之率宜用之
朱載堉宻率法云圓周四十容方九句股求弦數可
知遂以此為求徑率求周求積亦如之謂圓周四十
寸者内容方九寸九寸各自乘併得一百六十二寸
開方得斜弦為圓徑也今按此法猶未宻正法圓周
三一四一五九二六五内容方七○七一○六七八一
葢圓周四十則容方不啻九若容方九則圓周不及
[004-18a]
四十載堉以此率求諸律周徑幂積惟徑無差若周
幂積四位以後稍有嬴餘不得為真數矣數不真確
不可載之於書故今依祖氏法推算
先求三十六律通長真數
載堉云黄鍾倍律通長二尺容黍二合稱重二兩律
度量衡無非倍者此自然全數也故算法皆從倍律
起若夫正律於度雖足於量於衡則皆不足祇容半
合祇重半兩比諸倍律似非自然全數故算法不從
正律起亦不從半律起倍律正律半律各有十二
[004-18b]
共為三十六律
按諸律通長已見前篇其以次迭求之法已見第二
卷兹不再述
次求三十六律外徑内徑
按載堉之法先求周今易之先求徑六陽律之外内
徑有與他律通長相應退一位即得者不必求退一
位者十分之一也開列如左
[004-19a]
蕤賔正律通長退一位即黄鍾倍律外徑
林鍾正律通長退一位即太蔟倍律外徑
夷則正律通長退一位即姑洗倍律外徑
南吕正律通長退一位即蕤賔倍律外徑
無射正律通長退一位即夷則倍律外徑
應鍾正律通長退一位即無射倍律外徑
黄鍾半律通長退一位即黄鍾倍律内徑正律外徑
大吕半律通長退一位即太蔟倍律内徑正律外徑
太蔟半律通長退一位即姑洗倍律内徑正律外徑
[004-19b]
夾鍾半律通長退一位即蕤賔倍律内徑正律外徑
姑洗半律通長退一位即夷則倍律内徑正律外徑
仲吕半律通長退一位即無射倍律内徑正律外徑
蕤賔半律通長退一位即黄鍾正律内徑半律外徑
林鍾半律通長退一位即太蔟正律内徑半律外徑
夷則半律通長退一位即姑洗正律内徑半律外徑
南吕半律通長退一位即蕤賔正律内徑半律外徑
[004-20a]
無射半律通長退一位即夷則正律内徑半律外徑
應鍾半律通長退一位即無射正律内徑半律外徑
凡倍律内徑折半即半律内徑
凡六隂吕以陽律之徑分為實以十億乗之以十億
○二千九百三十萬○二千二百三十六除之即得
本吕之徑隂吕求陽律亦倣此十億○二千九百三
十萬有竒之數者應鍾倍律外徑五一四六五一一
一八三二一七四六○進位倍數也
次求三十六律外周内周
[004-20b]
以本律之徑乗三一四一五九二六五以十除之得
周
如迭求之以本律之周為實以十億乘之以十億○
二千九百三十萬○二千二百三十六除之得次律
之周
倍律外周折半即正律内周半律外周
倍律内周正律外周折半即半律内周
[004-21a]
次求三十六律面幂
以本律之周徑相乘為實以四歸之或以半周半徑
相乗皆得面幂
如迭求之以本律之面幂為實以十億乘之以十億
○五千九百四十六萬三千○九十四除之得次律
之面幂
倍律面幂折半即正律之面幂正律面幂折半即半
律之面幂
置七八五三九八一六二五以四除之得倍律黄鍾
[004-21b]
面幂各以正律通長乘之得各倍律之面幂
置七八五三九八一六二五以八除之得正律黄鍾
面幂各以倍律面幂折半得各正律之面幂
置七八五三九八一六二五以一十六除之得半律
黄鍾面幂各以正律面幂折半得各半律之面幂
次求三十六律實積
各律以通長乘本律面幂再以通長乘所得即本律
[004-22a]
實積
如欲以次求之置本律實積為實以十兆乗之以十一
兆二千二百四十六萬二千○四十八億三千○九十
三萬七千二百九十八除之得次律實積
倍律實積四歸之得正律實積正律實積四歸之得
半律實積
黄鍾倍律面幂進一位即蕤賔倍律之實積倍之即
黄鍾倍律之實積
太蔟倍律面幂進一位即林鍾倍律之實積倍之即
[004-22b]
大吕倍律之實積
姑洗倍律面幂進一位即夷則倍律之實積倍之即
太蔟倍律之實積
蕤賔倍律面幂進一位即南吕倍律之實積倍之即
夾鍾倍律之實積
夷則倍律面幂進一位即無射倍律之實積倍之即
姑洗倍律之實積
[004-23a]
無射倍律面幂進一位即應鍾倍律之實積倍之即
仲吕倍律之實積
黄鍾正律面幂進一位即黄鍾正律之實積半之即
蕤賔正律之實積
太蔟正律面幂進一位即大吕正律之實積半之即
林鍾正律之實積
姑洗正律面幂進一位即太蔟正律之實積半之即
夷則正律之實積
蕤賔正律面幂進一位即夾鍾正律之實積半之即
[004-23b]
南吕正律之實積
夷則正律面幂進一位即姑洗正律之實積半之即
無射正律之實積
無射正律面幂進一位即仲吕正律之實積半之即
應鍾正律之實積
已上諸律有相應處可見一氣貫通之妙載堉未言
今推之如此學者宜深玩之
[004-24a]
律管長短廣狹自然之理數河圖已顯其象象數篇
詳之
[004-24b]
律吕闡㣲卷三
