[002-1a] 
欽定四庫全書
御製厯象考成上編卷二
弧三角形上
弧三角形總論
弧三角形綱領
弧三角形凡例
正弧三角形論
正弧三角形圖說
[002-1b]
正弧三角形八線勾股比例圖說
正弧三角形用次形圖說
正弧三角形邊角相求法
正弧三角形設例七則
[002-2a]
弧三角形總論
弧三角形者球面弧線所成也古厯家有黄赤相準
之率大約就渾儀度之僅得大概未能形諸算術惟
元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率視古為
密但其法用三乘方取數甚難自西人利瑪竇湯若
望等翻譯厯書始有曲線三角形之法三弧度相交
成三角形其三弧三角各有相應之八線弧與弧相
交即線與線相遇而勾股比例生焉於是乎有黄道
[002-2b]
可以知赤道有赤道可以知黄道有經可以知緯有
緯可以知經厯象之法至此而備勾股之用至此而
極矣
弧三角形綱領
凡弧三角形皆在球面球面之腰圍一
線謂之大圈如甲乙丙丁為子午規戊
己為赤道庚辛為黄道壬乙癸丁為地
平規如此之類皆為大圈其周度皆相
等故可以相為比例凡圈皆有極極距
[002-2b]
圈皆九十度如赤道則有南北極黄道
[002-3a]
則有黄極若圈不相等則為距等圈如
子丑二圈其四圍之距大圈皆相等而
與大圈平行雖亦為三百六十度其分
則小於大圈距大圈愈逺距極愈近則
其圈愈小至極一㸃而止不能與大圈
為比例故弧三角形之角度邊度皆大
圈之度也
凡兩弧相交所成角相距皆半周一百
[002-3b]
八十度名其角度則必取其兩弧各足
象限九十度其對角之弧即為本角之
度如甲乙丙丁為黄道甲戊丙己為赤
道甲丙二處相交相距各半周一百八
十度即如春秋分試於甲丙弧之各平
分九十度處作丁己乙戊垂弧凡言垂/弧皆曲
線畫圖於平面不能顯/出故作虚線以别之則丁己弧為甲
丁己三角形之甲角度亦為丙丁己三
角形之丙角度其乙戊弧為甲乙戊三
[002-3b]
角形之甲角度亦為丙乙戊三角形之
[002-4a]
丙角度即如冬夏至之大距為春秋分
之角度葢甲丙為極則丁己乙戊為腰
圈所謂大圈者是也
凡弧三角形之三弧不足九十度者必
引長至九十度其對角之弧方為本角
之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足
九十度則将甲乙弧引長至丁甲丙弧
引長至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即
[002-4b]
甲角之度也又将乙甲弧引長至己乙
丙弧引長至庚作己庚弧其己庚弧之
度即乙角之度也又将丙甲弧引長至
辛丙乙弧引長至壬作辛壬弧其辛壬
弧之度即丙角之度也
凡弧三角形其角適足九十度者為直
角為正弧三角形甲圖是也大於九十
度者為鈍角不及九十度者為鋭角俱
為斜弧三角形乙圖丙圖是也因三邊
[002-4b]
皆弧故與直線三角形不同直線三角
[002-5a]
形有一直角或一鈍角餘二角必銳弧
三角形則有一直角二銳角者如丁形
有一直角二鈍角者如戊形有一直角
一鈍角一銳角者如己形有二直角一
銳角者如庚形有二直角一鈍角者如
辛形有三角俱直者如壬形有一鈍角
二銳角者如癸形有三角俱鈍者如子
形有一銳角二鈍角者如丑形而弧三
[002-5b]
角之形勢大概盡於此數端矣
弧三角形凡例
一直線三角形之三角相加成一百八十度弧三角
形之三角相加最小者亦必大於一百八十度但
不得滿五百四十度因其有三鈍角每一鈍角不/得滿一百八十度故三鈍角
不得滿五/百四十度
一直線三角形知兩角即知其所餘一角弧三角形
雖知兩角其餘一角非算不知
一直線三角形之邊小則咫尺大則千百萬里實有
[002-5b]
尺度之可量弧三角形之邊俱係弧度必在半周
[002-6a]
一百八十度之内但合三邊不得滿三百六十度
葢三百六十度則成/全圜而不得成角矣
一直線三角形之八線惟用於角弧三角形之八線
并用於邊角之八線與邊之八線相求仍以勾股
為比例也
一直線三角形兩形之三邊各相等者為相等形兩
形之三角各相等者為同式形弧三角形則但有
相等形而無同式形葢以兩形之三角同其三邊
[002-6b]
必各相同也
一直線三角形可以三邊求角不可以三角求邊而
弧三角形既可以三邊求角又可以三角求邊
一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其餘理
與直線三角形同
一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件
可求其餘理與直線三角形同
一斜弧三角形作垂弧分為兩正弧三角形與直線
三角形作中垂線之理同
[002-6b]
一弧三角形所知之三件有弧角相對者即用弧角
[002-7a]
為比例理與直線三角形同
一正弧三角形弧角不相對者則用次形法
一斜弧三角形知三邊求角者用總較法知三角求
邊者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用
總較法
一斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間者用
總較法或用垂弧法知兩角一邊而邊在兩角之
間者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用
[002-7b]
總較法或用垂弧法
[002-8a]
正弧三角形論
正弧三角形必有一直角者葢因南北二極為赤道
之樞紐皆距赤道九十度故凡過南北二極經圈與
赤道相交所成之角俱為直角其相當之弧皆九十
度又凡有一圈即有兩極其過兩極經圈與本圈相
交亦必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形
夫正弧三角形所知之三件弧角相對者用弧角之
八線所成勾股為比例而弧角不相對者則用次形
[002-8b]
盖以弧角之八線所成勾股比例不生於本形而生
於次形而次形者乃以本形與象限相減之餘度所
成故用本形之餘弦餘切即用次形之正弦正切也
其法可易弧為角易角為弧若斜弧三角形可易大/形為小形易大邊為小
邊易鈍角/成銳角邊與角雖不相對可易為相對且知三角
即可以求邊其理實一以貫之也今以黄道赤道與
過極經圈所成之三角形設例而正弧三角形比例
推算之法無不統於是矣
正弧三角形圖說設黄赤大距二/十三度三十分
[002-8b]
如甲乙丙丁為赤道甲戊
[002-9a]
丙己為黄道相交於甲丙
甲為春分丙為秋分戊為
夏至己為冬至庚為北極
辛為南極庚戊乙辛己丁
為二極二至交圈戊至乙
己至丁俱二十三度三十
分為黄赤大距今作庚壬
癸辛為過南北二極經圈
[002-9b]
與黄道交於壬與赤道交
於癸成甲癸壬正弧三角
形甲為黄道赤道交角當
戊乙弧二十三度三十分
癸為直角葢庚辛二極即
赤道之極皆距赤道九十
度故凡過南北極經圈與
赤道所成之角皆為直角
其相當之弧皆九十度又
[002-9b]
如子丑為黄道兩極若從
[002-10a]
子丑二處作子寅卯丑過
黄極經圈與黄道交於卯
與赤道交於寅成甲寅卯
正弧三角形則卯亦為直
角葢子丑為黄道兩極皆
距黄道九十度故凡過黄
極經圈與黄道所成之角
皆為直角其相當之弧皆
[002-10b]
九十度由此推之凡有一
圈必有兩極其過兩極圈
與本圈相交必為直角其
所成三角形必皆為正弧
三角形可知矣
正弧三角形八線勾股比例圖說設黄道四/十五度
甲為黄道赤道交角甲乙
為黄道四十五度甲丙為
赤道同升度乙丙為黄赤
[002-10b]
距度成甲乙丙正弧三角
[002-11a]
形甲丁甲戊皆象限丁戊
為黄赤大距二十三度三
十分即甲角度己為北極
庚為南極己丁庚壬為二
極二至交圈甲為春分丁
為夏至辛為秋分壬為冬
至癸為地心己乙丙庚為
過南北二極經圈其甲乙
[002-11b]
丙三角形之八線各成相
當比例之勾股形丁子為
甲角之正弦子癸為甲角
之餘弦丑戊為甲角之正
切丑癸為甲角之正割戊
癸丁癸皆為半徑成丑戊
癸及丁子癸同式兩勾股
形乙寅為乙丙距緯弧之
正弦乙卯為甲乙黄道弧
[002-11b]
之正弦将兩正弦之寅卯
[002-12a]
二處作虚線聨之成乙寅
卯勾股形兩正弦之末立/於各半徑寅卯
二處而寅卯二處皆未抵/於弧界故不得為正弦今
以虚線聨之者為/眀勾股之理也辰丙為
乙丙距緯弧之正切丙己
為甲丙赤道弧之正弦将
正切正弦之辰巳二處作
虚線聨之成辰丙巳勾股
[002-12b]
形午甲為甲乙黄道弧之
正切未甲為甲丙赤道弧
之正切将兩正切之午未
二處作虚線聨之成午未
甲勾股形此三勾股形與
前二勾股形皆為同式形
夫甲癸辛原係一線如将
甲癸辛平視之則甲癸辛
合成一㸃而辛癸卯己甲
[002-12b]
五角皆合為一角甲戊象
[002-13a]
限亦成一直線而戊癸半
徑寅卯聨線丙己正弦未
甲正切亦皆合為一線矣
赤道既平置則黄道斜倚
従辛視之甲丁象限亦成
一直線而丁癸半徑乙卯
正弦辰巳聨線午甲正切
亦皆合為一線矣夫五勾
[002-13b]
股形既同角而各股皆合
為赤道之一線各弦皆合
為黄道之一線則各勾必
皆與赤道徑線相交成直
角而自将平行故皆為相
當比例之勾股形而可以
互相比例也
正弧三角形用次形圖說
如甲乙丙形可易為乙己
[002-13b]
丁次形葢甲戊甲丁己丙
[002-14a]
己戊四弧皆象限九十度
於甲丁象限弧内減去甲
乙弧餘乙丁弧即次形之
乙丁邊於己丙象限弧内
減去乙丙弧餘己乙弧即
次形之己乙邊於己戊象
限弧内減去丁戊弧即甲/角度
餘己丁弧即次形之己丁
[002-14b]
邊於甲戊象限弧内減去
甲丙弧餘丙戊弧即次形
之己角度是次形之三邊
一角即本形三邊一角之
餘度而用弦形之餘弦餘
切實即用次形之正弦正
切也弦次形之丁角為直
角與本形之丙角等乙為
交角其度又等故算乙己
[002-14b]
丁形即得甲乙丙形也
[002-15a]
又甲乙丙形可易為己庚
辛次形葢庚丁為象限弧
與己戊等則庚己與丁戊
等丁戊即/甲角度故本形之甲角
即次形之庚己邊乙辛壬
庚乙壬皆為象限弧與甲
丁等則壬丁即與甲乙等
故本形之甲乙邊即次形
[002-15b]
之庚角庚壬與庚丁俱象/限故壬丁弧為庚
角/度乙壬與乙辛既皆為象
限則辛壬弧即乙角之度
故象限内減去乙角之辛
壬弧餘即次形之庚辛邊
丙戊弧即己角之度故於
甲戊象限弧内減去甲丙
弧餘丙戊弧即次形之己
角又次形之辛角為直角
[002-15b]
與本形之丙角等次形之
[002-16a]
辛己邊與本形之乙丙邊
等辛乙與己丙等故/辛己與乙丙等故算
己庚辛形亦得甲乙丙形
也
[002-17a]
正弧三角形邊角相求法
正弧三角形邊角相求錯綜變換共三十則用黄赤
交角所生八線勾股比例者九用黄道交極圏角所
生八線勾股比例者亦九用次形者十二依題比類
列目於前按法循序設問於後以便觀覽
有直角有黄赤交角有黄道求距緯第/一
有直角有黄赤交角有黄道求赤道并見/第一
有直角有黄赤交角有黄道求黄道交極圏角
[002-17b]
并見/第一
有直角有黄赤交角有赤道求距緯第/二
有直角有黄赤交角有赤道求黄道并見/第二
有直角有黄赤交角有赤道求黄道交極圏角
并見/第二
有直角有黄赤交角有距緯求黄道第/三
有直角有黄赤交角有距緯求赤道并見/第三
有直角有黄赤交角有距緯求黄道交極圏角
并見/第三
[002-17b]
有直角有黄道有赤道求黄赤交角第/四
[002-18a]
有直角有黄道有赤道求距緯并見/第四
有直角有黄道有赤道求黄道交極圏角并見/第四
有直角有黄道有距緯求黄赤交角第/五
有直角有黄道有距緯求赤道并見/第五
有直角有黄道有距緯求黄道交極圏角并見/第五
有直角有赤道有距緯求黄赤交角第/六
有直角有赤道有距緯求黄道并見/第六
有直角有赤道有距緯求黄道交極圏角并見/第六
[002-18b]
有直角有黄道交極圏角有黄道求赤道與第/一之
理/同
有直角有黄道交極圏角有黄道求距緯與第/一之
理/同
有直角有黄道交極圏角有黄道求黄赤交角
與第一/之理同
有直角有黄道交極圏角有距緯求赤道與第/二之
理/同
有直角有黄道交極圏角有距緯求黄道與第/二之
[002-18b]
理/同
[002-19a]
有直角有黄道交極圏角有距緯求黄赤交角
與第二/之理同
有直角有黄道交極圏角有赤道求黄道與第/三之
理/同
有直角有黄道交極圏角有赤道求距緯與第/三之
理/同
有直角有黄道交極圏角有赤道求黄赤交角
與第三/之理同
[002-19b]
有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求黄道
第/七
有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求赤道
并見/第七
有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求距緯
并見/第七
設如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度
求距緯度及赤道度併黄道交極圏角各㡬何第/一
甲乙丙正弧三角形甲為
[002-19b]
黄赤交角丙為直角甲乙
[002-20a]
為黄道弧求乙丙距緯弧
則以丙直角為對所知之
角其正弦即半徑一千萬
為一率甲角二十三度三
十分為對所求之角其正
弦三百九十八萬七千四
百九十一為二率甲乙弧
四十五度為所知之邊其
[002-20b]
正弦七百零七萬一千零
六十八為三率求得四率
二百八十一萬九千五百
八十二為乙丙弧之正弦
檢表得一十六度二十二
分三十八秒即乙丙距緯
弧之度也如圖丁癸為半
徑丁子為甲角之正弦乙
卯為甲乙弧之正弦乙寅
[002-20b]
為乙丙弧之正弦丁子癸
[002-21a]
勾股形與乙寅卯勾股形
為同式形故以丁癸與丁
子之比同於乙卯與乙寅
之比也
求甲丙赤道度則以半徑
一千萬為一率甲角二十
三度三十分之餘弦九百
一十七萬零六百零一為
[002-21b]
二率甲乙弧四十五度之
正切一千萬為三率仍得
四率九百一十七萬零六
百零一為甲丙弧之正切
檢表得四十二度三十一
分二十二秒即甲丙赤道
弧之度也如圖丁癸為半
徑子癸為甲角之餘弦午
甲為甲乙弧之正切未甲
[002-21b]
為甲丙弧之正切丁子癸
[002-22a]
勾股形與午未甲勾股形
為同式形故以丁癸與子
癸之比同於午甲與未甲
之比也
求黄道交極圈之乙角則
用次形法以甲乙弧四十
五度之餘弦七百零七萬
一千零六十八為一率甲
[002-22b]
角二十三度三十分之餘
切二千二百九十九萬八
千四百二十五為二率半
徑一千萬為三率求得四
率三千二百五十二萬四
千六百八十三為乙角之
正切檢表得七十二度五
十四分三十四秒即黄道
交極圈之乙角度也如圖
[002-22b]
甲乙丙正弧三角形之次
[002-23a]
形為乙己丁葢甲乙弧之
餘弦即乙己丁次形之丁
乙弧之正弦為丁子而甲
角之餘切即乙己丁次形
之己丁弧之正切為丑丁
又乙角之正切亦即乙己
丁次形之乙角之正切為
寅壬而丑丁子勾股形與
[002-23b]
寅壬癸勾股形為同式形
故以丁子與丑丁之比同
於壬癸與寅壬之比也此
法用乙己丁次形有丁乙
邊甲乙/餘弧己丁邊甲角/餘弧及丁
直角求乙角即與有赤道
有距緯求黄赤交角之理
同葢乙角即如黄赤交角
丁乙即如赤道己乙即如
[002-23b]
黄道己丁即如距緯其八
[002-24a]
線所成之勾股皆由乙角
而生故其相當之比例皆
同也
設如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度
三十一分二十二秒求距緯度及黄道度併黄道
交極圈角各㡬何第/二
甲乙丙正弧三角形甲為
黄赤交角丙為直角甲丙
[002-24b]
為赤道弧求乙丙距緯弧
則以半徑一千萬為一率
甲角二十三度三十分之
正切四百三十四萬八千
一百二十四為二率甲丙
弧四十二度三十一分二
十二秒之正弦六百七十
五萬八千八百二十一為
三率求得四率二百九十
[002-24b]
三萬八千八百一十九為
[002-25a]
乙丙弧之正切檢表得一
十六度二十二分三十八
秒即乙丙距緯弧之度也
如圖戊癸為半徑丑戊為
甲角之正切丙己為甲丙
弧之正弦辰丙為乙丙弧
之正切丑戊癸勾股形與
辰丙己勾股形為同式形
[002-25b]
故以戊癸與丑戊之比同
於丙已與辰丙之比也
求甲乙黄道度則以甲角
二十三度三十分之餘弦
九百一十七萬零六百零
一為一率半徑一千萬為
二率甲丙弧四十二度三
十一分二十二秒之正切
九百一十七萬零六百零
[002-25b]
一為三率仍得四率一千
[002-26a]
萬為甲乙弧之正切檢表
得四十五度即甲乙黄道
弧之度也如圖子癸為甲
角之餘弦丁癸為半徑未
甲為甲丙弧之正切午甲
為甲乙弧之正切丁子癸
勾股形與午未甲勾股形
為同式形故以子癸與丁
[002-26b]
癸之比同於未甲與午甲
之比也
求黄道交極圈之乙角則
用次形法以半徑一千萬
為一率甲丙弧四十二度
三十一分二十二秘之餘
弦七百三十七萬零九十
八為二率甲角二十三度
三十分之正弦三百九十
[002-26b]
八萬七千四百九十一為
[002-27a]
三率求得四率二百九十
三萬八千八百二十為乙
角之餘弦檢表得七十二
度五十四分三十四秒即
黄道交極圈之乙角度也
如圖甲乙丙正弧三角形
之次形為己庚辛葢甲丙
弧之餘弦即己庚辛次形
[002-27b]
之己角之正弦為卯辰而
甲角之正弦亦即己庚辛
次形之己庚弧之正弦為
庚己又乙角之餘弦即己
庚辛次形之庚辛弧之正
弦為庚午而庚午巳勾股
形與卯辰癸勾股形為同
式形故卯癸與卯辰之比
同於庚己與庚午之比也
[002-27b]
此法用己庚辛次形有己
[002-28a]
角甲丙/餘弧己庚邊與甲/角等及辛
直角求庚辛邊乙角/餘弧即與
有黄赤交角有黄道求距
緯之理同葢己角即如黄
赤交角己庚即如黄道己
辛即如赤道庚辛即如距
緯其八線所成之勾股皆
由己角而生故其相當之
[002-28b]
比例皆同也
設如黄赤交角二十三度三十分距緯弧一十六度
二十二分三十八秒求黄道度及赤道度併黄道
交極圈角各㡬何第/三
甲乙丙正弧三角形甲為
黄赤交角丙為直角乙丙
為距緯弧求甲乙黄道弧
則以甲角二十三度三十
分為對所知之角其正弦
[002-28b]
三百九十八萬七千四百
[002-29a]
九十一為一率丙直角為
對所求之角其正弦即半
徑一千萬為二率乙丙弧
一十六度二十二分三十
八秘為所知之邊其正弦
二百八十一萬九千五百
八十二為三率求得四率
七百零七萬一千零六十
[002-29b]
八為甲乙弧之正弦檢表
得四十五度即甲乙黄道
弧之度也如圖丁子為甲
角之正弦丁癸為半徑乙
寅為乙丙弧之正弦乙卯
為甲乙弧之正弦丁子癸
勾股形與乙寅卯勾股形
為同式形故丁子與丁癸
之比同於乙寅與乙卯之
[002-29b]
比也
[002-30a]
求甲丙赤道度則以甲角
二十三度三十分之正切
四百三十四萬八千一百
二十四為一率半徑一千
萬為二率乙丙弧一十六
度二十二分三十八秒之
正切二百九十三萬八千
八百一十九為三率求得
[002-30b]
四率六百七十五萬八千
八百二十一為甲丙弧之
正弦檢表得四十二度三
十一分二十二秒即甲丙
赤道弧之度也如圖丑戊
為甲角之正切戊癸為半
徑辰丙為乙丙弧之正切
丙己為甲丙弧之正弦丑
戊癸勾股形與辰丙己勾
[002-30b]
股形為同式形故丑戊與
[002-31a]
戊癸之丙同於辰丙與丙
己之比也
求黄道交極圈之乙角則
用次形法以乙丙弧一十
六度二十二分三十八秒
之餘弦九百五十九萬四
千二百六十七為一率甲
角二十三度三十分之餘
[002-31b]
弦九百一十七萬零六百
零一為二率半徑一千萬
為三率求得四率九百五
十五萬八千四百一十七
為乙角之正弦檢表得七
十二度五十四分三十四
秘即黄道交極圈之乙角
度也如圖甲乙丙正弧三
角形之次形為乙己丁葢
[002-31b]
乙丙弧之餘弦即乙己丁
[002-32a]
次形之己乙弧之正弦為
己未而甲角之餘弦即乙
己丁次形之己丁弧之正
弦為巳申又乙角之正弦
亦即乙己丁次形之乙角
之正弦為辛酉而巳申未
勾股形與辛酉癸勾股形
為同式形故巳未與巳申
[002-32b]
之比同於辛癸與辛酉之
比也
設如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分
二十二秒求黄赤交角及距緯度併黄道交極圈
角各幾何第/四
甲乙丙正弧三角形丙為
直角甲乙為黄道弧甲丙
為赤道弧求黄赤相交之
甲角則以甲乙弧四十五
[002-32b]
度之正切一千萬為一率
[002-33a]
甲丙弧四十二度三十一
分二十二秒之正切九百
一十七萬零六百零一為
二率半徑一千萬為三率
仍得四率九百一十七萬
零六百零一為甲角之餘
弦檢表得二十三度三十
分即黄赤相交之甲角度
[002-33b]
也如圖午甲為甲乙弧之
正切未甲為甲丙弧之正
切丁癸為半徑子癸為甲
角之餘弦午未甲勾股形
與丁子癸勾股形為同式
形故午甲與未甲之比同
於丁癸與子癸之比也
求乙丙距緯度則用次形
法以甲丙弧四十二度三
[002-33b]
十一分二十二秒之餘弦
[002-34a]
七百三十七萬零九十八
為一率半徑一千萬為二
率甲乙弧四十五度之餘
弦七百零七萬一千零六
十八為三率求得四率九
百五十九萬四千二百六
十六為乙丙弧之餘弦檢
表得一十六度二十二分
[002-34b]
三十八秒即乙丙距緯弧
之度也如圖甲乙丙正弧
三角形之次形為乙己丁
葢甲丙弧之餘弦即乙己
丁次形之己角之正弦為
丙辰而甲乙弧之餘弦即
乙己丁次形之乙丁弧之
正弦為乙子又乙丙弧之
餘弦即乙己丁次形之乙
[002-34b]
己弧之正弦為乙未而丙
[002-35a]
辰癸勾股形與乙子未勾
股形為同式形故丙辰與
丙癸之比同於乙子與乙
未之比也此法用乙己丁
次形有己角甲丙/餘弧乙丁邊
甲乙/餘弧及丁直角求乙己邊
乙丙/餘弧即與有黄赤交角有
距緯求黄道之理同葢己
[002-35b]
角即如黄赤交角己乙即
如黄道己丁即如赤道乙
丁即如距緯其八線所成
之勾股皆由己角而生故
其相當之比例皆同也
求黄道交極圈之乙角則
以甲乙弧四十五度為對
所知之邊其正弦七百零
七萬一千零六十八為一
[002-35b]
率甲丙弧四十二度三十
[002-36a]
一分二十二秒為對所求
之邊其正弦六百七十五
萬八千八百二十一為二
率丙直角九十度為所知
之角其正弦即半徑一千
萬為三率求得四率九百
五十五萬八千四百一十
六為乙角之正弦檢表得
[002-36b]
七十二度五十四分三十
四秒即黄道交極圈之乙
角度也如圖甲申為甲乙
弧之正弦甲酉為甲丙弧
之正弦戌癸為半徑戌亥
為乙角之正弦甲酉申勾
股形與戌亥癸勾股形為
同式形故甲申與甲酉之
比同於戌癸與戌亥之比
[002-36b]
也此與有黄道有距緯求
[002-37a]
黄赤交角之理同葢乙角
即如黄赤交角甲乙為黄
道乙丙即如赤道甲丙即
如距緯其八線所成之勾
股皆由乙角而生故其相
當之比例皆同也
設如黄道弧四十五度距緯弧一十六度二十二分
三十八秒求黄赤交角及赤道度併黄道交極圈
[002-37b]
角各㡬何第/五
甲乙丙正弧三角形丙為
直角甲乙為黄道弧乙丙
為距緯弧求黄赤相交之
甲角則以甲乙弧四十五
度為對所知之邊其正弦
七百零七萬一千零六十
八為一率乙丙弧一十六
度二十二分三十八秒為
[002-37b]
對所求之邊其正弦二百
[002-38a]
八十一萬九千五百八十
二為二率丙直角九十度
為所知之角其正弦即半
徑一千萬為三率求得四
率三百九十八萬七千四
百九十一為甲角之正弦
檢表得二十三度三十分
即黄赤相交之甲角度也
[002-38b]
如圖乙卯為甲乙弧之正
弦乙寅為乙丙弧之正弦
丁癸為半徑丁子為甲角
之正弦乙寅卯勾股形與
丁子癸勾股形為同式形
故乙卯與乙寅之比同於
丁癸與丁子之比也
求甲丙赤道度則用次形
法以乙丙弧一十六度二
[002-38b]
十二分三十八秒之餘弦
[002-39a]
九百五十九萬四千二百
六十七為一率甲乙弧四
十五度之餘弦七百零七
萬一千零六十八為二率
半徑一千萬為三率求得
四率七百三十七萬零一
百一十三為甲丙弧之餘
弦檢表得四十二度三十
[002-39b]
一分二十二秒即甲丙赤
道弧之度也如圖甲乙丙
正弧三角形之次形為乙
己丁葢乙丙弧之餘弦即
乙己丁次形之乙己弧之
正弦為乙未而甲乙弧之
餘弦即乙己丁次形之乙
丁弧之正弦為乙子又甲
丙弧之餘弦即乙己丁次
[002-39b]
形之己角之正弦為丙辰
[002-40a]
而乙子未勾股形與丙辰
癸勾股形為同式形故乙
未與乙子之比同於丙癸
與丙辰之比也
求黄道交極圈之乙角則
與前第四問有黄道有赤
道求黄赤交角之理同葢
乙角即如黄赤交角甲乙
[002-40b]
為黄道乙丙即如赤道其
勾股比例同也
設如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距緯弧
一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄
道度併黄道交極圈角各㡬何第/六
甲乙丙正弧三角形丙為
直角甲丙為赤道弧乙丙
為距緯弧求黄赤相交之
甲角則以甲丙弧四十二
[002-40b]
度三十一分二十二秒之
[002-41a]
正弦六百七十五萬八千
八百二十一為一率乙丙
弧一十六度二十二分三
十八秒之正切二百九十
三萬八千八百一十九為
二率半徑一千萬為三率
求得四率四百三十四萬
八千一百零九為甲角之
[002-41b]
正切檢表得二十三度三
十分即黄赤相交之甲角
度也如圖丙己為甲丙弧
之正弦辰丙為乙丙弧之
正切戊癸為半徑丑戊為
甲角之正切辰丙己勾股
形與丑戊癸勾股形為同
式形故丙己與辰丙之比
同於戊癸與丑戊之比也
[002-41b]
求甲乙黄道度則用次形
[002-42a]
法以半徑一千萬為一率
甲丙弧四十二度三十一
分二十二秒之餘弦七百
三十七萬零九十八為二
率乙丙弧一十六度二十
二分三十八秒之餘弦九
百五十九萬四千二百六
十七為三率求得四率七
[002-42b]
百零七萬一千零六十八
為甲乙弧之餘弦檢表得
四十五度即甲乙黄道弧
之度也如圖甲乙丙正弧
三角形之次形為乙己丁
葢甲丙弧之餘弦即乙己
丁次形之己角之正弦為
丙辰而乙丙弧之餘弦即
乙己丁次形之乙己弧之
[002-42b]
正弦為乙未又甲乙弧之
[002-43a]
餘弦即乙己丁次形之乙
丁弧之正弦為乙子而丙
辰癸勾股形與乙子未勾
股形為同式形故丙癸與
丙辰之比同於乙未與乙
子之比也
求黄道交極圈之乙角則
與求黄赤交角之理同葢
[002-43b]
乙角即如黄赤交角乙丙
即如赤道甲丙即如距緯
其勾股比例同也
設如黄赤交角二十三度三十分黄道交極圈角七
十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度
併距緯度各㡬何第/七
甲乙丙正弧三角形甲為
黄赤交角丙為直角乙為
黄道交極圈角求甲乙黄
[002-43b]
道弧則用次形法以乙角
[002-44a]
七十二度五十四分三十
四秒之正切三千二百五
十二萬四千六百八十三
為一率半徑一千萬為二
率甲角二十三度三十分
之餘切二千二百九十九
萬八千四百二十五為三
率求得四率七百零七萬
[002-44b]
一千零六十八為甲乙弧
之餘弦檢表得四十五度
即甲乙黄道弧之度也如
圖甲乙丙正弧三角形之
次形為乙己丁葢乙角之
正切亦即乙己丁次形之
乙角之正切為寅壬而甲
角之餘切即乙己丁次形
之丁己弧之正切為丑丁
[002-44b]
又甲乙弧之餘弦即乙己
[002-45a]
丁次形之丁乙弧之正弦
為丁子而寅壬癸勾股形
與丑丁子勾股形為同式
形故寅壬與壬癸之比同
於丑丁與丁子之比也
求甲丙赤道弧亦用次形
法以甲角二十三度三十
分之正弦三百九十八萬
[002-45b]
七千四百九十一為一率
乙角七十二度五十四分
三十四秒之餘弦二百九
十三萬八千八百二十為
二率半徑一千萬為三率
求得四率七百三十七萬
零九十八為甲丙弧之餘
弦檢表得四十二度三十
一分二十二秒即甲丙赤
[002-45b]
道弧之度也如圖甲乙丙
[002-46a]
正弧三角形之次形為己
庚辛葢甲角之正弦亦即
己庚辛次形之庚己弧之
正弦為庚己而乙角之餘
弦即己庚辛次形之庚辛
弧之正弦為庚午又甲丙
弧之餘弦即己庚辛次形
之己角之正弦為卯辰而
[002-46b]
庚午己勾股形與卯辰癸
勾股形為同式形故庚己
與庚午之比同於卯癸與
卯辰之比也
求乙丙距緯弧亦用次形
法以乙角七十二度五十
四分三十四秒之正弦九
百五十五萬八千四百一
十七為一率半徑一千萬
[002-46b]
為二率甲角二十三度三
[002-47a]
十分之餘弦九百一十七
萬零六百零一為三率求
得四率九百五十九萬四
千二百六十七為乙丙弧
之餘弦檢表得一十六度
二十二分三十八秒即乙
丙距緯弧之度也如圖甲
乙丙正弧三角形之次形
[002-47b]
為乙己丁葢乙角之正弦
亦即乙己丁次形之乙角
之正弦為辛酉而甲角之
餘弦即乙己丁次形之己
丁弧之正弦為巳申又乙
丙弧之餘弦即乙己丁次
形之己乙弧之正弦為己
未而辛酉癸勾股形與巳
申未勾股形為同式形故
[002-47b]
辛酉與辛癸之比同於巳
[002-48a]
申與巳未之比也
[002-48b]
御製厯象考成上編卷二
