[001-1a] 
欽定四庫全書
莊氏算學卷一
淮徐海道莊亨陽撰
梅勿庵開方法
一平方
平方四邊相等今所求者其一邊之數西法謂之方根
方者初商也初商不盡則倍初商之根為廉法除之得
兩廉又以次商為隅法自乘得隅以補兩廉之空而成
[001-1b]
正方形是謂次商又不盡則合初商次商得數倍之為
㢘法除之得次兩廉又以三商為隅法自乘得隅以補
次兩廉之空而成正方形自此而四商五商倣而加之
能事畢矣
凡減隅積皆視其隅數為何等隅數是單則積止於單
位隅數是十其積止於百位百止於萬位千止於百萬
位萬止於億位每隅法大一位則隅積大兩位所以初
商減積止初㸃次商減積止次㸃三商四商五商皆可
[001-2a]
以類推也自單位作㸃起每隔一位㸃之有/二㸃商數有十三㸃商數有百也
凡初商得一二三四皆書於㸃之上一位商得五六七
八九皆書於㸃之上兩位其故何也五以上之廉倍之
則十故豫進一位以居次商四以下雖倍之猶单數也
所以不同
大約所商单數必在亷法上一位乃法上得零之理也
開方有實無法廉法者乃其法也
次商用歸除凡歸除得數皆書於籌之第一位今須看
[001-2b]
次商所減之數其籌行内第一位是空與否若不空即
以次商得數對餘實首一位書之若第一位是空則以
次商得數對餘實上一位書之雖不離籌之第一位而
所商之有空位無空位出矣立方審空位之法亦然
一立方
平方則一方次合兩廉一隅以成方面立方則一方次
有三平廉以輔於方之三面又有三長廉以補三平廉
之隙又有小方隅以補三平廉之隙推之三商四商皆
[001-3a]
然而方體成矣
三平廉長濶相同皆如初商數三長廉長如初商數其
兩頭髙與濶則如次商數
立方三位作㸃者自乘再乘之積止於三位也初商㸃
在首位則獨商首位㸃在次位則合商兩位在三位則
合商三位也凡初商得一數者書於㸃上一位得二三
四五者書於㸃上二位得六七八九者書於㸃上三位
其故何也盖開方以廉為法而平方只有二廉其廉之
[001-3b]
積數只有進一位故一進而足立方則有三平廉而其
積數有進一位者有進兩位者故必立三等也要其豫
為續商之地使所得單數居於法上之一位則同方單
一其廉法單三若方單二則廉法一十二變為十數進
一位矣故一用常法二用進法也方單五其廉法七十
五若方單六則廉法一百零八又變百數進兩位矣故
五用進法而六以上用超進之法也
三平廉用自乘者三平面積也三長廉則未有積故與
[001-4a]
平廉異也次商數自乘以乘長廉者每長廉之一數各
分次商自乘之數也
一平方帶縱
平方帶縱者長方面也初商得平方與縱方縱方之濶
如平方之數長則加所設縱之數次商得廉縱一廉二
隅一蓋倍廉不倍縱一為帶縱之廉一為不帶縱之廉
也用法與平方相似但初商時必以初廉得數乘縱數
為縱方積然後合兩積以減原實為稍異耳
[001-4b]
若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則於初
商位紀○而紀其改商之數於○下若次商者然既為
次商則減積亦盡於第二㸃
初商得五至得九皆書於㸃上二位不論縱之多寡若
得四以下則視縱之多少而為之進退法以縱折半加
入初商單從單十從十/百千各以類加若滿五以上則亦進書於㸃之
上兩位如初商三而縱有四初/商四而縱有四之類若縱數少雖加之而不
滿五則仍書於㸃之上一位如初商四而縱只有一初/商六而縱只有二之類
[001-5a]
搃而言之所商單數皆書於廉法之上一位故初商得
數有進退之法乃豫為廉法之地以居次商也初商五
以上倍之則十雖無縱加廉法已進位矣初商雖四以
下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而為廉法也亦
滿十而進位矣㢘法進位故初商亦必進蓋豫算所商
單數已在廉法之上也
又初商若得單數其廉法即為命分凡商得單數必在
命分上一位凡開方皆然
[001-5b]
一立方帶縱
凡立方帶縱有三一只帶一縱如云長多方若干或高
多方若干是也一帶兩縱而縱數相同如云長不及方
若干髙不及方若干是也一帶兩縱而縱數不相同如
云長多濶若干濶又多髙若干是也大約帶一縱者只
有縱數而已帶兩縱者有縱數又有縱方故其術不同
立方帶一縱者長多於方謂之横縱髙多於方謂之直
縱初商得立方一方縱一合成長立方形次商平廉三
[001-6a]
内帶縱者二長廉三内帶縱者一小隅一合七形而成
一形三商以上者皆倣此
以積實列位作㸃如立方法截首一㸃為初商之實視
立方表中積數有小於初商實者用其方根為初商得
數用其積數為初商積數次以初商自乘以乘縱數為
縱積合計立方積縱積共數以減原積而定初商不及
減者改商之及減而止
次商則以初商得數自乘而三之又以縱與初商相乘
[001-6b]
而兩之共為平廉法或以初商三之縱倍之併其數以
乘初商或以初商加縱而倍之併初商數以乘初商竝
同所謂帶縱㢘二/不帶縱廉一也又以初商三之加入縱為長廉法所/謂
帶縱廉一不/帶縱廉二也乃以平廉法約第二㸃上餘實商除得數
為次商於是以次商乘平廉法為三平廉積又以次商
自乘以乘長廉為三長廉積就以次商自乘再乘為隅
積合計平廉長廉隅積共若干以減餘實不及減者改
商之及減而止
[001-7a]
三商則以初商次商所得數加縱而倍之併商得數為
法仍與商得數相乘為平廉法又以初商次商所得數
三之加縱為長廉法以除原實如次商法餘倣此
列商得數依立方法得一書於㸃之上一位得二三四
五書於㸃之上兩位得六七八九書於㸃之上三位若
縱數多廉法有進位則宜用常法者改用進法宜用進
法者用超進之法宜超進者更超一位書之其法於次
商時酌而定之蓋次商時有三平㢘三長㢘再加隅一
[001-7b]
為命分之法法上一位單數也從此單數逆尋而上自
單而十而百而千至初商位止有不合者改而書之若
與初商恰合不必強改此法甚妙平方帶縱亦可用之
也
若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得數
改退小一等數者皆不用最上一㸃而以第二㸃論之
此尤要訣不可忘或於初商外作圈而以所商小一等/數書於圈下亦可以上一㸃論也
立方帶兩縱縱數相同者如髙不及方若干則方之横
[001-8a]
與直俱多於髙是為兩縱初商有縱廉二縱方一并立
方而四蓋兩縱廉輔立方之兩面而縱方以補其隅合
為一短方形也次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者
一長廉三内帶縱者二不帶縱者一小隅一共七形合
一短方形也
用法先以縱倍之為縱廉法又以縱自乘為縱方法乃
如立方法列位作㸃視表中求初商方數及立方積次
以初商得數乘縱方數為縱方積又以初商自乘數乘
[001-8b]
縱廉數為縱廉積合計縱方縱廉立方之積共若干數
以減原實而定初商不及減改商之及減而止
次商則以初商得數加縱倍之以乘初商得數所謂帶/一縱之
廉二/也又以初商加縱自乘得數所謂帶兩縱/之廉一也併之共為
平廉法或以初商三之加縱以初商加縱乘之亦同次
以初商加縱倍之併初商數共為長廉法所謂帶縱者/二不帶縱者
一/也或以初商三之縱倍之亦同乃置餘實列位以廉法
位酌定初商列法而進退之以平為法而除餘實得數
[001-9a]
為次商皆所以減首位是空/與否而為之進若退或合平廉長廉兩法以求
次商亦同於是以次商乘平廉法為平廉積又以次商
自乗數乗長廉法為長廉積又以次商自乗再乗為隅
積合計平廉長廉隅積共若干以減餘實而定次商又
法以次商乗長廉法為長廉法又以次商自乗為隅法
併長廉平廉隅法以與次商相乗為次商廉隅共積以
減餘實亦同不及減者改商之及減而止三商四商倣
此
[001-9b]
立方帶兩縱縱數不相同者如長多於濶髙又多於長
初商有大廉縱一小廉縱一縱方一并立方形而四蓋
大廉縱以輔髙之一面小廉縱以輔長之一面而縱方
以補兩縱之闕也次商平廉三内帶小縱者一帶大縱
者亦一兼帶兩縱者又一長廉三内帶小縱者一帶大
縱者一不帶縱者一小隅共七形合成不等方形也
用法以兩縱相併為縱亷以兩縱相乗為縱方乃如立
方法列位作㸃求初商之實以立方表求得初商立方
[001-10a]
積次以初商乗縱方數得縱方積以初商自乗乗縱廉
數得縱亷積合計三積以減原實皆如前法
次商則以初商長濶維乗得數而併之為平廉法又以
初商長濶髙併之為長廉法乃置餘實列位以平廉酌/定初商之
位而進/退之遂以平廉為法求次商以次商乗平廉為平廉
積以次商自乗數乗長廉為長廉積以次商自乗再乗
為隅積合三積以減餘實不及則改及則止以待三商
餘倣此
[001-10b]
凡不能成一單數者則以所商長濶髙維乗併之如平
廉又以長濶髙併之如長廉又加單一如隅為命分母
以所餘之數為命分子
維乗之法如初商三十尺為濶加縱五尺共三十五尺
為長又加縱一尺共三十六尺為髙濶乗長得一千零
五十尺髙乗濶得一千零八十尺長乗髙得一千二百
六十尺併三維乗數共得三千三百九十尺為平廉法
若合長亷加隅一即為命分母也
[001-11a]
若在次商後則加次商得數若在三商後則加三商得
數
用籌法
開方用籌㨗法廉隅二形也故有二法今借開方大籌
為隅法列於亷法籌下而共商之則隅亷合為一法而
用加㨗矣存前法者所以著其理用㨗法者所以善其
事
既得初商即倍根數為廉法以亷法數用籌如商根為/四則用八
[001-11b]
商根為六/則用十二以列於立方籌之上為廉隅共法合視共法
籌某行内有與次商之實同者或畧少者減實以得次
商以本行内方根命之既得次商則合初商次商倍之
以其數用籌列平方籌以求三商四商以下倣此
隅者小平方也故可以平方籌為法廉之數每大于隅
一位今以平方籌為隅列於廉下則隅之進位與廉之
本位兩半圓合成一數故亷隅可合為一法也何以知
亷大於隅一位也曰有次商則初商是十數矣平方之
[001-12a]
廉法是初商倍數故大於隅一位
若次商之實小於廉隅共法之第一行則知次商是空
位也不能成一/數故空則於廉法籌下平方籌上加一空位籌
為廉隅共法以求三商既得三商則合初商三商數倍
之去空位籌以倍數用籌列於平方籌之上以求四商
如初商得四次商得空則用空位籌列於八籌之下及
三商既得九則倍四○九而為八一八之數空位籌可
不用矣若兩空位則加兩空籌三空位則加三空籌餘
[001-12b]
倣此
凡餘實必在商數下一位起倘空位則可作圏補之又
凡亷隅共法籌第一行數即命分母也盖能滿此數即
成一單數矣
若立方則以初商數自乗而三之為平廉法以平亷法
用籌列於立方籌之上為平廉小隅共法别以初商數
三之而比共法尾位進一位為長亷法以長亷法用籌
列於立方籌之下法于長廉法籌下加一/空籌以合進一位之數
[001-13a]
視共法籌内有小於實者為平廉小隅共積用其根數
為次商次以次商自乗數即平方籌/之積數與長廉法相乗以/平
方籌之數尋長廉籌之/行取其行内積數用之得數加入平隅共積為次商搃
積以減次商實乃如法以求三商餘倣此
隅者小立方也故可以立方籌為法平廉之數每大於
隅二位今以立方籌為隅法列於平廉下則隅之首位
與平亷之末位兩半圓合成一數故平㢘小隅可合為
一法長㢘之兩頭皆如次商自乗之數故可以平方乗
[001-13b]
之又長㢘之數每大於隅一位故於下加一空籌以進
其位便加積也何以知平㢘大于隅二位而長亷只大
一位也蓋平㢘者初商自乗之積也初商於次商為十
數十乗十則成百數矣隅積者次商本位也故平㢘與
隅如百與單相去二位也若長㢘則是初商之三倍位
同初商初商與次商如十與單故長亷與小隅亦如十
與單相去一位也
若次商之實小於平廉小隅共法之第一行或僅如共
[001-14a]
法之第一行而無長廉積則次商是空位也法於初商
下作空位圈以為次商而于平㢘籌下立方籌上加兩
空位籌為三商平亷小隅之共法以求三商其長㢘法
下又加一空位籌并原有一空位籌共兩空位籌為三
商長㢘法或長㢘不必加空籌但于得數下加兩圜若
商數有兩空位者平㢘下小隅上加四空位籌長㢘積
下加三圈
蓋有空位則所求者三商也初商與三商如百與單而
[001-14b]
平㢘者初商之自乗百乗百成萬故平㢘與三商之隅
如萬與單大四位也此加兩空籌之理平㢘原大二位/加二空籌則大
四位/矣
初商與三商既如百與單則長㢘與隅亦如百與單大
兩位也此又加一空籌之理也
命分還原法如原實八步開得方二步除實四步不盡
命為方二步又五分步之四然在兩亷可得五之四在
隅則得二十五分步之十六而已實不及五之四也故
[001-15a]
通分法還原以分母五通二步得一十分又納分子四
共一十四分自乗得一百九十六為實以命分五自乘
得二十五為法除之只得七步又二十五分步之二十
一以較原實少二十五之四矣故必另置分母五以分
子四減之餘一以轉乗分子四得四即隅差也加隅差
入方積中然後以分母自乗除之則合原積矣
若立方積一十七步開得立方每面二步除八步餘九
步如法命為立方二步又十九分步之九在平㢘可得
[001-15b]
十九分步之九在長㢘與隅則不滿也法以分母十九
通二步為三十八分又納分子九分共四十七分為立
方全數以全數自乗再乗得一十○萬三千八百二十
三分為通積另置分母十九自乗得三百六十一内減
分子九自乗八十一餘二百八十分以分子九乗之得
二千五百二十分為隅差又置分母十九内減得分九
餘十分轉乗分子九得九十分以乗命分母十九得一
千七百一十分為長亷每步虚數又以長㢘法六步乗
[001-16a]
之得一萬○二百六十分為長㢘差合二差共一萬二
千七百八十分以加入通積共得一十一萬六千六百
○三分為實以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分
為法以除實得一十七步合原積
[001-16b]
莊氏算學卷一
