[006-1a]
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷一
首部一
度量權衡
命位
加法
減法
因乘
[006-1b]
歸除
[006-2a]
度量權衡
虞書同律度量衡葢度量衡皆本於律而律為萬事
之本也漢志曰度者分寸尺丈引所以度長短也本
起於黄鐘之長以子榖秬黍中者一黍之廣度之九
十分黄鐘之長一為一分十分為寸十寸為尺十尺
為丈十丈為引而五度審矣量者龠合升斗斛所以
量多少也本起於黄鐘之龠以子榖秬黍中者千二
百實其龠合龠為合十合為升十升為斗十斗為斛
[006-2b]
而五量嘉矣權者銖兩斤鈞石所以權輕重也本起
於黄鐘之重一龠容千二百黍重十二銖兩之為兩
十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石而五權謹矣通
考曰律度量衡並因秬黍散為諸法其率可通外此
則代不一名度之異名者如左傳注方丈曰堵三堵
曰雉長三丈/高一丈易緯通卦驗十馬尾為一分孫子算術
曰蠶所吐絲為忽十忽為絲十絲為豪十豪為釐十
釐為分十分為寸十寸為尺十尺為丈小爾雅曰跬
一舉足也倍跬謂之步四尺謂之仞倍仞謂之㝷倍
[006-2b]
㝷謂之常五尺謂之墨倍墨謂之丈倍丈謂之端倍
[006-3a]
端謂之兩倍兩謂之疋疋百謂之束孔安國又以八
尺為仞説文曰人手却十分動脉為寸口十寸為尺
周制寸咫尺㝷常仞皆以人體為法又曰婦人手八
寸謂之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸為尺
十尺為丈人長八尺故曰丈夫量之異名者如左傳
齊舊四量豆區鬴鍾四升曰豆各自其四以登於鬴
六斗/四升鬴十則鍾六十/四斗論語注十六斗曰庾十六斛曰
秉孫子算術曰六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮
[006-3b]
為勺十勺為合漢應劭又以四圭為撮孟康以六十
四黍為圭小爾雅一手之盛謂之溢兩手謂之掬掬
四謂之豆豆四謂之區區四謂之釡釜二有半謂之
藪藪二有半謂之缶缶二謂之鍾鍾二謂之秉秉十
六斛衡之異名者如漢志注應劭曰十黍為纍十纍
為銖小爾雅二十四銖曰兩兩有半曰㨗倍㨗曰舉
倍舉曰鋝鋝謂之鍰二鍰四兩謂之斤斤十謂之衡
衡有半謂之秤秤二謂之鈞鈞四謂之石石四謂之
鼔通考唐劉承珪以忽萬為分絲則千豪則百釐則
[006-3b]
十轉以十倍倍之則為一錢黍以二千四百枚為一
[006-4a]
兩纍以二百四十銖以二十四是則度量衡之名不
一故其為制不同而紛雜難用然時易世殊古今沿
革有必不可比而同者故入算之際不過取其大同
者以審不齊之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定
於兩大之而遞進扵無窮小之而遞析於不可測爰
悉其名目扵左以為數學之所資焉
度法丈以下曰尺十/寸寸十/分分十/釐釐十/豪豪十/絲絲十/忽忽十/微
微十/纖纖十/沙沙十/塵塵十/埃埃十/渺𣺌十/漠漠以下皆/以十析糢糊逡巡
[006-4b]
須臾瞬息彈指刹那六徳虚空清浄
量法石以下曰斗十/升升十/合合十/勺勺十/撮撮十/抄抄十/圭圭六/粟
粟
衡法兩以下曰錢十/分分十/釐釐十/豪豪十/絲絲十/忽忽以下並
與度法同
凡度量衡自單位以上則曰十百千萬億兆京垓秭
穰溝澗正載極恒河沙阿僧秪那由他不可思議無
量數
自億以上有以十進者如十萬曰億十億曰兆之
[006-4b]
類有以萬進者如萬萬曰億萬億曰兆之類有以
[006-5a]
自乘之數進者如萬萬曰億億億曰兆之類今立
法從中數
厯法則曰宮三十/度度六十/分分六十/秒秒六十/微微六十/纖纖
六十/忽忽六十/芒芒六十/塵塵
又有日十二時又為/二十四小時時八刻又以小/時為四刻刻十五/分分以下
與前同
田法則曰頃百/畝畝積二百/四十步分積二十/四步
里法則三百六十步計一百八十丈為一里古稱在
[006-5b]
天一度在地二百五十里今尺驗之在天一度在地
二百里葢古尺得今尺之十分之八實縁縱黍横黍
之分也
石法二千五百寸按漢志曰斛重二鈞又曰四鈞為/石是二斛為一石也古尺斛積一
千六百二十寸為今尺之八百六十寸有竒倍之/得古尺石積三千二百四十寸為今尺之一千七
百二十寸有竒以權法凖之石重一百二十斤求/其積古尺應得三千一百一十寸為今尺之一千
六百五十寸有竒今之權法又加古一倍則今尺/石積應得三千三百寸有竒今現行斛積為一千
五百八十寸石積為三千一百六十寸舊算書所/載數各不同而多以二千五百寸為率摠之古今
尺度不同古今量法亦不一須先求其斗斛之積/數然後用其積數以比例之方得密合今設例從
[006-5b]
舊/數
[006-6a]
命位
凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸
分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈
則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺
則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗
升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而
石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而
斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則
[006-6b]
錢分釐豪皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零
而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零
而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一
位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數
一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共
有五位即知此數首位是萬矣至扵厯法宮度分秒
日時刻分之定位則每項命兩位如宮曰幾十幾宮
度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十
而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常例
[006-6b]
一位即命一等者宮度時刻則兩位命為一等而每
[006-7a]
一等有十單之别焉此又命位之最要者也
凡數未至單位者必須作○以存其位
如有數一萬二千三百四十丈則補作
○以存單位如上式 又如有數一萬
二千丈則補作○○○以存百十單之
位如下式
凡數單位後有竒零者必作㸃於單位
上以誌之如有金三百四十五兩六錢
[006-7b]
七分命兩為單位則於五上作㸃誌之
如上式 又如有米六石五斗四升三
合命石為單位則於六上作㸃誌之如
下式
凡列衆數幾多位中有空者必作○以
存其位如有數二萬零四百五十六此
中千位無數故必作○於萬後百前以
存其位如上式 又如有數一萬零三
十四此中千位百位俱無數故補作兩
[006-7b]
○於萬後十前以存其位如下式
[006-8a]
凡宮度分秒皆兩位列之如有一十一
宮二十度三十二分四十五秒列位如
上式 又如日時刻分列位日時分則
兩位刻止一位列之如二十一日一十
八時三刻零二分列位如下式
[006-9a]
加減乘除
算法以加減乘除為入門然究其終雖至扵千變萬
化總不出乎此但用法不同耳或應取其相和之數
則用加或應取其相較之數則用減或應聚而總其
積則用乘或應散而取其分則用除又有先加而後
減者或先減而後加者有先乘而後除者或先除而
後乘者又有加減與乘除先後互用者古稱九章命
算自方田以至勾股數有繁簡理有顯晦法有淺深
[006-9b]
算有難易然何一不從加減乘除而得故淺言之則
算法之入門究言之實算法之全體也
[006-10a]
加法
加者合衆數而成總也葢數始扵一終於九至十又
復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名
之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一
至九之數合前後之位言之有單十百千萬之等先
自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本
位下挨次併之即得總數若夫宮度時刻斤兩之類
則不以十進必足其所命之分始進一位如宮度足/六十分進
[006-10b]
一度足三十度進一宫如時刻足十五分進一刻足/四刻進一時足二十四時進一日如斤兩足十六兩
進一斤/之類至於定位則以原數列扵上加數列扵下或
大數列於上小數列於下按法依次對位列之加畢
所得之數依原列之位定之
設如有數一萬二千三百四十五與六千七百八十
九相加
法以原數横列於上加數横列於下按
位相對加之如九與五相對單從單八/與四相對十從十百千萬
數俱各/從其類單位之五九相加得十四進十
[006-10b]
於前位為一誌之作一㸃於前位為誌/如進二十則作二㸃
[006-11a]
如進三十/則作三㸃本位紀四書於横/格下次十位之
四八相加得十二併所進之一為十三
復進十於前位為一誌之本位紀三次
百位之三七相加得十併所進之一為
十一復進十於前位為一誌之本位紀
一次千位之二六相加得八併所進之
一為九於是本位紀九至於萬位獨有
原數無可加則仍紀一所加之數共得
[006-11b]
一萬九千一百三十四即總數也
設如有數一萬四千五百四十五與一萬七千三百
五十相加
法以原數横列於上加數横列於下加
數内單位無數故作○以存其位仍按
位相對加之單位之五對○無可加仍
紀五次十位之四五相加得九本位紀
九次百位之五三相加得八本位紀八
次千位之四七相加得十一進十於前
[006-11b]
位為一誌之本位紀一次萬位之一與
[006-12a]
一相加得二併所進之一為三於是本
位紀三所加之數共得三萬一千八百
九十五即總數也
設如有二十三丈零五寸六分與二丈八尺六寸二
分相加
法以原數横列於上加數横列於下原
數内尺位無數故作○以存其位仍按
位相對加之分位之六二相加得八本
[006-12b]
位紀八次寸位之五六相加得十一進
十於前位為一誌之本位紀一次尺位
之八對○無可加乃併所進之一為九
本位紀九次丈位之三二相加得五本
位紀五至扵十位獨有原數無可加則
仍紀二所加之數共得二十五丈九尺
一寸八分即總數也
設如有糧四萬五千零三十一石與三千零九十石
相加
[006-12b]
法以原數横列於上加數横列於下原
[006-13a]
數内百位無數加數内百位單位俱無
數故各作○以存其位仍按位相對加
之石位之一對○無可加仍紀一次十
位之三九相加得十二進十於前位為
一誌之本位紀二次百位○與○無可
加則以所進之一為本位數故下紀一
次千位之五三相加得八本位紀八至
於萬位獨有原數無可加則仍紀四所
[006-13b]
加之數共得四萬八千一百二十一石
即總數也
設如有銀八兩六錢五分四釐與四兩零六分二釐
相加
法以原數横列扵上加數横列扵下加
數内錢位無數故作○以存其位仍按
位相對加之釐位之四二相加得六本
位紀六次分位之五六相加得十一進
十於前位為一誌之本位紀一次錢位
[006-13b]
之六對○無可加乃併所進之一為七
[006-14a]
本位紀七次兩位之八四相加得十二
進十於前位為一誌之本位紀二至扵
十位無數則紀所進之一為一所加之
數共得十二兩七錢一分六釐即總數
也
設如有田三區一區五百九十二畝三分一區八百
五十五畝九分一區七百八十二畝五分相加
法以田三區按位横列相對加之分位
[006-14b]
之三九五相加得十七進十於前位為
一誌之本位紀七次畝位之二五二相
加得九併所進之一為十進十於前位
為一誌之本位紀○次十位之九五八
相加得二十二併所進之一為二十三
進二十於前位為二誌之本位紀三次
百位之五八七相加得二十併所進之
二為二十二進二十於前位為二誌之
本位紀二至扵千位無數則紀所進之
[006-14b]
二為二所加之數共得二千二百三十
[006-15a]
畝零七分即總數也
設如有銀九宗一宗八千八百五十二兩一宗三千
二百一十一兩一宗五百二十兩一宗九百三十
八兩一宗二千五百九十兩一宗一千二百一十
五兩一宗二千五百一十八兩一宗五千三百六
十六兩一宗四千三百七十二兩相加
法因九宗數繁難加故分為三次三次
復併為一次則得共數其八千八百五
[006-15b]
十二兩三千二百一十一兩五百二十
兩相併則得一萬二千五百八十三兩
其九百三十八兩二千五百九十兩一
千二百一十五兩相併則得四千七百
四十三兩其二千五百一十八兩五千
三百六十六兩四千三百七十二兩相
併則得一萬二千二百五十六兩既得
三總數又將三數併之得二萬九千五
百八十二兩即九宗共數也
[006-15b]
設如九宮二十度三十分二十六秒與六宫一十八
[006-16a]
度二十分五十秒相加
法以原數横列於上加數横列於下其
每項各命兩位仍按各位相對加之秒
之單位六對○無可加仍紀六秒之十
位二五相加得七十乃以六十秒進一
分誌於分之本位秒之十位紀一次分
之單位○與○無可加則以所進之一
為本位數故下紀一次分之十位三二
[006-16b]
相加得五故下紀五次度之單位八對
○無可加仍紀八次度之十位二一相
加得三十乃以三十度進一宮誌於宮
之本位度之十位紀○次宮之本位九
六相加得十五併所進之一為十六因
十二宮滿一周天故逢十二去之餘四
故下紀四所加之數共得四宫八度五
十一分一十六秒即總數也
設如一日一十五時二刻八分與一日一十二時三
[006-16b]
刻九分相加
[006-17a]
法以原數横列於上加數横列於下日
時分則合兩位共加刻則仍命以單位
葢以四刻進一小時故也分位之八與
九相加得十七十五分進一刻故於刻
之本位下誌一餘二故單位下紀二十
位下紀○次刻位之二與三相加得五
併所進之一為六四刻進一時故於時
之本位下誌一餘二故本位紀二次時
[006-17b]
之單位五二相加得七併所進之一得
八時之十位一與一相加得二共為二
十八二十四時進一日故於日之本位
下誌一餘四故時之單位下紀四十位
下紀○次日之單位一與一相加得二
併所進之一為三故下紀三所加之數
共得三日四時二刻二分即總數也
設如有物重三十四斤十五兩五錢與二十一斤十
四兩三錢相加
[006-17b]
法以原數横列於上加數横列於下其
[006-18a]
錢位斤位與斤之十位仍皆按位相對
加之兩位與兩之十位則合其數共加
之兩以十六方進一斤故合而加之如/列數有兩數無十數者仍作○以存
十兩/之位錢位之五三相加得八本位紀八
兩位之原數十五加數十四相加共得
二十九則進十六兩於前斤位為一誌
之其所餘十三兩則於兩位紀三十位
紀一次斤位之四一相加得五併所進
[006-18b]
之一為六本位紀六次十位之三二相
加得五本位紀五所加之數共得五十
六斤十三兩八錢即總數也
[006-19a]
減法
減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有
之數書於上應減之數書於下横列必對其位相減
必從其類如千減千百/減百之類如或下數大於上數不足減
則借前位之一以減本位加法由後而進前減法則/借前而退後其理一也詳
見設/如中前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之
一併於前數而為減數然兩數相減必先辨其多寡
首位必大於減數始可其定位亦照原列之次為減
[006-19b]
餘位
設如有數五萬六千七百八十九内減四萬三千六
百四十二
法自單位減起單位之九減二餘七故
下紀七十位之八減四餘四故下紀四
百位之七減六餘一故下紀一千位之
六減三餘三故下紀三萬位之五減四
餘一故下紀一所減之數得一萬三千
一百四十七即餘數也
[006-19b]
設如有數二萬三千六百七十二内減一萬六千四
[006-20a]
百八十一
法自單位減起單位之二減一餘一故
下紀一十位之七減八為下大於上則
借前位之一前位下作/一㸃為誌作本位之十共
十七減八餘九故下紀九百位之六減
四併十位所借之一則為六減五餘一
故下紀一千位之三減六為下大於上
則借前位之一前位亦作/一㸃為誌作本位之十
[006-20b]
共十三減六餘七故下紀七萬位之二
減一併千位所借之一則為二減二恰
盡故下紀○所減之數得七千一百九
十一即餘數也
設如有六丈七尺八寸九分一釐内減三丈四尺五
寸九分九釐
法自釐位減起釐位之一減九為下大
於上則借前位之一前位下作/一㸃為誌作本位
之十共十一減九餘二故下紀二分位
[006-20b]
之九減九併釐位所借之一則為九減
[006-21a]
十亦為下大於上故復借前位之一前/位
下作一/㸃為誌作本位之十共十九減十餘九
故下紀九寸位之八減五併所借之一
則為八減六餘二故下紀二尺位之七
減四餘三故下紀三丈位之六減三餘
三故下紀三所減之數得三丈三尺二
寸九分二釐即餘數也
設如有米六十五石四斗三升二合内減四十六石
[006-21b]
二斗七升三合
法自合位減起合位之二減三為下大
於上則借前位之一前位下作/一㸃為誌作本位
之十共十二減三餘九故下紀九升位
之三減七併合位所借之一則為三減
八為下大於上則借前位之一前位下/作一㸃
為/誌作本位之十共十三減八餘五故下
紀五斗位之四減二併升位所借之一
則為四減三餘一故下紀一石位之五
[006-21b]
減六為下大於上則借前位之一前位/下作
[006-22a]
一㸃/為誌作本位之十共十五減六餘九故
下紀九十位之六減四併所借之一則
為六減五餘一故下紀一所減之數得
十九石一斗五升九合即餘數也
設如有銀十五兩三錢六分七釐内減九兩二錢三
分四釐
法自釐位減起釐位之七減四餘三故
下紀三分位之六減三餘三故下紀三
[006-22b]
錢位之三減二餘一故下紀一兩位之
五減九為下大於上則借前位之一前/位
下作一/㸃為誌作本位之十共十五減九餘六
故下紀六十位之一減兩位所借之一
恰盡故下紀○所減之數得六兩一錢
三分三釐即餘數也
設如七宮一十八度二十七分五十二秒内減九宮
二十一度三十五分四十三秒
法自秒位減起秒之單位二減三為下
[006-22b]
大於上則借前位之一前位下作/一㸃為誌作本
[006-23a]
位之十共十二減三餘九故下紀九秒
之十位五減四併所借之一則為五減
五恰盡故下紀○分之單位七減五餘
二故下紀二分之十位二減三為下大
於上則借度位之一為六十分度位下/作一㸃
為/誌六十分與原二十分共為八十分内
減三十分餘五十分故下紀五度之單
位八減一併所借之一則為八減二餘
[006-23b]
六故下紀六度之十位一減二為下大
於上則借宮位之一為三十度宮位下/作一㸃
為/誌三十度與原十度共為四十度内減
二十度餘二十度故下紀二宮之單位
七減九併所借之一則為七減十為下
大於上則外借一周天為十二宮十二
宮與原七宮共為十九宮内減十宮餘
九宮故下紀九所減之數得九宮二十
六度五十二分九秒即餘數也
[006-23b]
設如一十二日二十二時三刻零九分内減一十一
[006-24a]
日二十三時三刻十分
法自分位減起日位刻位俱各按單位
相減其分位時位則合兩位減之分位
之九減十為下大扵上則借刻位之一
為十五分刻之本位下/作一㸃為誌十五分與原九
分共為二十四分内減十分餘十四分
故分之單位紀四分之十位紀一刻之
本位三減三併所借之一則為三減四
[006-24b]
為下大扵上則借時位之一為四刻時/之
單位下作/一㸃為誌四刻與原三刻共為七刻内
減四刻餘三刻故本位下紀三時位之
二十二減二十三併所借之一則為二
十二減二十四為下大扵上則借日位
之一為二十四時日之本位下/作一㸃為誌二十四
時與原二十二時共為四十六時内減
二十四時餘二十二時故時之單位下
紀二時之十位下亦紀二日位之二減
[006-24b]
一併所借之一則為二減二恰盡故下
[006-25a]
紀○日之十位之一減一恰盡故亦紀
○所減之數得二十二時三刻一十四
分即餘數也
設如有物十五斤零四兩八錢内減十二斤十二兩
三錢
法自錢位減起錢位之八減三餘五故
下紀五兩位之四減二似非下大扵上
然原數兩之十位為○十六兩為一斤/故作○於斤後
[006-25b]
兩前以存/十兩之位而減數兩之十位為一則為
四兩減十二兩亦為下大扵上故借斤
位之一為十六兩斤位下作/一㸃為誌十六兩與
原四兩共為二十兩内減十二兩餘八
兩故兩之單位紀八十位紀○斤位之
五減二併所借之一則為五減三餘二
故下紀二十位之一減一恰盡故下紀
○所減之數得二斤零八兩五錢即餘
數也
[006-26a]
因乘
因乘者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有
幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則
必至於煩而無統此因乘之所以立也因者一位相
因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多
位相乘而得如兩位以上則各以每位所因之數而
又層累以積之也其法以原數為實乘數為法實列
於上法列扵下必使法實相當如千對千百對百十/對十單對單之類
[006-26b]
按法乘實合而加之為所得數定位之法視其法實
所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命
之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乘者
法實之一位統得數之二位如單位後竒零有一位/則截得數之二位竒零
有二位則截得數之四/位向前為單位計之法實相乘再以法乘者即自/乘再
乘/也法實之一位統得數之三位如單位後竒零有一/位則截得數之三位
竒零有二位則截得數之/六位向前為單位計之是故得數以一位論者則
為單十百千之類以兩位論者則為自乘之類以三
位論者則為自乘再乘之類錯綜交互用法不一必
[006-26b]
須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如於左
[006-27a]
設如有三人每人賞縀二疋問共得幾疋
法以三人為實列於上二疋為法列扵
下以二因三得六即書於本位下定位
以實之三人即是單位而法又止一位
為疋今得數之六與實之單位相對故
知六是疋位得共數為六疋也
設如有八人每人賞米六石問共得幾石
法以八人為實列扵上六石為法列扵
[006-27b]
下以六因八得四十八將四書於前位
下前位為十位故/十數紀前位下八書於本位下本位/為單
位故單數/紀本位下定位以實之八人即是單位
而法亦止一位為石今得數之八與實
之單位相對即知八是石位而四在石
之前一位故知四是十位得共數為四
十八石也
設如有一十二人每人賞銀五兩問共得幾兩
法以一十二人為實列於上五兩為法
[006-27b]
列扵下命兩位與人之單位相齊先以
[006-28a]
五乘二得一十將十進前一位作一㸃
誌之紀○於本位下此數無單/故下紀○次以五
乘一仍得五併所進之一為六故書六
於本位下一雖為十位而以五乘/一則一下為本位矣共得
六○定位因實之單位對法之兩位而
得數之○與實之單位相對故知○為
兩位而六為十位得共數為六十兩也
設如有二十四人每人賞銀三兩六錢問共得幾兩
[006-28b]
法以二十四人為實列於上三兩六錢
為法列於下命錢位與人之單位相齊
乃以法之六遍乘實之二四其所得之
單位數即對本法位下書之六乘四得
二十四將二十進前一位作二㸃誌之
四書於本位下次以六乘二得一十二
将十進前一位為一書之二併所進之
二為四故書四於本位下二雖為十位/而以六乘二
則二下即/為本位矣法之六既與實乘畢次以法
[006-28b]
之三遍乘實之二四其所得之單位數
[006-29a]
即對本法位下書之三乘四得一十二
將十進前一位作一㸃誌之二書於本
位下次以三乘二得六併所進之一為
七故書七於本位下法之三又與實乘
畢乃用加法併之共得八六四總書扵
下定位以實尾之四係四人為單位而
法尾為錢今得數末位之四與實之單
位相對即知四是錢位二位為兩三位
[006-29b]
為十兩得共數為八十六兩四錢也
設如有田三百六十畝每畝納糧三升五合問共得
若干
法以三百六十畝為實列扵上三升五
合為法列於下實之單位無數則補○
以存其位命合位與畝之單位相齊乃
以法之五遍乘實之三六○其所得之
單位數即對本法位下書之五乘○仍
為○故下紀○五乘六得三十將三十
[006-29b]
進前一位作三㸃誌之本位紀○五乘
[006-30a]
三得一十五將十進前一位為一書之
五併所進之三為八故書八於本位下
又以法之三遍乘實之三六○其所得
之單位數即對本法位下書之三乘○
仍為○故下紀○三乘六得一十八將
十進前一位作一㸃誌之八書於本位
下三乘三得九併所進之一為十故進
前一位為一書之本位紀○乘畢用加
[006-30b]
法併之共得一二六○○總書於下定
位以實尾之○係單位法尾是合今得
數末位之○與實之單位相對即知末
位之○是合前一位是升向前數至首
位得十石因知共數為一十二石六斗
也
設如有田三頃五十畝每頃納糧一石二斗三升問
共得若干
法以三頃五十畝為實列於上因畝位/無數故
[006-30b]
作○以/存其位一石二斗三升為法列於下命
[006-31a]
石位與頃之單位相齊題中言每頃納/一石故石與頃
對為/單位乃以法之三遍乘實之三五○其
所得之單位數即對本法位下書之三
乘○仍得○故下紀○次以三乘五得
一十五將十進前一位作一㸃誌之五
書於本位下次以三乘三得九併所進
之一為十故進前一位為一書之本位
紀○又以法之二遍乘實之三五○其
[006-31b]
所得之單位數即對本法位下書之二
乘○仍得○故下紀○二乘五得一十
將十進前一位作一㸃誌之本位紀○
二乘三得六併所進之一為七故書七
於本位下又以法之一遍乘實之三五
○其所得之單位數即對本法位下書
之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘
三仍得三俱各書於本位下乘畢用加
法併之共得四三○五○總書於下定
[006-31b]
位因每頃納糧一石二斗三升即命頃
[006-32a]
為單位而石亦為單位其後二位則為
竒零凡法實之竒零有一位則統得數
之兩位今竒零既有二位則統得數之
四位故從後截去四位而第五位定為
石因知共數為四石三斗零五合也
設如有金三十六兩每兩價銀九兩九錢八分問共
價幾何
法以三十六兩為實列於上九兩九錢
[006-32b]
八分為法列於下實中錢位分位俱無
數則補作○○以存其位命分位與分
位相齊乃以法之八遍乘實之三六○
○先以八乘○○仍得○○故下紀○
○次以八乘六得四十八將四十進前
一位作四㸃誌之八書於本位下次以
八乘三得二十四將二十進前一位為
二書之四併所進之四為八故書八於
本位下又以法之九遍乘實之三六○
[006-32b]
○先以九乘○○仍得○○故下紀○
[006-33a]
○次以九乘六得五十四將五十進前
一位作五㸃誌之四書於本位下次以
九乘三得二十七將二十進前一位作
二㸃誌之七併所進之五為十二十又
進前一位為一併所誌之二為三故前
位書三本位書二又以法之九遍乘實
之三六○○先以九乘○○仍得○○
故下紀○○次以九乘六得五十四將
[006-33b]
五十進前一位作五㸃誌之四書於本
位下次以九乘三得二十七將二十進
前一位作二㸃誌之七併所進之五為
十二十又進前一位為一併所誌之二
為三故前位書三本位書二乘畢用加
法併之共得三五九二八○○定位因
題言每兩價銀九兩九錢八分爰以兩
為單位其後二位則為竒零竒零既有
二位則統得數之四位故從後截去四
[006-33b]
位而第五位定為兩第六位為十第七
[006-34a]
位為百因知共數為三百五十九兩二
錢八分也
設如有物二十六斤求兩數
法以二十六斤為實列於上以每斤十
六兩為法列於下乃以法之六遍乘實
之二六其所得之單位數即對本法位
下書之六乘六得三十六將三十進前
一位作三㸃誌之六書扵本位下次以
[006-34b]
六乘二得一十二將十進前一位為一
書之二併所進之三為五故書五於本
位下又以法之一遍乘實之二六其所
得之單位數即對本法位下書之一乘
六仍得六故下書六次以一乘二仍得
二故下書二乘畢用加法併之得四一
六定位因實尾是單位而法尾又是兩
位故得數末位之六即為單位為兩而
前一位為十又前一位為百因知得數
[006-34b]
為四百一十六兩也
[006-35a]
又法斤求兩身加六名為定身加法葢
以十六兩之十為一乘之仍得原數故
以本身加六即得如二十六斤則從首
位加起二六加一十二將一對實之十
位二對實之單位下書之又六六加三
十六則三對實之單位而六對實之單
位後一位書之用加法相併得四一六
定位以原斤數之後一位為兩今得數
[006-35b]
末位之六在原斤數之後一位即知是
兩因知得數為四百一十六兩也
設如周天三百六十度每度六十分問共得若干分
法以三百六十度為實列扵上以六十
分為法列扵下因單位俱無數故/各作○以存其位乃以
法之○遍乘實之三六○仍皆得○故
各紀○於各位下又以法之六遍乘實
之三六○其所得之單位數即對本法
位下書之六乘○仍得○故本位下紀
[006-35b]
○次以六乘六得三十六將三十進前
[006-36a]
一位作三㸃誌之六書於本位下次以
六乘三得一十八將十進前一位作一
㸃誌之八併所進之三為十一十又進
前一位為一併所誌之一為二故前位
書二本位書一乘畢用加法併之共得
二一六○○定位以實之末位是單位
法之末位是分今求分數故得數末位
之○即是分之單位向前數至首位得
[006-36b]
萬因知共數為二萬一千六百分也
設如有驗時儀墜子來一秒往一秒今十五分問共
得來往幾秒
法以十五分為實列於上以每分六十
秒為法列於下乃以法之○遍乘實之
一五仍皆得○故各紀○於本位下又
以法之六遍乘實之一五其所得之單
位數即對本法位下書之六乘五得三
十將三十進前一位作三㸃誌之本位
[006-36b]
紀○次以六乘一仍得六併所進之三
[006-37a]
為九故書九於本位下定位以實之末
位是單位法之末位是秒今求秒數故
得數末位之○即是秒之單位其前一
位為十又前一位為百因知共數為九
百秒也
設如一尺二寸自乘求積以本數乘本/數故為自乘
法以一尺二寸互為法實列扵上下乃
以法之二遍乘實之一二其所得之單
[006-37b]
位數即對本法位下書之二乘二得四
故下書四次以二乘一仍得二故下書
二又以法之一遍乘實之一二其所得
之單位數即對本法位下書之一乘二
仍得二故下書二次以一乘一仍得一
故下書一乘畢用加法併之共得一四
四定位因自乘數成平方面其每一尺
正方面容積一百寸故百寸為尺百尺
為丈俱以兩位命之今實之末位為寸
[006-37b]
即命為單位法之末位是寸得數末位
[006-38a]
之四與實之單位相對即知為寸位向
前第二位為十寸第三位為百寸既以
百寸為尺即知得數為一尺四十四寸
也若命尺為單位則扵尺上命位其後
一位為竒零故扵得數内從末截去二
位以第三位為尺葢自乘乃兩數相乘/兩數既各有一位零
數故截去/兩位算也今得數有三位即知首位為
一尺首位既為尺末位又既為寸則中
[006-38b]
一位為十寸可知矣
設如一尺二寸自乘再乘求積以本數乘本數所得/之數又以本數乘之
故謂之自/乘再乘
法先以一尺二寸互為法實按法自乘
得一尺四十四寸又以一尺四十四寸
為實復以一尺二寸為法按法乘之共
得一七二八定位因自乘再乘數成立
方體其每一尺正方體容積一千寸故
以千寸為尺千尺為丈俱以三位命之
[006-38b]
今實之末位為寸即命為單位法之末
[006-39a]
位是寸得數末位之八與實之單位相
對即知為寸位向前第二位為十寸第
三位為百寸第四位為千寸既以千寸
為一尺即知得數為一尺七百二十八
寸也若命尺為單位則於尺上命位其
後一位為竒零故扵得數内從末截去
三位以第四位為尺葢自乘再乘乃以/三數相乘三數既
各有一位零數故/截去三位算也今得數有四位即知
[006-39b]
首位為一尺首位既為尺末位又既為
寸則中二位為十寸百寸可知矣
[006-40a]
歸除
歸除者分數也以數分數有各得均齊之義焉凡有
兩數以此數減彼數減得幾次即為所得然所減之
次數多則益至於紛而難紀此歸除之所以立也歸
者一位歸之而得如歸作幾分而均分之也除者多
位除之而得葢以所得之數與法相因而於實内除
去也其法以原數為實横列於下除數為法横列於
上法之小於實者法之首位與實之首位列齊法之
[006-40b]
大於實者則法比實退一位看實足法幾倍即為得
數自法之末位上紀所得之數既得數乃以所得與
法相因書於實下與實相減餘者即為次商實依次
按法歸除以恰盡為度減餘者乃所得與法相因之/數在實中所減者其數每與
法位相對即初商之餘實也至於實位所餘之數則/每次取下一位續於減餘之末以為每商之實若實
無餘位而歸除仍未盡/者則按位添○以紀之如實不足法之一倍者則得
數為○定位之法以法中所命單位與原實相對之
數為所得之首位數若實之位數少於法者則作幾
○位以補足法然後位數一覽即明至於一位歸除
[006-40b]
㨗法則竟以原數書於上就身用幾分分之得數書
[006-41a]
於下其定位仍照原列之位定之具見設如於左
設如有緞六疋令三人分之問每人得幾疋
法以六疋為實列於下三人為法列於
上今法與實俱為單位而法比實小故
列法與實相齊爰看實足法幾倍今足
二倍故書二於法上乃以得數之二與
法之三相因得六書於實下與實相減
恰盡即得數為二疋也定位因法之三
[006-41b]
人即為單位而實亦止一位為疋是法
之單位與實之疋位相對故得數為二
疋也
設如有米六十四石令八人分之問每人得幾石
法以六十四石為實列於下八人為法
列扵上因法之八大於實之首位之六
故將法退一位書之爰看實足法幾倍
今足八倍故書八於法上乃以得數之
八與法之八相因得六十四書於實下
[006-41b]
其所得單位數即對/得數之本位下書之與實相減恰盡即
[006-42a]
得數為八石也定位因法之八人即為
單位而與實之石位相對故得數為八
石也
設如有銀三百四十三兩令七人分之問每人得幾
兩
法以三百四十三兩為實列於下七人
為法列於上因法之七大於實之首位
之三故將法退一位書之爰看實足法
[006-42b]
幾倍今實前兩位為三四足法之四倍
何以知其足法之四倍葢實之三十四/内足法之七之四倍為二十八如法之
七之五倍則為三/十五比實則大矣故書四於法上乃以
得數之四與法之七相因得二十八書
於實下其所得單位數即對得數/之本位下書之後倣此與實
相減餘六次取實數所餘之三書於減
餘之後共六三為次商實爰看實之六
三足法幾倍今足九倍故書九於得數
之次乃以得數之九與法之七相因得
[006-42b]
六十三書於次商實之下與實相減恰
[006-43a]
盡即得數為四十九兩也定位因法之
七人即為單位而與實中之兩之十位
相對故得數首位即為十而次位為兩
是知每人得四十九兩也
設如有絲四十五斤共織得緞九十二丈二尺五寸
問每斤織得若干
法以九十二丈二尺五寸為實列於下
四十五斤為法列於上因法之首位四
[006-43b]
小於實之首位九故列法與實相齊爰
看實之九二足法之二倍故書二於法
上乃以得數之二與法之四五相因得
九○書於實下與實相減餘二次取實
數所餘之二書於減餘之後共二二為
次商實今實之二二不足法之四五之
一分故得數為○乃紀○於上復取實
數所餘之五書於二二之後共二二五
為三商實次商實之二二不足法之四/五故再取實之一位續書於
[006-43b]
下謂之三商實者/○位為次商故也爰看實之二二五足
[006-44a]
法之五倍故書五於上乃以得數之五
與法之四五相因得二二五書於實下
與實相減恰盡即得數為二丈零五寸
也定位因法之五斤為單位而與實之
丈位相對故得數首位即為丈等而下
之為尺為寸是知每斤織得二丈零五
寸也
設如有田四十五畝六分共納榖五十七石問每畝
[006-44b]
納榖若干
法以五十七石為實列於下四十五畝
六分為法列於上因法之首位四小於
實之首位五故列法與實相齊又因實
之位數少於法故補作○以足其位爰
看實之五七○足法之一倍故書一於
法上乃以得數之一與法之四五六相
因仍得四五六書於實下與實相減餘
一一四此後實無餘位故添書一○於
[006-44b]
減餘之末為次商實爰看一一四○足
[006-45a]
法之二倍故書二於上乃以得數之二
與法之四五六相因得九一二書於實
下與實相減餘二二八又添書一○於
減餘之末為三商實爰看二二八○足
法之五倍故書五於上乃以得數之五
與法之四五六相因得二二八○書於
實下與實相減恰盡即得數為一石二
斗五升也定位因法之五畝為單位而
[006-45b]
與實之石位相對故得數首位為石是
知每畝納榖一石二斗五升也
設如有丹砂一兩價值錢二萬五千文問每錢一文
該得丹砂幾何
法以丹砂一兩為實列於下錢二萬五
千為法列於上因法之首位二大於實
之首位一故將法退一位列之又因法
之百位十位單位俱無數故各作○以
存其位而實亦作五○位以補足法爰
[006-45b]
看實足法之四倍故書四於法上乃以
[006-46a]
得數之四與法之二五○○○相因得
一○○○○○書於實下與實相減恰
盡即得數為四絲也定位因法之末位
○係單位故從實之首位一兩數至法
之單位相對之位為絲是知每錢一文
得丹砂四絲也
設如有銀一千二百五十兩買果賞人每果一枚價
二釐五豪問買果若干
[006-46b]
法以一千二百五十兩補五○位為實
列於下因法之末位是豪故補五○位/與法相對葢命實為一千二百
五十萬/豪也二釐五豪為法列於上爰看實
之一二五足法之五倍故書五於法上
乃以得數之五與法之二五相因得一
二五書於實下與實相減恰盡然實後
尚有五○位故得數後亦添五○位為
五十萬也定位因法實俱至豪位止即
命豪為單位爰從實之末位數至法之
[006-46b]
單位相對之位為十萬是知得果為五
[006-47a]
十萬枚也
設如有物重三百八十四兩問得斤數若干
法以三百八十四兩為實列於下每斤
一十六兩為法列於上爰看實之三八
足法之二倍故書二於法上乃以得數
之二與法之一六相因得三十二書於
實下與實相減餘六次取實數之四書
於減餘之後共為六四因足法之四倍
[006-47b]
故書四於上乃以得數之四與法之一
六相因得六十四書於實下與實相減
恰盡即得數為二十四斤也定位因法
之兩數為單位而與實之十位相對故
知得數為二十四斤也
又法名為斤稱流法其法曰一退六二
五如一萬兩則為六百二十五斤一千/兩則為六十二斤半一百兩則為六
斤二分半皆以十遞析/退者退一位命之也二一二五如二/萬兩
則為一千二百五十斤二千兩則為一/百二十五斤二百兩則為十二斤半不
[006-47b]
言退者對位命/之也餘倣此三一八七五四二五五
[006-48a]
三一二五六三七五七四三七五八五
九五六二五如三百八十四兩則列於
上先以三之一八七五通之爰將一對
三之本位以下依次向後書之次以八
之五通之將五對八之本位書之次以
四之二五通之將二對四之本位書之
五則列於次位三數書畢乃以加法併
之得數為二十四斤定位因兩之前一
[006-48b]
位為斤今得數之四在兩之前一位故
四即為斤位而又前一位則為十位是
知得數為二十四斤也
設如周天三百六十度分十二宮問每宮得若干度
法以三百六十度為實列於下一十二
宮為法列於上爰看實之三六足法之
三倍故書三於法上乃以得數之三與
法之一二相因得三六書於實下與實
相減恰盡然實後尚有○位故得數後
[006-48b]
亦添一○位即得數為三十度也定位
[006-49a]
因法之二為單位而與實之十位相對
故得數首位為十而每宮為三十度也
設如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分
之問每刻得若干分
法以一千四百四十分為實列於下以
九十六刻為法列於上爰看實之一四
四僅足法之一倍故書一於法上乃以
得數之一與法之九六相因仍得九六
[006-49b]
書於實下與實相減餘四八次取實之
○位書於減餘之後共為四八○因足
法之五倍故書五於上乃以得數之五
與法之九六相因得四八○書於實下
與實相減恰盡即得數為一十五分也
定位因法之六為單位而與實之十位
相對故得數首位為十而每刻為一十
五分也
一位歸除㨗法
[006-49b]
設如有銀三十四萬五千六百七十八兩作二分分
[006-50a]
之問每分若干
法以三十四萬五千六百七十八兩為
實列於上視首位之三足二分之幾何
今足一倍故下書一一二除二餘一乃
移於下位為十下位作/㸃為誌併下位之四共
為十四足二分之七倍故下書七二七
除一十四恰盡次五足二分之二倍故
下書二二二除四餘一移於下位為十
[006-50b]
併下位之六共為十六足二分之八倍
故下書八二八除一十六恰盡次七足
二分之三倍故下書三二三除六餘一
移於下位為十併下位之八共為十八
足二分之九倍故下書九二九除一十
八恰盡定位因得數仍原數之位故知
每分得一十七萬二千八百三十九兩
也
設如有銀一十二萬三千四百五十三兩作九分分
[006-50b]
之問每分若干
[006-51a]
法以一十二萬三千四百五十三兩為
實列於上因首位之一小於九分故移
於下位為十併下位之二共為十二足
九分之一倍故下書一一九除九餘三
移於下位為三十併下位之三共為三
十三足九分之三倍故下書三三九除
二十七餘六移於下位為六十併下位
之四共為六十四足九分之七倍故下
[006-51b]
書七七九除六十三餘一移於下位為
十併下位之五共為十五足九分之一
倍故下書一一九除九餘六移於下位
為六十併下位之三共為六十三足九
分之七倍故下書七七九除六十三恰
盡定位因得數比原數退一位故知每
分得一萬三千七百一十七兩也
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御製數理精藴下編卷一