[003-1a] 
欽定四庫全書
御製歴象考成上編卷三
弧三角形下
斜弧三角形論
斜弧三角形邊角比例法
斜弧三角形作垂弧法
斜弧三角形用總較法次形/法附
斜弧三角形設例八則
[003-2a]
斜弧三角形論
弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但
直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一
鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍
或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過於九十
度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參
錯成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑復
繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例
[003-2b]
相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所
用之法彼此互異遂使學者莫知所從兹約以三法
求之無論角之銳鈍邊之大小並視先所知之三件
為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求
之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對
之邊角而無對所求之邊角或求角而無對角之邊/或求邊而無對邊之角
則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角或三/邊求
角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三/角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間則用
總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降
[003-2b]
出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣
[003-3a]
斜弧三角形邊角比例法
凡斜弧三角形先知之三件有相對之
邊角又有對所求之邊角者則用邊角
比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角
有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙
為對所知之邊甲為所知之角甲乙為
對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正
弦與對所求之甲乙邊正弦之比同於
[003-3b]
所知之甲角正弦與所求之丙角正弦
之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁
角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己
角為對所知之角丁戊為所知之邊丁
為對所求之角乃以對所知之己角正
弦與對所求之丁角正弦之比同於所
知之丁戊邊正弦與所求之戊己邊正
弦之比也
斜弧三角形作垂弧法
[003-3b]
凡斜弧三角形先知之三件有相對之
[003-4a]
邊角而無對所求之邊角者則用垂弧
法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲
乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃
自乙角作乙丁垂弧於形内分為甲乙
丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲
乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分
角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角
以丁角正弦即半/徑與甲角正弦之比同
[003-4b]
於甲乙邊正弦與乙丁垂弧正弦之比
而得乙丁垂弧以半徑與甲角餘弦之
比同於甲乙邊正切與甲丁邊正切之
比而得甲丁分邊以甲乙邊正弦與甲
丁邊正弦之比同於丁角正弦即半/徑與
乙分角正弦之比而得乙分角次用丙
乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形
有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙
丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同於
[003-4b]
半徑與乙分角餘弦之比而得乙分角
[003-5a]
以丁角正弦即半/徑與乙分角正弦之比
同於乙丙邊正弦與丁丙邊正弦之比
而得丁丙分邊既得兩分角並之即乙
角得兩分邊並之即甲丙邊也又如戊
己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己
庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作
己辛垂弧於形外將戊庚弧引長至辛
作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之
[003-5b]
先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚邊
及己虚角葢此形有庚外角有己庚邊
有辛直角以辛角正弦即半/徑與庚角正
弦之比同於己庚邊正弦與己辛垂弧
正弦之比而得己辛垂弧以半徑與庚
角餘弦之比同於己庚邊正切與庚辛
虚邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚
邊正弦與庚辛邊正弦之比同於辛角
正弦即半/徑與己虚角正弦之比而得己
[003-5b]
虚角次用戊己辛形求戊辛總邊及己
[003-6a]
總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛
直角以戊角正切與半徑之比同於己
辛垂弧正切與戊辛邊弦弦之比而得
戊辛總邊以己辛垂弧正弦與戊辛邊
正弦之比同於戊角正弦與己角弦弦
之比而得己總角既得戊辛總邊内減
去庚辛虚邊即戊庚邊得己總角内減
去己虚角即己角也
[003-6b]
斜弧三角形用總較法
凡斜弧三角形知三邊求
角者則用總較法以角傍
之兩邊相加為總弧相減
為較弧各取其餘弦相加
減總弧較弧俱不過象限/或俱過象限則兩餘弦
相減若一過象限一不過/象限則兩餘弦相加其或
過二象限者與過一象限/同過三象限者與不過象
限/同折半為中數又以對邊
[003-6b]
之矢與較弧之矢相減餘
[003-7a]
為矢較乃以中數與矢較
為比同於半徑與所求角
之正矢之比也如知兩邊
一角而角在兩邊之間者
以半徑與所知角之正矢
為比同於中數與矢較之
比既得矢較與較弧之矢
相加即得對邊之矢也如
[003-7b]
甲乙丙斜弧三角形有三
邊求甲角則以甲角傍之
甲乙甲丙二邊相加得乙
丁甲丙甲戊甲丁三弧同/為丁戊距等圈所截故
其度/相等為總弧其正弦為丁
己餘弦為己庚甲乙與甲
丙相減餘乙戊為較弧其
正弦為戊辛餘弦為辛庚
兩餘弦相加得己辛乙丁/總弧
[003-7b]
過象限乙戊較弧不過象/限其兩餘弦在圜心之兩
[003-8a]
邊故/相加折半得辛壬與癸子
等為中數乙丙對邊與乙
丑等乙丙與乙丑兩弧同/為丑寅距等圈所截
故其度/相等其正弦為丑卯餘
弦為卯庚正矢為乙卯以
乙卯與乙戊較弧之正矢
乙辛相減餘辛卯與辰巳
等為矢較戊辰巳與戊癸
[003-8b]
子為同式兩勾股形故癸
子與辰巳之比同於戊子
與戊巳之比也又午庚為
半徑戊子為距等圈之半
徑午未與戊己兩段同為
甲丙申大圈所分則戊子
與戊己之比原同於午庚
與午未之比是以中數癸
子與矢較辰巳之比即同
[003-8b]
於半徑午庚與甲角正矢
[003-9a]
午未之比也以午未與午
庚半徑相減餘未庚為甲
角之餘弦檢表即得甲角
所當午申弧之度也若先
有甲角及甲乙甲丙二邊
求乙丙對邊則以半徑午
庚與甲角正矢午未之比
即同於中數癸子與矢較
[003-9b]
辰巳之比既得辰巳與辛
卯等與乙戊較弧之正矢
乙辛相加得乙卯為乙丙
對邊之正矢也如有甲乙
甲丙乙丙三邊求乙角則
以乙角傍甲乙乙丙二邊
相加得甲丁乙丙乙丁乙/戊三弧同為
戊丁距等圈所/截故其度相等為總弧其
正弦為丁己餘弦為己庚
[003-9b]
甲乙與乙丙相減餘甲戊
[003-10a]
為較弧其正弦為戊辛餘
弦為辛庚兩餘弦相減餘
辛己甲丁總弧甲戊較弧/皆不過象限其兩餘
弦同在圜心之/一邊故相減折半得辛
壬與癸子等為中數甲丙
對邊與甲丑等甲丙與甲/丑兩弧同
為寅丑距等圈所/截故其度相等其正弦
為丑卯餘弦為卯庚正矢
[003-10b]
為甲卯以甲卯與甲戊較
弧之正矢甲辛相減餘辛
卯與辰巳等為矢較戊癸
子與戊辰巳為同式兩勾
股形故癸子與辰巳之比
同於戊子與戊巳之比也
又午庚為半徑戊子為距
等圈之半徑戊巳與午未
兩段同為乙丙申大圈所
[003-10b]
分則戊子與戊巳之比原
[003-11a]
同於午庚與午未之比是
以中數癸子與矢較辰巳
之比即同於半徑午庚與
乙角大矢午未之比也凡/鈍
角所用諸線皆與外角同/惟矢則有正矢大矢之别
如庚未為乙銳角所當申/酉弧之餘弦亦為乙鈍角
所當午申弧之餘弦檢表/銳角即得本角度鈍角與
半周相減亦即得本角度/而未酉為乙銳角之正矢
[003-11b]
乃於酉庚半徑内減庚未/餘弦午未為乙鈍角之大
矢乃於午庚半徑加庚未/餘弦也此正矢大矢之别
過弧/亦然於午未大矢内減午
庚半徑餘庚未為乙角之
餘弦檢表得乙外角度與
半周相減餘即乙鈍角之
度也若先有乙鈍角及甲
乙乙丙二邊求甲丙對邊
則以半徑午庚與乙角大
[003-11b]
矢午未之比即同於中數
[003-12a]
癸子與矢較辰巳之比既
得辰巳與辛卯等與甲戊
較弧之正矢甲辛相加得
甲卯為甲丙對邊之正矢
也
斜弧三角形知三角求邊
者則用次形法如甲乙丙
形可易為丁戊己次形葢
[003-12b]
甲角之度當庚辛弧而庚
辛與己戊等庚己與辛戊/皆象限故庚
辛與己/戊等故本形之甲角即
次形之己戊邊乙外角之
度當壬癸弧而壬癸與己
丁等壬己與癸丁皆象限/故壬癸與己丁等
故本形之乙外角即次形
之己丁邊丙角之度當子
丑弧而子丑與戊丁等子/戊
[003-12b]
與丑丁皆象限故/子丑與戊丁等故本形
[003-13a]
之丙角即次形之戊丁邊
是本形之三角即次形之
三邊也又次形丁角之度
當癸丑弧而癸丑與乙丙
等丙丑與乙癸皆象限/故癸丑與乙丙等故
次形之丁角即本形之乙
丙邊戊外角之度當辛子
弧而辛子與甲丙等丙子/與甲
[003-13b]
辛皆象限故辛/子與甲丙等故次形之
戊外角即本形之甲丙邊
己角之度當庚壬弧而庚
壬與甲乙等乙壬與甲庚/皆象限故庚
壬與甲/乙等故次形之己角即
本形之甲乙邊是本形之
三邊即次形之三角也故
用丁己戊次形仍用總較
法算之求得次形之三角
[003-13b]
即得本形之三邊也如有
[003-14a]
乙角丙角及乙丙邊而求
甲角亦用丁戊己次形有
己丁邊戊丁邊及丁角仍
用總較法算之求得己戊
邊即甲角也
設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏
西八十一度四十二分四十八秒求太陽距赤道
緯度幾何
[003-14b]
甲乙丙三角形甲為北極
乙為天頂丙為太陽乙丁
戊己為子午經圏乙丙癸
戊為地平經圏丁己為地
平庚辛為赤道庚壬為申
正初刻距午正赤道六十
度即甲角丙癸為太陽髙
三十二度即地平緯度/一名髙弧與
乙癸象限相減餘太陽距
[003-14b]
天頂五十八度即乙丙邊
[003-15a]
丁癸為地平經度偏西八
十一度四十二分四十八
秒與丁己半周相減餘癸
己九十八度一十七分一
十二秒即乙角丙壬為太
陽距赤道緯度與甲壬象
限相減餘甲丙邊為太陽
距北極度故用甲乙丙三
[003-15b]
角形有甲乙二角及乙丙
邊求甲丙邊以甲角六十
度為對所知之角其正弦
八百六十六萬零二百五
十四為一率乙角九十八
度一十七分一十二秒為
對所求之角其正弦九百
八十九萬五千五百九十
三為二率乙丙五十八度
[003-15b]
為所知之邊其正弦八百
[003-16a]
四十八萬零四百八十一
為三率求得四率九百六
十九萬零一百七十六為
所求甲丙邊之正弦檢表
得七十五度四十二分零
一秒即甲丙弧之度與九
十度相減餘一十四度一
十七分五十九秒即太陽
[003-16b]
距赤道北之緯度也此法
用邊角相比例與直線三
角形同但直線三角形以
角之正弦與邊相比見數/理精
藴第十/七卷此以角之正弦與
邊之正弦相比其比例之
理一也又以正弧之理明
之試將甲乙弧引長至丁
自丙角作丙丁垂弧則成
[003-16b]
甲丁丙乙丁丙兩正弧三
[003-17a]
角形先求乙丁丙形丁角
正弦即半/徑為一率乙角正
弦為二率乙丙正弦為三
率丙丁正弦為四率此第
一比例也次求甲丁丙形
甲角正弦為一率丁角正
弦即半/徑為二率丙丁正弦
為三率甲丙正弦為四率
[003-17b]
此第二比例也然第二比
例之二率三率即第一比
例之一率四率而二率三
率相乘與一率四率相乘
之數等故用第一比例之
二率三率而用第二比例
之一率即得第二比例之
四率此有對角求對邊之
法也
[003-17b]
設如太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒
[003-18a]
測得髙弧三十二度地平經度偏西八十一度四
十二分四十八秒求係何時刻
甲乙丙三角形甲為北極
乙為天頂丙為太陽丙壬
為太陽距赤道北一十四
度一十七分五十九秒甲
丙即為太陽距北極七十
五度四十二分零一秒丙
[003-18b]
癸為太陽髙三十二度乙
丙即為太陽距天頂五十
八度丁癸為地平經度偏
西八十一度四十二分四
十八秒癸己為九十八度
一十七分一十二秒即乙
角庚壬為太陽距午正赤
道度即甲角故用甲乙丙
三角形有乙角及甲丙乙
[003-18b]
丙二邊求甲角以甲丙七
[003-19a]
十五度四十二分零一秒
為對所知之邊其正弦九
百六十九萬零一百七十
六為一率乙丙五十八度
為對所求之邊其正弦八
百四十八萬零四百八十
一為二率乙角九十八度
一十七分一十二秒為所
[003-19b]
知之角其正弦九百八十
九萬五千五百九十三為
三率求得四率八百六十
六萬零二百五十四為所
求甲角之正弦檢表得六
十度即甲角度以六十度
變得二時從午正初刻後
計之因偏西故/為午正後為申正初
刻也此有對邊求對角之
[003-19b]
法也
[003-20a]
設如北極出地四十度申正初刻測得太陽髙三十
二度求太陽距赤道緯度及地平經度各幾何
甲乙丙三角形甲為北極
乙為天頂丙為太陽甲己
為北極出地四十度甲乙
即為北極距天頂五十度
庚壬為申正初刻距午正
赤道六十度即甲角丙癸
[003-20b]
為太陽髙三十二度乙丙
即為太陽距天頂五十八
度丙壬為太陽距赤道緯
度甲丙為其餘丁癸為地
平經度即乙角之外角甲/乙
丙形之乙角當癸己弧其/癸乙丁外角即當丁癸弧
故用甲乙丙三角形有甲
角及甲乙乙丙二邊求甲
丙邊及乙角乃自乙角作
[003-20b]
乙丁垂弧分為甲乙丁丙
[003-21a]
乙丁兩正弧三角形先求
甲乙丁形以丁角正弦即
半徑一千萬為一率甲角
六十度之正弦八百六十
六萬零二百五十四為二
率甲乙五十度之正弦七
百六十六萬零四百四十
四為三率求得四率六百
[003-21b]
六十三萬四千一百三十
九為乙丁弧之正弦檢表
得四十一度三十三分三
十九秒即乙丁弧之度也
此即正弧三角形有黃赤/交角有黃道求距緯之法
葢甲角即如黄赤交角甲/乙即如黃道甲丁即如赤
道乙丁即/如距緯又以半徑一千
萬為一率甲角六十度之
餘弦五百萬為二率甲乙
[003-21b]
五十度之正切一千一百
[003-22a]
九十一萬七千五百三十
六為三率求得四率五百
九十五萬八千七百六十
八為甲丁弧之正切檢表
得三十度四十七分二十
三秒即甲丁弧之度也此/即
正弧三角形有黃赤交/角有黃道求赤道之法又
以甲乙五十度之正弦七
[003-22b]
百六十六萬零四百四十
四為一率甲丁三十度四
十七分二十三秒之正弦
五百一十一萬八千八百
八十八為二率丁角正弦
即半徑一千萬為三率求
得四率六百六十八萬二
千二百三十四為乙分角
之正弦檢表得四十一度
[003-22b]
五十五分四十八秒即乙
[003-23a]
分角之度也此即正弧三/角形有黃道
有赤道求黃道/交極圏角之法次求乙丙
丁形以乙丁四十一度三
十三分三十九秒之餘弦
七百四十八萬二千五百
二十六為一率乙丙五十
八度之餘弦五百二十九
萬九千一百九十三為二
[003-23b]
率半徑一千萬為三率求
得四率七百零八萬二千
零九十一為丙丁弧之餘
弦檢表得四十四度五十
四分三十八秒即丙丁弧
之度也此即正弧三角形/有黃道有距緯求
赤道之法葢丙角即如黃/赤交角乙丙即如黃道丙
丁即如赤道乙/丁即如距緯又以乙丙
五十八度之正弦八百四
[003-23b]
十八萬零四百八十一為
[003-24a]
一率丙丁四十四度五十
四分三十八秒之正弦七
百零六萬零二十七為二
率丁角正弦即半徑一千
萬為三率求得四率八百
三十二萬五千零三十為
乙分角之正弦檢表得五
十六度二十一分二十四
[003-24b]
秒即乙分角之度也此即/正弧
三角形有黃道有距緯求/黄赤交角之法葢乙分角
即如黃赤交角乙丙即如/黃道乙丁即如赤道丙丁
即如/距緯乃以甲丁丙丁相併
得甲丙七十五度四十二
分零一秒即太陽距北極
度與九十度相減餘一十
四度一十七分五十九秒
即太陽距赤道北之緯度
[003-24b]
如甲丙大於九十度則減/去九十度餘為太陽距赤
[003-25a]
道南之/緯度以兩乙分角相併
得九十八度一十七分一
十二秒與一百八十度相
減餘八十一度四十二分
四十八秒即太陽距午正
偏西之地平經度也此作
垂弧於形内之法也
設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏
[003-25b]
西八十一度四十二分四十八秒求北極出地度
幾何
甲乙丙三角形甲為北極
乙為天頂丙為太陽丙癸
為太陽髙三十二度乙丙
即為太陽距天頂五十八
度庚壬為申正初刻距午
正赤道六十度即甲角丁
癸為地平經度偏西八十
[003-25b]
一度四十二分四十八秒
[003-26a]
即乙角之外角甲己為北
極出地度甲乙為其餘故
用甲乙丙三角形有甲乙
二角及乙丙邊求甲乙邊
乃自丙角作丙丁垂弧補
成甲丙丁乙丙丁兩正弧
三角形先求乙丙丁形以
丁角正弦即半徑一千萬
[003-26b]
為一率乙角九十八度一
十七分一十二秒之正弦
九百八十九萬五千五百
九十三為二率乙丙五十
八度之正弦八百四十八
萬零四百八十一為三率
求得四率八百三十九萬
一千九百三十九為丙丁
弧之正弦檢表得五十七
[003-26b]
度零三分一十八秒即丙
[003-27a]
丁弧之度也此即正弧三/角形有黃赤
交角有黃道求距緯之法/葢乙角即如黃赤交角乙
丙即如黃道乙丁即如/赤道丙丁即如距緯又
以半徑一千萬為一率乙
角九十八度一十七分一
十二秒之餘弦一百四十
四萬一千二百六十為二
率乙丙五十八度之正切
[003-27b]
一千六百萬零三千三百
四十五為三率求得四率
二百三十萬六千四百九
十八為乙丁弧之正切檢
表得一十二度五十九分
一十七秒即乙丁弧之度
也此即正弧三角形有黃/赤交角有黃道求赤道
之/法次求甲丙丁形以甲角
六十度之正切一千七百
[003-27b]
三十二萬零五百零八為
[003-28a]
一率半徑一千萬為二率
丙丁五十七度零三分一
十八秒之正切一千五百
四十三萬一千零五十九
為三率求得四率八百九
十萬九千一百二十六為
甲丁弧之正弦檢表得六
十二度五十九分一十七
[003-28b]
秒即甲丁弧之度也此即/正弧
三角形有黃赤交角有距/緯求赤道之法葢甲角即
如黃赤交角甲丙即如黃/道甲丁即如赤道丙丁即
如距/緯乃以甲丁與乙丁相
減餘甲乙五十度即北極
距天頂又與九十度相減
餘四十度即北極出地度
也若求丙角則求得丙總/角與丙虚角相減即得
此作垂弧於形外之法也
[003-28b]
設如大角星黃道緯北三十一度零三分赤道緯北
[003-29a]
二十度五十八分四十七秒黃極赤極即北/極相距
二十三度三十分求黃道經度赤道經度各幾何
甲乙丙三角形甲為赤極
即北/極乙為黃極甲乙相距
二十三度三十分丙為大
角星丁戊為黃道己庚為
赤道丙辛為黃道緯北三
十一度零三分乙丙即為
[003-29b]
星距黃極五十八度五十
七分丙壬為赤道緯北二
十度五十八分四十七秒
甲丙即為星距赤極六十
九度零一分一十三秒丁
辛為星距夏至後黃道經
度即乙角己壬為星距夏
至後赤道經度即甲角之
外角故用甲乙丙三角形
[003-29b]
有甲乙甲丙乙丙三邊求
[003-30a]
甲乙二角先求乙角則以
夾乙角之甲乙邊二十三
度三十分與乙丙邊五十
八度五十七分相加得八
十二度二十七分為總弧
其餘弦一百三十一萬三
千九百一十三又以甲乙
乙丙兩邊相減餘三十五
[003-30b]
度二十七分為較弧其餘
弦八百一十四萬六千二
百二十兩餘弦相減總弧/較弧
俱不過象限或俱過象限/則兩餘弦相減若一過象
限一不過象限則兩餘弦/相加其或過二象限者與
過一象限同過三象/限者與不過象限同餘六
百八十三萬二千三百零
七折半得三百四十一萬
六千一百五十四為中數
[003-30b]
為一率以對乙角之甲丙
[003-31a]
邊六十九度零一分一十
三秒之正矢六百四十一
萬九千六百二十五餘弦/與半
徑相減/得矢度與較弧三十五度
二十七分之正矢一百八
十五萬三千七百八十相
減餘四百五十六萬五千
八百四十五為矢較為二
[003-31b]
率半徑一千萬為三率求
得四率一千三百三十六
萬五千四百五十四為乙
角之大矢凡矢度過於半/徑者為大矢其
角即為/鈍角内減半徑一千萬
餘三百三十六萬五千四
百五十四為乙角之餘弦
檢表得七十度二十分與
半周相減餘一百零九度
[003-31b]
四十分為乙角度即星距
[003-32a]
夏至後黃道經度自夏至
未宫初度逆計之為卯宫
一十九度四十分也如圖
甲乙與乙丙相加得甲癸
為總弧乙丙乙癸乙子三/弧同為癸子距等
圈所截故/其度相等其正弦為癸丑
餘弦為丑寅甲乙與乙丙
相減餘甲子為較弧其正
[003-32b]
弦為子卯餘弦為卯寅以
丑寅與卯寅兩餘弦相減
餘卯丑折半得卯辰與巳
午等為中數又對乙角之
甲丙邊與甲未等其正弦
為未申餘弦為申寅正矢
為甲申以甲申與甲子較
弧之正矢甲卯相減餘卯
申與酉戌等為矢較遂成
[003-32b]
子酉戌與子巳午同式兩
[003-33a]
勾股形故巳午與酉戌之
比必同於子午與子戌之
比也又丁寅為半徑子午
為距等圈之半徑子戌與
丁亥兩段同為乙丙辛黃
道經圈之所分則子午與
子戌之比原同於丁寅與
丁亥之比是以中數己午
[003-33b]
與矢較酉戌之比即同於
半徑丁寅與乙角大矢丁
亥之比也既得丁亥大矢
内減丁寅半徑餘寅亥即
乙外角之餘弦檢表得乙
外角所當辛戊弧之度復
與半周相減即得乙角所
當丁辛弧之度也既得乙
角則以對邊對角之法求
[003-33b]
之即得甲角度矣
[003-34a]
如先求甲角則以夾甲角
之甲乙邊二十三度三十
分與甲丙邊六十九度零
一分一十三秒相加得九
十二度三十一分一十三
秒為總弧其餘弦四十三
萬九千七百二十九又以
甲乙甲丙兩邊相減餘四
[003-34b]
十五度三十一分一十三
秒為較弧其餘弦七百萬
零六千五百六十八兩餘
弦相加總弧過象限較弧/不過象限故兩餘
弦相/加得七百四十四萬六
千二百九十七折半得三
百七十二萬三千一百四
十八為中數為一率以對
甲角之乙丙邊五十八度
[003-34b]
五十七分之正矢四百八
[003-35a]
十四萬二千一百四十一
與較弧四十五度三十一
分一十三秒之正矢二百
九十九萬三千四百三十
二相減餘一百八十四萬
八千七百零九為矢較為
二率半徑一千萬為三率
求得四率四百九十六萬
[003-35b]
五千四百四十五為甲角
之正矢與半徑一千萬相
減餘五百零三萬四千五
百五十五為甲角之餘弦
檢表得五十九度四十六
分一十六秒即甲角度與
半周相減餘一百二十度
一十三分四十四秒即星
距夏至後赤道經度自夏
[003-35b]
至未宫初度逆計之為卯
[003-36a]
宫初度一十三分四十四
秒也如圖甲乙與甲丙相
加得乙癸為總弧其正弦
為癸子餘弦為子丑甲乙
與甲丙相減餘乙寅為較
弧其正弦為寅卯餘弦為
卯丑兩餘弦相加得卯子
因兩餘弦在圜心/之兩邊故相加折半得
[003-36b]
卯辰與巳午等為中數又
對甲角之乙丙邊與乙未
等其正弦為未申餘弦為
申丑正矢為乙申以乙申
與乙寅較弧之正矢乙卯
相減餘卯申與酉戌等為
矢較遂成寅巳午與寅酉
戌同式兩勾股形故巳午
與酉戌之比同於寅午與
[003-36b]
寅戌之比又庚丑為半徑
[003-37a]
寅午為距等圈之半徑寅
戌與庚亥兩段同為甲丙
壬赤道經圈之所分則寅
午與寅戌之比原同於庚
丑與庚亥之比是以巳午
中數與矢較酉戌之比即
同於半徑庚丑與甲角正
矢庚亥之比也既得庚亥
[003-37b]
正矢與庚丑半徑相減餘
亥丑即甲角之餘弦檢表
即得甲角所當庚壬弧之
度也既得甲角則以對邊
對角之法求之亦即得乙
角度矣此三邊求角之法
也
設如大角星黃道經度距夏至一百零九度四十分
赤道經度距夏至一百二十度一十三分四十四
[003-37b]
秒黃赤兩過極經圈交角二十三度四十二分四
[003-38a]
十五秒求黃道緯度赤道緯度各幾何
甲乙丙三角形甲為赤極
即北/極乙為黃極甲乙為兩
極距度丙為大角星丁戊
為黃道己庚為赤道丁辛
為黃道經度距夏至一百
零九度四十分即乙角己
壬為赤道經度距夏至一
[003-38b]
百二十度一十三分四十
四秒即甲角之外角丙角
為甲壬乙辛兩經圏交角
二十三度四十二分四十
五秒丙辛為黃道北緯度
乙丙為其餘丙壬為赤道
北緯度甲丙為其餘故用
甲乙丙三角形有甲乙丙
三角求乙丙甲丙二邊乃
[003-38b]
用次形法先求乙丙邊將
[003-39a]
甲乙丙形易為癸子丑次
形葢本形之甲角即次形
之子丑邊甲角當庚壬/弧與子丑等本
形乙角之外角即次形之
癸丑邊乙角之外角當戊/辛弧與癸丑等
本形之丙角即次形之癸
子邊丙角當寅卯/弧與癸子等本形之
甲乙邊即次形之丑角丁/己
[003-39b]
弧與甲乙等/即丑角度本形之乙丙
邊即次形之癸角辛寅弧/與乙丙
等即癸/角度本形之甲丙邊即
次形子角之外角壬卯弧/與甲丙
等即子銳角度為癸子/丑形子鈍角之外角故
用癸子丑三角形有三邊
求癸角即乙/丙邊以夾癸角之
癸子邊即丙/角二十三度四
十二分四十五秒與癸丑
[003-39b]
邊即乙/外角七十度二十分相
[003-40a]
加得九十四度零二分四
十五秒為總弧其餘弦七
十萬五千五百四十四又
以癸子癸丑兩邊相減餘
四十六度三十七分一十
五秒為較弧其餘弦六百
八十六萬八千二百三十
二兩餘弦相加總弧過象/限較弧不
[003-40b]
過象限故兩/餘弦相加得七百五十
七萬三千七百七十六折
半得三百七十八萬六千
八百八十八為中數為一
率以對癸角之子丑邊即/甲
角/五十九度四十六分一
十六秒之正矢四百九十
六萬五千四百四十五與
較弧四十六度三十七分
[003-40b]
一十五秒之正矢三百一
[003-41a]
十三萬一千七百六十八
相減餘一百八十三萬三
千六百七十七為矢較為
二率半徑一千萬為三率
求得四率四百八十四萬
二千一百七十四為癸角
之正矢與半徑一千萬相
減餘五百一十五萬七千
[003-41b]
八百二十六為癸角之餘
弦檢表得五十八度五十
七分即癸角度亦即乙丙
邊度與象限相減餘三十
一度零三分即黃道北之
緯度也既得乙丙邊則以
對邊對角之法求之即得
甲丙邊矣
如先求甲丙邊則用癸子
[003-41b]
丑次形求子角子角之外/角當壬卯
[003-42a]
弧與甲/丙等以夾子角之子丑
邊即甲/角五十九度四十六
分一十六秒與癸子邊即/丙
角/二十三度四十二分四
十五秒相加得八十三度
二十九分零一秒為總弧
其餘弦一百一十三萬四
千八百七十四又以子丑
[003-42b]
癸子兩邊相減餘三十六
度零三分三十一秒為較
弧其餘弦八百零八萬四
千一百五十二兩餘弦相
減總弧較弧俱不過象/限故兩餘弦相減餘
六百九十四萬九千二百
七十八折半得三百四十
七萬四千六百三十九為
中數為一率以對子角之
[003-42b]
癸丑邊即乙/外角七十度二十
[003-43a]
分之正矢六百六十三萬
四千五百二十五與較弧
三十六度零三分三十一
秒之正矢一百九十一萬
五千八百四十八相減餘
四百七十一萬八千六百
七十七為矢較為二率半
徑一千萬為三率求得四
[003-43b]
率一千三百五十八萬零
三百三十七為子角之大
矢内減半徑一千萬餘三
百五十八萬零三百三十
七為子角之餘弦檢表得
六十九度零一分一十三
秒即子角之外角度亦即
甲丙邊度與象限相減餘
二十度五十八分四十七
[003-43b]
秒即赤道北之緯度也既
[003-44a]
得甲丙邊則以對邊對角
之法求之亦即得乙丙邊
矣此三角求邊之法也
設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一
百二十二度二十九分黃道南緯度二度三十七
分黄極赤極相距二十三度三十分求赤道經度
緯度各幾何
甲乙丙三角形甲為赤極
[003-44b]
即北/極乙為黃極甲乙相距
二十三度三十分丙為土
星丁戊為赤道己庚為黃
道己辛為黃道經度距夏
至一百二十二度二十九
分即乙角丙辛為黃道南
緯度二度三十七分乙丙
為星距黃極九十二度三
十七分丙壬為赤道南緯
[003-44b]
度甲丙即星距北極度丁
[003-45a]
壬為距夏至赤道經度即
甲角之外角故用甲乙丙
三角形有乙角及甲乙乙
丙二邊求甲丙邊及甲角
先求甲丙邊以半徑一千
萬為一率乙角一百二十
二度二十九分之大矢一
千五百三十七萬零五百
[003-45b]
四十二為二率以夾乙角
之甲乙邊二十三度三十
分與乙丙邊九十二度三
十七分相加得一百一十
六度零七分為總弧其餘
弦四百四十萬二千零四
又以甲乙乙丙兩邊相減
餘六十九度零七分為較
弧其餘弦三百五十六萬
[003-45b]
四千六百六十二兩餘弦
[003-46a]
相加總弧過象限較弧不/過象限故兩餘弦相
加/得七百九十六萬六千
六百六十六折半得三百
九十八萬三千三百三十
三為中數為三率求得四
率六百一十二萬二千五
百九十九為矢較與較弧
六十九度零七分之正矢
[003-46b]
六百四十三萬五千三百
三十八相加得一千二百
五十五萬七千九百三十
七為甲丙對邊之大矢凡/矢
度過於半徑者為大/矢其弧即為過弧内減
半徑一千萬餘二百五十
五萬七千九百三十七為
甲丙邊之餘弦檢表得七
十五度一十分四十六秒
[003-46b]
與半周相減餘一百零四
[003-47a]
度四十九分一十四秒即
甲丙邊之度内減九十度
餘一十四度四十九分一
十四秒為赤道南之緯度
也如圖己癸為半徑己子
為甲角之大矢甲乙與乙
丙相加乙丙與乙丑/乙卯皆相等得甲
丑為總弧其正弦為丑寅
[003-47b]
餘弦為寅癸甲乙與乙丙
相減餘甲卯為較弧其正
弦為卯辰餘弦為辰癸兩
餘弦相加得辰寅折半得
辰巳與午未等為中數又
對乙角之甲丙邊與甲申
等其正弦為申酉餘弦為
酉癸大矢為甲酉以甲酉
與甲卯較弧之正矢甲辰
[003-47b]
相減餘辰酉與戌亥等為
[003-48a]
矢較遂成卯午未與卯戌
亥同式兩勾股形而卯未
與卯亥之比同於午未與
戌亥之比又卯未為丑卯
距等圈之半徑卯亥與巳
子兩段同為乙辛丙黃道
經圈之所分則卯未與卯
亥之比原同於己癸與己
[003-48b]
子之比是以半徑己癸與
乙角大矢己子之比即同
於中數午未與矢較戌亥
之比也既得戌亥矢較與
甲卯較弧之正矢甲辰相
加得甲酉即為甲丙弧之
大矢内減甲癸半徑餘酉
癸為甲丙弧之餘弦亦即
丙乾弧之餘弦檢表得丙
[003-48b]
乾弧之度故與半周相減
[003-49a]
始為甲丙弧之度也次求
甲角則以甲丙弧一百零
四度四十九分一十四秒
之正弦九百六十六萬七
千三百一十六為一率乙
丙弧九十二度三十七分
之正弦九百九十八萬九
千五百七十三為二率乙
[003-49b]
角一百二十二度二十九
分之正弦八百四十三萬
五千四百七十七為三率
求得四率八百七十一萬
六千六百七十一為甲角
之正弦檢表得六十度三
十九分一十秒即甲角之
度與半周相減餘一百一
十九度二十分五十秒即
[003-49b]
星距夏至赤道經度自夏
[003-50a]
至未宫初度逆計之為辰
宫二十九度二十分五十
秒也
又法將乙丙弧引長至丁
自甲作甲丁垂弧補成甲
丁乙甲丁丙兩正弧三角
形先求甲丁乙形以丁角
正弦即半徑一千萬為一
[003-50b]
率乙外角五十七度三十
一分之正弦八百四十三
萬五千四百七十七為二
率甲乙弧二十三度三十
分之正弦三百九十八萬
七千四百九十一為三率
求得四率三百三十六萬
三千六百三十八為甲丁
弧之正弦檢表得一十九
[003-50b]
度三十九分二十秒即甲
[003-51a]
丁弧之度也此即正弧三/角形有黃赤
交角有黃道/求距緯之法又以半徑一
千萬為一率乙外角五十
七度三十一分之餘弦五
百三十七萬零五百四十
二為二率甲乙二十三度
三十分之正切四百三十
四萬八千一百二十四為
[003-51b]
三率求得四率二百三十
三萬五千一百七十八為
乙丁弧之正切檢表得一
十三度零八分三十八秒
即乙丁弧之度也此即正/弧三角
形有黄赤交角有/黃道求赤道之法次求甲
丁丙形以半徑一千萬為
一率乙丙弧九十二度三
十七分與乙丁弧一十三
[003-51b]
度零八分三十八秒相加
[003-52a]
得丙丁弧一百零五度四
十五分三十八秒其餘弦
二百七十一萬六千一百
七十八為二率甲丁弧一
十九度三十九分二十秒
之餘弦九百四十一萬七
千三百一十八為三率求
得四率二百五十五萬七
[003-52b]
千九百一十一為甲丙弧
之餘弦檢表得七十五度
一十分四十六秒與半周
相減餘一百零四度四十
九分一十四秒即甲丙邊
之度也此即正弧三角形/有赤道有距緯求
黃道/之法既得甲丙邊則以對
邊對角之法求之即得甲
角矣此兩邊夾一角之法
[003-52b]
也
[003-53a]
設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一
百二十二度二十九分赤道經度辰宫二十九度
二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五
十秒黃極赤極相距二十三度三十分求黃道緯
度赤道緯度各幾何
甲乙丙三角形甲為赤極
即北/極乙為黃極甲乙相距
二十三度三十分丙為土
[003-53b]
星丁戊為赤道己庚為黃
道己辛為黃道經度距夏
至一百二十二度二十九
分即乙角丁壬為赤道經
度距夏至一百一十九度
二十分五十秒即甲角之
外角丙辛為黃道南緯度
乙丙為星距黃極度丙壬
為赤道南緯度甲丙為星
[003-53b]
距赤極度故用甲乙丙三
[003-54a]
角形有甲乙二角及甲乙
邊求甲丙乙丙二邊乃用
次形法先求丙角將甲乙
丙形易為癸子丑次形葢
本形之甲角即次形之子
丑邊甲角當壬戊/弧與子丑等本形乙
角之外角即次形之癸丑
邊乙外角當辛庚/弧與癸丑等本形之
[003-54b]
丙角即次形之癸子邊丙/角
當寅卯弧/與癸子等本形之甲乙邊
即次形之丑角丁己與甲/乙等即丑
角/度本形之乙丙邊與半周
相減之餘度即次形癸角
之外角乙丙邊與半周相/減餘丙辰與卯辛
等即辛癸卯角為癸子丑/形癸角之外角葢卯丙與
辛辰皆象限各減辛/丙故卯辛與丙辰等本形
之甲丙邊與半周相減之
[003-54b]
餘度即次形之子角甲丙/邊與
[003-55a]
半周相減餘丙巳與寅壬/等即子角度葢寅丙與壬
巳皆象限各減壬丙/故壬寅與丙巳等故用
癸子丑三角形有丑角及
癸丑子丑二邊求癸子邊
即丙/角以半徑一千萬為一
率丑角二十三度三十分
之正矢八十二萬九千三
百九十九為二率以癸丑
[003-55b]
邊即乙/外角五十七度三十一
分與子丑邊即甲/角六十度
三十九分一十秒相加得
一百一十八度一十分一
十秒為總弧其餘弦四百
七十二萬零八百零七又
以癸丑子丑兩邊相減餘
三度零八分一十秒為較
弧其餘弦九百九十八萬
[003-55b]
五千零二十四兩餘弦相
[003-56a]
加得一千四百七十萬五
千八百三十一折半得七
百三十五萬二千九百一
十五為中數為三率求得
四率六十萬九千八百五
十為矢較與較弧三度零
八分一十秒之正矢一萬
四千九百七十六相加得
[003-56b]
六十二萬四千八百二十
六為癸子對邊之正矢與
半徑一千萬相減餘九百
三十七萬五千一百七十
四為癸子對邊之餘弦檢
表得二十度二十一分四
十一秒為癸子邊之度亦
即丙角度也次求乙丙邊
則以丙角之正弦三百四
[003-56b]
十七萬九千三百八十七
[003-57a]
為一率甲角六十度三十
九分一十秒之正弦八百
七十一萬六千六百五十
七為二率甲乙邊二十三
度三十分之正弦三百九
十八萬七千四百九十一
為三率求得四率九百九
十八萬九千五百七十三
[003-57b]
為乙丙邊之正弦檢表得
八十七度二十三分與半
周相減餘九十二度三十
七分即乙丙邊之度内減
九十度餘二度三十七分
即星距黃道南之緯度也
次求甲丙邊以丙角之正
弦三百四十七萬九千三
百八十七為一率乙角一
[003-57b]
百二十二度二十九分之
[003-58a]
正弦八百四十三萬五千
四百七十七為二率仍以
甲乙邊之正弦三百九十
八萬七千四百九十一為
三率求得四率九百六十
六萬七千三百三十一為
甲丙邊之正弦檢表得七
十五度一十分四十六秒
[003-58b]
與半周相減餘一百零四
度四十九分一十四秒即
甲丙邊之度内減九十度
餘一十四度四十九分一
十四秒即星距赤道南之
緯度也
又法將乙丙弧引長至丁
自甲作甲丁垂弧補成甲
丁乙甲丁丙兩正弧三角
[003-58b]
形先求甲丁乙形以丁角
[003-59a]
正弦即半徑一千萬為一
率乙外角五十七度三十
一分之正弦八百四十三
萬五千四百七十七為二
率甲乙弧二十三度三十
分之正弦三百九十八萬
七千四百九十一為三率
求得四率三百三十六萬
[003-59b]
三千六百三十八為甲丁
弧之正弦檢表得一十九
度三十九分二十秒即甲
丁弧之度也此即正弧三/角形有黃赤
交角有黃道/求距緯之法又以甲乙弧
二十三度三十分之正切
四百三十四萬八千一百
二十四為一率甲丁弧一
十九度三十九分二十秒
[003-59b]
之正切三百五十七萬一
[003-60a]
千七百五十二為二率半
徑一千萬為三率求得四
率八百二十一萬四千四
百六十七為甲虚角之餘
弦檢表得三十四度四十
六分一十二秒即甲虚角
之度也此即正弧三角形/有黃道有赤道求
黃赤交/角之法次求甲丁丙形以
[003-60b]
丙甲乙角六十度三十九
分一十秒與甲虚角三十
四度四十六分一十二秒
相加得九十五度二十五
分二十二秒為丙甲丁角
乃以其餘弦九十四萬五
千零六十四為一率半徑
一千萬為二率甲丁弧一
十九度三十九分二十秒
[003-60b]
之正切三百五十七萬一
[003-61a]
千七百五十二為三率求
得四率三千七百七十九
萬三千七百五十七為甲
丙弧之正切檢表得七十
五度一十分四十六秒與
半周相減餘一百零四度
四十九分一十四秒即甲
丙邊之度也此即正弧三/角形有黃赤
[003-61b]
交角有赤道/求黄道之法既得甲丙邊
則以對邊對角之法求之
即得乙丙邊矣此兩角夾
一邊之法也
[003-61b]
御製
象考成上編卷三
