[019-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十四
面部四
三角形
[019-2a]
三角形
凡三角形立於圓界之一半者為直角即勾股過圓
界之一半者為鋭角不及圓界之一半者為鈍角然
不拘鋭角鈍角自一角至底邊作垂線即分為兩直
角是仍不離乎勾股也兩腰等者垂線即當底之一
半而兩腰不等者所分底界則有大小不同故和較
相比之法因之而生葢和求較較求和要必歸於勾
股相求之理由勾股而得垂線則凡面積及内容方
[019-2b]
圓等形皆無不可得至於三角形角度相求之法乃
割圓八線實所以極三角之用即如周髀所謂仰矩
知髙俯矩知深是也故另為一卷茲但取三角形之
面線相求諸法悉具圖觧以次勾股使與勾股相表
裏焉
設如有等邊三角形每邉十尺求中垂線幾何
法以底邉十尺折半得五尺為勾任以
兩腰之一邉十尺為弦勾弦求股得八
尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線
[019-2b]
也如圖甲乙丙三角形其甲乙甲丙兩
[019-3a]
腰相等則其底邊之乙丙兩角度亦必
相等見幾何原夲/二卷第九節今所求之垂線為甲
丁即将甲乙丙三角形平分為兩直角
三角形而甲丁乙甲丁丙皆為直角其
度又等故所分之兩直角三角形為同
式形而甲丁垂線又為兩三角形所共
用之邉線則所分之底邊之乙丁丁丙
焉得不等故将乙丙底邊折半為勾任
[019-3b]
以甲乙甲丙兩邉之一邊為弦求得股
為中垂線也
又法以底邊十尺折半得五尺自乗得
二十五尺三因之得七十五尺開方得
八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂
線也葢弦比勾大一倍則弦之自乗之
方必比勾之自乗之方大四倍為連比
例隔一位相加之比例見幾何原夲/七卷第五節依
勾弦求股之法於弦自乗方積之四倍
[019-3b]
内減勾自乗方積之一倍餘三倍即為
[019-4a]
股自乗之方積是中垂線之自乗方積
為勾自乗方積之三倍故将底邊折半
自乗三因之即與中垂線自乗之方積
等而開方得中垂線也
設如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百
一十二尺底一百五十尺求中垂線幾何
法以底一百五十尺為一率大腰一百
二十二尺與小腰一百一十二尺相加
[019-4b]
得二百三十四尺為二率以大腰一百
二十二尺與小腰一百一十二尺相減
餘十尺為三率求得四率十五尺六寸
為底邊之較與底一百五十尺相減餘
一百三十四尺四寸折半得六十七尺
二寸為勾以小腰一百一十二尺為弦
求得股八十九尺六寸為中垂線也如
圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為
小腰乙丙為底甲丁為所求中垂線試
[019-4b]
以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰
[019-5a]
於庚截乙丙底於戊又将甲乙大腰引
長至己作甲己線與甲丙小腰相等則
己乙為兩腰之和庚乙為兩腰之較葢/甲
庚與甲丙等故庚/乙為兩腰之較乙丙為底邊之和乙
戊為底邉之較葢丁丙與丁戊等故/乙戊為底邉之較今
以乙丙底邉之和與乙己兩腰之和為
比即同於乙庚兩腰之較與乙戊底邊
之較為比為轉比例之四率幾何原夲/九卷第八
[019-5b]
節自圜外一點至圜内所作之兩線此/兩全線之比例同於圜外兩叚轉相比
之比/例故乙丙為一率乙己為二率乙庚
為三率求得四率為乙戊既得乙戊則
於乙丙底邊内減去乙戊餘戊丙折半
得丁丙為勾甲丙為弦求為股為甲丁
中垂線也
又法以大腰一百二十二尺自乘得一
萬四千八百八十四尺又以小腰一百
一十二尺自乘得一萬二千五百四十
[019-5b]
四尺兩自乘數相減餘二千三百四十
[019-6a]
尺以底邊一百五十尺除之得十五尺
六寸為底邊之較與底邊一百五十尺
相減餘一百三十四尺四寸折半得六
十七尺二寸為勾以小腰一百一十二
尺為弦求得股八十九尺六寸為中垂
線也如圖甲乙丙三角形試自甲角作
甲丁垂線則分為甲丁乙甲丁丙兩勾
股形甲乙甲丙皆為弦乙丁丁丙皆為
[019-6b]
勾共以甲丁為股乙丙為兩勾之和乙
戊為兩勾之較今以甲乙弦自乘則成
甲戊己乙一正方形内丁庚辛乙為乙
丁勾自乘之一正方形於甲戊己乙正
方形内減去丁庚辛乙正方形所餘甲
戊己辛庚丁磬折形積即與甲丁股自
乘之一正方形等又以甲丙弦自乘則
成甲壬癸丙一正方形内丁子丑丙為
丁丙勾自乘之一正方形於甲壬癸丙
[019-6b]
正方形内減去丁子丑丙正方形所餘
[019-7a]
甲壬癸丑子丁磬折形積亦與甲丁股
自乘之一正方形等是則前圖之甲戊
己辛庚丁磬折形與後圖之甲壬癸丑
子丁磬折形相等矣若兩自乘之數相
減則如甲戊己乙正方形内減去與甲
壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛
庚丁磬折形又減去丁子丑丙一小正
方形所餘為子庚辛乙丙丑一小磬折
[019-7b]
形引而長之成一長方形其長即乙丁
與丁丙之和其濶即乙丁與丁丙之較
故以乙丁與丁丙之和除子庚辛乙丙
丑磬折形之積而得乙丁與丁丙之較
也又圖甲乙丙三角形作甲丁垂線分
為兩勾股形共以甲丁垂線為股故甲
乙弦自乘方内有甲丁股自乘一方乙
丁勾自乘一方而甲丙弦自乘方内有
甲丁股自乘一方丁丙勾自乘一方今
[019-7b]
兩勾股形之股既同則兩弦方相減所
[019-8a]
餘之數即兩勾方相減所餘之數故甲
丁乙勾股形之甲乙弦自乘方内減甲
丁丙勾股形之甲丙弦自乘方所餘庚
辛乙寅丑子磬折形即與甲丁乙勾股
形之丁乙勾自乘方内減甲丁丙勾股
形之丁丙勾自乘方所餘乙卯辰己申
未磬折形相等若将乙卯辰己申未磬
折形引而長之遂成乙壬酉未長方形
[019-8b]
其長即乙丁丁丙兩勾之和其闊即乙
丁丁丙兩勾之較其積即乙丁丁丙兩
勾方相減之餘亦即甲乙甲丙兩弦方
相減之餘是以兩弦自乘相減之餘積
以兩勾之和除之而得兩勾之較也
設如有鋭角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十
一尺求中垂線幾何
法以底二十一尺為一率以大腰十七
尺與小腰十尺相加得二十七尺為二
[019-8b]
率以大腰十七尺與小腰十尺相減餘
[019-9a]
七尺為三率求得四率九尺為底邊之
較與底二十一尺相減餘十二尺折半
得六尺為勾以小腰十尺為弦求得股
八尺為中垂線也如圖甲乙丙三角形
甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲
丁為所求中垂線試以甲為心丙為界
作一圜截甲乙大腰於庚截乙丙底邊
於戊又将甲乙大腰引長至己作甲己
[019-9b]
線與甲丙小腰等則己乙為兩腰之和
庚乙為兩腰之較乙丙為底邊之和乙
戊為底邉之較其乙丙與乙己之比即
同於庚乙與乙戊之比為轉比例四率
也
又法以大腰十七尺自乘得二百八十
九尺又以小腰十尺自乘得一百尺兩
自乘數相減餘一百八十九尺以底二
十一尺除之得九尺為底邊之較與底
[019-9b]
二十一尺相減餘十二尺折半得六尺
[019-10a]
為勾以小腰十尺為弦求得股八尺為
中垂線也圖解同前
設如有斜立鋭角三角形大腰二十一尺小腰十七
尺底十尺求形外垂線幾何
法以底十尺為一率大腰二十一尺與
小腰十七尺相減餘四尺為二率大腰
二十一尺與小腰十七尺相加得三十
八尺為三率求得四率十五尺二寸為
[019-10b]
底與形外垂線兩邊連底之總内減去
底十尺餘五尺二寸折半得二尺六寸
為勾以小腰十七尺為弦求得股十六
尺八尺為形外垂線也如圖甲乙丙三
角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為
底甲丁為所求形外垂線試以甲為心
丙為界作一圜截甲乙大腰於庚又将
甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙
小腰相等復将乙丙底引長至戊作乙
[019-10b]
戊線則成甲乙戊三角形其乙丙為底
[019-11a]
邉之較乙戊為底邊之和乙庚為兩腰
之較乙己為兩腰之和自圜外至圜内
所作兩線之比例既同於圜外兩叚轉
相比之比例則圜外兩叚之比例亦必
同於兩全線轉相比之比例故乙丙與
乙庚之比即同於乙己與乙戊之比為
比例四率既得乙戊則減乙丙餘丙戊
折半得丙丁為勾甲丙為弦求得股即
[019-11b]
甲丁垂線也
又法以大腰二十一尺自乘得四百四
十一尺又以小腰十七尺自乘得二百
八十九尺兩自乘數相減餘一百五十
二尺以底十尺除之得十五尺二寸為
底與形外垂線兩邊連底之總内減底
十尺餘五尺二寸折半得二尺六寸為
勾以小腰十七尺為弦求得股十六尺
八寸為形外垂線也如圖甲乙丙三角
[019-11b]
形将乙丙底引長至戊自甲作垂線至
[019-12a]
丁則丁戊與丁丙等又自甲至戊作甲
戊線與甲丙小腰等則成甲丁乙甲丁
戊兩勾股形甲乙甲戊皆為弦乙丁丁
戊皆為勾共以甲丁為股而乙丙為兩
勾之較乙戊為兩勾之和前法以和求
較此法以較求和其理一也圖解並同
前
設如有鋭角三角形兩腰俱五尺底六尺求面積幾
[019-12b]
何
法先以底六尺折半得三尺為勾任以
兩腰之一邊五尺為弦求得股四尺為
中垂線與底六尺相乘得二十四尺折
半得一十二尺為三角面積也如圖甲
乙丙三角形以乙丙底邊與甲丁中垂
線相乘成戊乙丙己長方形積比三角
形積正大一倍故折半得三角積也
設如有鈍角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十
[019-12b]
一尺求面積幾何
[019-13a]
法先用求中垂線法求得中垂線八尺
與底二十一尺相乘得一百六十八尺
折半得八十四尺為三角面積也如圖
甲乙丙三角形先求甲丁垂線既得甲
丁垂線乃與乙丙底邊相乘成戊乙丙
己長方形比三角形積正大一倍故折
半得三角積也
又法以甲乙邊十七尺乙丙邊二十一
[019-13b]
尺甲丙邊十尺三數相加得四十八尺
為三邊之總折半得二十四尺為半總
以甲乙邊十七尺與半總二十四尺相
減餘七尺為甲乙邊與半總之較以乙
丙邊二十一尺與半總二十四尺相減
餘三尺為乙丙邊與半總之較以甲丙
邊十尺與半總二十四尺相減餘十四
尺為甲丙邊與半總之較乃以半總二
十四尺為一率甲丙邊與半總之較十
[019-13b]
四尺為二率乙丙邊與半總之較三尺
[019-14a]
與甲乙邊與半總之較七尺相乘得二
十一尺為三率求得四率十二尺二十
五寸開方得三尺五寸為三角形自中
心至三邊之垂線與三邊之總四十八
尺相乘得一百六十八尺折半得八十
四尺即三角形之面積或以所得垂線
三尺五寸與半總二十四尺相乘亦得
八十四尺為三角形之面積也此法葢
[019-14b]
一率二率以線與線為比三率四率以
面與面為比也如甲乙丙三角形自中
心丁至三邊各作一垂線又自中心丁
至三角各作一分角線即成六直角三
角形俱兩兩相等丁巳丙與丁庚丙等/丁巳乙與丁戊乙等
丁戊甲與/丁庚甲等又按甲戊度引乙丙線至辛
則乙辛為三邊之半總即三較之和乙/巳
與乙戊等即甲丙邊與半總之較巳丙/與丙庚等即甲乙邊與半總之較丙辛
與甲戊甲庚等即乙/丙邊與半總之較試自辛作直角将
[019-14b]
乙丁線引長作一乙辛壬直角形則壬
[019-15a]
辛與丁巳平行乙辛壬形與乙巳丁形
遂為同式形其乙辛與乙巳之比即同
於壬辛與丁巳之比然乙辛一率乙巳
二率之數雖有而壬辛之數却無又但
知巳丙與丙辛相乘之數即丁巳與壬
辛相乘之數故以巳丙與丙辛相乘之
數為三率何以知巳丙與丙辛相乘之/數即丁巳與壬辛相乘之數
試作壬丙線壬癸線使丙癸與丙辛等/癸角辛角皆為直角癸丙辛角與辛壬
[019-15b]
癸角相合共成一百八十度然庚丙巳/角為癸丙辛角之外角相合亦共成一
百八十度是庚丙巳角與辛壬癸角等/庚丁巳角與癸丙辛角等是以壬癸丙
辛形與丙庚丁巳形為同式形而丙辛/壬勾股形與丁己丙勾股形亦為同式
形可互相比例矣以丁己作一率巳丙/作二率丙辛作三率即得四率壬辛是
以巳丙二率與丙辛三率相乘之數即/與丁巳一率與壬辛四率相乘之數等
故直以己丙丙辛相/乘之數作三率也其所得四率即丁
己自乘之數是故乙辛與乙巳之比同
於丁己與壬辛相乘之面即己丙與丙/辛相乘之面
與丁己自乘之面之比也既得丁己自
[019-15b]
乘之面故開方而得丁巳為三角形自
[019-16a]
中心至三邊之垂線與丁戊丁庚俱相
等又即三角形容圜之半徑也既得自
中心至三邊之垂線則用垂線與三邊
之總相乘所得一長方積即如用垂線/與三邊各相
乘所得三長方/積合為一長方比三角形積大一倍故
折半而得三角形之面積如以垂線與
半總相乘即與三角形積等而不用折
半矣
[019-16b]
設如有鋭角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底
四十四尺求内容正方邊幾何
法先用求中垂線法求得中垂線十二
尺與底邊四十四尺相加得五十六尺
為一率中垂線十二尺為二率底邊四
十四尺為三率推得四率九尺四寸二
分八釐五毫有餘即三角形内所容正
方之一邊也如圖甲乙丙三角形甲乙
為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為
[019-16b]
所得中垂線戊己庚辛為今所求内容
[019-17a]
正方形試依甲丁中垂線度将乙丙線
引長作乙癸線為五十六尺又與甲丙
線平行作壬癸線又将甲乙線引長作
壬乙線則成與甲乙丙同式之壬乙癸
三角形復與底線平行作甲子線與丙
癸等即與甲丁垂線等又與甲丁平行
作子丑線與甲丁等則甲丁垂線所作
甲丁丑子正方形即為壬乙癸三角形
[019-17b]
内所容之正方形矣故壬乙癸三角形
之乙癸底與甲丁方邊之比即同於甲
乙丙三角形之乙丙底與戊巳方邊之
比故中垂線與底邊相加為一率中垂
線為二率底邉為三率推得四率為内
容正方之一邊也
設如等邊三角形每邊一尺二寸求内容圜徑幾何
法先用求中垂線法求得中垂線一尺
零三分九釐二毫有餘以三歸之得三
[019-17b]
寸四分六釐四毫有餘即内容圜形半
[019-18a]
徑倍之得六寸九分二釐八毫有餘即
内容圜形全徑也如圖甲乙丙三角形
内容丁圜形先求得甲戊中垂線又自
丙角至甲乙線界作丙巳垂線與甲戊
中垂線相交於丁即三角形之中心亦
即内容圜形之中心故丁戊與丁己即
内容圜形之半徑又甲戊乙甲巳丁兩
勾股形為同式形甲乙為乙戊之二倍
[019-18b]
則甲丁亦必為丁巳或丁戊之二倍丁
戊既為内容圜形之半徑則甲丁即為
内容圜形之全徑而甲戊中垂線必為
丁戊半徑之三倍矣故求得甲戊中垂
線以三歸之得丁戊即内容圜形之半
徑倍之得庚戊即内容圜形之全徑也
設如等邊三角形每邊一尺二寸求外切圜徑幾何
法先用求中垂線法求得中垂線一尺
零三分九釐二毫有餘三歸四因得一
[019-18b]
尺三寸八分五釐六毫有餘即外切圜
[019-19a]
形全徑也如圖甲乙丙三角形外切丁
圜形先求得甲戊中垂線又自丙角至
甲乙線界作丙己垂線與甲戊中垂線
相交於丁即三角形之中心亦即外切
圜形之中心故甲丁與丙丁即外切圜
形之半徑又甲戊乙甲巳丁兩勾股形
為同式形甲乙為乙戊之二倍則甲丁
亦必為丁己或丁戊之二倍甲丁既為
[019-19b]
外切圜形之半徑則為甲戊中垂線之
三分之二而甲戊中垂線却為甲庚全
徑之四分之三矣故求得甲戊中垂線
三歸四因得甲庚即外切圜形之全徑
也
又法以每邊一尺二寸自乘三歸四因
開方得一尺三寸八分五釐六毫有餘
即外切圜形全徑也如圖甲乙丙三角
形外切甲乙丁丙圜形試自甲角作甲
[019-19b]
戊中垂線又引長作甲丁全徑線復自
[019-20a]
丁至乙作丁乙線遂成甲乙丁甲戊乙
兩勾股形為同式形甲乙既為乙戊之
二倍則甲丁亦必為乙丁之二倍故甲
丁自乘方積比乙丁自乘方積大四倍
若依勾弦求股之法言之則甲丁弦自
乘方積内減乙丁勾自乘方積所餘為
甲乙股自乘之方積今甲丁弦自乘方
積既為乙丁勾自乘方積之四倍則是
[019-20b]
甲乙每邊自乘方積為甲丁全徑自乘
方積之四分之三矣故以一邊自乘三
歸四因即與全徑自乘之方積等而開
方得外切圜形之全徑也
設如有鋭角三角形大腰三百三十八尺小腰三百
尺底四百一十八尺求内容圜徑幾何
法先用求中垂線法求得中垂線二百
四十尺與底四百一十八尺相乘得一
十萬零三百二十尺以大腰三百三十
[019-20b]
八尺小腰三百尺底四百一十八尺三
[019-21a]
數相加得一千零五十六尺除之得九
十五尺即内容圜半徑倍之得一百九
十尺即内容圜全徑也如圖甲乙丙三
角形内容戊圜形試自圜之中心至甲
乙丙三角各作戊甲戊乙戊丙三線遂
分甲乙丙三角形為甲戊乙甲戊丙乙
戊丙三三角形其三邊皆為三角形之
底而戊巳半徑皆為三角形之垂線今
[019-21b]
乙丙底邊與甲丁中垂線相乘所得之
長方積原比甲乙丙三角形積大一倍
即如将所分三三角形各用垂線乘底
邊所得之三長方積合為一長方也三
長方之長雖不同而濶則一故各以長
除積而得濶者即如合三角形之三邊
除三角形之倍積而得半徑也
設如有鋭角三角形大腰一百八十三尺小腰一百
六十八尺底二百二十五尺求外切圜徑幾何
[019-21b]
法用求中垂線法求得中垂線一百三
[019-22a]
十四尺四寸為一率小腰一百六十八
尺為二率大腰一百八十三尺為三率
推得四率二百二十八尺七寸五分即
外切圜徑也如圖甲乙丙三角形甲乙
為小腰甲丙為大腰乙丙為底甲丁為
中垂線試作切三角一圜自甲角至圜
對界作甲戊全徑線又自丙角至戊作
丙戊線則甲丙戊三角形之丙角立於
[019-22b]
圜界之一半必為直角與甲丁垂線所
分甲丁乙三角形之丁角等而戊角與
乙角皆對甲丙弧其度又等故甲丙戊
與甲丁乙兩三角形為同式形是以甲
丁與甲乙之比同於甲丙與甲戊之比
而為相當比例四率也
設如有鈍角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十
一尺求外切圜徑幾何
法用求中垂線法求得中垂線八尺為
[019-22b]
一率小腰十尺為二率大腰十七尺為
[019-23a]
三率推得四率二十一尺二寸五分即
外切圜徑也如圖甲乙丙三角形甲乙
為小腰甲丙為大腰乙丙為底甲丁為
中垂線試作切三角一圜自甲角至圜
對界作甲戊全徑線又自丙角至戊作
丙戊線則甲丙戊三角形之丙角立於
圜界之一半必為直角與甲丁垂線所
分甲丁乙三角形之丁角等而戊角與
[019-23b]
乙角皆對甲丙弧其度又等故甲丙戊
與甲丁乙兩三角形為同式形是以甲
丁與甲乙之比同於甲丙與甲戊之比
而為相當比例四率也
[019-23b]
御數精藴下編卷十四
