[005-1a] 
欽定四庫全書
莊氏算學卷五
淮徐海道莊亨陽撰
中西筆算
度量權衡
度法
丈 尺 寸 分 釐 毫 絲 忽 微 纎 沙
塵埃 𣺌 漠 模糊 逡巡 須㬰 瞬息 彈指
[005-1b]
刹那 六徳 虚空 清浄俱逓以/十析
量法
石 斗 升 合 勺 撮 抄 圭俱逓以/十析 粟六/粟
為/圭
權衡
兩 錢 分 釐 毫 絲 忽俱逓以十析忽以/下並與度法同
凡丈 石 兩以上則為十 百 千 萬逓増/十倍 億
兆 京 垓 秭 穰 溝 澗 正 載 極
[005-2a]
恒河沙 阿僧秖 那由他不可思議無量數億/以下俱逓増萬倍
田法
頃百畆/為頃畆二百四十/步為一畆分二十四/步為分步方五尺/為步
斤法
斤十六兩/為一斤兩以下俱與/權衡同
里法
里三百六十步為一/里計一百八十丈
厯法
[005-2b]
周天十二宫/為周宮三十度/為宫度六十分/為度分 秒 微 纎
忽 芒 塵俱逓以/六十析
日時
日十二時又為/二十四小時時八刻又為/二小時刻十五/分分以下俱與前同
石法
石積二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此係舊法/如以尺度較倉積先將現用斗較准然後用為比例
方得宻/合也
命位
[005-3a]
凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分
釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈則進
而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺則進而
為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆
為竒零命斗為單位則升以下為竒零而石則進而為
十若命升為單位則合以下為竒零而斗則進而為十
石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐毫皆為竒
零命錢為單位則分以下為竒零而兩則進而為十若
[005-3b]
命分為單位則釐以下為竒零而錢則進而為十兩則
進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千
為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以
單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣
至于厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位
如宫曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類
葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而
進宮故常列一位即命一等者宫度時刻則兩位命為
[005-4a]
一等而每一等有十單之列焉此又命位之最要者也
加法
加者命衆數而總成也葢數始于一終于九至十又復
為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為
一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之
數合前後之位言之有單十千萬之等先自單數加起
成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次并之
即得總數若夫宮度時刻斤兩之數則不以十進必足
[005-4b]
所命之分始進一位
減法
減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有之
數書于上應減之數書于下横列必對其位相減必從
其類如千減千百/減百之類如或下數大于上數不足減則借前
之一以減本位加法由後而進前減法則/借前而退後其理一也前位作一㸃
以誌之既得本位則前位所借之一并于前數而為減
數然數相減必先辯其多寡首位必大于減數始可其
[005-5a]
定位亦然原列之次為減餘位
因乗
因乗者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾
數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至
于繁而無統此因乗之所以立也因者一位相因而得
如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而
得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積
之也其法以原數為實乗數為法實列于上法列于下
[005-5b]
必使法實相當如千對千百對百十/對十單對單之類按法乗實合而加
之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有竒
零與否如無竒零則實中所命之單位相對即法尾之
數若有竒零則法實相乗者法實之一位統得數之二
位如單位後竒零有一位則截得數之二位竒零/有二位則截得數之四位向前為單位紀之法實
相乗再以法乗者即自乗/再乗也法實之一位統得數之三位
如單位後竒零有一位則截得數之三竒零/有二位則截得數之六位向前為單位紀之是故得數
以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自
[005-6a]
乗之類以三位論者則為自乗再乗之類錯綜交互用
法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如
于左
開平方法
平方積者兩數相乗所得之數也開之之法每方積二
位得方邊一位
法以自乗數與方根相商以相合者即定為初商書于
積之上而以自乗之數書于初商積之下爰以方邊末
[005-6b]
位積數續書于下為次商亷隅之共積乃以初商之數
倍之為亷法以除餘積足幾倍即定次商為幾倍書于
方積之上而以次商數為隅法與亷法數相加得數為
亷隅共法書于餘積之左以次商數乗之得數與次商
亷隅共積相減減盡則已如有餘數又為第三位以後
積數商開之法與次商同
開帶縱平方法
較法
[005-7a]
法以縦方積四因以較自乗二數相加以開平方法開
之得邊總加較折半為長減較折半為濶也
又法以縱多折半自乗與原積相加以開平方法開之
得數為半和于半和較減半較得濶于半和加半較得
長也
較數縱平方有較無長濶和故四因積數與較自乗數
相加得長濶和積開方為長濶和
和數縱平方有長濶和無長濶較故用和自乗得和積
[005-7b]
與四因積相減餘數為較積開平方為長濶較
總之有長濶和有較者于和内加較折半為長減較折
半為濶其理同也
和法
法以縱方積數四因以和自乘得數減去四因之數以
開平方法開之即長濶相較之數以較數與和數相加
折半為長減較即濶也
又法以和數折半為半和自乗與原積相減以開平方
[005-8a]
法開之得數為半較于半和減半較為濶于半和加半
較為長
開立方法
立方者自乗再乗所得之數也有正方體之積數而求
其每一邊之數也每積數三位得邊數一位其體形有
初商之一大正方此為自一至九/自乗再乗數為首位用各數自乗
再乗為首位積以減通積餘數為次位以後積數次位
積形為磬折體包大方之三面故有三平亷其邊與大
[005-8b]
方等其厚與次商數等有三長亷其長與大方等其寛
厚皆與次商數等有一小隅係次商自乗再乗之數法
以初商數自乗相因為三平廉面積與餘積相商約得
幾倍用為少/之數即定次位為幾數然後以次商數與初商
數相乗三因為三長亷面積又以次商自乗為小隅面
積三數相并為平亷長亷小隅之共面積再以次商數
乗之為磬折形通積以減餘積減盡則止如有餘數又
為第三位以後積數開之之法與次商同
[005-9a]
開平方者有正方面之積數而求其每一邊之數也每
積二位得方邊一位以縱横之積數能至十倍故也法
以各數自乗之數除首位積其餘數為第二位以後積
數次以首位數加倍為亷法以商餘積得幾倍即定次
位為幾數並以此數為隅法然後以第二位數與亷法
隅法相乗以減餘積減盡則止再有不盡之數又為第
三位積數照前商除其法皆同
田地頃畆分法
[005-9b]
縱横方五尺為一步二百四十步為一畆一百畆為一
頃凡地縱横相乗得積步得積步以二百四十步除之
得畆數再二十四步為一分除不盡者為零若干步凡
得積丈以六十除之得畆數每邊數一丈/得積四步再六丈為一
分除不盡者為零若干丈尺
正比例
以原有之兩數及現有之一數而求所不知之一數也
其法以原有為兩數為一率二率以現有之一數為三
[005-10a]
率二率三率相乗一率除之得四率為所求三率與一
率同類四率與二率同類
[005-10b]
莊氏算學卷五
