[007-1a] 
欽定四庫全書
莊氏算學卷七
淮徐海道莊亨陽撰
正方體
邊求積
法以邊數自乗得平方面積再以邊數乗之得立方體積
如係米糓則用石法除之得石斗各數二千五百寸為一/石二百五十寸為
一斗二十五/寸為一升凡筭積糓法皆同
[007-1b]
倍積求邊設正邊/二尺
法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立
方得二尺五寸一分有餘即所求邊數
八倍積求邊
將邊數加倍即得
長方體
邊求積
法以長邊與濶邊相乗得長方面積再與髙數相乗得
[007-2a]
長方體積○如係米糓則用石法除之得石斗各
數
倍積求邊設長一尺二寸濶八寸髙四寸今將/其積倍之仍與原形同式問長濶髙
法用正立方比例先以長一尺二寸自乗再乗得立方
積一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開
立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長再用比
例以求濶與髙以原長一尺二寸為一率原濶八寸為
二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求
[007-2b]
得四率一尺零七釐有餘即所求之濶又以原長一尺
二寸為一率原髙四寸為二率今所得之長一尺五寸
一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即
所求之髙
長圓體
圓周及髙求積設圓周二十/四尺髙十尺
法用圓周求面積法求得圓徑七尺六十三寸九十五
分有餘又求得圓面積四十五尺八十三寸六十六分
[007-3a]
有餘為圓面積再與髙十尺相乗得四百五十八尺三
百六十六寸有餘即所求之長圓體積○如係米糓
或米窖問盛米幾何俱以石法除體積得石斗各數有
徑求積法同
積及髙求周徑設圓窖一座盛米一百/六十石髙十尺問周徑
法以石法二千五百寸與米數相乗得四百尺為圓窖
積以髙十尺除之得四十尺為圓窖面積乃用圓面積
求徑法用圓周三五五方周/四五二比例開平方求得圓徑七尺一寸三分
[007-3b]
六釐有餘即所求之圓徑再用徑求周法徑二三周三/五五比例
求得二十二尺四寸一分九釐有餘即所求之圓周
帶縱較數立方
帶縱立方者兩兩等邊長方體積也髙與濶相等惟長
不同者為帶一縱立方長與濶相等而皆比髙多者則
為帶兩縱相同之立方至于長與濶與髙皆不同者則
為帶兩縱不同之立方開之之法大槩與立方同止有帶
縱之異耳其帶一縱之法如以髙與濶相等惟長不同
[007-4a]
為問者則以初商為髙與濶以之自乗又以初商加縦
數為長以之再乗得初商積至次商以後亦有三方亷
三長亷一小隅但其一方亷附于初商積之方面者即
初商數其二方亷附于初商積之長面者則帶縱也其
二長亷附于初商積之方邊者即商數其一長亷附于
初商積之長邊者則帶縱也其帶兩縦相同之法如以
長與濶相等皆比髙多為問者則以初商加縱數為長
與闊以之自乗又以初商為髙以之再乗得初商積至
[007-4b]
次商以後其一方亷附于初商積之正面者則帶兩縱
其二方亷附于初商積之旁面者則各帶一縦也其一
長亷附于初商積之髙邊者即初商數其二長亷附于
初商積之長濶兩邊者即各帶一縱也其帶兩縱不同
之法如以濶比髙多長比濶又多為問者則以初商為
髙又以初商加濶縱為濶與髙相乗又加長縦為長以之
再乗得初商積至次商以後其一方亷附于初商積之
正面者則帶兩縦其二方亷附于初商積之旁面者則
[007-5a]
一帶濶縱一帶長縱也其一長亷附于初商積之髙邊
者即初商數其二長亷附于初商積之長濶兩邊者則
各帶一縱也惟小隅則無論帶一縱兩縱皆各以所商
之數自乗再乗成一小正方其每邊之數即三方亷之
厚亦即三長亷之濶與厚焉凡有幾層亷隅皆依次商
之例逓析推之法雖不一要皆本于正方而後加帶縱
故商出之數皆為小邊方體共十二面邊若帶一縦或
帶兩縦相同者則八邊相等四邊相等若帶兩縦不同
[007-5b]
者則每四邊各相等是故得其一邊加入縱多即得各
邊也
帶一縱立方
設帶一縱立方積一百一十二尺其髙與濶相等
長比髙濶多三尺問髙濶長各幾何
法列積如開立方法商之其
積一百一十二尺止可商四
尺乃以四尺書于原積二尺
[007-6a]
之上而以所商四尺為髙與濶因髙與濶等故四尺/即方之髙與濶也
加縱多三尺得七尺為長即以髙與濶四尺自乗得一
十六尺又以長七尺再乗得一百一十二尺書于原積
之下相減恰盡是知立方之髙與濶俱四尺加縱多三
尺得七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長方體
形容積一百一十二尺其甲乙為髙甲己為濶己戊為
長甲乙甲己俱四尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺
即所帶之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方積
[007-6b]
庚辛壬丙丁戊扁方形即帶縱所多之扁方積也
設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其髙濶
相等長比髙濶多五尺問髙濶長各幾何
法以初商積二千尺商十尺書于原積二千尺之上而
[007-7a]
以所商十尺為初商之髙濶加縦多五
尺得十五尺為初商之長即以初商之
髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之
長十五尺再乗得一千五百尺書于原
積之下相減餘九百四十八尺為初商
積乃以初商之髙濶十尺自乗得一百
尺又以初商之髙濶十尺與初商之長
十五尺相乗得一百五十尺倍之得三
[007-7b]
百尺兩數相併得四百尺為次商三方
亷面積以除次商積九百四十八尺足
二尺則以二尺書于原積八尺之上合
初商次商共一十二尺為初商次商之
髙濶加縱多五尺得十七尺為初商次商之長乃以初商
次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次
商之長十七尺再乗得二千四百四十八尺與原積相
減恰盡即知立方之髙濶俱十二尺其長為十七尺也
[007-8a]
設帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長濶俱
比髙多二尺問長濶髙各幾何
法以共積五百六十七尺可商八尺因留兩
縱積故取略小數商七尺乃以七尺書于原
積七尺之上而以所商七尺為髙加縱多二
尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺書于原積之下
相減恰盡是知立方之髙為七尺加縱多二尺得九尺
即立方之長與濶也
[007-8b]
設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其濶
比髙多二尺其長比濶又多四尺問髙濶長各幾
何
法以初商積三千尺商十尺書于原積三千尺之上而
以所商十尺為初商之髙加濶比髙多
二尺得十二尺為初商之濶再加長比
濶多四尺得十六尺為初商之長即以
初商之髙十尺與初商之濶十二尺相
[007-9a]
乗得一百二十尺又以初商之長十六
尺再乗得一千九百二十尺書于原積
之下相減餘一千一百零四尺為次商
積乃以初商之濶十二尺與初商之長
十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺與
初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙
十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺三數
相併得四百七十二尺為次商三方亷面積以除次商
[007-9b]
積一千一百零四尺足二尺則以二尺
書于原積四尺之上合初商次商共十
二尺為初商次商之髙加濶比髙多二
尺得十四尺為初商次商之濶再加長
比濶多四尺得十八尺為初商次商之長乃以初商次
商之髙十二尺與初商之濶十四尺相乗得一百六十
八尺又以初商次商之長十八尺再乗得三千零二十
四尺與原積相減恰盡即知立方之髙十二尺其濶為
[007-10a]
十四尺其長為十八尺也
直線體
設正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何
法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立
方得二尺五寸一分有餘即所求之方邊數也如圖甲
乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之得一十六
尺即如戊己庚辛正方體積
每邊二尺五寸一分有餘
[007-10b]
設長方體長一尺二寸濶八寸髙四寸今將其積
倍之仍與原形為同式形問得長濶髙各幾何
法以長一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍
之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一
釐有餘即所求之長既得長乃以原長一尺二寸為一
率原濶八寸為二率今長一尺五寸一分一釐有餘為
三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之濶也又以
原長一尺二寸為一率原高四寸為二率今長一尺五
[007-11a]
寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘
即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之開立方亦
得一尺零一釐有餘為所求之濶以髙四寸自乗再乗倍
之開立方亦得五寸零三釐有餘為所求之髙也如圖甲
乙丙丁長方體甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊長一尺
二寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體此兩長
方體積之比例即如相當二界各作兩正方體積之
比例也
[007-11b]
設塹堵體形濶五尺長十二尺髙七尺問積幾何
法以濶五尺與長十二尺相乗得六十尺
又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得
二百一十尺即塹堵體形之積也
[007-12a]
又法以濶五尺與髙七尺相乗得三十五尺折半得一
十七尺五寸與長十二尺相乗得二百一十尺即塹堵
體形之積也如圖甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲乙髙
與乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面積又與丙丁
長相乗即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也
設芻甍體形濶四尺長十二尺髙四尺問積幾何
法以濶四尺與長十二尺相乗得四十八尺又與髙四
尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即芻甍體
[007-12b]
形之積也
又法以濶四尺與髙四尺相乗得一十六尺折半得八
尺與長十二尺相乗得九十六尺即芻甍體形之積也
如甲乙丙丁戊己芻甍體形以乙丙濶與甲庚相乗折
[007-13a]
半得甲乙丙三角形面積又與丙丁長相乗即得甲乙
丙丁戊己芻甍體形之積也
設方底尖體形底方每邊五尺自尖至四角之斜
線皆六尺問尖至底中垂線之髙幾何
法以底方每邊五尺求對角斜線法求得底方對角斜
線七尺零七分一釐零六絲有餘折半得三尺五寸三
分五釐五毫三絲有餘為勾以自尖至底四角斜線六
尺為弦用勾弦求股法求得股四尺八寸四分七釐六
[007-13b]
毫八絲有餘即自尖至底中立垂線之髙數也如圖甲
乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁戊底方面之乙
丁對角斜線折半于己得乙己為勾以自尖至角之甲
乙斜線為弦求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也
[007-14a]
又法以底方每邊五尺為平面三角形之底以自尖至
四角之斜線六尺為兩腰角平面三角形求中垂線法
求得一面中垂線五尺四寸五分四釐三毫五絲為弦
以底方每邊五尺折半得二尺五寸為勾求得股四尺
[007-14b]
八寸四分七釐六毫七絲有餘即自尖至底中立垂線
之髙數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其四面皆為平面
三角形一為甲乙丙一為甲丙丁一為甲丁戊一為甲
戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙甲丙為
兩腰求得甲庚中垂線以甲庚為弦底邊折半得庚己
為勾求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也
設方底尖體形底方每邊六尺髙三尺問積幾何
法以下方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再
[007-15a]
乗得一百零八尺三歸之得三十六尺即方底尖體形
之積也如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一邊自乗
得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛
扁方體形此扁方體與尖方體之底面積等其髙又等
故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙丁戊尖方體三
形之積等也
設陽馬體形底方每邊六尺髙亦六尺問積幾何
法以底方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再
[007-15b]
乗得二百一十六尺三歸之得七十二尺即陽馬體形
之積也如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊自乗得
乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正
方體形此己乙丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽
馬體三形之積等故三分之即得陽馬體之積也此陽
馬體形與尖方體形雖不一而法
則同也葢尖方體形尖在正中陽
馬體形尖在一隅凡體形其底面
[007-16a]
積等髙度又等其體積必相等也
設如鼈臑體形長與濶俱四尺髙九尺問積幾何
法以長與濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一
百四十四尺六歸之得二十四尺即鼈臑體形之積也
葢鼈臑體即勾股面之尖體如甲丙乙丁鼈臑體形以
丁丙長與乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁
髙再乗成甲庚戊乙丙己長方體形此一長方體之積
與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而甲乙丙丁鼈臑
[007-16b]
體之積又為甲戊乙丙丁陽馬體積
之一半陽馬體為長方體三分之一
則鼈臑體又為長方體六分之一矣
設上下不等正方體形上方每邊四尺下方每邊
六尺髙八尺問積幾何
法以上方每邊四尺自乗得一十六尺下方每邊六尺
自乗得三十六尺又以上方每邊四尺與下方每邊六
尺相乗得二十四尺三數相并得七十六尺與髙八尺
[007-17a]
相乗得六百零八尺三歸之得三百零二尺六百六十
六寸有餘即上下不等正方體形之積也
又法以上方邊四尺與下方邊六尺相減餘二尺折半
得一尺為一率髙八尺為二率下方邊六尺折半得三
尺為三率求得四率二十四尺為上下不等正方體形
[007-17b]
上補成一尖方體形之共髙乃以下方邊六尺自乗得
三十六尺與所得共髙二十四尺相乗得八百六十四
尺三歸之得三百八十八尺為大尖方體之積又以髙
八尺與共髙二十四尺相減餘十六尺為上小尖方體
之髙以上方邊四尺自乗得十六尺與上髙十六尺相
乗得二百五十六尺三歸之得八十五尺三百三十三
寸有餘為上小尖方體之積與大尖方體積二百八十
八尺相減餘三百零二尺六百六十六寸有餘即上下
[007-18a]
不等正方體形之積也
設上下不等長方體形上方長四尺濶三尺下方
長八尺濶六尺髙十尺問積幾何
法以上長四尺與上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十
四尺下長八尺與下濶六尺相乗得四十八尺倍之得
[007-18b]
九十六尺又以上濶三尺與下長八尺相乗得二十四
尺以下濶六尺與上長四尺相乗得二十四尺四數相
并得一百六十八尺與髙十尺相乗得一千六百八十
尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積
也
[007-19a]
又法以上長四尺倍之得八尺加下長八尺共十六尺
與上濶三尺相乗得四十八尺又以下長八尺倍之得
十六尺加上長四尺得二十尺與下濶六尺相乗得一
百二十尺兩數相併得一百六十八尺與髙十尺相乗
得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不
等長方體形之積也
設上下不等芻甍體形上長十尺下長十四尺下
濶五尺髙十二尺問積幾何
[007-19b]
法以上長十尺與下濶五尺相乗得五十尺以髙十二
尺再乗得六百尺折半得三百尺為上下相等芻甍體
積又以上長十尺與下長十四尺相減餘四尺與下濶
五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺
[007-20a]
三歸之得八十尺與先所得上下相等芻甍體積三百尺相
并得三百八十尺即上下不等芻甍體之積也如甲乙丙丁
戊上下不等芻甍體形自其上稜之甲戊兩端直剖之則分
為甲己辛壬戊一芻甍體甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖
方體故以與上長相等之己庚與己辛濶相乗即得己
辛壬庚芻甍體之面積與甲癸髙相乗折半得甲己辛
壬戊芻甍體積又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘
丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與乙丙濶相乗得
[007-20b]
乙辛與庚辛二尖方體之底面積與髙相乗三歸之即
得甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與一甲己辛壬
戊一芻甍積相加即得甲乙丙丁戊一上下不等芻甍
體之總積也
設兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸濶八寸
髙二尺七寸問積幾何
[007-21a]
法以長二尺四寸與濶八寸相乗得一尺九十二寸又
以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即兩兩平行
邊斜長方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜長方體
形以乙丙濶與丙丁長相乗得乙丙丁庚長方面積以
戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之
[007-21b]
間所有立于等積底之各平行體其積俱相等故甲乙
丙丁戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛壬正立長
方之體積為相等也
設空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問
内外方邊各幾何
法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸與
共積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸
六歸之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸
[007-22a]
為内方邊與外方邊相乗長方面積乃以厚二寸倍之
得四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶
八寸即内方邊得長一尺二寸即外方邊也如圖甲乙
丙丁戊己庚辛空心正方體其甲丑即空心正方體之
[007-22b]
厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸類八小隅體與
空心正方體相減則餘空心正方體之六面丑寅巳子
類六長方扁體六歸之得丑寅己子一長方扁體用厚
二寸除之得丑寅夘辰一長方面積其丑寅濶與戊己
等即内方邊其丑辰長與甲乙等即外方邊其丑戊辛
辰皆與甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長濶之較故以
厚二寸倍之為帶縱求得濶為内方邊長為外方邊
也
[007-23a]
又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊與外方邊之較
自乗再乗得六十四寸與空心正方體積一千二百一
十六寸相減餘一千一百五十二寸三歸之得三百八
十四寸以内外方邊之較四寸除之得九十六寸為長
[007-23b]
方面積以内外方邊之較四寸為長濶之較用帶縱較
數開平方法算之得濶八寸即内方邊加較四寸得一
尺一寸即外方邊也
設大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多
四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊
多幾何
法以大正方邊比小正方邊所多之較四寸自乗再乗
得六十四寸與大正方體比小正方體所多之積二千
[007-24a]
三百六十八寸相減餘二千三百零四寸三歸之得七
百六十八寸以邊較四寸除之得一百九十二寸為長
方面積乃以邊較四寸為長濶之較用帶縱較數開平
方法算之得濶十二寸即小正方之邊數加較四寸得
[007-24b]
十六寸即大正方之數也如甲乙丙丁一大正方體戊己
庚辛一小正方體試于甲乙丙丁大正方體減出戊己
庚辛一小正方體餘壬申戊辛庚丙丁三面磬折體形
即大正方積比小正方積所多之較甲戊為磬折體之
厚即大正方邊比小正方邊所多之較此三面磬折體
形依開立方次商法分之則得癸子丑三方亷體寅夘
辰三長亷體己一小隅體以甲戊邊較自乗再乗得己
一小隅體與磬折體積相減餘三方亷體三長亷體三
[007-25a]
歸之則得癸一方亷體寅一長亷體共成午甲已未庚
甲乙扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除之則得
甲乙庚未之長方面形甲戊即長濶之較故用帶縱開
平方法算之得乙庚濶與戊乙等即小正方之邊數以
[007-25b]
甲戊與戊乙相加得甲乙即大正方之邊數也
設大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百
零八尺問兩體之每邊及體積各幾何
法以共邊二十四尺自乗再乗得一萬三千八百二十
[007-26a]
四尺内減共積四千六百零八尺餘九千二百十六尺
三歸之得三千零七十二尺以共邊二十四尺除之得
一百二十八尺為長方面積乃以共邊二十四尺為長
濶和用𢃄縱和數開平方法算之得濶八尺即小正方
[007-26b]
之邊數與共濶二十四尺相減餘十六尺即大正方之
邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正
方體以共邊二十四尺自乗再乗則成壬乙癸子一總
[007-27a]
正方體内減甲乙丙丁戊己庚辛大小兩正方體之共
積餘丑寅夘三方亷體辰已午三長亷體三歸之則得
丑一方亷體辰一長亷體共成未壬乙丙戊甲一扁方
體用壬乙共邊除之則得未壬戊甲之長方面形其未
壬濶與壬申等其壬戊長與甲乙等故以壬乙共邊為
長濶和用帶縦和數開平方法算之得未壬濶即小正
方之邊數與長濶和相減餘壬戊長即大正方之邊數
也
[007-27b]
設人立河坡平處欲知水邊低于平地之數用重
表之法測之
法于河坡平處立四尺表杆測之稍前再立二尺表杆
㸔兩表端參對水邊低處量得距分六尺向前直量三
丈復立四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端
參對水邊低處量得距分四尺八寸乃以前測之距分
六尺與後測之距分四尺八寸相減餘一尺二寸為一
率表杆四尺與二尺相減餘二尺為二率前測與後測
[007-28a]
相距三丈為三率求得四率五丈為水邊低于表尖之
數内減去表髙四尺餘四丈六尺即水邊低于河坡平
處之數也
[007-28b]
設人在山上欲知山澗之深用重表測之
法于山邊立二尺表杆稍後立四尺表杆測之看兩表
端參對澗底量得兩杆相距得三尺再退量五尺復立
四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端參對澗
底量得兩杆相距得三尺四寸乃以後測之距分三尺
四寸與前測之距分三尺相減餘四寸為一率表杆四
尺與二尺相減餘二尺為二率兩表相距五尺為三率
求得四率二丈五尺為山澗距表尖之深内減去表髙
[007-29a]
四尺餘二丈一尺即所求山澗之深也
設東西二樹欲知其相距之逺測距東樹七十丈
距西樹五十丈問二樹相距
[007-29b]
法用同式形比例先以距東樹七十丈取其五十分之一
得一丈四尺即對東樹直量一丈四尺作記又以距
西樹五十丈亦取其五十分之一得一丈即對西樹直
量一丈作記乃于兩作記處斜量如得四尺五寸是為
[007-30a]
同式形之相距數然後以所得之四尺五寸用五十求
之得二十二丈五尺因兩作記處為二樹測處五十分之/一則所得同式形之相距數亦必為
二樹相距數/五十分之一即二樹相距之逺也
設東西二樹欲知其相距之逺用重表或取同
式形測之問二樹相距
法先用不取直角測逺法如測石測/樹之法求得二樹距測處
之逺再用知兩逺求相距之法求之
設左右兩峰不知其髙逺欲求兩峰相距
[007-30b]
法先用重表求髙逺法各求得髙與逺其髙為尖峰/距地平之髙
其逺為山根/距測處之逺如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰
髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求弦法以左峰四十
八丈為股逺六十四丈為勾求得弦八十丈即左峰距人
之逺以右峰髙六十五丈為股逺七十二丈為勾求得
弦九十七丈即右峰距人之逺然後用知兩逺求相距
法各取其百分之一對左峰直量八尺作記對右峰直
量九尺七寸作記如于兩作記處横量得一丈二尺即
[007-31a]
加一百倍為一百二十丈得兩峰相距之逺
左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙兩
峰相距如
設如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺
[007-31b]
五寸測之問水面距地之深
設井口徑濶九尺法于井沿取直角立表杆測之人目
對表端斜向井沿看水以恰見水邊為凖如表髙四尺
量得表距井沿一尺五寸則以一尺五寸為一率表髙
四尺為二率井口濶九尺為三率求得四率二丈四尺
[007-32a]
即水面距井沿之深也
方圓諸率
徑○七
周二二
徑○五○
周一五七
徑○三二
周一○○
[007-32b]
徑一一三
周三五五
徑一○○○○○○
周三一四一五九二
凡徑求周者以周率乗以徑率除得周周求徑者
以徑率乗以周率除得徑
平方積四○○○○○○○○
平圓積三一四一五九二六五
[007-33a]
平方積一○○○○○○○○
平圓積○七八五三九八一六
平方積四五二
平圓積三五五
平方積一四
平圓積一一
立方積 同平方率
圓柱積同平圓率
[007-33b]
圓周自乗積八八
圓周中占積○七
方柱積三
方錐積一
圓柱積三
圓尖積一
圓柱積三
圓球積二
[007-34a]
立方積六○○○○○○○○
立圓積三一四一五九二六五
立方積一○○○○○○○○
渾圓積○五二三五九八七七
立方積六八七
渾圓積三五五
立方積二一
渾圓積一一
[007-34b]
立方積二一
渾圓積一 一
渾圓面積四
平圓面積一
撱圓求積
兩徑相乗數以十一乗之十四除之得所求
解曰取撱圓兩徑之中率作圓其容與撱圓等
渾撱圓求積
[007-35a]
小徑自乗再以大徑乗之以十一乗二十一除得所求
解曰方體渾撱圓之比例猶立方與渾圓也
弧矢求徑及離徑半徑
置弦折半自乗以矢除之得所求
解曰半弦股也矢弦句較也餘徑弦句和也股之自
乗積以和除之得較以較除之得和故以矢除之得
餘徑餘徑加矢折半為半徑半徑減矢為離徑也
弧矢求積舊法以矢弦相并得弧背徑/一圍三之義也疎甚不可法
[007-35b]
置弧背以離徑并矢即半/徑乗之别置弦以離徑乗之兩
數相減餘折半得所求
解曰弧背圓周分線也離徑并矢圓半徑也于弧背
兩端作線㑹于圓心成雜線形求積之法當與圓同
故以半徑乗背折半得積也又雜線形内除弧矢形
餘一三角形以弦為濶以離徑為高高乘濶折半
得積以減雜線形積則所餘者弧矢積矣故以半徑
乗背離徑乗弦相減折半得積也
[007-36a]
求中率法
以兩率相乗得數平方開之得中率
截方錐體求積法
置上方自乗下方自乗上下方相乗三數并以髙乗之
以三除之得所求
右形得方體一塹堵方錐各四今方體三塹堵方錐
體各十二故以三除也凡塹堵二之一/方錐三之一
截圓錐體求積法
[007-36b]
置上徑自乗下徑自乗上下徑相乗三數並以髙乗之
再十一乗四十二除得所求元當用三除之又十一乗/十四除之今用四十二除
者三因十四得四十二/合兩次除為一次除也
截直鋭體求積
倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣
乗之兩數并以髙乗之以六除之得所求
右形具體如截方錐今得直體六塹堵錐體各二十
四故以六除也
[007-37a]
截撱圓鋭體求積
倍面大徑加底大徑以面小徑乗之又倍底大徑加面
大徑以底小徑乗之兩數並以髙乗之再以十一乗八
十四除得所求此以六因十四/得八十四也
[007-37b]
莊氏算學卷七
