[003-1a]
欽定四庫全書
御製數理精藴上編卷三
幾何原本六
幾何原本七
幾何原本八
幾何原本九
幾何原本十
[003-2a]
幾何原本六
第一
大凡欲論諸物之不齊必借同類之
物以比之始可以得其不齊之度數
如一線與他線相比其度之或長或
短其數之或多或少自能見之如一
面與他面相比其面度之或大或小
其積數之或多或少自能見之又如
[003-2b]
一體與他體相比其體度之或厚或
薄其積數之或多或少亦自能見之
若將一線與一面相比或一面與一
體相比既不同類又不同形則線之
長短面之大小體之厚薄俱不可辯
矣故曰欲論諸物之不齊必借同類
之物以比之也
第二
將兩數相比其度互為大小則謂之
[003-2b]
比例其比者與所比者俱謂之率率/者
[003-3a]
法也矩也以數互/相準之之謂也其比之數為前率
其所比之數為後率如甲乙二數互
相為比其相較之分甲數之度為長
其分為多乙數之度為短其分為少
如是以比之故謂之二率甲為比之
之數故謂之前率乙為所比之數故
謂之後率焉
第三
[003-3b]
有四率兩兩相比其一率與二率之比
同於三率與四率之比則謂之同理比
例也如甲乙丙丁四數甲與乙比丙與
丁比苟乙為甲六分之五丁為丙六分
之五則甲與乙之比例丙與丁之比例
此兩比例相同而乙有甲㡬分之數即
可知丁有丙㡬分之數矣故凡四率内
將一率與三率分數定為相等二率與
四率分數亦定為相等其度之長短雖
[003-3b]
有不同苟分數定準則一率與二率之
[003-4a]
比即如三率與四率之比也夫甲乙丙
丁四線内甲第一線與丙第三線俱各
定為六分乙第二線與丁第四線俱各
定為五分則甲度之長雖大於丙度之
長其分數則俱為六而乙度之長雖大
於丁度之長其分數亦俱為五故知乙
第二線度與甲第一線度之六分之五
分相等丁第四線度亦與丙第三線度
[003-4b]
之六分之五分相等所以甲線之比乙
線即如丙線之比丁線而謂之同理比
例也
第四
凡四率兩兩相比其一率與二率相比
之分若大於三率與四率相比之分則
為不同理之比例而比例不得行也如
有甲乙丙丁四數甲與乙丙與丁各互
相為比苟甲第一數與乙第二數相比
[003-4b]
之分為六與四其丙第三數與丁第四
[003-5a]
數相比之分為五與四則此甲與乙之
比大於彼丙與丁之比矣故凡如此例
者以一率二率相比之分為凖則三率
四率相比之分為小若依三率四率相
比之分為準則一率二率相比之分又
大故謂之不同理之比例而比例四率
不能行也
第五
[003-5b]
凡有四率一率之度與二率之度相比
分數若同於三率之度與四率之度相
比分數則此四率又謂之相當比例四
率焉如甲乙丙丁四線苟甲線與乙線
相比之度與丙線與丁線相比之度其
分數同則此四線謂之各相當線而毎
兩率相比其毎度之分數同故又謂之
相當比例四率也
第六
[003-5b]
凡三率互相為比其一率與二率之比
[003-6a]
同於二率與三率之比則謂之相連比
例率也如甲乙丙三數互相為比苟甲
數與乙數之比同扵乙數與丙數之比
則此甲乙丙三數謂之相連比例率矣
若相連比例率内將一率與三率比之
則為隔一位加一倍之比例或有相連
比例四率將一率與四率比之則為隔
二位加二倍之比例大凡有幾率隔幾
[003-6b]
位以比者皆以隔幾位而為加幾倍之
比例也如甲乙丙相連比例率内其甲
與丙之比為隔一位加一倍之比例又
或甲乙丙丁戊五數俱為相連比例率
其甲與丁之比即為隔二位加二倍之
比例而甲與戊之比則又為隔三位加
三倍之比例矣
第七
相當比例四率為數學之要因其理之
[003-6b]
所該最廣故設為雙圜圖以申明之立
[003-7a]
甲㸃為心作乙丙一大圜丁戊一小圜
此二圜界各具三百六十度故皆可以
為三百六十分首卷第十七節云凡圜/無論大小俱定為三百
六十/度於是自圜之甲心過小圜界之辛
壬二處至大圜己庚二處作二線則大
圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲
角此甲角相對之己庚弧界設為六十
度則為乙丙大圜三百六十分中之六
[003-7b]
十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既為
六十分則丁戊小圜之辛壬弧界度亦
為六十分矣大凡角度俱定於相對之
圜界見首卷/第九節今此大圜之己庚弧界小
圜之辛壬弧界俱與一甲角相對其度
雖依圜之大小不同而分數則等分數
既等則大圜小圜大弧小弧兩兩互相
為比即如四率之兩兩相比為同理比
例矣是以大圜之三百六十分為一率
[003-7b]
自大圜所分之己庚弧之六十分為二
[003-8a]
率小圜之三百六十分為三率自小圜
所分之辛壬弧之六十分為四率其乙
丙大全圜與本圜己庚分之比即同於
丁戊小全圜與本圜辛壬分之比也故
凡各率各度雖異相當之分數若同則
一率與二率之比必同於三率與四率
之比而俱謂之順推比例矣要之分合
加減各率之法總不越此圖之互轉相
[003-8b]
較之理也
第八
一種反推比例將一率與二率之比同
於三率與四率之比者反推之以二率
與一率為比四率與三率為比其所比
之例仍同故亦謂之相當比例率也如
甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙
與丁之比反推之以乙與甲為比丁與
丙為比則所比之例仍同於相當比例
[003-8b]
率焉以前雙圜圖解之葢甲數與乙數
[003-9a]
之比例即乙丙大圜全界與所分己庚
弧界之比例丙數與丁數之比例即丁
戊小圜全界與所分辛壬弧界之比例
也今反以乙與甲為比丁與丙為比即
如以乙丙大圜所分之己庚弧界與乙
丙大圜全界為比丁戊小圜所分之辛
壬弧界與丁戊小圜全界為比也因其
以二率為一率以三率為四率前後互
[003-9b]
移故謂之反推比例然名雖為反推比
例而相當比例之率仍與順推比例相
同也
第九
一種遞轉比例將一率與二率之比同
於三率與四率之比者轉較之以一率
與三率為比二率與四率為比其所比
之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁
四數將甲與乙之比同於丙與丁之比
[003-9b]
轉較之以甲與丙為比乙與丁為比則
[003-10a]
所比之例仍同於相當比例率也如前
雙圜圖 乙丙大圜全界一率與所
分巳庚弧界二率之比同於丁戊小圜
全界三率與所分辛壬弧界四率之比
若轉較之以乙丙大圜之一率與丁戊
小圜之三率為比大圜所分之巳庚弧
界二率與小圜所分之辛壬弧界四率
為比其度雖依圜之大小有異而分數
[003-10b]
則同其比例仍同於原比例故甲乙丙
丁之四數亦如大小二圜為互相比例
之率而甲一率與丙三率之比即大圜
與小圜之比乙二率與丁四率之比即
大圜所分弧界與小圜所分弧界之比
也葢以三率為二率以二率為三率遞
轉相較故謂之遞轉比例其相當比例
之四率雖遞轉以較之亦仍為相當比
例之四率也
[003-10b]
第十
[003-11a]
一種分數比例彼四率之中以一率與
二率之比同於三率與四率之比矣若
將此相比之率所較之分截開以一率
與二率之較為一率與二率為比以三
率與四率之較為三率與四率為比則
其所比之例仍為相當比例率也如甲
乙丙丁四數於甲數内減去乙數之分
為戊巳丙數内減去丁數之分為庚辛
[003-11b]
乃以戊己易甲與乙線為比以庚辛易
丙與丁線為比則所比之例仍同於相
當比例率也如前雙圜圖 於乙丙
大圜全界内減去所分己庚弧界一段
仍與己庚弧界為比丁戊小圜全界内
減去所分辛壬弧界一段仍與辛壬弧
界為比亦與大圜全界與大圜所分弧
界小圜全界與小圜所分弧界相比之
理同故此甲線内截去乙所成戊己仍
[003-11b]
與乙相比即如乙丙大圜全分截去己
[003-12a]
庚弧界一段仍與己庚弧界相比而丙
線内截去丁所成庚辛仍與丁相比即
如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段
仍與辛壬弧界相比也其比例仍同於
相當比例四率但因其各分内有分開
相減之故所以謂之分數比例也
第十一
一種合數比例有四率以一率與二率
[003-12b]
之比同於三率與四率之比矣若將此
相比之率併之以一率與二率相加為
一率仍與二率為比以三率與四率相
加為三率仍與四率為比其所比之例
亦仍同於相當比例之四率也如甲乙
丙丁四數以甲數與乙數相加共為一
率與乙數為比丙數與丁數相加共為
三率與丁數為比則所比之例仍同於
相當比例四率也此合數比例與分數
[003-12b]
比例之理互相對待彼分數比例以雙
[003-13a]
圜圖 二圜全界内減去所分弧界
一段仍與所分弧界一段為比今此合
數比例即如二圜全界内所分大段加
入所分弧界一小段即是全界而與所
分弧界一段為比也其所比之理仍同
於相當比例四率但因有相加之加故
謂之合數比例焉
第十二
[003-13b]
一種更數比例以一率與二率之比同
於三率與四率之比者更之將一率與
二率相減用其餘分為二率仍與一率
為比又將三率與四率相減用其餘分
為四率仍與三率為比則其比例之理
仍同於相當比例四率也如甲乙丙丁
四數於甲第一率内減去乙第二率所
餘為戊己乃以戊己立乙第二率之位
而以甲與戊己為比復於丙第三率内
[003-13b]
減去丁第四率所餘為庚辛乃以庚辛
[003-14a]
立丁第四率之位而以丙與庚辛為比
其所比之理仍同於四率之比例故亦
為相當比例之四率也今以雙圜圖解
之 乙丙大圜三百六十度之全界
仍為一率全界内減去所所分之巳
庚弧界六十度一段餘己丙庚三百度
一大段 為二率丁戊小圜三百六
十度之全界 仍為三率全界内減
[003-14b]
去所分之辛壬弧界六十度一段餘辛
戊壬三百度一大段 為四率則乙
丙大圜三百六十度之全界如甲所更
之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜
三百六十度之全界如丙所更之辛戊
壬三百度如庚辛故其四率之兩相比
例亦同為相當比例率也凡四率之内
前後之相差雖更入比之仍與相當比
例之理同但以其數有更入之故所以
[003-14b]
謂之更數比例也
[003-15a]
第十三
一種隔位比例有兩相比例四率将此
一邉四率内一率與末率為比彼一邊
四率内一率與末率為比則其所比之
例仍同於相當比例四率也如此一邊
有甲乙丙丁四數彼一邊有戊己庚辛
四數此甲與乙之比同於彼戊與己之
比此乙與丙之比同於彼已與庚之比
[003-15b]
此丙與丁之比同於彼庚與辛之比若
将此四率隔位比之使此一邊之甲與
丁為比以彼一邊之戊與辛為比則其
比例仍同於相當比例四率也試以雙
圜圖之大小圜所分各弧界之兩線引
長 自庚壬過甲至癸丑作一全徑
線復自己辛過甲至子寅作一全徑線
則分大圜為庚巳己丑丑寅寅庚四段
分小圜為壬辛辛癸癸子子壬四段其
[003-15b]
大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段為相
[003-16a]
當四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬
四段亦為相當四率此二圜之所分四
段既俱為相當四率則其各相比例度
之大小雖異而分數相同故大圜之庚
己一段與已丑一段之比同於小圜之
壬辛一段與辛癸一段之比大圜之已
丑一段與丑寅一段之比同於小圜之
辛癸一段與癸子一段之比大圜之丑
[003-16b]
寅一段與寅庚一段之比同於小圜之
癸子一段與子壬一段之比也若以此
各相當四率隔位以比之其大圜之庚
已一段與寅庚一段為比而小圜之壬
辛一段與子壬一段為比其比例仍同
於相當比例四率但以其兩邊各相比
例四率内各取兩率隔位以比之故謂
之隔位比例耳
第十四
[003-16b]
一種錯綜比例有兩連比例三率此一
[003-17a]
邊三率内中率與末率之比同於彼一
邊三率内中率與末率之比則為相當
比例之四率苟錯綜其位分以此一邊
首率與末率隔位為比復取另一數與
彼一邊中率為比而成同理之四率則
此另一數必與彼邊三率為連比例四
率矣如此一邊有甲乙丙連比例三數
彼一邊有丁戊已連比例三數将此一
[003-17b]
邉中率乙數與末率丙數之比同於彼
一邊中率戊數與彼一邉末率己數之
比則其比例為同理比例矣今錯綜其
位分使此一邊所有之首率甲數與所
有之末率丙數隔位為比復另取一庚
數與彼一邊所有之中率戊數為比則
其比例亦同於相當比例四率而此庚
數與彼邊丁戊己三率為連比例之數
矣何也試以庚數置於彼一邊丁首率
[003-17b]
之上則庚為首率而丁移而為中率戊
[003-18a]
又易而為末率是故此一邊甲首率與
丙末率之比同於彼一邊所取庚首率
與所易戊末率之比但以兩連比例率
互相易位増入比之之不同故名之為
錯綜比例耳
第十五
一種加分比例凡有二率依本度各加
幾倍所加之分數若等則所成之二率
[003-18b]
互相為比仍同於原二率之互相為比
謂之等倍相加之比例也如甲乙二數
於甲數依本度加三倍為丙於乙數依
本度加三倍為丁則此丙丁二數互相
為比仍同於甲乙二數之互相為比也
假若甲度為一大分乙度為一小分則
甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成
四小分之丁以四大分之丙比四小分
之丁以一大分之甲比一小分之乙其
[003-18b]
相當之分數既等固為同理比例可知
[003-19a]
矣見本卷/第三節故凡二率依本度各加幾倍
其所加之分數若等其加分之率互相
為比必同於原率之互相為比因於原
數有相加之分故謂之加分比例也
第十六
一種減分比例凡有二率依度度各減
幾倍所減之分數若俱等則所成之二
率互相為比仍同於原二率之互相為
[003-19b]
比謂之等分相減之比例也如有甲乙
丙丁二數其甲乙之三分内減去甲戊
一分丙丁之三分内減去丙己一分則
戊乙己丁互相為比仍同於原甲乙丙
丁全數之互相為比也何也夫甲乙度
為三尺丙丁度為三寸自甲乙度内減
去一尺則為戊乙自丙丁度内減去一
寸則為己丁以所餘之戊乙二尺與所
餘之已丁二寸為比以甲乙之全三尺
[003-19b]
與丙丁之全三寸為比其相當之分數
[003-20a]
必等故亦為同理比例矣凡二率之内
無論減幾分其所減之分數若等則相
比之理必同於原數之比例因於原數
内減之故又謂之減分比例也
[003-21a]
幾何原本七
第一
前卷所論比例之法凡一十有二相當/比例
一種相連比例一種正比例一種反比/例一種遞轉比例一種分數比例一種
合數比例一種更數比例一種隔位比/例一種錯綜比例一種加分比例一種
減分比/例一種雖種種變化不窮其每相當分
數所成之率依然一理故其相比之例
俱同而皆為相當比例四率也是故線
[003-21b]
與線為比面與面為比體與體為比依
前各種比例之法線之比例若同則為
相當比例線面之比例若同則為相當
比例面體之比例若同則為相當比例
體矣夫線面體為類不同雖不能互相
為比假使線面體之每相當分數若等
則按其各類相當分數比之亦為同理
比例率也如甲之六分線與乙之三分
線相比丙之六分面與丁之三分面相
[003-21b]
比戌之六分體與已之三分體相比此
[003-22a]
三種每相當分數既俱相等故其比例
亦俱相等而六率互為同理比例可知
矣
第二
大凡直角平方面積皆生於二線之度
故欲知方面所生比例之分將其二形
之縱横線分考之即可得而知矣如甲
乙丙丁直角平方之二面欲知其所生
[003-22b]
比例之分則視甲乙大形之甲戊横線
長度得彼丙丁小形之丙己横線長度
為三倍而甲乙大形之甲庚縱線寛度
得彼丙丁小形之丙辛縱線寛度為二
倍假若將甲乙大形自中線平分為甲
癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙
丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横
線長度既仍與丙己横線長度為三倍
其所分之甲癸形必與丙丁三形相等
[003-22b]
再彼壬乙形亦與丙丁三形相等則此
[003-23a]
二形相合之甲乙一全形比之丙丁小
形為六分可知矣又或甲乙大形之甲
戊横線長度得丙丁小形之丙己横線
長度為四倍甲乙大形之甲庚縱線寛
度得丙丁小形之丙辛縱線寛度為三
倍則大形與小形四倍者有三而大形
比小形為十二分可知矣再或甲乙大
形之甲戊横線比丙丁小形之丙己横
[003-23b]
線為十二倍丙丁小形之丙辛縱線反
比甲乙大形之甲庚縱線為三倍則甲
乙大形之甲戊横線之長雖比丙丁小
形之丙己横線之長多十一倍而甲乙
大形之甲庚縱線之寛又比丙丁小形
之丙辛縱線之寛少二倍矣將此縱横
二線之多少較之甲乙大形比丙丁小
形為四倍而丙丁小形為甲乙大形之
四分之一於是以二形之縱横多少互
[003-23b]
相較對以比例之始得知此形與彼形
[003-24a]
之比例焉故凡直角平方面形與他一
形相比其比例有二以此形之長與他
形之長比之為一比例以此形之寛與
他形之寛比之為一比例兩形相比之
間而兼兩比例者正以平面之積自二
線之度生之之故也
第三
有兩直角方面形若將此方面横界與
[003-24b]
他方面横界為比又將他方面縱界與
此方面縱界為比其比例若同則此兩
方面必相等也如甲乙丙丁兩方面形
甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己
横界大一倍而丙丁形之丙庚縱界比
甲乙形之甲辛縱界亦大一倍則甲乙
丙丁兩形之分必相等是知兩方面形
縱横之分互相較對則兩方面之積可
知矣
[003-24b]
第四
[003-25a]
凡有相比例四率其二率與三率相乘
一率與四率相乘則所得之分數俱相
等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四
率甲乙一率為二分丁戊二率為四分
戊己三率為三分乙丙四率為六分將
丁戊二率為縱線戊已三率為横線以
之相乗又將甲乙一率為縱線乙丙四
率為横線以之相乗其所得之丁己一
[003-25b]
方面形甲丙一方面形其分數俱是十
二互相等矣然則丁已形之丁戊縱度
雖比甲丙形之甲乙縱度大一半而丁
已形之戊己横度復比甲丙形之乙丙
横度少一半故其縱横互較之分相等
而其積亦等也是故四率中凡有三率
欲求其不知之一率將兩率之分相乘
所得之數以一率之分除之即得其一
率矣設如甲乙三分為一率丁戊六分
[003-25b]
為二率戊己五分為三率乙丙十分為
[003-26a]
四率今只知一率二率三率之分欲推
四率則以丁戊六分二率與戊巳五分
三率相乘為丁己三十分乃以甲乙三
分一率除之即得乙丙十分四率矣此
以小分為首率者也或知乙丙戊己丁
戊之三率而推甲乙之一率則以乙丙
十分為一率戊巳五分為二率丁戊六
分為三率二率與三率相乘一率除之
[003-26b]
即得甲乙之四率矣此以大分為首率
者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而
推戊己之一率則以丁戊為一率甲乙
為二率乙丙為三率二率與三率相乘
一率除之即得戊己之四率矣此即反
推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙
之三率而推丁戊之一率則以戊己為
一率甲乙為二率乙丙為三率二率與
三率相乘一率除之即得丁戊之四率
[003-26b]
矣此即遞轉比例之理也
[003-27a]
第五
凡有兩直角方面形此一方面之横界
與他一方面横界為比此一方面之縱
界與他一方面縱界為比其比例若等
則此兩方面之比例比之兩界之比例
為連比例隔一位相加之比例也如甲
乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲
戊横界為丙丁形丙己横界之二倍而
[003-27b]
甲乙形之甲庚縱界亦為丙丁形丙辛
縱界之二倍則甲乙形面積與丙丁形
面積之比比之甲乙形之一界與丙丁
形之一界之比者即如連比例三率隔
一位相加之比例矣葢甲乙方面之縱
横界既為丙丁方面縱横界之二倍則
甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有
二二其二為四故甲乙方面積比丙丁
方面積為四倍今甲乙方面積為一十
[003-27b]
六分與丙丁方面積之四分相比較之
[003-28a]
甲乙方界之四分與丙丁方界之二分
相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之
四分之一而辛丁二得庚乙四之二分
之一以四分比一分較之二分比一分
不為二倍乎故欲求其比例相連之率
則於甲乙形之界二倍之得八分與丙
丁方界二分為比即如甲乙方面積十
六與丙丁方面積四分之比矣夫八與
[003-28b]
十六四與八二與四皆二分之一之比
例而十六隔八與四比八隔四與二比
則皆成四分之一之比例故十六與四
較之四與二為兩界上連比例隔一位
相加之比例也又如甲乙方面之縱横
界為丙丁方面縱横界之三倍則甲乙
方面内如丙丁方面之三倍者有三三
其三為九故甲乙之面積比丙丁面積
為九倍今甲乙之積為三十六分與丙
[003-28b]
丁方面積四分相比較之甲乙方界之
[003-29a]
六分與丙丁方界之二分相比者不同
葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一
而辛丁二得庚乙六之三分之一以九
分比一分較之三分比一分不為三倍
乎故欲求其比例相連之率則於甲乙
形之界三倍之得十八與丙丁方界二
分為比即如甲乙方面積三十六與丙
丁方面積四之比例矣葢十八與六六
[003-29b]
與二皆三分之一之比例而三十六隔
十二與四比十八隔六與二比則皆為
九分之一之比例故三十六與四較之
六與二亦為兩界上連比例隔一位相
加之比例也
第六
凡直角方面形有二種一為長方一為
正方因其縱横界之比例各異故其所
生之形不同而積不得互相為比也如
[003-29b]
欲比之必以長方與長方為比正方與
[003-30a]
正方為比其比例始行如甲乙丙丁兩
長方面形其甲乙形之甲戊横界與丙
丁形之丙己横界為大一倍甲乙形之
甲庚縱界與丙丁形之丙辛縱界亦為
大一倍其比例相同若以甲乙形之甲
戊横界與丙丁形之丙辛縱界為比則
大三倍而甲乙形之甲庚縱界與丙丁
形之丙己横界為比止大一分猶不得
[003-30b]
大一倍其比例則異故甲乙形所生之
積為二十四而丙丁形所生之積為六
俱為長方形焉又如子丑寅夘兩正方
形其子丑形之子辰横界與寅卯形之
寅已横界之比子丑形之子午縱界與
寅卯形之寅未縱界之比俱為大三倍
而比例相同復以子丑形之子辰横界
與寅卯形之寅未縱界為比子丑形之
子午縱界與寅卯形之寅已横界為比
[003-30b]
亦各大三倍而比例相同故子丑形所
[003-31a]
生之積為三十六而寅夘形所生之積
為四俱為正方形焉以此四形兩兩相
比則甲乙長方形與丙丁長方形為比
而子丑正方形與寅卯正方形為比各
為相當比例之四方面也
第七
有兩同式長方面於兩形相當之二界
各作兩正方面互相為比即同原兩長
[003-31b]
方面之互相為比也如甲乙丙丁兩直
角長方面在甲戊丙己相當二横界各
作甲庚丙辛兩正方面則所作甲庚丙
辛兩正方面互相為比即同於原有之
甲乙丙丁相同之兩長方面之互相為
比也夫甲乙丙丁同式之兩長方面積
既為隔一位相加之比例則所作甲庚
丙辛同式之正方面積亦必為隔一位
相加之比例然則甲乙丙丁原有之兩
[003-31b]
面互相為比與所作甲庚丙辛之正方
[003-32a]
面之互相為比其為同理之比例無疑
矣
第八
大凡二平行線内所有直角方面互相
為比同於其底之互相為比也如甲乙
丙丁二平行線内有甲已庚丁兩直角
方面其甲已面與庚丁面之比即同於
甲已面之丙己底線與庚丁面之辛丁
[003-32b]
底線之比也葢甲巳面之丙巳底線與
庚丁面之辛丁底線為三倍而甲巳面
之甲丙縱線與庚丁面之庚辛縱線因
同在二平行線内其度固同今以二面
縱線俱依庚丁面之庚辛分數分之皆
為四倍則甲巳面為一十二分而庚丁
面為四分矣以甲己面之十二分與庚
丁面之四分為比即如甲己面之丙己
底三分與庚丁面之辛丁底一分之比
[003-32b]
故其比例相同也
[003-33a]
第九
凡二平行線内所有二界平行斜方面
互相為比同於其底界度之互相為比
也如甲乙丙丁二平行線内有甲戊乙
丁兩斜方面積互相為比即同於丙戊
巳丁兩底界之互相為比也試將甲戊
乙丁兩斜方面之丙戊己丁兩底界上
立庚戊辛丁兩直角面則此兩直角面
[003-33b]
因與兩斜方面同底同髙其積必等見/三
卷第/八節前節言凡二平行線内所有直角
方面互相為比同於其底之互相為比
此甲戊乙丁兩斜方面既與同底所立
庚戊辛丁兩直角面相等則甲戊乙丁
兩斜方面互相為比必同於丙戊己丁
兩底界之互相為比可知矣故凡二平
行線内所有面積相比之分數必與底
界相比之分數同也
[003-33b]
第十
[003-34a]
凡二平行線内所有三角形面積互相
為比亦同於其底界度之互相為比也
如甲乙丙丁二平行線内有戊己庚辛
壬癸兩三角形其内所函面積互相為
比即同於巳庚壬癸兩底界之互相為
比也何也凡二平行線内所有三角形
得其同底所立四邊形之一半今以甲
乙丙丁二平行線内之戊己庚三角形
[003-34b]
同底立一戊巳庚子四邊形辛壬癸三
角形同底立一辛壬癸丑四邊形則戊
巳庚三角形為戊巳庚子四邊形之一
半而辛壬癸三角形為辛壬癸丑四邊
形之一半如以兩三角形面積互相為
比即同於兩四邊形面積之互相為比
而為相當比例四率矣其面積既互相
為比則其兩三角形面積相比同於兩
三角形底之相比者亦如兩四邊形相
[003-34b]
比同於兩四邊形底之相比矣然則戊
[003-35a]
巳庚辛壬癸兩三角形面積互相為比
必同於巳庚壬癸兩底界互相為比者
可知也今壬癸底界既比己庚底界大
一倍故辛壬癸三角形面積必比戊巳
庚三角形面積亦大一倍也
[003-36a]
㡬何原本八
第一
凡三角形内與其底線平行作一直線
則所截三角形之兩邊線互相為比例
線其兩邊線所分各二叚互相為比為
相當比例四率而每邊所截之一叚與
本全線比之亦為相當比例四率也如
甲乙丙三角形内與乙丙底線平行作
[003-36b]
一丁戊線則分甲乙一邊為甲丁丁乙
二叚分甲丙一邊為甲戊戊丙二叚其
甲乙一邊之甲丁丁乙二叚互相為比
甲丙一邊之甲戊戊丙二叚互相為比
其比例俱同為相當比例四率矣又如
甲乙一邊之甲丁一叚與本邊甲乙全
線為比甲丙一邊之甲戊一叚與本邊
甲丙全線為比其比例亦俱同為相當
比例四率矣今以三角形按所截分分
[003-36b]
為各式以各式面積互相比者考之自
[003-37a]
丁戊線之丁戊二端作丁丙戊乙二線
則甲乙丙一三角形分為四三角形此
四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊兩
三角形既在乙丙丁戊二平行線之間
又共立於一丁戊之底其二形之積必
等見三卷/第十節於此二形各加一所截甲丁
戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙兩三
角形其積亦必相等又如甲丁戊乙丁
[003-37b]
戊兩三角形之底俱在甲乙一直線上
而兩三角形之戊角又共在一戊處其
兩形必在二平行線之間而甲丁戊丙
丁戊兩三角形之底俱在甲丙一直線
上而兩三角形之丁角又共在一丁處
其兩形亦在二平行線之間見三卷第/十二節
因各三角形兩兩俱為二平行線所限
故其面積互相為比必同於其底界之
互相為比也見七卷/第十節此所以甲丁戊丙
[003-37b]
丁戊兩三角形積互相為比與其甲戊
[003-38a]
戊丙兩底線之互相為比同其甲丁戊
乙丁戊兩三角形積互相為比與其甲
丁丁乙兩底線之互相為比亦同也冄
甲乙戊三角形之積既與甲丙丁三角
形之積相等則以甲乙丙之全形與所
分之甲乙戊三角形或與所分之甲丙
丁三角形相比其比例必俱相同而甲
丙丁三角形之甲丁底與甲丙乙全形
[003-38b]
之甲乙底互相為比甲乙戊三角形之
甲戊底與甲乙丙全形之甲丙底互相
為比亦必俱相同矣因其各三角形得
互相為比例故其所截兩邊線兩兩為
相當比例率也
第二
凡三角形内與底平行作一直線其所
截兩邊線之每一叚與各邊全線之比
即同於所作線與底線之比也如甲乙
[003-38b]
丙三角形内與乙丙底平行作一丁戊
[003-39a]
線此丁戊線所截甲丁一叚與甲乙全
線之比甲戊一叚與甲丙全線之比皆
如丁戊線與乙丙底線之相比也假若
將甲乙丙三角形之甲乙邊線為底而
與甲乙底線平行作一戊己線即成戊
巳乙丁四邊長方形其兩兩平行線之
度俱各相等然三角形之兩邊與所截
之每叚既互相為比如前節/所云則此乙丙
[003-39b]
邊之乙己一叚與乙丙邊全線之比即
同於彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊
全線之比而丁戊之平行線既與乙已
平行線度相等則此丁戊平行線與原
底乙丙線之比亦必同於彼甲丙邊之
甲戊一叚與甲丙邊全線之比矣故甲
戊叚為一率甲丙邊全線為二率丁戊
平行線為三率乙丙底線為四率為相
當比例四率也又如甲乙邊之甲丁一
[003-39b]
叚與甲乙邊全線之比既同於丁戊平
[003-40a]
行線與乙丙底線之比則甲丁叚為一
率甲乙邊全線為二率丁戊平行線為
三率乙丙底線為四率亦為相當比例
四率也苟甲乙邊全線為六分則甲丁
叚得其六分之二分乙丙邊全線為六
分則丁戊叚亦得其六分之二分所以
成兩兩相當比例之率也
第三
[003-40b]
凡大小兩三角形其相當之二角度若
兩兩相等則其餘一角亦必相等如此
類兩三角形謂之同式三角形也雖其
内容積分不同而其相當各界互相為
比俱為相當比例之率焉如甲乙丙丁
戊己大小兩三角形其甲角與丁角等
乙角與戊角等則所餘丙角必與己角
等而為同式三角形也二卷第三節言/凡三角形之三
角相併與二直角等則此大小兩三角/形之各三角相併亦俱為二直角於二
[003-40b]
直角中减去大形之甲角乙角餘為丙/角減去小形之丁角戊角餘為己角其
[003-41a]
所減之數既等則所/餘之數亦必等矣若於大形内與乙
丙平行作庚辛線與甲乙平行作辛壬
線則成甲庚辛辛壬丙兩小三角形此
兩小形之相當角度與大形之相當角
度亦必俱等故皆謂之同式形也凡同
式之形其容積雖不一而其各界互相
為比皆為相當比例之四率是故以大
三角形之甲乙全線與所截甲庚一叚
[003-41b]
之比即如大三角形之甲乙一邊與小
三角形之相當丁戊一邊之比也大三
角形之甲丙全線與所截甲辛一叚之
比即如大三角形之甲丙一邊與小三
角形之相當丁巳一邊之比也大三角
形之乙丙底線與所截庚辛底線之比
即如大三角形之乙丙底線與小三角
形之戊已底線之比也至於甲乙丙大
三角形與所截辛壬丙小三角形相當
[003-41b]
各界之比亦如甲乙丙大三角形與丁
[003-42a]
戊已小三角形相當各界之比也由此
推之凡同式之形其相當各界互相為
比皆為相當比例之率可知矣
第四
同式直角三角形面積互相為比同於
三角形各相當界所作方形之互相為
比而同式三角形面積互相為比者比
之各相當界互相為比則為連比例内
[003-42b]
隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊
巳兩同式直角三角形其面積互相為
比即同於此兩三角形之乙丙戊巳相
當二界所作庚乙辛戊兩方形互相為
比之比例而此兩三角形之面積互相
為比比之乙丙戊已相當二界互相為
比之比例則為連比例内隔一位相加
之比例矣葢兩三角形之乙戊二角俱
為直角若與乙丙戊巳二線平行作甲
[003-42b]
壬丁癸二線又與甲乙丁戊二線平行
[003-43a]
作壬丙癸己二線即成壬乙癸戊兩直
角長方形此甲乙丙丁戊己兩三角形
因與所作壬乙癸戊兩直角長方形在
二平行線内同為一底其積為一半將
半與半相比者即同於全與全之相比
故甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比
必同於壬乙癸戊兩直角長方形互相
為比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁
[003-43b]
戊各相當二界所作壬乙癸戊兩長方
形互相為比之比例既與甲乙丙丁戊
己兩三角形互相為比之比例同則依
乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩
正方形互相為比之比例亦與壬乙癸
戊兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角
形互相為比之比例同矣又凡直角兩
方形其兩界互相為比之比例若俱同
則兩形面積互相為比之比例較之兩
[003-43b]
界互相為比之比例為隔一位相加之
[003-44a]
比例見七卷/第五節今甲乙丙丁戊己兩三角
形之各依底線所作正方形互相為比
較之二底線互相為比之比例即為隔
一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己兩
三角形之面積互相為比者既與所作
庚乙辛戊兩正方形面積互相為比之
比例同則此所作兩正方形面積相比
較之兩底相比為隔一位相加之比例
[003-44b]
而甲乙丙丁戊己兩三角形面積互相
為比較之乙丙戊己相當二界互相為
比之比例亦為隔一位相加之比例可
知矣
第五
同式無直角三角形面積互相為比同
於三角形各相當界所作方形之互相
為比而三角形面積互相為比者比之
各相當界互相為比則為連比例内隔
[003-44b]
一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己
[003-45a]
兩同式三角形雖無直角然其相當各
角俱等則此兩形面積互相為比同於
在此兩形之甲乙丁戊相當二界所作
方形互相為比之比例而兩形之面積
互相為比者比之甲乙丁戊相當二界
互相為比之比例則為連比例内隔一
位相加之比例矣試自兩形之丙己二
角與甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛
[003-45b]
各一線又自甲丁二角至庚辛二線之
末作甲庚丁辛二線又與此二線平行
自乙戊二角至壬癸二處作乙壬戊癸
二線成庚乙辛戊兩直角長方形此兩
長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形俱
在兩平行線内又同為一底則此兩三
角形面積為彼庚乙辛戊兩長方形之
一半將半與半相比者同於全與全之
相比故甲乙丙丁戊己兩三角形面積
[003-45b]
之比例必同於庚乙辛戊兩長方形之
[003-46a]
比例矣夫同式兩長方形之比例同於
相當界所立正方形之比例而同式正
方形之比例比之各相當界之比例為
連比例隔一位相加之比例今此兩三
角形面積之比例既同於庚乙辛戊兩
長方之比例亦必同於兩正方之比例
則兩三角形面積之比例比之兩界之
比例為連比例隔一位相加之比例可
[003-46b]
知矣
第六
有衆多邊形其邊數同相當各角俱等
而相當界之比例又同則謂之同式形
也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小
兩多邊形其邊數俱為五其相當甲己
二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊
癸二角各度俱等而甲乙邊與己庚邊
之比即同於乙丙邊與庚辛邊之比其
[003-46b]
相當邊互相比之俱同者即謂之同式
[003-47a]
多邊形也又如衆曲線形於其内外作
各種直界形其式若同則謂之同式曲
線形也假如有甲乙大小兩曲線形在
甲大形内作一丙丁戊己庚五邊形在
乙小形内作一辛壬癸子丑五邊形此
所作兩五邊形之式若同則曲線形之
式必同又如甲乙大小兩曲線形在甲
大形外作一丙丁戊己四邊形在乙小
[003-47b]
形外作一庚辛壬癸四邊形此所作兩
四邊形之式若同其曲線形之式亦必
同故皆謂之同式曲線形也或如甲乙
丙丁大小兩圜分於大圜分内作一戊
甲乙三角形於小圜分内作一己丙丁
三角形此所作兩三角形之式若同則
圜分之式亦必同故謂之同式圜分也
第七
大小各圜分之式若同則其相對之圜
[003-47b]
心角度必俱等也如甲乙丙丁大小兩
[003-48a]
圜之戊甲己庚丙辛兩分之式相同其
弧雖隨圜之大小各殊而自圜所分之
度必同其各叚所對二圜之壬癸心角
度亦等矣夫戊甲己與庚丙辛兩叚式
既同則此内所函甲戊己丙庚辛兩三
角形之甲丙相當兩界角之度必等若
自甲丙二角過二圜心壬癸至對界乙
丁作甲壬乙丙癸丁二線則成兩界角
[003-48b]
與兩心角葢心角大於界角一倍故甲
乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角
大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大
一倍今將戊壬乙乙壬己兩心角併之
戊甲乙乙甲己兩界角併之則所併之
心角亦必比所併之界角大一倍矣而
丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛兩心角併
之亦必比庚丙丁丁丙辛所併之兩界
角大一倍夫兩圜之兩界角度既等而
[003-48b]
兩圜之所併之心角度又等則兩界角
[003-49a]
相對之戊乙己庚丁辛兩弧叚之分數
亦必相等界角所對之弧分既等則心
角所對之弧分亦必相等心角所對之
弧分即為甲丙二界角相對之壬癸二
心角之度也
第八
凡大小同式多邊形分為衆三角形其
相當三角形之式俱相同也如甲乙丙
[003-49b]
丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形自大
形甲角至丙丁二角自小形己角至辛
壬二角各作二線則大形分為甲乙丙
甲丙丁甲丁戊三三角形小形分為己
庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙
丙之形與相當己庚辛之形同式甲丙
丁之形與相當己辛壬之形同式甲丁
戊之形與相當己壬癸之形同式因其
所分各三角形俱為同式故相當各角
[003-49b]
度必等相當各角度既等則其相當各
[003-50a]
界之比例亦必俱同自五邊形所分之
各三角形之相當界互相為比之比例
既同則五邊形之相當各界互相為比
之比例亦必同相當各界之比例相同
則兩形之式相同可知矣
第九
凡大小同式多邊形互相為比同於各
形相當界所作方形之互相為比而比
[003-50b]
之各面相當界互相為比之比例為連
比例隔一位相加之比例也如甲乙丙
丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形於大
形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙
丑辛大小兩方形其大小五邊形互相
為比必同於所作子丙丑辛大小二方
形之互相為比大小五邊形既同於大
小兩方形之互相為比則比之丙丁辛
壬相當二界互相為比之比例為連比
[003-50b]
例隔一位相加之比例矣若將甲乙丙
[003-51a]
丁戊己庚辛壬癸兩形分為衆三角形
則相當各三角形之式必同相當各三
角形之式既同則相當各三角形互相
為比即同於在三角形各相當界所作
方形之互相為比而各三角形面積之
互相為比較之各相當界互相為比之
比例亦為連比例隔一位相加之比例
夫所分衆三角形互相為比既同於所
[003-51b]
作方形之互相為比則衆三角形所合
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五邊
形互相為比亦必同於丙丁辛壬相當
界所作子丙丑辛大小兩方形之互相
為比而比之丙丁辛壬相當界互相為
比之比例為連比例隔一位相加之比
例可知矣
第十
凡大小同式直界形互相為比同於在
[003-51b]
所比各形内外所有同式形之各相當
[003-52a]
界所作正方形之互相為比也如甲乙
丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小兩直界
形於此二形内所函之甲丙丁己庚壬
癸丑二同式四邊形之甲丙庚壬相當
二界作寅丙卯壬正方形則兩直界形
互相為比即同於兩正方形之互相為
比也若將甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子
丑兩六邊形俱分為三角形則其相當
[003-52b]
各三角形之式俱相同而相當各三角
形互相為比必同於甲丙庚壬相當二
界所作寅丙卯壬正方形之互相為比
矣此所分三角形之比例既同於所作
正方形之比例則大小兩形内各三角
形之甲丙庚壬界又為兩四邊形之共
界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑兩
同式形互相為比亦必同於其所函之
甲丙丁己庚壬癸丑兩四邊形之甲丙
[003-52b]
庚壬兩相當界所作寅丙卯壬兩正方
[003-53a]
形之互相為比可知矣
第十一
凡大小同式曲界形互相為比同於在
所比各形内外所有同式形之各相當
界所作正方形之互相為比也如甲乙
丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此
二圜之中雖各函一同式六邊形各函
一同式四邊形又各函衆同式三角形
[003-53b]
此大小二圜之積互相為比必同於在
圜内所函同式形之甲丙庚壬相當二
界所作寅丙卯壬正方形之互相為比
也大凡衆界形或函圜或函於圜其界
數愈多愈與圜界相近而圜界分為千
萬叚即成千萬直界形見四卷第十/九二十等節則
大小兩圜之比例固與内函相當直界
形之比例等矣夫相當直界形之比例
原同於兩形之相當界所作方形之比
[003-53b]
例而圜界形之比例又同於相當直界
[003-54a]
形之比例則此大小二圜互相為比之
比例同於此二圜之輻線或徑線所作
正方形互相為比之比例可知矣
第十二
凡圓面徑與撱圓面一名鴨/蛋形髙度等者
其面積互相為比之比例即同於函兩
形各作切方形互相為比之比例而圓
形面積與撱圓形面積互相為比之比
[003-54b]
例又同於圓形徑與撱圓形小徑互相
為比之比例也如子壬寅癸之圓面子
丑寅卯之撱圓面其子寅髙度俱同圓/徑
即撱圓/大徑其面積互相為比之比例必同
於圓面外所作切圓戊己庚辛正方形
與撱圓面外所作切圓甲乙丙丁長方
形互相為比之比例而子壬寅癸圓面
與子丑寅卯撱圓面互相為比之比例
又同於圓面之壬癸徑與撱圓面之丑
[003-54b]
卯小徑互相為比之比例也葢平行線
[003-55a]
内兩面形互相為比之比例同於其底
界互相為比之比例見七卷/第八節今戊己庚
辛正方形與甲乙丙丁長方形皆在戊
辛己庚平行線内故戊己庚辛正方形
與甲乙丙丁長方形互相為比之比例
同於己庚底與乙丙底互相為比之比
例而子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓
面亦在戊辛己庚平行線内則子壬寅
[003-55b]
癸圓面與子丑寅卯撱圓面互相為比
之比例必同於戊己庚辛正方形與甲
乙丙丁長方形互相為比之比例矣然
戊己庚辛正方形之己庚底即圓面壬
癸徑度而甲乙丙丁長方形之乙丙底
又即撱圓面之丑卯徑度也夫平圓與
撱圓之比例既同於正方形與長方形
之比例而正方形與長方形之比例又
同於己庚底與乙丙底之比例則圓面
[003-55b]
與撱圓面之比例同於圓面之壬癸徑
[003-56a]
與撱圓面之丑卯徑之比例可知矣
[003-57a]
㡬何原本九
第一
凡直角三角形自直角至相對界作一
垂線則一形分為兩形與原形共為三
同式直角三角形而其比例俱相同也
如甲乙丙直角三角形自甲直角至相
對乙丙界作一甲丁垂線則甲乙丙一
形分為甲丁乙甲丁丙兩形此所分兩
[003-57b]
形與原有甲乙丙形之式俱相同而皆
為直角三角形其三形毎相當各界之
比例亦俱相同也葢甲丁線既為垂線
則兩傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱
為直角見首卷/第十節是故甲乙丙三角形之
甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等
而兩三角形又共一乙角其相當二角
度既等則所餘各一角度自等見八卷/第三節
故甲乙丙之丙角與甲丁乙之甲角其
[003-57b]
度相等也而甲乙丙之甲角亦與甲丁
[003-58a]
丙之丁角相等此兩三角形又共一丙
角故所餘之甲乙丙之乙角與甲丁丙
之甲角其度亦等三三角形之毎相當
各角之度既等則三三角形之式必同
三三角形之式既同則其毎相當各界
之比例亦俱相同可知矣
第八
凡直角三角形自直角至相對界作一
[003-58b]
垂線則所截之兩叚一為一率一為三
率而所作之垂線為中率此三率即為
相連比例率也如甲乙丙直角三角形
自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂
線則截乙丙界為兩叚其所截之乙丁
叚為一率則丁丙叚為三率若丁丙叚
為一率則乙丁叚為三率而所作甲丁
垂線總為中率故此乙丁甲丁丁丙三
線互為相連比例三率也葢甲乙丁甲
[003-58b]
丁丙兩三角形為同式故其相當之乙
[003-59a]
丁甲丁二界互相為比即同於甲丁丁
丙二界之互相為比也今以乙丁線為
四分丁丙線為一分則甲丁線必得二
分因四分與二分之比必同於二分與
一分之比故為相連比例三率也
第三
直角三角形自直角至相對界所作垂
線與所分二叚固為相連比例三率如
[003-59b]
依垂線度作一方形則與所分二叚一
為寛度一為長度所作長方形之積相
等也如甲乙丙直角三角形自甲直角
至相對乙丙界作一甲丁垂線截乙丙
界為兩叚遂成乙丁甲丁丁丙之連比
例三率今依甲丁垂線度作一戊丁正
方形即為中率/自乗之數以甲丁垂線所截丁丙
一叚為寛度乙丁一叚為長度作一己
丁長方形即為首率末/率相乗之數其戊丁正方形
[003-59b]
之積必與己丁長方形之積相等也何
[003-60a]
也葢同式兩三角之相當界互相為比
之比例同故此乙丁界與甲丁界之比
即同於甲丁界與丙丁界之比乙丁線
既為一率則甲丁線為二率甲丁線復
為三率則丙丁線為四率然則此相連
比例三率又為相當比例四率矣因其
可為相當比例四率故二率與三率相
乗一率與四率相乗所得之分數相同
[003-60b]
見七卷/第四節今既以甲丁為二率又為三率
則甲丁自乗之數即是二率三率相乗
之數而乙丁一率與丙丁三率相乗所
得己丁長方形即與甲丁二率三率自
乗之正方相等可知矣此乃首率末率
求中率之法也要之首率末率相乗中
率相乗中率相乗者中率自乗或二率/三率相乗俱在首率末率之中
故/云其所乗之二式雖異因俱自相連比
例四率而生故其積相等而得以為準
[003-60b]
也
[003-61a]
第四
凡有直角三角形其直角相對界所作
方形之積必與兩傍界所作兩方形之
積相等也如甲乙丙直角三角形其甲
直角相對乙丙界作一乙丁方形其積
必與甲乙甲丙之兩傍線所作戊乙己
丙兩方形之積相等也試自甲直角過
相對乙丙界至方形辛丁界作一甲庚
[003-61b]
壬垂線則甲乙丙三角形分為甲乙庚
甲庚丙兩三角形而乙丁正方形分為
乙壬庚丁兩長方形此所分甲乙庚甲
庚丙兩三角形與甲乙丙原三角形為
同式則其毎相當界之互相比例必同
矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界
與丙甲大界之比即同於甲乙丙大三
角形之甲丙小界與乙丙大界之比而
為相當比例四率也然丙甲甲丙之二
[003-61b]
率三率原為一線則庚丙丙甲乙丙又
[003-62a]
為相連比例三率矣故丙甲中率所作
己丙方形之積與庚丙一率為寛乙丙
三率為長所作庚丁長方形之積相等
也乙丁既為正方形則庚壬度必與方
界乙丙各度等故庚丁長方即同庚丙
為寛乙丙為長所作之長方也又如甲
乙庚甲乙丙兩三角之乙庚甲乙乙甲
乙丙四界為相當比例四率又為相連
[003-62b]
比例三率故甲乙中率所作戊乙方形
之積亦與乙庚一率為寛乙丙三率為
長所作乙壬長方形之積相等也今庚
丁乙壬之兩長方形既與己丙戊乙兩
正方形等則兩形相合之乙丁正方形
亦必與己丙戊乙兩正方形相等可知
矣
第五
凡直角三角形之三界所作同式三形
[003-62b]
其一大界所作一形之積必與二小界
[003-63a]
所作二形之積等也如在甲乙丙直角
三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁
戊乙己丙三同式長方形則乙丙大界
所作乙丁一形之積必與甲乙甲丙二
小界所作戊乙己丙二形之積等也又
或如甲乙丙直角三角形於乙丙大界
作乙戊丁丙一半圜於甲乙甲丙二小
界作甲庚乙甲已丙二半圜則乙丙大
[003-63b]
界所作乙戊丁丙一半圜之積必與甲
乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二
半圜之積等也葢依三界所作三形之
式既同故同式衆形互相為比即同於
相當界所作正方形之互相為比也要
之一大界所作一大形内減一小界所
作一小形即餘一小界所作一小形而
一小界所作一小形内再加入一小界
所作一小形則為一大界所作一大形
[003-63b]
矣
[003-64a]
第六
一圜之内二絃線相交所截之叚遞轉
比之其比例俱同而為相當比例四率
也如甲圜内乙丙丁戊二絃線相交於
已其所截之戊已一叚與已丙一叚之
比例即同於乙己一叚與己丁一叚之
比例故戊己己丙乙己己丁四叚為相
當比例之四率也何以見之若自乙至
[003-64b]
戊自丁至丙復作二絃線即成乙己戊
丁己丙兩三角形此兩三角形之乙角
丁角俱切於甲圜之戊丙弧叚其度相
等見四卷第/十二節再乙己戊之己角丁己丙
之己角又為兩尖相對之角其度亦相
等今乙丁二角之度既等而兩己角之
度又等則所餘戊丙二角亦自等兩三
角形之相當各角既等則其式必同其
式既同則毎相當各二線互相為比之
[003-64b]
比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚
[003-65a]
互相為比例四率可知矣
第七
圜之徑線不拘何處作一垂線則所截
之兩叚一為一率一為三率而垂線為
中率即為相連比例三率也如甲圜自
丁界至乙丙徑線戊處作一丁戊垂線
將乙丙徑線截為兩叚其所截乙戊一
叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂
[003-65b]
線為中率此乙戊丁戊戊丙三線為相
連比例三率也試自圜界丁至乙丙二
處作丁乙丁丙二線則成一乙丙丁三
角形其丁角既立於圜之乙己丙半界
故為直角見四卷第/十四節而丁戊垂線乃自
直角至相對乙丙底界所作之垂線故
所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三
率而丁戊垂線為中率為相連比例三
率也
[003-65b]
第八
[003-66a]
自圜外一㸃過圜界二處至相對界作
二線以此兩全線互相為比即同於圜
界外所截之二叚遞轉為比之比例而
為相當比例四率也如己圜自圜外甲
㸃過圜界乙丁二處至相對界丙戊二
處作二線則甲丙甲戊兩全線互相為
比必同於圜界外所截甲乙甲丁二叚
之遞轉相比而為相當比例四率也試
[003-66b]
自圜界乙丁二處至相對界丙戊二處
作乙戊丁丙二線則成甲丙丁甲戊乙
兩三角形此兩三角形之丙戊二角既
切於一圜之乙丁弧界其二角之度必
等見四卷第/十二節再甲丙丁之甲角甲戊乙
之甲角既共為一角其度自等兩三角
形各二角度俱等則兩三角形必為同
式矣故甲丙甲戊相當二界互相為比
之比例即同於甲丁甲乙相當二界互
[003-66b]
相為比之比例是以甲丙與甲戊之比
[003-67a]
同於甲丁與甲乙之比將甲丙全線為
一率甲戊全線為二率甲乙甲丁遞轉
移之而以甲丁一叚為三率甲乙一叚
為四率為相當比例之四率也
第九
凡函於圜内之三角形以其一角平分
為二過相對底界至相對界作一直線
則所分角之小邊線與所作線之在三
[003-67b]
角形内一叚之比即同於所作線之全
分與所分角之大邊線之比也如函於
圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為
二分過所對乙丙底界至相對界作一
直線即成甲丁戊一全線以三角形之
甲乙小邊與所作甲丁戊線之甲丁一
叚之比即同於所作甲丁戊全線與三
角形之甲丙大邊之比也何以言之若
自圜界乙至戊作乙戊弦線即成甲乙
[003-67b]
戊甲丁丙兩三角形此兩三角形之戊
[003-68a]
丙二角俱切於圜界甲乙弧之一叚其
度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁
丙三角形之甲角又為一角所平分之
兩角其度亦必等因此兩三角形各二
角之度等故兩形為同式兩三角形之
式既同則兩形之相當二界互相為比
之比例俱同是以甲乙小分與甲丁小
分之比即同於甲戊大分與甲丙大分
[003-68b]
之比也
第十
凡函於圜内之三角形以其一角為兩
平分自角至底作一線則所分底線兩
叚互相為比即同於所分角之兩傍兩
邊線之互相為比也如函於圜内有甲
乙丙三角形以甲角平分為二分至乙
丙底作甲丁一線則分一丙底線為乙
丁丁丙兩叚以乙丁與丁丙之比即同
[003-68b]
於以甲乙小邊線與甲丙大邊線之比
[003-69a]
也試自所分底線之丁至甲丙線與甲
乙平行作丁戊一線即成戊丁丙一小
三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊
丁丙小三角形之丁角既為乙甲丁戊
平行線一邊之内外角其度必等見首/卷第
二十/三節而甲乙丙戊丁丙兩三角形又共
一丙角故此兩三角形之各二角度等
為同式兩三角形也再甲丁戊之丁角
[003-69b]
乙甲丁之甲角因為平行線内二尖交
錯之角其度亦等然則乙甲丁之甲角
既為甲乙丙之甲角之兩平分則甲丁
戊之丁角亦與甲丁戊之甲角度等矣
甲丁戊三角形之丁角甲角既等則二
角所對之丁戊甲戊二線亦必等矣甲
乙丙戊丁丙兩三角形既為同式而三
角之度又俱等則其甲乙丙大三角形
之甲乙甲丙二線互相為比即同於戊
[003-69b]
丁丙小三角形之戊丁戊丙二線互相
[003-70a]
為比之比例也今戊丁甲戊二線其度
既等則甲乙線與甲丙線之比又同於
以甲戊線與戊丙線之比至於丁戊平
行線所截乙丁一叚與丁丙一叚之比
則又同於甲戊一叚與戊丙一叚之比
矣是故甲乙線與甲丙線之比為同於
乙丁線與丁丙線之比也
[003-71a]
㡬何原本十
第一
大凡直角立方體積皆生於面線互乗
之度故欲知方體所生比例之分將所
比形之長寛與厚詳較之即可得而知
矣如甲乙丙丁直角立方二體其甲乙
大形之戊己長比丙丁小形之庚辛長
甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚
[003-71b]
癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形
之丙庚厚俱為大一倍其甲乙大形之
戊乙底平面積與丙丁 形之庚丁底
平面積之比例將縱横二線之長寛度
分考之即得見七卷/第二節既得二體底積之
比例乃以二形之厚度復與底積比之
即可知甲乙丙丁二體之比例矣葢甲
乙大體之戊己戊壬長寛之度既比丙
丁小體之庚辛庚癸長寛之度大一倍
[003-71b]
則戊乙平面底形之内如庚丁平面底
[003-72a]
形二倍者有二矣然則甲乙大形甲戊
之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大
一倍則甲乙體形之内如丙丁體形四
倍者有二可知矣是故欲知直角方體
之比例以本體之長寛與厚互相比例
以較之即得直角方體互相為比之比
例也
第二
[003-72b]
有兩直角長方體若將此一體之底度
與他一體之底度又將他一體之厚度
與此一體之厚度為比其比例若同則
此二體之積必等也如甲乙丙丁兩直
角長方體甲乙體之戊乙底度比丙丁
體之庚丁底度大一倍而丙丁體之丙
庚厚度比甲乙體之甲戊厚度亦大一
倍則甲乙丙丁二體之積必相等是故
兩體之底積與厚度相較則兩體之積
[003-72b]
可知矣葢體積之比例視其面線今兩
[003-73a]
體之底面厚度交互相等如此其體積
不得不等也
第三
有兩直角方體其底面積之縱横二界
相比之比例與厚度面積之縱横二界
相比之比例若俱同則此兩體為直角
正方同式體也如甲乙丙丁兩直角方
體其甲乙體之戊乙底面之戊己横界
[003-73b]
比丙丁體之庚丁底面之庚辛横界大
一倍甲乙體之戊乙底面之戊壬縱界
比丙丁體之庚丁底面之庚癸縱界大
一倍甲乙體之甲己厚面之甲戊直界
比丙丁體之丙辛厚面之丙庚直界亦
大一倍則甲乙丙丁之兩體俱為直角
正方同式體也至於兩體所有之戊己
庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二
界俱為相當之界而可互相為比例矣
[003-73b]
第四
[003-74a]
凡同式直角正方體其體積之比例比
之兩界線之比例為連比例隔二位相
加之比例也如甲乙丙丁兩同式直角
正方體其相當之戊己庚辛二界戊壬
庚癸二界甲戊丙庚二界互相為比之
比例俱各大一倍則此甲乙體積與丙
丁體積之比比之甲乙體之界線與丙
丁體之界線之比者即如連比例四率
[003-74b]
内隔二位相加之比例矣蓋甲乙體之
各界既為丙丁體之各界之二倍則甲
乙體内如丙丁體之二倍者有四二其
四為八故甲乙體積比丙丁體積大八
倍夫以甲乙體積八與丙丁體積一相
比為八分之一甲乙體界二與丙丁體
界一相比為二分之一其比例不同蓋
以八分比一分較之二分比一分為四
倍也如欲求其相連比例之率則於甲
[003-74b]
乙體之界四倍之得八分與丙丁體界
[003-75a]
一分為比即如甲乙體積與丙丁體積
之比例矣夫八與四四與二二與一皆
為連比例二分之一之比例今以八與
一為比其間隔四與二之兩位故曰同
式兩體積之比例為兩界上連比例隔
二位相加之比例也若邊為三倍則面/為九倍體為二十
七倍亦為隔二位/相加之比例也
第五
[003-75b]
有兩同式直角長方體於兩體相當之
二界各作兩正方體互相為比即同於
原兩長方體之互相為比也如甲乙丙
丁兩直角長方體在戊乙己丁相當二
横界各作甲庚丙辛二正方體則所作
之甲庚丙辛兩正方體互相為比之比
例仍同於原有之甲乙丙丁兩長方體
互相為比之比例也夫甲乙丙丁同式
之兩長方體既為隔二位相加之比例
[003-75b]
則所作甲庚丙辛同式之兩正方體亦
[003-76a]
必為隔二位相加之比例矣然則原有
之甲乙長方體為原有之丙丁長方體
之八分之一其所作甲庚正方體亦為
所作丙辛正方體之八分之一可知矣
第六
凡有大小平面體其相當角度俱等而
相當界之比例又同則謂之同式體也
如甲乙大小兩平面體其相當各界之
[003-76b]
度俱等而相當各界之比例又同則甲
乙二體謂之同式平面正方體也如丙
丁大小兩四瓣體其相當各角之度俱
等而相當各界之比例又同則丙丁二
體謂之同式四瓣體也又如大小圓面
體於其内外作各種平面體其平面體
之式若同則圓面體亦謂之同式體如
戊己大小兩圓體所函之庚辛尖瓣等
體是也
[003-76b]
第七
[003-77a]
同式各種體之比例同於在各體相當
界所作正方體之比例也如甲乙丙丁
戊己大小兩三角尖瓣體互相為比即
同於乙丙戊己相當二界所作庚乙辛
戊兩正方體之互相為比又如壬癸兩
圓球體其互相為比之比例亦同於圓
球徑相當之乙丙戊己二界所作庚乙
辛戊兩正方體互相為比之比例也蓋
[003-77b]
同式平面形互相為比之比例同於各
相當二界所作正方面形互相為比之
比例矣今各種體之式既同故其相當
面互相為比之比例必同相當面互相
為比之比例同者縁相當面之各相當
界互相為比之比例同也故凡同類兩
體知此一體之度而不知彼一體之度
欲求知之則在同式兩體相當二界各
作一正方體此所作之二體一為一率
[003-77b]
一為二率所知之體為三率推得四率
[003-78a]
即其未知之體矣或有同類兩體知此
一體之界而不知彼一體之界則依所
知一體之界作一正方體其兩體一為
一率一為二率所作正方體為三率推
得四率即是彼一體界數所作之正方
體矣故曰同式兩體之比例與相當界
所作正方體之比例相同也
第八
[003-78b]
凡圓面半徑與球體半徑等者其圓面
積為球體外面積之四分之一而圓面
半徑與球體全徑等者其圓面積與球
體外面積等也如丁己圓面之丁戊半
徑與甲丙球體之甲乙半徑等則丁己
圓面積為甲丙球體外面積之四分之
一又如庚壬圓面之庚辛半徑與甲丙
球體之甲丙全徑等則庚壬圓面積與
甲丙球體外面積等也試作子寅卯一
[003-78b]
尖圓體使其寅辰卯之底面積與甲丙
[003-79a]
球體外面積等其子丑髙度與甲丙球
體之甲乙半徑等則此尖圓體積與球
體積相等見五卷第/二十五節又作午未申一小
尖圓體使其未申底徑與甲丙球體之
全徑等亦與大尖圓體之寅丑半徑等
其午酉髙度與甲丙球體之甲乙半徑
等亦與大尖圓體之子丑髙度等則此
小尖圓體積為球體積之四分之一亦
[003-79b]
即為大尖圓體積之四分之一何以見
之蓋大小兩面之比例同於相當界所
生連比例隔一位加一倍之比例今大
尖圓體之寅夘底徑比小尖圓體之未
申底徑大一倍則大尖圓體底積比小
尖圓體底積必又大一倍則小尖圓體
底積為大尖圓體底積之四分之一矣
又兩體同髙者其體積之比例同於其
底面之比例今小尖圓體底積既為大
[003-79b]
尖圓體底積之四分之一則其體積必
[003-80a]
為大尖圓體積之四分之一而亦為球
體之四分之一矣球體原與大/尖圓相等夫大尖
圓體之底積原與球體之外面積等小
尖圓體底積既為大尖圓體底積之四
分之一亦必為球體外面積之四分之
一而丁己圓面固與小尖圓之底積等
則為球體外面積之四分之一無疑矣
至於庚壬圓面之徑原比丁己圓面之
[003-80b]
徑大一倍則其面積必大四倍今丁己
圓面既為甲丙球體外面積之四分之
一則庚壬圓面積比丁己圓面積大四
倍者安得不與球體外面積相等乎
第九
凡球體全徑與上下面平行長圓體底
徑髙度相等則球體為長圓體之三分
之二也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛
一長圓體此球體之乙丁全徑與長圓
[003-80b]
體之己庚底徑度等而球體之甲丙全
[003-81a]
徑與長圓體之戊己髙度等則球體積
為長圓體積之三分之二也蓋長圓體
與尖圓體同底同髙則其比例為三分
之一五卷第二十三節言平底尖體與/上下面平行體同底同髙則尖體
為平行體/三分之一尖圓體之底徑與球之全徑
等髙與球之半徑等者尖圓體積為球
體積之四分之一而尖圓體又為半球
體之二分之一矣説見/前節今於乙己庚丁
[003-81b]
半長圓體内作己壬庚半球體又作一
壬己庚尖圓體則此尖圓體為半球體
之二分之一尖圓體既為半球體之二
分之一又為半長圓體之三分之一則
半球體豈非長圓體之三分之二乎夫
全與全之比例即若半與半之比例今
半長圓與半球之比例為三分之二則
全長圓體與全球體之比例亦為三分
之二可知矣
[003-81b]
第十
[003-82a]
凡球體全徑與長圓體底徑髙度相等
者其球體外面積與長圓體周圍面積
等也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一
長圓體其球體之乙丁全徑與長圓體
之己庚底徑等而球體之甲丙全徑與
長圓體之戊己髙度等則此球體外面
積必與長圓體之周圍面積等也大凡
體之面積相等者其體積之比例同於
[003-82b]
其髙之比例而體積之比例與髙之比
例同者其面積必相等試將球體乙壬
半徑分為六分取其三分為髙以長圓
周圍面積為底所成之體積必與長圓
體積等取半徑之二分為髙以球體外
面積為底所成之體積必與球體之積
等蓋長圓體與球體之比例原為三與
二之比例此所成之二體亦必為三與
二之比例一體之髙為三分一體之髙
[003-82b]
為二分是積之比例與髙之比例同矣
[003-83a]
非因其面積相等之故乎由是觀之球
體外面積與長圓體周圍面積相等也
明矣
第十一
凡球體全徑與上下面平行長圓體底
徑髙度相等者其相當毎段之外面積
皆相等也如甲乙丙丁一球體戊己庚
辛一長圓體此球體之乙丁全徑與長
[003-83b]
圓體之己庚底徑等球體之甲丙全徑
與長圓體之戊己髙度等則球體之癸
丙寅一段凸面積必與相當長圓積之
辰己庚己一段周圍外面積等也夫乙
辰巳丁一段長圓體内分出子癸寅丑
一小長圓體餘癸子乙辰巳丁丑寅空
心體此空心體與子癸寅丑長圓體之
積必等何以知之蓋壬癸為大圓面之
半徑而所截卯癸又為小圓面之半徑
[003-83b]
其壬卯與卯癸之度又等故壬癸壬卯
[003-84a]
卯癸三線成一壬癸卯直角三角形而
壬癸半徑所作圓面必與壬卯卯癸兩
線為半徑所作兩圓面等見九卷/第六節又壬
癸與壬乙皆一圜之輻線其度必等而
卯辰原與壬乙相等故卯辰為半徑所
作之圓面即壬癸為半徑所作之圓面
於卯辰為半徑所作圓面内減去夘癸
為半徑所作圓面即餘壬癸環面與壬
[003-84b]
卯為半徑所作之圓面等而壬卯與卯
癸原相等然則辰癸環面既與壬卯半
徑所作之圓面等亦必與卯癸為半徑
所作之圓面等矣夫卯癸即小長圓底
之半徑而辰癸又為空心體底之環徑
其兩面積既等則其兩體積必等無疑
矣又壬癸寅小尖圓體原與癸乙辰巳
丁寅曲凹體等乙丙丁半球體為半長/圓體三分之二則癸乙
己丙庚丁寅曲凹體為長圓體三分之/一與壬己庚尖圓體相等故壬癸寅一
[003-84b]
段尖圓體與相當癸乙辰巳丁/寅一段曲凹體亦必相等也而壬癸
[003-85a]
寅小尖圓體為子癸寅丑小長圓體三
分之一則癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為
辰癸空心體之三分之一矣於乙辰巳
丁長圓體内減去壬癸寅小尖圓體又
減去癸乙辰巳丁寅曲凹體則餘乙癸
壬寅丁一段空心球體必與乙辰壬巳
丁一段空心長圓體等如以乙辰巳丁/一段長圓體作
六分則子癸寅丑小長圓為三分壬癸/寅小尖圓體為一分與小尖圓體相等
[003-85b]
之癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為一分今/既減去小尖圓體及曲凹體是於六分
内減去二分而存一段空心球體為四/分也而壬辰巳大尖圓體亦為乙辰巳
丁辰圓體三分之一於長圓體内减去/大尖圓體則餘乙辰壬巳丁空心長圓
體為三分之二也三分之二之比例同/同於六分之四之比例則此一段空心
長圓體與一段空/心球體相等無疑若將此兩空心體從
壬心至外面剖為千萬尖體俱以乙壬/半徑為髙
以兩空心體/外面為底則空心球體所分之各尖
體與空心長圓體所分之各尖體其積
既等其髙又等則其底不得不等同底/同髙
[003-85b]
者其積既等則同髙/同積者其底必等此各尖體之底既
[003-86a]
等則兩空心體之外面積相等可知矣
千萬尖體之底即/兩空心體之面也夫乙丙丁半球體外
面積原與乙己庚丁半長圓體周圍外
面積等於半球體内減去乙癸寅丁一
段餘癸丙寅一段球體於半長圓體内
減去乙辰巳丁一段餘辰己庚已一段
長圓體其減去之各段外面積既相等
則所餘之球體癸丙寅一段凸面與長
[003-86b]
圓體辰己庚已一段周圍外面積相等
也明矣
第十二
凡撱圓體大徑與圓球體徑相等者其
二體積之比例即同於撱圓體小徑所
作方面與圓球體徑所作方面之比例
也如甲乙丙丁撱圓體之甲丙大徑與
甲戊丙己圓球徑等則撱圓體積與球
體積之比例即同於撱圓乙丁小徑所
[003-86b]
作方面與球體戊己徑所作方面之比
[003-87a]
例也試將撱圓體與球體任意依徑線
平行分之其所分之大小平圓面如子
丑乃球體大圓面之徑寅卯乃撱圓體
小圓面之徑此大小兩平圓面之比例
同於其相當子丑寅卯二徑所作二方
面之比例見八卷第/十一節而子丑徑與寅卯
徑之比例又同於戊己徑與乙丁徑之
比例故此所分之大小圓面之比例亦
[003-87b]
必同於戊己方面與乙丁方面之比例
矣若將此兩體與戊己徑平行任意分
為㡬何面其相當大小兩面之比例皆
如戊己方面與乙丁方面之比例此所
分各面之比例既皆同於乙丁與戊己
所作方面之比例則撱圓體與圓球體
之比例必同於乙丁所作方面與戊己
所作方面之比例可知矣即所分之寅
丙卯撱圓體之一段與子丙丑圓球體
[003-87b]
之一段其比例亦必同於乙丁所作方
[003-88a]
面與戊己所作方面之比例矣
第十三
凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱
圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體
為長圓體之三分之二亦如圓球體與
同徑同髙長圓體之比例也如甲乙丙
丁一撱圓體戊己庚辛一長圓體其撱
圓體之甲丙大徑與長圓體之戊己髙
[003-88b]
度等而撱圓體之乙丁小徑亦與長圓
體之己庚底徑等則撱圓體為長圓體
之三分之二其比例即如子丑寅卯球
體與辰巳午未長圓體之比例也蓋戊
己庚辛長圓體之戊己髙度與辰巳午
未長圓體之辰巳髙度等故兩長圓體
之比例即同於己庚底積與巳午底積
之比例至於戊己庚辛長圓體之己庚
底積與撱圓體之乙丁小徑所作圓面
[003-88b]
積等而辰巳午未長圓體之巳午底積
[003-89a]
又與球體丑卯全徑所作圓面積等則
戊己庚辛長圓體積與辰巳午未長圓
體積之比例即同與撱圓體之乙丁小
徑所作圓面與球體丑卯全徑所作圓
面之比例矣夫撱圓體與球體之比例
原同於撱圓體小徑所作圓面與球體
全徑所作圓面之比例故撱圓體與球
體之比例亦同於撱圓體同徑同髙之
[003-89b]
長圓體與球體同徑同髙之長圓體之
比例也若轉比之即戊己庚辛長圓體
與甲乙丙丁撱圓體之比例亦同與辰
巳午未長圓體與子丑寅卯球體之比
例矣夫球體既為同徑同髙長圓體之
三分之二則撱圓體亦必為同徑同髙
長圓體之三分之二可知矣
第十四
凡函撱圓之長方體與所函撱圓體之
[003-89b]
比例同於函球之正方體與所函球體
[003-90a]
之比例也如甲乙丙丁長方體函一戊
己庚辛撱圓體其長方體之甲乙髙度
與撱圓體之戊庚大徑等長方體之乙
丙底度與撱圓體之己辛小徑等則此
甲乙丙丁長方體與所函戊己庚辛撱
圓體之比例同於壬癸子丑正方體與
所函寅卯辰午球體之比例也蓋甲乙
丙丁長方體之甲乙髙度與壬癸子丑
[003-90b]
正方體之壬癸髙度等故長方體與正
方體之比例同於兩體底積之比例今
此長方體之底積與所函撱圓體之己
辛小徑所作方面等而正方體之底積
與所函球體之卯午全徑所作方面等
矣然則此長方體與正方體之比例不
同於撱圓體小徑所作方面與球體全
徑所作方面之比例乎夫撱圓體與球
體之比例原同與撱圓體小徑所作方
[003-90b]
面與球體全徑所作方面之比例則撱
[003-91a]
圓體與球體之比例同於函撱圓體之
長方體與函球體之正方體之比例可
知矣若轉比之則長方體與所函撱圓
體之比例亦必同於正方體與所函球
體之比例矣
第十五
凡撱圓體大徑與圓球體之徑等者其
撱圓體外面積與球體外面積之比例
[003-91b]
即同於撱圓體小徑與球體全徑之比
例即任分一段其相當一段外面積之
比例亦無不同也如甲乙丙丁撱圓體
之甲丙大徑與甲戊丙己球體全徑等
則此撱圓體外面積與球體外面積之
比例必同與撱圓體之乙丁小徑與球
體之戊己全徑之比例也即任分寅内
卯一段撱圓體外面積與子丙丑一段
球體外面積之比例亦仍同於乙丁小
[003-91b]
徑與戊己全徑之比例也蓋兩體所分
[003-92a]
寅卯子丑平圓面皆與乙丁戊己徑線
平行故寅卯圓界與子丑圓界之比同
於寅卯圓徑與子丑圓徑之比而寅卯
徑與子丑徑之比又同於乙丁徑與戊
己徑之比也然此兩體依徑平分可為
無數平圓界其相當各圓界之比例既
皆同於乙丁徑於戊己徑之比例則全
體外面積之比例豈不同於乙丁徑與
[003-92b]
戊己徑之比例乎至於所分之寅丙卯
一段撱圓體與子丙丑一段球體俱可
分為平圓以比之則一段與一段之比
例無異於全體與全體之比例也明矣
第十六
凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱
圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體
外面積與長圓體周圍外面積等即任
分一段其相當一段之外面積亦無不
[003-92b]
等也如甲乙丙丁一撱圓體戊己庚辛
[003-93a]
一長圓體其撱圓體之甲丙大徑與長
圓體之戊己髙度等而撱圓體之乙丁
小徑與長圓體之己庚底徑等則撱圓
體之外面積與長圓體周圍之面積等
即任分壬丙癸一段撱圓體外面積亦
與相當壬己庚癸一段長圓體之外面
積等也試依撱圓體甲丙大徑度作子
丑寅卯一球體并作與球體同髙同徑
[003-93b]
辰巳午未一長圓體則此兩長圓體之
髙度等其二體周圍面積之比例必同
於二體底徑之比例二長圓體底徑之
比例即是撱圓體之乙丁小徑與球體
之丑卯全徑之比例也撱圓體外面積
與球體外面積之比例原同於撱圓體
乙丁徑與球體丑卯徑之比例則戊己
庚辛長圓體外面積與撱圓體外面積
之比例亦同於辰巳午未長圓體外面
[003-93b]
積與球體外面積之比例也夫球體外
[003-94a]
面積原與辰巳午未長圓體外面積等
而撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體
外面積之比例既與球體外面積與辰
巳午未長圓體外面積之比例相同則
此撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體
外面積相等無疑矣至於撱圓體所分
一段與球體所分一段之比例與其全
體之比例亦相同今撱圓體外面全積
[003-94b]
與戊己庚辛長圓體周圍外面全積之
比例既同於球體外面全積與辰巳午
未長圓體周圍外面全積之比例則所
分撱圓體之壬丙癸一段外面積與長
圓體之壬己庚癸一段外面積之比例
亦必同於所分球體之申寅酉一段外
面積與長圓體之戌巳午亥一段外面
積之比例矣彼球體之申寅酉一段外
面積既與長圓體之戌巳午亥一段外
[003-94b]
面積相等則此撱圓體之壬丙癸一段
[003-95a]
外面積與長圓體之壬己庚癸一段外
面積相等也明矣
[003-95b]
御製數理精藴上編卷三