[004-1a] 
欽定四庫全書
數學九章卷四上 宋 秦九韶 撰
測望
按測望之法見於晉劉徽海島算經原名重差
其書一卷九題法簡數宻此卷本其法而擴充
之於古人之意實多所發明然其中譌舛之處
較他卷尤甚今悉為正之至術有未合者更設
法以附其後焉
[004-1b]
望山高逺
問名山去城不知高逺城外平地有木一株高二丈三
尺假為前表乃立後表與木齊高相去一百六十四
歩先退前表三丈九寸次退後表三丈一尺三寸斜
望山峯各與其表之端參合人目高五尺里法三百
六十歩歩法五尺欲知山高及逺各㡬何
答曰髙二十里半零三歩五分歩之三 逺二十
七里三百二十八歩五百七十五分歩之六
[004-2a]
十七
按術數誤後入目距山係三十五里二百三十
九歩一尺三寸其故詳後
術曰以勾股求之重差入之置二退表相減餘為高
法通表間併法於上以目高減表高餘乗上為寔寔
如法而一得山高以法乗表高為逺法按此條法誤/應以法
乗表高與人/目去地之較以退後表乗髙寔為逺寔寔如法而一
得山逺
[004-2b]
望山髙逺圖按舊圖畫山木在術/前今山改移於此
草曰置後退表三丈一尺三
寸減前退表三丈九寸餘
四寸為高法置表去木一百
六十四歩以歩法五十寸
通得八千二百寸為表間
併法四寸得八千二百四
寸於上以目髙五尺
[004-3a]
減表高二丈三尺餘通之為一百八十寸乗上得一
百四十七萬六千七百二十寸為髙實實如髙法四
寸而一得三十六萬九千一百八十寸為積寸次以
歩法五十寸約之得七千三百八十三寸五分歩之
三次以里法三百六十歩約之得二十里一百八十
三歩五分歩之三為山髙按此所得係人目上之山/高若加人目高則多一歩
次以法四寸乘表高二丈三尺得九百二十為逺法
按誤/同前以退後表三丈一尺三寸乗髙實一百四十七
[004-3b]
萬六千七百二十寸得四億六千二百二十一萬三
千三百六十寸為逺實實如逺法九百二十寸而一
得五十萬二千四百五寸二十三分寸之一十九為
積寸乃以歩法五十寸乗逺法九百二十得四萬六
千寸為法亦除逺實得一萬四十八歩不盡五千三
百六十與法求等得八十俱以約之得五百七十五
分歩之六十七又以里法三百六十歩約得二十七
里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七為山
[004-4a]
去後表入立望處等圖如後
按術中求山髙法合其求逺以表髙乗高法為
逺法則誤葢本法應即以高法為逺法以退後
表乗表問并法為寔即得後人目距山之逺今
以退後表乗髙寔為寔而髙寔乃目高減表高
乗表減併法之數則逺法亦當以目髙減表髙
乗髙法今即以表髙乗之則法數大故得數小
也
[004-4b]
乃以頭位八千二百四寸乗中一百八十寸得一百
四十七萬六千七百二十寸為髙寔
[004-5a]
[004-6a]
乃以歩法五十寸乗中位逺法九百二十寸得下位
四萬六千寸為後圖中位歩寸法
[004-6b]
乃以中除上得下位里數及零歩其不盡寸與法求
得八十俱約之為歩分母子之數
臨臺測水
問臨水城臺立髙三丈其上架樓其下址側脚濶二尺
謢岸排沙下橋去址一丈二尺外椿露土髙五尺與
址下平遇水漲時浸至址今水退不知多少人從樓
上欄杆腰中駕一竿出外斜望水際得四尺一寸五
分乃與竿端參合人目髙五尺欲知水退立深涸岸
[004-7a]
斜長自臺址至水際各幾何
按算題固不厭其難然必簡而不漏繁而不贅
始為合作如此題本意謂竿端與臺址上下懸
直則側脚闊二尺句已贅又不明言人目距臺
邊逺近皆故為黯黮也
術曰以勾股變法兼少廣求之求涸岸斜長置出竿
乘臺髙為叚以去基乘叚為闊泛以岸髙乘叚為淺
泛以目髙乘去基為約泛三泛可約者約之為定率
[004-7b]
不可約徑為率以闊率自乘為闊冪以淺率自乘為
淺冪併闊淺二冪共為竣冪復乘闊冪於上以臺髙
冪乘上為竣實次以闊率乘淺率為寄以臺髙數乘
闊率又乘約率得數内減寄餘自乘為竣隅騐峻實
峻隅兩者可約求等約之為峻定實峻定隅開同休
連枝平方得峻岸斜長同休格先以隅開平方得數/名同隅以同隅乘定實開之
得數為寔以同隅為法除之得竣斜除按此條誤草/中乃即以定實開平方得數以同隅 之為竣斜也
求水退深基岸髙冪乘竣定實為深實以去岸冪併
[004-8a]
岸為冪乗竣定為深隅其深實深□可約約/之仍以同休格入之開連枝
平方得水退深
臨䑓測水圖按舊圖畫樓䑓不畫正髙/在術前今改正移于此
草曰以出竿四
十一寸五分乘
䑓髙三十尺得
一百二十四尺
五寸為段以去
[004-8b]
址一十二尺乘叚得一千四百九十四以為闊泛以
䕶岸髙五尺乘段一百二十四尺五寸得六百二十
二尺五寸為淺泛以目髙五尺乗去址一十二尺得
六十尺為約泛以闊泛淺約泛三者求等等得一尺
五寸皆以約其闊泛得九百九十六尺為闊率其淺
泛得四百一十五尺為淺率其約泛得四十尺為約
率以闊率九百九十六自乗得九十九萬二千一十
六尺為闊冪以淺率四百一十五自乗得一十七萬
[004-9a]
二千二百二十五尺為淺冪倂闊淺二冪得一百一
十六萬四千二百四十一為竣冪以闊冪九十九萬
二千一十六尺乘竣冪得一萬一千五百四十九億
四千五百六十九萬九千八百五十六尺於上又以
臺髙三十尺自乘得九百尺為臺髙冪乗上得一千
三十九萬四千五百一十一億二千九百八十七萬
四百尺為竣實次以闊率九百九十六乘淺率四百
一十五得四十一萬三千三百四十為寄以臺髙三
[004-9b]
十乘闊率九百九十六得二萬九千八百八十文乘
約率四十得一百一十九萬五千二百内减寄餘七
十八萬一千八百六十尺自乗得六千一百一十三
億五百五萬九千六百尺為隅以隅與竣實求等得
二千四百八十萬四百俱以約之得四千一百九十
一萬二千六百七十六尺為竣定實得二萬四千六
百四十九為竣定隅開同休連枝平方得竣岸至水
際斜長驗同休格乃以定隅二萬四千六百四十九
[004-10a]
萬為實先以一為隅開平方得一百五十七為同休
法次以竣定實四千一百九十一萬二千六百七十
六尺為實亦以一為隅開平方得六千四百七十四
尺為同休實實如同休法一百五十七而一求等得
一俱以一各約之其法與餘只得此數乃直命之得
四丈一尺一百五十七分尺之三十七為涸岸斜長
至水際求退水深置岸髙五尺自乗得二十五為岸
髙冪乗竣定實四千一百九十一萬二千六百七十
[004-10b]
六尺得一十億四千七百八十一萬六千九百為深
泛以去岸一十二尺自乗得一百四十四尺為去岸
冪併岸髙幕二十五尺得一百六十九尺以乗竣定
隅二萬四千六百四十九得四百一十六萬五千六
百八十一為隅泛置二泛求等得一百六十九俱約
二泛得六百二十萬一百為定實得二萬四千六百
四十九為深定隅開連枝平方得水退立深驗同休
格乃以深定隅二萬四千六百四十九為實先以一
[004-11a]
為隅開平方得一百五十七為同休法次以深實實
六百二十萬一百為實亦以一為隅開平方得二千
四百九十為同休實實如法一百五十七而一得一
十五尺不盡一百三十五與法求等得一俱以一各
約法與只得此數乃直命之得一丈五尺一百五十
七分尺之一百三十五為水退立深數也
按此條術雖甚繁理數皆極精宻非兼通於勾
股通分之法者不能立也但累乗累除錯綜變
[004-11b]
換皆未嘗明言其不能無金鍼不度之疑今繪
圖以之並條拆其乘除各數于後
如圖甲乙為䑓正髙乙丙為樁去
䑓址丙丁為岸髙乙戊為臺址至
水際即為峻斜己庚為人目髙甲
庚為出竿戊癸為水面正深題有
甲乙䑓髙乙丙樁去址丙丁去樁
甲庚出竿己入庚
[004-12a]
目髙求乙辛竣斜自丁㸃與丙丁平行相等作
丁辛線自乙㸃與丙丁並行作丁作乙辛線自
丁㸃與戊甲平行作丁壬㸃得壬丁辛勾股形
内有乙丁辛勾股形一與乙丙丁辛等有乙丁
壬三角形一與甲乙戊形同式法當以己庚小
股乗庚辛大勾以甲庚小勾除之得壬辛大股
次以乙丁三小角形下斜邉乗甲乙戊形直邉
以乙辛减壬辛餘壬乙為乙丁壬形直邉為法
[004-12b]
除之得乙戊為甲乙戊形下斜邉即所求䑓址
至水際之峻斜其法只用丨除两次甚屬易簡
即遇數不盡者以通分御之冄加一二次乗除
可以乃必增至十餘次多者始欲窮數之變就
一題以為諸法之例非徒為繁難也試依術内
逓次乗除之數逐條細論之
出竿甲/庚乗髙䑓甲/乙為段去址乙/丙乗段為闊率原名闊/泛約之
為闊率今/即為闊率為去址乗䑓髙出竿長冪之數闊率自乗
[004-13a]
為闊冪即如去址冪乗䑓髙出竿長冪自乗之數又
即如去址冪乗䑓髙冪又乗出竿冪之數
岸髙丙/丁乗段為淺率原名淺泛約之為/淺令即淺淺率為岸髙乗䑓
髙出竿長冪之數淺率自乗為淺冪即如岸髙冪乗
臺髙出竿長冪自乗之數又即如岸髙冪乗䑓髙冪
又乗出竿冪之數
併闊冪淺冪為淺冪為竣冪 乙/丁冪乗臺髙出竿長
冪自乗之數又即如小斜冪乗䑓冪又乗出竿竿冪
[004-13b]
之數
闊冪峻冪相乗為上數即如小斜冪乗去址冪又乗
臺髙冪自乗又乗出竿冪自乗之數
闊率淺率相乗為寄數即土去址岸髙相乗又乗䑓
髙冪又乗出竿冪之數
去址目髙己/庚相乗為約率即如出竿乗壬辛
臺髙乗闊率即如去址乗臺髙冪又乗出竿之數又
以約率乗之即如去址壬辛相乗冪又乗臺髙冪又
[004-14a]
乗出竿冪之數内减寄數餘去址壬乙相乗冪又乗
臺髙冪又乗出竿冪之再自乗之隅數即如壬乙
冪乗去址冪又乗臺髙冪自乗又乗出竿冪自乗之
數
上數隅數内去址冪臺髙冪自乗出竿冪自乗各數
皆同則用上數乗隅數除即如用小斜冪乗壬乙冪
除矣以䑓髙冪乗上數若以隅數除之即得竣斜乙/戊
冪但數不能盡故約之帶隅數開平方所謂連枝同
[004-14b]
休法也至闊泛淺用于乗數約泛用于除數故可两
邉同約又為省算也求水立深同此
[004-15a]
[004-20a]
陟岸測水
問行師遇水須計篾䌫搭造浮橋今垂繩量陟岸髙山
丈人立其上欲測水面六闊以六尺為矩平持去目
下五今矩本抵頤遥望水彼岸與矩端岸相合又望
水此岸沙際入矩端三尺四寸人目髙五尺其水面
闊幾何
答曰水闊二十三丈四尺六寸按應二十/三丈八尺
術曰以勾股重差求之置短去目下寸為法以人目
[004-20b]
併岸髙減去法按減/法誤餘乗人矩端為實如法而一得
水闊陡岸測水圗按舊圗畫岸水視緑不能/在術前令改正移於此
草曰置矩本去目下五寸
為法以入目髙五尺併岸
髙三丈得三丈五尺通為
寸得三百五十寸减去五
寸餘三百四十五寸乗沙
際入矩端三十四寸得
[004-21a]
一萬一千七百三十寸為實實如法五寸而一得二
千三百四十六寸展為二十三丈四尺六寸為水闊
合問
按測望諸線皆合于人目之一㸃其髙正當自
人目計之今减去人目距矩自矩下計之不得
其理矣
表望方城
問敵城不知廣逺傍城南山原林間房之林際有木二
[004-21b]
株南北相去一百六十步遥與城東方面参相直乃
于二水之東相對立两表表間與木四方平人目以
繩維之人自東後表向西行一十步望城東北隅入
東前表一十五步又望城東南隅入東前表四十八
歩強半歩里法三百六十欲知其方廣及相去幾何
答曰城東廣各一十二里三百二十步城去木
九里三百二十歩
按答數皆誤今推得城方廣各一十一里二百
[004-22a]
二十歩又三十一分步之二十城東南隅至北
木一里九十九歩又三十一分歩之一十二
術曰以勾股重差求之置城東南隅景入表减表間
餘乗表間為城去木寔以西方歩減城東北隅景入
表餘為法按此句/法誤得城去木數以城東北隅景入表
減表間餘乗表間為廣實實如前法而一得城廣
按此所得乃城東北隅至前/木之逺以為城廣數誤也
表望方城圖按舊圖畫城南二木與城東面不/城一直線在術前今改正移于此
[004-22b]
草曰以西行一十步減東
北隅入表一十五步餘五
歩為法以城東南隅景入
表四十八步七分半減表
間一百六十步餘一百一
十一歩二分半乗表間一
表六十歩得一萬七千八百為城去木寔以法五歩
除之按誤/同上得三千五百六十歩以里
[004-23a]
法三百六十約之得九里三百二十步為城去木里
及步數 次置城東北隅京十表一十五步减表間
一百六十餘一百四十五歩乗表間一百六十得二
萬三千二百為减實以以前法五步除之得四千六
百四十歩以里法三百六十約之為一十二里三百
二十歩即城方廣里及歩數按誤亦/同上合問
按此題之要在二本與城東面成一直面方城
與表木方形各邉俱平西行減城東南隅入表
[004-23b]
之較與表間成小勾股形城東南隅入表間表
間之表與城東南隅至前木成大勾股形此二
形同式可以相比故術草中第二求以城東北
隅入表減表間之餘乗表間為實以西行步減
城東北隅入表之餘為法除實是也但所得為
城東北隅至前木之逺以為城廣則誤矣又西
行步減城東南隅入表之較與表間成小勾股
形城東南隅入表減表間之較與城東南隅至
[004-24a]
前木成大勾股形此二形亦同式可以相比以
城東南隅入表減表間之餘乗表間為實應以
西行步減城東南隅入表之為法除之即得城
東南隅之前木之逺術草中以西行步減城東
北隅入表之餘為法故得數大七倍餘既得城
東面南北二隅距前木之逺則相減為城廣可
知矣
遥度城
[004-24b]
問有圓城不知周徑四門中開北外三里有喬木出南
門便折東門九里乃見木欲知城周徑各幾何圓用/故法
答曰徑九里 周二十七里
術曰以勾股夕桀求之一為從隅五因北外里為從
七亷置北里冪八因為從五亷以北里冪為正率以
東行冪為負率二率差四乗北里為益從從三亷倍
負率成五亷為益上亷以北里乗上亷為實開玲瓏
九乗方得數自乗為徑以三因徑得周
[004-25a]
遥度圓城圖舊圖畫城掛在術/ 前今刪改移于此
草曰以一為從隅以五因
北三里得一十五里為從
七亷以北三里自乗得九
里為正率以八因率得七
十二為從五亷以西行見
里自乗得八十一為負率以正率九減負率餘七十
二位負差以四因之得二百八十八以乗北三里得
[004-25b]
八百六十四係負差所乗者為益三亷倍負率八十
一得一百六十二乗五㢘七十二得一萬一千六百
六十四為益上亷以北三里乗上亷得三萬四千九
百九十二為實置實亷隅玲瓏空隅位方亷以約實
衆法不可超進乃于實上定商三里其隅與商相生
得三為從下亷又與商相生入從七亷共得二十四
為星亷又與商相生得七十二為從六亷又與商相
生入五 内共得二百八十八又與商相生得八百
[004-26a]
六十四為從四亷又與商相生得二千五百九十二
為正三亷内消益三亷八百六十四訖餘一千七百
二十八為從三亷又與商相生得五千一百八十四
為從二亷又與商相生得一萬五千五百八十二為
從上亷内消益上亷一萬一千六百六十四訖餘三
千八百八十八為正上亷又與商相生得一萬一千
六百六十四為從方乃命上商三里除實適盡得三
里以自乗之得九里為城圓徑之里數又以故法圓
[004-26b]
率三因之得二十七為城周
[004-27a]
以上求率圖以後開方圖實與益皆負畫黑商與
從皆正畫朱
按商實負字旁書已明今皆用黒
[004-28a]
[004-29a]
按凡勾股難題用立天元一法取之多至三乗
方而至元李冶測圓海鏡一百七十問僅一題
[004-29b]
取至五乗方猶自以為煩此題非甚難者乃取
至九乗方蓋未得其要也細校術草中亷隅積
實之數與立天元一法自然相生者廻殊且凡
立天元一法開方後未有不得所求之數者今
得數自乗始為所之數尤于古人立法之意不
合爰另立取法並歩算之式於後
法立天元一為圓城徑加三里得三里多一元
為大股自之得九里多六元多一平方為大股
[004-30a]
冪九里為大勾自得之八十一里為大勾冪相
併得九十里多六元多一年方為大弦冪又以
大股為小勾弦和三里為小勾弦較和較相乗
得九里多三元為小股冪二分天元之一為小
勾加小勾三里得三里多二分元之一為小弦
自得之九里多三元多四分平方之一為小弦
冪乃以小冪與大股冪相乗得八十一里多八
十一元多二十九平方又四分平方之一多四
[004-30b]
立方又二分之一多四分三乗方之一寄之又
以大弦冪與小股冪相乗得八百一十里多三
百二十四元二十七平方三立方與寄數等両
邉各减八十一里三百二十四元二十七平方
三立方得四分三乗方之一多一立方二平方
又四分平方之一少二百四十三元與七百二
十九里等各以四乗之得一三乗方多六立方
九平方九百七十二元與二千九百一十六里
[004-31a]
等乃以里數為實以元數為益方平方數為從
上亷立方数為從下亷三乗方数為隅開帯縱
三乘方得九里為城徑開方式附後
法列寔及方亷隅数約商九
里乃以隅生商得九入下亷
得一十五又以下亷生商得
一百三十五入上亷得一百
四十四又以商生上亷得一
[004-31b]
千二百九十六以消益方得二百二十四為從
方以商生從方得二千九百一十六減實恰盡
為開得三乘方為九里即城徑也
數學九章卷四上
[004-32a]
欽定四庫全書
數學九章卷四下 宋 秦九韶 撰
測望
望敵圓營
問敵臨河為圎營不知大小自河南岸至其地七里於
其地立兩表相去二步其西表與敵營南北相直人
退西表一十二步遥望東表適與敵營圓邉參合圓
法用密率里法三百六十欲知其營周及徑各㡬何
[004-32b]
答曰營周六里一百二步七分步之六 徑二里
按答數有誤營周係六里七十六步又一萬一千九
百二十一分步之四千九百四十八徑係一里三百
五十一步又一千七百零三分步之九百九十九
術曰以勾股夕桀求之置表間自乗為勾冪以退表自
乗為股冪併二冪為弦冪置里通步自之乗勾冪為率自
乗為泛實按此數當即為實開𢃄從方今不開平方乃以合/此數自乗並以此數升他數開𢃄從三乗方不半弦
冪乗率為泛從上亷按半弦冪即半弦/自乗又倍之之數以勾冪減股冪餘
[004-33a]
四約之按此即半勾半股/各自乗相減之數自乗為泛益隅三泛可約/之為定開連枝三
乗玲瓏方得營徑以密率二千二乗七除為周
草曰置表間二步自乗得四為
勾冪以退表一十二步自乗得
一百四十四為股冪以勾股二
冪併之得一百四十八為弦冪
置七里以里法三百六十步
通之得二千五百二十步自乗
[004-33b]
得六百三十五萬四百乗勾冪四得二千五百四十
萬一千六百為率以率自乗得六百四十五萬二千
四百一十二億八千一百五十六萬為之實乃半弦
冪得七十四乗率二千五百四十萬一千六百得一
十八億七千九百七十一萬八千四百為泛從上亷
以勾冪四減股冪一百四十四餘一百四十以四約
之得三十五以自乗得一千二百二十五為泛益隅
置三泛求等得一千二百二十五按即泛/益隅俱以約之
[004-34a]
得五千二百六十七億二千七百五十七萬七千六
百為定實一百五十三萬四千四百六十四為從上
亷一為定益隅開玲瓏三乗方乃以亷隅超二度約
啇置七百上亷為一百五十三億四千四百六十四
益隅為一億乃以上啇生隅得七億為益下亷又以
上啇生益亷減從亷餘一百四億四千四百六十四
萬為從上亷又以上啇生從亷得七百三十一億一
千二百四十八萬為從方乃命上啇除實實餘一百
[004-34b]
四十九億四千二十一萬七千六百又以上啇生益
隅入下亷得一十四億為益下亷又以上啇生益亷
得益上亷減從亷餘六億四千四百六十四萬為上
亷又以上啇生上亷入方得七百七十六億二千四百
九十六萬為方又以上啇生益隅入下亷得二十一
億又以上啇生下亷為益上亷減從亷餘一百四十
億五千五百三十六萬為益上亷又以上啇生益隅
入下亷得二十八億諸法皆退方一退為七十七億
[004-35a]
六千二百四十九萬六千益上亷再退為一億四千
五十五萬三千六百益下亷三退為二百八十萬益
隅四退為一萬乃於上啇之次續啇置二十步以續
啇生隅入下亷為二百八十二萬又以續啇生下亷
入上亷為一億四千六百一十九萬三千六百又以
續啇生上亷減從方餘七十四億七千一十萬八十
八百乃命續啇除實適盡所得七百二十步以里法
約之得二萬為營徑次以密率二十二乗七百二十
[004-35b]
得一萬五千八百四十為實以七除之得二千二百
六十二步七分步之六以里法約之得六里一百二
步七分步之六為營周
[004-36a]
[004-41a]
[004-41b]
按此題用平方可矣術中所謂率者即平方實
也乃復加自乗開三乗方徒為繁冗耳且乗從
亷用半弦自乗之倍數乗隅數應用半股自乗
之數今用勾股冪較四分之一即用半股冪半
[004-42a]
勾冪之較比半股自乗數小一半勾自乗數故
得數較大若轉求表間及退步必與原數不合
試以相去七里為大勾弦和營徑三里為倍大
勾相減得五里為大勾弦較和相乗得較三十
五為大股冪大勾弦里自之仍得一為大勾冪
置小勾冪四步以大股冪乗之得百百四十步
以大勾冪除之仍得一百四十步為小股冪比
原小股冪少四步其術之疎可知矣設用平方
[004-42b]
法如左
法立天元一為營徑相去七里通為二千五百
二十步為大勾弦和相減得二千五百二十步
少一元為大勾弦較和較相乗得六百三十五
萬零四百步二千五百二十元為大少股冪天
元一半之以減相去步得二千五百二十步少
二分天元之一為大弦自之得六百三十五萬
零四百步少二千五百二十元多四分平方之
[004-43a]
一為大弦冪退步十二為小股自之得一百四
十四步為小股冪表間二步為小勾自之得四
步為小勾冪相併得一百四十八步為小弦冪
以小弦冪乗大股冪得九億三千九百八十五
萬九千二百步少三十七萬二千九百六十元
寄之又以小股冪乗大弦冪得九億一千四百
四十五萬七千六百步少三十六萬二千八百
八十元多三十六平方與寄數為相等兩邉各
[004-43b]
減九億一千四百四十五萬七千六百步各加
三十七萬二千九百六十元得二千五百四十
萬零一千六百步即術中/率數與三十六平方多一
萬零八十元等三數求總等得三十六約步數
得七十萬零五千六百為長方積為實約元數
得二百八十為從方為長闊較約平方數得一為
隅用𢃄從平方法開得闊七百一十一步又一
千七百零三分步之九百九十九為營徑步以
[004-44a]
密率用二十二乗之徑七除之得二千二百三
十六步又一萬一千九百二十一分步之四千
九百四十八為營周步各以里率収之得營周
六里七十六步又一萬一千九百二十一分步
之四千九百四十八營徑一里三百五十一步
又一千七百零三分步之九百九十九還原之
法置營徑步數通分納子得一二一一八三二
分為倍大勾分數又以分母通相去步得四二
[004-44b]
九一五六 分為大勾弦和分數二數相減餘
三 七九七二八分為大勾弦較分數和較分
數相乗得一三二一六八三七四五九六八
分為大股冪分倍大勾分折半得六 五九一
六自之得三六七一三四一九九 五六分
為大勾冪分及以小勾冪四步乗大股冪分得
五二八六七三四九九八二七二 分以大勾冪
分除之得一百四十四步為小股冪與原數合
[004-45a]
此猶用西表相去步也若細較之當用人目相
去步則營周當多十二步餘營徑當多四步不
足也
望知敵衆
問敵為圓營在水北平沙不知人數諜稱彼營布卒占
地方八尺我軍在水南山原於下立表髙八丈與原
山腰等平自表端引䋲虚量平至人足三十步人立
其處望彼營北陵與表端參合又望營南陵入表端
[004-45b]
八尺人目髙四尺八寸以圓密率入重差求敵衆合
得㡬何
答曰敵衆八百四十九人
按數不合應二百七十三人其故詳草後
術曰以勾股乗之置人退表步按此條誤法/應置表髙乗入表
為實以人目髙為法除之得徑以密周率乗徑得數
為實以密徑率因人立為法約之得外周人數餘収
為一副置加六以乗副得數為實如一十二而一餘
[004-46a]
亦収為全
望知敵衆圖按舊圖畵山水在術/前今刪改移於此
草曰置人立退表三十步以步
法五尺展為五十寸通之得一
千五百寸乗入表八尺得一十
二萬寸為實
[004-46b]
以人目髙四十八寸為法除之
以密率周法二十二乗徑二千五百得五萬五千寸
為實
[004-47a]
以密率徑法七因諜稱人立八尺得五百六十為法
以法五百六十寸約實五萬五千寸得九十八人
為外周人數不盡一百二十寸棄之
[004-47b]
副置外周九十八人加六得一百四人乗副為實
[004-48a]
按此術應置表髙加人目髙以入表棄之誤置
退步以入表乗之故人數差多二倍盖思省偶
[004-48b]
未至耳至求人數先用密率次用束箭法亦未
盡合題問今依其數各步於後
求營徑置表髙八丈加人目髙四尺八寸得八
丈四尺八寸以入表八尺乗之得六萬七千八
百四十寸以人目髙除之得一十四丈一尺三
寸又三分寸之一為營徑盖以表髙加人目髙
為大股營徑為大勾較人目髙為小股入表為
小勾較置大股以小勾較乗之以小股除之即
[004-49a]
得大勾較也
求人數用密率置徑為實倍每人占地八尺得
一十六尺為法除實得八為外層數加最内一
層得九為共層數餘一十三尺三寸又三分寸
之一為最内徑以最内徑與最外徑即營/陘相加
以九層乗之折半得六百九十六尺為九層共
徑數以密周率二十二乗之得一萬五千三百
一十二尺為實以密率七乗每人占地八尺得
[004-49b]
五十六尺為法除之得二百七十三人餘三尺
又七分尺之三棄之此法應先求得内外圓周
再求九層共周數今先求九層共徑數然後變
為圓周其理一也
望敵逺近
問敵軍處北山下原不知相去逺近乃於平地立一表
髙四尺人退表九百步步法/五尺遥望山原適與表端參
合人目髙四尺八欲之敵軍相去㡬何
[004-50a]
答曰一十二里半
術曰以勾股求之重差入之置人目髙以表髙減之
餘為法置退表乗表髙為實實如法而一
草曰置人目髙四尺八寸減表
髙四尺餘八寸為法置退表九
百步以步五十寸通之得四萬
五千寸乗表髙四十寸得一百
八十萬寸為實如法八寸而一
[004-50b]
得二十二萬五千寸以步法五十寸約之得四千五
百步為相去步以里法三百六十步約之得一十二
里半為敵去表所合問
表望浮圖
問有浮圖欹側欲換塔心木不知其髙去塔六丈有刹
竿亦不知其髙竿本去地九尺二寸始釘鋦按鋦原/本作鈎
今改/正鋦一十四枚枚長五寸每鋦下股相去二尺五
寸就竿為表人退竿三丈遥望浮圖尖適與竿端斜
[004-51a]
合又望相輪之本影鋦第七枚上股人目入去地四
尺八寸心木放三尺為㔼按㔼原本作/□今改正卯剪截欲求
塔髙輪髙合用塔心木長各㡬何
答曰塔髙一十一丈七尺 相輪髙三丈 塔身
髙八丈七尺 竿髙四丈二尺二寸 塔心
木九丈内三尺為剪截穿鑿㔼卯
按塔髙竿髙二數合相輪髙塔身髙塔心木長
三數俱誤相輪髙四丈五尺塔身髙七丈二尺
[004-51b]
塔心木長七丈五尺説詳草後
術曰以勾股求之重差入之置鋦數減一餘乗鋦相
去數併一枚長數加竿本共為表竿髙以退表為法
以人目髙減表竿髙餘乗竿去塔為實實如法而一
得數加表竿髙共為塔髙置相輪入本鋦數減一餘
乗鋦相去又乗竿去塔為實實如法而一得相輪髙
按未加入鋦/人數法誤以減塔髙餘為塔身髙以益㔼卯尺數
為塔心木長
[004-52a]
草曰置鋦一十
四枚減一餘一
十三以乗鋦相
去二尺五寸得
三百二十五寸併
最上鋦一枚長
五寸得三百三十寸又加竿本九尺二寸共得四百
二十二尺為表竿髙以人退表三丈通為三百寸為
[004-52b]
法次以人目髙四尺八寸減表竿髙四百二十二寸
餘三百七千四寸以乗竿去塔六丈得二十二萬四
千四百寸為實實如法三百兩一得七百四十八寸
加表竿髙四百二十二寸得一千一百七十寸以十
約之為一十一丈七尺為塔髙置相輪本入第七鋦
減一餘六以乗鋦相去二尺五寸得一百五十寸又
乗竿去塔六丈得九萬寸為實實如前法三百寸而
一得三百寸約為三丈得相輪髙按不加入鋦即/為相輪髙誤以
[004-53a]
相輪髙三丈減塔髙一十一丈七尺餘八丈七尺為
塔身髙按此數及塔心木/數皆因上數而誤益三尺為剪截㔼卯共得
九丈為塔心木長合前問
按此皆大小形同式相求法也人目去塔為總
勾人目上塔尖髙塔身皆為總股髙相輪髙為
總股較人目去竿為分小勾人目上竿髙及相
輪本入竿髙俱為分小股相輪本入竿為小股
較竿去塔為分大勾術以竿去塔分大勾與小
[004-53b]
勾股乗除得大股數加小股為總股故塔尖髙
數合以大勾與小勾小股較乗除得大股較數
即為總股較故相輪髙數少一小股較一丈五
尺也塔身髙塔心木長皆本此數加減而得故
誤數相等
數學九章卷四下
