[002-1a] 
欽定四庫全書
莊氏算學卷二
淮徐海道莊亨陽撰
幾何原本舉要
凡角度皆起於圓心而見於圓界圓不論大小俱有三
百六十度之數度有六十分分有六十
秒秒有六十微微有六十纎自此以下
又有不盡之數分之故執有度之圓界
[002-1b]
為凡角大小之規也
二平行線若作一斜線交加於上則二横線内外所成
之二角俱為相等
在平行線上作一斜直線即成八角此八角之
庚戊乙甲戊己兩相等角謂之對角甲戊庚庚戊乙兩
角同心謂之並角庚戊乙戊己丁二角相等角一邊謂
内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖錯交謂相對
錯角庚戊乙丁己辛二角之等角一邊謂之外角乙戊
[002-2a]
己丁己戊二角之相等角一邊謂之内角八角之中半
鈍半鋭各自相等推之三平行線四平行線皆然也
凡三角形之三角相並必與二直角等而具半周之度
凡三角形自一界線引長成一外角將三角形内所對
二角並之始與一外角等
凡三角有二形兩邊線之度各等二線所合之角俱等
則二形底線之度必等式亦等其下各二角皆等也
若二形三界線之度各相等則三角度亦必等而形内
[002-2b]
所函亦等也
若二形一界線之度相等於相等線左右所生之二角
又相等則他線他角俱各等而二形之度俱等也
三角形有二邊等線者其底線之兩角度亦為相等也
蓋作一長線上剖角下剖底成兩直角三角形各相等
也則底線左右所成角必等可知
凡三角形之長界線必對大角最長對最大次長對次
大短者對小者
[002-3a]
凡三角形必有二鋭角何也凡三角形將三角並之必
與二直角等故一鈍必兩鋭一直亦兩鋭即三等角亦
皆鋭也
凡自一㸃至一横線作衆線衆線内有一垂線必短於
他線而他線之與垂線相離愈逺者線愈長也
凡三角無論直鋭鈍合並二界線必長
於所餘之一界線所以凡自一㸃又至
一㸃畫㡬線其各線中僅一線直而短餘必曲而長矣
[002-3b]
四邊形有五種一四方形邊角俱等也一長方形角等
而兩邊長兩邊短也若四邊等而角兩鈍兩鋭者謂斜
方形又兩邊長兩邊短而角兩鈍兩鋭者謂長斜方形
若四邊不等四角又不等者謂無法形
凡四邊平行線形其角之各兩對角必俱相等
於對角作線分為兩三角形是為對角線必将平行線
四邊形分為兩平分
凡平行線之四邊作兩對角線相交處為平分二線之
[002-4a]
正中
凡於四邊形對角線之正中作一斜横線截開則將四
邊形為兩平分
四邊形若於對角線不拘何處交加依兩界作
二平行線即成四四邊形二形為對角線内之
形二形為對角線旁餘之形此兩旁形其積必
等蓋對角線原属平分而等今交加線中所成兩大三
角兩小三角形亦属平分而等於原兩三角内對減兩
[002-4b]
大三角兩小三角則所旁餘四邊形其積亦必等
兩平行線内凡同底所成之四邊形其面積俱
等何也如甲乙戊丁丙己兩三角形其甲丁戊
己二線之度俱與乙丙平行線為等故互相等也若於
甲丁戊己二線每加一戊丁線即甲戊丁己兩線俱等
因甲乙丙丁之四邊形為平行線則所各相對之線亦
俱等也再戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙平行線一
邊之内外角兩形為等自此兩三角形減去丁戊庚所
[002-5a]
存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等於此所存之二形
每加一庚乙丙形則成甲乙丙丁戊己丙乙之相等積
四邊形矣故凡兩平行線内凡同立於一底者則線無
論短長所存之四邊形俱等積也
兩平行線内若同立一底凡所有各種三角形之面積
亦俱等也蓋三角為平行四邊形之一半四邊既等則
三角亦等也底度同亦然
凡衆角形自角至心作線有㡬界即成㡬角形若作六
[002-5b]
界即成六三角形矣
欲知衆邊形角度之數将邊數加倍於得總
數内減四其所餘之數為直角數即為衆角
度也如七邊形是七個三角形凡三角形併三角等兩
直角則七三角形等十四直角而圓心所有之七角當
四直角矣故将十四直角減四直角餘十直角之度為
衆角之總度也
凡一直線切於圓界雖長過界而不與圓界出入交加
[002-6a]
此謂之切線又兩圓之圓界相過相切而不相交加出
入謂之切圓
凡一直線横分圓界謂之弦如戊所分
圓界之一段謂之弧如甲乙丙弦線與
弧線相遇處成兩形如甲乙丙俱為圓
之弧分之角
凡自弦之兩頭作兩線外向圓界相遇此角名為圓分
内角又謂對弧立角
[002-6b]
自圓心作二輻線至弧線成三角形謂之分圓面形
凡自與圓界相切輻線之末作垂線必在圓外
凡在圓弦線若自圓心作垂線可以平分弦線垂至圓
界便可平分弧線蓋自甲心作兩半徑
至乙丙二處其線相等則丙乙二角相
等故自甲角至乙丙底線之丁處作垂
線便是平分也
凡自圓外一㸃至圓界兩邊作二切線此二線必相等
[002-7a]
蓋自圓心作二輻線與二切線相切則二切線與二輻
線互為垂線而兩線相遇之角
必俱為直角又於兩直角作一
對角線是謂弦線而成丁乙丙
與甲乙丁兩三角形丙乙丙丁係輻線原等則底線兩
合角必等減圓内兩角數則甲乙丁甲丁乙二角乃兩
直角之所餘也二角既等二切線亦必等矣
凡圓有兩弦線若等其分圓弧面之積亦等若自心至
[002-7b]
兩弦各作一垂線則二垂線度亦等又自心至兩弦線
之各兩頭作四輻線亦等則所成之兩三角形亦等
於甲乙輻線末作垂線者切線也甲
輻線割圓於戊而至丁者割線也戊
垂線至己者正弦也凡立於乙戊弧
之角者欲求三角之度三邊之數皆於是取也
三角俱抵圓邊者界角也一角居心二角抵邊者心角也
心角交與界角有三種其圓心所生界角或在二直線
[002-8a]
之一線者或在二直線之外者或在二
直線之間者此三種心角皆大於界角
一倍如第一圖心角在丁乙直線之内
則心角為甲丙丁鈍角形之外角外角
則兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙
甲為一圓之輻線相等則所合丁甲二
角亦必相等外角既兼有二角之度則
比丁角為大一倍可知矣第二圖心角
[002-8b]
在丁乙直線之外則自丁過内心至戊
作一直線成甲丙戊一大心角甲丁戊
一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一
小界角凖前論大心角倍於大界角小心角亦倍於小
界角今於大心角減去小心角大界角減去小界角則
所減之心角倍於所減之界角而所存之原心角亦倍
於所存之原界角也第三圖心角在丁乙丁甲直線之
間自丁界過丙心至對界作一直線亦如第一圖論将
[002-9a]
心角剖為二界角亦剖為二則分為兩心角各倍於兩
界角仍合為一心角則倍於一界角也
自圓之弧線凡一叚任與圓界何處其尖相切所成之
界角有㡬何其度俱為等也蓋同立一
弧者心角皆大於界角一倍如上節所
云則同弧之界角不論何處皆小於心
角一倍也因其俱為心角之半則不拘何處作界角皆
相等也
[002-9b]
圓内有一心角一界角若心角所對弧度得界角所對
弧度之一半此兩角度必相等也盖同弧之心角大於
界角一倍今於心角弧度去一半則兩角必相等也
凡圓之界角若立於圓界之半必為直角蓋心角所對
弧線若是界角所對弧線之一半則二角之度必等今
界角對弧為半周将半周弧剖作二心角則二角皆為
直角既為直角則界角對弧乃兼兩心角對弧者安得
不為直角乎
[002-10a]
凡圓之界角若在半圓分之小分内必為鈍角也如圖
甲乙丙為小半圓則所餘甲丁丙為大半圓若将甲丁
丙弧線於丁處平分又自圓心作戊丁
戊甲兩線丁甲弧大於圓周四分之一
為鈍角也又心角對弧若為界角對弧
之一半則二角度為相等今甲丁正得甲丁丙之半則
戊為鈍角乙亦為鈍角也
凡圓之界角若在半圓分之大分内必為鋭角也如圖
[002-10b]
甲乙丙為大半圓所餘甲戊丙為小半
圓若将甲丙為弧線兩分於戊又自丁
作丁甲丁戊兩線成甲丁戊心角形此
心角形所對既不足圓界四分之一則為鋭角也既為
鋭角則甲乙丙角必為鋭角可知矣
函圓形者有函圓切三角形函圓切四方形有函圓切
多邊形圓内切形者有圓内切三角形圓内切四方形
圓内切多邊形函圓衆界形之度大於函於圓之界其
[002-11a]
函衆界形之圓界度亦大於所函之衆界形在外者大
在内者小也故函形界必大於函於形界也
有一函圓衆界形又一直角三角形此三角形一直角
所生二直線内一直線度若與所函圓之輻線度等又
一直線度與函圓衆界形之各界共度等則三角形面
積與衆界形面積俱等也如自幾邊形之心至角作幾
線分為幾三角求三角之中長線即輻線也底等髙等
所作三角形俱等即所云二平行線内同底所作三角
[002-11b]
形俱等也合衆三角形之底為一大三角形之底其面
積當無不等也
一圓所函之衆界形一直角三角形此三角形之一直
角所生二直線内一直線度與彼圓自心至衆界形界
所作垂線度若等再一直線度與彼衆界形之共界度
若等則兩形之面積俱等也
有一圓形有一勾股形若股如半徑勾若全周則兩形
之面積必等也蓋比前函圓之衆界形則為小比前函
[002-12a]
於圓之衆界形則為大就中間取之恰合無疑也夫函
於圓之衆界形輻線及界而不及弧是比圓為小也函
圓之衆界形輻線雖及弧而衆界度共線又長是比圓
為大也今以圓周及輻線取直角三角形而合之相等
無疑則可得圓之面積也盖圓線式異於直線式難於
符合然苟將圓線作萬萬段亦與直線近也
衆界形或函圓或函於圓其界數愈多愈與圓界度相
近如自函三邊而為六邊六邊而為十二邊十二邊而
[002-12b]
為廿四邊無論内外愈近圓界度數也試設一函於圓
九十六邊形又設一函圓九十六邊形而作一圓若将
函圓形作一千五百六十二分又將他形照此所分之
度分之則函於圓形僅得一千五百六十一分矣而圓
界度大於所函之衆界小於函圓之衆界必得一千五
百六十一分餘其圓界中心徑線必得四百九十七分
若即小數算之將圓界作二十二分則中心徑線必得
七分餘故在圓界可得直線之度在直線亦可得圓界
[002-13a]
之度也
有一圓形又一衆界形此圓界度若與彼衆界度等則
圓形之面積必大于衆界形之面積也試凖前半徑作
股界度作勾之法求之則方周圓周之界度雖同而圓
之垂線長方之垂線短則方所成之三角不及圓所成
之三角而所函之面積方亦不及圓矣
凡平面上所立之線若無偏斜猶平階立直柱其各邊
所生之角若俱直是謂平面上之垂線
[002-13b]
相對兩平面之角各垂線度若俱等此相對二平面謂
之平行面
平面上所立之平面若無偏斜猶平地上作直壁是謂
平面上之直平面
自三面四面以上其各瓣相並所存之角謂之厚角
成厚角之平面各角度不足於四直角
度也何也試将五面厚角尖使其平伸
共為一平面則五瓣各相離而有空處
[002-14a]
不能成圓面故不足四直角也若欲將四直角顯尖作
厚角其瓣大而不能成平面厚角矣
平面三稜厚角其三面内若将兩面角並之必大於所
餘之一角度也試將三平面使之平伸而兩角相並一
角孤行則可見矣
凡平面上二直線相交處作一垂線莫偏斜則此線於
平面上在在俱為垂線也蓋若有偏則自平面上視之
或成鈍角或成鋭角既無偏斜則為直角既為直角則
[002-14b]
移向平面上處處俱為垂線矣
衆線相交處立一垂線其角若俱直此所交之各線必
在平面一也
平面上作二垂線正直立之此二線必互為平行也蓋
於平面上作一直線而正直作二垂線則所交直線之
角皆為直角所謂二直線一邊成内外之二角也
凡平行二線之間任意自此一線至彼一線隨處作直
線斜線交線三角形線俱同原平行線在平面上
[002-15a]
二線與他一線平行雖在别面此二線亦互相為平行
也
相對二平面間若横一線正垂在二平面上俱生直角
此相對二面互相為平行面也蓋於二平面上各作對
角斜線兩相交處為兩平面之中而垂線正當兩線相
交之處而俱成直角則兩平面上之兩對角四邊俱係
平行則兩平面亦必為平行者也
二平行而上凡相當之各二線俱為平行也
[002-15b]
二平行面横穿一平面而皆成直角則中間縫線亦必
平行也如以木版穿木版之狀
各種面内積之處謂體依面之端名之也設如全身無
角只有一圓面此謂圓體全身各面俱平而有角此謂
平體立方是也其身有曲平兩相襍謂之襍體如半截
橄㰖是也全身相對之各二面俱平行此謂平行面體
長立方長斜立方是也全身相對之面不平行而獨兩
底面平行此謂底平行面體三角柱是也周圍圓形而
[002-16a]
底與面平謂長圓體圓柱是也一平面底而立幾平面
俱合於一角而成大此總謂尖瓣體也底三角者為三
瓣尖體底四角者謂四瓣尖體底衆角者謂衆瓣尖體
若在平面上立圓面而成鋭尖此謂尖圓體也
所云圓體長圓體尖圓體此三種面俱生於一動之間
耳以甲乙為樞心將甲乙丙作轉式旋轉
一周即成為圓體也於甲乙丙丁平面形
以甲乙為樞心以丙丁線界作轉式旋轉
[002-16b]
一周即為長圓體也於甲乙丙三角形以
甲乙為樞心以丙界作轉式旋轉一周即
尖圓體也樞心正則為正體樞心偏則偏
體矣
凡體若面平行相當所對兩邊面積俱為等也如正方
體六面相當則六面面積俱等如長方體各底面相當
則底面之面積俱等也
凡體苟面積形式一同俱等謂全等體形不等而積等
[002-17a]
謂等積體積不等而式等謂等式體
平行面三凡體形自對角線分為兩段此兩段為全等
體也
平行平面之間若同在一底立各平行體形其積俱為
等如面例
平行平面之間有在等積底所立之各平行體形其積
必俱等蓋所立之處不同而其度同也故等也
平行平面之間有在等積三角形兩底所立各三面體
[002-17b]
形此所立各體之積必俱等也理如前節
平行平面之間同在一底作一平行體形作一三面體
形則三面體形必為平行體形之一半
各種體形難以發明必作圖以明然有空實二端空者
宗其空實者宗其實乃可耳
凡等式體苟立於等積之底其體之髙若等則其積俱
為等凡尖圓尖瓣皆然也蓋將大體截分為衆小體其
小體底度亦等也
[002-18a]
有各種平行底之平面體與各種平面尖體兩底積若
等其髙數又等則此一平行底之平面體與彼平面尖
體三形之積等推之平行面體與四瓣尖體三形之積
等平行底之圓面體與圓面尖體三形之積等蓋三面
尖體為三平面平行底平面體三分之一四面尖體為
平行面體三分之一尖圓體為圓柱體三分之一也若
将實形作空形以水注之作比例可見
凡相等界度之體内其圓體所函之積數强於他種體
[002-18b]
所函之積也如一圓一方一十二瓣體論積皆不及圓
蓋如論面函於圓界之積大於各等邊平形所函之積
也六面俱為等面八角俱為直角是謂正方體
厚角正體有五種觀於各面數而名之也一為四瓣面
之體此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是
謂四瓣體二為六瓣面之體即正方體也三為八瓣面
之體共八面面各三角各三界度若俱等是為八瓣面
體四為十二瓣面之體此每面有五角各五界度若俱
[002-19a]
等是謂十二瓣體五為二十瓣面之體此每面有三角
每面各三角各三界度若俱等是謂二十瓣體此正體
五種外不生他形總不外三角四角五角之平面合而
成也蓋将三角平面形三瓣形合成一厚角餘一面求
角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣
體是也将三角平面四形合之復加四形八瓣體是也
将三角平面五形合之復加十五形二十瓣體是也然
欲以三角六形合之不能成厚角矣蓋六三角平面形
[002-19b]
界於界角於角而對合之成六角之平面形能為平尖
不能顯也是故三角形所生只於四瓣八瓣二十瓣自
此而外無有也四角所成只於正方角此外無有也将
五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣體是也
此外不能成他角也至六角平面形則将三角相合已
等於四直角能為平而已不成厚角也六角如此七八
以上可知矣
凡比例面比面體比體線比線不同者不相謀也
[002-20a]
凡将兩物度數互相比之此比出之度數為大為小謂
之比例其比者與所比於物者俱謂率齊數之謂也其
比之物謂前率其所比於之物謂後率也如甲乙二線
相比此所比出之甲線或為長或為多乙線或為短或
為少謂之比例也将此二線相比故謂之二率而所比
之甲線謂之前率其比於之乙線謂之後率矣
凡兩兩相比謂之四率如一率與二率之比同於三率
與四率之比此為同理比例也如一率甲二率乙三率
[002-20b]
丙四率丁乙線為甲線六分之五丁線為丙線六分之
五則甲乙二線之比同於丙丁二線之比是謂同理比
例苟求得乙線有甲幾倍之數則可知丁線有丙幾倍
之數也
又凡四率将一率與三率分作幾分将分數相等定凖
此兩率分度雖不同而分數為等於是以二從一以四
從三㸔幾分為均其一與二之比即如三與四之比為
同理比例也
[002-21a]
有兩不同之比例如二率四率之分數相等而一率於
二率為四之六三率於四率為四之五則不同矣而可
相比例謂一與二之比大於三與四之比也前比例之
數多再比例之數少也故又謂之兩不相同之比例也
有相連比例率如甲線一一/率乙線二二三/率同丙線四四/率甲
與乙之比同於乙與丁之比是謂相連比例倣此於相
連比例之内将一率甲與三率丙比者謂隔一位加一
倍之比例也将甲與丁比者謂隔二位加二倍之比例
[002-21b]
也将甲與戊比者謂隔三位加三倍之比例也比例難
於講觧試作圓以明之於大圓内作小圓於圓之中心
作二線割小圓弧抵大圓弧則成大圓己甲庚小圓辛
甲壬之甲角此甲角之對弧己庚苟為大圓之六十度
則亦為辛壬小圓之六十度蓋圓之大
小雖不同而分數為等故以大圓周為
一率庚己弧為二率小圓周為三率壬
辛弧為四率一與二之比同於三與四之比也兩圓周
[002-22a]
為比之之率為前率兩弧為比於之率為後率兩兩相
當分數俱等是為順理比例也倣此凡各率各度雖異
相當之數若等一二之比同於三四之比俱為順理比
例又有幾種論如左一種反比例反一為二反三為四
仍相等也如前大圓周為一率大弧界為二率小圓周
為三率小弧界為四率今以大弧界為一率大圓周為
二率小弧界為三率小圓周為四率比例亦同也
一種轉理比例謂一與三比二與四比也以大圓周為
[002-22b]
一率小圓周為二率大弧界為三率小弧界為四率其
比例亦無不同也
一種分理比例謂於一率三率中各減與二率四率相
等之一分以比二率四率仍為相當比例也如二率四率
原於一率三率為六之一今各減一率三率之一分則
又為五之一比例亦然也
一種合理比例謂合原一率二率之數以比二率合原
三率四率之數以比四率原各為六之一今又各為七
[002-23a]
之一也
一種更理比例謂換却二率四率之原數各更以他數
如原各為六之一今又各為六之五也
一種隔位比例如有兩項四率原為相當比例則以此
四率中之一率與四率為比又以彼四率中之一率與
四率為比合為一四率仍為相當比例率也
一種錯綜比例如此邊有相連比例三率彼邊亦有相
連比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟錯
[002-23b]
綜之則取此中末之比例彼另設一線置於彼第一線
之比又取此上末之比例彼另設一線與彼中線之比
蓋彼雖另設一線仍是相連比例線此相連之比同於
彼相連之比此隔位之比亦同於彼隔位之比也
一種相減比例如甲丙乙丁二線所有之三倍内減去
丙戊丁己二倍互相之比同於原甲丙乙丁二線之比
也
一種相加比例如甲乙二線照本度各加三倍為丙丁
[002-24a]
線互相之比同於原甲乙二線之比也
得此比例線之法則面之相當者為比例面體之相當
者為比例體也且線亦可以例面面亦可以例體也如
甲六分線與乙三分線相比丙六分面與丁三分面相
比戊六分體與巳三分體相比每每相當分數相等則
互相為比例也
以二數相乗所得兩數為均若以二線均為幾度每各
線度作小方形以此線小方乗彼線小方即成兩直角
[002-24b]
四界形蓋以一線為横一線為縱彼此互乗形亦均也
又一線分為三度作小方形一線分為四度有竒作小
方形一線横一線縱乗成函十二長方形而竒數亦附
於方末也
又将前線所作方形取其半相乗亦得四方形也蓋取
三方之半而為六小方取四方之半而為八小方八六
四十八六八亦四十八便成兩函四十八之長方形而
其總度仍相等也蓋兼取其半而無改於原度故也
[002-25a]
四方直角平面形凡在一線可以相乗也如甲乙形欲
乗丙丁線則將此
形作四小方體又
将丙丁依甲乙所
分之厚分比之若得三分則将甲乙形三層垜之遂成
函十二小方形之直角體也凡六面平行直角體必得
壘一四邊直角平面與一直線相乗而成也
凡兩直角平面形欲相比例有兩比例焉如大形之長
[002-25b]
度與小形之長度幾倍為均大形之寛度與小形之寛
度幾倍為均是也然合闕/比兩比例仍是一比例如甲
方之長與乙方之長三倍為均甲方之寛與乙
方之寛兩倍為均二三相乗為六則甲方
之形與乙方之形之比例為六倍為均也
若長四倍為均寛三倍為均三四一十二則大
形與小形之比例為十二倍為均也再若大形之横度
比小形十二為均小形之直度比大横直度三倍為均
[002-26a]
則以三除十二得四大形比小形四倍為均也若四倍
則以四除十二得三倍為均皆成一比例也
有兩直角形若此形之長倍於彼形之長而彼形之寛
反倍於此形之寛則此兩形之積為等也或一倍或三
四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率
相乗所得數必同於一率四率相乗所得數也如一率
二二率四三率三四率六以中率三四相乘為十二首
尾率二六相乗亦一十二也試将三度四度之線相乗
[002-26b]
作長方形又将二度四度線相乗作長方形形雖不同
而積等也故一二三率已知者也所求四率未知者也
既求得四率則以一率與四率相乗所得數與二率三
率相乗所得數無以異也如東河之水流速三倍西河
之水流速六倍東河之流一秒十缸欲知西河之流一
秒幾何缸則以東河之三倍為一率西河之六倍為一
率東河之十缸為三率求得西河之流二十缸試相乗
之數為等也又如三個兵每月餉六兩今已五月應餉
[002-27a]
幾何則以三兵為一率六兩為二率五月為三率求得
餉銀一十兩試相乗之數又等也
有兩個直角面苟此面之横界與他面之横界此面之
縱界與他面之縱界比例若等則此兩面相比之比例
即為兩界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相
連比例一條所云也蓋兩界之比例第為一倍之
比例而兩面之比例為加一倍之比例也如甲之
横界大于乙一倍而為二縱界亦大於乙一倍而
[002-27b]
為二則甲之面大於乙之面三倍而為四為二倍為均
者二若甲之横界縱界各大於乙五倍則甲之面内與
乙之面内六倍為均者有六矣
丙乙之邊線為相連比例丙乙之面於相連比例中為
隔一位加一倍比例今設一甲線為一分乙線
為二分丙線為四分為相連比例則丙面與乙
面之比同於丙線與甲線之比蓋丙面大於乙
面三倍丙線長於甲線三倍共為隔一位加一
[002-28a]
倍之比例也
前數節所論直角面之縱横界比例等者謂之同直角
面其兩相比例之横界俱謂之相當界也
在相同直角面縱横兩相當界之比例必等也
在相同直角面於兩面相當之一界作為兩方面則所
作兩方面互相之比即同於原面互相之比亦為隔一
位加一倍之比例也
直角體則有三比例長也寛也厚也如大形之長寛厚
[002-28b]
各大於小形之長寛厚一倍則先成長寛倍之平面形
於平面形上又叠一相等之平面形則亦倍厚矣倍而
成平面則二倍為均者有二倍而成體則四倍為均者
有二矣
有直角兩體苟此一體之底與他一體之底為大一倍
而他一體之厚與此一體之厚亦大一倍則此二體之
積等蓋即一體之豎起與放倒也
有兩直角體苟此體之長寛厚界與彼體之長寛厚界
[002-29a]
相比之比例若俱同謂之同式體而長寛厚各一邊相
比例之界俱謂相當界也
凡兩直角同式體互相比之比例為界比例之隔二位
加二倍之比例也如大體之長寛厚比小體各大一倍
則此兩體相比之比為隔二位相加之比例也蓋界線
為相連之比例者倍而為平面為隔一位相加之比例
又倍而為體則為隔二位相加之比例也苟作一相連
比線之率甲為一分乙為二分丙為四分丁為八分又
[002-29b]
作一直角體與三界各加一倍之直角體則小體與大
體之比同於一率甲線與四率丁線之比若知甲線比
丁線為八分之一即可知大體比小體為八分之一也
有直角同式兩體在此兩體比例相當之二界立作兩
四方體互相以比之其比例仍同於原體之比也蓋原
體為隔一位加一倍之比例則於兩相當界所作體亦
為隔一位加一倍之比例均是八分之一也
凡二平行線内凡有直角面互相之比同於與此兩底
[002-30a]
互相之比也如甲己面之丙己底界與戊丁
面之己丁底界若大三倍則甲己面與戊丁
面亦大三倍也試将戊己相兼之縱界依此
界分與丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面
四分總為大三倍也
凡二平行線内所有凡平行四邊面互相之比同於其
兩底界互相之比也蓋同底所立之直面斜面積
俱同則直面斜面之比例俱等故底若大三倍則
[002-30b]
面亦大三倍也
凡在二平行線之間若有兩三角形以兩形積互相之
比必同於兩底界互相之比也蓋同底所作之三角形
為四邊形之一半四邊形之比例等則三角形之比例
亦等故三角底若大一倍則三角形積亦大一倍底若
大三倍則積亦大三倍也
凡三角幾形之底俱在於一直線又與各底相對之衆
角皆聚於一處則其三角衆形必在二平行線之間也
[002-31a]
觀圖可見
凡三角形作與底線平行之線不拘何處截斷則
兩旁之線皆成四比例線如圖甲丁與丁乙之比
同於甲戊與戊丙之比是二段互相比之比例
同也又甲丁一段與甲乙全線之比同於甲戊
一段與甲戊全線之比是分線之比例同也故曰四相
比例也蓋自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二線分為
幾三角形此内之乙戊丁丙丁戊兩三角形既在二平
[002-31b]
行線之間又同立於丁戊之底則其積等也又各増入
甲戊丁三角形其積亦等也又甲丁戊丙丁戊兩三角
形其底線同在甲丙一直線而兩角又相遇於丁即如
前所云二平行線之間有兩三角形則兩形積互相之
比必同於兩形底界互相之比則甲丁戊形積比丙戊
丁形亦同於底線甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙
丁戊兩形積之比亦同於甲丁丁乙兩底線之比也再
甲乙戊甲丁丙兩形之積既等則甲丁戊形積與乙丁
[002-32a]
戊形積之比同於甲丁段與乙丁段之比而又同於甲
戊段與丙戊段之比是以甲丁段與乙丁段之比必同
於甲戊段與丙戊段之比也故以甲丁為一率丁乙為
二率甲戊為三率可以求戊丙之四率也誠如是以甲
乙丙全形之三角或與所分甲乙戊三角或與所分甲
丙丁三角之比例俱為同也因其比例同而此三角全
形所分兩形之積既為等則甲丙丁所分形之甲丁底
與甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形
[002-32b]
之甲戊底與甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱為同
也則甲丁段之一分為一率甲乙全線三分為二率甲
戊段一分為三率甲丙全線四分為四率亦為相比例
率也
凡在三角形内不論何處作與底平行直線則以所作
平行線與原底線之比同於兩邊所截一
段與各每邊全線之比也
如圖所截若甲丁段二分甲乙線六分則丁戊線亦為
[002-33a]
二分乙丙線亦為六分可知也何也試将甲
乙丙三角形轉以乙甲線為底於戊丁線之
戊處至己處作與甲乙平行線則己乙之度即戊丁之
度準前節全線與截段相比之例則戊丁平行線與原
為底乙丙全線之比必同於甲戊與甲丙全線甲丁與
甲乙全線之比也故以甲戊為一率甲丙為二率戊丁
為三率乙丙為四率為四相比例以甲丁為一率甲乙
為二率戊丁為三率乙丙為四率亦四相比例率也
[002-33b]
大小三角形每每相當角若等則其積雖異而其形為
同謂同式三角形也再有一三角形自此
形分之出一庚子癸三角形又出一子丑
壬三角形此所分出兩形與原形每每相當角俱等亦
謂同式形也
三角衆形内相當各二角度若等則餘一角度必等亦
謂同式三角形也蓋三角相合必與二直角等足半周
之度也
[002-34a]
有衆大小三角形若同式将衆形相當界互相比之比
例為同俱為相比例率也如二勾股同式形則此股與
相當股之比必同於勾與勾之比股與股之比也試将
勾股如前截一小勾股可騐矣
同式直角兩形互相之比同於在此各一面相當界所
作方形相比之比例蓋三角積得方形之半全與全之
比若半與半之比也
同式直角兩形互相之比即是各一面相當界相比之
[002-34b]
比例為加一倍之比例也如甲線一分乙線二分丙線
四分為相連比例線今兩形之三邊線若各大一倍則
亦如直角四邊形積為大三倍矣大三倍則非相連比
例線而為甲線一分與丙線四分隔一位加一倍之比
例也
同式鈍角鋭角互相之比亦同於此各一面相當界所
作方形互相比之比例而為在此各一邊相當界互相
比之比例隔一位加一倍之比例也理如前節
[002-35a]
有多邊衆形其邊數同而相當角度等謂同式多邊形
則大形甲邊之比與小形甲邊之比同於乙邊與乙邊
之比也
有衆曲界形在曲界形之或内或外作相函之各種直
界形其
式若等
亦謂同
式曲界形也兩襍界形二圓分形亦於兩中間各作三
[002-35b]
角形若同式即謂之同式襍界同式圓分也
大小各圓分之式若同其分限雖殊而分數必等與其
分相對所成之心角必俱等也
将同式大小多邊兩形内為三角以分此所分相當大
小三角形之式俱同也如兩五邊形各分為三三角形
則甲乙丙與己庚辛相當為同
式甲丙丁與己辛壬相當為同
式己壬癸與甲丁戊相當為同式蓋兩形相當角度等
[002-36a]
則相當界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相當之
比同於甲丙己辛相當二界相比之比例由是甲丙己
辛之比同於丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦猶甲
丁己壬之比而甲丁己壬之比亦猶丁戊壬癸之比故
曰相同式也
凡同式多邊大小衆形互相之比同於在此相
當界所作四方形互相比之比例而與此各一
面相當界互相比之比例為加一倍之比例也理如前
[002-36b]
凡大小同式直界形互相之比同
於在其形内外相函之同式形各
相當界立作平面方形互相比之
比例如圖甲乙丙庚辛壬相當三角各二形之比同於
在甲丙庚壬所作方形相比之比例也蓋大形所函者
甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故於甲丙
庚壬相當二界立作方形而得比例也
凡圓曲襍各種界形之内将每每一類同式形互相之
[002-37a]
比同於在所比形之内外
相函同式形之每每相當
所作方形相比之比例也如
圖大小二圓形内雖函六面同式多邊
兩形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四邊同式兩形函甲
丙丁庚壬癸三角同式兩形而但取所函四邊形甲丙
壬庚相當界所作之方形便得圓形比例也蓋衆界之
界愈多則於圓界愈近故将直角形分為千萬界形在
[002-37b]
圓界可以近用之而圓曲形亦既可以為千萬直界形
以用之故将此二圓為同式直界互相之比同於在所
函同式形之相當二界所作方形相比之比例也然則
二圓互相之比同於或在輻線或在徑線所作方形相
比之比例可知矣
凡大小平面體之相當角度若俱等相當界互相比而
比例若同是謂同式體正方體四瓣面體皆然若圓柱
體則論其中所函尖瓣等體若同式則謂之同式圓體
[002-38a]
各種體之式若同将每每一類體互相之比同於在每
每相當界作四方體相比之比例如於兩同式尖瓣體
之相當作四方體是也
同式各種體内将每每一類體互相比者同於在此内
外各所函者函於者同式體之每每相當界作方體互
相比之比例也如兩球體函於兩方體以小球則大球
則以小方為一率小球為二率大方為三率可以得大
球之四率也
[002-38b]
自直角三角形之直角至相對界作一垂線分
為兩直角形則此大小三三角形俱為同式也
盖中垂兩傍所成俱為直角而乙角又不變兩
角相等則一角亦等而丁變為甲甲變為丁矣丙角亦
不變而與乙甲丁同為同式三三角形也
自直角三角形之直角至於對界作一垂線截
相對界為兩段則所截之兩段長者為一率短
者為三率而垂線為中率為相連比例三率也如甲乙
[002-39a]
丙甲丁乙兩角俱為同式則比例必同以乙丁比甲丁
同於甲丁比丁丙也
自直角作垂線至於對界在此垂線作四方形
又将所分對界兩段一段為長一段為髙合作
長方形兩積俱等也盖三線既為相連比例線
凡相連比例三線其中線自乗之積同於一線三線相
乗之積故也
凡直角三角形是謂勾股勾股上兩方合之與弦上方
[002-39b]
等積何也如圖以甲乙丙全形分為甲乙
庚甲庚丙大小兩形是為同式形而每每
相當界互相比之比例同也於是以小形庚丙與全形
甲丙之比同於全形甲丙與全形乙丙之比為
相連比例率也則在甲丙中率所作四方形必
同於一率庚丙為髙與三率乙丙為長相乗所
作長方形之積等也又大形乙庚與全形甲乙之比同
於全形甲乙與全形乙丙之比亦為相連比例率而在
[002-40a]
甲乙中率所作方形同於一三合率所作方形之積等
也今庚丁乙壬所分之兩形與己丙戊乙兩方形每等
則将所分兩形相合則乙丁方形自然與己丙戊乙兩
方形等可知矣
在勾股弦三界作凡同式三形弦上積兼有勾股之積
也
在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圓在二小界
作甲庚乙兩半圓亦如前節為等也而甲庚乙半圓之
[002-40b]
甲戊乙弧一段甲己丙半圓之甲丁丙弧
一段若減之則所餘甲庚乙戊甲己丙丁
二段又與甲乙丙原三角形之積等也
一圓之内二弦線不拘何處相交以相交所截之段互
相轉比之比例俱同為四相比例率也如圖二線於己
處相交以此戊己段與己丙段相比之比例将己丁己
[002-41a]
乙相比之位轉之為己乙己丁雖以後
為前以前為後比之其比例仍同而戊
己己丙己乙己丁四段為相比例率也
蓋乙戊己丁己丙兩形此兩形之乙角丁角既俱切於
圓界而又同立於戊丙之弧則此二角為等而二角之
己角為對尖之角其角亦為等二形之三角俱等即為
同式也同式則戊己己丙相當二線互相之比即同於
己乙己丁相當二線互相比之比例又戊己己丙己乙
[002-41b]
己丁四段俱為相比例率也
於圓徑線不拘何處作一垂線將徑線截為兩段則所
截之兩段為一率三率而垂線為中率成相連比例也
即勾股垂線之理
自圓外之凡一㸃出二線過圓界
之二處至相對弧界則此兩全線
互相之比同於在圓界外所有之
二段轉位以比之比例而為四相比例率也如圓自丙
[002-42a]
至丁自戊至乙相交作二線成甲丙丁甲乙戊兩三角
形則兩形之丙戊二角既同切於圓界同立於乙丁之
弧則丙戊等角也再甲角既係公共則亦等角也二角
既等則同式矣同式則甲丙甲戊相當二界互相之比
同於甲丁甲乙相當二界相比之比例以甲丙為一率
甲戊為二率轉位甲丁為三率轉位甲乙為四率俱為
相比例率也
将函於圓之三角形於甲角作平分角之甲戊直線則
[002-42b]
甲乙傍線與甲丁段直線之比即同於甲戊全直線與
甲丙傍線之比也蓋甲乙戊甲丁丙形
之丙戊二角同弧同切其度為等而甲
乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角
而平分為兩角其度亦必等是為同式形也則以兩形
之相當甲乙小界與甲丁小界之比同於又相當甲戊
大界與甲丙大界之比也
將函於圓三角形之甲角為兩平分自甲角至底線作
[002-43a]
甲丁直線分底線為兩段以乙丁與丁丙之比同於甲
乙傍線與甲丙傍線之比也蓋自丁處
作甲乙平行之丁戊線成戊丁丙小三
角形則全形之乙角與小形之丁角為
平行線一邊之内外角為等而丙角係公共角亦為等
為同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角為平行
線間之尖錯交角度為等而甲丁戊甲乙丁之甲角原
係平分亦為等是甲丁戊角之丁角甲角等可知兩角
[002-43b]
既等則兩等角所對甲戊丁戊線亦必等也是故全形
甲乙線與甲丙線之比同於相當丁戊線與戊丙之比
而甲戊線與丁戊線等則甲乙比甲丙亦若甲戊比戊
丙也又丙乙丙甲二線既為丁戊平行線所截則乙丁
比丁丙若甲戊比甲丙也
凡球體在長圓内苟此球徑線與長
圓體之底徑髙度若俱等則此球積
為長圓體三分之二也何則將球體
[002-44a]
合長圓體於乙丁平分之又將半長圓體内減去半球
體餘乙己庚丁申丙癸凹面體為與己庚壬尖圓體等
積等也何以知之将尖圓凹面二體俱與己庚底平行分
為幾段之面則兩體之面積每段各相等也試将尖圓
體分癸夘申一段之面積必與分曲凹形午癸申戌一
段周圍之面積等矣何也以壬癸半徑作
正方與壬子子癸兩線作兩正方並之為
等也又以壬癸半徑線作一圓與以壬子子癸為兩半
[002-44b]
徑線作兩圓並之為等也再壬乙與壬癸俱是一圓之
半徑線必等而壬乙與夘午俱為
一長方之平行線亦必等則卯午
與壬癸亦必等也是則以壬子子
癸為兩半徑作兩圓亦必等於卯午半徑線所作一圓
也今將夘午所作圓内減去與壬子線相等之癸卯線
所作之圓即餘癸午曲凹形一段周圍之面與癸子為
半徑線所作圓面等也夫卯癸線與癸子線既為等線
[002-45a]
而卯癸與癸子為半徑作兩圓亦必等則癸午曲凹形
之面積必與卯癸為半徑作圓之面積
等矣再将壬未半徑作一圓以壬辰辰
未為兩半徑作兩圓等亦如前所云以
辰未為半徑作一圓與壬未相等辰已線為半徑作一
圓之面積内減去辰未作圓之面積所餘未巳曲凹形
一段周圍之面積與壬辰為半徑作圓之面積等而壬
辰與辰寅既為正方之等線則以尖體内之辰寅為半
[002-45b]
徑作圓之面積與相對未巳曲凹形之面積等也夫兩
體每段所分既俱相等則全體亦必相等矣前云一尖
圓體與一長圓體其底積髙數若等則尖圓體與長圓
體為三分之一也所餘曲凹形既與尖圓等積則亦三
分之一而所減半球為半長圓體三分之二而全球為
全長圓體三分之二矣
有一尖圓體又一半球體苟尖圓體底徑與半球體徑
度等而尖圓體髙度與半球體半徑又等則此尖圓體
[002-46a]
為半球體積之一半也盖尖圓為長圓三分之一而半
球為長圓體三分之二則尖圓為半球之半也又球體
徑度與尖圓體底徑度若等而球體半徑與尖圓體髙
又等則此一球體之積當四尖圓體之積也蓋將尖圓
加一倍則與半球等合四尖圓則與全球等也有一球
體又一尖圓體苟尖圓體底面積與球體外面總積若
等而尖圓髙度與球體半徑又等則此兩體之積為等
也何也将球體從外面至心分為千萬尖體此所分千
[002-46b]
萬尖體之底積必與原球外面之總積等亦即與尖圓
體之底面積等也又原尖圓體之髙與所分千萬尖體
之髙旣等則一尖圓體之積與所分千萬尖體總積等
也如是其所分千萬尖體之總積既與原球之積等則
此尖圓體之積必與此球體之積等可知矣
凡有一球體苟以此球體之半徑作一圓則所作圓之
面積於此球體外面積為四分之一也如前節之言既
為相等又作一小尖圓體其底徑與原球徑等其髙與
[002-47a]
原球體半徑等則於原球為四分之一而於前大尖圓
體亦為四分之一也此大小兩尖圓體之髙度既等其
兩底面積之比同於兩體積之比例體積為四分之一
底面積亦為四分之一而於球體外面之積亦為四分
之一也因其為四分之一而小尖圓體之半徑原與球
體半徑等則以此球體半徑作圓之面積亦與球體外
面積為四分之一可知矣
有一球體又一圓形苟此圓形之半徑與球體徑度若
[002-47b]
等則此一圓形之面積為與一球體外面積等也蓋以
球之半徑作圓之半徑則其面積為球四分之一若以
球之全徑為圓之半徑則半徑所作之圓視全徑所作
之圓面積又為四分之一矣何則凡圓互相之比同於
相當界所作方形互相比之比例又為每相當界互相
比之比例為加一倍之比例也兹兩半徑之比為大一
倍而兩圓面之比又加一倍即是半徑作圓為一分全
徑作圓為四分既為四分則此圓面積與球體外面等
[002-48a]
積可知矣有長圓體又一長方體苟此長方體底面積
與長圓體周圍面積若等又此長方體髙度與長圓體
半徑之半又等則此長方體之積為與一
長圓體之積等也何也将長圓體從壬癸
心線至外面分為千萬長體則此所分千萬長體之共
積為子己長方體積之一半也蓋子庚髙度
與所分千萬長體之壬丁髙度相等又長方
體之庚己底面積與所分千萬長體之底共
[002-48b]
面積及長圓體甲丙周圍面積等如前所云所分千萬
長體之共積與子己長方體為一半亦如以子庚髙度
分一半為戊庚而戊己長體即與所分千萬長體相等
矣如是則戊己長方體積與甲丙長圓體等積可知也
有一球體一長圓體苟此長圓體之底徑度髙度與球
體徑度若等則此球體外面之積為與長圓體周圍之
面積等也
蓋將球體半徑乙壬分為六分用半徑之半三分與戊
[002-49a]
己庚辛長圓體之面積相乗得數照
前節所云為長圓體之積也又用所
分六分之二為乙壬半徑三分之一
與球體外面積相乗得數為球體之積也夫球體比長
圓體積為三分之二矣然用三與長圓體周圍之面積
相乗者為得長圓體積用二與球體外面積相乗者為
得球體積今以球體與長圓體相比之比例同於為乗
面積用三二兩數之比例如是則球體外面之積與長
[002-49b]
圓體周圍之積等可知也
有一平面鴨卵形其大徑度與圓徑若
等則鴨卵形之平面積與圓面積之比
同於以鴨卵形之小徑與大徑相比之
比例也何也将與戊己徑線平行任分幾線此每線假
如庚辛與壬癸之比同於戊己與乙丁之比而為作鴨
卵形之定理也今每平行線俱依此之比例即平行鴨
蛋形之積與圓形之積相比同於乙丁小徑與戊己大
[002-50a]
徑之比例也
長方面内有平面鴨卵形正方面内有圓形苟長方之
寛與鴨蛋形小徑度等長與大徑度等而正方一邊度
又圓徑度俱與鴨蛋形大徑度等則以長方面積與正
方面積之比例同於以鴨蛋形面積與圓形面積相比
之比例也又鴨蛋體大徑與球體徑度
若等則鴨蛋體外面積與球體外面積
相比之比例同於以鴨蛋體小徑與大
[002-50b]
徑相比之比例也何則将兩體外面俱分幾平行圓此
每圓假如以子丑圓界與寅卯圓界之比同於以子丑
圓徑與寅卯圓徑之比也今照作鴨蛋形之定理而子
丑徑與寅邜徑之比同於戊己徑乙丁徑相比之比例
誠如是其每大圓界與相對小圓界俱依此為比例則
兩外面積之相比同於兩徑之相比可知矣
有能函鴨蛋體之長圓體則鴨蛋體外面之全積為與
長圓體周圍之積等也則試以鴨蛋體之大徑作球之
[002-51a]
徑又作一函球之長圓則函球之長圓與函鴨蛋之長
圓周圍面積之比同於兩底圓界相比之比例亦同於
大徑線與小徑線相比之比例也又球體之面積與函
球體之周圍面積既等則以函球體周圍面積與函鴨
蛋體周圓面積之比亦同於大徑與小徑之比也則是
鴨蛋體面積與函鴨蛋體周圍面積二項與球體面積
相比皆同於大徑與小徑之比則鴨蛋與函蛋體兩項
面積相等可知矣
[002-51b]
有一鴨蛋體函於一球體則兩積之比同於鴨蛋體小
徑線所作正方面與球體大徑線所作正方面相比之
比例也
有一鴨卵體有一恰函鴨蛋體此兩體積之比同於球
體積與函球體積相比之比例也
有一鴨蛋體恰函於長圓體内則鴨蛋體積為得長圓
體積三分之二也蓋蛋體與函卵體之比同於球體與
函球體之比則彼為三分之二此亦三分之二也
[002-52a]
有一長方體恰函鴨蛋體有一見方體恰函球體則長
方體積與鴨蛋體積之比同於見方體積與球體積相
比之比例也又長方體積與見方體積之比同於鴨蛋
體積與球體積相比之比例也
有一球體恰函於長圓體内若将此兩體俱於寅邜處
分之此所分球體子丙丑一段之
凸面積與所分相對長圓體寅巳
庚卯一段之周圍外面積為等也
[002-52b]
何則假如於癸子丑辰小長圓體内減去壬子丑小尖
圓體此所減小尖圓體積為小長圓體積三分之一其
所餘者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹體之
一段周圍面積與子丑線為徑作相對圓之面積等矣
如是則乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體與癸子
丑辰小長圓體此二體之底面積髙度既等其體積亦
等而乙寅子丑卯丁曲凹體之積與壬子丑小尖圓之
積等矣然因何為等蓋壬子丑小尖圓體所分每每圓
[002-53a]
之面積與所分相對每每曲凸體周圓之面積等也
壬子丑小尖圓體積既為癸子丑辰小長圓體積三分
之一又此小長圓體積與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一
段空心體積為相等則是乙寅子丑卯丁曲凹體之積
與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體積為三分之
一苟於乙子丑丁球段内減去壬子丑一小尖圓體餘
乙子壬丑丁球體一段之積與乙寅卯丁一長圓體積
為三分之二也若於乙寅卯丁長圓體内減去壬寅卯
[002-53b]
尖圓體為此乙寅卯丁長圓體三分之一餘乙寅壬卯
丁長圓體一段之積與乙子壬丑丁球體一段之積等
也今将乙寅壬卯丁一段之體從外面至心之壬處分
為千萬尖體之共底面積相乗得數為乙寅壬卯丁一
段之體積數也又以此乙子壬丑丁一段之體從外面
至心之壬處分為千萬尖體若以乙壬半徑為髙度用
三分之一與所分千萬尖體之共底面積相乗得數為
乙子壬丑丁一段之體積數也如前所云此乙寅壬卯
[002-54a]
丁一段體積與乙子壬丑丁一段體積既等則此兩體
面積亦必等而此乙丙丁半球體凸面積與乙己庚丁
半長圓體周圍外面積亦等若於半長圓内減去乙寅
邜丁一段外面積於半球體内減去乙子丑丁一段外
面積此所減之乙子丑丁一段面積與彼所減之乙寅
邜丁一段面積為相等此所餘子丙丑球體一段面積
與彼所餘寅己庚邜長圓體一段面積相等可知也
有鴨蛋體一半有球體一半若全球體徑度與全蛋體
[002-54b]
大徑度等而半鴨蛋體髙度與半球體髙度亦等則此
半蛋體外面之積與半球體外面積同於以蛋體小徑
度與球體徑度相比之比例也理同前
有大小半鴨蛋體有大小半長圓體若全體之小徑與
全體之底徑等而大小半體之髙度又等則此大小半
鴨蛋體外面之積與大小半長圓體周圍外面之積等
也何則試作一鴨蛋體外函以球體又外
函以長圓體照甲己髙度截於寅丑為長
[002-55a]
三分之一則全與全半與半之比亦若三分之一與三
分之一之比也是小半蛋體之外面積與小半球體外
面之積之比亦若函小半蛋體外面之積與函小半球
體長圓之外面積相比之比例而小半
球之外面積既與函球小半長圓之外
面積等則小半蛋體之外面積安得不與函蛋體小半
長圓之外面積等乎
有一鴨蛋體恰函於一球體内則以鴨蛋每段之積與
[002-55b]
相對球體每段積之比同於以鴨蛋體
小徑之所作正方面積與球體徑度所
作正方面積之比也如圖甲寅邜一段與相對球體甲
子丑一段俱與乙丁戊己大小徑線平行分為幾圓面
此所分蛋體每圓之面積與所分相對球體之每圓面
積之比同於以乙丁小徑度所作正方面積與戊己大
徑度所作正方面積相比之比例如是則以甲寅邜之
體積與甲子丑之體積之比同於乙丁徑之方面積與
[002-56a]
戊己徑方面積相比之比例可知矣
在一直線一邊立垂線法如乙丁線欲於乙邊
作垂線則将規矩一股任意立於甲丁線上或
丙處為心又以一股自乙處轉作一圓則於丁乙線之
甲處相交自相交丁處過丙心至相對圓界作一直線
此線於戊處與圓界合自戊處至乙處作一戊乙直線
即垂線也
分圓界為三百六十度法則照圓之輻線度分此界為
[002-56b]
六段六段分為十二段十二段各平分為三段
則為三十六段三十六段各平分為五段則為
一 百八十段一百八十段又各平分為二段則成三百
六十段矣
一直線上欲作一三十度角則将甲乙線照分度圓之
丙丁輻線度截於戊處又以規矩一股立於甲
一股自戊處旋轉作一弧線乃以規矩取圓界
之丙庚度将弧線截於己處自己至甲作一直線即為
[002-57a]
三十度角也
有丁戊直線欲於丙處作平行線則以規立
於丙向丁戊線作弧線如甲又以規取丙甲
度立於乙向丙㸃平行作一弧線又照甲乙
度以規立於丙向第二次所作弧線處再作
一弧線則二線於己處相交自丙至乙作一
直線則成平行線也
如甲乙線上作一四方形則以規矩立於甲作丙乙弧
[002-57b]
線又立於乙作甲丁弧線又於甲乙兩頭如
法立甲丙乙丁垂線於丙丁二處相切又作
丙丁一直線即成為四方形矣
如乙圓之外有甲㸃欲於此㸃作切圓線
則於甲㸃至圓心作一直線又以乙為心
以甲為界作甲丙弧線又自甲乙線所割丁處作丁己
垂線截外圓界於丙又自丙至乙作一直線又於丙乙
線所割戊處作甲戊線則所求之切線也
[002-58a]
欲知圓界内等角之角度則三角形各六十度四界形
角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一
百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七
秒度各六十分/分各六十秒八界形角各一百三十五度九界形角
各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形
角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各
一百五十度
作函圓多界等度之各種形法則自圓心作幾輻線三/邊
[002-58b]
作三線四邊作/四線餘倣此
於輻線末各作切界線引至合角則成函圓
多界形也
作函多界俱等各種形圓法則照平分直線
法作垂線引二垂線相交處為心以角為界
即成函多界之圓形也
各形作内切圓亦照分直線法以交合處為心以邊為
界即是也
[002-59a]
一三角形一圓形欲於此圓外作切界三角
形與原有之三角形同式如圖将乙丙底線
引長作辛壬線即成乙丙兩外角即於圖作
與辛乙甲等之子癸戊角作與壬丙甲等之己癸子角
於癸己子三輻線末作垂線引而合之即成
同式形也何也盖三角形之三角相並必與
兩直角等今丑戊癸子四邊形作戊子線分
為兩形此四邊形之四角相並必與四直角等就中減
[002-59b]
戊子原作之兩直角所餘癸丑兩角相並亦與兩直角
等也又直線上内外並必與二直角等則辛乙甲外角
甲乙丙内角並之必為兩直角今戊癸子角既為效辛
乙甲所作則戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而
論則丙角必等於卯角甲角必等於寅角又可知矣
若欲於圓内作切界同式三角形如圖
任意作與甲角等度之辛角将角逐線
引至圓界作辛庚辛戊二線再自戊至
[002-60a]
庚作一直線又於戊處倣乙角作戊角引線至
壬切圓界再自壬至庚作直線即成同式形何
也盖戊壬庚庚辛戊兩形同立於戊庚之弧而
壬辛兩角同切於圓界則兩角為等因其為等此辛角
原倣甲角而為比壬等於辛則亦必等於甲也又戊角
乃倣乙角而為比亦必等也二角既等則庚角之等丙
角可知矣
勾股形作容方則以直角為心勾末為界規作一象限
[002-60b]
将弧線兩平分處作直線至直角分弦線為
兩於弦線分處作一勾垂線又作一股垂線
即成兩直角也
有甲乙直線欲将此直線為正方對角線與正方邊相
較之所餘求作一正方則以甲乙線為一邊線作一小
正方作甲丙小對角線又以丙為心乙為界作一圓又
引甲丙線至戊作甲戊為大正方一邊線
作大正方即是所求之正方也何也引甲
[002-61a]
乙線至己為對角線乙己之線與戊己之線等盖丙乙
丙戊同為小圓之輻線則戊乙兩角為等也若於丙乙
己丙戊己二直角内減去乙丙戊則所餘乙戊兩角又
等也兩角既等則兩邊亦等而甲乙為戊己相較之餘
也
有一直線将此線為底作一兩邊等度而兩邊各一角
為上一角之倍則将兩頭各作七十二度角兩線引長
相交則上角必三十六度也若以一直線為兩邊等度
[002-61b]
線則作一三十六度角兩邊如線之長而止又作一底
線則下兩角各七十二度也
若欲以一直線為五邊形之一邊則如前於此線之兩
頭各作七十二度之兩邊等形於此形外
作切角圓形再於兩長邊弧線度各平分
之則成五邊形也何則丙乙弧之界角為三十六度若
為心角則七十二度則丙乙弧乃得圓分之七十二度
於圓分為五分之一也則於甲丙弧及甲乙弧各兩分
[002-62a]
之合成五分故為五邊形也
理分中末線将全線求大小分則将全線為一邊線作
一兩邊等度兩底角與上一角各大一倍
之三角形又作五邊形乃自甲至乙作直
線截於丙處則丁戊為全丁丙為大分戊丙為
小分得相連比例也盖丁甲乙戊兩弧線度等
則甲戊丁乙甲戊兩角度必等又戊甲乙角與
戊丁乙角共立於乙戊弧則角度亦等也再甲戊乙與
[002-62b]
戊甲丁兩角本相等若以等角内減去甲丙戊形則所
餘丁甲乙丁戊乙兩角必等矣然則丁戊乙角原係與
乙丁戊角為大一倍作者則丁戊乙角比甲戊丙戊甲
丙兩角為等矣其丁丙甲角因為甲丙戊之一外角與
丙甲戊丙戊甲兩内角為等而丁丙甲與
丁甲丙兩角為等矣因其等則丁甲丁丙
兩線為等也又丁甲甲戊兩線原等其甲
丁戊角必與甲乙丁角等而丁戊甲甲戊
[002-63a]
丙大小兩三角形内小三角形之丙甲戊角與大三角
形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角與丁戊甲之戊
角原係共角亦必等因大小兩三角形既等是為
同式則以戊丁線與甲丁線相比之比同於以戊
甲線與丙戊線相比之比例而丁甲與丁丙等戊
甲與丁甲等亦與丁丙等則以丁戊全線與大分丁丙
相比之比同於丁丙大分與丙戊小分相比之比例為
相連比例也
[002-63b]
欲平分甲乙一直線為數段則於甲乙末各作
一直線如丙丁将丙丁各為平分作線割甲乙
線則甲乙線亦為平分也於是甲乙線與乙壬線之比
同於甲丁線與丁己線相比之比例矣
又如有甲乙線於己辛兩處分為三分
又有丙丁一線亦欲分為三分為相比
例三率則以甲乙線丙丁線為平行線
自甲乙之末各分直線切丙丁線末至
[002-64a]
戊相㑹又自辛己兩處各作兩線亦合於戊則丙丁線
即分為三分而為甲乙線之相比例三率矣
有直線二率作與此相連比例三率線法如有八分
甲乙四分甲丙之二線求作一二分
之相連線則将甲丙甲乙二線合成
甲角又於乙末増甲丙線度為甲戊
線自乙至丙作一直線又於戊作乙
丙之平行線如戊己将甲丙線引至己處則所引丙己
[002-64b]
線度即為二分之分而為甲乙甲丙相連比例第三率
也甲乙甲丙乙戊丙己為比例四率乙戊同甲丙除去/不用則甲乙與甲丙之比同扵甲丙與丙己之比也
有直線三率欲作相比例第四率線再
為相比例數率線則照様作甲丙線而
以甲乙線度截於乙處乃用規矩以甲
為心以乙為界作一弧線而取乙丁線
度一股立於乙一股交於弧線得相交
之丁處遂作乙丁線又作甲戊線切丁
[002-65a]
末如甲丙度長又作與乙丁平行之戊丙線其戊丙線
即為第四率也盖甲丙全與甲乙段之比同於丁乙平
行線與戊丙底之比比例同也若欲作相比例數率則
将甲戊甲丙線引長如癸子中作平行
數線分為五叚即得十相比例率也故
以甲乙與甲丙之比同於丁乙與戊丙
之比例甲丙與甲己之比同於戊丙與
庚己之比例甲己與甲辛之比同於庚
[002-65b]
己與壬辛之比例甲辛與甲癸之比同於壬辛與子癸
之比例也
比例尺二股各有平分線分為二百餘分假如有丁戊
一線欲分為十分則以規矩取丁戊線度立於尺各
二百分之乙丙二㸃将尺乙丙二處照丁戊線度開
之使不移動次以規矩立於尺之第二十分
之己庚二㸃取己庚之間度此間度即是平
分丁戊線為十分之度也何也如甲乙丙三
[002-66a]
角形為己庚平行線所截則甲己與甲乙之比同於己
庚與乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分為十分之
一乙丙十分己庚一分亦為十分之一也
於比例尺作圓之諸弦線之總線法則自甲之合處至
乙丙二末作二線於甲乙之丁處為心以甲乙兩末為
界作半圓而分半圓界為百八十度自甲處至所分圓
界各作弦線而立規矩一股於甲處又以一股於戊二
十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十
[002-66b]
度子百四十度丑百六十度等處取弦線度各作於甲
乙甲丙兩線上即為諸弦線度之總線也
其取用之法若欲知寅角之度則以規矩
一股立寅處一股任意作夘辰弧線隨取
寅夘輻線之度立於尺之六十度之丁未
處将尺之丁未照輻線度開之勿動乃将
規矩取夘辰弧線之度放於尺兩股所容中間何處恰
好若恰容在八十度之申酉處則是現原有寅角八十
[002-67a]
度之弦線也何則若作丁未申酉二直線則甲申酉之
三角形為平行之丁未線所截則甲丁與甲酉之比同
於丁未與申酉之比也然則甲丁為六十度弦線甲酉
為八十度弦線其與底平行之丁未線既與小圓輻線
等所以丁未線為小圓六十度之弦線申酉線亦為小
圓八十度之弦線以此知寅角夘辰度之為八十度也
如此凡大小圓之輻線度安於尺之六十度處照此開
之其大小圓之諸弦線之度俱現於兩股間也以六十/度通弦
[002-67b]
即半/徑故
於比例作分平面線法自甲之合處至乙丙
二末作直線截甲丙線於丁處照甲丁度於
甲末作甲戊垂線自戊處至所截丁處作戊
丁線照戊丁線度将甲丙線截於己處自戊
至己作戊己線又照戊己線度将甲丙線截
於庚處自戊至庚作戊庚線照此不止作至
丙末又将甲乙線亦照甲丙所截截之即成分平面線
[002-68a]
也何則於甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲
丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊兩方者
也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方
為大一倍甲庚方大甲丁方為二倍也由是推之甲庚
方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此則甲
辛甲壬等界上方俱是大於甲丁界上方三倍四倍可
知也苟有一癸子平面四方形欲大於此形二倍之四
方形則以規矩取癸子界度立於丁處将尺照此度開
[002-68b]
之勿動次将規矩取尺庚寅處度作方即大於癸子方
二倍也盖於丁丑庚寅作二線而甲庚寅之三角為丑
丁平行線所分則以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲
庚既大於甲丁二倍則寅庚亦大於丑丁二倍矣
有二直線欲以此二線作中比例線法則将二直線相
連為圓徑以平分處為心以兩末為界作圓形然後於
二線連接處作垂線切圓界則為中比例線也
有二直線作中二率比例線如圖将二線合為直角又
[002-69a]
引作十字線如丁與丙取矩尺庚癸二
角正跨兩引線上使矩尺壬辛股二處
正切於甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊
三線其所現乙癸乙庚則為中二率線
也蓋以戊癸之丑為心戊末為界作半圓以甲庚之寅
為心甲末為界作半圓則乙癸線者甲
庚半圓徑上之垂線為甲乙乙庚之中
率也乙庚線者戊癸半圓徑上之垂線
[002-69b]
為乙戊乙癸之中率也則以甲乙線比乙癸線同於以
乙癸線比乙庚線也以乙癸線比乙庚線同於以乙庚
線比乙戊線也故曰中二率也
於比例尺作分體線法則於甲之合處至二股之乙丙
二末作甲乙甲丙二線以規矩取丁己方體之戊己界
度立於甲而截於甲乙線之庚處次作大於
戊己界一倍之辛壬線依前法求得中二率
為癸子丑寅二線将癸子界作見方體則此
[002-70a]
體大於丁己見方體一倍也盖四線為相連比例率而
戊己與辛壬為加二倍之比例則丁己卯子二體為同
式而以戊己癸子各一界相比之比例為加二倍之比
例也戊己辛壬二線之比因同於丁己卯子二體之比
例若辛壬第四線大於戊己一倍則卯子體亦大於丁
己體一倍矣次将規矩取癸子界度一股立於甲一股
照此度截於甲乙線之辰處則此度所作方體大於原
丁己體一倍矣再作比原丁己體之戊己界長二倍之
[002-70b]
己未線照前求中二率之申酉戌亥二線将
申酉第二率線度取於規矩一股立於甲一
股截甲乙線之乾處則甲乾界度所作方體
比原丁己體為二倍可知也照此不止作大
於丁己體之戊己界或三四倍或五六倍之
長線如前求得中二率将所求第二率度截於尺線上
即成比例尺之分體線也若有一坎庚見方體欲作一
大於此二倍之體則以規矩取坎庚體之艮庚界度将
[002-71a]
比例尺之所截庚處照此開之勿動次将比例尺第三
所截乾處之開度取於規矩即是大於坎庚體二倍之
形界盖甲庚線與甲乾線之比同於以庚庚與乾乾線
之比例甲乾上方大於甲庚上方二倍則乾乾上方必
大於庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之
界度長一百釐則以此界一百釐自乘再乘則此體積
共乙百萬釐大此一倍之體數為二百萬釐其二百萬
釐體之一面界度為一百二十五釐又大二倍之體數
[002-71b]
為三百萬釐其三百萬釐體之一面界度為一百四十
四釐如此累加将外界之釐數書明又将釐度分於尺
寸欲書入比例尺則将所書之數以規矩取所分之度
初照一百釐界度截比例尺之庚處次照一百二十五
釐界度截於辰處三照一百四十四釐界度截於乾處
不止至末與前法所分俱為同也
有一直角四界形作為與此等積之正方形如圖将甲
乙乙丙合為一直線求得中率之丁乙線作丁戊正方
[002-72a]
形為與甲丙等積也盖相連比例三率其中
率自乘之積與首率末率相乗之積等故丁
己上方與甲乙乗乙丙之方等積也
凡有三角形知其一角之度及角兩旁之界
度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知
角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角為三十七
度角兩旁丙甲界長十四丈丙乙界長十三丈則作與
丙角為等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作為十四
[002-72b]
分長丁己界作為十三分長自戊至己作直線相㑹與
甲乙丙大形同式将戊角之度取於規矩安於分度圓
界看容多少便知戊角度若干若容七十度則大形甲
角之度亦為七十度矣又小形己角可知為七十三度
則大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九
分可知大形甲乙界之為九丈矣餘皆如此盖即小以
知大舉一以例餘也
作不用比筭測髙深廣逺各種三角形之儀器法先作
[002-73a]
甲乙丙半圓界分為百八十度将此半圓之丁甲丁乙
丁丙三半徑線每每分為一百分各作直線縱橫相交
㑹如碁局再於徑線之兩末作兩立表
安住不動又於丁心處如圖作一逰表
如戊己将逰表亦如半徑度分為二百
分再於此儀器後面掛一墜線為庚即
可按線而測矣如欲測旗杆之髙則将
儀器之丁心安於所立之處定准墜線
[002-73b]
以甲乙徑線兩末之立表與旗杆癸處對准為地平穏
住不動再将戊己逰表與旗杆尖之辛處相對准次量
所立之丁處至旗杆癸處得若干若得四十丈則看儀
器地平線上自丁心起用四十分當四十丈如子再㸔
子處垂線與上逰表相交處得若干若得三十分如丑
則旗杆之髙為三十丈也若欲測丁辛弦線數則㸔自
丁至丑相交處得若干分若得五十分則相當數為五
十丈也若欲測丁癸辛三角形之各角度則癸角既為
[002-74a]
直角再㸔圓界自乙至遊表相交處得若干度為丁角
度與九十度相減所餘者為辛角度也
畫地圖者選戊己兩處可以盡見諸形先於戊處立儀
器指諸要𦂳數處看所成之數角各得幾何度記之次
移儀器到己處将不動表與己對准為地平亦指於諸
要𦂳數處看所成之數角亦各幾何度亦記之然後取
一幅紙任意作一線為戊己相當線将前所測角度倣
而作之一 一與前相當成數三角形其中邊所有之形
[002-74b]
一一畫上即成圖也若将大圖蹲入小圖則将大圖分
為數正方形小圖亦分為數正方形與大圖相當将大
圖中某方形内所函之山河城渠村林依蹲
而入於小圖即與原大圖同也 凡有多界
形倣此或為大或為小之同式形方如甲乙
丙丁一無法形欲減各界之半作同式形則
任意自一壬處作諸對角線又任意将甲乙
界之度取其半為甲乙平行線作於甲壬乙
[002-75a]
壬二線之間恰容癸子處照此於對角線間作諸界之平
行線則所成癸子卯己之形即是原有形每界減一半
之同式小形也苟欲作大於原有之形則将對角線任
意引長而照前任意加為界度與原界作平行線即成
所欲作之大形也或自一角發線亦可
凡兩數相乗者平行方數也如二三相乗為六是也三
數連乗者立方數也如二三乗得六又乗以四則為四
六二十四也以上為幾/何原本
[002-75b]
凡一與三之比同於四與十二之比一與五之比同於
十二與六十之比二之比三亦猶四之比六也六之比
九也盖凡可以倍計者皆可為比例二其二而為四二
其三而為六三其二而為六三其三而為九故三與九
之比同於六與三十六之比按末句/有誤數
凡可以度盡大數之衆小數相合於此加數根之一所
得之總數與所度之大數等也如大數有六可以小數
二三度盡若加數根一則亦六也
[002-76a]
大數二十八可以小數二四七十四度盡若将二四七
十四與數根之一并之則亦二十八也
有一比例數求與此比例相等之相連比例數法如三
與五之比例求與此比例相等之相連比例幾将三自
因得九又三與五因得十五又五自因得二十五則此
九與十五及二十五之三數為三與五比例相等之相
連比例三數也三與五之比同於九與十五之比例九
與十五之比同於十五與二十五之比為相連比例也
[002-76b]
又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五與
七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十
七四十五七十五一百二十五之四數為三與五比例
相等之相連比例四數同於三與五之比例也
凡一數除衆數所除得數之比同於原衆數之比也如
以三歸十二而得四以三歸十五而得五則四與五之比
若十二與十五之比也而四與十二之比同於五與十
五之比也
[002-77a]
有同相比例四數其首末相乗所得數與中兩數相乗
之得數等也有相等兩方數則此縱與彼縱之比同於
以彼横與此横之比也如四六相乗與三八相乗皆為
二十四則以此之六比彼之八以彼之三比此之四比
例為等也
凡以兩數除一數而盡此得之兩數相比若所用以歸
除兩數之比也如四除三十六而得九六除三十六而
得六則九六兩數之比若六四之比也
[002-77b]
凡有平加衆數此衆數内之凡一數若作為原數将此
數以上有幾位平加幾次相差之數與首數並之得數
為與原數等也如上所列之數若将十五作原數此十
五以上有四位而衆數原平加之數係三若将三之四
次數而與首數三相並得十五與所作原數之數等也
由此推之若於平加衆數内凡減一位将所餘之位數
與原平加之數相乗得數與衆小數内至小數相並與
衆數内至大數為等也假如上六數内減一數餘五數
[002-78a]
将此五與平加之三相因得十五與至小數三相並得
三六九二五八/ 一一一 十八為與至大數相等矣
凡平加衆數若将此數内之兩數相並所得數與兩傍
相等隔位之他兩數相並得數等也如十二與九為廿
一十五與六亦廿一十八與三亦廿一也盖升愈升降
愈降合降與升則但見平也
又将此内凡一數之兩傍數相加折半即與中間數等
也如十五加九為廿四折半斯得十二矣十二加六為
[002-78b]
十八折半斯得九矣十八加十二為三十折半斯得十
五矣其理則前節可推也
又此平加衆數若将首末兩數相加以所有幾位之位
數相乗得數折半則與原有衆數之總數等也如十八
加三為廿一以位數六乗之得乙百二十六折半得六
十三與衆數之總數等也盖照前節推六數相加合成
三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒數
理亦相同
[002-79a]
凡平加之位若是竒數則以中一位之數與位數幾相
乗即得衆數之總數也如所列以中一位一○乗位數
五得五十即為衆數之總數也盖首尾相加乗位數折
半而得總數今中位乃首尾相加之一半故以乗位數
四七○三六/ 一一一總數○/五 即為總數也
凡有自一每位平加二比例衆竒數之總與位數自乗
之得數等也如所列總數得四十九以位數七七自乗
亦四十九也若一三五七九五位總數二十五以位數
[002-79b]
五自乗亦二十五也理如前節以中一位數乗位數同
盖七位則七為中五位則五為中故也亦如首乗相並
一三五七九一三/ 一一 折半乗位數之理也
凡有自二每位平加二之比例衆偶數以位數加一以
與位數相乗即與衆數之總數等也如所列位數是七
加一為八以與位數七相乗為五十六即總數之數也
亦即首末相加折半乗中一位之理也若位數是偶則
二四六八○二四/ 一一一 以位數自乗可得衆數之總數也
[002-80a]
凡平加比例之衆數如所列以小數一與大數十一相
減餘十以平加數根二除之得五再加入小數一得六
一三五七九一/ 一 即原有之位數也
凡平加比例知小數及位數與平加數根而求大數法
如所列知小數三知位數六知平加數根四将位數六
減一餘五與平加數四相因得二十加十入小數三即
大數為廿三也
若欲知小數則亦以位數六減一餘五與平加數四相
[002-80b]
因得二十以與大數十三相減餘三則此三即為至小
數也
若知小數及位數及平加數根而求知總數則先察得
大數為二十三加入小數三為二十六以與位數六相
乗得一百五十六折半得七十八為所求之總數也
若知大數及平加數根及位數而求知總數法亦如之
若知大小兩數及位數求平加數根法則将三與廿三
相減餘二十又将位數六減一為五除之得四則此四
[002-81a]
為平加數之根也
若知大小兩數及平加數根而求位數法則将大數與
小數相減餘二十以平加數四除之得五加一為六即
是所求之位數也
若知平加之數根與位數及衆位之總數而求至大至
小之兩數法則将總數七十八以位數六除之得十三
為首末兩數相加之一半又将十三加倍作廿六為首
末兩數相加之總數乃将位數六減一餘五與平加數
[002-81b]
根四相乗得二十為至大數又将前所得之二十六與
此二十相減餘六為小數之加一倍數此數折半為三
是所求之至小數也将三加入二十得二十三為所求
之至大數也此法之理備於前矣
凡不等兩數求一數可以度盡之法如二十與廿四相
減餘四又将四與二十相減餘十六以十六與四相減
餘八以四減八則無餘則此四為度盡兩數之數也謂
之轉減亦謂之紐數
[002-82a]
三邊無角不可以相比例則必先求中長線以為正弦
然後角可求也然中長線之數為正弦而僅有半徑無
角無餘弦則其數又不可知故以勾弦求股之術求之
除一邊為弦則總較之術所求者勾也盖兩弦之總之
較既具於上兩邊矣所求者欲破下邊以為兩勾而得
其較耳兩弦之總乗弦之較以兩勾之總除之必得較
矣鈍角則以較/除而得總以勾較之餘取其半以益較必得大勾
矣存其半必得小勾矣如此則中長線之數可明而勾
[002-82b]
股弦相求之術可施既得勾股之數則用以與半徑正
餘弦相比例而角可得矣
一角有角無對邊數兩邊有邊無對角數則皆不可以
互求矣然此兩邊所對之角乃與得角合成半周度是
此角之外之弧度即兩角之度也但未知兩角之大小
何如剖分耳惟外角有平行之對角與兩角之一角等
度則雖其數未可知而其形可剖欲知其數者必以兩
角之較求之欲知兩角之較者又必以兩邊之較例之
[002-83a]
兩邊有總有較半外角又有切線則可因是以求半較
角矣以半較角減半外角則小邊對角之度得矣其餘
一角則可以三隅反矣
三較連乗者求三角容圓之半徑也○三較者三邊與
半總相較之餘也三較連乗所得之數乃容員半徑自
乗又乗半總之數也故以三較連乗為中率而以半總
除之則得容員半徑之積數矣以積數開方則得半徑
矣○兩數所以相合者何也盖引伸三較於一邊則半
[002-83b]
總也從兩邊之角直剖為長線於第一較處横斷作小
勾即容員半徑也至末總斷作大勾而以容員半徑乗
之即二較三較相乗之數也小勾自乗比乗大勾如第
一較與半總之比例則二較相乗以小勾自乗乗之亦
如第一較與半總之比例
闕/
錢百文買果百顆 梨一顆錢三文 柑一顆錢二文
橄欖七顆錢一文 算得梨四顆錢十二文 柑四十
[002-84a]
顆錢八十文 橄欖五十六顆錢八文按此條前後/皆有闕文
[002-84b]
莊氏算學卷二
