[008-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡卷八
元 李冶 撰
明叀後一十六問
或問出南門向東有槐樹一株出東門向南有柳樹一
株丙丁俱出南門丙直行丁往至槐樹下甲乙俱出
東門甲直行乙往至柳樹下四人遥相望見各不知
所行步數只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四
[008-1b]
十六步又云甲丙立處相距二百八十九步問答同
前
法曰以二共相減數又以減距數為實二為法得平
勾
草曰識别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相
距步即極弦也二共相併即極弦内少个虚黄也又
為極和内少个虚和也二共相減餘為平勾髙股差
也又為虚差極差共也又為通差内減極差也立天
[008-2a]
元為平勾加入二共相減數得□□為髙弦又加天
元得□□為極弦寄/左以相距步二百八十九與左相
消得□□上法下實如法得六十四即平勾也以二
共相減數加平匀得二百二十五為髙股復以平勾
乘之得一萬四千四百步開平方得一百二十步即
城半徑也合問
又法二共數併以減相距數餘者半為泛率以泛率加
丙丁共為長以泛率加甲乙共為闊長闊相乘為平
[008-2b]
方實得半徑
草曰置極弦内減二共併數餘三十六步即虚黄也
半之副置二位上以加明和得二百二十五步為髙
股也下以加叀和得六十四步為平勾也二位相乘
得一萬四千四百步開平方得一百二十步即半徑
也合問
或問依前見丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云
二樹相去一百二步問答同前
[008-3a]
法曰以甲乙共乘樹相去步得數又以自之為平實
從空併二共數為冪於上内減甲乙共自之數丙丁
共自之數按或云二共數/相乘倍之亦同為益隅得叀弦
草曰識别得兩樹相去步即虚弦也餘數具前立天
元一為叀弦置明和以天元乘之合叀和除不除便
以□為明弦也内帶□/和分母乃置虚弦以分母叀和乘之
得□加入明弦得□□為極股也内帶叀和分母以
自之得下式□□□為極股冪内寄叀和/羃為分母又以天元
[008-3b]
加虚弦得□□為極勾以自之得丨□□又以叀和
冪□乘之得□□□為勾冪也勾股相併得□□□
為兩積一較冪也内有叀和冪分母寄/左然後置明弦
□於上以叀和乘天元得□加上位得□為二弦併
又置虚弦以叀和乘之得□併入上位得下式□□
為極弦以自之得□□□為同數與左相消得□□
□開平方得三十四步即叀弦也
又法以樹相去步自之又以甲乙共乘之為平實從空
[008-4a]
倍丙丁共為虚隅得叀弦
草曰立天元一為叀弦依前術求得明弦□便以為
皇極勾弦差也内帶叀/和分母以天元□弦便為皇極股弦
差以乘之又倍之得□□為虚弦冪内有叀和/分母寄左然後
以虚弦自之又以分母□乘之得四十七萬八千五
百八十四為同數與左相消得□○□開平方得三
十四步即叀弦也合問
或問皇極大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十
[008-4b]
六步問答同前
法曰後數自乘為實前後數相減餘為法得虚黄方
草曰别得一百八十七即明叀二弦共也其六十六
即太虚大小差共也又二數相併得□即明叀二和
共若以相減餘□即明叀四差共也立天元一為太
虚黄方面加二黄共得□□即虚弦也倍虚弦又加
天元得□□即城徑也又以虚弦加皇極大小差得
□□即極弦也以極弦乘城徑得□□□為兩段皇
[008-5a]
極勾股積寄/左再以極弦虚弦相併得□□即皇極勾
股共也自之得□□□内減皇極弦冪丨□□得□
□□為同數與寄左相消得□□上法下實如法得
三十六步即太虚黄方靣也合問
或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直
行丙出東門直行甲丙槐柳悉與城㕘相直既而甲
就柳樹斜行三十四步至柳樹下丙就槐樹斜行一
百五十三步至槐樹下問答同前
[008-5b]
法曰云數相乘倍之便為平方實開方得虚弦一百
二步以此弦加甲行步即極勾以此弦加丙行步即
極股餘各依法求之 識别甲斜行即叀弦也丙斜
行即明弦也 無草
或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直
行丙出南門直行二人遙相望槐栁與城邊悉相直
既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不
知步數只云丙共行了二百八十八步甲斜行與柳
[008-6a]
至東門步共得六十四步問答同前
法曰二云數相乘於上以六十四步自之又二之減
上位為平實十四之六十四於上倍丙行減上位為
從按倍丙行乃數偶合當云九/个半六十四内減丙行為從二十常法得甲直行
步
草曰别得丙共步即明股明弦和也六十四即平勾
也内甲斜行即叀弦也柳至東門步即叀股也又云
二數相併即明差與極弦共也二云數相減即明差
[008-6b]
與平勾髙股差共也又平勾内減叀勾即虚勾也立
天元一為叀勾置丙共步以天元乘之復以六十四
除之得□□呔為明勾也又以天元減於六十四得
□□為虚勾也併虚明二勾□□為半徑也以自之
得□□□□倍之得□□□□為半段圓城徑冪寄/左
乃以天元加六十四得□□為勾圓差於上又以明
勾加丙共步得□□□為股圓差於下上下相乘得
□□□□為同數與左相消得□□□開平方得一
[008-7a]
十六步即叀勾也此叀勾乃甲出東門直行步也餘
皆依數求 合問
或問東門南有柳樹一株南門東有槐樹一株甲出東
門直行丙出南門直行二人遥相望槐柳與城邊悉
相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下
各不知步數只云甲共行五十步丙斜行與槐至南
門步共得二百二十五步問答同前
法曰以二百二十五步自之為冪又以此冪自為冪
[008-7b]
於上置甲共行以二百二十五步三度乘之得數復
折半減上位為平實置二百二十五步自之數以二
云數相減數乘之又倍之於上倍五十步在地以二
百二十五步自之數乘之復折半加上位為益從云
數相減自乘於上以云數相乘復折半減上位為常
法得明股
草曰識别得甲共步即叀勾叀弦共也二百二十五
即髙股也内丙斜行即明弦槐至南門步即明勾也
[008-8a]
又二云數相併即極弦内減一个叀差也云數相減
即叀差與髙股平勾差共也又髙股内減明股即虚
股也立天元一為明股即丙出南門直行步也置五
十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□為
叀股也内帶髙股□分母再置髙股内減天元得□
□為虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股
得□□即半徑也以自增乘得下□□□為半徑冪
也内帶髙股冪為母寄/左然後置甲共步以分母髙股
[008-8b]
乘之得□加入叀股得□□為勾圓差於上内帶髙/股分母
又以天元加髙股得□□為股圓差於下上下相乘
得□□□又以分母髙股乘之得□□□復折半得
□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百
三十五步即明股也合問
或問通勾通弦共一千步叀勾叀弦共五十步問答同
前
法曰置一千減二之五十步為汎率以自乘復半之
[008-9a]
於上又置泛率復以五十乘之加上位為平實二十
二之泛率於上按二十二乃此題叀和除通和所得/通倍叀數加二數之數易題則數不
同矣當直云通倍叀/數加二數乘泛率以四十二按四十二乃此題倍/通倍叀數加二數之
數當直云倍通/倍叀數加二數乘五十得數内減泛率加上位為益
從二百按二百乃此題通倍叀數加二數自乘折半/於上又倍通倍叀數併二數以減上位之數
當同上不/必載數為常法得叀股
草曰立天元一為叀股置一千以天元乘之以五十
除之得□為通股也又以天元加五十步得□□即
[008-9b]
小差也通股加小差得□□即通弦也以通弦減一
千得□□即通勾也以小差減通勾得□□即圓徑
也以圓徑減通股得□□即大差也置大差以小差
乘之得□□□寄/左然後置圓徑以自之得□□□折
半得□□□與左相消得□□□開平方得三十步
即叀股也合問
按此題通勾弦和為叀勾弦和度盡之數則不用
寄分而用除法以從省便作者蓋舉一以例其餘
[008-10a]
也
或問通勾通弦共一千步明勾明弦共二百二十五步
問答同前
法曰以後數再自乘又以前數乘之為平實以後數
為冪又以前數乘之為從以前數冪為常法得明股
草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一為明
股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□
為通股内帶髙/股為母以天元加髙股□□即大差也置大
[008-10b]
差以髙股分母乘之得□□即帶分大差也以此減
於通股餘□□即圓徑也以自增乘得□□□寄左
内𢃄髙股/冪分母然後置一千以髙股分母通之得□内減
帶分大差得□□為兩个通勾也内減兩个圓徑得
□□為兩个小差也以帶分大差乘之得下式□□
□為同數與左相消得□□開平方得一百三十五
步即明股也合問
或問通股通弦共一千二百八十步叀股叀弦共六十
[008-11a]
四步問答同前
法曰云數相乘為平實前數為益從置前數以後數
除之得二十為泛率泛率減一以自乘於上又倍泛
率減一加上位為常法倒積開得叀勾
草曰别得六十四步即平勾也立天元一為叀勾置
前數以天元乘之以後數除之得□即通勾也又置
天元加後數得□□即小差也以小差減通勾餘□
□即圓徑也以自之得□□□寄/左然後以小差減於
[008-11b]
前數得□□為二通股内減兩个圓徑得□□為二
大差也以小差乘之得下□□□與左相消得□□
□開平方得一十六步即叀勾也合問
或問通股通弦共一千二百八十步明股明弦共二百
八十八步問答同前
法曰二數相減以後數乘之内減後數冪又半之為
泛率以自乘為平實按或云前數内減二後數餘/以後數乘之折半自之亦同置
前數加二之後數而半之為次率以乘泛率於上以
[008-12a]
後數乘泛率減上位按或云二數相加以/乘前折半數亦同為益從次
率自乘之於上以前數加次率復以後數乘之減上
位按或云前數折半内減後/數又以半前數乘之亦同為隅法得明勾
草曰别得二數相減餘□為通勾通股及明勾共也
立天元一為明勾置前數以天元乘之合以後數除
之不除便以此□為通勾也内寄後/數分母又以二數相減
得數内又減天元得□□為通和也乃以分母二百
八十八乘之得下式□□内減通勾餘□□為通股
[008-12b]
也又以天元加後數又以分母即後/數也通之得□□為
大差也以此大差減於通股得下式□□為一个圓
徑也半之得□□以自得之□□□為半徑冪寄/左然
後以半圓徑減通勾得□□為底勾又以天元乘之
又以分母二百八十八乘之得□□呔為同數與左
相消得□□□開平方得七十二步即明勾也合問
或問明股明弦併二百八十八步叀勾叀弦併五十步
又云明股叀勾併多於虚弦四十九步問答同前
[008-13a]
法曰前二數相併内減二之多步即圓徑又只以前
二數相乘便是半徑冪
草曰識别得前二數相減而半之即極差也其多步
名傍差又圓徑不及極弦數
或問平差髙差共一百六十一步明股叀勾併多於虚
弦四十九步問答同前
法曰二數相減又半之以自乘為實後數為法得平
勾
[008-13b]
草曰立天元一為平勾以加前數得□□為髙股也
又以天元加髙股得□□為極弦内減後數得□□
又半之得□□為半徑以自之得丨□□寄/左然後以
天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法
下實得六十四步即平勾也合問
或問平勾髙股差一百六十一步明差叀差併七十七
步又云極弦多於城徑四十九步問答同前
法曰併上二位而半之為平率其四十九即旁率也
[008-14a]
副置平率上加旁率下減旁率以相乘為實倍旁差
為法得勾圓差按求實數有誤當云併上二位而半/之内減後數於上又置上前數内減
後數以乘上/位為實方合
草曰識别得平勾髙股差名為角差副置角差上加
七十七而半之得□即極差也下減七十七而半之
得□即虚差也角差加極差得□即通差也又極弦
多於城徑步名為旁差副置角差上加旁差得□為
兩个髙段上勾股較下減傍差得□為兩个平段上
[008-14b]
勾股較也又副置極差上加傍差得□為股圓差上
勾股較下減旁差□為勾圓差上勾股較也立天元
一為勾圓差依法求得通差加入天元得□□即大
差也以天元乘之得丨□為半段圓徑冪寄/左乃置大
差□□内減股圓差上勾股較□餘有□□為股圓
差之勾於上再置天元内加勾圓差上勾股較□得
□□為勾圓差之股以乘上位得丨□□為同數與
左相消得□□上法下實得八十歩即勾圓差也
[008-15a]
又依前問見角差一百六十一步見明差叀差併七十
七步又見太虚弦較較六十步問答同前
法曰前二數相減而半之得數加入半之太虚弦較
較為泛率以自乘為平實置一百六十一内減二之
泛率為從一常法得平勾
草曰别得□即二叀股也立天元一為平勾先以前
二數相減而半之得□為虛差以虚差加叀股得□
即明勾也以明勾加天元得丨□為平弦以自之得
[008-15b]
丨□□内減天元冪得□□為半徑冪寄/左然後以天
元加一百六十一為髙股以天元乘之得丨□為同
數與左相消得丨□□開平方得六十四步即平勾
也
又法曰前數内加半之太虚弦較較以自乘按此語内/有誤當云
倍角差加半太虚較/以半太虚較乘之為實前數内減太虚弦較較為
從一常法開平方得平勾此更不用明差叀差併也
草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□為髙弦
[008-16a]
也以自之得丨□□於上位内減髙股冪丨□□餘
得□□為半徑冪寄/左然後以天元乘髙股得丨□為
同數與左相消得下丨□□開平方得六十四步即
平勾也合問
或問髙差平差併一百六十一步明差叀差併七十七
步問答同前
法曰以前數自乘於上二數相併而半之以自乘減
上位得數復自增乘為平實前數自之於上又以四
[008-16b]
之前數乘之寄位以前數自之於上併二數而半之
以自乘減上位得數又以四之前數乘之按此下落/又倍之三
字/減於寄位為從前數自之又四之於上又以四之
前數為冪加上位權寄以前數為冪於上併二數而
半之以自乘減上位得數復八之加上位又以四之
前數為冪加入上位併以減於權寄為常法按或云/二和併
而自之又半之以減髙平共/差冪又四之為常法亦同得平勾
草曰識别得二位相併而半之得□即極差也立天
[008-17a]
元一為平勾加一百六十一得□□為髙股髙股内
又加天元得□□為極弦以自之得□□□於上内
減極差冪一萬四千一百六十一餘□□□為兩段
極積合以極弦除不除寄為母便以此為城徑以自
增乘得□□□□□為圓徑冪内有極弦冪/分母寄左然後以
天元乘髙股又四之得□□又以分母極弦冪□□
□通之得□□□□呔為同數與左相消得□□□
開平方得六十四步即平勾也合問
[008-17b]
或問見明和二百七步叀和四十六步問答同前
法曰二和上下相減數同則止名為泛率又以二和
直相減餘為泛實此則角/差也乃以泛率除汎實所得為
差率也以差率加減泛率若半訖與勾股相應者其
泛率便為和率其泛實便為較率乘和率也若不相
應則直取差率以消息之定為相管和率其勾股數/少得見弦
黄而相為率者勾三股四則其和七而其較一也勾/五股十二則其和一十七而其較七也勾八股十五
則其和二十三而其較亦得七七勾七股二十四則/其和三十一而其較一十七也勾九股二十則其和
[008-18a]
二十九而其較一十一也此/消息之大畧也餘皆倣此乃以和率約二和其明
和所得為明壘率其叀和所得為叀壘率也又副置
和率上加差率而半之則為股率也下位減差率而
半之則為勾率也既見勾股及差三率各以壘率乘
之即各得勾股及差之真數也
按此用約分以勾股率數求之甚為省便然必兩
數度盡而得數最小者方可用若兩數不能度盡
或雖度盡而得數尚大者轉屬繁難故又設後法
[008-18b]
又法二云數相併以自乘於上二之云數相乘又四之
以相併以四分半乘之又四之以併入上位為從方
以七十步零四分三釐七毫五絲為常法得叀小差
四步
按此法未求實數其求從隅皆用本題數不可通
用今依細草意另演一法於後亦惟二和數可以
度盡者用之若不能度盡者仍用寄分為便
法曰二和數相減自之為平方實叀和除明和得數
[008-19a]
自而倍之内減四之除得數再加二單數以乘二和
相併之數為從除得數自而四之於上又以除得數
自乘内減四之除得數外加一單數自之以減上位
為常法得叀小差
草曰以二和相約命得叀率一明率四步半其兩數
大小差率並同又别得明小差叀大差俱為半虚黄
也立天元為叀小差以四歩半乘之得□元為□大
差也又為明小差又為半虚黄置此□大差又以四
[008-19b]
步半乘之得□為明大差也其四差相併得□減於
二和併得□□即兩段太虚大小差併也内加三段
虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圓城徑
也以自增乘得□□□為徑冪寄/左乃置叀和加半虚
黄得□□為平勾又置明和内加半虚黄得□□為
髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□為同
數與左相消得下式□□□開平方得四步即叀小
差也合問
[008-20a]
或問明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五
步問答同前
法曰先識别得二大差共二小差共及四差共乃以
二大差二小差相乘為實以四差共為法如法得半
之虚黄方
草曰先置前後云數以約法約之得一十一即壘率
也復各置前後數如壘率而一前得八即勾率也後
得一十五即股率也再以勾股率求得較率七和率
[008-20b]
二十三弦率一十七黄方率六大差率九小差率二
即見諸率各以壘率乘之其二和共得□二較共得
□二弦共得□二黄共得□二大差共□二小差共
□四差共□已上皆為明叀所得之共數也乃立天
元一為半虚黄便為明小差又為叀大差也以減於
大差共得□□即明大差也又以減於小差共得□
□即叀小差也以二數相增乘得丨□□寄/左以天元
冪與寄左相消得□□上法下實得一十八步即半
[008-21a]
之虚黄方也以倍之得□又加於二黄共六十六共
得一百二即明勾叀股共也又為極黄方又為虚弦
也又以三十六減於一百八十七餘一百五十一即
明股叀勾共也此數内減虚弦餘□為明叀二差較
也此名傍差以旁差減二弦共一百八十七餘得□
即太虚和也却加入虚弦一百二併得□為太虚三
事和即圓城徑也合問
又或以虚黄方加於上和共二百五十三得□為極弦
[008-21b]
也以旁差減極弦餘二百四十步亦同
又或前後副置勾股較和弦黄六率在地前以小差率
二因之則勾得□股得□較得□和得□弦得□黄
得□即叀段各數也後以大差率九因之則勾得□
股得□較得□和得□弦得□黄得□即明段各數
也既得明叀各數餘可知按此因明弦即皇極形勾/弦差叀弦即皇極形股弦
差故以小差率乘各率即得叀段各數/以大差率乘各率即得明段各數也
按右二卷明叀前十八問後十六問在集中尤為
[008-22a]
神妙惜其中有偶爾思省未至者亦未暇修飾故
耳
[008-22b]
測圓海鏡卷八
