[002-1a] 
欽定四庫全書
數學九章卷二上 宋 秦九韶 撰
天時
推氣治厯
問太史測驗天道慶元四年戊午嵗冬至三十九日九
十二刻四十五分紹定三年庚寅嵗冬至三十二日
九十四刻一十二分欲求中間嘉泰甲子嵗氣骨嵗
餘斗分各得幾何
[002-1b]
按紹定三年庚寅之冬至實紹定四年辛夘之
始辛夘距戊午三十四年積年為三十三
答曰氣骨十一日三十八刻二十分八十一杪八
十小分餘嵗五日二十四刻二十九分三十杪
三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十
杪三十小分
術曰先距前後年數為法置前測曰刻分减後測曰
刻分餘為率不足减則/加紀䇿以紀䇿累加之今及天道合
[002-2a]
用五日以上數為實以法除實得嵗餘去全日餘為
斗分以所求中間年上距前測年數乘嵗餘益入前
測日刻分滿紀䇿去之餘為所求氣骨
草曰置前測戊午嵗距前嵗庚寅嵗得三十三為法
置前測戊午嵗冬至三十九日日辰/癸夘九十二刻四十
五分減後測紹定三年庚寅嵗冬至三十二日日辰/丙申
九十四刻一十二分今後測者少不及前測者以減
乃加紀法六十日於後測日内得九十二日九十四
[002-2b]
日一十二分然後用前測者減之餘五十三日一刻
六十七分為率按術當以法三十三餘率須使啇數
必得五日以上乃可今率未得五日乃兩度累加紀
法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十
七分為刻實如法除之得五日二十四刻二十九分
三十杪三十小分不盡/棄之為嵗餘乃去全五日得二十
四刻二十九分三十杪三十小分為斗分次推嘉泰
甲子上距慶元戊午嵗得六以乘嵗餘五日二十刻
[002-3a]
刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五
刻七十五分八十一杪八十小分益入前測戊午嵗
三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八
刻二十分八十一杪八十小分滿紀法六十去之餘
一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分為
所求甲子 氣骨之數合問
按氣骨者年冬至時距甲子日子正初刻後之
日分也嵗餘者嵗實去六甲子之餘日分也斗
[002-3b]
分者嵗實去三百六十五日之餘分也此未知
嵗實之法故先以前後兩氣骨相減餘數為實
以積年為法除之嵗餘約五日餘紀日六十故
實數内累加六十日至啇得五日上而止則實
數為積嵗餘之數以積年除之得嵗餘日分既
得嵗餘以甲子積年六乘之得甲子積嵗餘與
前測氣骨相加滿紀法去之餘即甲子氣骨也
治厯推閏
[002-4a]
問開禧厯以嘉泰四年甲子嵗天正冬至為一十一日
日辰/乙亥四十四刻六十一分五十四杪十一月經朔一
日日辰/乙丑七十五刻五十五分六十二杪問閏骨閏率
各幾何
答曰閏骨九日六十九刻五分九十一杪不盡一/百六十
九分杪之一/百二十一
閏骨率十六萬三千七百七十一
術曰以日法各通氣朔日刻分杪各為氣骨朔骨分
[002-4b]
其氣骨分如約率而一約盡者為可用或收弃餘分/在一刻以下
者亦/可用然後與朔骨分相減餘為閏骨率以日法約之
為閏骨䇿
草曰置本厯曰法一萬六千九百先通冬至一十一
日四十四刻六十一分五十四杪得一十九萬三千
四百四十分二十六小分為實其歴約率係三千一
百二十以約之得六十二可用其餘小分二十六乃
弃之只用一十九萬三千四百四十為氣骨分次
[002-5a]
置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本厯日
法一萬六千九百乘之得二萬九千六百六十八分
九十九杪七十八小分將近一分故於氣骨内所弃
二十六小分借二十二小分以補朔内收上得二萬
九千六百六十九為朔然後以朔骨分減氣骨分餘
有一十六萬三千七百七十一為閏骨率復以日法
除之得閏骨䇿九日六十九刻五分九十一杪不盡
一百二十一筭直命之為一百六十九分杪之一百
[002-5b]
二十一合問
按此題若置冬至日分内減經朔日分餘九日
六十九刻五分九十二杪得閏骨䇿此原草僅
多一百六十九分杪之四十八盡草中氣骨内
棄小分二十六朔骨分内進二十二併之為一
百六十九分杪之四十八其不徑相減而必用
通分約分累乘累除者為向後推筭用耳
治厯演紀
[002-6a]
問開禧歴積年七百八十四萬八千一百八十三欲知
推演之原調日法求朔餘朔率斗分嵗率嵗閏入元
嵗入閏朔定骨閏泛骨閏縮紀率氣元率元閏元數
及氣等率因率蔀率朔等數因數蔀數朔積年二十
三事各幾何
答曰日法一萬六千九百
朔餘八千九百六十七
朔率四十九萬九千六十七
[002-6b]
斗分四千一百八
嵗率六百一十七萬二千六百八
嵗閏一十八萬三千八百四
入元嵗九千一百八十
入閏四十七萬四千二百六十
朔定骨二萬九千六百六十九
閏泛骨一十六萬三千七百七十一
閏縮一十八萬八千五百七十八
[002-7a]
紀率一百一萬四千
氣元率一萬九千五百
元閏三十七萬七千八百七十三
元數四百二
氣等率五十二
因率一百四十四
蔀率三百二十五
朔等數一
[002-7b]
因數四十五萬七千九百九十九
蔀數四十九萬九千六十七
朔積年七百八十三萬九千
積年七百八十四萬八千一百八
術曰以厯法求之大衍入之調日法如何承天術用
强弱母子互乘得數併之為朔餘以二十九日通日
法增入朔餘為朔率又以日法乘前厯所測冬至氣
刻分收棄末位為偶數得斗分與日法用大衍術入
[002-8a]
之求等數因率蔀率以紀乘等數為約率置所求氣
定骨如約率而一得數以乘因率滿蔀率去之不滿
以紀法乘之為入元嵗次置嵗日以日法通之併以
斗定分為嵗率以十二月乘朔率減嵗率餘為嵗閏
以嵗閏乘入元嵗滿朔率去之不滿為入閏與閏骨
相減之得差或適足便以入元嵗為積年後術並不/用或差在刻分法半數以下者亦以入
元嵗為/積年必在刻分法半數以上却以閏泛骨併朔率
得數内减入閏餘與朔率求閏縮在朔率以下便為/閏縮以上用朔率
[002-8b]
減之/亦得以紀法乘日法為紀率以等數約之為氣元率
以氣元乘嵗閏滿朔率去之不滿為元閏虗置一億
減入元嵗餘為實元率除之得乘限乃以元閏與朔
率用大衍入之求得等數因數蔀數以等約閏縮得
數以因數乘之滿蔀數去之不滿在乘限以下以乘
元率為朔積年併入元嵗為演紀積年又加成厯年
今人相乘演積年其術如調日法求朔餘朔率立
斗分嵗餘求氣骨朔骨閏骨及衍等數約率因率蔀
[002-9a]
率求入元嵗嵗閏入閏元率元閏已上皆同此術但
其所以求朔積年之術乃以閏骨減入閏餘為之閏
贏却與閏縮朔率列號甲乙丙丁四位除乘消減謂
之方程乃求得元數以乘元率所得為之積年加入
元嵗共為演紀嵗積年所謂方程正是大衍術今人/少知
非特置筭繁多初無定法可傳甚是惑悮後學易失
古人之術意故今術不言閏贏而曰入閏差者蓋本
將來可用入元嵗便為積年之意故今止將元閏朔
[002-9b]
率二項以大衍先求等數因數蔀者仍倣前前求入
元嵗之術理假閏骨如氣骨以等數為約數及求乘
數蔀數以等約閏縮得因乘數滿蔀去之不滿在限
下以乘元率便為朔積年亦加入元嵗共為演紀積
年此術非惟止用乘除省便又且於自然中取見積
年不惑不差矣新術敢不用閏贏而求者實知閏贏
已存於入閏之中但求朔積年之竒分與閏縮等則
自與入閏相合必滿朔率所去故也數理精微不易
[002-10a]
窺識窮年致志感於夢寐幸而得知謹不敢隐
草曰本厯以何承天術調得一萬六千九百為日法
係三百三十九强一十七弱先以强數三百三十九
乘强子二十六得八千八百一十四於上次以弱數
一十七乘弱子九得一百五十三併上共得八千九
百六十七為朔餘次以日法通朔䇿二十九日得四
十九萬一百增入朔餘得四十九萬九千六十七為
朔率又以日法乘統天厯所測毎嵗冬至周日下二
[002-10b]
十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪為斗
泛分驗八分既偶遂棄三十九杪只以四千一百八
分為斗定分與日法以大衍術入之□得五十二為
等數一百四十四為因率三百二十五為蔀率以甲
子六十為紀法乘等數得三千一百二十為約率却
置本厯上課所用嘉泰甲子嵗氣骨一十一日四十
四刻六十一分五十一杪以乘日法得一十九萬三
千四百四十分二十六杪為氣泛骨欲滿約率三千
[002-11a]
一百二十而一故就近乃棄微杪只以一十九萬三
千四百四十為氣定骨然後以約率三千一百二十
除之得六十二以因率一百四十四乘之得八千九
百二十八滿蔀率三百二十五去之不滿一百五十
三以紀法六十乘之得九千一百八十年為入元嵗
次置嵗 三百六十五以日法乘之得六百一十六
萬八千五百併斗定分四千一百八得六百一十七
萬二千六百八為嵗率却以十二月乘朔率四十九
[002-11b]
萬九千六百七得五百九十八萬八千八百四率内
減去此數餘一十八萬三千八百四為嵗閏以嵗閏
乘入元嵗九千一百八十得一十億八千七百三十
二萬七百二十滿朔率去之不滿四十七萬四千二
百六十為入閏次置本厯所用嘉泰甲子嵗天正十
一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪以日法
乘之得二萬九千六百六十八分九千九百七十八
杪為朔泛骨就近收杪為一分共得二萬九千六
[002-12a]
百六十九為朔定骨數然後乃以朔定骨減氣骨一
十九萬三千四百四十餘一十六萬三千七百七十
一為閏泛骨置日法以二百歸除之得八十四半為
半刻法次以入閏數内減去閏泛骨與入閏相課減
之餘三十一萬四百八十九此是/閏贏為差半刻法以上
乃以閏泛骨併朔率共得六十六萬二千八百三十
八以入閏四十七萬四千二百六十減之餘一十八
萬八千五百七十八在朔率下便為閏縮次以紀䇿
[002-12b]
六十乘日法得一百一萬四千為紀率以等數五十
二歸除紀率得一萬九千五百按即六十乘三百二數/十五之數為一蔀年
為氣元率以氣元率乘嵗閏一十八萬三千八百四
得三十五億八千四百一十七萬八千滿朔率去之
不滿三十七萬七千八百七十三為元閏次置一億
按此數似虗設不過取一億之數為限耳/此所求過限又將改率數以遷就之矣以入元嵗
元千一百八十減之餘九千九百九十九萬八百二
十為實以元率一萬九千五百為法除之得五千一
[002-13a]
二十七為乘元限數乃以元閏三十七萬七千八百
七十三餘與朔率四十九萬九千六十七用大衍術
求之得等數一因等四十五萬七千九百九十九蔀
數四十九萬九千六十七然後以等數一約閏縮只
得一十八萬八千五百七十八以因數四十五萬七
千九百九十九乘之得八百六十三億六千八百五
十三萬五千四百二十二滿蔀數四十九萬九千六
百七十去之不滿四百二在乘元限數以下為可用
[002-13b]
以乘元率一萬九千五百得七百八十三萬九千年
為數積年併入元嵗九千一百八十共得七百八十
四萬八千一百八十為嘉泰四年甲子嵗積算本厯
係於丁夘嵗進呈又加丁夘三年共為七百八十四
萬八千一百八十三年為本厯積年合具繪圖如
後
按此術草内竒定相求有等數又有因數蔀數
之異蓋等數即度盡定竒兩數之數因數為竒
[002-14a]
數之倍數任倍定竒二數相較但得一等數則
竒之倍數即為因數蔀數者竒數最大之倍數
也任倍竒定至兩邊相等無較數則竒數之倍
數即謂之蔀數也等數甚小者因數不患其甚
大有蔀數以限之也草中尚多訛舛正之於後
[002-14b]
按此題術草皆曰何承天調日法而宋書所載
何承天法並無甚率且各用數亦與此不同今
細按其草日法已有定數所調者朔䇿餘分也
然從來朔䇿餘分皆以實測之朔䇿分嵗實分
兩母子互乘相通即得並無所謂調法今所載
[002-15a]
强弱母子四數大約已有朔䇿餘分與日法分
相約而得非别有所本乃故設曲折以為竒也
試以朔餘分八千九百六十七分為第一條置
日法分内減朔䇿餘分餘七千九百三十三為
第二條以此二數數取之先置第一條減第二
條餘一千零三十四為第三條七因第三條以
減第二條餘六百九十五為第四條以第四條
減第三條餘三百三十九為第五條二因第五
[002-15b]
條以減第四條餘一十七為
第六條是第五條即强母數
第六條即弱母數矣次用第
五條第六條轉求第一條以
取兩子數置第六條於上二
因第五條加之得第五條者
二第六條者一共六百九十
五為第四條以第四條加第
[002-16a]
五條得第五條者三第六條
者一共一千零三十四為第
三條七因第三條以加第四
條得第五條者二十三第六
條者八共七千九百三十三
為第二條以第二條加第三
條得第五條者二十六第六條者九共八千九
百六十七為第一條是第五條倍數即强子數
[002-16b]
第六條倍數即弱子數矣至算式中以日法取
强母數者則又以第五條第六條再約而得者
如以第五條為實第六條為法為法商之初商
得十以法乘初商得一百七十為初商積減實餘
一百六十九恰與百分日法分之一等故百除日
法分為一數又三乘之得五百零七為實以四
十九為法初商得十初商積為四百九十減實
餘十七乃以商十乘十七得一百七十與前初
[002-17a]
商積等故加與前餘積等之百分日法分之一
得三百三十九為五條之數名之曰强數也
次以日法乘朔䇿日得數併朔餘為朔率
[002-17b]
斗分見偶則棄見竒則收為偶
按此係棄分以下數不用也分為偶數即用其
數分為竒數則杪微進一分併為偶數如無杪
微即加一分
又按算中用數以日法分一萬六千九百分為
主斗分定為四千一百零八為偶數氣骨分亦
定為偶數其各時刻分皆由日分比例而得故
變時刻分為日分求之無不合
[002-18a]
[002-20a]
按求入元嵗法用斗分與日法分求等率乘率
蓋以六十年之嵗實積分與紀法分相約後以
六十除紀法分得日法分為定以六十除嵗實
積分得斗分為竒求得蔀數乘數皆與六十年
之嵗實積分與紀法分所求者同惟等數則為
六十之一故以六十乘之為乘分以約氣骨分
然後以乘數乘之滿蔀數去之所得用數為六
十年之周數故以六十乘之始為年數此立法
[002-20b]
之意也然以六十年為周數則六十年之間其
氣骨數有合者則不可得故所得年數較以嵗
實分紀分相求者為逺也
[002-21a]
[002-24a]
按氣元一萬九千五百乃前蔀數三百二十五
以六十乘之之數蓋求入元嵗用六十倍者故
[002-24b]
此仍用六十倍也
又按此皆用六十年嵗實分求得之數與用一
嵗實分求得之數同蓋因積年數為六十度盡
之數若非六十度盡之數則得數必逺也今依
其數另設一題以明其法
設宋開禧厯日法一萬六千九百分嵗實分六百一
十七萬二千六百零八法紀率分一百零一萬四
千分朔率分四十九萬九千零六十七分嘉泰甲
[002-25a]
子嵗天正冬至距甲子日子正後十九萬三千四
百四十分古名/氣骨十一月朔距甲子日子正後二萬
九千六百六十九分古名/朔骨問距歴元甲子子正初
刻冬至朔之積年幾何
答曰七百八十四萬八千一百八十年
法以紀率為紀定紀率除嵗率即嵗/實分餘八萬八千
六百零八分為紀竒依大衍術求至竒一百零三
餘分六百二十四餘分可以度盡上數則命六百
[002-25b]
二十四為等數一百零三為乘數又求得竒一千六
百二十五無餘分則命一千六百二十五為蔀數
乃以等數約氣骨分得三百一十以乘數乘之得
三萬一千九百三十滿蔀數去之餘一千零五十
五即專以氣骨分求得距厯年之積年數也舊法
以斗分嵗餘分四千/一百零八為竒日法為定求得等數一
紀法六十乘之以約氣骨得數以乘數乘之蔀數
除之餘數又以六千乘之為積年名入元嵗其術
[002-26a]
未密詳/前故所得積年為九千一百八十其數亦較
逺也
[002-26b]
次以蔀數即嵗實紀法/滿一會年數乘嵗率得一百億三千四十
八萬八千滿朔率去之餘二十三萬九千四百三
十四舊名氣元閏為朔竒朔率為朔定依前法求
得等數一乗數六千二百五十一蔀率四十九萬
九千零六十七次以前所得積年乗嵗率滿朔率
去之餘二十七萬五千二百二十四為前朔距至
前分數舊名入元閏以嘉泰甲子氣骨朔骨相減
得十六萬三千七百七十一為後朔距至前分數
[002-27a]
舊名閏骨夫十一月朔常在冬至前退行今前逺
後近是已退過一朔䇿則於後閏骨内加一朔䇿
再減去入元閏餘三十八萬七千六百一十四為
後朔前朔相差之分數舊名閏縮乃以等數約閏
縮仍得原數以乘數乘之滿蔀數去之餘四千八
百二十九為會數乃以一會年數即前/蔀數乗之得七
百八十四萬七千一百二十五為朔積年加入前
積年得七百八十四萬八千一百八十為嘉泰甲
[002-27b]
子積年
[002-28a]
又法仍按本法求之先以嵗率紀率朔率求總等
朔率不盡無總等各率朔即為各元數次連環求
[002-28b]
等朔元不盡嵗元等數等數為六百二十四留嵗
元不約約紀元得一千六百二十五分為紀泛定
嵗元朔元即為嵗泛定朔泛定次求續等紀泛定
嵗泛定等數為十三約嵗泛定乗紀泛定得四十
七萬四千八百一十六為嵗定二萬一千一百二
十五為紀定朔泛定即朔定三定數連乗得五○
○五八八五五五四六九六○○○為衍母紀定
朔定相乗得八一○九八三八七五為嵗衍嵗定
[002-29a]
朔定相乗得二三六九六四
九九六六七二為紀衍嵗定
紀定相乗得一○○三○四
八八○○○為朔衍置各衍
數滿各定數去之餘嵗竒四
七二九六三紀竒二○○四
七朔竒二三九四三四次以
各定各竒求各乗數得嵗乗
[002-29b]
數此題不用嵗乗數/求之以備其數二四九
六七紀乗數二○○○八
朔乗數六二五一以各乘數
乗各衍數得各泛用數嵗泛
用二○一九八九三二○七
九四六二五紀泛用四七四
一一九五六五四四一三三
七六朔泛用六二七○○五
[002-30a]
八 四八八○○○併三泛用與衍母數等則泛
用即為定用乃以氣骨乗紀定用得九一七一三
六八八七一九六二八三四五五三四四○置氣骨
減去朔骨餘十六萬三千七百七十一以乘朔定
用得一○二六八五三六七六七一○○二四八
○○○併數得九二七四○五四二三九六三三
八三七○一四四○滿衍母去之餘四八四四三
七三八六五三四四○為實以嵗實分為法除
[002-30b]
之得七百八十四萬八千一百八十即嘉泰甲子
積年之數也此法較前法數繁然其理可互相發
明後復設一法兼二法用之
三法先以嵗率紀率求等數得六百二十四專約
紀率得一六二五分為紀元嵗率即為嵗元又求
續等數得十三以約嵗元得四七四八一六為嵗
定以乘紀元得二一一二五為紀定紀定嵗定相
乘得一○○三○四八八○○○為衍母以紀定二一
[002-31a]
一二五為嵗衍以嵗定四七
四八一六為紀衍嵗衍小於
嵗定即為嵗竒紀衍滿紀定
去之餘一○○六六為紀竒
次以各定各竒求各乘數得
嵗乗數二五四八六一紀乗
數九七八六以各乗數乗各
衍數得各用數嵗用數五三
[002-31b]
八三九三八六二五紀用數
四六四六五四九三七六乃
以氣骨乗紀用數得八九八
八二八五一一二九三四四
○滿衍母去之餘六五一二
一○一四四○為通積分為
實以嵗實分為法除之得一
千零五十五即專以氣骨求
[002-32a]
[002-33a]
次以前衍母分即嵗率紀率一會一千/六百二十五年之積分一○○三○
四八八○○○與朔率分求等數得一即以前衍
衍母分為嵗紀元亦即為嵗紀定以朔率分四九九
○六七為朔元亦即為朔定二定數相乗得五○○
五八八五五五四六九六○○
○為衍母以朔定為嵗紀衍以
嵗紀定為朔衍嵗紀衍小於嵗
紀定即以嵗紀衍為嵗紀竒明
[002-33b]
衍滿朔定去之餘二三九四
三四為朔竒各以定竒求乗
數得嵗紀乗數九九○四八
五二四○三朔乗數六二五
一以各乗數乗各衍數得嵗
紀泛用數四九四三一八四
九七四二○八○○一朔泛
用數六二七○○五八○四
[002-34a]
八八○○○併二泛數與衍
母等則泛用數即為定用數
乃置前通積分六五一二一
○一四四○滿朔率去之餘
二七五二二四為入元第一
千零五十五年之閏分又置
嘉泰甲子氣骨減去朔骨餘
一六三七七一為嘉泰甲子
[002-34b]
之閏分閏分每嵗漸加今後數小於前數是知已
加過一朔率乃於後閏分内加一朔率分減去前
閏分得三八七六一四為前後閏分差以乗朔定
用數得二四三○三六二二八○五二七五六三
二○○○滿衍母去之餘四八四三七二二六五
五二○○○為實以嵗率為法收之得七百八十
四萬七千一百二十五為後積年數並前積年數
共得七百八十四萬八千一百八十年為嘉泰甲
[002-35a]
子積年與前數合
[002-36a]
[002-36b]
按右竒定相求其上層竒一數即大衍術中所
謂立天元一也其逐層數即術中所謂遞互乗
餘也其下層竒得數即術中所謂乗數也有等/數者
求蔀/數古無筆算舊式所載不詳兼多重複舛偽
之處集中惟此問甚繁故既設題以明其法
復備録加減乗除之數以詳其算式俾觀者易
見焉
綴術推星
[002-37a]
問嵗星合伏經一十六日九十分行三度九十分去曰
一十三度乃見後順行一百一十三日一十十七度
八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率
末行率平行率各幾何
按此以兩積曰之遞差積度求各行率也蓋合
伏初日其行最疾以次漸遲遲極則留總其積
度略如遞減差分故古法皆以其術歩之
答曰合伏一十六日九十分 常度三度九十度
[002-37b]
初行率二十三分九十七杪 平行率二十三
分二杪 末行率二十二分七杪
晨疾初三十日 常度六度一十三分 初行
率二十一分九十六杪 平行率二十分三十
三杪 末行率一十八分七十杪
術曰以方程法求之置見日減一餘半之為見率以
伏日併見日為初行法以法半之如見率共為伏率
以伏日乘伏率為伏差以見日乘見率為見差以伏
[002-38a]
日乘見差於上以見日乘伏差減上餘為法以見日
乘伏度為泛以伏日乘見度減泛餘為實實滿法而
一為度不滿退除為分杪即得日差
按此求逐日之遞差為日差也術曰方程非也
其所謂見數者乃徒設一數宛轉附會使合於
方程之行列也如 見日減一折半為見率併
伏見日折半為半總日既以半總日加見率先
以伏日乘之後以見日乗之復置見率先以見
[002-38b]
日乘之後以復日乘之相減然後為法豈非半
總日不用加見率但以伏日見日連乘之即可
為法乎特多立名目故為曲折顛倒使人不易
辦耳今去其見率另為歩算於後以明其立法
之本意焉
法以合伏日除伏行度得二十三分九七六/ 二三為合
伏日折中第八日四十五分一日之行度即第七/日九十
五分至第八日九/十五分之行度以順行日除順行度得十五分
[002-39a]
七七八/七六一為順行日折中第五十六日五十分一日
之行度兩一日之行度相減行七分一九八/一六二為合
伏第八日四十五分與順行第五十六日五十分
兩一日之行度較為實併合伏順行兩日數而半
之得六十四日九/五為合伏第八日四十五分至順
行五十六日五十分之積日為法除之得十一杪
二三六/五八五為一日遞差之數即日差若不先用除則
以兩日數與兩行度互乘相減為實兩日數相乘
[002-39b]
又併兩日數而半之再乘為法得數亦同
求初行率置初法減一餘乘日差為寄以半初行法
乘寄得數又加伏見度共為初行實以法退除之得
合伏日初行率
按此求合伏第一日最疾之行也其法即遞減
差分有總數有次數有毎次差數求初次最大
之數也初行法減一乘日差為寄者合伏初日
與順行末日兩行率之差也半法乗寄與積差
[002-40a]
等故加共度為實以共日為法除之為合伏初
日行率二十三分九十七杪也
求未行率以段日乘日差減初行率餘為末行率
按此求合伏末日之行率也以段日乘日差求
合伏初末日兩行率之較也既得初末日兩行
率之較以減初行率即末行率也
求平行率以初行率併未行率而半之為平行率
按此即均分合伏度為毎日之平行率也與遞
[002-40b]
加遞減有首尾數求中數者同應與伏日除伏
度數同不同者本非遞差之數也
求交段差以各段常日下分數減全日一百分餘乗
末日行率為交段差
按此即各段日下分數不及一日所差之行分
也求之以備後數加減
累減前段積度以益後段積度各為常度
按常度即各段積度也求晨疾初段常度見常
[002-41a]
中專解於後
草曰以伏日隨伏度為右行以見日隨見度為左行
以度對度日對日其度於上日於中空其下列之
[002-41b]
置見日一百一十三減一餘一百一十二以半之得
五十六為見率以伏日一十六日九十分併見日一
百一十三得一百二十九日九十分為初行法
[002-42a]
以初行法半之得六十四日九十五分併見率五十
六日得一百二十日九十五分為伏率以初行法寄
之以伏率歸右下以對見率仍分左右兩行為首圖
[002-42b]
以首圖伏日一十六日九十分乗伏率一百二十日
九十五分得二千四十四日五分五十杪為伏差於
右下以首圖見日一百一十三乘見率五十六得六
十三百二十八日為見差於左下乃成次圖 凡方
程之術先欲得者存之以未欲得者互偏乘兩行諸
數今驗此圖先欲得日差故存其左右之上下以左
右之中伏見日數互偏乘兩行乃以次圖右中伏日
一十六日九十分先偏乘左行畢左上得三百一度
[002-43a]
三十二分七十杪左中得一千九百九日七十分左
下得一十萬六千九百四十三日二十分又以次圖左
中見日一百一十三偏乗右行畢右上得四百四十
日七十分右中亦得一千九百九日七十分右下得
二十三萬九百七十八日二十一分五十杪
[002-43b]
以兩行 得變名泛積法而成才圖乃驗才圖左上
[002-44a]
下皆少用減右行畢行上餘一百三十九度三十七
分三十杪為日差實右中空右下得一十二萬四千
三十五日一分五十杪為日差法今維圖法多實少
除得空度空分十一杪二十三小分六十五小杪不
盡十杪五十五小分三十九小杪五十二微分五十
微杪收為一小杪為日定差一十一杪二十三小分
六十六小秒
[002-44b]
既得日差乃行初行率置法圖内初行法一百二十
九日九十分内減去一日餘一百二十八日九十分
[002-45a]
乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得空度
一十四分四十八杪三十九小分七十七小杪四十
微分為寄次置按此下脱三十一字應作次置寄以/半法乗之得九度四十分七十三杪
四十三小分三十二/小杪一十三微杪
以得數加伏度三度九十分見度一十七度八十三
[002-45b]
分共得三十一度一十三分七十三杪四十三小分
三十二小杪一十三微分為初行實如初行法一百
二十九日九十分而一乃行空度二十三分九十七
杪為伏合初日行率餘三杪一十三分分三十二小
杪一十三微分棄之
[002-46a]
求末行率置合伏段日數一十六日九十分乗日差
一十一杪二十三小分六十六小杪得一分八十九
杪八十九小分八十五小杪四十微分為得數乃以
得數減初行率二十三分九十七杪餘二十二分七
杪一十小分一十四小杪六十微分為合伏末日行
[002-46b]
求平行率置初行率二十三分九十七杪併末行率
二十三分七杪得四十六分四杪以半之得二十三
分二杪為平行率
求交段差置合伏日下減全日一百分餘一十分乘
末行率二十二分七杪得二分二十杪七十小分為
[002-47a]
交段差
求晨疾初段常度置合伏日一十六日九十分乃收
九十分作一日通為一十七日併舊厯所注晨疾初
段常日三十得四十七為共日乗合伏初行率二十
三分九十七杪得一十一度二十六分五十九杪為
寄上
[002-47b]
按此有第一日行度有逐日遞減之差有前後
各段日數有前段積度求後段積也先以共日
乗初行率者以最疾為率之共積也下求遞差
以減之故為寄
乃副置共日四十七減一餘四十六以半之得二十
三乗副四十七得一千八十一以乗日差一十一杪
[002-48a]
二十三小分六十六小杪得一度二十一分四十六
杪七十六小分四十六小杪以減上寄一十一度一
十六分五十九杪餘一十度五分一十二杪二十三
小分五十四小杪為合伏晨疾初兩段共積度
按此乃求積差以減上數得共日之積慶也法
應於共日内減一日以乘日差得數為共日數
初末日行率之較再以共日數乘之得數折半
為積差此先折半次連乘得積差其理亦同
[002-48b]
置共積内減合伏三度九十分餘六度一十五分一
十二杪二十三小分五十四小杪為泛次以交段差
二分二十杪七十小分減泛餘六度一十二分九十
一杪五十三小分五十四小杪為晨疾初段常度注
厯乃收八杪五按應/作四十六小分四十六小杪為全分
常定度
按此於共積内減去合伏段積尚有合伏九十
分不及一日所差之行分即交段差未減故為
[002-49a]
泛數再減交段差為晨疾初段常泛度再收為
六度十三分始為定常度也
[002-50a]
求晨疾初段初行率以日差一十一杪二十三小分
六十六小杪減合伏末行率二十二分七杪餘二十
一分九十六杪為晨疾初段初行率行泛收之為定
者也
按此以合伏末日之次日為晨疾初段之初日
也故置合伏之末行率減一日之差即為晨疾
初段之初行率五杪餘收為六杪凡寄零未收
名泛數已收名定數下倣此
[002-50b]
求晨疾初末行率置晨疾初常日三十減一餘二十
九日乗日差一十一杪二十三小分六十六十小杪得
三分二十五杪八十六小分一十四小杪以減晨疾
初段初行率泛二十一分九十五杪七十六小分三
[002-51a]
十四小杪餘一十八分六十九杪九十小分二十小
杪為晨疾初末行率
按此求晨疾初段末日之行率也常日減一日
乗日差得數為晨疾初段初末二日行率之較
也故減初行率得末行率
[002-51b]
求平行率以晨疾初初行泛二十一分九十五杪七
十六小分三十四小杪併晨疾初末泛一十八分六
十九杪九十小分二十小分得四十分六十五杪六
[002-52a]
十六小分五十四小杪以半之得二十分三十二杪
八十三小分二十七小杪為晨疾初平行泛乃以三
泛收棄為之定
[002-52b]
按此與求合伏平行率同其言泛棄為定者蓋
截去杪下竒零過半則收為一杪也然語意欠
[002-53a]
明
又按五星行度遲疾差廻非遞加遞減之數術
中僅以合伏與順見二段各取中數至推遂日
行度仍用遞加遞減之法故古法之疎五星尤
甚原文語多隠晦令悉為解之可以見古今疎
宻之所在焉
[002-53b]
數學九章卷二上
[002-54a]
欽定四庫全書
數學九章卷二下 宋 秦九韶 撰
天時
揆日究微
問厯代測景惟唐大衍厯最宻本朝崇天厯陽城冬至
景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七
分七十杪九係與大衍厯同今開禧厯臨安府冬至
景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求
[002-54b]
臨安府夏至後差㡬日而景與陽城夏至日等較以
大衍厯晷景所差尺寸各㡬何
答曰大暑後五日午中景長一尺四寸八分八十
五杪
按舊本答數後有二圖舛錯潦草傳冩者失其
真也細考圖内所載之數皆與今法頗合知此
悉當時實測所定非同臆説也因取其數改正
於後
[002-55a]
[002-56a]
置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五杪以
夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十五杪
為景差以為實
置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一
度二十五分二十七杪五十小分命度為寸得一百
二寸五十六百七十一分五十杪為法以除前差實
[002-56b]
得空寸九十六百六十四分四十杪不盡棄之自乗
得節泛數九千三百四十分不盡棄之
[002-57a]
先以小暑節乗率二十五乗節率九千三百四十分
得二十三寸三千五百分於上
次以臨安夏至九寸一分自乗得八十二寸八千一
百分為夏至冪
[002-57b]
乃以夏至冪加上得一百六寸一千六百分為小暑
冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三分為臨安
小暑節景不盡七百分即寸下七毫棄之
按各節氣影長皆當時實測所定本不待求今
所設求法乃故為溟涬使人不可觧也細查其
數首以象限加十一度餘為法以除影差得數
[002-58a]
自乗為節率四每節下又有乗率以乗率節率
相乗與夏至影冪相加即為本節影冪是知節
率乃强取之數蓋以此數先除各節影冪與夏
至影冪之較名為乗率故以此與節率相乗加
夏至影冪即各節影冪也數家設術誤人往往
如此
又以大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得
一百一寸八千六十分於頭位
[002-58b]
仍以夏至冪八十二寸八千一百分加頭位一百一
寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分
為大暑冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三寸
五分八十七杪為大暑不盡棄之
[002-59a]
又置立秋乗率二百八十九乗節率九千三百四十
分得二百六十九寸九千二百六十分於上
[002-59b]
仍置夏至冪八十一寸八千一百分加於上二百六
十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三
百六十八為立秋冪
[002-60a]
置立秋冪為實以一寸為隅開平方得一尺八寸七
分八十一杪為立秋景不盡棄之
乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑
後立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪併立
秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六
[002-60b]
十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪為大暑
後九日景 又以九日景併大暑景得二尺九寸七
分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半
為大暑後五日景
[002-61a]
乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪
半以半之得一尺四寸二分三十六杪少為大暑後
三日景
又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪
大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五
十小杪為大暑後四日景
[002-61b]
今驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪為入臨
安府大暑後四日景一尺四寸五分六十杪太強乃
以四日減五日景餘三分二十四杪太弱為景差以
十二時除之得二十七杪五小分二十小杪為法
[002-62a]
乃置陽城夏至景一尺四寸七分七十九抄減臨安
大暑後四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分
五十小杪餘二分一十八杪一十二小分五十小杪
為實後以法二十七杪五小分二十小杪除之實如
[002-62b]
法而一得商數八有餘命大暑四日午後數八辰得
大暑五日寅時景與陽城夏至之日午景等
求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一尺
[002-63a]
九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三分
三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二
寸四分五十三杪半為次暑後九日午中景
置九日景復併大暑景一尺九寸五分七十六抄得
四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四
[002-63b]
杪太為大暑後五日景
今驗開禧厯所推臨安府大暑後五日午中景一尺
四寸八分八十五杪半與陽城大暑後五日午中景
[002-64a]
尺一寸一十四杪太課之
乃以臨安府五日景減陽城五日景差六寸一分二
十九杪少
按此法不過以臨安前後兩節氣影長比例一影
[002-64b]
長之日數時刻復以所得節氣日數時刻比
例一陽城影長與之相較耳題内引大行崇天
開禧諸法名目又稱其較同異差數皆故為張
皇之語且影差逐日不同皆以平派求之法亦
未宻也
草曰置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五
抄以夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十
五抄為景差以為實置象度九十一度三十一分四
[002-65a]
十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度為
寸得一百二寸五千六百七十一分半為法除實得
空寸九千六百六十四分四十杪以自乗之得空寸
九千三百四十分為節率先以小暑乗率二十五乗
之得二十三寸三千五百分於上次以臨安夏至景
九寸一分自乗得八十二寸八千一百分為夏至景
冪以加上得一百六寸一千六百分為小暑景冪開
平方以一寸為隅開之得一尺三分為小暑景又以
[002-65b]
大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得一百
一寸八千六十分於上仍加夏至冪八十二寸八千
一百分得一百八十四寸六千一百六十分為大暑
冪以為實一寸寸為隅開平方得一尺三寸五分八
十七杪為大暑景又置立秋乗率二百八十九乗節
率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六
十分於上仍加夏至冪八十二寸八千一百分共得
三百五十二寸七千三百六十為立秋冪以為實以
[002-66a]
一寸為隅開平方得一尺八寸七分八十一抄為立
秋景乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在
大暑後立秋前乃併大暑立秋二景半之得一尺六
寸一分八十四杪為大暑後九日景又併大暑景半
之得一尺四寸八分八十五杪半為大暑後五日午
中景又併大暑景得數半之得一尺四寸二分三十
六杪少為大暑後三日景又併五日景一尺四寸八
分八十五杪半得數半之得一尺四寸五分六十杪
[002-66b]
强為大暑後四日景驗得陽城夏至景入臨安大暑
後四日乃以四日景減五日景餘三分二十四杪太
弱為差以十二時除之得二十七杪五小分二十小
杪為法復除陽城景與本日景差二分一十八杪一
十二小分五十小杪得八命外為在初五日寅時景
等求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一
尺九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三
分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺
[002-67a]
二寸四分五十三杪半為大暑後九日午中景復併
暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九
杪半以半之得二尺一寸一十四杪太為大暑後五
日暑以較今開禧厯當日景一尺四寸八分八十五
杪半差少六寸一分二十九杪少合問
接集中皆術在前草次之圖在後此條之例不
同
天池測雨
[002-67b]
問今州郡多有天池盆以測雨水但知以盆中之水為
得雨之數不知器形不同則受雨多少亦異未可以
所測便為平地得雨之數假今盆口徑二尺八寸底
徑一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地
雨䧏㡬何
答曰平地雨䧏三寸
術曰盆深乗底徑為底率二徑差乗水深併底率為
靣率以盆深為法除靣率得面徑以二率相乗又各
[002-68a]
自乗三位併之乗水深為實盆深乗口徑以自之又
三因為法除之得平地水深
草曰以盆深及徑皆通為寸盆深得一十八寸底徑
得一十二寸相乗得二百一十六寸為底率置口徑
二十八寸減底徑一十二寸餘一十六寸為差以乗
水深九寸得一百四十四寸併底率二百一十六寸
得三百六十寸為靣率以盆深一十八寸為法除靣
率得二十寸展為二尺為水靣徑以底率二百一十
[002-68b]
六寸乗靣率三百六十寸得七萬七千七百六十寸
於上以底率二百一十六寸自乗得四萬六千六百
五十六寸加上又以靣率三百六十寸自乗得一十
二萬九千六百併上共得二十五萬四千一十六以
乗水深九寸得二百二十八萬六千一百四十四寸
為實以盆深一十八寸乗口徑二十八寸得五百四
寸自乗得二十五萬四千一十六寸又三因得七十
六萬二千四十八寸為法除實得三寸為平地雨深
[002-69a]
合問
竹器驗雪
問以圓竹籮驗雪籮口徑一尺六寸深一尺七寸底徑
一尺二寸雪䧏其中髙一尺籮體通風受雪多則平
地少欲知平地雪髙㡬何
按籮體通風一語與算術不相涉或籮口所降
之雪歸於籮底與前天池測雨題相同然依上
步算平地雪深只七寸餘今其數又不合殆故
[002-69b]
為是語以誤人也
答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百
六十四
術曰口徑減底徑餘乗雪深半之自乗為隅以籮深
冪乗雪深冪併隅又乗雪深冪為實隅實可約約之
開連枝三乗方得平地雪厚
草曰列問數各通為寸置口徑一十六寸減底徑一
十二寸餘四寸乗雪深一十寸得四十寸以半之得
[002-70a]
二十寸自乗得四百寸為隅以籮深一十七寸自乗
得二百八十九寸為籮深冪次置雪深一十寸自乗
得一百寸為雪深冪以乗籮深冪數加隅又乗深冪
得二百九十三萬寸為實隅實求等得四百俱約之
得七千三百二十五為實得一為隅開三乗方歩法
不可超乃約實置商九寸與隅一相生得九為下亷
又與商相生八十一寸為上亷又與商相生得七百
二十九為從方乃命上商除實不盡七百六十四已
[002-70b]
而復以商生隅入二亷至方陸續又生畢以方亷隅
共併之得三千四百三十九分寸之七百六十四為
平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十
四合問
按此法之意不可見然以數考之非通法也設
原題雪深為一寸以口徑底徑較四寸乗雪深
一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸為隅
以籮深一十七寸自之得二百八十九寸為籮
[002-71a]
深冪雪深一寸自之仍得一寸為雪深冪二深
冪相乗仍得二百八十九寸併隅得二百九十
三寸再以雪深冪乗之仍得二百九十三寸為
實隅實相約得七十四寸二十五百分為實一
為隅開三乗方得二寸又六千四百分寸之五
千七百二十五是平地雪反深於籮内矣
列問數各通為十口徑得一十六寸深一十七寸底
徑一十二寸籮中雪髙一十寸
[002-71b]
乃以底徑減口徑餘四寸乗雪深一十寸得四十寸
以中得數二十寸自乗得四百寸為隅
以籮深一十七寸自乗得二百八十九寸為籮深冪
次置雪深一十寸自乗得一百寸為雪深冪
[002-72a]
以雪深冪一百寸乗籮深冪二百八十九寸得二萬
八千九百寸併隅四百寸得二萬九千三百寸為上
置頭位數二萬九千三百寸又乗雪深冪一百寸得
二百九十三萬寸為實開三乗方
[002-72b]
以隅實求等得四百俱為約之得七千三百二十五
為實一為隅開之
歩法不可超乃約實置商九寸與隅相生得九為下亷
[002-73a]
下亷九又與商九相生得八十一為上亷
上亷又與商相生得七百二十九為從方
[002-73b]
乃以從方七百二十九命上商九除實七千三百二
十五訖實餘七百六十四既而後以商生隅入下亷
下亷得一十八又與啇九相生入上亷
上亷得二百四十三又與商相生入方得二千九百
一十六
[002-74a]
又以商九生隅一入下亷一十八内得二十七
又以商九生下亷二十七入上亷二百四十三内得
四百八十六又以商生隅入下亷二十七内得三十
[002-74b]
六為求圖乃以末圓方亷隅四者併之得三千四百
三十九為母以實餘七百六十四為子
命為平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百
六十四合問
圓罌測雨
問以圓罌接雨口徑一尺五寸腹徑二尺四寸底徑八
[002-75a]
寸深一尺六寸並裏明接得雨水深一尺二寸圓法
用宻率問平地雨水深㡬何
按此題問平地雨深無闗圓法宻率句贅若求
罌中雨積數則當加此語
答曰平地雨深一尺八寸七萬四千八十八分寸
之六萬四千四百八十三
按答數誤改正見後
術曰底徑與腹徑相乗又各自乗併之乗半罌深以
[002-75b]
一十一乗之為下率以四十二為下法除得下積以
半罌深併雨深減元罌深餘為上深以口徑減腹徑
餘乗上深為次以半罌深乗口徑加次為靣率以半
深除靣率得水靣徑以半深乗腹徑為腹率置靣率
與腹率相乗又各自乗併之以一十一乗之為上率
以半深自乗為冪以乗下法為上法上法除上率得
上積半深冪乗下率併上率為總實口徑冪乗上法
為總法除實得平地雨髙
[002-76a]
草曰置底徑八寸與腹徑二十四寸相乗得一百九
十二寸於上又底徑八寸自乗得六十四寸加上又
腹徑二十四寸自乗得五百七十六寸併上共得八
百三十二寸以乗半罌深八寸得六千六百五十六
寸又以一十一乗之得七萬三千二百一十六寸為
下率按此下法不合皆為/題中圖法句所誤置宻率法一十四以所併
三因之得四十二為下法以半深八寸併雨深一十
二寸得二十寸以減元深一十六寸餘四寸為上深
[002-76b]
以口徑一十寸五分減腹徑二十四寸餘一十三寸
五分以乗上深四寸得五十四寸為次以半罌深八
寸乗口徑一十寸五分得八十四寸加次共得一百
三十八寸為靣率以半深八寸乗腹徑二十四寸得
一百九十二寸為腹率置靣率一百三十八寸與腹
率一百九十二寸相乗得二萬六千四百九十六寸
於上又以靣率一百三十八寸自乗得一萬九十四
十四加上又以腹率一百九十二寸自乗得三萬六
[002-77a]
千八百六十四併上共得八萬二千四百四寸按此/條内
落以上髙四/寸乗之一層以一十一乗之得九十萬六千四百四
十四寸為上率以半深八寸自乗得六十四寸為半
深冪以乗下法四十二得二千六百八十八為上法
以半深冪六十四寸乗下率七萬三千二百一十六
寸得四百六十八萬五千八百二十四寸併上率九
十萬六千四百四十四共得五百五十九萬二千二
百六十八寸為總實以口徑一十寸五分自乗得一
[002-77b]
百一十寸二分五厘以乗上法二千六百八十八寸
得二十九萬六千三百五十二寸為總法除實得一
尺八寸不盡二十五萬七千九百三十二與法求等
得四俱約之為一尺八寸七萬四千八十八分寸之
六萬四千四百八十三為平地雨深合問
按此法有二誤法實皆當用圓冪或皆用方冪
今以圓冪率乗實方冪率乗法法實不同類一
誤也罌内雨自腹徑截之為雨圓䑓體下髙八
[002-78a]
寸上髙四寸於下體併三冪以髙乗之於上體
只併三冪未以髙乗之二誤也有此二誤故得
平地雨深少三十五分之十七今依本法改正
於後
法以腹徑底徑相乗又各自乗併三積以半罌深
八寸乗之得六千六百五十六寸為三倍方罌内
腹下雨積又以口徑腹徑相減餘一十三寸五分
以雨深減罌深餘四寸相乗以半罌深除之得六
[002-78b]
寸七分五厘與口徑相加得一十七寸二分五厘
為雨靣徑與腹徑相乗又各自乗併三積以雨上
深四寸乗之得五千一百五十寸二五為方罌内
三倍腹上雨積併二雨積得一萬一千八百零六
寸二五為方罌内三倍共雨積為實口徑自乗三
因得三百三十寸七五為法除實得三尺五寸又
一千三百二十三分寸之九百二十為平地雨深
若不先用除則以口徑腹徑較與罌深雨深較相
[002-79a]
乗之五十四寸為雨靣徑口徑較加一半罌乗之
數應以半罌除之得雨徑較今不/除即如雨徑較以半罌乗之即為雨靣徑口
徑較此數既加一半罌乗則諸數皆以半罌乗之
得口徑八十四寸腹徑一百九十二寸以口徑與
雨靣徑口徑較相加得雨靣徑一百三十八寸與
腹徑相乗又各自乗併三冪以腹上雨深四寸乗
之得三十二萬九千六百一十六寸為三倍上雨
積又以半罌深冪乗前三倍下雨積得四十二萬
[002-79b]
五千九百八十四寸為三倍下雨積併二積得七
十五萬五千六百寸為三倍共雨積為實以半罌
深冪乗三因口徑冪得二萬一千一百六十八寸
為法除之得數亦同
峻積驗雪
問驗雪占年墻髙一丈二尺倚木去址五尺梢與墻齊
木身積雪厚四寸峻積薄平積厚欲知平地雪厚㡬
何
[002-80a]
答曰平地雪厚一尺四分
術曰以少廣求之連枝入之以去址自乗為隅以墻
髙自乗併隅於上以雪厚自之乗上為實可約者約/而開之
開連枝平方得地雪厚
草曰以問數皆通為寸置去址五十寸自乗得二千
五百為隅以墻髙一百二十寸自乗得一萬四千四
百寸併隅得一萬六千九百寸於上以雪厚四寸自
之得一十六乗上得二十七萬四百寸為實開連枝
[002-80b]
平方今隅實可求等得一百俱約之得二千七百四
為實得二十五為隅開平方得一十寸四分展為一
尺四分為平地雪厚合問
按此術理法皆確然實用勾股不曰勾股而曰
少廣曰連枝者猶有所閉匿而不肯盡發也試
以圗明之甲乙為牆上雪厚即平地雪厚乙丙
為木上雪厚甲乙丙勾股形與木倚牆所成勾
股形同式牆髙為大股木為大弦木去址為大
[002-81a]
勾甲乙為小弦甲丙為小
股乙丙為小勾以牆髙大
股自乗木去址大勾自乗
併之為大弦冪為實以木
上雪厚乙丙小勾冪乗之以木去址大勾冪除
之得甲乙小弦冪開平方即為平地雪厚也
[002-81b]
數學九章卷二下
