[017-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十二
面部二
勾股定勾股無零數法形内勾股弦相求法附勾/股求積 勾股 求中垂線及容方圓
等形相求勾股弦/和較 法
[017-2a]
勾股
周髀曰折矩以為勾廣三股修四徑隅五既方其外
半其一矩環而共盤得成三四五兩矩共長二十有
五是為積矩此言勾股正數之所以立法也葢勾股
得長方之半形故其一角必成矩所謂直/角也而後可謂
勾股如其一角不能成矩則為三角形而非勾股矣
因勾股一角必直故立於圜界之正一半而自直角
所作垂線遂成連比例三率是以直角相對界所作
[017-2b]
方形之積必與兩傍二界所作兩方形之積等見幾/何原
本九卷/第四節而勾股弦彼此相求之法於此生焉其法所
該有四一勾股弦三者知其二而得其一或知其二
而得其積一勾股形自其直角對弦界求垂線一勾
股形内容方圓等形一勾股弦三者知其一復知其
餘二者之較或二者之和而得其二或知其兩較或
兩和或一較一和而得其三勾股弦和較之法雖雜/出多端然皆不出勾股
弦方積相求之理較有勾股較勾弦較股弦較和有/勾股和勾弦和股弦和和較相疉則又有弦與勾股
和相和或名之曰弦和和有弦與勾股和相較或名/之曰弦和較有弦與勾股較相和或名之曰弦較和
[017-2b]
有弦與勾股較相較或名之曰弦較較又有勾與股/弦和相和者或名之曰勾和和股與勾弦和相和者
[017-3a]
或名之曰股和和即弦和和也勾與股弦和相較者/或名之曰勾和較股與勾弦較相和者或名之曰股
較和即弦較和也股與勾弦和相較者或名之曰股/和較勾與股弦較相和者或名之曰勾較和即弦較
較也勾與股弦較相較者或名之曰勾較較股與/勾弦較相較者或名之曰股較較即弦和較也此
四者皆勾股之正法理一定而數隨之者也至若勾
三股四弦五之類倍之至於億兆而總不越此一定
之分者名曰正勾股槩以比例推之則三者止有其
一即可得其二或有積而即得其三界此為數一定
而法隨之者也一一按類列題發明如左
[017-3b]
定勾股弦無零數法
設如用二四八連比例三率定勾股弦無零數問各
得幾何
法以中率四命為四尺為股首率二尺
與末率八尺相減餘六尺折半得三尺
為勾首率二尺與末率八尺相加得十
尺折半得五尺為弦也如圖甲乙為首
率二尺丙乙為中率四尺乙丁為末率
八尺今以甲乙與乙丁相和共為甲丁
[017-3b]
十尺而以丙乙立於甲丁線相和之乙
[017-4a]
處乃以甲丁折半於戊以戊為心甲丙
丁為界作半圜復以丙至甲至丁作丙
甲丙丁二線遂成甲丙丁勾股形其丙
角立於圜界之半必為直角見幾何原/本四卷第
十四/節而丙乙為垂線即將甲丙丁勾股
形分為甲乙丙丙乙丁兩勾股形而與
原形為同式三勾股形矣見幾何原本/九卷第一節
其甲乙與丙乙之比同於丙乙與乙丁
[017-4b]
之比為連比例三率故以中率丙乙為
股而首率甲乙與己/丁等與末率乙丁相減
餘乙己折半得乙戊為勾又首率甲乙
與末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊
戊丁二半徑與丙戊等為弦也此法原
為定勾股弦三者俱無零數之法所設
之數必彼此可以度盡始可立為準則
否則勾股弦三者必有一不盡之數矣
設如有四六可以度盡之兩數欲定勾股弦無零數
[017-4b]
問各得幾何
[017-5a]
法以四尺為首率六尺為中率將中率
六尺自乗得三十六尺用首率四尺除
之得九尺為末率乃以中率六尺為股
首率四尺與末率九尺相減餘五尺折
半得二尺五寸為勾首率四尺與末率
九尺相加得十三尺折半得六尺五寸
為弦也如圖甲乙為首率四尺丙乙為
中率六尺今以中率六尺自乗用首率
[017-5b]
四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲
乙首率乙丁末率相和折半於戊以戊
為心甲丙丁為界作半圜復自丙至甲
至丁作二線則成甲丙丁直角三角形
其丙乙中率即為丙直角之垂線故以
中率丙乙為股而首率甲乙與末率乙
丁相減餘乙己折半得乙戊為勾而首
率甲乙與末率乙丁相加得甲丁折半
得甲戊戊丁與丙戊等為弦也
[017-5b]
設如有四六九連比例三率以中率六倍之為股定
[017-6a]
勾弦無零數問各得幾何
法以首率四尺與末率九尺相減餘五
尺為勾首率四尺與末率九尺相加得
十三尺為弦也如圖甲乙為首率四尺
丙乙為中率六尺乙丁為末率九尺爰
以甲乙首率與乙丁末率相和折半於
戊以戊為心甲丙丁為界作一全圜復
自丙至甲至丁作二線則成甲丙丁直
[017-6b]
角三角形其丙乙中率即為丙直角之
垂線今將中率丙乙倍之即得丙庚為
股故以首率甲乙與己/丁等與末率乙丁相
減餘乙己與庚辛等為勾又首率甲乙
與末率乙丁相加得甲丁全徑與丙辛
等為弦也葢前二法用中率為股故以
首率末率相減折半為勾首率末率相
加折半為弦此法則倍中率為股故以
首率末率相減即為勾首率末率相加
[017-6b]
即為弦而皆不用折半也又圖甲乙為
[017-7a]
首率四尺乙丙為末率九尺甲丙為首
率與末率相加之十三尺丁丙為首率
與末率相減所餘之五尺如依甲丙線
度作甲戊己丙正方形即為弦自乗之
方如依丁丙線度作丁庚辛丙正方形
即為勾自乗之方今以乙丙末率亦作
一正方形將兩邊線引長至甲戊己丙
正方形界則成甲癸丑乙與丑壬己子
[017-7b]
二長方形仍餘癸戊壬丑一小正方形
又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引長
至乙丑子丙正方形之丑子界則又成
乙丑寅丁一長方形與前一長方形等
仍餘庚寅子辛一小長方形合前癸戊
壬丑一小正方形則亦與前一長方形
等是此四長方形皆為首率與末率相
乗之長方而與中率自乗之正方形相
等矣見算法原本/二卷第三節如以此四長方形共
[017-7b]
計之則為甲戊己辛庚丁一磬折形今
[017-8a]
甲戊己丙既為弦自乗之一正方而丁
庚辛丙又為勾自乗之一正方則兩方
相減所餘之甲戊己辛庚丁磬折形之
積與股自乗之一正方等見幾何原本/九卷第四節
甲戊己辛庚丁磬折形既為四長方之
共積則四長方之共積亦必與股自乗
之一正方等首率末率相乗之四長方
既與股自乗之一正方等則中率自乗
[017-8b]
之四正方亦必與股自乗之一正方等
是故中率自乗之四正方合之而為股
自乗之一正方則其每邊必比中率各
大一倍見幾何原本/七卷第五節故倍中率而為股
者必取首率末率之和而為弦首率末
率之較而為勾葢首率末率相和自乗
之一正方内減去首率末率相較自乗
之一正方甫能得中率加倍自乗之一
正方積也
[017-9a]
勾股弦相求法勾股求積附/
設如有股四尺勾三尺求弦幾何
法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自
乗得九尺相加得二十五尺開方得五
尺即為弦也如圖甲乙丙勾股形其甲
乙股所作丁戊乙甲正方形積乙丙勾
所作乙己庚丙正方形積相併必與甲
丙弦所作甲丙壬辛正方形積等試自
[017-9b]
乙直角過甲丙弦作一乙癸子線則將
甲丙壬辛正方形分為甲癸子辛癸丙
壬子二長方形而甲乙丙勾股形分為
甲乙癸乙丙癸同式兩勾股形矣其甲
癸與甲乙之比同於甲乙與甲丙之比
為連比例三率故甲乙中率所作丁戊
乙甲正方形與甲癸首率甲丙末率相
等之甲辛所作甲癸子辛長方形之積
相等也又癸丙與乙丙之比同於乙丙
[017-9b]
與甲丙之比為連比例三率故乙丙中
[017-10a]
率所作乙己庚丙正方形與癸丙首率
甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子
長方形之積相等也一正方所分之二
長方既與二正方之積相等則此二正
方之積相合與彼一正方之積相等可
知矣
設如有勾五尺弦十三尺求股幾何
法以勾五尺自乗得二十五尺弦十三
[017-10b]
尺自乗得一百六十九尺相減餘一百
四十四尺開方得十二尺即為股也如
圖甲乙丙勾股形自乙直角過甲丙弦
作一乙癸子線則將甲丙壬辛正方形
分為甲癸子辛癸丙壬子二長方形其
癸丙壬子長方形積與乙丙勾所作乙
己庚丙正方形積等其甲癸子辛長方
形積與甲乙股所作丁戊乙甲正方形
積等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形
[017-10b]
内減去與乙己庚丙正方形相等之癸
[017-11a]
丙壬子長方形餘甲癸子辛長方形即
與丁戊乙甲正方形之積相等故開方
而得甲乙為股也
設如有股二十一尺弦二十九尺求勾幾何
法以股二十一尺自乗得四百四十一
尺弦二十九尺自乗得八百四十一尺
相減餘四百尺開方得二十尺即為勾
也如圖甲乙丙勾股形自乙直角過甲
[017-11b]
丙弦作一乙癸子線則將甲丙壬辛正
方形分為甲癸子辛癸丙壬子二長方
形其甲癸子辛長方形積與甲乙股所
作丁戊乙甲正方形積等其癸丙壬子
長方形積與乙丙勾所作乙己庚丙正
方形積等故甲丙弦所作甲丙壬辛正
方形内減去與丁戊乙甲正方形相等
之甲癸子辛長方形餘癸丙壬子長方
形即與乙己庚丙正方形之積相等故
[017-11b]
開方而得乙丙為勾也
[017-12a]
設如有勾六尺股八尺求面積幾何
法以勾六尺與股八尺相乗得四十八
尺折半得二十四尺為面積也如圖甲
乙丙勾股形其乙丙勾與甲乙股相乗
則成甲乙丙丁長方形其積比甲乙丙
勾股形正大一倍故折半得勾股積也
若有勾弦求面積則用勾弦求股之法
得股與勾相乗折半得面積或有股弦
[017-12b]
求面積則用股弦求勾之法得勾與股
相乗折半得面積也
又法將勾六尺折半得三尺與股八尺
相乗亦得二十四尺為面積也如圖甲
乙丙勾股形將乙丙勾折半為乙丁與
甲乙股相乗成甲乙丁戊長方形其甲
戊己小勾股形與己丁丙小勾股形之
積等如以甲戊己小勾股形移於己丁
丙適合甲乙丙勾股形積故甲乙丁戊
[017-12b]
長方形積與甲乙丙勾股形積相等也
[017-13a]
勾股形内求中垂線及容方圓等形
設如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角對弦界作
垂線問得幾何
法以弦十尺為一率勾六尺為二率股
八尺為三率推得四率四尺八寸即為
自直角對弦界所作垂線也如圖甲乙
丙勾股形作甲丁垂線則將甲乙丙勾
股形分為甲丁乙甲丁丙兩勾股形皆
[017-13b]
與原形為同式故原甲乙丙勾股形之
乙丙弦與甲乙勾之比同於今所分甲
丁丙勾股形之甲丙弦與甲丁勾之比
而為相當比例四率也
設如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角對弦界作
垂線分弦為二段問所分二段大小各幾何
法以勾六尺自乗得三十六尺以弦十
尺除之得三尺六寸為垂線所分之小
界以股八尺自乗得六十四尺以弦十
[017-13b]
尺除之得六尺四寸為垂線所分之大
[017-14a]
界也如圖甲乙丙勾股形作甲丁垂線
則分甲乙丙勾股形為甲丁乙甲丁丙
兩勾股形皆與原形為同式故原甲乙
丙勾股形之乙丙弦與甲乙勾之比同
於今所分甲丁乙勾股形之甲乙弦與
乙丁勾之比為連比例三率而原甲乙
丙勾股形之乙丙弦與甲丙股之比又
同於今所分甲丁丙勾股形之甲丙弦
[017-14b]
與丙丁股之比亦為連比例三率是以
原甲乙丙勾股形之甲乙勾又為今所
分甲丁乙勾股形之弦者為中率自乗
而以原甲乙丙勾股形之乙丙弦為首
率除之得末率乙丁為甲丁垂線所分
之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又
為今所分甲丁丙勾股形之弦者為中
率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙
弦為首率除之得末率丁丙為甲丁垂
[017-14b]
線所分之大界也
[017-15a]
設如有勾五尺股十二尺問内容方邊幾何
法以勾五尺與股十二尺相加得十七
尺為一率勾五尺為二率股十二尺為
三率推得四率三尺五寸二分九釐有
餘為内容方邊也如圖甲乙丙勾股形
甲乙為股十二尺乙丙為勾五尺試依
乙丙勾數將甲乙股引長作甲戊線為
勾股和十七尺自戊與乙丙勾平行作
[017-15b]
戊丁線又將甲丙弦引長作甲丁線則
成甲戊丁同式勾股形復自丙角與甲
戊線平行作丙壬線則成丙壬戊乙正
方即為甲戊丁勾股形所容之方故甲
戊丁勾股形之甲戊股與乙丙方邊之
比同於甲乙丙勾股形之甲乙股與己
辛方邊之比也
設如有方城一座四正有門自南門直行八里有一
塔自西門直行至二里切城角亦望見塔問城每
[017-15b]
面幾何
[017-16a]
法以西門外二里與南門外八里相乗
得十六里開方得四里倍之得八里即
為城每一面之數也如圖甲乙丙勾股
形乙己為西門外二里甲丁為南門外
八里戊己與戊丁皆為城之每邊之一
半而甲丁戊勾股形與戊己乙勾股形
為同式故乙己與己戊之比同於戊丁
與丁甲之比為相當比例四率且己戊
[017-16b]
與戊丁皆為一體故又為相連比例三
率是以乙己首率與甲丁末率相乗開
方而得戊丁或戊己皆為中率為城之
每邊之一半也
設如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊長方形但知
丁戊寛為戊丙長四分之一從甲至戊為四尺從
乙至己為九尺問長方及勾股各幾何
法以甲戊四尺與乙己九尺相乗得三
十六尺為内容長方之積用四歸之得
[017-16b]
九尺開方得三尺為己丙即長方之闊
[017-17a]
以四因之得十二尺為戊丙即長方之
長以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六
尺為股以己丙三尺加乙己九尺得十
二尺為勾也葢丁己乙勾股形與甲戊
丁勾股形皆與甲乙丙勾股形為同式
故丁己乙勾股形之乙己勾與丁己股
之比即同於甲戊丁勾股形之丁戊勾
與甲戊股之比而乙己首率與甲戊四
[017-17b]
率相乗之數必與丁己二率與丁戊三
率相乗之數相等是以乙己與甲戊相
乗即為丁己丙戊長方形之積也丁戊
既為戊丙之四分之一則以四歸之即
成丁戊線所作之正方形積故開方得
丁戊之闊又四因之而得戊丙之長也
既得丁戊而丁戊與己丙等故己丙與
乙己相加得乙丙之勾而戊丙與甲戊
相加得甲丙之股也
[017-17b]
設如有勾八尺股十五尺弦十七尺問内容圓徑幾
[017-18a]
何
法以勾八尺與股十五尺相乗得一百
二十尺乃以勾八尺股十五尺弦十七
尺三數相加共四十尺除之得三尺為
容圓半徑倍之得六尺為容圓全徑也
如圖甲乙丙勾股形内容丁圜形試自
圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁
丙三線則分甲乙丙勾股形為甲丁乙
[017-18b]
甲丁丙乙丁丙三三角形勾股弦三線
皆為三角形之底邊而丁戊半徑皆為
其垂線矣今勾股相乗所得之長方積
原比甲乙丙勾股形積大一倍即如將
所分三三角形各用垂線乗底邊所得
之三長方積合為一長方也三長方之
長雖不同而闊則一故各以長除積而
得闊者即如合勾股弦三邊除勾股相
乗之積而得半徑也
[017-18b]
又法以勾八尺與股十五尺相加得二
[017-19a]
十三尺内減弦十七尺餘六尺即為内
容圓之全徑也如圖甲乙丙勾股形自
圜中心作丁甲丁乙丁丙三線又作丁
戊丁己丁庚三垂線則丙戊與丙己等
甲戊與甲庚等乙己與乙庚原等甲乙
股與乙丙勾相併比甲丙弦所多者惟
乙己乙庚二段今於甲乙股乙丙勾相
併度内減去甲丙弦即如甲乙股内減
[017-19b]
去與甲戊等之甲庚乙丙勾内減去與
丙戊等之丙己所餘者止乙庚與乙己
皆為圓之半徑二半徑相合非全徑耶
[017-20a]
勾股弦和較相求法上/
勾股弦和較相求之法錯綜變換共有六十舊算書
所有者八按舊法可以變通者三十有四舊法所無
今創立者一十有八依題比類列目於前按法循序
設問於後以備人之觀覽焉
有勾有股弦較求股弦第一/舊有
有勾有股弦和求股弦第二/舊有
有股有勾弦較求勾弦第三/舊有
[017-20b]
有股有勾弦和求勾弦第四/舊有
有弦有勾股較求勾股第五/舊有
有弦有勾股和求勾股第六/舊有
有勾弦和有股弦和求勾股弦第七/舊有
有勾股和有股弦和求勾股弦第八/新立
有勾股和有勾弦和求勾股弦第九/新立
有勾弦較有股弦較求勾股弦第十/舊有
有勾股較有勾弦較求勾股弦第十一按/舊法變通
有勾股較有股弦較求勾股弦第十二按/舊法變通
[017-20b]
有勾股和有勾弦較求勾股弦第十四/新立
[017-21a]
有勾股和有股弦較求勾股弦第十五/新立
有勾弦和有股弦較求勾股弦並見第十/五新立
有勾弦和有勾股較求勾股弦第十三按/舊法變通
有股弦和有勾弦較求勾股弦并見第十/四新立
有股弦和有勾股較求勾股弦并見第十三/按舊法變通
有勾有勾股弦總和求股弦第十八按/舊法變通
有勾有弦與勾股和之較求股弦第十六按/舊法變通
有勾有弦與勾股較之和求股弦第十九按/舊法變通
[017-21b]
有勾有弦與勾股較之較求股弦第十七按/舊法變通
有股有勾股弦總和求勾弦第二十二按/舊法變通
有股有弦與勾股和之較求勾弦第二十按/舊法變通
有股有弦與勾股較之和求勾弦第二十三按/舊法變通
有股有弦與勾股較之較求勾弦第二十一按/舊法變通
有弦有勾股弦總和求勾股第二十六按/舊法變通
有弦有弦與勾股和之較求勾股第二十四按/舊法變通
有弦有弦與勾股較之和求勾股第二十七按/舊法變通
有弦有弦與勾股較之較求勾股第二十五按/舊法變通
[017-21b]
有勾股和有勾股弦總和求勾股弦并見第二/十六按舊
[017-22a]
法變/通
有勾股和有弦與勾股和之較求勾股弦并見/第二
十四按舊/法變通
有勾股和有弦與勾股較之和求勾股弦第三/十八
新/立
有勾股和有弦與勾股較之較求勾股弦第三/十七
新/立
有勾弦和有勾股弦總和求勾股弦并見第二/十二按舊
[017-22b]
法變/通
有勾弦和有弦與勾股和之較求勾股弦第三/十九
新/立
有勾弦和有弦與勾股較之和求勾股弦第十/四新
立/
有勾弦和有弦與勾股較之較求勾股弦并見/第二
十一按舊/法變通
有股弦和有勾股弦總和求勾股弦并見第十/八按舊法
變/通
[017-22b]
有股弦和有弦與勾股和之較求勾股弦第四/十一
[017-23a]
新/立
有股弦和有弦與勾股較之和求勾股弦並見/第十
九按舊/法變通
有股弦和有弦與勾股較之較求勾股弦第四/十二
新/立
有勾股較有勾股弦總和求勾股弦第三十/四新立
有勾股較有弦與勾股和之較求勾股弦第四/十三
新/立
[017-23b]
有勾股較有弦與勾股較之和求勾股弦并見/第二
十七按舊/法變通
有勾股較有弦與勾股較之較求勾股弦并見/第二
十五按舊/法變通
有勾弦較有勾股弦總和求勾股弦第三十/五新立
有勾弦較有弦與勾股和之較求勾股弦并見/第二
十按舊/法變通
有勾弦較有弦與勾股較之和求勾股弦并見/第二
十三按舊/法變通
[017-23b]
有勾弦較有弦與勾股較之較求勾股弦第四/十四
[017-24a]
新/立
有股弦較有勾股弦總和求勾股弦第三十/六新立
有股弦較有弦與勾股和之較求勾股弦并見/第十
六按舊/法變通
有股弦較有弦與勾股較之和求勾股弦第四/十五
新/立
有股弦較有弦與勾股較之較求勾股弦并見/第十
七按舊/法變通
[017-24b]
有勾股弦總和有弦與勾股和之較求勾股弦
第三十三按/舊法變通
有勾股弦總和有弦與勾股較之和求勾股弦
第三十按/舊法變通
有勾股弦總和有弦與勾股較之較求勾股弦
第三十一按/舊法變通
有弦與勾股和之較有弦與勾股較之和求勾
股弦第二十九按/舊法變通
有弦與勾股和之較有弦與勾股較之較求勾
[017-24b]
股弦第二十八按/舊法變通
[017-25a]
有弦與勾股較之和有弦與勾股較之較求勾
股弦第三十二按/舊法變通
設如有勾十五尺股弦較五尺求股弦各幾何第/一
法以勾十五尺自乗得二百二十五尺
以股弦較五尺除之得四十五尺為股
弦和與股弦較五尺相加得五十尺折
半得二十五尺為弦於弦二十五尺内
減股弦較五尺餘二十尺為股也如圖
[017-25b]
甲乙為勾十五尺丁乙為股弦較五尺
試自甲至丁作甲丁線則成甲乙丁勾
股形復以丁乙線引長而以甲為直角
作甲丙線則又成丙甲丁勾股形爰以
丁丙線折半於戊而以戊為心甲為界
作丙甲丁半圜則丁乙甲乙乙丙即為
連比例三率故以中率甲乙勾自乗以
首率丁乙股弦較除之得末率乙丙為
股弦和也乙丙與丁乙相加得丁丙全
[017-25b]
徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等
[017-26a]
故甲戊為弦於丁戊半徑内減丁乙股
弦較餘乙戊即為股也又圖甲乙丙丁
為弦自乗之正方積甲庚己戊為股自
乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形
與勾自乗之正方積相等今將戊己辛
丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長
方形其庚壬長即股弦和其庚乙闊即
股弦較故將勾自乗之數以股弦較除
[017-26b]
之而得股弦和也
又法以勾十五尺自乗得二百二十五
尺又以股弦較五尺自乗得二十五尺
相減餘二百尺折半得一百尺以股弦
較五尺除之得二十尺為股加股弦較
五尺得二十五尺為弦也如圖甲乙丙
丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為股
自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折
形與勾自乗之正方積相等而已壬丙
[017-26b]
辛即股弦較自乗之正方積也於乙丙
[017-27a]
丁戊己庚磬折形積内減己壬丙辛股
弦較自乗之正方積餘庚乙壬己與戊
己辛丁二長方形折半即餘戊己辛丁
一長方形其戊己長即股其己辛闊即
股弦較故以股弦較除折半之積而得
股也
設如有勾二十八尺股弦和九十八尺求股弦各幾
何第/二
[017-27b]
法以勾二十八尺自乗得七百八十四
尺以股弦和九十八尺除之得八尺為
股弦較與股弦和九十八尺相加得一
百零六尺折半得五十三尺為弦於股
弦和九十八尺内減弦五十三尺餘四
十五尺為股也如圖甲乙為勾二十八
尺乙丙為股弦和九十八尺試自甲至
丙作甲丙線則成甲乙丙勾股形復以
乙丙線引長而以甲為直角作甲丁線
[017-27b]
則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折
[017-28a]
半於戊而以戊為心作丙甲丁半圜則
乙丙甲乙丁乙即為連比例三率故以
中率甲乙勾自乗以首率乙丙股弦和
除之得末率丁乙為股弦較也丁乙與
乙丙相加得丁丙全徑折半得丁戊戊
丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於乙
丙股弦和内減戊丙半徑或於丁戊半
徑内減丁乙股弦較餘乙戊即為股也
[017-28b]
又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲
庚己戊為股自乗之正方積故乙丙丁
戊己庚磬折形與勾自乗之正方積相
等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成
庚乙癸壬一長方形其庚壬長即股弦
和其庚乙闊即股弦較故勾自乗之數
以股弦和除之而得股弦較也
又法以勾二十八尺自乗得七百八十
四尺又以股弦和九十八尺自乗得九
[017-28b]
千六百零四尺兩數相加得一萬零三
[017-29a]
百八十八尺折半得五千一百九十四
尺以股弦和九十八尺除之得五十三
尺為弦於股弦和九十八尺内減弦五
十三尺餘四十五尺為股也如圖甲乙
丙丁為股弦和自乗之正方積内戊己
丙庚為弦自乗之正方積甲辛戊壬為
股自乗之正方積辛乙己戊與壬戊庚
丁為股弦相乗之二長方積勾自乗之
[017-29b]
正方積則與癸子辛甲壬丑磬折形相
等如加甲辛戊壬股自乗之正方積則
成癸子戊丑正方形為一勾方一股方
相和之積而與戊己丙庚一弦方之積
相等今以勾自乗之磬折形之積加於
股弦和自乗之正方積内即如將癸寅
壬丑長方形移補於子夘乙辛遂成寅
卯丙丁一大長方形折半則餘壬己丙
丁一長方形其闊即弦其長即股弦和
[017-29b]
故以股弦和除折半之積而得弦也
[017-30a]
設如有股三十二尺勾弦較十六尺求勾弦各幾何
第/三
法以股三十二尺自乗得一千零二十
四尺以勾弦較十六尺除之得六十四
尺為勾弦和與勾弦較十六尺相加得
八十尺折半得四十尺為弦於弦四十
尺内減勾弦較十六尺餘二十四尺為
勾也如圖甲乙為股三十二尺丁乙為
[017-30b]
勾弦較十六尺試自甲至丁作甲丁線
則成甲乙丁勾股形復以丁乙線引長
而以甲為直角作甲丙線則又成丙甲
丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以
戊為心甲為界作丙甲丁半圜則丁乙
甲乙乙丙即為連比例三率故以中率
甲乙股自乗以首率丁乙勾弦較除之
得末率乙丙為勾弦和也丁乙與乙丙
相加為丁丙全徑折半得丁戊戊丙半
[017-30b]
徑俱與甲戊等故甲戊為弦於丁戊半
[017-31a]
徑内減丁乙勾弦較餘乙戊即為勾也
又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲
庚己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁
戊己庚磬折形與股自乗之正方積相
等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成
庚乙癸壬一長方形其庚壬長即勾弦
和其庚乙闊即勾弦較故將股自乗之
數以勾弦較除之而得勾弦和也
[017-31b]
又法以股三十二尺自乗得一千零二
十四尺又以勾弦較十六尺自乗得二
百五十六尺相減餘七百六十八尺折
半得三百八十四尺以勾弦較十六尺
除之得二十四尺為勾加勾弦較十六
尺得四十尺為弦也如圖甲乙丙丁為
弦自乗之正方積甲庚己戊為勾自乗
之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與
股自乗之正方積相等而以壬丙辛即
[017-31b]
勾弦較自乗之正方積也於乙丙丁戊
[017-32a]
己庚磬折形積内減己壬丙辛勾弦較
自乗之正方積餘庚乙壬己與戊己辛
丁二長方形折半即餘戊己辛丁一長
方形其戊己長即勾其己辛闊即勾弦
較故以勾弦較除折半之積而得勾也
設如有股八尺勾弦和十六尺求勾弦各幾何第/四
法以股八尺自乗得六十四尺以勾弦
和十六尺除之得四尺為勾弦較與勾
[017-32b]
弦和十六尺相加得二十尺折半得十
尺為弦於勾弦和十六尺内減弦十尺
餘六尺為勾也如圖甲乙為股八尺乙
丙為勾弦和十六尺試自甲至丙作甲
丙線則成甲乙丙勾股形復以乙丙線
引長而以甲為直角作甲丁線則又成
丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊
而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則
乙丙甲乙丁乙即為連比例三率故將
[017-32b]
中率甲乙股自乗以首率乙丙勾弦和
[017-33a]
除之得末率丁乙為勾弦較也丁乙與
乙丙相加為丁丙全徑折半得丁戊戊
丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於乙
丙勾弦和内減戊丙半徑或丁戊半徑
内減丁乙勾弦較餘乙戊即為勾也又
圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚
己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁戊
己庚磬折形與股自乗之正方積相等
[017-33b]
今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚
乙癸壬一長方形其庚壬長即勾弦和
其庚乙闊即勾弦較故股自乗之數以
勾弦和除之而得勾弦較也
又以法股八尺自乗得六十四尺又以
勾弦和十六尺自乗得二百五十六尺
相加得三百二十尺折半得一百六十
尺以勾弦和十六尺除之得十尺為弦
於勾弦和十六尺内減弦十尺餘六尺
[017-33b]
為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗
[017-34a]
之正方積内戊己丙庚為弦自乗之正
方積甲辛戊壬為勾自乗之正方積辛
乙己戊與壬戊庚丁為勾弦相乗之二
長方積股自乗之正方積則與癸子辛
甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬
勾自乗之正方積則成癸子戊丑正方
形為一勾方一股方相和之積而與戊
己丙庚一弦方之積相等今以股自乗
[017-34b]
之磬折形之積加於勾弦和自乗之正
方積内即如將癸寅壬丑長方形移補
於子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大長方
形折半則餘壬己丙丁一長方形其闊
即弦其長即勾弦和故以勾弦和除折
半之積而得弦也
設如有弦三十四尺勾股較十四尺求勾股各幾何
第/五
法以弦三十四尺自乗得一千一百五
[017-34b]
十六尺又以勾股較自乗得一百九十
[017-35a]
六尺相減餘九百六十尺折半得四百
八十尺為勾股相乗之一長方形積乃
以勾股較十四尺為長闊較用帶縱較
數開方法算之得闊十六尺為勾得長
三十尺為股也如圖甲乙丙丁為弦自
乗之正方積戊己庚辛為勾股較自乗
之正方積相減餘甲戊乙類四勾股形
為二長方形積折半餘一長方形積其
[017-35b]
闊即勾其長即股其長闊較即勾股較
故以帶縱較數開方法算之而得闊為
勾得長為股也
又法以弦三十四尺自乗得一千一百
五十六尺倍之得二千三百一十二尺
又以勾股較十四尺自乗得一百九十
六尺相減餘二千一百一十六尺開方
得四十六尺為勾股和於勾股和四十
六尺内減勾股較十四尺餘三十二尺
[017-35b]
折半得十六尺為勾於勾十六尺加勾
[017-36a]
股較十四尺得三十尺為股也如圖甲
乙丙丁為勾股和自乗之正方内容甲
戊己類八勾股積與壬癸子丑一勾股
較積戊己庚辛為弦自乗之正方内容
戊癸己類四勾股積與壬癸子丑一勾
股較積倍之則為八勾股積二勾股較
積即如甲乙丙丁一大正方形仍餘壬
癸子丑一小正方形今減所餘壬癸子
[017-36b]
丑一小正方形即一勾/股較積仍餘八勾股積
一勾股較積為甲乙丙丁正方形即勾
股和自乗之方故開方而得勾股和也
設如有弦三十九尺勾股和五十一尺求勾股各幾
何第/六
法以勾股和五十一尺自乗得二千六
百零一尺又以弦三十九尺自乗得一
千五百二十一尺相減餘一千零八十
尺折半得五百四十尺為勾股相乗之
[017-36b]
一長方形積乃以勾股和五十一尺為
[017-37a]
長闊和用帶縱和數開方法算之得闊
十五尺為勾得長三十六尺為股也如
圖甲乙丙丁為勾股和自乗之正方積
戊己庚辛為弦自乗之正方積相減餘
甲戊己類四勾股形為二長方形積折
半餘一長方形積其闊即勾其長即股
其長闊和即勾股和故以帶縱和數開
方法算之而得闊為勾得長為股也
[017-37b]
又法以弦三十九尺自乗得一千五百
二十一尺倍之得三千零四十二尺又
以勾股和五十一尺自乗得二千六百
零一尺相減餘四百四十一尺開方得
二十一尺為勾股較於勾股和五十一
尺内減勾股較二十一尺餘三十尺折
半得十五尺為勾於勾十五尺加勾股
較二十一尺得三十六尺為股也如圖
戊己庚辛為弦自乗之正方内容戊癸
[017-37b]
己類四勾股積與壬癸子丑一勾股較
[017-38a]
積倍之則為八勾股積二勾股較積即
如甲乙丙丁一大正方形仍餘壬癸子
丑一小正方形又甲乙丙丁為勾股和
自乘之正方内容甲戊巳類八勾股積
壬癸子丑一勾股較積今以所倍之一
大正方形又餘一小正方形内減甲乙
丙丁正方形即餘壬癸子丑一小正方
形為勾股較積故開方而得勾股較也
[017-38b]
設如有勾弦和二十四尺股弦和二十七尺求勾股
弦各幾何第/七
法以勾弦和二十四尺與股弦和二十
七尺相乗得六百四十八尺倍之得一
千二百九十六尺開方得三十六尺為
勾股弦總和於總和三十六尺内減勾
弦和二十四尺餘十二尺為股於總和
三十六尺内減股弦和二十七尺餘九
尺為勾於股弦和二十七尺内減股十
[017-38b]
二尺或勾弦和二十四尺内減勾九尺
[017-39a]
餘十五尺為弦也如圖甲乙線為勾弦
和甲丁線為股弦和相乗得甲乙丙丁
長方形内戊己庚丁為弦自乗之正方
辛乙壬己為勾股相乗之長方甲辛巳
戊為股弦相乘之長方己壬丙庚為勾
弦相乗之長方倍之即為癸子丑寅一
大正方其每一邊即勾股弦之總和其
卯辰己寅為弦自乗之正方即如前圖
[017-39b]
之戊己庚丁然其午未申辰為股自乘
之正方其酉子戌未為勾自乗之正方
兩方相合又與前圖戊己庚丁弦自乗
之正方相等其艮酉未午與未戌乾申
為勾股相乗之二長方每一形即如前
圖之辛乙壬己然其亥午辰卯與辰申
坎巳為股弦相乗之二長方每一形即
如前圖之甲辛己戊然其癸艮午亥與
申乾丑坎為勾弦相乗之二長方每一
[017-39b]
形即如前圖之己壬丙庚然因癸子丑
[017-40a]
寅正方比甲乙丙丁長方每一形俱多
一倍故甲乙勾弦和甲丁股弦和相乗
所成之甲乙丙丁長方倍之而與癸子
丑寅正方等開方得癸子類之每一邊
皆為勾股弦之總和也
設如有勾股和二十一尺股弦和二十七尺求勾股
弦各幾何第/八
法以勾股和二十一尺自乗得四百四
[017-40b]
十一尺又以股弦和二十七尺自乗得
七百二十九尺兩數相減餘二百八十
八尺乃以勾股和二十一尺與勾弦和
二十七尺相減餘六尺為勾弦較葢股/與勾
和股與弦和皆為一股所/和故相減即勾弦較也自乗得三十
六尺與兩和自乗相減之餘二百八十
八尺相加得三百二十四尺開方得十
八尺為股與勾弦較之和内減勾弦較
六尺餘十二尺為股於勾股和二十一
[017-40b]
尺内減股十二尺餘九尺為勾加勾弦
[017-41a]
較六尺得十五尺為弦也如圖甲乙丙
丁為勾股和自乗之一大正方内戊乙
庚己為股自乘之一正方辛己壬丁為
勾自乘之一正方甲戊已辛與己庚丙
壬為勾股相乗之二長方又癸子丑寅
為股弦和自乗之一大正方内卯子巳
辰為股自乗之一正方午辰未寅為弦
自乗之一正方癸卯辰午與辰巳丑未
[017-41b]
為股弦相乗之二長方今甲乙丙丁勾
股和自乗之方與癸子丑寅股弦和自
乗之方相減則於癸子丑寅股弦和自
乗之方内去卯子己辰股自乗之一正
方酉辰戌乾勾自乗之一正方又去申
卯辰酉與辰巳亥戌勾股相乗之二長
方所餘癸申酉午與戌亥丑未二長方
為勾弦較與股相乗之二長方又午酉
乾戌未寅一磬折形為弦自乗之一正
[017-41b]
方内減勾自乗之一正方所餘之股自
[017-42a]
乗之一正方如以此磬折形積作一股
自乗之一正方再加癸申酉午與戌亥
丑未之勾弦較與股相乗之二長方則
惟缺午艮未震為勾弦較自乗之一小
正方今以勾弦較自乗之數加於兩和
自乗相減之餘甫成癸坎丑震一正方
故開方而得癸坎類之每一邊為股與
勾弦較相和之數也
[017-42b]
設如有勾股和二十一尺勾弦和二十四尺求勾股
弦各幾何第/九
法以勾股和二十一尺自乗得四百四
十一尺又以勾弦和二十四尺自乗得
五百七十六尺兩數相減餘一百三十
五尺乃以勾股和二十一尺與勾弦和
二十四尺相減餘三尺為股弦較葢勾/與股
和勾與弦和皆為一勾所/和故相減即股弦較也自乗得九尺
與兩和自乗相減之餘一百三十五尺
[017-42b]
相加得一百四十四尺開方得十二尺
[017-43a]
為勾與股弦較之和内減股弦較三尺
餘九尺為勾於勾股和二十一尺内減
勾九尺餘十二尺為股加股弦較三尺
得十五尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾
股和自乗之一大正方内戊乙庚己為
勾自乗之一正方辛已壬丁為股自乗
之一正方甲戊已辛與己庚丙壬為勾
股相乘之二長方又癸子丑寅為勾弦
[017-43b]
和自乗之一大正方内卯子巳辰為勾
自乗之一正方午辰未寅為弦自乗之
一正方癸卯辰午與辰己丑未為勾弦
相乗之二長方今甲乙丙丁勾股和自
乗之方與癸子丑寅勾弦和自乗之方
相減則於癸子丑寅勾弦和自乗之方
内去卯子己辰勾自乘之一正方酉辰
戌乾股自乘之一正方又去申卯辰酉
與辰己亥戌勾股相乗之二長方所餘
[017-43b]
癸申酉午與戌亥丑未二長方為股弦
[017-44a]
較與勾相乗之二長方又午酉乾戌未
寅一磬折形為弦自乗之一正方内減
股自乗之一正方所餘之勾自乗之一
正方如以此磬折形積作一勾自乗之
一正方再加癸申酉午與戌亥丑未之
股弦較與勾相乗之二長方則惟缺午
艮未震為股弦較自乗之一小正方今
以股弦較自乗之數加於兩和自乗相
[017-44b]
減之餘甫成癸坎丑震一正方故開方
而得癸坎類之每一邊為勾與股弦較
相和之數也
設如有勾弦較九尺股弦較二尺求勾股弦各幾何
第/十
法以勾弦較九尺與股弦較二尺相乗
得十八尺倍之得三十六尺開方得六
尺為弦比勾股和相差之較加股弦較
二尺得八尺為勾加勾弦較九尺得十
[017-44b]
五尺為股於勾數加勾弦較九尺得十
[017-45a]
七尺為弦或於股數加股弦較二尺亦
得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦
自乗之一正方戊己丙庚為股自乗之
一正方二方相減所餘甲乙己戊庚丁
磬折形即與勾自乗之一正方等而乙
己與庚丁皆為股弦較試作甲壬癸辛
一正方為勾自乗之方則壬乙與辛丁
皆為股弦較其壬丑與乙己等辛子與
[017-45b]
丁庚等亦皆為股弦較以壬乙之勾弦
較與壬丑之股弦較相乗則成壬乙己
丑之一長方形以辛丁之勾弦較與辛
子之股弦較相乗則成辛子庚丁之一
長方形此兩長方形必與戊丑癸子一
正方形相等何也葢甲乙己戊庚丁與
勾自乗之一正方相等之磬折形内減
甲壬丑戊子辛一小磬折形則餘壬乙
己丑與辛子庚丁二長方形若於甲壬
[017-45b]
癸辛勾自乗之一正方内減甲壬丑戊
[017-46a]
子辛磬折形則餘戊丑癸子一小正方
形夫甲乙己戊庚丁磬折形既與甲壬
癸辛之勾自乗之一正方相等今同減
去甲壬丑戊子辛磬折形則彼所餘之
二長方必與此所餘之一正方相等可
知矣故勾弦較與股弦較相乗倍之開
方而得弦比勾股和相差之較加股弦
較得勾加勾弦較而得股也葢圖以乙/丙為弦己
[017-46b]
丙為股故乙己為股弦較若以壬癸勾/與己丙股相和則壬癸勾之壬丑一段
即為股弦較而勾股和比弦所多者惟/丑癸一段故丑癸為弦比勾股和相差
之較/也
設如有勾股較三十四尺勾弦較三十六尺求勾股
弦各幾何第十/一
法以勾股較三十四尺與勾弦較三十
六尺相減餘二尺為股弦較即如前法
以股弦較二尺與勾弦較三十六尺相
乗得七十二尺倍之得一百四十四尺
[017-46b]
開方得十二尺為弦比勾股和相差之
[017-47a]
較加股弦較二尺得十四尺為勾加勾
弦較三十六尺得四十八尺為股於勾
數加勾弦較三十六尺得五十尺為弦
或於股數加股弦較二尺亦得五十尺
為弦也如圖甲乙為勾甲丙為股甲丁
為弦乙丙為勾股較乙丁為勾弦較而
丙丁為股弦較今以乙丁勾弦較減乙
丙勾股較所餘丙丁即為股弦較既得
[017-47b]
股弦較則如勾弦較股弦較求勾股弦
之法算之即得各數矣
設如有勾股較十四尺股弦較二尺求勾股弦各幾
何第二/十
法以勾股較十四尺與股弦較二尺相
加得十六尺為勾弦較即如前法以勾
弦較十六尺與股弦較二尺相乗得三
十二尺倍之得六十四尺開方得八尺
為弦比勾股和相差之較加股弦較二
[017-47b]
尺得十尺為勾加勾弦較十六尺得二
[017-48a]
十四尺為股於勾數加勾弦較十六尺
得二十六尺為弦或於股數加股弦較
二尺亦得二十六尺為弦也如圖甲乙
為勾甲丙為股甲丁為弦乙丙為勾股
較丙丁為股弦較而乙丁為勾弦較今
以乙丙勾股較與丙丁股弦較相加則
得乙丁之勾弦較既得勾弦較則如勾
弦較股弦較求勾股弦之法算之即得
[017-48b]
各數矣
設如有勾弦和二十四尺勾股較三尺求勾股弦各
幾何第十/三
法以勾弦和二十四尺加勾股較三尺
得二十七尺為股弦和用勾弦和股弦
和求勾股弦之法算之以勾弦和二十
四尺與股弦和二十七尺相乗得六百
四十八尺倍之得一千二百九十六尺
開方得三十六尺為勾股弦總和内減
[017-48b]
勾弦和二十四尺餘十二尺為股減勾
[017-49a]
股較三尺餘九尺為勾於勾弦和二十
四尺内減勾九尺餘十五尺為弦也如
圖甲丙為股乙丙為勾丙丁為弦乙丁
為勾弦和甲乙為勾股較而甲丁為股
弦和故甲乙勾股較與乙丁勾弦和相
加得甲丁為股弦和也若夫股弦和勾
股較求勾股弦者則於股弦和内減勾
股較即勾弦和亦用勾弦和股弦和求
[017-49b]
勾股弦之法算之如甲丙為股乙丙為
勾丙丁為弦則甲丁為股弦和甲乙為
勾股較而乙丁為勾弦和故於甲丁股
弦和内減甲乙勾股較餘乙丁為勾弦
和也
設如有勾股和二十三尺勾弦較九尺求勾股弦各
幾何第十/四
法以勾股和二十三尺加勾弦較九尺
得三十二尺為股弦和用勾股和股弦
[017-49b]
和求勾股弦之法算之以勾股和二十
[017-50a]
三尺自乗得五百二十九尺又以股弦
和三十二尺自乗得一千零二十四尺
兩數相減餘四百五十九尺乃以勾弦
較九尺自乗得八十一尺與兩和自乗
相減之餘四百九十五尺相加得五百
七十六尺開方得二十四尺為股與勾
弦較之和内減勾弦較九尺餘十五尺
為股於勾股和二十三尺内減股十五
[017-50b]
尺餘八尺為勾加勾弦較九尺得十七
尺為弦也如圖甲丙為弦乙丙為勾丙
丁為股乙丁為勾股和甲乙為勾弦較
而甲丁為股弦和故甲乙勾弦較與乙
丁勾股和相加得甲丁為股弦和也若
夫股弦和勾弦較求勾股弦者則於股
弦和内減勾弦較即勾股和亦用勾股
和股弦和求勾股弦之法算之如甲丙
為弦乙丙為勾丙丁為股則甲丁為股
[017-50b]
弦和甲乙為勾弦較而乙丁為勾股和
[017-51a]
故於甲丁股弦和内減甲乙勾弦較餘
乙丁為勾股和也
設如有勾股和十七尺股弦較一尺求勾股弦各幾
何第十/五
法以勾股和十七尺加股弦較一尺得
十八尺為勾弦和用勾股和勾弦和求
勾股弦之法算之以勾股和十七尺自
乗得二百八十九尺又以勾弦和十八
[017-51b]
尺自乗得三百二十四尺兩數相減餘
三十五尺乃以股弦較一尺自乗仍得
一尺與兩和自乗相減之餘三十五尺
相加得三十六尺開方得六尺為勾與
股弦較之和内減股弦較一尺餘五尺
為勾於勾股和十七尺内減勾五尺餘
十二尺為股加股弦較一尺得十三尺
為弦也如圖甲乙為勾乙丙為股乙丁
為弦甲丙為勾股和丙丁為股弦較而
[017-51b]
甲丁為勾弦和故甲丙勾股和與丙丁
[017-52a]
股弦較相加得甲丁為勾弦和也若夫
勾弦和股弦較求勾股弦者則於勾弦
和内減股弦較即勾股和亦用勾股和
勾弦和求勾股弦之法算之如甲乙為
勾乙丙為股乙丁為弦則甲丁為勾弦
和丙丁為股弦較而甲丙為勾股和故
於甲丁勾弦和内減丙丁股弦較餘甲
丙為勾股和也
[017-52b]
設如有勾八尺弦與勾股和之較六尺求股弦各幾
何第十/六
法以勾八尺内減弦與勾股和之較六
尺餘二尺為股弦較用有勾有股弦較
求股弦法算之如甲乙為勾乙丙為股
甲丙為勾股和丁丙為弦甲丁為弦與
勾股和之較丁乙為股弦較故甲乙勾
内減甲丁弦與勾股和之較餘丁乙為
股弦較也若有股弦較與弦與勾股和
[017-52b]
之較求勾股弦者則以股弦較與弦與
[017-53a]
勾股和之較相加即勾亦用有勾有股
弦較求股弦法算之
設如有勾八尺弦與勾股較之較十尺求股弦各幾
何第十/七
法以勾八尺與弦與勾股較之較十尺
相減餘二尺為股弦較用有勾有股弦
較求股弦法算之如甲乙為股丙乙為
勾甲丁為弦甲丙為勾股較乙丁為股
[017-53b]
弦較丙丁為弦與勾股較之較故丙丁
弦與勾股較之較内減丙丁勾餘乙丁
為股弦較也若有股弦較與弦與勾股
較之較求勾股弦者則以股弦較與弦
與勾股較之較相減餘即勾亦用有勾
有股弦較求股弦法算之
設如有勾八尺勾股弦總和四十尺求股弦各幾何
第十/八
法以勾八尺與勾股弦總和四十尺相
[017-53b]
減餘三十二尺為股弦和用有勾有股
[017-54a]
弦和求股弦法算之如甲乙為勾乙丙
為股丙丁為弦甲丁為勾股弦總和故
甲丁勾股弦總和内減甲乙勾餘乙丁
為股弦和也若有股弦和與勾股弦總
和求勾股弦者則以股弦和與勾股弦
總和相減餘即勾亦用有勾有股弦和
求股弦法算之
設如有勾八尺弦與勾股較之和二十四尺求股弦
[017-54b]
各幾何第十/九
法以勾八尺與弦與勾股較之和二十
四尺相加得三十二尺為股弦和用有
勾有股弦和求股弦法算之如甲乙為
勾甲丙為股乙丙為勾股較丙丁為弦
甲丁為股弦和乙丁為弦與勾股較之
和故以甲乙勾與乙丁弦與勾股較之
和相加得甲丁為股弦和也若有股弦
和與弦與勾股較之和求勾股弦者則
[017-54b]
於股弦和内減弦與勾股較之和餘即
[017-55a]
勾亦用有勾有股弦和求股弦法算之
設如有股十五尺弦與勾股和之較六尺求勾弦各
幾何第二/十
法以股十五尺内減弦與勾股和之較
六尺餘九尺為勾弦較用有股有勾弦
較求勾弦法算之如甲乙為股乙丙為
勾甲丙為勾股和丁丙為弦甲丁為弦
與勾股和之較丁乙為勾弦較故甲乙
[017-55b]
股内減甲丁弦與勾股和之較餘丁乙
即勾弦較也若有勾弦較與弦與勾股
和之較求勾股弦者則以勾弦較與弦
與勾股和之較相加即股亦用有股有
勾弦較求勾弦法算之
設如有股十五尺弦與勾股較之較十尺求勾弦各
幾何第二/十一
法以股十五尺與弦與勾股較之較十
尺相加得二十五尺為勾弦和用有股
[017-55b]
有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為股
[017-56a]
甲丙為勾丙丁為弦甲丁為勾弦和丙
乙為勾股較乙丁為弦與勾股較之較
故以甲乙股與乙丁弦與勾股較之較
相加得甲丁為勾弦和也若有勾弦和
與弦與勾股較之較求勾股弦者則於
勾弦和内減弦與勾股較之較餘即股
亦用有股有勾弦和求勾弦法算之
設如有股十五尺勾股弦總和四十尺求勾弦各幾
[017-56b]
何第二/十二
法以股十五尺與勾股弦總和四十尺
相減餘二十五尺為勾弦和用有股有
勾弦和求勾弦法算之如甲乙為股乙
丙為勾丙丁為弦甲丁為勾股弦總和
故甲丁勾股弦總和内減甲乙股餘乙
丁為勾弦和也若有勾弦和與勾股弦
總和求勾股弦者則以勾股和與勾股
弦總和相減餘即股亦用有股有勾弦
[017-56b]
和求勾弦法算之
[017-57a]
設如有股十五尺弦與勾股較之和二十四尺求勾
弦各幾何第二/十三
法以股十五尺與弦與勾股較之和二
十四尺相減餘九尺為勾弦較用有股
有勾弦較求勾弦法算之如甲乙為股
丙乙為勾丙丁為弦甲丙為勾股較乙
丁為勾弦較甲丁為弦與勾股較之和
故甲丁弦與勾股較之和内減甲乙股
[017-57b]
餘乙丁為勾弦較也若有勾弦較與弦
與勾股較之和求勾股弦者則以勾弦
較與弦與勾股較之和相減餘即股亦
用有股有勾弦較求勾弦法算之
設如有弦十七尺弦與勾股和之較六尺求勾股各
幾何第二/十四
法以弦十七尺與弦與勾股和之較六
尺相加得二十三尺為勾股和用有弦
有勾股和求勾股法算之如甲乙為弦
[017-57b]
甲丙為勾丙丁為股甲丁為勾股和乙
[017-58a]
丁為弦與勾股和之較故甲乙弦與乙
丁弦與勾股和之較相加得甲丁為勾
股和也若有勾股和與弦與勾股和之
較求勾股弦者則於勾股和内減弦與
勾股和之較餘即弦亦用有弦有勾股
和求勾股法算之
設如有弦十七尺弦與勾股較之較十尺求勾股各
幾何第二/十五
[017-58b]
法以弦十七尺内減弦與勾股較之較
十尺餘七尺為勾股較用有弦有勾股
較求勾股法算之如甲乙為弦丙丁為
股乙丁為勾丙乙為勾股較甲丙為弦
與勾股較之較故甲乙弦内減甲丙弦
與勾股較之較餘丙乙為勾股較也若
有勾股較與弦與勾股較之較求勾股
弦者則以勾股較與弦與勾股較之較
相加即弦亦用有弦有勾股較求勾股
[017-58b]
法算之
[017-59a]
設如有弦十七尺勾股弦總和四十尺求勾股各幾
何第二/十六
法以弦十七尺與勾股弦總和四十尺
相減餘二十三尺為勾股和用有弦有
勾股和求勾股法算之如甲乙為弦乙
丙為勾丙丁為股甲丁為勾股弦總和
故甲丁勾股弦總和内減甲乙弦餘乙
丁為勾股和也若有勾股和與勾股弦
[017-59b]
總和求勾股弦者則以勾股和與勾股
弦總和相減餘即弦亦用有弦有勾股
和求勾股法算之
設如有弦十七尺弦與勾股較之和二十四尺求勾
股各幾何第二/十七
法以弦十七尺與弦與勾股較之和二
十四尺相減餘七尺為勾股較用有弦
有勾股較求勾股法算之如甲乙為弦
乙丙為股丁丙為勾乙丁為勾股較甲
[017-59b]
丁為弦與勾股較之和故甲丁弦與勾
[017-60a]
股較之和内減甲乙弦餘乙丁為勾股
較也若有勾股較與弦與勾股較之和
求勾股弦者則於弦與勾股較之和内
減勾股較餘即弦亦用有弦有勾股較
求勾股法算之
設如有弦與勾股和之較六尺弦與勾股較之較十
尺求勾股弦各幾何第二/十八
法以弦與勾股和之較六尺與弦與勾
[017-60b]
股較之較十尺相加得十六尺折半得
八尺為勾於勾八尺内減弦與勾股和
之較六尺餘二尺為股弦較用有勾有
股弦較求股弦法算之如甲乙為股戊
乙乙丙皆為勾甲丙為勾股和甲戊為
勾股較甲丁為弦丁丙即弦與勾股和
之較戊丁即弦與勾股較之較故丁丙
弦與勾股和之較與戊丁弦與勾股較
之較相加得戊丙為二勾之共數是以
[017-60b]
折半得勾也既得勾則於勾内減弦與
[017-61a]
勾股和之較即股弦較矣
設如有弦與勾股和之較六尺弦與勾股較之和二
十四尺求勾股弦各幾何第二/十九
法以弦與勾股和之較六尺與弦與勾
股較之和二十四尺相加得三十尺折
半得十五尺為股於股十五尺内減弦
與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較
用有股有勾弦較求勾弦法算之如甲
[017-61b]
乙乙丙皆為股丁乙為勾丁丙為勾股
和甲丁為勾股較丁戊為弦戊丙即弦
與勾股和之較甲戊即弦與勾股較之
和故戊丙弦與勾股和之較與甲戊弦
與勾股較之和相加得甲丙為二股之
共數是以折半得股也既得股則於股
内減弦與勾股和之較即勾弦較矣
設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股較之和二十
四尺求勾股弦各幾何第三/十
[017-61b]
法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾
[017-62a]
股較之和二十四尺餘十六尺折半得
八尺為勾於勾股弦總和四十尺内減
勾八尺餘三十二尺為股弦和用有勾
有股弦和求股弦法算之如甲乙為弦
乙丙為股丙丁為勾乙戊為勾股較甲
丁為勾股弦總和甲戊為弦與勾股較
之和故甲丁勾股弦總和内減甲戊弦
與勾股較之和餘戊丁即二勾之共數
[017-62b]
是以折半得勾也既得勾則於勾股弦
總和内減勾即股弦和矣
設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股較之較十尺
求勾股弦各幾何第三/十一
法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾
股較之較十尺餘三十尺折半得十五
尺為股於勾股弦總和四十尺内減股
十五尺餘二十五尺為勾弦和用有股
有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為弦
[017-62b]
乙丙為勾丙丁為股戊乙為勾股較甲
[017-63a]
丁為勾股弦總和甲戊為弦與勾股較
之較故甲丁勾股弦總和内減甲戊弦
與勾股較之較餘戊丁即二股之共數
是以折半得股也既得股則於勾股弦
總和内減股即勾弦和矣
設如有弦與勾股較之和二十四尺弦與勾股較之
較十尺求勾股弦各幾何第三/十二
法以弦與勾股較之和二十四尺與弦
[017-63b]
與勾股較之較十尺相加得三十四尺
折半得十七尺為弦於弦與勾股較之
和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為
勾股較用有弦有勾股較求勾股法算
之如甲乙乙丙皆為弦乙丁為勾股較
甲丁為弦與勾股較之和丁丙為弦與
勾股較之較故甲丁弦與勾股較之和
與丁丙弦與勾股較之較相加得甲丙
為二弦之共數是以折半得弦也既得
[017-63b]
弦則於弦與勾股較之和内減弦即勾
[017-64a]
股較矣
設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股和之較六尺
求勾股弦各幾何第三/十三
法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾
股和之較六尺餘三十四尺折半得十
七尺為弦於勾股弦總和四十尺内減
弦十七尺餘二十三尺為勾股和用有
弦有勾股和求勾股法算之如甲乙為
[017-64b]
勾股和乙丙為弦甲丙為勾股弦總和
甲丁為弦與勾股和之較故甲丙勾股
弦總和内減甲丁弦與勾股和之較餘
丁丙即二弦之共數是以折半得弦也
既得弦則於勾股弦總和内減弦即勾
股和矣
[017-64b]
御製數理精藴下編卷十二
