[004-1a] 
欽定四庫全書
莊氏算學卷四
淮徐海道莊亨陽撰
曲線體
設長圓體徑與高皆七尺問積幾何
[004-1b]
法以長圓體徑七尺求得圓面積三十八尺四十八寸
四十五分零九釐九十六豪二十五絲有餘以髙七尺
乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分
七百三十七釐有餘即長圓體之積也
又法以長圓體徑七尺求得圓周數與髙七尺相乗得
數為長圓體之外面積以半徑之三尺五寸乗之得數
折半即長圓體之積也
又法以長方體積一○○○○○○○○為一率長圓
[004-2a]
體積七八五三九八一六三為二率現設之長圓體徑
七尺自乗以髙七尺再乗得數為三率求得四率即長
圓體之積也
一率一○○○○○○○○二二率七八五三九八/一六三 三率三四二四率 六九三九一五六九
九○/九
設尖圓體底徑六尺中髙六尺問積幾何
法以底徑六尺求得底面積數以髙六尺乗之得數以
三歸之即尖圓體之積也
[004-2b]
又法以尖方體積一○○○○○○○○為一率尖圓
體積七八五三九八一六三為二率現設之尖圓徑體
底徑六尺自乗以髙六尺再乗得數三歸之成尖方體
積為三率求得四率即尖圓體之積也
一率一○○○○○○○○○六二率七八五三九八/一六三 三率七二 四率五 四八六六七七三六
又法以長方體積一○○○○○○○○為一率尖圓
體積二六一七九九三八八為二率現設之尖圓體底
徑六尺自乗以髙六尺再乗得數為三率求得四率即
[004-3a]
尖圓體之積也
一率一○○○○○○○○五二率二六一七九九/三八八三率二一六 四率 六五四八六六七八
○/八
設尖圓體底周二十二尺自尖至底周之斜線五
尺求中垂線之髙幾何
[004-3b]
法以底周二十二尺求得底徑數折半得半徑為勾以
自尖至底周之斜線五尺為弦求得股數即中垂線之
髙也
三尺五寸六分九釐三豪三/絲三忽有餘即中垂線之髙
設圓球徑二尺問外面積幾何
法以圓球徑二尺求得周數與徑二尺相乗得數即圓
球之外面積也
一十二尺五十六寸六十三分/七十釐有餘即圓珠外面積
[004-4a]
設圓球徑一尺二寸問積幾何
法以圓球徑一尺二寸求得圓面積數以圓球徑一尺
二寸乗之得數為長圓體積三歸之得數倍之即圓球
之體積也
又法以圓球徑一尺二寸求得圓球之外面積數以半
[004-4b]
徑六寸乗之得數三歸之即圓球之體積也
又法用方積一○○○○○○○○為一率球積五二
三五九八七七五為二率現設之圓球徑一尺二寸自
乗再乗得數為三率求得四率即圓球之體積也
一率一○○○○○○○○四二率五二三五九八八/七七五 三率一七二八 率九○四七七八六
三/
又法以圓球徑一○○○○○○○○為一率正方邊
八○五九九五九七為二率現設之圓球徑一尺二寸
[004-5a]
為三率求得四率數為與圎球積相等之正方體每
邊之數自乗再乗即圓球之體積也
又法以二十一分為一率十一分為二率現設之圓球徑
一尺二寸自乗再乗得數為三率求得四率即圓球之
體積也
設圓球積六尺問徑幾何
法以球積一○○○○○○○○ 為一率方積一九○
九八五九三一七為二率現設之圓球積六尺為三率
[004-5b]
求得四率數為與圓球徑相等之正方邊之正方體
積開立方即得圓球之徑也
一率一○○○○○○○○一二率一九○九八五/九二一七 三率六 四率 一四五九一五五九
○/二
[004-6a]
又法以方邊一○○○○○○○○為一率球徑一二
四○七○○九八為二率現設之圓球積六尺開立方
得數為三率求得四率即圓球之徑也
一率一○○○○○○○○○二率一二四○七○/○九八三率一八一七一二 四率二二五四五
○/二
設撱圓體大徑六寸小徑四寸問積幾何
法以小徑四寸求得圓面積數以大徑六寸乗之得數
為長圓體積三歸之得數倍之即撱圓體之積也
[004-6b]
又法以小徑四寸自乗得數以大徑六寸再乗得數為
長圓方體積乃以方積一○○○○○○○○為一率
球積五二三五九八七七五為二率現得之長方體積
為三率求得四率即撱圓體之積也
一率一○○○○○○○○五二率五二三五九八/七七五 三率九六 四率 ○二六五四八二
[004-7a]
設撱圓體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小
徑各幾何
法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○
九八五九三一七為二率現設撱圓體積五十寸為三
率求得四率為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為
長圓與濶之較用帶一縱開立方法算之得濶數即撱
圓體之小徑加大徑比小徑多二寸即撱圓體之大徑
也五寸九分九/釐二毫大徑
[004-7b]
一率一○○○○○○○○九二率一九○九八五/九三一七 三率五○四率 五四九二九六五八
五/○
設上下不等圓面體上徑四尺下徑六尺髙八尺
問積幾何
法以上徑四尺求得上圓面積又以下徑六尺求得下
[004-8a]
圓面積又以上徑四尺與下徑六尺相乗得數開方得
中徑用徑求圓面積法求得中圓面積數三數相併與
髙八尺相乗得數三歸之得一百五十九尺一百七十
四寸二十七分四百六十六釐有餘即上下不等圓面
體之積也
又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一
尺為一率髙八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三
率求得四率二十四尺為上下不等圓面體上補成一
[004-8b]
小尖圓體之共髙乃以下徑六尺求得圓面積數與
所得共髙數相乗得數三歸為大尖圓體之積又以髙
八尺與共髙二十四尺相減餘數為上尖圓體之髙以
上徑四尺求得圓面積與上髙數相乗得數三歸之為
上小尖圓體之積與大尖圓體積相減餘即上下不等
圓面體之積也
又法以正方體積一○○○○○○○○為一率圓面
體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乗下
[004-9a]
徑六尺自乗上下徑相乗三數相併以髙八尺乗之得
數三歸之成上下不等正方體積為三率求得四率一
百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一釐有
餘即上下不等圓面體之積也
一率一○○○○○○○○六二率七八五三九八/一六三 三率二○二六六 六六六六六 四率
一五九一七四/○二七七○一
又㨗法以一○○○○○○○○為一率二六一七九
九三八八為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上下
[004-9b]
徑相乗三數相併以髙八尺乗之得數為三率求得四
率即上下不等圓面體之積也
設上下不等撱圓面體上大徑四尺小徑三尺下
大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何
法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗得十二尺以下
[004-10a]
大徑八尺與下小徑六尺相乗得四十八尺又以上大
徑四尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與上小徑三
尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得
八十四尺乃以方積一○○○○○○○○為一率圓
積七八五三九八一六三為二率三數相併為三率求
得四率數與髙十尺相乗得數三歸之即上下不等撱
圓面體之積也
又㨗法以一○○○○○○○○為一率一三○八九
[004-10b]
九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺
共十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑
八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相
乗得一百二十尺兩數相併以髙十尺乗之得數為三
率求得四率即上下不等撱圓面體之積也
設截球體一段髙二寸底徑九寸六分問積幾何
法以髙二寸為首率底徑九寸六分折半為中率求得
末率一尺一寸五分二釐為圓球之截徑加髙二寸為
[004-11a]
圓球之全徑折半為圓球之半徑又以髙二寸為勾底
徑折半為股求得弦五寸二分作平圓半徑用求圓面
積法求得平圓面積數即為截球體一段之外面積與
圓球半徑六寸七分六釐相乗得數三歸之餘為自圓
[004-11b]
球中心所分球面尖圓體積又以截球體底徑九寸六
分用求平圓面積法求得截球體之底面積數於圓球
半徑六寸七分六釐内減去截球體之髙二寸餘數與
截球體之底面積數相乗得數三歸之餘為自圓球中
心至截球體底徑所分平面尖圓體積與球面尖圓體
積數相減餘即截球體一段之積也
七十六寸五百七十一分八/百八十釐有餘即截積數
設空心圓球積二千寸厚三寸問内外徑數各幾何
[004-12a]
法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○
九八五九三一七為二率現設之空心圓球積二千寸
為三率求得四率為空心正方體積乃用算空心正方
體法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得數與
[004-12b]
所得空心正方體積數相減餘數六歸之得數用厚三
寸除之得内徑相乗長方面積數乃以厚三寸倍之得
六寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶一
尺一寸四分六釐三毫九絲七忽有餘即空心圓球内
徑加較六寸即空心圓球外徑也
一率一○○○○○○○○二率一九○九八五/九三一七 三率二○○四率三八一九七一八
六三/四
設圓窖一座周二十四尺髙十尺問盛米若干
[004-13a]
法以周二十四尺求得圓面積數與髙一丈相乗得數
為圓窖之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為
一率一石為二率圓窖體積四百五十八尺三百六十
六寸二百二十分有餘為三率求得四率一百八十三
石三斗四升六合四勺有餘即所盛之米也
一率二千五百寸二二率一石有三率四百五十八/尺三百六十六寸 百二十分 餘 四率一百八
十三石三斗四升/六合四勺有餘
設圓窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑各
[004-13b]
幾何
法以米一石為一率一石積數二千五百寸為二率盛
米一百六十石為三率求得四率四百尺為圓窖之積
數以髙十尺除之得四十尺為圓窖之面積乃以圓積
一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九
[004-14a]
五四為二率現得之圓窖面積四十尺為三率求得四
率五十尺九十二寸九十五分八十一釐六十毫有餘
開平方得七尺一寸三分六釐四毫九絲有餘即圓窖
之徑數再用徑求周法求得周二十二尺四寸一分九
釐九毫四絲有餘即圓窖之周數也
一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九/五四 三率四○四率十五○九二九五八一六○
設積米一堆髙五尺底周十四尺問米數幾何
法以底周十四尺求得圓面積數為尖圓堆之底面積
[004-14b]
與髙五尺相乗得數三歸之為尖圓堆之積數乃以米
一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之尖
圓堆之積數二十五尺九百九十五寸三百零六分八
百二十釐有餘為三率求得四率一十石零三升九合
[004-15a]
八勺一杪有餘即所堆之米數也
一率二五八二率一率三率二五九九/五三○六 二 四 一○三九八一
設倚壁積米一堆髙四尺底周六尺問米數幾何
法以底周六尺為半周倍之為全周以周求得圓面積
數折半為倚壁尖圓堆之底面積以髙四尺乗之得數
三歸之為倚壁尖圓堆之積數以米一石積數二千五
[004-15b]
百寸為一率一石為二率現得之倚壁尖圓堆之積數
七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為三率求得
四率三石零五升五合七勺七杪有餘即倚壁所堆之
米數也
一率二五/九四三六 二率一○三率七六三/四率三 五五七七
設倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺問米
數幾何
法以周一十二尺四因之得四十八尺為全周以周求
[004-16a]
得圓面積數四歸之為倚壁内角尖圓堆之底面積
與髙五尺相乗得數三歸之為倚壁内角尖圓堆之
積數乃以米一石積數二千五百寸為一率一石為二
率現得之倚壁内角尖圓堆之積數七十六尺三百
[004-16b]
九十四寸三百七十分為三率求得四率三十石零
五斗五升七合七勺有餘即倚壁内角所堆之米
數也
設倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺
問米數幾何
[004-17a]
法以周三十三尺三歸四因得四十四尺為全周以周
求得圓面積數四歸三因得數為倚壁外角尖圓堆之
底面積以髙六尺乗之得數三歸之即倚壁外角尖圓
堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為率一石為
二率現得之倚壁外角尖圓堆之積數二百三十一尺
九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為三率求
得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有餘即倚
壁外角所堆之米數也
[004-17b]
一率二五八二率一九三率二三一九/二九七二 八四率 二四三七一八
各等面體
設四面體每邊一尺二寸求積幾何
法以每邊一尺二寸為弦每邊折半得六寸為勾求得
股數為每一面之中垂線與每邊一尺二寸相乗折半
[004-18a]
為每一面之面積又以每邊一尺二寸為弦每一面之
中垂線取其三分之二為勾求得股數為四面體自尖
至底中心之立垂線或以每一面之中垂線數為弦每
一面之中垂線取其三分之一為勾亦得股為四面體
自尖至底中心之立垂線以此立垂線與每一面之面
積數相乗三歸之得二百零三寸六百四十六分七百
三十七釐有餘即四面體之積也
又求自尖至底中心之立垂線㨗法以每邊一尺二寸
[004-18b]
自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方
即得自尖至底中心之立垂線
又以正方體積一○○○○○○○○為一率四面體
積一一七八五一一二九為二率現設之四面體之每
邊一尺二寸自乗再乗為三率求得四率即四面體之
積也
一率一○○○○○○○○○二率一七八五一一二/九三率一七二八 四率二 三六四六七五 ○
設四面體體積二百零三寸六百四十六分七百
[004-19a]
五十釐問每邊數幾何
法以四面體積一 一七八五一 一二九為一率正方體
積一○○○○○○○○為二率現設之四面體積二
百零三寸六百四十六分七百五十釐為三率求得四
率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即四面體
之每一邊也
一率一一七八五一一二九七二率一○○○○○○/○○ 三率二○三六四六 五○ 四率 一七二
八/
[004-19b]
又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一
率四面體之每邊二○三九六四八九○為二率現
設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五
十釐開立方得五寸八分八釐三毫三絲六忽五微
有餘為三率求得四率一尺二寸即四面體之每一
辶也
一率一○○○○○○○○七二率二○三九六四/八九○三率二○三六四六 五○ 四率一二
設八面體每邊一尺二寸求積幾何
[004-20a]
法以八面體分作二尖方體算之將每邊一尺二寸自
乗得一尺四十四寸為二尖方體之共底面積又以每
邊自乗之一尺四十四寸倍之開平方得一尺六寸九
分七釐零五絲六忽二微有餘為二尖方體之共髙即
[004-20b]
八面體之對角斜線以此斜線與二尖方體之共底面
積一尺四十四寸相乗三歸之得八百一十四寸五百
八十六分九百七十六釐有餘即八面體之積也
又法以正方體積一○○○○○○○○為一率八面
體積四七一四○四五二一為二率現設之八面體之
每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三
率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二釐
有餘即八面體之積也
[004-21a]
一率一○○○○○○○○四二率四七一四○○四二/五二一 三率一七二八 率八一四五八七 一
設八面體積八百一十四寸五百八十七分一十
二釐問每邊之數幾何
法以八面體積四七一四○四五二一為一率正方體
積一○○○○○○○○為二率現設之八面體積八
百一十四寸五百八十七分一十二釐為三率求得四率
一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即八面體之
每一邊也
[004-21b]
一率四七/○○ ○ 一/ 四○四五二一八二率一○○○○○七/三率八一四五 七○一二 四率一
三/八
又法以正方體之每一邊一○○○○○○○○為一率
八面體之每邊一二八四八九八二九為二率現設之
八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐開
立方得九寸三分三釐九毫二絲六忽有餘為三率求
得四率一尺二寸即八面體之每一邊也
一率一○○○○○○○○二二率一二八四八/九八二九 三率九三三九 六 四率一二
[004-22a]
設十二面體每邊一尺二寸求積幾何
法以十二面體分作十二五角尖體算之將每邊一尺
二寸求得五等邊形之分角線為一尺零二分零七毫
八絲零九微有餘自中心至每邊之垂線為八寸二分
五釐八毫二絲九忽一微有餘面積為二尺四十七寸
[004-22b]
七十四分八十七釐三十毫有餘乃用理分中末線之
大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○
○○○為二率現設之每邉一尺二寸為三率求得四
率一尺九寸四分一釐六毫四絲零七微有餘為每一
面兩角相對之斜線又用理分中末線之大分六一八
○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二
率現得之每一面兩角相對之斜線折半得九寸七分
零八毫二絲零三微有餘為三率求得四率一尺五寸
[004-23a]
七分零八毫二絲零二微有餘為十二面體之中心至
每邊正中之斜線乃以此斜線為弦每一面中心至邊
之垂線八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘為勾
求得股一尺三寸三分六釐二毫一絲九忽六微有餘
為十二面體之中心至每一面中心之立垂線以此立
垂線與每一面積二尺四十七寸七十四分八十七釐
三十毫有餘相乗三歸之得一尺一百零三寸四百八
十九分零二十九釐有餘為一五角尖體積十二因之得
[004-23b]
一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八
釐有餘即十二面體之總積也
一率六一八○三三九九率二率一○○○○○/○○○ 三率一二 四 一九四一六四○七
一率六一八○三三九九○二率一○○○○○○八/○○ 三率九七○八二 三 四率一五七八○
二○/二
又法以正方體積一○○○○○○○○為一率十二
面體積七六六三一一八九○三為二率現設之十二
面體之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為
[004-24a]
三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九
分四百六十四釐有餘即十二面體之積也
一率一○○○○○○○○/八九○三 三率一七二八 二率七六六三一/四率一三二四一 一/八
六九四/六四
設十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六
十九分四百六十四釐求每邊數幾何
法以十二面體積七六六三一 一八九○三為一率正
方體積一○○○○○○○○為二率現設之十二面
[004-24b]
體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六
十四釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方
得一尺二寸即十二面體之每一邊也
一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○/○○ 三率一三二四一八六九四六四 四率一
七二/八
又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率
十二面體之每邊五○七二二二○七為二率現設之
十二面體積開立方得數為三率求得四率即十二
[004-25a]
面體之每一邊也
設二十面體每邊一尺二寸求積幾何
法以正方體積一○○○○○○○○為一率二十面
體積二一八一六九四九六九為二率現設之二十面
體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸
為三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分
九百○六釐有餘即二十面體之積也
一率一○○○○○○○○/四九六九 三率一七二八 二辛二一八一六九/四率三七六九九六
[004-25b]
八九/○六
又法以二十面體之每邊七七一○二五三四為一率
正方體之每邊一○○○○○○○○為二率現設之
二十面體之每邊數為三率求得四率為與二十面體
積相等之正方體每邉之數自乗再乗即二十面體之
積也
一率七七一○二五三四率二率一○○○○○/○○○ 三率一二 四 一五五六三六九
設二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八
[004-26a]
分九百零六釐求每邊數幾何
法以二十面體積二一八一六九四九六九為一率正
方體積一○○○○○○○○為二率現設之二十面
體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐
為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺
二寸即二十面體之每一邊也
一率二一八一六九四九六九六二率一○○○○/○○○○ 三率三七六九九 八九○六 四率
一七/二八
[004-26b]
又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率
二十面體之每邉七七一○二五三四為二率現設之二
十面體積開立方得數為三率求得四率即二十面體
之每一邊也
一率一○○○○○○○○三二率七七一○二/二五三四 三率一五五六 六九 四率一
莊氏算學卷四
