KR3f0042 測圓海鏡-元-李治 (master)


[009-1a]
欽定四庫全書
 測圓海鏡卷九
              元 李冶 撰
  大斜四問
或問甲丙俱在中心丙望南門直行不知步數而止甲
 出東門直行不知步數望見丙斜行與丙相㑹二人
 共行了六百八十步仍云甲直行少於丙直行一百
 一十九步問答同前
[009-1b]
 法曰二數相減餘以為冪内却減差冪為平實二數
 相減又四之於上又加入二之差步為益從二步常
 法得皇極勾
 草曰别得共步即皇極三事和少步即勾股差也立
 天元一為皇極勾加少步得□□為股也又以天元
 加股得□□為和也以和減共步得□□為弦也弦
 自之得□□□為一段弦冪寄/左然後置股以天元乘之
 又倍之得□□為二直積加入少步冪□共得□□
[009-2a]
 □為同數與左相消得□□□平方而一得一百三
 十六即勾也勾加差為股勾股相乘倍之為實勾股
 和減共步為法得城徑
又法云數併與云數差相乘按此句有誤當云和數與/倍差相加相減二得數相
 乘/為平實云數併與二數差相併得數以減於八之
 共步為益從按此只云六因和/步為益從亦同一步常法得皇極黄
 方
 草曰立天元一為黄方即虚/弦也副置之上位加共步得
[009-2b]
 □□為二和也下位減共步得□□為二弦也先以
 二和自乘得丨□□為四段和冪又以二弦自乘得
 丨□□為四段弦冪二數相減餘得□又倍之得下
 式□為十六段直積於天元位寄/左然後副置二和上
 位加二之少步得□□為四股下位減二之少步得
 □□為四勾勾股相乘得丨□□為同數與左相消
 得□□□平方而一得一百二步即皇極黄方也餘
 各依法求之合問
[009-3a]
或問甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步數而立甲
 向東行望見丙就丙斜行六百八十步與丙相㑹丙
 云我南行步多於甲東行二百八十步問答同前
 法曰以云數差乘云數併為實倍多步為從二為平
 隅得大勾
 草曰立天元為大平按大平/即大勾加差得□□為股倍天
 元乘之得□□為二積寄/左然後以斜步多步併□與
 斜步多步較□相乘得□為同數與左相消得□□
[009-3b]
 □開平方得三百二十步即大勾也合問
或問甲乙二人共立於艮隅乙南行過城外而立甲東
 行望乙與城叅相直而止丙丁二人共立於坤隅丁
 向東行過城門而立丙向南行望丁及甲乙悉與城
 俱相直丙復就甲斜行六百八十步與甲相㑹乙丁
 又云吾二人直行共得三百四十二問答同前
 法曰二云數相乘倍之為實倍斜行於上以二云數
 相減加上位為從一步常法開平方得城徑
[009-4a]
 草曰别得斜步即大弦也其共步則一徑一虚弦共
 也其二數相併為一大和一虚弦共數也立天元為
 徑減於共步得□□為虚弦也以虚弦復減於天元
 得□□為虚和以斜步乘之得□□寄/左乃以天元加
 斜步得□□為大和以虚弦乘之得□□□為同數
 與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑
 也合問
或問甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西
[009-4b]
 門向南直行壬從北門穿城南行四人遥相望悉與
 城叅相直只云丙相望處六百八十步庚壬穿城共
 行了六百三十一步問答同前
 法曰共步自之得數以共步減斜餘自乘以減上為
 實二之斜步加入共步減斜餘數為從一步常法得
 城徑
 草曰共行步為一徑與皇和共也又為大和皇弦差
 也甲丙相望即大弦也以共步減大弦餘□為皇極
[009-5a]
 弦上減一徑也立天元一為圓徑減於共步得□□
 為皇極和也以自之得丨□□於上弦内減共步餘
 □又以天元加之得□□為皇極弦以自之得丨□
 □減上位餘得□□為兩个皇直積寄/左乃以天元乘
 皇弦得下式丨□為同數與左相消得丨□□開平
 方得二百四十步即城徑也合問
  大和八問
或問庚從西門穿城東行二百五十六步而立壬從北
[009-5b]
 門穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱
 在乾隅甲向東行丙向南行各不知步數而立四人
 遙相望只云甲丙共行了九百二十步問答同前
 法曰庚東行冪壬南行冪相併於上併庚壬步而倍
 之内減大和餘復減於庚壬共得數按或云併庚壬/步以減大和亦
 同/以自乘減上位為平實併庚壬步為益從半步為
 隅法得城徑
 草曰立天元一為圓徑以半之副置二位上以減於
[009-6a]
 庚東行得□□為平弦也下以減於壬南行得□□
 為髙弦也二弦相併得□□為皇弦虚弦共也倍此
 數得□□為大弦虚弦共也以大弦虚弦共減於大
 和餘□□為虚勾虚股共也天元内減虚勾虚股共
 餘□□即虚弦也復置皇弦虚弦共内減虚弦餘□
 □即皇極弦也以自之得□□寄/左然後以平弦自之
 得下式□□□為勾冪也又以髙弦自之得□□□
 為股冪也二冪相併得□□□為同數與左相消得
[009-6b]
 □□□平方而一得二百四十步即城徑也合問
或問丙甲俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向
 南行望見甲就甲斜行與甲相㑹甲直行丙直行共
 九百二十步甲步少/於丙步又出東門南行有柳樹一株出
 南門東行有槐樹一株戊己二人同在巽隅戊就柳
 樹已從槐樹亦與甲乙遥相望只云已行少於戊行
 數與兩樹相距數相併得一百四十四步其二數相
 減餘六十步問答同前
[009-7a]
 法曰二云數相併而半之為虚弦以乘大和九百二
 十步於上以一百四十四減大和以虚較乘之減上
 位為平實以一百四十四減大和又二之於上以二
 之虚較減上位按或云倍甲丙直行共加己戊較與/兩樹距之較減三之己戊較與兩樹
 距之和/亦同為從四虚隅得太虚勾
 草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳樹步即虚
 股也已就槐樹步即虚勾也其一百四十四步即二
 明勾其六十步即二叀股也立天元一為虚勾加明
[009-7b]
 勾得□□為半徑也倍之得□□即城徑也又為虚/弦上三
 事/和二云數相併而半之得□即小弦也相減而半之
 得□即小較也以天元加較得□□即小股也小勾
 股共得□□即小和也以小三事減大和得□□即
 大弦也乃先置小和以大弦乘之得下式□□□寄/左
 次以小弦乘大和得□□與左相消得下式□□□
 開平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二
 百四十步即城徑也合問
[009-8a]
或問甲從乾隅東行乙從艮隅南行丙從乾隅南行丁
 從坤隅東行四人遥相望見既而甲還至艮隅就乙
 丙還至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲還就
 乙共二百三十步丙還就丁共五百五十二步問答
 同前
 法曰併就數以減直行共復以所併就數乘之為實
 併就數減直行共得數復加入直行共為法得虚弦
 草曰别得甲丙直行共為大和也甲還就乙步為小
[009-8b]
 差勾股共也丙還就丁步為大差勾股共也以大差
 勾股共減於大股餘即虚勾也以小差勾股共減於
 大勾餘即虚股也二數相併得□為大弦虚弦共也
 二數相減餘□為通差及大虚勾股差共也又併二
 數而半之得□為太極弦虚弦共又為太極勾股共
 也立天元一為虚弦先以二共數減於大和餘□為
 虚勾虚股和於上次以虚弦減於二共數餘□□為
 大弦以乘上位得下□□寄/左然後以天元乘大和得
[009-9a]
 □為同數與左相消得□□上法下實得一百二步
 即虚弦也加入虚和得二百四十步即城徑也合問
又法併云數減大和復以二數相減乘之為實併云數
 減大和得數復加入大和為法得虚差
 草曰立天元一為虚較先以併云數減大和餘□為
 虚和於上次以天元減於二就步較□得□□為通
 差以乘之得□□寄/左然後以天元乘大和得□為同
 數與左相消得□□上法下實得四十二步即虚差
[009-9b]
 也副置虚和為二位上加虚差而半之得九十即虚
 股也下減虚差而半之得四十八即虚勾也勾冪股
 冪相併得□開平方得一百二步即虚弦也加入虚
 和得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云股圓差上勾弦差二百一十六
 勾圓差上股弦差二十步問答同前
 法曰以云數二十步減通和復以二十步乘之於上
 以云數二百一十六減九百步按即併二差/以減大和而半之
[009-10a]
 乘上位為立實三因二十步以減通和得八百六十
 以二百一十六減通和而半之得二百四十二二數相
 乗訖内減二十之九百步又以三百四十二及二百
 一十六共得五百五十八又以之以減之為從方按/取
 從方内語有誤當云三因小差減大和併二差減大/和半之相乘於上三因大和加大差減三之小差半
 之以小差乘之得/數減上位為從方以二百一十六減通和又以三之
 二十步減通和相併於上以二之五百五十八内却
 減二十步餘以減上位為益亷按取益亷内語亦有/誤當云三因大和減
[009-10b]
 六之小差/為益亷四步常法得小差股
 草曰别得小差上股弦差□加二股為大勾也大差
 上勾弦差□加二勾為大股也立天元一為小差股
 加□得□□為小差弦也小差弦上又加天元得□
 □為通勾以減於和步得□□為通股也通股内減
 大差上勾弦差□得□□半之得下式□□即大差
 之勾也大差勾上又加勾弦差□得□□為大差弦
 也再置通股以小差弦乘之得□□□以天元除之
[009-11a]
 得□□□為一个大弦也泛/寄再置通勾以大差弦乘
 之得□□□合以大差勾除不除寄母便以為大弦
 寄/左乃以大差勾乘泛寄得□□□□為同數與左相
 消得□□□□益積開立方得一百五十步為小差
 股也合問
或問依見前大和只云髙弦平弦共得三百九十一步
 髙弦平弦相較得一百一十九步問答同前
 法曰以較數冪減於共數冪又半之為實以共數減
[009-11b]
 大和為益從一步常法開平方得圓徑
 草曰别得髙數減於通股為邊股内減明股也平弦
 減於通勾為邊勾内減明勾也其共數即大弦内減
 皇極弦又為皇極勾股共也其相較步即皇極差也
 二云數相併即黄廣弦也二云數相減餘即黄長弦
 也以共數減於大和餘□為皇極弦與圓徑共立天
 元一為圓徑以減皇極弦與圓徑共得□□為皇極
 弦也以共數自之得□於上以相較數自之得□減
[009-12a]
 上位餘□又半之得□為兩段皇極積寄/左乃以天元
 乘皇極弦得卜□為同數與左相消得下□□□開
 平方得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云大差弦四百八步小差弦一百
 七十步問答同前
 法曰以併云數減大和復以乘大和又倍之為平實
 三之通和於上又以併云數減大和加上位為從二
 步虚法得圓徑
[009-12b]
 草曰大差弦減和步餘□為大勾大差勾共也以小
 差弦減大和餘□為大股小差股共也云數相併□
 即大弦内減虚弦也云數相減得□為虚弦平弦共
 也按此二語因數/偶合而誤見前以相併數減於大和餘□為大差
 勾小差股共又為圓徑虚弦共也立天元一為圓徑
 減於□得□□為虚弦也返以減於圓徑得□□為
 小和也以天元減大和得□□為大弦以乘小和得
 □□□寄/左乃再置虚弦以通和乘之得□□與左相
[009-13a]
 消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云黄廣弦五百一十步黄長弦二
 百七十二步問答同前
 法曰云數相併減大和復以相併數乘之為實云數
 相併減大和得數復以加大和為法得虚弦
 草曰别得黄廣弦又為大差弦虚弦共又為邊股叀
 股共也黄長弦又為小差弦虚弦共又為底勾明勾
 共也以黄廣弦減於大股餘即虚股以黄長弦減於
[009-13b]
 大勾餘即虚勾故併數以減於大和餘□為虚和也
 以虚和減徑□□即虚弦也二云數相併得□為大
 弦虚弦共也云數相減餘□為虚弦平弦共按此句/誤同上
 立天元一為虚弦以減於七百八十二得□□為大
 弦也以小和乘之得□□寄/左乃以天元虚弦乘大和
 得□呔為同數與左相消得□□上法下實得一百
 二步即虚弦也合問
或問依前見大和只云邊弦五百四十四步底弦四百
[009-14a]
 二十五問答同前
 法曰云數相減自之為實以大和減併數為法得皇
 極弦
 草曰别得以邊弦減大股餘為半徑内減平勾又為
 平弦内減勾圓差也以底弦減於大勾餘為髙股内
 少半徑又為股圓差内少髙股也二云數相併得九
 百六十九為大弦皇極弦共也二云數相減□為皇
 極勾股差也併數内減通和餘□為皇極弦内減圓
[009-14b]
 徑也立天元一為皇極弦以自之於上以一百一十
 九自之減上位得丨□□為二皇積寄/左復置天元内
 減四十九得下式□□為黄方復以天元乘之得丨
 □與左相消得□□上法下實得二百八十九步即
 皇極弦也内減四十九餘即城徑也合問
  按右大和八問每問於大和外復設二數然多有
  大和外設一數即可求者細考其法草所載皆三
  數並用婉轉求之蓋意在發明三數取用之理非
[009-15a]
  不知其可省也
 
 
 
 
 
 
 
[009-15b]
 
 
 
 
 
 
 
 測圓海鏡卷九