[002-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡卷二
元 李冶 撰
正率一十四問
假令有圓城一所不知周徑四面開門門外縱横各有
十字大道其西北十字道頭定為乾地其東北十字
道頭定為艮地其東南十字道頭定為㢲地其西南
十字道頭定為坤地所有測望雜法一一設問如後
[002-1b]
或問甲乙二人俱在乾地乙東行三百二十步而立甲
南行六百步望見乙問徑幾里
答曰城徑二百四十步
法曰此為勾股容圓也以勾股相乗倍之為實併勾
股冪以求弦復加入勾股共以為法
草曰置甲南行六百步在地以乙東行三百二十步
乘之得一十九萬二千步倍之得三十八萬四千步
為實以乙東行步自之得一十萬零二千四百步為
[002-2a]
勾冪以甲南行步自之得三十六萬步為股冪二冪
相併得四十六萬二千四百步為弦方實以平方開
之得六百八十步則弦也以弦加勾股共共得一千
六百步以為法如法而一得二百四十步則城徑也
合問
或問甲乙二人俱在西門乙東行二百五十六步甲南
行四百八十步望見乙問答同前
法曰此為勾上容圓也以勾股相乘倍之為實併勾
[002-2b]
股冪以求弦加入股以為法
草曰置甲南行四百八十步在地以乙東行二百五
十六步乘之得一十二萬二千八百八十步倍之得
二十四萬五千七百六十步為實以乙東行步自之
得六萬五千五百三十六步為勾冪以甲南行步自
之得二十三萬零四百步為股冪勾股冪相併得二
十九萬五千九百三十六步為弦方實以平方開之
得五百四十四步為弦也以加入南行步共得一千
[002-3a]
零二十四步以為法而一得二百四十步則城徑合
問
或問甲乙二人俱在北門乙東行二百步而止甲南行
三百七十五步望見乙問答同前
法曰此為股上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾
股冪求弦加入勾以為法
草曰置甲南行三百七十五步以乙東行二百步乘
之得七萬五千步倍之得一十五萬步為實以乙東
[002-3b]
行自之得四萬步為勾冪以甲南行自之得一十四
萬零六百二十五步為股冪勾股冪相併得一十八
萬零六百二十五步為弦方實如平方而一得四百
二十五步則弦也加入乙東行二百步共得六百二
十五步以為法以法除之得二百四十步則城徑也
合問
或問甲乙二人俱在圓城中心而立乙穿城向東行一
百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望見
[002-4a]
乙問答同前
法曰此為勾股上容圓也以勾股相乘倍之為實併
勾股冪如法求弦以為法
草曰以二行步相乘得三萬四千六百八十步倍之
得六萬九千三百六十步為實置乙東行自之得一
萬八千四百九十六步為勾冪又以甲南行自之得
六萬五千零二十五步為股冪二冪相併得八萬三
千五百二十一步為弦方實以平方開之得二百八
[002-4b]
十九步即弦也便以為法如法除實得二百四十步
即圓城之徑也合問
或問甲乙二人同立於乾地乙東行一百八十步遇塔
而止甲南行三百六十步回望其塔正居城徑之半
問答同前
法曰此為弦上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾
股和為法
草曰以二行步相乘得六萬四千八百步倍之得一
[002-5a]
十二萬九千六百步為實併二行步得五百四十步
以為法除實得二百四十步即城徑也合問
或問甲乙二人俱在坤地乙東行一百九十二步而止
甲南行三百六十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰此為勾外容圓也以勾股相乘倍之為實以弦
較和為法
草曰以二行步相乘得六萬九千一百二十步倍之
得一十三萬八千二百四十步為實置乙東行自之
[002-5b]
得三萬六千八百六十四步為勾冪又置甲南行自
之得一十二萬九千六百步為股冪二冪相併得一
十六萬六千四百六十四步為弦方實以平方開之
得四百零八即弦也又置甲南行步内減乙東行步
餘一百六十八步即較也以較加弦共得五百七十
六步以為法實如法而一得二百四十步為城徑也
合問
按此題用勾股求得弦即可加減得弦較較為城
[002-6a]
徑今必以勾股相乘倍積為實求得弦加減得弦
較和為法而後始得弦較較為城徑者蓋欲因此
並明勾股相乘之倍積為弦較較弦較和相乘之
積非故為紆廻也
或問甲乙二人同立於艮地甲南行一百五十步而止
乙東行八十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰此為股外容圓也以勾股相乘倍之為實以弦
較較為法
[002-6b]
草曰二行步相乘得一萬二千倍之得二萬四千步
為實以甲南行自之得二萬二千五百步為股冪又
以乙東行步自之得六千四百步為勾冪勾股冪相
併得二萬八千九百步為弦方實以平方開之得一
百七十步即弦也以二行步相減餘七十步為勾股
較也以此較又減弦餘一百步即弦較較也便以為
法實如法而一得二百四十步即城徑也合問
按此題係弦較和為城徑其用法實以較取和之
[002-7a]
意與上題同
或問甲乙二人同立於㢲地乙西行四十八步而止甲
北行九十步望乙與城㕘相直問答同前
法曰此為弦外容圓也勾股相乘倍之為實以弦和
較為法
草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八
千六百四十步為實以甲北行自之得八千一百步
為股冪又以乙西行自之得二千三百零四步為勾
[002-7b]
冪併二冪得一萬零四百零四步為弦方實以平方
開之得一百零二步為弦也又併二行步得一百三
十八步為和以弦減和餘三十六步得黄方以為法
實如法而一得二百四十步即城徑也合問
按此題弦和和即城徑其以勾股相乘倍積為實
黄方為法者亦以明弦和和黄方相乘之積與勾
股相乘之倍積為相等也
或問甲乙二人俱在南門乙東行七十二步而止甲南
[002-8a]
行一百三十五步望乙與城㕘相直問答同前
法曰此為勾外容圓半也以勾股相乘倍之為實以
大差為法
草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一
萬九千四百四十步為實又以乙東行自之得五千
一百八十四步為勾冪又以南行自之得一萬八千
二百二十五步為股冪二冪相併得二萬三千四百
零九步為弦方實以平方開之得一百五十三步即
[002-8b]
弦也以乙東行七十二步為勾以減弦餘八十一步
即勾弦差也便以為法實如法而一得二百四十步
即城徑也合問
或問甲乙二人俱在東門甲南行三十步而止乙東行
一十六步回望甲與城㕘相直問答同前
法曰此為股外容圓半也以勾股相乘倍之為實以
小差為法
草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六
[002-9a]
十步為實又以乙東行自之得二百五十六步為勾
冪又以甲南行自之得九百步為股冪二冪相併得
一千一百五十六步為弦方實以平方開之得三十
四步即弦也以甲南行三十步為股以減弦餘四步
以為法以法除實得二百四十步即城徑也合問
或問甲出西門南行四百八十步而止乙出東門南行
三十步望見甲問答同前
法曰此為半矮梯也以二行步相乘為實如平方而
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一得半徑
草曰以二行步相乘得一萬四千四百步為實以平
方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
又問甲乙二人乙出南門折而東行七十二步而止甲
出北門折而東行二百望見乙問答同前
法曰以二行步相乘得數四之為實如平方而一得
城徑
草曰二行步相乘得一萬四千四百步又四之得五
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萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即
城徑也合問
又假令乙出南門折東行二十步甲出北門折東行七
百二十步如此之類亦同上法以上三問是以/半矮梯求之
按右三題通為一問
或問甲乙二人乙在艮地東行八十步而立甲在坤地
南行三百六十步望見乙問答同前
法曰此為兩差求黄方也以二行步相乘倍之為實
[002-10b]
以平方開得城徑
草曰二行步相乘得二萬八千八百步倍之得五萬
七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城
徑也合問 别得甲南行即股圓差也乙東行即勾
圓差也
或問甲出東門四十八步而立乙出南門四十八步見
之問答同前
法曰此當以方五斜七求之每出門二步管徑十步
[002-11a]
草曰置出門步在地以五之得二百四十步即城徑
也據此法合置出門步在地以十之二而一以二數
相折故五因便是合問
按方五斜七古率非密率也設問以盡此題之變
故率之踈密勿論
或問出西門南行四百八十步有樹出北門東行二百
步見之問答同前
法曰以二行步相乗為實二行步相併為從二步常
[002-11b]
法得半徑
草曰立天元一為半徑置南行步在地内減天元半
徑得□□為股圓差按斜畫者少之記也□□是為/四百八十步少一元也下倣此
又置乙東行步在地内減天元得下式□□為勾圓
差以勾圓差乘股圓差得丨□□按丨□□為一平/方少六百八十元
多九萬/六千步為半段黄方冪即城冪之半也寄/左又置天元
冪以倍之得□□亦為半段黄方冪與左相消得丨
□□如帶縱法之得半徑合問按相消者取上兩相/等之數同加減相等
[002-12a]
之數使一為步數一為方元數仍相等也如寄數内/減一平方加六百八十元則得九萬六千步又數内
亦減一平方加六百八十元則得一平方六百八十/元是為一平方六百八十元與九萬六千步等故其
式為丨□□舊稿方元數皆作斜畫以别之然/遇方元數有多少異號者殊混人目今不用
又法識别得二行併即大弦也立天元一為半徑置甲
南行步加天元一得□□為大股又置乙東行步加
天元得□□為大勾也勾股相乘得丨□□為一个
大直積以天元除之得下式□□□為三事和寄左/黄方
除倍積得三事和今以半黄/方除直積亦為三事和也然後併二行步又併入
[002-12b]
勾股共得□□為同數與左相消得□□□以帶縱
平方開之得一百二十步倍之得全徑也合問
按是書皆先法後草草者以立天元一推衍而得
其方元積數者也法者又取推衍中之支節條目
融㑹而歸於簡約者也草者法之本法者草之用
法使人易於推步而草則存其義以俟知者二者
相須不可偏廢顧應祥僅演其開方乘除之數而
去其細草蓋亦不得其理矣
[002-13a]
按元時未有筆算故加減乘除之式不能詳載觀
者遂以為無下手處今借根方法既明視此則渙
如氷釋矣
[002-13b]
測圓海鏡卷二
