[044-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十九
末部九
比例規解平分線/分體線 分面線/更體線 更面線/五金線
[044-2a]
比例規解
比例尺代算凡㸃線面體乘除開方皆可以規度而
得然於畫圖製器尤所必需誠算器之至善者焉究
其立法之原總不越乎同式三角形之比例葢同式
三角形其各角各邊皆為相當之率今張尺之兩股
為三角形之兩腰其尺末相距即三角形之底遂成
兩邊相等之三角形於中任截兩邊相等之各三角
形則其各腰之比例必與各底之比例相當也一曰
[044-2b]
平分線以御三率一曰分面線一曰更面線以御面
羃一曰分體線一曰更體線以御體積一曰五金線
以御輕重一曰分圓線一曰正弦線一曰正切線一
曰正割線以御測量併製平儀諸器凡此十線或總
歸一器或分為數體任意為之無所不可今將各線
之分法及用法併著於篇此外又有假數尺即用對
數及正弦割切諸線之對數為之用於三率比例測
量尤為簡捷亦詳其法於後
[044-3a]
平分線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線依幾何原本十二卷十九節之
法將甲乙甲丙二線俱平分為二百分
即為平分線也尺之長短任意為之尺
短則平分一百分尺長則平分四五百
分或一千分亦可分愈多而用愈便也
設如一丁戊線欲加五倍問得幾何
[044-3b]
法以比例尺平分線第十分之己庚二
㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平
分線第五十分之辛壬二㸃相離之度
作丁癸線即丁戊線之五倍也葢十分
之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等
之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為
底又五十分之㸃為辛與壬而甲辛壬
為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰
辛壬相距為底此兩三角形為同式形
[044-3b]
故甲庚與己庚之比同於甲壬與辛壬
[044-4a]
之比而甲庚與甲壬之比亦同於己庚
與辛壬之比甲壬既為甲庚之五倍則
辛壬必為己庚之五倍而丁癸亦為丁
戊之五倍可知矣若欲將丁戊線加十
五倍則仍以丁戊線度於十分上定尺
取平分線第一百五十分之子丑二㸃
相離之度作寅卯線即為丁戊線之十
五倍也若欲將丁戊線加三分之二則
[044-4b]
將平分線第三十分之辰巳二㸃依丁
戊線度展開勿令移動而取平分線第
五十分之午未二㸃相離之度作申酉
線即為丁戊線加三分之二也以丁戊/線為三
分而加二分共得五分因三與五之㸃/近樞難用故用三十與五十其比例同
也/若有丁癸丁戊二線欲定其比例之
分數則將平分線第一百分之戌亥二
㸃依丁癸線度展開勿令移動次取丁
戊線度尋至平分線第二十分之乾坎
[044-4b]
二㸃其相離之度恰符即定為一百分
[044-5a]
之二十約為五分之一即丁癸丁戊兩
線之比例也要之用尺之法不外於三
率求四率如以一率為腰二率為底而
定尺則三率復為腰而其底即四率也
以一率為腰三率為底而定尺則二率
復為腰而其底亦即四率也若以一率
為底二率為腰而定尺則三率復為底
而其腰則四率也諸線之用雖各不同
[044-5b]
其比例之理則一也
設如一丁戊線欲分為六分問每分幾何
法以比例尺平分線第六十分之己庚
二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取
平分線第十分之辛壬二㸃相離之度
截丁戊線於癸則丁癸即丁戊線六分
之一也葢六十分之㸃為己與庚而甲
己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚
為腰己庚相距為底又十分之㸃為辛
[044-5b]
與壬而甲辛壬亦為兩邊相等之三角
[044-6a]
形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩
三角形為同式形則甲庚與甲壬之比
同於己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚
六分之一則辛壬必為己庚六分之一
而丁癸亦為丁戊線六分之一可知矣
若欲分丁戊線為七分則將平分線第
七十分之子丑二㸃依丁戊線度展開
勿令移動次取平分線第十分之辛壬
[044-6b]
二㸃相離之度截丁戊線於寅則丁寅
即丁戊線七分之一也又若丁戊線欲
取七分之三則仍以丁戊線度於七十
分上定尺而取平分線第三十分之卯
辰二㸃相離之度截丁戊線於己則丁
己即丁戊線七分之三也
設如有十三人每人給銀七兩問其銀幾何
法以比例尺平分線第十分之丁戊二
㸃依分釐尺七釐之度展開勿令移動
[044-6b]
次取平分線第一百三十分之己庚二
[044-7a]
㸃相離之度於分釐尺上量之得九分
一釐即得共銀為九十一兩也葢十分
之㸃為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等
之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為
底又一百三十分之㸃為己與庚而甲
己庚亦為兩邊相等之三角形甲己甲
庚為腰己庚相距為底此兩三角形為
同式形故甲戊十分與甲庚一百三十
[044-7b]
分之比同於丁戊七釐與己庚九分一
釐之比也又以十分當一人故以一百
三十分當十三人以七釐當七兩故九
分一釐即為九十一兩葢十分與一人
之比同於一百三十分與十三人之比
而七釐與七兩之比亦同於九分一釐
與九十一兩之比也
設如每官一員每月給公費錢二千二百文共給錢
八千八百文問官員幾何
[044-7b]
法以比例尺平分線第二十二分之丁
[044-8a]
戊二㸃依分釐尺一分之度展開勿令
移動次取平分線第八十八分之己庚
二㸃相離之度於分釐尺上量之得四
分即得官四員也葢二十二分之㸃為
丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角
形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又八
十八分之㸃為己與庚而甲己庚為兩
邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚
[044-8b]
相距為底此兩三角形為同式形故甲
戊二十二分與甲庚八十八分之比同
於丁戊一分與己庚四分之比也又以
二十二分當錢二千二百故以八十八
分當錢八千八百以一分當官一員故
四分即為官四員葢二十二分與二千
二百之比同於八十八分與八千八百
之比而一分與一員之比亦同於四分
與四員之比也
[044-8b]
設如原有粟五斗易布二疋今有粟三石問易布幾
[044-9a]
何
法以比例尺平分線第二十分之丁戊
二㸃四倍五斗之數因五分近/樞難用故用四倍之數也依分釐
尺二分之度展開勿令移動次取平分
線第一百二十分之己庚二㸃相離之
度四倍三石之數三石為三十/斗故四倍之得一百二十也於分釐
尺上量之得一寸二分即得布十二疋
也葢二十分之㸃為丁與戊一百二十
[044-9b]
分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚
為同式兩三角形故甲戊二十分與甲
庚一百二十分之比同於丁戊二分與
己庚一寸二分之比也又以二十分當
五斗為四倍之數故以一百二十分當
三石亦為四倍之數以二分當二疋故
一寸二分即為十二疋葢二十分與五
斗之比同於一百二十分與三石之比
而二分與二疋之比亦同於一寸二分
[044-9b]
與十二疋之比也
[044-10a]
設如有二十七及十八之兩數問其相連比例之三
數幾何
法以比例尺平分線第二十七分之丁
戊二㸃依分釐尺一分八釐之度展開
勿令移動次取平分線第十八分之己
庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得
一分二釐即相連比例之第三數為十
二也葢二十七分之㸃為丁與戊十八
[044-10b]
分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚
為同式三角形故甲戊二十七與甲庚
十八之比同於丁戊十八與己庚十二
之比也丁戊與甲庚既同為十八即連
比例之中率則己庚十二為連比例之
第三率無疑矣
設如有勾五尺股十二尺問弦幾何
法以比例尺平分線甲丁四十分甲戊
三十分之丁戊二㸃依本線五十分之
[044-10b]
度展開勿令移動次取平分線甲庚五
[044-11a]
十分當勾/數甲己一百二十分當股/數之己
庚二㸃相離之度於本線上量之為一
百三十分即得弦十三尺也葢勾三股
四弦五為勾股弦之定數今以甲戊三
十甲丁四十為兩腰而丁戊五十為底
則其兩腰相交之甲角必為直角故以
今有之勾股數為兩腰而取其底即為
所求之弦數也若有勾五尺有弦十三
[044-11b]
尺而求股則取本線一百三十分之度
自五十分之庚㸃尋至一百二十分之
己㸃其相離之度恰符即得股十二尺
矣
設如有圓徑三十五寸問圓周幾何
法以比例尺平分線第二十一分之丁
戊二㸃徑率七之三倍也因七/分近樞故用三倍之數依分釐
尺三分五釐之度展開勿令移動次取
平分線第六十六分之己庚二㸃相離
[044-11b]
之度周率二十二之三倍也因徑/率用三倍故周率亦三倍之於分
[044-12a]
釐尺上量之得一寸一分即一百一十
寸為所求之圓周也葢二十一分之㸃
為丁與戊六十六分之㸃為己與庚而
甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲
戊二十一與丁戊三分五釐之比同於
甲庚六十六與己庚一寸一分之比而
甲戊與甲庚既為徑與周之比例則丁
戊與己庚亦必為徑與周之比例矣又
[044-12b]
甲戊為徑率之三倍故甲庚亦用周率
之三倍而丁戊以一釐當一寸故己庚
亦以一釐當一寸其比例俱相當也
[044-13a]
分面線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線依幾何原本十二卷二十一節
之法分之即為分面線也或設正方面
界一百釐其積數一萬釐以二因之得
二萬釐開平方得一百四十一釐為積
二萬釐之根又以三因之得三萬釐開
平方得一百七十三釐為積三萬釐之
[044-13b]
根照此屢倍積數開平方將所得之數
於分釐尺上取其度按度截比例尺之
甲乙甲丙二線即成分面線也
設如有甲乙丙三正方形甲形每邊一寸其積數之
比例甲為一分乙為六分丙為九分今欲作一大
正方形與甲乙丙三正方形之積等問其邊幾何
法以比例尺分面線第一分之兩㸃因/甲
方之積為一分/故用一分也依甲正方形每邊一寸
之度展開勿令移動乃併三正方面積
[044-13b]
共十六分即取分面線第十六分兩㸃
[044-14a]
相距之度於分釐尺上量之得四寸即
所求大正方形之每一邊用其度作正
方形其積與甲乙丙三正方形之共積
等也葢十六分所作正方形原比一分
所作正方形大十六倍則十六分相距
之度所作正方形亦必比一分相距之
度所作正方形大十六倍矣一分相距
之度即甲正方形之一邊其積為一分
[044-14b]
則以十六分相距之度所作正方形其
積必為十六分與三正方形之共積相
等也
設如有大小等邊三角形小形每邊一寸大形每邊
四寸今欲將兩面積相減取其餘積作同式等邊
三角形問其邊幾何
法以比例尺分面線第一分之兩㸃依
小形每邊一寸之度展開勿令移動次
以大形每邊四寸之度於分面線上尋
[044-14b]
至第十六分之兩㸃其相距之度恰合
[044-15a]
即大形與小形之比例為十六與一相
減餘十五為較積即取分面線第十五
分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得
三寸八分七釐即較形之每一邊也葢
大小同式多邊形之比例同於相當界
所作正方形之比例見幾何原本/八卷第九節今十
六分所作正方形與一分所作正方形
之比例為十六與一則十六分相距之
[044-15b]
度所作正方形與一分相距之度所作
正方形之比例亦為十六與一矣夫大
小兩距度即大小兩三角形之相當界
其所作兩正方形之比例既為十六與
一則大小兩三角形之比例亦必為十
六與一矣既得兩形之比例乃相減以
得較既得較積之比例復用積以求邊
即得所求之邊數也
設如有五等邊形每邊二尺欲三倍其積作同式五
[044-15b]
等邊形問其每邊幾何
[044-16a]
法以比例尺分面線第一分之兩㸃依
分釐尺二寸之度展開勿令移動次取
第三分兩㸃相距之度於分釐尺上量
之得三寸四分五釐即三尺四寸五分
為所求大形之每一邊用其度作五等
邊形其積與原形之三倍等也葢大小
同式形之比例同於相當界所作正方
形之比例見幾何原本/八巻第九節今一分所作正
[044-16b]
方形與三分所作正方形之比例為一
與三則一分相距之度所作正方形與
三分相距之度所作正方形之比例亦
必為一與三矣夫一分相距之度即原
形之界則以三分相距之度為大形之
界其積為原形之三倍可知矣又以二
寸當原形之邊二尺故三寸四分五釐
即為三尺四寸五分也
設如有六等邊形每邊三尺欲取其積四分之三作
[044-16b]
同式六等邊形問其每邊幾何
[044-17a]
法以比例尺分面線第四分之兩㸃依
分釐尺三寸之度展開勿令移動次取
分面線第三分兩㸃相距之度於分釐
尺上量之得二寸六分即二尺六寸為
所求小形之每一邊用其度作六邊形
其積即為原形四分之三也葢大小同
式形之比例同於相當界所作正方形
之比例今四分所作正方形與三分所
[044-17b]
作正方形之比例為四與三則四分相
距之度所作正方形與三分相距之度
所作正方形之比例亦必為四與三矣
夫四分相距之度即原形之界則以三
分相距之度為小形之界其積為原形
四分之三可知矣又以三寸當原形之
邊三尺故二寸六分即為二尺六寸也
設如有三率相連比例數首率二尺末率八尺問中
率幾何
[044-17b]
法以比例尺分面線第二分之兩㸃依
[044-18a]
分釐尺二寸之度展開勿令移動次取
分面線第八分兩㸃相距之度於分釐
尺上量之得四寸即四尺為相連比例
之中率也葢相連比例三率其首率所
作正方形與中率所作正方形之比同
於首率與末率之比今首率為二尺末
率為八尺則首率所作正方形與中率
所作正方形之比例即如二與八之比
[044-18b]
例故以二分相距之度為首率之數則
八分相距之度必為中率之數可知矣
又首率用二寸當二尺故中率四寸即
為四尺也
設如有正方面積一千六百尺問每一邊幾何
法以比例尺分面線第一分之兩㸃依
分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以
一寸之十分作十尺自乘得一百尺與
積數一千六百尺相較其比例如一與
[044-18b]
十六即取分面線第十六分兩㸃相距
[044-19a]
之度於分釐尺上量之得四寸即四十
尺為所求正方之每一邊也葢一分之
積既為一百尺則十六分之積必為一
千六百尺而一分相距之度既為方積
一百尺之每一邊則十六分相距之度
必為方積一千六百尺之每一邊矣又
以一寸當十尺故四寸即為四十尺也
設如有正方面積九千零二十五尺問每一邊幾何
[044-19b]
法以比例尺分面線第一百分之兩㸃
依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃
以一寸之一百釐作一百尺自乘得一
萬尺與積數九千零二十五尺相較其
比例如一百與九十有餘即取分面線
第九十分有餘相距之度於分釐尺上
量之得九分五釐即九十五尺為所求
正方之每一邊也葢一百分之積既為
一萬尺則九十分有餘之積必為九千
[044-19b]
餘尺而一百分相距之度既為方積一
[044-20a]
萬尺之每一邊則九十分有餘相距之
度必為方積九千餘尺之每一邊矣又
以一寸當一百尺故九分五釐即為九
十五尺也
[044-21a]
更面線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線設積數一億用面部内面積相
等邊線不同之定率比例得各形之邊
線其方邊一萬圜徑一萬一千二百八
十四三等邊一萬五千一百九十七五
等邊七千六百二十四六等邊六千二
百零四七等邊五千二百四十六八等
[044-21b]
邊四千五百五十一九等邊四千零二
十二十等邊三千六百零五將各形邊
數於分釐尺上取其度按度截比例尺
之甲乙甲丙二線即成更面線也
設如有甲圓形徑一尺二寸欲作一正方形其積與
圓積等問每邊幾何
法以比例尺更面線圓號之兩㸃依分
釐尺一寸二分之度展開勿令移動次
取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上
[044-21b]
量之得一寸零六釐即一尺零六分為
[044-22a]
正方形之每一邊用其度作正方形其
積與圜積等也葢圓號與方號之比例
原為同積之圓徑與方邊之比例則其
兩距度之比例亦必為圓徑與方邊之
比例今圓號相距之度既為圓徑則方
號相距之度必為方邊無疑矣又以一
寸二分當圓徑一尺二寸故一寸零六
釐即為方邊一尺零六分也
[044-22b]
設如有甲三邊形每邊一十五尺又有乙五邊形每
邊十尺欲併作一正方形問每邊幾何
法以比例尺更面線三邊號之兩㸃依
分釐尺一寸五分之度展開勿令移動
次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺
上量之得九分八釐七豪即九尺八寸
七分為正方形之每一邊用其度作正
方形其積與甲三邊形積等也又以五
邊號之兩㸃依分釐尺一寸之度展開
[044-22b]
勿令移動次取方號之兩㸃相距之度
[044-23a]
於分釐尺上量之得一寸三分一釐即
十三尺一寸為方正形之每一邊用其
度作正方形其積與乙五邊形積等也
乃將兩正方形用分面線求其積之比
例以分面線第十分之兩㸃依小方邊
九分八釐七豪之度展開勿令移動復
以大方邊一寸三分一釐之度於分面
線上尋至第十七分六釐之處其相距
[044-23b]
之度恰合即兩方形之比例為十分與
十七分六釐併之得二十七分六釐即
取分面線第二十七分六釐相距之度
於分釐尺上量之得一寸六分四釐即
十六尺四寸為正方形之每一邊用其
度作正方形其積與甲乙兩形之積等
也葢甲乙兩形不同類不能得其比例
即不能相加故先用更面線將甲乙兩
形俱變為正方形復用分面線求其比
[044-23b]
例而併之即得所求大正方形之一邊
[044-24a]
也
設如有甲八邊形每邊十二尺又有乙六邊形每邊
六尺今將兩面積相減用其餘積作一七邊形問
其邊幾何
法以比例尺更面線八邊號之兩㸃依
分釐尺一寸二分之度展開勿令移動
次取七邊號兩㸃相距之度於分釐尺
上量之得一寸三分八釐即十三尺八
[044-24b]
寸為七邊形之每一邊用其度作七邊
形其積與甲八邊形積等也又以六邊
號之兩㸃依分釐尺六分之度展開勿
令移動次取七邊號兩㸃相距之度於
分釐尺上量之得五分零七豪即五尺
零七分為七邊形之每一邊用其度作
七邊形其積與乙六邊形積等也乃將
兩七邊形用分面線求其比例以分面
線第十分之兩㸃依小七邊形之邊五
[044-24b]
分零七豪之度展開勿令移動復以大
[044-25a]
七邊形之邊一寸三分八釐之度於分
面線上尋至第七十八分之處其相距
之度恰合即兩七邊形之比例為十分
與七十八分相減餘六十八分即取分
面線第六十八分相距之度於分釐尺
上量之得一寸三分即十三尺為所求
七邊形之每一邊用其度作七邊形其
積與甲乙兩形相減之餘積等也葢甲
[044-25b]
乙兩形不同類不能得其比例即不能
相減故先用更面線將甲乙兩形俱變
為七邊形復用分面線求其比例而後
相減即得所求七邊形之一邊也
設如有十等邊形積四千四百四十五尺問每一邊
幾何
法先以比例尺分面線第一分之兩㸃
依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃
以一寸之十分作十尺自乘得一百尺
[044-25b]
與積四千四百四十五尺相較其比例
[044-26a]
如一與四十四又九之五即取分面線
第四十四分又九之五相距之度於分
釐尺上量之得六寸六分又三之二即
六十六尺又三分尺之二為方形之一
邊用其度作正方形其積與十邊形積
等也乃以更面線方號之兩㸃依方形
每邊六寸六分又三分之二之度展開
勿令移動次取十邊號兩㸃相距之度
[044-26b]
於分釐尺上量之得二寸四分即二十
四尺為所求十邊形之每一邊也葢正
方形為各面形比例之宗故凡有積求
邊者必先用分面線求得方形之邊然
後用更面線使方號兩㸃相距之度與
方邊等而取所求形之號兩㸃相距之
度即所求形之一邊自圓形三邊形以
至九邊形皆同一法也
[044-27a]
分體線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線依幾何原本十二卷二十二節
之法分之即為分體線也或設正方體
界一百釐其積數一百萬釐以二因之
得二百萬釐開立方得一百二十六釐
為積二百萬釐之根又以三因之得三
百萬釐開立方得一百四十四釐為積
[044-27b]
三百萬釐之根照此屢倍積數開立方
將所得之數於分釐尺上取其度按度
截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體
線也
設如有甲乙丙三正方體甲形每邊二寸其積數之
比例甲為一分乙為三分丙為四分今欲作一大
正方體與甲乙丙三正方體之積等問其邊幾何
法以比例尺分體線第一分之兩㸃依
甲正方體每邊二寸之度展開勿令移
[044-27b]
動乃併三正方體積共八分即取八分
[044-28a]
兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四
寸即所求大正方體之每一邊用其度
作正方體其積與甲乙丙三正方體之
共積等也葢八分所作正方體原比一
分所作正方體大八倍則八分相距之
度所作正方體亦必比一分相距之度
所作正方體大八倍矣一分相距之度
即甲正方體之一邊其積為一分則以
[044-28b]
八分相距之度所作正方體其積必為
八分與三正方體之共積相等也
設如有大小兩四等面體小體每邊一寸大體每邊
三寸今將兩體積相減取其餘積作同式四面體
問其邊幾何
法以比例尺分體線第一分之兩㸃依
小體每邊一寸之度展開勿令移動次
以大體每邊三寸之度於分體線尋至
第二十七分之兩㸃其相距之度恰合
[044-28b]
即大形與小形之比例為二十七與一
[044-29a]
相減餘二十六為較積即取分體線第
二十六分兩㸃相距之度於分釐尺上
量之得二寸九分六釐即較體之每一
邊也葢大小同式體之比例同於相當
界所作正方體之比例見幾何原本/十卷第七節今
二十七分所作正方體與一分所作正
方體之比例為二十七與一則二十七
分相距之度所作正方體與一分相距
[044-29b]
之度所作正方體之比例亦必為二十
七與一矣夫大小兩距度即大小兩體
之相當界其所作兩正方體之比例既
為二十七與一則大小兩四面體之比
例亦必為二十七與一矣既得兩體之
比例乃相減以得較既得較積之比例
復用積以求邊即得所求之邊數也
設如有八等面體每邊一尺欲四倍其積作同式八
等面體問其每邊幾何
[044-29b]
法以比例尺分體線第一分之兩㸃依
[044-30a]
分釐尺一寸之度展開勿令移動次取
第四分兩㸃相距之度於分釐尺上量
之得一寸五分九釐即一尺五寸九分
為所求體之一邊用其度作八等面體
其積與原體之四倍等也葢大小同式
體之比例同於相當界所作正方體之
比例今一分所作正方體與四分所作
正方體之比例為一與四則一分相距
[044-30b]
之度所作正方體與四分相距之度所
作正方體之比例亦必為一與四矣夫
一分相距之度即原體之界則以四分
相距之度為大體之界其積為原體之
四倍可知矣又以一寸當原形邊一尺
故一寸五分九釐即為一尺五寸九分
也
設如有圓球徑三尺欲取其積五分之二作同式圓
球體問其徑幾何
[044-30b]
法以比例尺分體線第五分之兩㸃依
[044-31a]
分釐尺三寸之度展開勿令移動次取
分體線第二分兩㸃相距之度於分釐
尺上量之得二寸二分一釐即二尺二
寸一分為所求小體之一邊用其度為
徑作圓球體其積為原體五分之二也
葢大小同式體之比例同於相當界所
作正方體之比例今五分所作正方體
與二分所作正方體之比例為五與二
[044-31b]
則五分相距之度所作正方體與二分
相距之度所作正方體之比例亦必為
五與二矣夫五分相距之度即原體之
徑則以二分相距之度為小體之徑其
積為原體五分之二可知矣又以三寸
當原體之徑三尺故二寸二分一釐即
為二尺二寸一分也
設如有四率相連比例數一率八尺四率二十七尺
求二率三率各幾何
[044-31b]
法以比例尺分體線第八分之兩㸃依
[044-32a]
分釐尺八分之度展開勿令移動次取
分體線第二十七分之兩㸃相距之度
於分釐尺上量之得一寸二分即十二
尺為連比例四率之第二率既得二率
乃用平分線有一率二率求連比例第
三率之法以平分線第八分之兩㸃依
分釐尺一寸二分之度展開勿令移動
次取平分線第十二分兩㸃相距之度
[044-32b]
於分釐尺上量之得一寸八分即十八
尺為連比例四率之第三率也葢相連
比例四率其一率所作正方體與二率
所作正方體之比例同於一率與四率
之比例今一率為八尺四率為二十七
尺則一率所作正方體與二率所作正
方體之比例即如八與二十七之比例
故以八分相距之度為一率之數則二
十七分相距之度必為二率之數可知
[044-32b]
矣又一率用八分當八尺故二率一寸
[044-33a]
二分即為十二尺至於求第三率之法
即平分線求連比例三率之理也
設如有正方體積二萬七千尺問每一邊幾何
法以比例尺分體線第一分之兩㸃依
分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以
一寸之十分作十尺自乘再乘得一千
尺與積數二萬七千尺相較其比例如
一與二十七即取分體線第二十七分
[044-33b]
兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三
寸即三十尺為所求正方體之每一邊
也葢一分之積既為一千尺則二十七
分之積必為二萬七千尺而一分相距
之度既為方積一千尺之每一邊則二
十七分相距之度必為方積二萬七千
尺之每一邊矣又以一寸當十尺故三
寸即為三十尺也
設如有正方體積八十三萬零五百八十四尺問每
[044-33b]
一邊幾何
[044-34a]
法以比例尺分體線第一百分之兩㸃
依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃
以一寸之一百釐作一百尺自乘再乘
得一百萬尺與積數八十三萬零五百
八十四尺相較其比例如一百與八十
三有餘即取分體線第八十三分有餘
相距之度於分釐尺上量之得九分四
釐即九十四尺為所求正方體之每一
[044-34b]
邊也葢一百分之積既為一百萬尺則
八十三分有餘之積必為八十三萬餘
尺而一百分相距之度既為方積一百
萬尺之每一邊則八十三分有餘相距
之度必為方積八十三萬餘尺之每一
邊矣又以一寸當一百尺故九分四釐
即為九十四尺也
設如有銀正方體每邊二寸問重幾何
法以比例尺分體線第九分之兩㸃銀/正
[044-34b]
方一寸之定率為/九兩故用九分度依分釐尺一寸之度
[044-35a]
展開勿令移動次取分釐尺二寸之度
於分體線上尋至第七十二分之兩㸃
其相距之度恰合即七十二兩為銀正
方體之重數也葢各體重數之比例與
積數之比例等相距之度一寸其積為
九分相距之度二寸其積則為七十二
分今相距一寸之九分既為正方一寸
銀體之重數則相距二寸之七十二分
[044-35b]
必為正方二寸銀體之重數矣又以九
分當九兩故七十二分為七十二兩也
設如有大銅球體徑二寸重三十一兩四錢一分今
有小銅球體徑一寸二分問重幾何
法以比例尺分體線第三十一分四釐
之處依大球徑二寸之度展開勿令移
動次取小球徑一寸二分之度於分體
線上尋至第六分七釐有餘之處其相
距之度恰合即六兩七錢有餘為小銅
[044-35b]
球體之重數也葢各體重數之比例與
[044-36a]
積數之比例等相距之度二寸其積為
三十一分四釐相距之度一寸二分其
積則為六分七釐今相距一寸之三十
一分四釐既為徑二寸大銅球體之重
數則相距一寸二分之六分七釐必為
徑一寸二分小銅球體之重數矣又以
三十一分四釐當三十一兩四錢故六
分七釐即為六兩七錢也
[044-37a]
更體線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線設積數一兆用體部内體積相
等邊線不同之定率比例得各體之邊
線其立方邊一萬球徑一萬二千四百
零七四面體邊二萬零三百九十七八
面體邊一萬二千八百四十九十二面
體邊五千零七十二二十面體邊七千
[044-37b]
七百一十將各體邊線數於分釐尺上
取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二
線即成更體線也
設如有甲球體徑二尺欲作一正方體其積與球積
等問每邊幾何
法以比例尺更體線球號之兩㸃依分
釐尺二寸之度展開勿令移動次取方
號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之
得一寸六分一釐即一尺六寸一分為
[044-37b]
正方體之每一邊用其度作正方體其
[044-38a]
積與甲球積等也葢球號與方號之比
例原為同積之球徑與立方邊之比例
則其兩距度之比例亦必為球徑與立
方邊之比例今球號相距之度既為球
徑則方號相距之度必為方邊無疑矣
又以二寸當球徑二尺故一寸六分一
釐即為一尺六寸一分也
設如有甲四面體每邊三尺又有乙八面體每邊四
[044-38b]
尺欲併作一正方體問每邊幾何
法以比例尺更體線四面號之兩㸃依
分釐尺三寸之度展開勿令移動次取
方號兩㸃相距之度於分釐尺上量之
得一寸四分六釐即一尺四寸六分為
正方體之每一邊用其度作正方體其
積與甲四面體積等也又以八面號之
兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移
動次取方號兩㸃相距之度於分釐尺
[044-38b]
上量之得三寸一分一釐即三尺一寸
[044-39a]
一分為正方體之每一邊用其度作正
方體其積與乙八面體積等也乃將兩
正方體用分體線求其積之比例以分
體線第一分之兩㸃依小方體每邊一
寸四分六釐之度展開勿令移動復以
大方體每邊三寸一分一釐之度於分
體線上尋至第九分五釐之處其相距
之度恰合即兩方體之比例為一與九
[044-39b]
分五釐併之得十分五釐即取分體線
第十分五釐相距之度於分釐尺上量
之得三寸二分即三尺二寸為正方體
之每一邊用其度作正方體其積與甲
乙兩體之積等也葢甲乙兩體不同類
不能得其比例即不能相加故先用更
體線將甲乙兩體俱變為正方體復用
分體線求其比例而併之即得所求大
方體之一邊也
[044-39b]
設如有甲正方體每邊二尺又有乙球體徑亦二尺
[044-40a]
今將兩體積相減用其餘積作十二面體問其邊
幾何
法以比例尺更體線方號之兩㸃依分
釐尺二寸之度展開勿令移動次取十
二面號兩㸃相距之度於分釐尺上量
之得一寸零一釐四豪即一尺零一分
四釐為十二面體之每一邊用其度作
十二面體其積與甲正方體積等也又
[044-40b]
以球號之兩㸃依分釐尺二寸之度展
開勿令移動次取十二面號兩㸃相距
之度於分釐尺上量之得八分一釐七
豪即八寸一分七釐為十二面體之每
一邊用其度作十二面體其積與乙球
體積等也乃將兩十二面體用分體線
求其比例以分體線第十分之兩㸃依
小十二面體每邊八分一釐七豪之度
展開勿令移動復以大十二面體每邊
[044-40b]
一寸零一釐四豪之度於分體線上尋
[044-41a]
至第十九分其相距之度恰合即兩十
二面體之比例為十分與十九分相減
餘九分即取分體線第九分兩㸃相距
之度於分釐尺上量之得七分九釐即
七寸九分為所求十二面體之每一邊
用其度作十二面體與甲乙兩體相減
之餘積等也葢甲乙兩體不同類不能
得其比例即不能相減故先用更體線
[044-41b]
將甲乙兩體俱變為十二面體復用分
體線求其比例而後相減即得所求十
二面體之一邊也
設如有二十面體積一萬七千四百五十五尺問每
一邊幾何
法先以比例尺分體線第一分之兩㸃
依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃
以一寸之十分作十尺自乘再乘得一
千尺與積數一萬七千四百五十五尺
[044-41b]
相較其比例如一與十七又九之五即
[044-42a]
取分體線第十七分又九之五相距之
度於分釐尺上量之得二寸五分九釐
即二十五尺九寸為正方體之一邊用
其度作正方體其積與二十面體積等
也乃以更體線方號之兩㸃依正方體
每邊二寸五分九釐之度展開勿令移
動次取二十面號兩㸃相距之度於分
釐尺上量之得二寸即二十尺為所求
[044-42b]
二十面體之每一邊也葢正方體為各
體形比例之宗故凡有積求邊者必先
用分體線求得方體之邊然後用更體
線使方號兩㸃相距之度與方邊等而
取所求體之號兩㸃相距之度即所求
體之一邊自球體四面體至二十面體
皆同一法也
[044-43a]
五金線
自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲
丙二線用各體權度比例定率數金重
十六兩八錢水銀重十二兩二錢八分
鉛重九兩九錢三分銀重九兩銅重七
兩五錢鐵重六兩七錢錫重六兩三錢
為各體正方一寸輕重之比例定率數/有三十
餘種尺不能盡載惟此數/者其用為多故止載此若重數相等
[044-43b]
則其積數必不同故又用轉比例之法
求其體積之比例命金之積為十億則
與金同重之水銀積為十三億六千八
百零七萬八千一百七十五水銀重十/二兩二錢
八分為一率金重十六兩八錢為二率/金積十億為三率得四率即水銀積餘
倣/此鉛之積為十六億九千一百八十四
萬二千九百銀之積為十八億六千六
百六十六萬六千六百六十六銅之積
為二十二億四千萬鐵之積為二十五
[044-43b]
億零七百四十六萬二千六百八十六
[044-44a]
錫之積為二十六億六千六百六十六
萬六千六百六十六既得各體之積數
乃開立方求其方根則金之數為一千
水銀之數為一千一百一十鉛之數為
一千一百九十一銀之數為一千二百
三十一銅之數為一千三百零八鐵之
數為一千三百五十八錫之數為一千
三百八十六爰將各根數於分釐尺上
[044-44b]
取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二
線即成五金線也
設如有金球徑二尺欲作一銀球其重與金球等問
徑幾何
法以比例尺五金線金號之兩㸃依分
釐尺二寸之度展開勿令移動次取銀
號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得
二寸四分六釐即二尺四寸六分為銀
球徑用其度作銀球即與金球重等也
[044-44b]
葢金號與銀號之比例原為同重之金
[044-45a]
體邊與銀體邊之比例則金號與銀號
兩距度之比例亦必為同重之金體邊
與銀體邊之比例今金號相距之度既
為金球徑則銀號相距之度必為銀球
徑可知矣又以二寸當金球徑二尺故
二寸四分六釐即為二尺四寸六分也
設如有金正方體每邊一寸重十六兩八錢今欲作
銀八面體其重與金正方體等問每一邊幾何
[044-45b]
法先以比例尺更體線正方體之兩㸃
依正方每邊一寸之度展開勿令移動
次取八面體兩㸃相距之度於分釐尺
上量之得一寸二分八釐有餘即為金
正方體等重之金八面體之每一邊數
乃以五金線金號之兩㸃依金八面體
每邊一寸二分八釐之度展開勿令移
動次取銀號兩㸃相距之度於分釐尺
上量之得一寸五分八釐有餘即為銀
[044-45b]
八面體之每一邊用其度作八面體其
[044-46a]
重與金正方體等也葢兩體不同類不
能得其比例故先用更體線變正方體
為八面體而後用五金線比例之其法
與前同也
設如有銅正方體每邊二寸重六十兩今有鉛一百
兩欲鑄為球體問徑幾何
法先以分體線第六十分之兩㸃原重/六十
兩故取/六十分依銅正方體每邊二寸之度展
[044-46b]
開勿令移動次取分體線第一百分兩
㸃相距之度今重一百兩/故取一百分於分釐尺上
量之得二寸三分七釐即重一百兩之
銅正方體之每一邊又以更體線正方
號之兩㸃依正方每邊二寸三分七釐
之度展開勿令移動次取球號兩㸃相
距之度於分釐尺上量之得二寸九分
四釐即重一百兩之銅球徑復以五金
線銅號之兩㸃依銅球徑二寸九分四
[044-46b]
釐之度展開勿令移動次取鉛號兩㸃
[044-47a]
相距之度於分釐尺上量之得二寸六
分八釐即重一百兩之鉛球徑也葢兩
重數不同而兩體又不同不能得其比
例故先用分體線變為同重之銅正方
體又用更體線變為同重之銅球體乃
用五金線銅與鉛之邊線以比例之而
後得其徑數也
設如銀正方一寸重九兩問銅正方一寸重幾何
[044-47b]
法以五金線銀號之兩㸃依正方一寸
之度展開勿令移動次取銅號兩㸃相
距之度於分釐尺上量之得一寸零五
釐二豪即為重九兩之銅正方邊數乃
以分體線九十分之兩㸃依一寸零五
釐二豪之度展開勿令移動而以今銅
正方一寸之度於分體線上尋至七十
五分之兩㸃其相距之度恰合即七兩
五錢為銅正方一寸重數也葢銀重九
[044-47b]
兩其方邊一寸則銅重九兩其方邊必
[044-48a]
為一寸零五釐二豪又銅方邊一寸零
五釐二豪其重九兩則銅方邊一寸其
重即為七兩五錢也
設如有銀正方體每邊二寸重七十二兩今欲作一
銅二十面體其邊與正方體等問重幾何
法先以比例尺更體線正方體之兩㸃
依正方每邊二寸之度展開勿令移動
次取二十面體兩㸃相距之度於分釐
[044-48b]
尺上量之得一寸五分四釐有餘即為
銀正方體等重之銀二十面體之每一
邊乃以五金線銀號之兩㸃依銀二十
面體每邊一寸五分四釐之度展開勿
令移動次取銅號兩㸃相距之度於分
釐尺上量之得一寸六分三釐有餘即
為銀二十面體同重之銅二十面體之
每一邊復以分體線第七十二分之兩
㸃依銅二十面體每邊一寸六分三釐
[044-48b]
之度展開勿令移動而以今所作銅二
[044-49a]
十面體每邊二寸之度於分體線上尋
至第一百三十分有餘之處其相距之
度恰合即一百三十兩有餘為銅二十
面體之重數也葢兩體不同類不能得
其比例故先用更體線變正方體為二
十面體又用五金線變銀二十面體為
銅二十面體復用分體線有邊求重之
法比例之然後得其重數也
[044-49b]
[044-49b]
御製數理精藴下編卷三十九
