[022-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十七
面部
三角形邊線角度相求
[022-2a]
三角形邊線角度相求
三角形有直角者為勾股無直角者作中垂線分為
两直角形則亦成两勾股是皆有其二而得其一或
有其三而分為二㮣以邊線相求者也至於割圜之
法則凡三角形有一角即有八線皆成勾股而可比
例以相求故三角形不論角之直與銳鈍要以角度
為凖而三角之度必與两直角之度等角之大者所
對之邊亦大角之小者所對之邊亦小凡三角三邊
[022-2b]
但知其三而其餘者悉可得若直角則惟知其二而
其餘者亦可得此三角之法所由立而測量之用所
由廣也如知两角一邊求又一邊者以對所知之角
與對所求之角為比即如所知之邊與所求之邊為
比也知两邊一角求又一角者以對所知之邊與對
所求之邊為比即如所知之角與所求之角為比也
或所知之一角在所知两邊之間而求又一角者則
角無所對之邊而邊亦無所對之角必用两邊之和
較與所知角之外角半弧之切線為比而得所求两
[022-2b]
角與所知角之外角半弧之較既得較而角度亦得
[022-3a]
矣又如知三邊而求三角者則以三角形求中垂線
法分為两直角形而三角自隨之而得或用三邊之
方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角
而三角亦可得矣若止有三角則三邊無所約束故
不成法葢角度為虚率而邊線為實數無實數而虚
率可馭總以比例四率展轉用之惟在分合有法相
度得宜耳
設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙
[022-3b]
角五十七度丙乙邊五丈求甲乙邊幾何
法以丙角五十七度與象限九十度相
減餘三十三度為甲角乃以甲角為對
所知之角其正弦五萬四千四百六十
四為一率丙角為對所求之角其正弦
八萬三千八百六十七為二率丙乙邊
為所知之邊其數五丈為三率求得四
率七丈六尺九寸九分三釐有餘即甲
乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己
[022-3b]
戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之
[022-4a]
正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之
正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之
正弦是故丙角五十七度之餘弧為三
十三度丙角五十七度之餘弦為三十
三度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股
形為同式形故甲角正弦丙庚即辛/己與
丙角正弦己庚之比同於丙乙邊與甲
乙邊之比為相當比例四率也
[022-4b]
又法以半徑十萬為一率丙角五十七
度之正切一十五萬三千九百八十六
為二率丙乙邊五丈為三率求得四率
七丈六尺九寸九分三釐即甲乙邊也
如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線
為丙角之正切則丙戊為半徑庚戊丙
與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊
半徑與庚戊正切之比同於丙乙邊與
甲乙邊之比為相當比例四率也
[022-4b]
設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙
[022-5a]
角二十三度三十五分甲乙邊三十二丈求丙乙
邊幾何
法以丙角二十三度三十五分與九十
度相減餘六十六度二十五分為甲角
乃以丙角為對所知之角其正弦四萬
零八為一率以甲角為對所求之角其
正弦九萬一千六百四十八為二率甲
乙邊為所知之邊其數三十二丈為三
[022-5b]
率求得四率七十三丈三尺零三分有
餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一
象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為
丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即
甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即
甲角之正弦故丙角二十三度三十五
分之餘弧為六十六度二十五分丙角
二十三度三十五分之餘弦為六十六
度二十五分之正弦己庚丙與甲乙丙
[022-5b]
兩勾股形為同式形故丙角正弦己庚
[022-6a]
與甲角正弦丙庚之比同於甲乙邊與
丙乙邊之比為相當比例四率也
又法以半徑十萬為一率丙角二十三
度三十五分之餘切線二十二萬九千
零七十三為二率甲乙邊三十二丈為
三率求得四率七十三丈三尺零三分
有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限切
丁己弧作丁庚線為丙角之餘切即甲
[022-6b]
角之正切則丁丙為半徑丙丁庚與甲
乙丙兩勾股形為同式形故丁丙半徑
與丁庚餘切之比同於甲乙邊與丙乙
邊之比為相當比例四率也
設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙
角四十三度三十七分丙乙邊二十一尺求甲丙
邊幾何
法以丙角四十三度三十七分與九十
度相減餘四十六度二十三分為甲角
[022-6b]
乃以甲角為對所知之角其正弦七萬
[022-7a]
二千三百九十七為一率甲角正弦即/丙角餘弦或
直用丙角/餘弦亦可以乙角為對所求之角其正
弦即半徑十萬為二率丙乙邊為所知
之邊其數二十一尺為三率求得四率
二十九尺零六釐有餘即甲丙為所求
之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙
角之正弧丁己弧為丙角之餘弧即甲
角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲
[022-7b]
角之正弦與丙/庚等己丙線為半徑即九十
度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形
為同式形故甲角正弦丙庚與半徑己
丙之比同於丙乙邊與甲丙邊之比為
相當比例四率也
又法以半徑十萬為一率丙角四十三
度三十七分之正割一十三萬八千一
百二十七為二率丙乙邊二十一尺為
三率求得四率二十九尺零六釐有餘
[022-7b]
即甲丙邊也如丙丁戊一象限切己戊
[022-8a]
弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為
半徑庚丙為正割庚戊丙與甲乙丙兩
勾股形為同式形故丙戊半徑與庚丙
正割之比同於丙乙邊與甲丙邊之比
為相當比例四率也
設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙
角五十一度五十一分甲丙邊八十九丈零二寸
二分求甲乙邊丙乙邊各幾何
[022-8b]
法以丙角五十一度五十一分與九十
度相減餘三十八度零九分為甲角求
甲乙邊則以乙角為對所知之角其正
弦即半徑十萬為一率以丙角為對所
求之角其正弦七萬八千六百四十為
二率甲丙邊為所知之邊其數八十九
丈零二寸二分為三率求得四率七十
丈零六分有餘即甲乙為所求之邊也
求丙乙邊亦以乙角為對所知之角其
[022-8b]
正弦即半徑十萬為一率而以甲角為
[022-9a]
對所求之角其正弦六萬一千七百七
十二為二率甲丙邊為所知之邊其數
八十九丈零二寸二分為三率求得四
率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙為
所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧
為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦
丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧
辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦
[022-9b]
己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形
故半徑己丙與丙角正弦己庚之比同
於甲丙邊與甲乙邊之比為相當比例
四率又半徑巳丙與甲角正弦丙庚之
比同於甲丙邊與丙乙邊之比為相當
比例四率也
又法求甲乙邊以丙角五十一度五十
一分之正割一十六萬一千八百八十
五為一率其正切一十二萬七千三百
[022-9b]
零六為二率甲丙邊八十九丈零二寸
[022-10a]
二分為三率求得四率七十丈零六分
有餘即甲乙邊也求丙乙邊則仍以丙
角正割一十六萬一千八百八十五為
一率而以半徑十萬為二率仍以甲丙
邊八十九丈零二寸二分為三率求得
四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙
邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角
之正弧庚戊線為丙角之正切庚丙線
[022-10b]
為丙角之正割庚戊丙與甲乙丙兩勾
股形為同式形故丙角正割庚丙與正
切庚戊之比同於甲丙邊與甲乙邊之
比又丙角正割庚丙與半徑丙戊之比
同於甲丙邊與丙乙邊之比皆為相當
比例四率也
設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲
乙邊二十丈丙乙邊三十四丈六尺四寸一分求
甲角丙角各幾何
[022-10b]
法以甲乙邊二十丈為一率丙乙邊三
[022-11a]
十四丈六尺四寸一分為二率半徑十
萬為三率求得四率一十七萬三千二
百零五為甲角之正切撿八線表得六
十度即甲角之度與九十度相減餘三
十度即丙角之度也如先求丙角則以
丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為一
率甲乙邊二十丈為二率半徑十萬為
三率求得四率五萬七千七百三十五
[022-11b]
為丙角之正切撿八線表得三十度即
丙角之度與九十度相減餘六十度即
甲角之度也如圖先求甲角則如甲丁
戊一象限己戊弧為甲角六十度之弧
庚戊為甲角之正切甲戊為半徑甲戊
庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲
乙邊與丙乙邊之比同於甲戊半徑與
庚戊正切之比為相當比例四率先求
丙角則如丙丁戊一象限己丁弧為丙
[022-11b]
角三十度之弧辛丁為丙角之正切丙
[022-12a]
丁為半徑丙丁辛與丙乙甲兩勾股形
為同式形故丙乙邊與甲乙邊之比同
於丙丁半徑與辛丁正切之比為相當
比例四率也
又法以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十
四丈六尺四寸一分相加得五十四丈
六尺四寸一分為兩邊之和為一率又
以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈
[022-12b]
六尺四寸一分相減餘一十四丈六尺
四寸一分為兩邊之較為二率以乙角
之外角九十度折半得四十五度為半
外角其正切十萬為三率四十五度之/正切與半徑
十萬/等求得四率二十六萬七千九百四
十八為半較角之正切撿八線表得十
五度為半較角與半外角四十五度相
減餘三十度即丙角之度如以半較角
十五度與半外角四十五度相加得六
[022-12b]
十度即甲角之度也如圖甲乙丙直角
[022-13a]
三角形以乙直角為心甲乙小邊為半
徑作一甲戊丁圜截丙乙大邊於戊將
丙乙引長至圜界丁則丁乙戊乙俱為
半徑與甲乙等自丁至丙即兩邊之和
自戊至丙即兩邊之較甲乙丁角即乙
角之外角試自甲至戊作一甲戊線則
成甲乙戊直角三角形其乙甲戊與乙
戊甲二角相併與甲乙丁外角度等今
[022-13b]
折半用其正切即如用甲戊乙角之正
切又心角與邊角度等其切線亦等故
自甲至丁作一丁甲線即甲戊丁角之
正切又戊甲丙角即甲角大於甲戊乙
角之較又即丙角小於甲戊乙角之較
故於圜界戊至甲丙邊己作己戊線與
甲丁線平行即戊甲己角之正切且丙
丁甲三角形與丙戊己三角形為同式
形故兩邊之和丙丁與甲戊丁半外角
[022-13b]
切線甲丁之比即同於兩邊之較丙戊
[022-14a]
與半較角切線己戊之比為相當比例
四率也
設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲
乙邊六十尺丙乙邊三十二尺求甲丙邊幾何
法以甲乙邊六十尺為一率丙乙邊三
十二尺為二率半徑十萬為三率求得
四率五萬三千三百三十三為甲角之
正切撿八線表得二十八度零四分即
[022-14b]
甲角之度如用丙乙邊作一率甲乙/邊作二率即先得丙角度乃
以甲角為對所知之角其正弦四萬七
千零五十為一率乙角為對所求之角
其正弦即半徑十萬為二率丙乙邊為
所知之邊其數三十二尺為三率求得
四率六十八尺零一分二釐有餘即甲
丙為所求之邊也又既得甲角之後用
割線法則以半徑為一率甲角之正割
為二率甲乙邊為三率求得四率即甲
[022-14b]
丙為所求之邊也或得丙角則用丙角
[022-15a]
之正割為二率丙乙邊為三率亦得甲
丙邊若得丙角仍用甲乙邊為三率則
用丙角餘割即甲角/之正割為二率而亦得甲
丙邊也
又法用勾股求弦以甲乙為股丙乙為
勾求得弦即甲丙邊也法已載於勾股
集中
設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲
[022-15b]
丙邊一百零二丈二尺丙乙邊四十八丈求甲角
丙角各幾何
法以甲丙邊為對所知之邊其數一百
零二丈二尺為一率丙乙邊為對所求
之邊其數四十八丈為二率乙角為所
知之角其正弦即半徑十萬為三率求
得四率四萬六千九百六十六為甲角
之正弦撿八線表得二十八度零一分
即甲角之度也甲角之餘弦即丙角之
[022-15b]
正弦如撿八線表餘弦數得六十一度
[022-16a]
五十九分即丙角之度也如甲丁戊一
象限己庚爲甲角正弦辛己與甲庚等
為甲角之餘弦即丙角之正弦甲庚己
與甲乙丙両勾股形為同式形故甲丙
邊與丙乙邊之比同於甲己半徑與己
庚正弦之比為相當比例四率也
又法以丙乙邊四十八丈為一率甲丙
邊一百零二丈二尺為二率半徑十萬
[022-16b]
為三率求得四率二十一萬二千九百
一十六為丙角之正割撿八線表得六
十一度五十九分即丙角之度也其丙
角之餘割即甲角之正割如撿餘割數
得二十八度零一分即甲角之度也如
丙丁戊一象限丙戊為半徑己戊為丙
角之正切己丙為丙角之正割甲乙丙
與己戊丙兩勾股形為同式形故丙乙
邊與甲丙邊之比同與丙戊半徑與己
[022-16b]
丙正割之比為相當比例四率也
[022-17a]
設如甲乙丙銳角三角形知乙丙邊三十二丈乙角
六十度丙角四十六度求甲乙邊甲丙邊各幾何
法以乙角六十度與丙角四十六度相
加得一百零六度與半圜一百八十度
相減餘七十四度為甲角求甲丙邊則
以甲角為對所知之角其正弦九萬六
千一百二十六為一率以乙角為對所
求之角其正弦八萬六千六百零三為
[022-17b]
二率乙丙邊為所知之邊其數三十二
丈為三率求得四率二十八丈八尺二
寸九分有餘即甲丙為所求之一邊也
求甲乙邊則仍以甲角為對所知之角
其正弦九萬六千一百二十六為一率
而以丙角為對所求之角其正弦七萬
一千九百三十四為二率仍以乙丙邊
為所知之邊其數三十二丈為三率求
得四率二十三丈九尺四寸六分有餘
[022-17b]
即甲乙為所求之又一邊也如圖甲乙
[022-18a]
丙三角形作含三角形之圜則每界角
各對一弧試自圜心丁作三角形各邊
之垂線即将每角所對之弧平分一半
各成兩心角其每一心角與相當各界
角之度等見幾何原本四/卷第十三節是以乙角所
對甲丙弧原係一百二十度今為丁庚
癸垂線所平分各為六十度一為甲丁
癸一為癸丁丙皆與乙角原度等丙角
[022-18b]
所對甲乙弧原係九十二度今為丁戊
辛垂線所平分各為四十六度一為甲
丁辛一為辛丁乙皆與丙角原度等甲
角所對乙丙弧原係一百四十八度今
為丁己壬垂線所平分各為七十四度
一為乙丁壬一為壬丁丙皆與甲角原
度等乙己為乙丁壬角之正弦己丙為
壬丁丙角之正弦亦即甲角之正弦甲
庚為甲丁癸角之正弦庚丙為癸丁丙
[022-18b]
角之正弦亦即乙角之正弦甲戊為甲
[022-19a]
丁辛角之正弦戊乙為辛丁乙角之正
弦亦即丙角之正弦故求甲丙邊者以
乙己與甲庚之比或己丙與庚丙之比
皆同於乙丙與甲丙之比又如求甲乙
邊者以己丙與甲戊之比或乙己與戊
乙之比皆同於乙丙與甲乙之比俱是
半與半全與全之比例而各為相當比
例四率也又圖求甲丙邊者則用甲丙
[022-19b]
為半徑自丙角至甲乙界作丙丁垂線
為甲角正弦又依甲丙度截丙乙於戊
使戊乙與甲丙等凡用正弦比例因在/圜内皆同半徑今使
戊乙與甲丙相同而/後正弦之大小乃見乃自戊至甲乙界
又作戊己垂線為乙角正弦觀戊己小
於丙丁則知甲丙同戊/乙亦小於乙丙故
甲角正弦丙丁與乙角正弦戊己之比
同於乙丙邊與甲丙邊之比為相當比
例四率也又如求甲乙邊者則用甲乙
[022-19b]
為半徑自乙角至甲丙界作乙丁垂線
[022-20a]
為甲角正弦又依甲乙度截乙丙於戊
使戊丙與甲乙等乃自戊至甲丙界又
作戊己垂線為丙角正弦觀戊己小於
乙丁則知甲乙同戊/丙亦小於乙丙故甲
角正弦乙丁與丙角正弦戊己之比同
於乙丙邊與甲乙邊之比為相當比例
四率也
又法求甲乙邊以乙角六十度之餘切
[022-20b]
五萬七千七百三十五與丙角四十六
度之餘切九萬六千五百六十九相加
得一十五萬四千三百零四為一率乙
角之餘割一十一萬五千四百七十為
二率乙丙邊三十二丈為三率求得四
率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲
乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相加
之一十五萬四千三百零四為一率而
以丙角餘割一十三萬九千零一十六
[022-20b]
為二率仍以乙丙邊三十二丈為三率
[022-21a]
求得四率二十八丈八尺二寸九分有
餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鋭
角三角形分為甲丁乙甲丁丙兩直角
三角形即如乙角六十度與象限九十
度相減餘三十度為甲丁乙三角形之
甲角又丙角四十六度與象限九十度
相減餘四十四度為甲丁丙三角形之
甲角乙角之餘切戊己即甲丁乙三角
[022-21b]
形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割
己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割
如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙
三角形之甲角之正切如癸子丙角之
餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之
正割如甲子若乙角丙角兩餘切相加
即兩甲角正切相加之和如壬子甲癸
壬與甲丁乙兩三角形為同式形甲癸
子與甲丁丙兩三角形為同式形故甲
[022-21b]
壬子與甲乙丙兩三角形亦為同式形
[022-22a]
是故求甲乙邊者以壬子與甲壬之比
同於乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以
壬子與甲子之比同於乙丙與甲丙之
比皆為相當比例四率也
設如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十
度乙丙邊九丈七尺八寸求丙角甲乙邊甲丙邊
各幾何
法以甲角五十度與乙角七十度相加
[022-22b]
得一百二十度與半圜一百八十度相
減餘六十度為丙角求甲乙邊則以甲
角為對所知之角其正弦七萬六千六
百零四為一率以丙角為對所求之角
其正弦八萬六千六百零三為二率乙
丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸
為三率求得四率一十一丈零五寸六
分有餘即甲乙為所求之一邊也求甲
丙邊則仍以甲角為對所知之角其正
[022-22b]
弦七萬六千六百零四為一率而以乙
[022-23a]
角為對所求之角其正弦九萬三千九
百六十九為二率仍以乙丙邊為所知
之邊其數九丈七尺八寸為三率求得
四率一十一丈九尺九寸六分有餘即
甲丙為所求之又一邊也此法所知之
角與邊雖與前法少異然總是有兩角
一邊得其所餘一角則仍與前法同矣
設如甲乙丙鈍角三角形知乙角二十四度丙角三
[022-23b]
十六度三十分乙丙邊七十九丈零一寸求甲乙
邊甲丙邊各幾何
法以乙角二十四度與丙角三十六度
三十分相加得六十度三十分與半圜
一百八十度相減餘一百一十九度三
十分為甲鈍角求甲乙邊則以甲鈍角
為對所知之角夫甲角既為鈍角過九
十度乃用其外角将甲角一百一十九
度三十分與半圜一百八十度相減餘
[022-23b]
六十度三十分為甲角之外角其正弦
[022-24a]
八萬七千零三十六為一率凡鈍角之/外角其正
弦即鈍角之正弦/解見割圜集内丙角為對所求之角
其正弦五萬九千四百八十二為二率
乙丙邊為所知之邊其數七十九丈零
一寸為三率求得四率五十三丈九尺
九寸七分即甲乙為所求之一邊也如
求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角
用其外角正弦八萬七千零三十六為
[022-24b]
一率而以乙角為對所求之角其正弦
四萬零六百七十四為二率仍以乙丙
邊七十九丈零一寸為三率求得四率
三十六丈九尺二寸三分有餘如既得/甲乙邊
而以丙角為對所知之角其正弦為一/率甲乙邊為所知之邊其數為三率所
得亦/同即甲丙為所求之又一邊也此法
亦有兩角一邊但甲為鈍角故用外角
正弦求法畧異試以求甲乙邊言之則
甲乙邊為半徑於甲角之外作乙丁垂
[022-24b]
線則成乙甲丁之外角其乙丁垂線即
[022-25a]
乙甲丁外角之正弦又按甲乙邊度截
乙丙邊於戊使戊丙與甲乙半徑等作
戊己垂線即丙角之正弦夫戊己丙與
乙丁丙两勾股形為同式形故乙甲丁
外角之正弦乙丁與丙角之正弦戊己
之比即同於乙丙邊與等甲乙邊之戊
丙之比為相當比例四率也其求甲丙
邊用外角正弦其理亦同
[022-25b]
又法求甲乙邊以乙角二十四度之餘
切二十二萬四千六百零四與丙角三
十六度三十分之餘切一十三萬五千
一百四十二相加得三十五萬九千七
百四十六為一率乙角之餘割二十四
萬五千八百五十九為二率乙丙邊七
十九丈零一寸為三率求得四率五十
三丈九尺九寸七分有餘即甲乙邊求
甲丙邊則仍以两角餘切相加之三十
[022-25b]
五萬九千七百四十六為一率而以丙
[022-26a]
角之餘割一十六萬八千一百一十七
為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三
率求得四率三十六丈九尺二寸三分
有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一
鈍角三角形分為甲丁乙甲丁丙两直
角三角形其乙角之餘切戊己即甲丁
乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角
之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角
[022-26b]
之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即
甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子
丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之
甲角之正割如甲子乙角丙角两餘切
相加之數即两甲角正切相加之和如
壬子甲癸壬與甲丁乙两三角形為同
式形甲癸子與甲丁丙两三角形為同
式形故甲壬子與甲乙丙两三角形亦
為同式形是以求甲乙邊者以壬子與
[022-26b]
甲壬之比同於乙丙與甲乙之比求甲
[022-27a]
丙邊者以壬子與甲子之比同於乙丙
與甲丙之比皆為相當比例四率也
設如甲乙丙鈍角三角形知乙角三十三度三十八
分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙邊一
十六丈求甲角甲乙邊甲丙邊各幾何
法以乙角三十三度三十八分四十秒
與丙外角五十五度五十三分相減餘
二十二度一十四分二十秒即甲角取/甲
[022-27b]
角當以丙外角與半圜一百八十度相/減餘為丙鈍角仍以丙鈍角與乙角相
加又與半圜一百八十度相減餘為甲/角今止以丙外角内減乙角即得甲角
者葢因丙外角與乙甲二内角相倂之/度等又三角形三角相倂共為一百八
十度與半圜等今於半圜内減去丙鈍/角所餘為丙外角而一百八十度内減
丙鈍角則餘乙甲二角共度是甲乙二/角共度與丙外角之度等故於丙外角
内減去乙角/即甲角也求甲乙邊則以甲角為對
所知之角其正弦三萬七千八百四十
七為一率以丙外角為對所求之角其
正弦八萬二千七百九十為二率乙丙
[022-27b]
邊為所知之邊其數一十六丈為三率
[022-28a]
求得四率三十五丈即甲乙為所求之
一邊求甲丙邊則仍以甲角為對所知
之角其正弦三萬七千八百四十七為
一率而以乙角為對所求之角其正弦
五萬五千四百零四為二率仍以乙丙
邊為所知之邊其數一十六丈為三率
求得四率二十三丈四尺二寸二分有
餘如既得甲乙邊而以丙外角為對所/知之角其正弦為一率甲乙邊為所
[022-28b]
知之邊其數為/三率所得亦同即甲丙為所求之又一
邊也此法亦有两角一邊與前法同但
先有外角少異耳
又法求甲乙邊以乙角三十三度三十
八分四十秒之餘切一十五萬零二百
五十九與丙外角五十五度五十三分
之餘切六萬七千七百四十八相減餘
八萬二千五百一十一為一率乙角之
餘割一十八萬零四百九十三為二率
[022-28b]
乙丙邊一十六丈為三率求得四率三
[022-29a]
十五丈即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩
角餘切相減之八萬二千五百一十一
為一率而以丙外角之餘割一十二萬
零七百八十八為二率仍以乙丙邊一
十六丈為三率求得四率二十三丈四
尺二寸二分有餘即甲丙邊也此法葢
以乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂
成甲丁乙甲丁丙兩直角三角形甲丁
[022-29b]
丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之
丙角之外角其餘切戊己即甲丁丙三
角形之甲角之正切如壬癸丙外角之
餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之
正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之
餘切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之
正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之
餘割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之
正割如甲子甲丁丙三角形之丙角餘
[022-29b]
切與甲丁乙三角形之乙角餘切相減
[022-30a]
之數即兩甲角之正切相減之較如子
壬甲癸壬三角形與甲丁丙三角形為
同式形甲癸子三角形與甲丁乙三角
形為同式形故甲子壬三角形與甲乙
丙三角形亦為同式形是以子壬與甲
子之比同於乙丙與甲乙之比又子壬
與甲壬之比同於乙丙與甲丙之比皆
為相當比例四率也
[022-30b]
設如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙邊四
十丈甲丙邊二十六丈一尺零八分求乙角丙角
及乙丙邊各幾何
法以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六
丈一尺零八分相加得六十六丈一尺
零八分為兩邊之和為一率又以甲乙
邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零
八分相減餘一十三丈八尺九寸二分
為兩邊之較為二率以甲角六十度與
[022-30b]
半圜一百八十度相減餘一百二十度
[022-31a]
為外角折半得六十度為半外角其正
切一十七萬三千二百零五為三率求
得四率三萬六千三百九十七為半較
角之正切撿八線表得二十度為半較
角與半外角六十度相減餘四十度即
乙角之度如以半較角二十度與半外
角六十度相加得八十度即丙角之度
也既得乙丙兩角即以丙角為對所知
[022-31b]
之角其正弦九萬八千四百八十一為
一率以甲角為對所求之角其正弦八
萬六千六百零三為二率甲乙邊為所
知之邊其數四十丈為三率求得四率
三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙
為所求之邊也如圖甲乙丙鋭角三角
形以甲角為心甲丙小邊為半徑作一
丙丁戊圜截甲乙大邊於戊將甲乙引
長至圜界丁則甲丁甲戊俱為半徑與
[022-31b]
甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至
[022-32a]
乙即兩邊之較丁甲丙角即甲角之外
角試自丙至戊作一丙戊線則成甲丙
戊三角形其甲丙戊與甲戊丙二角併
之與丁甲丙外角度等今折半用其正
切即如用丁戊丙角之正切又心角與
邊角度等其切線亦等故自丙至丁作
一丙丁線即丁戊丙角之正切又戊丙
乙角即丙角大於甲戊丙角之較亦即
[022-32b]
乙角小於甲戊丙角之較故自圜界戊
至乙丙邊己作己戊線與丙丁平行即
戊丙己角之正切且乙丁丙三角形與
乙戊己三角形為同式形故兩邊之和
丁乙與丁戊丙半外角切線丁丙之比
即同於兩邊之較戊乙與半較角切線
戊己之比為相當比例四率也
又法自丙角作丙丁垂線分為丙丁甲
丙丁乙兩直角形算之先用丙丁甲直
[022-32b]
角形求丙丁垂線及甲丁分邊以丁角
[022-33a]
為對所知之角其正弦即半徑十萬為
一率以甲角為對所求之角其正弦八
萬六千六百零三為二率甲丙邊為所
知之邊其數二十六丈一尺零八分為
三率求得四率二十二丈六尺一寸有
餘為丙丁垂線又以丁角為對所知之
角其正弦即半徑十萬為一率以甲角
六十度與九十度相減餘三十度即甲
[022-33b]
丙丁角即丙之/分角為對所求之角其正弦
五萬為二率直用甲角/餘弦亦可甲丙邊為所知
之邊其數二十六丈一尺零八分為三
率求得四率十三丈零五寸四分為甲
丁分邊既得甲丁分邊乃與甲乙邊四
十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分
為丁乙分邊於是用丙丁乙直角形求
乙角及乙丙邊以丁乙二十六丈九尺
四寸六分為一率丙丁二十二丈六尺
[022-33b]
一寸有餘為二率半徑十萬為三率求
[022-34a]
得四率八萬三千九百零八為乙角正
切撿八線表得四十度為乙角以乙角
四十度與甲角六十度相加得一百度
與一百八十度相減餘八十度為丙角
既得乙丙两角則用两角一邊求又一
邊之法算之即得乙丙邊矣或先求乙
丙邊則以丁乙二十六丈九尺四寸六
分為勾丙丁二十二丈六尺一寸為股
[022-34b]
求得弦三十五丈一尺七寸五分有餘
即乙丙邊也
又法先求甲丁分邊比例而得乙角以
半徑十萬為一率即丁直角/之正弦以甲角六
十度之餘弦五萬為二率即丙分角/之正弦以
甲丙邊二十六丈一尺零八分為三率
求得四率十三丈零五寸四分為甲丁
分邊乃以甲丁分邊十三丈零五寸四
分為一率以甲丁分邊與甲乙全邊四
[022-34b]
十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分
[022-35a]
為丁乙分邊為二率甲角六十度之餘
切五萬七千七百三十五為三率求得
四率一十一萬九千一百七十六為乙
角餘切撿表得四十度即乙角也如甲
角之戊庚一象限其庚己為甲角之餘
切而庚己甲與甲丁丙為同式形又如
乙角之辛癸一象限其壬癸為乙角之
餘切而壬癸乙與乙丁丙為同式形故
[022-35b]
甲丁與丁乙之比同於庚己與壬癸之
比也
又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以
甲丙邊二十六丈一尺零八分為一率
甲乙邊四十丈為二率甲角六十度餘
割一十一萬五千四百七十為三率求
得四率一十七萬六千九百一十一為
甲角餘切與乙角餘切之共數即甲丙
丁與乙丙丁两分角之共切又将甲角
[022-35b]
六十度與象限九十度相減餘三十度
[022-36a]
即甲丙丁之分角撿其正切五萬七千
七百三十五與两分角之共切一十七
萬六千九百一十一相減餘一十一萬
九千一百七十六為丁丙乙分角之正
切即乙角之餘切撿表得四十度即乙
角之度也以乙角四十度與甲角六十
度相加得一百度又與半圜一百八十
度相減餘八十度即丙角之度也如甲
[022-36b]
乙丙鋭角三角形作丙丁垂線分為甲
丁丙與乙丁丙两直角形以丙角為心
作一戊己庚半圜則丙丁垂線平分於
己两邊各成一象限試與甲乙邊平行
作一辛壬線則辛己一段為甲丙丁分
角之正切即甲角之餘切己壬一段為
乙丙丁分角之正切又即乙角之餘切
而辛丙為甲丙丁分角之正割亦即甲
角之餘割辛壬丙與甲乙丙两三角形
[022-36b]
為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比即
[022-37a]
同於甲角餘割辛丙即甲丙丁分/角之正割與甲
丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛
壬之比為相當比例四率也既得辛壬
两分角之共切内減去甲丙丁分角三
十度之正切辛己所餘己壬為乙丙丁
分角之正切即為乙角之餘切撿表即
得乙角也
設如甲乙丙鈍角三角形知甲角一百一十九度三
[022-37b]
十四分甲乙邊五十四尺甲丙邊三十六尺九寸
求乙角丙角及乙丙邊各幾何
法以甲乙邊五十四尺與甲丙邊三十
六尺九寸相加得九十尺九寸為两邊
之和為一率又以甲乙邊與甲丙邊相
減餘一十七尺一寸為两邊之較為二
率以甲角一百一十九度三十四分與
半圜一百八十度相減餘六十度二十
六分為外角折半得三十度一十三分
[022-37b]
為半外角其正切五萬八千二百四十
[022-38a]
為三率求得四率一萬零九百五十六
為半較角之正切撿八線表得六度一
十五分為半較角與半外角三十度一
十三分相減餘二十三度五十八分即
乙角之度如以半較角六度一十五分
與半外角三十度一十三分相加得三
十六度二十八分即丙角之度也既得
乙丙二角求乙丙邊則以丙角為對所
[022-38b]
知之角其正弦五萬九千四百三十五
為一率甲外角為對所求之角甲角為/鈍角故
用外/角其正弦八萬六千九百七十八為
二率甲乙邊為所知之邊其數五十四
尺為三率求得四率七十九尺零二分
四釐有餘即乙丙邊也如圖甲乙丙鈍
角三角形以甲角為心甲丙為半徑作
一丙丁戊圜其乙丁為两邊之和乙戊
為两邊之較丙丁為半外角之正切己
[022-38b]
戊為半較角之正切乙丁丙三角形與
[022-39a]
乙戊己三角形為同式形故以两邊之
和乙丁與丁戊丙半外角切線丙丁之
比即同於两邊之較乙戊與半較角切
線己戊之比為相當比例四率也
又法自丙角作丙丁垂線於形外成丙
丁乙與丙丁甲两直角形先用丙丁乙
直角形求丙丁垂線及甲丁虚邊以丁
直角為對所知之角其正弦即半徑十
[022-39b]
萬為一率以甲角一百一十九度三十
四分與半圜一百八十度相減餘六十
度二十六分即甲外角為對所求之角
其正弦八萬六千九百七十八為二率
甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九
寸為三率求得四率三十二尺零九分
五釐為丙丁垂線又以丁直角為對所
知之角其正弦即半徑十萬為一率又
以甲外角六十度二十六分與九十度
[022-39b]
相減餘二十九度三十四分為甲丙丁
[022-40a]
角即丙外/分角為對所求之角其正弦四萬
九千三百四十四為二率如直用甲外/角之餘弦為
二率/亦可甲丙邊為所知之邊其數三十六
尺九寸為三率求得四率十八尺二寸
零八釐為甲丁虚邊與甲乙邊五十四
尺相加得七十二尺二寸零八釐為乙
丁全邊又以乙丁全邊七十二尺二寸
零八釐為一率丙丁垂線三十二尺零
[022-40b]
九分五釐為二率半徑十萬為三率求
得四率四萬四千四百四十八為乙角
正切撿八線表得二十三度五十八分
為乙角之度與甲外角六十度二十六
分相減餘三十六度二十八分即丙角
之度甲外角與乙丙二内角等/故減去乙角餘即丙角既得乙
丙二角則用两角一邊求又一邊之法
算之即得乙丙邊或先求乙丙邊則以
乙丁全邊七十二尺二寸零八釐為股
[022-40b]
丙丁垂線三十二尺零九分五釐為勾
[022-41a]
求得弦七十九尺零二分即乙丙邊也
又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以
甲丙邊三十六尺九寸為一率甲乙邊
五十四尺為二率以甲外角六十度二
十六分之餘割一十一萬四千九百七
十一為三率求得四率一十六萬八千
二百五十為甲外角餘切與乙角餘切
之較數乃以甲外角六十度二十六分
[022-41b]
之餘切五萬六千七百三十一與两餘
切之較相加得二十二萬四千九百八
十一為乙角餘切撿表得二十三度五
十八分即乙角之度與甲角一百一十
九度三十四分相加得一百四十三度
三十二分與半圜一百八十度相減餘
三十六度二十八分即丙角之度也如
甲乙丙鈍角形将甲乙邊引長自丙角
作丙丁垂線遂成丙丁甲丙丁乙两直
[022-41b]
角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲
[022-42a]
乙丙三角形之甲角之外角其餘切戊
己即丙丁甲三角形之丙角之正切如
庚辛甲外角之餘割甲己即丙丁甲三
角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙
三角形之乙角之餘切壬癸即丙丁乙
三角形之丙角之正切如子辛若丙丁
乙三角形之乙角餘切與丙丁甲三角
形之甲角餘切相減即两丙角相差之
[022-42b]
較如子庚丙辛庚三角形與丙丁甲三
角形為同式形丙辛子三角形與丙丁
乙三角形為同式形故丙庚子三角形
與丙甲乙三角形亦為同式形是以甲
丙邊與甲乙邊之比同於甲外角餘割
庚丙即甲/己與两餘切之較子庚之比為
相當比例四率也既得子庚两餘切之
較與甲外角之餘切庚辛即戊/己相加得
子辛即乙角之餘切撿表得乙角度既
[022-42b]
得乙角則以乙角與甲角相併與半圜
[022-43a]
相減餘即丙角矣
設如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙邊八
十丈甲丙邊七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙
丙邊各幾何
法以甲丙邊為對所知之邊其數七十
丈三尺四寸為一率甲乙邊為對所求
之邊其數八十丈為二率乙角為所知
之角其正弦八萬六千六百零三為三
[022-43b]
率求得四率九萬八千四百九十六為
丙角正弦撿表得八十度零三分即丙
角度也既得丙角度則以乙角六十度
與丙角八十度零三分相加得一百四
十度零三分與一百八十度相減餘三
十九度五十七分即甲角度也既得甲
角求乙丙邊則以乙角為對所知之角
其正弦八萬六千六百零三為一率甲
角為對所求之角其正弦六萬四千二
[022-43b]
百一十二為二率甲丙邊為所知之邊
[022-44a]
其數七十丈三尺四寸為三率求得四
率五十二丈一尺五寸三分有餘即乙
丙為所求之邊也
又法用餘割求丙角以甲乙邊八十丈
為一率甲丙邊七十丈三尺四寸為二
率乙角六十度之餘割十一萬五千四
百七十為三率求得四率十萬一千五
百二十六為丙角餘割撿表得八十度
[022-44b]
零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三
角形作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙
两直角三角形其乙角之餘割戊乙即
甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚
丙角之餘割己丙即甲丁丙三角形之
甲角之正割如甲辛甲庚辛與甲乙丙
两三角形為同式形故甲乙邊與甲丙
邊之比同於乙角餘割甲庚即戊/乙與丙
角餘割甲辛即己/丙之比為相當比例四
[022-44b]
率也
[022-45a]
設如甲乙丙鈍角三角形知丙角一百一十度甲乙
邊二十二丈五尺五寸甲丙邊十二丈求甲角乙
角及乙丙邊各幾何
法以甲乙邊為對所知之邊其數二十
二丈五尺五寸為一率甲丙邊為對所
求之邊其數十二丈為二率丙角為所
知之角其外角七十度之正弦九萬三
千九百六十九為三率求得四率五萬
[022-45b]
為乙角正弦撿表得三十度即乙角度
也既得乙角度則以乙角三十度與丙
角一百一十度相加得一百四十度與
一百八十度相減餘四十度即甲角度
也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對
所知之角其正弦五萬為一率甲角為
對所求之角其正弦六萬四千二百七
十九為二率甲丙邊為所知之邊其數
十二丈為三率求得四率十五丈四尺
[022-45b]
二寸七分即乙丙為所求之邊也
[022-46a]
又法用餘割求乙角以甲丙邊十二丈
為一率甲乙邊二十二丈五尺五寸為
二率丙外角七十度之餘割十萬六千
四百一十八為三率求得四率一十九
萬九千九百七十七為乙角之餘割撿
表得三十度即乙角度也如甲乙丙鈍
角三角形将乙丙邊引長自甲角作甲
丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙两直角三
[022-46b]
角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙
三角形之丙角之外角其餘割己丙即
甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛
甲丁乙三角形之乙角之餘割戊乙即
甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚
甲庚辛與甲乙丙两三角形為同式形
故甲丙邊與甲乙邊之比同於丙外角
餘割甲辛即己/丙與乙角餘割甲庚即戊/乙
之比為相當比例四率也
[022-46b]
設如甲乙丙鋭角三角形知甲乙邊一百二十二尺
[022-47a]
甲丙邊一百一十二尺乙丙邊一百五十尺求甲
乙丙三角各幾何
法求丙角以甲丙邊一百一十二尺與
乙丙邊一百五十尺相乗得一萬六千
八百尺倍之得三萬三千六百尺為一
率以甲丙邊一百一十二尺自乘得一
萬二千五百四十四尺乙丙邊一百五
十尺自乘得二萬二千五百尺以两邊
[022-47b]
各自乘數相加得三萬五千零四十四
尺又以甲乙邊一百二十二尺自乘得
一萬四千八百八十四尺與两邊各自
乘相加數三萬五千零四十四尺相減
餘二萬零一尺六十尺為二率半徑十
萬為三率求得四率六萬為甲分角之
正弦即丙角之餘弦撿表得五十三度
零八分即丙角之度也求乙角則以甲
乙邊與乙丙邊相乘得數倍之為一率
[022-47b]
以甲乙邊乙丙邊各自乘相加内減去
[022-48a]
甲丙邊自乘之數餘為二率半徑十萬
為三率求得四率為甲分角之正弦即
乙角之餘弦撿表即得乙角之度也或
既得丙角用两邊一角比例之法即得
甲乙二角矣此法葢以三邊之面積互
相加減使面與面比而得線與線之比
也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙邊
作一甲丁垂線分為甲丁丙甲丁乙两
[022-48b]
勾股形又作三邊之各正方復作两邊
相乘之長方其甲丙戊己為甲丙邊自
乘之一正方庚辛乙甲為甲乙邊自乘
之一正方乙壬癸丙為乙丙邊自乘之
一正方丙癸丑子為甲丙邊與乙丙邊
相乘之一長方倍之為丙癸卯寅一大
長方今於甲丙戊己與乙壬癸丙两正
方相併數内減庚辛乙甲一正方則是
減去辰己午甲一正方即如甲丙戊己
[022-48b]
之一正方又減去庚辛乙午己辰一磬
[022-49a]
折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊
己之正方所多之較其積與乙壬申未
一長方等甲丁丙甲丁乙两勾股形同/用一甲丁股是以甲丙弦方
内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙/弦方内有甲丁一股方乙丁一勾方因
两三角形同用一股故其两弦較與两/弦和相乘之數两勾較與两勾和相乗
之數必然相等午乙即两弦之較辰己/與辛乙相併即两弦之和庚辛乙午己
辰磬折形即两弦較與两弦和相乗之/積而乙未為两勾之較乙丙為两勾之
和乙壬申未即两勾較與两勾/和相乗之積所以知其相等也所餘為
[022-49b]
未申癸丙一長方試以甲丁垂線引長
則平分未申癸丙一長方為未申酉丁
與丁酉癸丙二長方此二長方與丙癸
丑子子丑夘寅二長方同用一邊為二
平行線内所有二方面互相為比同於
其底互相為比之例故丙癸夘寅之長
方與未申癸丙之長方之比即同於丙
寅邊與未丙邊之比也又比例之理全
與全半與半之比例相同故丙癸夘寅
[022-49b]
之長方為甲丙邊與乙丙邊/相乗又加一倍之積與未申癸
[022-50a]
丙之長方即甲丙邊乙丙邊两正方相/併内減甲乙邊一正方所餘
之/積相比同於丙子邊與甲丙/邊同與丁丙邊
之比也又甲丙邊即如甲丁垂線所分
丁直角之正弦而甲丁垂線所分之丁
丙邊即如甲分角之正弦是以甲丙邊
與乙丙邊相乘加倍之丙癸夘寅長方
積為一率甲丙邊乙丙邊两正方相併
積内減甲乙邊一正方所餘未申癸丙
[022-50b]
長方積為二率對丁直角之正弦半徑
十萬為三率求得四率為甲分角之正
弦即丙角之餘弦也
又求分邊得角法以乙丙邊為底其數
一百五十尺為一率甲乙邊大腰一百
二十二尺與甲丙邊小腰一百一十二
尺相加得二百三十四尺為二率两邊
相減餘一十尺為三率求得四率一十
五尺六寸為分邊之較與乙丙邊一百
[022-50b]
五十尺相減餘一百三十四尺四寸折
[022-51a]
半得六十七尺二寸為丁丙分邊之數
乃以甲丙邊為對所知之邊其數一百
一十二尺為一率丁丙分邊為對所求
之邊其數六十七尺二寸為二率丁角
為所知之角其正弦半徑十萬為三率
求得四率六萬為甲丁丙三角形之甲
角正弦又即丙角之餘弦撿表得五十
三度零八分為丙角之度既得丙角則
[022-51b]
用两邊一角比例之法遂得甲乙二角
矣如圖以甲角為心甲丙小邊為半徑
作一戊丙己庚圜截甲乙邊於庚截丙
乙邊於戊将甲乙引長至圜界己則甲
己與甲丙等自己至乙即两邊之和自
庚至乙即两邊之較乙戊即乙丁丁丙
两分邊之較是故分邊之和乙丙與两
邊之和己乙之比即同於两邊之較庚
乙與分邊之較乙戊之比為轉比例四
[022-51b]
率也
[022-52a]
又法以甲乙邊一百二十二尺乙丙邊
一百五十尺甲丙邊一百一十二尺三
數相加得三百八十四尺為三邊之總
折半得一百九十二尺為半總以甲乙
邊一百二十二尺與半總一百九十二
尺相減餘七十尺為甲乙邊與半總之
較以乙丙邊一百五十尺與半總一百
九十二尺相減餘四十二尺為乙丙邊
[022-52b]
與半總之較以甲丙邊一百一十二尺
與半總一百九十二尺相減餘八十尺
為甲丙邊與半總之較乃以半總一百
九十二尺為一率甲丙邊與半總之較
八十尺為二率甲乙邊與半總之較七
十尺與乙丙邊與半總之較四十二尺
相乗得二千九百四十尺為三率求得
四率一千二百二十五尺開方得三十
五尺為三角形自中心至三邊之垂線
[022-52b]
先求丙角則用甲乙邊與半總之較七
[022-53a]
十尺為一率三角形自中心至三邊之
垂線三十五尺為二率半徑十萬為三
率求得四率五萬為丙半角之正切撿
表得二十六度三十四分倍之得五十
三度零八分即丙角之度也如先求乙
角則用甲丙邊與半總之較八十尺為
一率先求甲角則用乙丙邊與半總之
較四十二尺為一率俱用三角形自中
[022-53b]
心至三邊之垂線三十五尺為二率半
徑十萬為三率即各得各半角之正切
焉此法葢一率二率以線與線為比三
率四率以面與面為比也如甲乙丙三
角形自中心丁至三邊各作一垂線又
自中心丁至三角各作一分角線即成
六直角三角形俱两两相等丁己丙與/丁庚丙等
丁己乙與丁戊乙等/丁戊甲與丁庚甲等又按甲戊度引乙
丙線至辛則乙辛為三邊之半總即三
[022-53b]
較之和乙己與乙戊等即甲丙邊與半/總之較己丙與丙庚等即甲乙
[022-54a]
邊與半總之較丙辛與甲戊甲/庚等即乙丙邊與半總之較試自辛
作直角將乙丁線引長作一乙辛壬直
角形則壬辛與丁己平行乙辛壬形與
乙己丁形遂為同式形其乙辛與乙己
之比即同於壬辛與丁己之比然乙辛
一率乙己二率之數雖有而壬辛之數
却無又但知己丙與丙辛相乘之數即
丁己與壬辛相乘之數故以己丙與丙
[022-54b]
辛相乘之數為三率何以知己丙與丙/辛相乘之數即丁
己與壬辛相乘之數試作壬丙線壬癸/線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直
角癸丙辛角與辛壬癸角相合共成一/百八十度然庚丙己角為癸丙辛角之
外角相合亦共成一百八十度是庚丙/己角與辛壬癸角等庚丁己角與癸丙
辛角等是以壬癸丙辛形與丙庚丁己/形為同式形而丙辛壬勾股形與丁巳
丙勾股形亦為同式形可互相比例矣/以丁己作一率己丙作二率丙辛作三
率即得四率壬辛是以己丙二率與丙/辛三率相乘之數即與丁己一率壬辛
四率相乘之數等故直以己/丙丙辛相乘之數作三率也其所得四
率即丁己自乘之數是故乙辛與乙己
[022-54b]
之比同於丁己與壬辛相乘之面即己/丙與
[022-55a]
丙辛相/乗之面與丁己自乘之面之比也既得
丁己自乘之面故開方而得丁己為三
角形自中心至三邊之垂線與丁戊與
丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑
也
[022-55b]
[022-55b]
製數理蘊下編卷十七
