[070-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十七
宣城梅文鼎撰
㡬何補編卷一
四等面形算法
先算平三角形平三角形
三邊同者求中得中長線
乙/甲其三之一即内容平圓
[070-1b]
半徑心/甲其三之二即外切
圓之半徑乙心或/心丙
又法以邊半之丙/甲自乘得數丙庚/方取其三之一開方甲/壬
小/方得容圓之半徑壬癸或甲癸/俱與心甲等又取自乘數丙庚/方三分
加一丙庚方加/壬甲小方并而開方得外切圓之半徑丙/心
論曰三邊角等則半邊之角六十度丙心/甲角其餘角三十
[070-2a]
度心丙/甲角内容圓半徑為三十度之正弦心/甲外切圓半徑
如全數丙/心其比例為一與二故内容圓半徑心/甲正得外
切圓半徑丙/心之半也此論可解/前一條
形内丙心甲與乙心丁兩小句股形相等又並與乙甲
丙大句股形相似何則乙角丙角並分原等角之半丁/甲等為正角則三角皆等而邊之比
例/等而大形之句丙/甲旣為其弦乙/丙之半則小形之句心丁/亦即
心/甲自必各為其弦心乙亦/即心丙之半故知心甲原同/心丁為乙甲
之半也
[070-2b]
心甲旣為心丙之半則心甲一心丙必二而丙戊必三
矣乙甲/同何也以乙心與丙心同為二心甲與心戊同為
一也聯心乙二與心甲一豈不成三
今以内圓半徑為股心/甲外圓半徑為弦心/丙三邊之半為
句丙/甲成心甲丙句股形則心丙自乘内弦/幂有心甲股/幂及
甲丙句/幂兩自乘之積也而心甲股與心丙弦旣為一與
二之比例則心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股
幂一減心丙弦幂四其餘積三即丙甲句幂矣故心甲
[070-3a]
之幂一則丙甲之幂三心丙之幂四今先得邊故以丙
甲三為主而取其三之一為心甲股幂又於丙甲三加
三之一為四即成心丙弦幂也此論可解/後一條
以上俱明三等邊平面之比例
今作四面等體求其心
法自乙頂向子向甲剖切之成乙子甲三角面
心者面之心中者體之心
前圖所謂心者面之心也今
[070-3b]
所求者體之心即後圖所謂
中也故必以剖而後見
次求甲丑線
乙子邊平分于丑從丑向甲
得垂線此丑甲垂線在體中
必小於乙甲在外之垂線故
乙甲如弦丑甲如股乙丑如句也法以甲乙弦自乘内
減乙丑句幂餘為股幂開方得丑甲
[070-4a]
又法凖前論乙丑之幂三即丙甲皆/半邊故則乙甲之幂九乙/甲
三倍大于心甲故心/甲幂一則乙甲幂九以三減九餘六亦即甲丑股幂矣
以開方得甲丑
捷法倍原半邊甲/丙自乘數以開方得甲/乙中垂線 或半
原邊丙/己自乘之數開方亦得甲/丑 丙甲之幂三乙丑/同則
甲丑之幂六而丙己之幂十二也甲丑與丙己幂積/之比例為一與二
次求心中線
捷法但半心甲自乘即心中幂
[070-4b]
論曰心甲與心中猶甲丑與乙丑也甲丑幂與乙丑幂
為六與三則心甲與心中之幂亦如二與一
又捷法心中之幂一心甲之幂二則乙丑之幂六即丙/甲
而心丙之幂八亦即/乙心俱倍數
但以半邊乙丑或/丙甲之幂取六之一即心中幂開方得心
中即四等面形内容小渾圓之半徑也心中線者即各/面之心至體心
也故為内容/小渾圓半徑
以心中之幂一句/加乙心之幂八股/并之為弦幂九開
[070-5a]
方得中乙或中子或用前總圖則/為甲丙為甲己並同是即四等面形外切渾圓之
半徑也外切圓之冪九中/乙内切圓之冪一心/中得其根之比例為
三與一故四等面形内容渾圓之徑一則其外切渾圓之徑三
又捷法但以乙丑半邊之幂加五即二/之一為中乙或中/子等幂
開方得外切圓之半徑葢乙丑之幂六中乙之幂/九其比例為一有半也
此四邊不等形又為三角/立錐形為
四等面形四之一各自中切
至邊線成此形其底三邊等
[070-5b]
即四等面形之一面其髙為中心即内容小渾圓之半
徑其中乙等三楞線三倍大於中心之髙即外切渾圓
之半徑
取四等面形全積捷法
先取面幂即前圖乙己丙平面/依前比例求其幂以内容圓半徑心/中乘之
得數四因三歸見積
法曰丙甲半邊之幂三則甲乙中長之幂九開方得中
長乙/甲以乘丙甲得乙己丙三等邊之幂積即四等面形
[070-6a]
之一面也
次求本積四之一即各面輳心剖/裂之形如右圖
丙申半邊之冪六則中心之冪一開方得中心髙以乗
所得面冪而三分取其一即為四等面形四之一於是
四乗之即為全積也
又㨗法以丙甲乗心甲又以中心乗之即得本形四之
一即同三除以心甲為/乙甲三之一故也
此帶縱小立方形與右圖四等面形四之一等積
[070-6b]
又㨗法以丙己全邊亦即/丙乙乗
乙心再以中心乗即得本形
全積乙心為心甲之倍數丙/己為丙甲之倍數用以
相乗則得丙甲乗/心甲之四倍數也
邊設一百
依上法求容
丙己邊一百其冪一萬丙甲半邊五
十其冪二千五百三因之得七千五百
[070-7a]
為乙甲中垂之幂丙甲股幂減丙己弦冪得/句幂也丙己亦即丙乙 平方開
之得八十六六○/二五為乙甲其三之一得二十八八六/七五為
心甲 其三之二得五十七七三/五○為心乙 又置丙甲
幂二千五百取六之一為心中幂得四百一十六六六
不盡 開方得心中之髙二十零四一二四亦即内容
渾圓之半徑
依上法以丙己全邊一百乘乙心五十七七三/五○得五千
七百七十三半 又以心中二十零四一/二四乘之得全積
[070-7b]
一十一萬七千八百五十一弱與厯書/微不同
四等面體求心捷法
准前論心中幂一則心甲幂
二中乙幂九乙丑幂六以句
股法考之則中甲與中丑之幂俱三也
何也心中甲句股形以中甲為弦故心中句幂一心甲
股幂二并之為中甲弦幂三也而乙中丑句股形以中
丑為句故乙中弦幂九内減乙丑股幂六其餘為中丑
[070-8a]
句幂亦三也
由是徴之則中丑與中甲正相等但如法求得甲丑線
折半得中㸃即為體心
又捷法取乙丑幂即原設邊/折半自乗半之為中丑幂開方得中
丑亦得甲中或乙子全邊自乘取八/之一為甲中幂亦同
中丑即原邊乙子距體心之度甲中即原邊丙己距體
心之度而中為體心
想甲㸃在丙己邊折半之處今從側立觀之則線化為㸃
[070-8b]
而丙己與甲成一㸃故從丙
己原邊依楞直剖至乙子對
邊即成甲丑線其線即所剖
面之側立形
此圖即前圖甲丑線所切之
面葢面側視則成線矣
[070-9a]
原設四等面全形今依子丑
乙楞剖至甲則成縱剖圖故
甲㸃内有丙己線若依丙甲
己楞剖至丑則成横剖圖故
丑㸃内有子乙也
縱剖有三依子乙楞剖至甲而平分丙己邊於甲一也
依丙乙楞剖而平分子巳邊二也依己乙楞剖而平分
子丙邊三也
[070-9b]
横剖亦三依丙己楞剖至丑而平分子乙邊于丑一也
依子丙邊剖而平分乙己邊二也依子巳楞邊剖而平
分丙乙邊三也其所剖之面並相似皆以中㸃為三對
角垂線相交之心
一率 一一七八五一 例容
二率 一○○○○○○ 例邊之立方積
三率 一○○○○○○ 設容
四率 八四八五二九○ 設邊之立方積
[070-10a]
開方得根二百○四弱為公積一百萬之四等面體楞
與比例規解合
若商四數則其平廉積四十八萬長廉積九千六百其
隅積六十四共得四十八萬九千六百六十四不足四
千三百七十四為少百分之一弱故比例規解竟取整
數也
計開
四等面諸數
[070-10b]
邊一百
積一十一萬七八五一
積一百萬
邊二百○三九六
内容渾圓半徑二十○四一/二四
内容渾圓全徑四十○八二/四八
外切渾圓半徑六十一二一/○○
外切渾圓全徑一百念二四二/○○
[070-11a]
互剖求心之圖
設邊一百其幂一萬丙己乙/子乙丙
乙己子丙子己並同為/外切渾圓徑幂三之二
半邊五十其幂二千五百丙/甲
甲己乙丑丑子等並/同為邊幂四之一
斜垂線之幂七千五百乙心/甲子
角甲丙亢丑己氐丑/並同為邊幂四之三
其根八十六六○二五
[070-11b]
斜垂線三之一二十八八六
七五其幂八百三十三三三
即外切渾圓徑幂十八/之一為邊幂十二之一即各
面内容平圓半徑心甲角甲亢/丑氐丑並同
斜垂線三之二五十七七三五○其幂三千三百三十
三三三乙心子角丙/亢己氐並同
内容渾圓半徑二十○四一二四其幂四百一十六六
六不盡為邊幂二十四之一即/外切渾圓三十六之一即分體中髙心中角中/亢中氐中
[070-12a]
並/同 若内圓全徑之幂則一千六百六十六六六為邊/幂六
之一外切渾圓/徑幂九之一
外切渾圓半徑六十一二三七二其幂三千七百五十
即分體之立面楞乙中子中丙/中己中並同四因之為渾圓全徑幂
一萬五千其徑一百二十二四七四四
又外切正相容之立方其幂五千為四等面邊幂之半
即斜方之比例又為外切渾圓徑幂三之一
一率 外切渾圓徑一百二十二四七四四
[070-12b]
二率 四等面之邊一百
三率 渾圓徑一百
四率 内容四等面邊八十一六四九六
又捷法渾圓徑幂一萬五千則内容四等面邊幂一萬
或内容立方面之斜亦同為渾圓徑幂三之二
若設渾圓徑一百其幂一萬則内容四等面邊之幂六
千六百六十六六六亦三之二也
平方開之得八十一六四九六為四等面邊即内容立
[070-13a]
方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三為渾圓
徑幂三之一即方斜之半幂亦即四等面邊幂之半
平方開之得五十七七三五○是為渾圓徑一百内容
立方之邊亦即渾圓内容立方立方又容小圓之徑
若於四等面内又容渾圓則其徑幂一千一百一十一
一一為渾圓徑幂九之一為四等面幂六之一立方面
幂三之一
開得平方根三十三三三不盡幂九之一則其/根必三之一也為内容
[070-13b]
小渾圓之徑以徑乗幂得三萬七千○三十七為徑上
立方積 以十一乗十四除得二萬九千一百○○半為
圓柱積 柱積取三之二得一萬九千四百為小渾圓
積得大渾圓二十七之一 以小渾圓積二十七因之
得五十二萬三千九百為四等面外切大渾圓積即徑/一百
之渾圓/積也
互剖求心法
凡四等面體任以一尖為頂則其垂線為自尖至相對
[070-14a]
之平面心亦即平面/容圓之心而以餘三尖為底其垂線至底之
㸃旁距三尖皆等即乙心丙心己心三線之距心皆等/而以子尖為頂其垂線為子中心其
底為乙丙己平/三角面餘倣此此為正形各尖皆可為/頂其法並同若以子中心垂
線為軸而旋之則成圓角體
凡四等面體任平分一邊而平分之㸃為頂以作垂線
則其垂線自此㸃至對邊之平分㸃而以對邊為底
底無面但有邊底邊與頂邊相午直正如十字形
假如以子乙邊平分於丑以線綴而懸之則其垂線至
[070-14b]
所對丙己邊之平分正中為甲㸃其線為丑中甲而子
乙邊衡扵上則丙己邊縱於下正如十字無左右之欹
亦無髙下之微差也
若以丑中甲垂線為軸旋之則成圓柱體
凡四等面體以其邊為斜線而求其方以作立方則此
立方能容四等面體
何以知之曰准前論以一邊衡於上而為立方上一面
之斜則其相對之一邊必縱於下而為立方底面之斜
[070-15a]
矣又此二邊之勢旣如十字
相午直而又分於上下為立
方上下兩面之斜線然則自
上面之各一端向底面之各一端聯為直線即為四等
面之餘四邊亦即立方餘四面之斜如此則四等面之
六邊各為立方形六面之斜線而為正相容之體
如前所論圓角體圓柱體雖亦能容四等面形而垂線
皆小於圓徑故不得為正相容
[070-15b]
捷法四等面之邊自乘折半開方即正相容之立方根
即弦倍/句股意設邊一百其幂一萬折半五千即為立方一面
之積求其立方根得七十○七一○六即丑中甲垂線
之髙
若以此作容四等面之圓柱則其髙七十○七一○六
同立方之方根而其圓徑一百同立方面之斜此圓柱
内可函立方
其乙中子中等為自四等面體心至各角之線又為立
[070-16a]
方心至各角之線又為外切渾圓之半徑又為四等面
分為四體之楞線又為立方分為六方錐之楞線
又捷法以四等面之邊幂加二分之一開方即外切正
相容之渾圓徑亦即立方體内對角線如自乙/至震折半為
自心至角線 四等面設邊一百其幂一萬用捷法二
分加一得一萬五千為外切正相容之渾圓全徑幂開
方得一百二十二四七四四為渾圓全徑折半得六十
一二三七二為渾圓半徑
[070-16b]
立方内容四等面圖
設立方邊一百其積百萬内
容四等面邊一百四十一四/二
一/三其積三十三萬三千三百
三十三三三/三三為立方積三之
一乾坤震㢲立方乾丙坤己乙㢲子震/與中心之丑甲同髙内容子乙丙己
四等面為立方積三之一
何以明之凡錐體為同底同髙之柱體三之一今自立
[070-17a]
方之乙角依斜線剖至丙巳成乙丙巳㢲三角錐以丙
巳㢲立方之半底為底又自子角斜剖至丙巳成子丙
巳震錐以丙巳震立方之半底為底合丙半底則與立
方同底矣而子震與乙㢲之髙即立方髙也是此二錐
得立方三之一矣
又自子乙斜線斜剖至巳角成倒錐以子乙坤立方之
半頂為底以坤巳立方髙為髙又自子乙斜剖至丙角
亦成倒卓之錐以子乙乾立方之半頂為底以乾丙立
[070-17b]
方髙為髙與前二錐同亦三之一也
合此二錐共得立方三之二則其餘為子乙丙巳四等
面體者必立方三之一矣
准此論之凡同邊之八等面積四倍大於四等面積何
以知之以此所剖之四錐體合之則為八等面之半體
皆以剖處為面而其邊其面皆與四等面等是同邊之
體也而八等面之半體旣倍大於四等面則其全體必
四倍之矣
[070-18a]
設八等面邊一百四十一四二/一三與四等面同邊則八等
面之積一百三十三萬三千三百三十三三三/不盡為四等
面之四倍
若設四等面邊一百則其外切之立方面幂五十立方
根七十○七一/○六以根乘幂得立方積三十五萬三千五百
五十三四等面積一十一萬七千八百五十一為立方
積三之一
推得八等面邊一百其積四十七萬一千四百○四
[070-18b]
此同邊之比例
若立方内容之八等面則其積為立方内容之四等面
二之一何以知之八等面與立方同髙則其積為立方
六之一故也
設立方邊一百内容八等面邊七十○七一/○六其積一十
六萬六千六百六十六為四等面之半若設立方邊七
十○七一/○六則内容八等面積五萬八千九百二十五半
其邊五十
[070-19a]
四等面體又容小立方小立
方内又容小四等面體則内
容小立方徑為外切立方三
之一内小四等面在小立方
内其徑亦為四等面三之一
而其積皆二十七之一
何以知之凡三等邊平面之心皆居垂線三之一假如
子巳丙為四等面之一面其平面之心必在癸而子甲
[070-19b]
垂線分三之一為癸甲其餘三面盡同而内容之小立
方必以其下方之兩角縱切子巳丙之癸心及乙己丙
之壬心其上方之兩㸃必横切於子乙己之卯心及子
乙丙之申心而立方内容之小四等面亦必以其四角
同切此四㸃也今壬癸兩㸃旣下距丙己線為其各斜
垂線三之一而卯申兩㸃又上距子乙線之斜垂線亦
三之一則其中所餘三之一必為立方所居也而内小
立方不得不為子乙與丙己相距線三之一矣
[070-20a]
問癸㸃為三之一者斜面之垂線也小立方者直立線
也何以得同為三之一乎答曰癸㸃所居三之一雖在
斜面而子乙縱線與丙己横線上下相距必有垂線直
立於其心此直立垂線即前圖之甲丑與外切立方線
同髙者也丑甲中垂線以上停三之一之上㸃與卯申
平對以下停三之一之下㸃與壬癸平對依句股法弦
與股比例同也然則丑甲線之中停即小立方之所居
矣
[070-20b]
又丑甲者即外切立方之髙也故知小立方徑為外切
立方徑三之一
又小四等面在小立方内以其邊為小立方之斜而縱
横邊相午對如十字其中心亦以丑甲線之中停為其
軸其斜面之勢一切皆與大四等面同而丑甲者亦大
四等面之軸也小四等面之中軸旣為丑甲三之一其
餘一切皆三之一矣
夫體積生於邊者也邊為三之一者面必為九之一體
[070-21a]
必為二十七之一無疑也
准此論之渾圓在四等面内者亦必為外切渾圓二十
七之一其徑亦三之一也何也渾圓之切㸃與小立方
小四等面之切㸃並同也
以此推知小立方與小四等面在大四等面内或居小
渾圓内以居大四等面内其徑積並同
求體積
渾圓徑一百其徑上立方一百萬依立圓法以十一乘
[070-21b]
十四除得七十八萬五千七百一十四為圓柱積仍三
分取二得五十二萬三千八百○九為渾圓積
内容立方面幂三千三百三十三三/三其邊五十七七三/五○
以邊為髙乘面得一十九萬二千四百五十○為内容
立方積
内容四等面體邊幂六千六百六十六六/六其邊八十一
六四/九六
依前論四等面體為立方三之一得六萬四千一百五
[070-22a]
十○為四等面積
立方内容小渾圓以立方之邊為徑五十七七三/五○依立
圓法以立方積十一乘十四除得一十五萬一千二百
一十為圓柱積取三之二得一十○萬○八百六十六
為小立圓積
四等面内容小渾圓徑幂一千一百一十一一/一其徑三
十三三/三以徑乘幂得徑上立方積三萬七千○三十七
以十一乘十四除得二萬九千一百○半為圓柱積又
[070-22b]
三分取一得一萬九千四百為立方内之四等面内容
小渾圓積為大渾圓積二十七之一若先有内小渾圓
積但以二十七因之得大渾圓積
依此論之凡渾圓内容立方立方内又容四等面體四
等面内又容小渾圓其内外相似之大小二體皆二十
七之比例也
又捷法用方斜比例
立方面之斜設一百其冪一萬則其方冪五千用三
[070-23a]
因之得一萬五千開方得立
方對角斜線即為外切渾圓
全徑
立方面之斜一百即立方内容四等面之邊
立方體對角斜線一百二十二四七/四四即立方外切渾圓
之全徑亦即四等面外切渾圓全徑半之得六十一二/三
七/三即立方外切渾圓半徑亦即立方體心至各角之線
[070-23b]
亦即四等面體心至各角之線
八等面形圖註
第一合形
甲丁 甲丙 甲己 甲戊
丁丙 丙己 己戊 戊丁
戊乙 己乙 丁乙 丙乙
以上形外之楞凡十有二即根
數也其長皆等
[070-24a]
或設一百為一楞之數則十二楞皆一百也
甲丁戊 甲戊己 甲己丙 甲丙丁 丙丁乙
己丙乙 戊己乙 丁戊乙
以上形周之分面凡八皆等邊平三角形也其容積其
邊皆等
或設一百為邊數則三邊皆一百而形周之分面八皆
三邊邊皆一百也
第二横切形二/
[070-24b]
甲丁丙己戊為上半俯形
丁丙己戊乙為下半仰形
右二形各得合形之半皆從
丁戊楞横剖至己丙
一俯一仰皆方錐扁形丁丙
己戊為方錐之底其邊皆等
其從四角凑至頂之楞皆與
底之邊等
[070-25a]
第三直切形四/
從甲尖依前後楞直剖過丁
己至乙尖成左右兩形
從甲尖依左右楞直剖過丙
戊至乙尖成前後兩形
此四形者一切皆與仰俯二
形同但彼為眠坐之體故為
方錐仰者即倒/卓方錐而此則立體即如打倒方錐之形也
[070-25b]
第四横切之面一直切之面二
因横剖得正方平面在立方錐以此
為底倒方錐以此為面在合形則為
腰圍其己丁及丙戊兩對角斜線相
交於心即兩直切之界也心即合/形中心
因直剖得斜立方面二其己丁及戊
丙横對角線即横切之界其從甲至
乙垂線即直剖之界如立面在前後
[070-26a]
互剖之形則此線為左右直剖之界
彼此互為之也亦即為全形之中髙
徑線
以此知八等面之中髙線為方斜之
比例
第五分形
[070-26b]
因横剖及兩直剖分總形為八皆
三角錐形也
皆以等邊平三角形面為錐形之
底而以横直剖線相交處之點為
其銳頂即合形之中心也
其自頂心至角之楞皆等皆邊線
之方斜比例也底線為方則此/線為其斜之半而
此楞線又即為八等面形之外切
[070-27a]
圓之半徑
設己戊邊一百其幂一萬則心戊
楞之幂五千倍戊庚半邊之/幂為半斜幂也
戊心之幂五千内減戊庚幂二千
五百則其餘二千五百為心庚之
幂故心庚必與戊庚等
[070-27b]
從心頂對己庚楞直剖至庚分形為兩則其中剖處成三角平
面
己庚者乙己戊等邊三角平面之
中垂線也其幂為邊四之三設邊
一百之幂一萬則己庚之幂七千
五百
庚辛者平面三角容圓之半徑也得己庚三之一其幂則九之
一也己庚之幂七千五百則庚辛之幂八百三十三三/三
[070-28a]
辛㸃即各三角平面之中心
以庚辛幂八百三十三三/三減心庚幂二千五百得心辛
幂一千六百六十六開方為心辛即分形之中髙也求
得分形中髙四十○八二/四七
依平面三等邊法設邊一百其中長線八十六六○/二五其
幂積得四千三百三十○一二/五○ 取平幂三之一得一
千四百四十三三七/五○以乘中髙得分形積五萬八千九
百二十五三五/一三 再以八因之得總積四十七萬一千
[070-28b]
四百○二八一/○四與總算合
設八等面之邊一百其幂一○○○○即横剖中腰之
正方 半之為每角輳心之線之幂得○五○○○此
線即分形自底角輳頂心之楞如心戊心/己心乙又為八等面
形外切渾圓之半徑 又半之為分形每面自頂至邊
斜垂線之幂即心/庚得○二五○○此線即設邊之半其
幂為設邊四之一
設半邊之幂取其三之二為分形中髙線之幂即心/辛得
[070-29a]
○一六六六不盡又為八等面形内容渾圓之半徑
㨗法取八等面設邊之幂六而一為八分體中髙之幂
開方得中髙
假如設邊一百其幂一萬則分體中髙之幂一千六百
六十六不盡 求其根得四十○八二/四八 以中髙乘三
角平面幂三除之得分體八因之得全積
又捷法八等面設邊之幂取三之二為體内容渾圓之
徑幂開方得内容渾圓徑折半為八分體中髙
[070-29b]
假如設邊一百其幂一萬則内容渾圓之徑幂六千六
百六十六不盡 求其根得八十一六四/九六 折半為分
體中髙
或竟以内容渾圓全徑乘設面三角平幂四因三除之
得全積
又捷法 此方斜之比例
八等面設邊之幂倍之為體外切圓徑幂開方得徑以
乘設邊之幂即腰廣/平方得數三歸見積
[070-30a]
假如設邊一百其幂一萬其斜如弦弦之幂倍方幂得
二萬求其根得一百四十一四二/一三 以乘腰廣一萬得
一百四十一萬四千二百一十三 三除之得總積四
十七萬一千四百○四
一系 八等面體之邊上幂與其外切渾圓之徑上幂
其比例為一與二方斜/比例
一系 八等面體之邊上幂與其内容渾圓之徑上幂
其比例為三與二
[070-30b]
一系 八等面體外切渾圓之徑上幂與其内容渾圓
之徑上幂 其比例為三與一
准此而知八等面内容渾圓渾圓内又容八等面其渾
圓外切之八等面邊或徑上幂與内容之八等面邊或
徑上幂其比例亦必為三與一也
計開
八等面形諸數
設邊一百 其積四十七萬一四○四與厯書所/差甚微
[070-31a]
其體外切渾圓之徑一百四十一内外兩渾圓之徑幂/為三與一其根約為
四與七/而强體内容渾圓之八十一
八等面外切立方徑一百四十一方斜比例也與/外切渾圓同
八等面内容立方徑四十七
内外切大小立方之徑之比例為三與一
内外兩立方之積之比例為二十七與一
若渾圓内容立方立方内容八等面體八等面體内又
容渾圓則大小兩渾圓之徑亦若三與一其積亦若二
[070-31b]
十七與一
一率 四七一四○四 例容
二率 一○○○○○○ 例邊之立方
三率 一○○○○○○ 設積
四率 二一二一三二二 設邊之立積
開立方得根一百二十八為公積一百萬之八等面根
與比例/規解合
[070-32a]
㡬何補編卷二
二十等面形自腰切之成十等邊平面
先求甲丁 乃十等邊平面
從心對角之線 亦即二十
分形各三角立體一面之中
垂斜線
法為甲乙即切形十等邊之半在原設/二十等面形邊為四之一與甲丁若十八
度之正弦與全數也十等邊各三十六/度其半十八度
[070-32b]
設邊一百 所切十等邊平面之邊五十 其半甲乙
二十五
一率 十八度正弦 ○三○九○
二率 全數 一○○○○
三率 甲乙 二五
四率 甲丁 八○九○/六一
用等邊三角求容圓法
設邊一百 其内容圓半徑二十八八六/七五為心甲
[070-33a]
以心甲為句二十八八六/七五
其幂八百三十三三三/二五
以甲丁為弦八十○九○/六一
其幂六千五百四十五七九/七○
句幂減弦幂餘五千七百一十二四六/四五為心丁股幂
開方得心丁七十五五八/○八 此即各面切形自各面之
心至切體尖之髙也 其切體之尖即原設二十等面
總形之體心為丁點
[070-33b]
用後法得乙己丙平面幂積四千三百三十○一二/五○
又依三等邊角形設邊一百丙/己 其半五十丙/甲 求到
乙甲中長八十六六○/二五用其三之一即心甲二十八八/六
七/五以與丙甲五十相乘得一千四百四十三三七/五○為各
等面平積三之一三因之得/平面幂
又以丁心七十五五八/○八乘之得一十○萬九千○九十
一四三/七二為二十等面形分切每面至心之積又以二十
乘之得全積
[070-34a]
依上法求到二十等面全積
設邊一百 其積二百一十八萬一千八百二十八查/比
例規解差不多惟/測量全義差逺
按此法以本形分為二十各成三角立錐形而各以
分形之髙乘底取三之一以為分形積然後以等面
二十為法乘而并之得總積可謂的確不易矣然與
厯書中比例規解及測量全義俱不合何耶
計開
[070-34b]
二十等面形
設邊一百 其每面中長線八十六六○/二五
其每面幂積四千三百三十○一二/五○
其每面容平圓之心作線至形心之丁七十五五八/○八即
心丁 心丁即内容渾圓之半徑
其分形各以每面之幂積為底心丁為髙各得三角立
錐積一十萬九千○九十一四三/七二
其立錐積凡二十合之得總積二百一十八萬一千八
[070-35a]
百二十八
用上法求形内容渾圓
其心丁七十五五八/○八即内容渾圓半徑以心丁線與各/平面作垂線而
丁㸃即/體心故倍之得一百五十一一六/一六為内容渾圓全徑
置小渾圓徑一百五十一零自乘得二萬二千八百○
一以十一乘十四除得一萬七千九百一十五為圓幂
置内容渾圓之平圓幂一七九一五以圓徑一百五十
一取三之二得一百强以乘平圓幂得一百八十○萬
[070-35b]
二千二百四十九為二十等面内容渾圓之積
置内容圓徑一百五十一自乘得二萬二千/八百○一再乘三百/四十
四萬二千九/百五十一以立員捷法○五二三五/九八七七乘之得渾圓積
一百八十○萬二千七百二十五
先用宻率十四除/十一乘得渾圓一百八十萬二千二百四十九
以較立圓捷法所得少尾數四百七十六約為一萬
八千之五弱不足為差也
依立圓法以圓率三一四一五九二乘立圓法六而一
[070-36a]
得五十二萬三五九八為徑一百之渾圓積
依法求得立方邊五十七七三/五○立方積一十九萬二四
五○四等面積六萬四千一百五十○並合前算
小渾積一○○七六六 若用捷法以渾圓率五二三
五九八乘立方積得數後去末六位亦得一十○萬○
七六六
内容渾圓尚且如此之大况二十等面之形又大於
内圓乎然則厯書之率其非確數明矣
[070-36b]
二十等面
一率 二一八一八二八 例容
二率 一○○○○○○ 例根一百之體積
三率 一○○○○○○ 設容
四率 ○四五八三三二 所求根立積
如法算得二十等面之容一百萬其根七十七
比例規解作七十六尚差不多測量全義云二十等
邊設一百其容五二三八○九則大相懸絶矣乆知
[070-37a]
其誤今乃得其確算己未年所定之率以兩書酌而
為之究竟不是今乃得之可見學問必欲求根也
二十等面分體之圖
亥子戌為二十等面之一面
亦即各分體之底
亥子子戍戍亥皆其邊即根
也半之為亥甲
甲乙丙為横邊切處即横切成十等邊形之一邊
[070-37b]
丁為體心亦即切十等邊平面之中心
甲乙丙丁即横切十等邊平面之分形 心為二十等
面每面之正中 心丁為體周各平面至體心之垂線
亦即分體之中髙亦即體内容渾圓之半徑 丁亥丁
子丁戌皆分體之楞線乃自各分面角輳體心之稜也
亦即為外切渾圓之半徑 丁甲丁丙皆横切平面各
角輳心之線亦即分體各斜面之中垂斜線也
求法以丁甲為股亥甲為句即根/之半兩幂相并開方得弦
[070-38a]
即丁亥也丁子丁/戌同
求二十等面外切渾圓之半徑
依句股法 以丁甲股八十○九○/六一自乘幂六千五百
四十五七九/七○ 亥甲句五十○自乘幂二千五百 相
并為亥丁弦幂九千○四十五七九/七○ 平方開之得亥
丁九十五一○/五二為外切渾圓半徑 亦即二十分形自
其各角輳心之稜 倍之得一百九十○二一/○四即外切
渾圓全徑
[070-38b]
計開二十等面體諸數
設邊一百 其容二百一十八萬一千八百二十八
其内容渾圓徑一百五十一 其外切渾圓一百九十
其每面中心至體心七十五半即内容渾/圓之半徑
其每面各角至體心九十五即外切渾/圓之半徑
計開二十等面體諸用數
設邊一百 外切立方之半徑八十○九○/一七為體心至
邊之半徑即寅中卯/中辰中等
[070-39a]
倍之為邊至邊一百六十一八○/三四即外切立方全徑
外切渾圓之半徑九十五一○/五六為體心至各角尖之半
徑即甲中戊/中心中等
倍之為角尖至角尖一百九十○二一/一二即外切渾圓全
徑
内容渾圓及内容十二等面之半徑七十五五七/六一為體
心至各面之半徑即己中/庚中等
倍之為内容渾圓全徑一百五十一一五/二二為面至面
[070-39b]
内容十二等面之邊五十三九三/四四
每面之幂四千三百三十○一二/五○
二十等面之幂共八萬六千六百○二半
分體積一十○萬九千○八十四六/五為二十等面體積
二十之一
合之得全積二百一十八萬一千六百九十三
内容小立方之邊八十七二六/七七 以内容立圓徑自乘/乏幂取三之一開方
得/之
[070-40a]
内容燈體邊五十即原邊/之半
立方内容二十等邊算法
亢卯寅房為立方全徑一百
中寅中卯為半徑五十
寅卯二點為二十等面邊折
半之界
寅卯線為二十等面邊之半
中為體之中心 寅中卯角為三十六度
[070-40b]
中寅半徑當理分中末之全數 寅卯即理分中末之大分
甲戊戊心心甲皆寅卯之倍數即
二十等面之邊其數六十一八○三/三九八
甲辰半邊三十○九○一六六/九與寅卯同
心辰垂線五十三五二/三三 半垂線心箕二十六七六/一六 甲辰幂
九百五十四九一/五○ 三因甲辰幂為心辰幂二千八百六十四
七四五/○不盡
計開
[070-41a]
立方徑設一百 半徑五十
理分中末線大分六十一八○三/三九八即二十等面之邊
論曰以中寅半徑五十求寅卯正得理分中末大分之
半而甲戊邊原倍於寅卯寅房全徑亦倍於寅中是全
數與大分皆倍也故徑以全數當寅房全徑以理分中
末之大分當甲戊等二十等邊之全邊也
又立方邊設一百即寅/房徑 半之五十即中/寅
内容二十等面之邊六十一八○三三九/八即甲戊等
[070-41b]
面之中垂線五十三五二三三/即心辰
中垂線之半二十六七六一六/即心箕
面之幂一千六百五十三九五七八/甲戊心面
中垂線三之一得一十七八四一一/即心己
内容立圓半徑四十六七○八六/即己中 全徑九十三四一/七二
二十等面全積五十一萬五千○二十六九五/九七
約法
立方根與所容二十等面之邊若全數與理分中末之
[070-42a]
大分 面幂三之一以乘容圓全徑得數十之為全積
中垂線三之一心己為句即平面容/員半徑自乘得句幂三百
一十八三○四/八四九以減中寅弦幂二千五百○○餘己中
股幂二千一百八十一六九五/一五一開方得己中根四十六
七○/八六
二十等面邊設一百用理分中末線求其外切之立方
一率 二十等面邊六十一八○三/三九八
二率 外切立方一百○○
[070-42b]
三率 二十等面邊一百○○
四率 外切立方一百六十一八○/三四
依法求得二十等面邊一百其外切立方一百六十一
八○/三四與先所細算合
半圓内容正方
法以圓徑為三率丙/丁 理分中末之小分為二率庚/辛
理分中末全線加小分為首率丁辛為全線再加庚辛/為小分共得為丁庚總
線/也 二三相乘一率除之得四率丙乙即/甲丁為全徑之小
[070-43a]
分以減全徑餘乙/丁乃于乙作
正十字線至圓界如己/乙即以
此線自乘作正方己/甲如所求
論曰己乙即丙乙與乙丁之中率而丙乙旣為乙丁全
徑之小分則己乙即大分也而甲乙亦為大分 甲丁
亦為小分矣若自甲作甲戊必與己乙甲乙等而其形
正方
[070-43b]
半渾圓内容立方
法以乙甲圓徑自乘之幂取其六之一開方得容方根
丙丁方/丙戊邊
論曰試倍甲丙乙庚半渾圓為全渾圓體亦倍丙丁正
方形作丙己長立方形亦必能容矣然則丙己線在長
立方形之内為斜線者亦即
渾圓之徑也與甲乙/徑等
試於長立方面作戊己斜弦
[070-44a]
則己壬為之句戊壬為之股
而戊己弦幂内有己壬幂與
戊壬幂矣
而丙己線為弦則戊己又為
股丙戊又為句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊
幂矣丙戊亦/即己壬
又戊壬為己壬即丙戊亦/即戊癸之四倍則戊壬股幂内有己
壬句幂四合之為戊己弦幂則戊己幂内有己壬幂五
[070-44b]
矣
而丙己弦幂内復兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己
幂内有丙戊幂六也丙己旣同圓徑則取其幂六之一
開方必丙戊容方邊矣
立方内容十二等面其内又容立方此相容/比例
立圓内容十二等面其内又
容立方此立方之面幂為外
圓徑上面幂三之一而立方
[070-45a]
之各角即同十二等面角以切於立圓之面
法以外切渾圓徑上幂取三之一為十二等面内小立
方幂平方開之得小立方根根乘幂見積
又簡法以十二等面之面幂求其横剖之大線此線即
十二等面内容小方之邊
如圖作甲乙線剖一面為二
此線在面中最大即為内小
立方根以此自乘而三之即
[070-45b]
小立方外切渾圓徑幂
凡立方内容二十等面二十等面内又容渾圓圓内又
容小立方此小立方之各角能同渾圓之切點以切於
二十等面之平面心
法以内容渾圓徑之幂取三
之一為内小立方之幂平方
開之得切點相距即小立方
根以根乘幂見積
[070-46a]
簡法取内容渾圓之内小立方邊求其理分中末之大
分為内容十二等面邊
又簡法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃
求其横剖之大線即二十等面内容小立方之根 以
根自乘而三之即二十等面内容渾圓之徑幂 開方
得根即内容渾圓徑 折半為分體之中髙
此二十等面之面作三分之
一横剖
[070-46b]
此十二等面之面在二十等
面内
此五等面邊即前横線所成
凡五等邊平面其邊即七十二度之通弦横剖大線即
一百四十四度之通弦各折半為正弦可以徑求
一率 三十六度正弦
二率 七十二度正弦
[070-47a]
三率 五等邊之一邊
四率 横剖之大線
凡十二等面體與二十等面體可互相容而不窮
十二等面體有二十尖二十等面體有十二尖其各尖
之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外
各面之中心而徧
凡二十等面内容立圓仍可以容二十等面
二十等面内容立圓仍可以容十二等面
[070-47b]
甲心乙 乙心丙 丙心丁
丁心戊 戊心甲 皆二十
等面之一面其各三邊皆等
各以庚辛壬癸己為其面之
心若内容十二等面體則十二等面之各尖必切於庚
辛壬癸己等心點
今求内容十二等面之邊則必以庚辛等心點聮為直
線即成五等邊面之邊而與十二等面之形相似而可
[070-48a]
以相容矣
法當以邊如甲/戊半之如甲/辰作
對心垂線如辰/心成心辰甲句
股形既得己卯倍之為己庚即内容十二等面之一邊
二十等面體内容十二等面之圖
第一圖原形如五面扁錐心
尖鋭起甲心戊等三等邊平
面凡五共輳而成一心尖乃
[070-48b]
二十等面四之一
其己庚辛壬癸五點皆三等邊平面之中心亦即内容
十二等面之稜尖所切故必先求此點
簡法曰以甲戊邊半之於辰作辰心對角斜垂線又以
心甲心戊各取三分之二為心子心丑乃聮子丑為線
與甲戊邊平行與辰心垂線十字交於己點則己點即
甲心戊平面之心再從子至午作與邊平行線線之半
即庚點餘三面盡如此作平行線則辛點在午未線壬點
[070-49a]
在未酉線癸點在酉丑線但半之皆得心矣
第二圖剖形是五等邊平面
因前圖所作子丑等平行線
横剖之去其中髙之尖成子
午未酉丑五等邉平面此平
面之心點在前圖心頂之内
惟子丑等邉線是原形所作平行線在體外可見餘皆
以剖而成乃從各角作線至心如子心等分形為五皆
[070-49b]
平面三角形而心子等線皆小於子丑邉因子己原邉
及子心丑角求得心己垂線及子心對角線
第三圖正用之形即内容十二等面之一面
因前第二圖各平分其邉得
己庚辛壬癸五點即原形之
平面心又聮此點作己庚等
直線則成此形以此形為内容十二等面之一面則己
庚等五點為十二等面之鋭角而皆切二十等靣之平
[070-50a]
面心矣
求己庚線法因心子對角線及心己垂線子己原半邊
得己卯倍之為己庚
第一圖
設二十等面邊一百 甲戊等五邊甲心等五輳頂線
並同 則子心六十六六/六 子丑平行線同 皆為原
邊三之二 心己斜垂線五十七七三/五○ 為心辰斜垂
線三之二
[070-50b]
以上用第一圖乃斜立面也
第二圖
子己半邊三十三三/三 子心對角線五十六七○/九九
己心垂線四十五八七/九二
法為全數與五十四度之割線一七○/一三○若子己邊與子
心也子己乘割線以全數十萬而一得子心
又全數與五十四之切線一三七/六三八若子己邊與己心也
子己乘切線以全數十萬而一得己心 凡全數除降
[070-51a]
五位
第三圖 仍從第二圖生
己庚等兩平面心相距線五十三五八/一六 其半己卯二
十六七九/○八
法為子心對角線與己子半邊若己垂線與己卯也
倍己卯得己庚
求得二十等面邊一百 内容十二等面其邊五十三
五八/一六
[070-51b]
㨗法但用法聮兩平面之中心點即為内容十二等面
之邊 兩平面心相聮為直線之圖
乙心甲及戊心甲兩等邊平
三角面以甲心邊為同用之
邊而甲心隆起如屋之山脊
兩平面之中心為己為庚聮
為己庚線與甲心為十字然
不𦂳相切何也甲心既隆起
[070-52a]
則甲心折半之卯在己庚折
半之栁點上其距為卯栁
試側視之則甲心戊面變為
戊卯線甲心乙面變為卯乙
線而甲卯心線變為卯點己
庚點在平面原近甲心點為
卯戊卯乙三之一則卯栁之距亦為垂線三之一矣
二十等面從腰横剖之圖
[070-52b]
凡二十等面體其面之邊皆
等而皆斜交故邊皆髙於面
面之中心如己如庚是距體
心最近之處故為内容渾圓
及十二等面所切之點也
邊之兩端又髙於其折半之處邊所輳為尖如甲如戊
如乙如心等是距體心最逺之處故為外切渾圓及外
切十二等面之尖也 其各邊折半之點如寅如卯其
[070-53a]
距體心在近逺酌中為外切立方之半徑其内切之己
庚外切之甲戊乙心等頼寅卯距心之線為用然後可
知故其用最要
横剖所成之面十二等面從腰/横剖其根亦同
問各邊既髙於面而又斜交
何以能横切成平面乎曰從
右圖觀之甲戊尖最髙則其
所對之乙心等邊似平矣而
[070-53b]
乙心等尖亦髙則其所對之甲戊等邊又平一髙一平
彼此相制而成相等之距故寅卯等折半之處其距體
心皆等聯之為線即成相等之線而皆平行也
然則何以知其為十等邊平面曰准右圖上下各五面
其腰圍亦上下各五面而尖牙相錯成十面今各從其
半邊剖之則必為十邊平面無疑也
如圖奎卯寅十等邊平面以中為心
中寅中卯皆原體心與其邉
[070-54a]
折中處相距之半徑亦即為
外切立方之半徑也於前圖
作外切之奎角卯寅平圖則
寅卯等即為分圓線乃全圈十分之一當三十六度
理分中末線圖
奎中為全徑井中為半徑以半
徑設五/十為句全徑設一/百為股
求其弦得一百一十一八○/三三
[070-54b]
九/八為井奎 以井為心中為界作圓分如中斗截井奎
線於斗則井斗亦半徑也 以井斗減井奎其餘斗奎
即為理分中末線之大分亦即/奎牛 以奎牛為度作點于
倍徑之圈周而徧即成十平分圈周之點聮其點為線
即成寅卯等十等邊故十等邊之寅卯等即木圈半徑
之理分中末大分也 若奎中為半徑則井中為半半
徑亦同
奎中全數半/徑設一百 寅卯必六十一八○三/三九八即半徑
[070-55a]
理分中末之大分奎牛即/奎斗
理分中末線 法以全數一百之幂一萬為股幂其半
五十之幂二千五百為句幂并得一萬二千五百為弦
幂開方求其根得一百一十一八○三/三九八以半數五十減
之得六十一八○三/三九八為理分中末之大分即三十六度
之分圓線也
半之為十八度之正弦三○九○一六九九八線表作二/三○九○
二十等面分體之圖
[070-55b]
甲戊心為二十等面之一面
其三邊等中為體心
甲中戊中心中皆各面之鋭
角距體心之線又為體外切
渾圓及外切十二等面之半
徑
以甲戊心面為底依甲中戊
中心中三線剖至體心中成
[070-56a]
三角錐體為二十等面體二
十之一
錐體之底各以其三邊半之
於寅於辰於卯從此三點作
線而體心之中點皆為錐體各立面之斜垂線如辰中
即為甲中戊立面之斜垂線寅中為甲中心立面之斜
垂線卯中為戊中心立面之斜垂線並同
又聮寅卯辰三點為寅卯卯辰辰寅三線成寅卯辰小
[070-56b]
等邊平三角面以此為底依寅中卯中辰中三斜垂線
剖至體心之中點成小三角錐體其積為大三角錐四
之一其寅卯等邊為原邊二之一 原設邊一百則寅
卯五十
其己點為三角面之中心大小/並同 己中即分體之中髙
大小錐/體同是即内容渾圓之半徑亦即内容十二等面體
各尖距其體中心之半徑
其辰中卯寅中卯卯中辰皆立三角面皆為横剖成十等
[070-57a]
邊平面之分形故寅卯與寅中之比例若理分中末線
之大分與其全數也
今求寅中線即外切立方半/徑卯中亦同
一率 理分中末之大分 六十一八○三/三九八
二率 全數 一百
三率 寅卯剖形十等邊之/一即原邊之半 五十
四率 寅中 八十○九○/一七
按寅中線為量體之主線既得此線即可以知餘線
[070-57b]
而此線實生於理分中末線幾何原本謂分中末線
為用最廣盖謂此也
次求己中即内容渾圓及十/二等面之半徑
甲戊原邊設一百半之於寅
作寅己垂線至己心乃平/靣心
己寅二十八八六/七五為句其幂
八百三十三三三/三三 用㨗法
以邊幂一萬取十二之一得
[070-58a]
之
寅中八十○九○/一七為弦其幂
六千五百四十五○八/五○
句幂減弦幂餘五千七百一
十一七五/一七開方得股為己中
七十五五七/六一
訂定寅中線
一率 理分中未線大分 六十一八○三/三九八
[070-58b]
二率 全數 一百
三率 寅卯剖形十等邊之/一即原邊之半五十
四率 寅中即外切立/方之半徑 八十○九○/一七
訂定己中線
甲戊邊原設一百半之於寅/作寅己線
己寅句二十八八六/七五 幂八百三十三三三/三三
寅中弦八十○九○/一七 幂六千五百四十五○八/五○
己中股幂五千七百一十一七五/一七 根七十五五七/六一
[070-59a]
末求己庚線兩平面心相聮即内/容十二等面之邊
一率 寅中八十○九○/一七 為大弦
二率 己中七十五五七/六一 為大股
三率 寅己二十八八六/七五 為小弦
四率 己星二十六九六/七二 為小股
倍己星得五十三九三/四四為己庚
解曰中寅己大句股形與己寅星小句股形同用寅角
則其比例等而為相似之形故也
[070-59b]
己庚等線相聮成五等邊平靣圖
准前論甲心戊等三角平面
合二十面為二十等面體則
甲心等邊線皆髙於平面而邊
線之端五相輳即為尖角如/心
點/依此推知甲乙丙丁戊點
皆必與他線五相輳而成尖角矣
其己庚辛壬癸各點為各平面之最中央在體為最平
[070-60a]
之處故内容之渾圓及内容之十二等面各尖必切此
點
今依前法求得己庚等點相聯為直線則凡五平面相
輳為尖必有各中央之點相聯為線而皆成五等邊平
面形矣此平面形正/與心尖相應 依此推知甲乙丙丁戊各點皆
能為尖則其周圍相輳之五平面亦必各以其中央之
點相聯為線而皆成五等邊平面形 二十等面體以
五邊線相輳之尖凡十有二每一尖之周圍皆有五平
[070-60b]
面即皆有中央之點相聯而成五等邊平面亦十有二
如此而内容十二等平面體己成故曰但聯己庚二
點為線即内容十二等面之邊也
求甲中線即外切渾圓及十二等面/之半徑心中戊中並同
寅甲為原邊之半設五十其
冪二千五百為句冪
寅中為外切立方半徑八十
○九○/一七其幂六千五百四十
[070-61a]
五○八/五○為股冪并句股冪九千○四十五○八/五○平方開
之得甲中弦
依法求得甲中九十五一○/六五
求體積
設邊一百其半五十 斜垂線八十六六○/二五 相乗得
面冪四千三百三十○一二/五○
又以己中髙七十五五七/六一乗面冪得柱積三十二萬七
千二百五十三九六/○○
[070-61b]
三除之得分體積一十○萬九千○八十四六五/○○
以二十乗之得全積二百一十八萬一千六百九十三
十二等面分體之圖
戊辛庚己壬五等邊形即十二等面立體之一面 亦
即分體形之底乃五面立/錐形之底丙為平面心
丙丁為平面心至體心之垂線亦即分體形之中髙又
為體内切渾圓之半徑亦即為内切二十等面之半徑
丁為全體之中心又為十二分體之上鋭即五等面立
[070-62a]
錐形之頂
戊辛壬庚等皆各面之外周線即邊/也為體之稜亦名之
為根
自分面之心丙作垂線至邊
如癸丙/甲丙分各邊為兩其分處
為癸為甲即各邊/折半處
乃自癸至甲聮為癸乙甲線又自此線向丁心平剖之
成甲丁癸三角形面各分形俱如此切之成十等邊平
[070-62b]
面形故丁癸丁甲皆分體形自頂鋭至各邊之斜垂線
在所切之十等邊平面形即為自丁心至平面角之線
甲癸等點在各邊為折中/在切形之平面則對角
又自丁至體周各角之線如丁辛丁/庚丁戊等在分體即為自底
角至頂鋭之稜又為外切渾圓之半徑又為外切二十
等面之半徑
先算十二等面之面即戊辛/庚己壬
法為全數與五十四度之切線若甲辛與甲丙也 以
[070-63a]
甲丙乘甲辛又五乘之得戊辛庚己壬五角面積甲丙/辛角
為五等邊之半角三十六度/其餘角甲辛丙必五十四度
次算面上大横線即甲/癸
又全數三十六度之正弦若甲丙與甲乙也倍甲乙得
甲癸
次算中髙線丙/丁
法為全數與七十二度之割線若甲乙與甲丁也因平/切十
等邊為三十六度半之為十八度/其餘角七十二度即乙甲丁角
[070-63b]
乃以甲丁為弦甲丙為句兩幂相減開方得股即丙丁
也
次算分體之積
法以中髙丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一為分
形積
末以十二為法乘分形積得總積
簡法以分形中髙乘底又四乘之即得總積三歸三因/對過省用
算甲丙
[070-64a]
一率 全數 一○○○○○
二率 五十四度切線 一三七六三八相乗得六八/
三率 設根之半甲辛/ 五○八一九○○/
四率 甲丙 六八 以全數除之減/五位為畸零
算甲乙
法為全數與三十六度之正弦若甲丙與甲乙也
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度正弦 ○五八七七九
[070-64b]
三率 甲丙 六八八一九○
四率 甲乙 四○四五一一
甲癸為横切十等邊平面之一
其半為甲乙丁即總形之心
亦横切平面之心
算甲丁
法為全數與十八度之餘割若甲乙與甲丁也
一率 全數 一○○○○○
[070-65a]
二率 七十二度割線 三二三六○七
三率 甲乙 四○四五一一
四率 甲丁 一三○九○二五
算丙丁中髙線
法以甲丁為弦 甲丙為句 求得股為丙丁
算得丙丁一百一十一三五/二六為中髙線亦即十二等面
形内渾圓之半徑
算五等邉面幂
[070-65b]
法以甲丙乘甲辛五十得三千四百四十○九半又五
乘之得一萬七千二百○四七五為五等邊邊各/一百之平
幂亦即十二等面分形之底積
算總積
用簡法以底積一七二○四七五四因之得六八九九
○以乘中髙得七百六十八萬二千二百一十五八七
四○為十二等面之積
計開十二等面
[070-66a]
一率 七六八二二一五 例容
二率 一○○○○○○ 例邊上立積
三率 一○○○○○○ 設容
四率 ○一三○一七○ 求得設邊上立積
立方法開之得其根五十
與比例規解合與測量全義差四千一百七十四為
二百分之一
算辛丁庚丁戊/丁並用 又即為外切渾圓半徑
[070-66b]
法以甲丁股幂一七一/三五甲辛句幂○二五/○○并為弦幂一/九
六三/五求得弦數一百四十○為辛丁即外切圓半徑
計開
十二等面之數
設邊一百 其容積七百六十八萬二二一五
内容渾圓徑一百二十二 外切渾圓徑二百八十
㨗法十二等面邊求外切内容之立方及外切之立圓
置十二等面邊為理分中末之小分求其大分為内容
[070-67a]
立方邊内容立方邊自乘而三之開方得外切立圓全
徑
又置十二等面邊為理分中末之小分求其全線為外
切立方邊
一率 理分中末之小分三十八一九/六六○一 理分中末之大分
二率 理分中末之大分六十一八○/三三九八 理分中末之全分
三率 十二等面之邊
四率 内容小立方邊 即大横線
[070-67b]
又
一率 理分中末之小分
二率 理分中末之全分
三率 十二等面之邊
四率 外切立方邊
以十二等面邊減外切立方邊餘為内容立方邊
以内容立方邊加十二等面邊即外切立方邊
又㨗法但以十二等面邊加大横線即小立/方邊 即外切
[070-68a]
立方邊
立方内容十二等面算法 用理分中末線
此五等邊面為十二等面之
一
巳為平面心 中為體心
寅卯為戌亥大横線之半三/十
○九○一/六九九卯中寅中為外切立方半徑五/十 戌亥為面之
大横線六十一八○/三三九八為理分中末之大分亦即内容小
[070-68b]
立方之根
巳寅巳卯俱平面容圓半徑
巳中為内容立圓半徑即分體中髙
丑中為外切立圓半徑亥中戌/中並同
設立方根一百為徑 半徑五十為寅中卯中 理分
中未大分之半為寅卯三十○九○/一六九九 又半之為寅子
一十五四五/○八四九五為理分中末大分四之一
一率 全數 一○○○○○
[070-69a]
二率 五十四度之割線 一七○一三○
三率 寅子 一十五四五○/八四九五
四率 寅巳即卯/巳 二六二八六五
求得卯巳為平面中垂線
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度之切線 ○七二六五四
三率 卯巳 二十六二八六五
四率 卯丑即半/邊 一十九○九八二
[070-69b]
倍卯丑得丑亥邊三十八一九/六四即十二等面邊乃理
分中末大分之大分也以此知大横線與五等邊為
理分中末之全分與其大分之比例也
卯巳句幂○六九/○九八 卯中弦幂二五○/○○○相減為股幂一
八○九○二 開方得巳中四十二五/三二五為内容渾圓半
徑
卯丑句幂○三六四七/四一二四三 卯中股幂二五/○○ 相併為弦
幂二八六四七/四一二四三 開方得丑中五十三五/二三二為外切渾圓
[070-70a]
半徑
丑亥巳卯相乘五因二除為面幂以乘巳中而四因之
得十二等面積
簡法
十二等面内容小立方六十一八○/三三九八即理分中末之大
分葢戌亥大横線倍大於寅卯故也 大横線即小立
方之邊
以大横線之幂三因之開方得亥中為外切渾圓半徑
[070-70b]
丑中/同
又立方根與所容十二等面邊若全數與理分中末之
小分
約法
立方根與其所容十二等面體内小立方之根若全數
與理分中末之大分
凡立方外切渾圓則徑上幂三倍於方幂
計開
[070-71a]
立方設徑一百
内容十二等面邊三十八一九六/六○一
内容小立方邊六十一八○三/三九八
外切渾圓徑一百○七○四六/六二五 即丑中亥中倍數
外切渾圓半徑五十三五/二三三 即丑中亥中
内容渾圓半徑四十二五三/二五 即已中 為分體中髙
内容渾圓全徑八十三○六五/一
内容二十等面邊四十四七二/一一
[070-72a]
幾何補編卷三
十二等面體分圖 用理分中末線
辛戌亥五等邊形為十二等面之一
[070-72b]
寅卯㸃為邊折半處中為體心
卯中為外切立方半徑設五/十
卯亢為外切立方全徑設一/百
寅卯線與卯中半徑若理分中末之大分與其全數也
在圓内為三十六度之分圓 辛癸辛戌等俱七十二
度之分圓
乙巳為半徑己丑/同乙癸為三十六度之通弦
乙已半徑與乙癸亦若理分中末一之全數與其大分也
[070-73a]
故乙已癸三角形與卯中寅相似
若取乙丙切線如乙癸之度則丙巳必同亥癸邊即七/十二
度通/弦折半於甲則甲乙為十八度正弦再於寅卯線取子壬
如乙甲取壬癸如乙己半徑引已子至癸中末乃自卯作
線至中與壬癸平行因得寅中與卯中等則寅中卯即
為横切之半面
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度割線 一二三六○七
[070-73b]
三率 子寅 一十五四五○八/四九五
四率 丑寅半邊 一十九○九八三/
倍丑寅得丑戌三十八一九/六六與簡法合
論曰凡十二等面從其半邊之㸃如寅/如卯聮為線以剖至
體之心中/㸃則所剖成寅中卯三角形平面必為全圓十
之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯兩弦與
寅卯底若理分中末之全分與其大分矣
又十二等面在立方形内必以卯中或寅/中自心至邊之
[070-74a]
線當立方之半徑是立方半徑與十二等面之寅卯線亦
若理分中末之全與其大分也 若設立方半徑一百則
寅卯必六十一八○三/三九八如理分中末之大分也今設立方
全徑一百其半徑五十則寅卯亦必三十○九○一/六九九如大
分之半矣 寅卯二㸃既在丑戌/丑亥兩邊之折半則戌亥大
横線必倍大於寅卯而與理分中末大分之全相應為六
十一八○三/三九八 此皆設立方半徑五十之數也而半徑五
十其全徑必一百故知設徑一百則十二等面之大横線
[070-74b]
必六十一八○三/三九八而竟同理分中末大分之數也
既得此大横線則諸線可以互知
試先求邊 法為酉戌半大/横線
與丑戌等邊若全數與三十
六度之餘割線也
一率 全數 一○○○○○
二率 三十六度割線 一二三六○七
三率 酉戌半大横線 三十○九○一/六九九
[070-75a]
四率 丑戌全邊 三十八一九/六六
論曰五等邊各自其角作線至心分形為五則各得七
十二度角如丑巳戌等其巳/角皆七十二度其半必三十六度如寅已/丑之巳
角得戊已丑之/半正三十六度而丑戌酉與丑巳寅皆句股又同用丑
角則戌角與巳角等為三十六度
十二等面求積
平面中垂線卯/己二十六二八/六五
邊即丑亥/丑戌等三十八一九六/六 半邊即丑卯/丑寅一十九○九/八三
[070-75b]
一面之平幂二千五百一十○一三/七○
内容渾圓半徑四十二四三/二五 即分體五面立錐之中
髙已/中 中髙三之一一十四一四/四一
分積三萬五千四百九十五八四/七三 其形為五面立錐
其體積為十二之一
全積四十二萬五千九百五十○一六/七六
外切立方根一百 其積一百萬
外切渾圓徑一百○七○四/六六
[070-76a]
内容立方根六十一八○三/三九八
外切立方與體内容立方徑之比例若理分中末之全
分與其大分
又若外切立方之外又切十二等面體體外又切大立
方則大立方之徑與今所算外切立方徑亦若理分中
末之全分與其大分而外切之十二等面與其内十二
等面徑亦必若理分中末之全分與其大分也
孔林宗云外立方與内立方之徑為理分中末線全分
[070-76b]
與大分之比例是矣若内立方之内又容立圓則小立
圓之徑與小立方之徑同而外渾圓與外立方之徑不
似未可以前比例齊之
若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圓大
立圓外又切十二等面則大立圓與内容小立圓亦必
若理分中末之全分與其大分而外切十二等面與十
二等面亦必若理分中末之全分與其大分何則皆外
切立方與内容立方之比例也
[070-77a]
十二等面容二十等面圖
第一圖
割十二等面之三平面一尖
成此形癸丑丙丑戊丑俱五
等邊平面皆十二等面之一
已庚辛各為/其中心一㸃
丑為三平面稜所聚之尖 亥丑戌丑乙丑俱平面邊
各為兩平面所同用之稜 中為體心 巳中辛中庚
[070-77b]
中皆内切渾圓半徑亦内容二十等面自尖至體心半
徑 巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂線 寅卯
壬皆平面邊折半之㸃
第二圖
内容二十等面體各自其邊
剖至心成此分體為内容體
二十分之一 辛庚巳三角
尖即十二等面之中心原㸃
[070-78a]
此㸃以外俱剖而得甲㸃與卯㸃同在卯中線而甲在
卯之下丁在寅下辰在壬下俱同
第三圖
自卯㸃起依卯己卯庚二線
剖至體心中成此平面形卯
即原邊折半處卯中即原體
外切立方之半徑中即體心
已庚即原兩平面之中心㸃今聯為已/庚線即内容二十
[070-78b]
等面之一邊
已中庚即内切二十等面分體之立面乃三角錐體之
一面 甲中為内切二十等面分體之斜垂線 觀第
二圖可明第二圖角㸃居剖内三角之中心正對原體/之丑尖而在其下故角中為内容分體之正
髙而甲中為/斜垂線也
今求已庚線即内容二十/等面之邊
法於卯中外切立/方半徑内求甲中以相減得卯甲為股用與
卯已弦原體之面/上中垂線兩冪相減開方得句為已甲倍之得
[070-79a]
巳庚
卯已中三角形
卯中即外切立方半徑設五十為底
卯已即原體之平面中垂線二十六二八/六五
巳中即内容渾圓半徑亦即
内容二十等面分體之斜稜四
十二五三/二五
以卯巳巳中兩弦相減為較
[070-79b]
相并為總以總乘較為實卯中底五十為法除之得亢
中二十二三六/○六以減卯中餘二十七六三/九四為亢卯折半
得一十三八一/九七為卯甲
計開
立方根設一百其半五十即卯/中亦為十二等面自體心
至邊
十二等面之平面中垂線即卯/巳二十六二八/六五
十二等面内容渾圓半徑即已/中四十二五三/二五亦為内容
[070-80a]
二十等面自尖角至體心分體以為錐體之稜
卯巳已中之較一十六二四/六○ 總六十八八一/九○
較總相乘一千一百一十八○三/三四為實 卯中五十為
法除之得中亢二十二三六/○六 以中亢減卯中五十餘
二十七六三/九四為亢卯折半得一十三八一/九七為卯甲以卯甲減
卯中餘三十六一八/○三為甲中即内容二十等面分體之
斜垂線
卯巳自乘得六百九十○九八/○○為弦幂
[070-80b]
卯甲自乘得一百九十○九/八
四/一為股幂 相減餘四百九
十九九九/五九為勾幂 開方得
巳甲二十二三六/○五 倍之得
巳庚四十四七二/一一即為内容二十等面邊
此法甚確亦且甚㨗無可疑者偶於枕上又思得一
法借燈體分形之三角錐以求十二等面内容二十
等面分體之三角錐是以錐體相截而知其所截之
[070-81a]
邊即為内容二十等面之邊
第一圖
丑為三平面所聚之尖 丑
戌丑亥丑乙皆兩平面同用
之稜 巳庚辛皆五等邊平
面之心 己寅己卯等皆平面心至邊垂線 已牛丑
為平面心對角線 寅卯壬皆平面邊折半之㸃 寅
中卯中壬中為體心至邊線即外切立方半徑 中為
[070-81b]
心
第二圖
聮寅卯卯壬壬寅三線為平
三角面横剖之又各依寅中
卯中壬中線剖至體心中則
成三角錐體二其一為丑寅
卯壬體是三角錐而稍扁者也其一為寅卯壬中體是
三角錐而稍長者也其寅卯壬三角平面為扁形之底
[070-82a]
又為長形之面其寅卯等線與寅中卯中之比例皆若
理分中末之大分與其全分也其扁形錐既剖而去則
成圓燈所存長錐即燈形分體之一平面心之㸃為斗在丑尖
下與牛㸃平故丑牛為弦則斗牛如勾而丑牛之距如股也
第三圖
又於圓燈分體剖去辰甲丁
之一截則成甲丁辰中三角
錐乃十二等面内容二十等
[070-82b]
面分體中之分體其辰甲丁面與巳庚辛脗合為一葢
巳庚辛者内容二十等面之一面各於邊折半為甲丁
辰而聮之為線則成小三角於中故辰丁等線皆居巳
庚線之半而甲中原為二十等面分體之斜垂線者今
則為三角錐之楞
第四圖
己牛丑即原平面從心至角
尖之線丑斗角中即原體自
[070-83a]
尖至中心之線又為外切渾圓半徑
依第二圖截丑巳於牛而横剖之亦截丑中於斗成丑
斗牛勾股形 又依第三圖截斗中於角成丑角巳勾
股形此兩勾股相似而比例等
法為丑牛與丑斗若丑巳與丑角也
第五圖
寅中卯三角形為圓燈分體
之立面截為甲丁中三角形
[070-83b]
此兩形相似而比例等 法為卯中與卯寅若甲中與
甲丁也
又斗中為圓燈分體之中髙其平面為寅卯壬角中為
截體之中髙其平面為丁甲辰此兩體相似而線之比
例等 法為斗中髙與寅卯濶若角中髙與甲丁濶
先求丑斗髙
用截去扁三角錐以牛卯即寅卯/之半自乗幂三分加一以
減丑卯幂為丑斗幂開方得丑斗高
[070-84a]
次求丑角髙
用巳丑對角線乗丑斗以丑牛除之得丑角髙 其丑
牛線以牛卯幂減丑卯幂開方得丑牛 巳寅丑寅兩
幂并開方為己丑
末求巳庚線
用丑角減丑中得角中 又用丑斗減丑中得斗中
以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚為
内容二十等面之邊
[070-84b]
理分中末線 以量代算
先以巳為心作圖而匀分其
邊為五作甲庚乙丙丁五等
邊平面即十二等/面之一面
乙丁為大横線設一百甲庚
等邊必六十一八○三/三九八為大横線理分中末之大分
若乙丁大横線設六十一八○三/三九八則甲庚等邊必三十
八一九/六六亦為大横線理分中末之大分
[070-85a]
設立方一百 内容十二等面邊三十八一九/六六為理分
中末之小分亦即大分之大分
十二等面内又容小立方其邊與十二等面之大横線
等六十一八○三/三九八為大立方邊一百與十二等面邊三
十八一九/六六之中率何也大立方一百乘十二等面邊三
十八一九/六六開方得根即小立方及大横線六十一八○/三三
九/八
若大横線自乗之幂以十二等面邊除之即仍得外立
[070-85b]
方根而以外立方根除大横線幂必仍得十二等面之
邊矣
求理分中末線㨗法 用前圖
作五等邊平面 求其大横線乙/丁 聮兩角為線即得
之
次以大横線之一端如/乙為心其又一端如/丁為界作丁戊
圓分乃引五等邊與圓分相遇如引乙丙至戊/與圓分遇于戊則相遇
處如/戊至圓心如/乙為全分即乙戊亦即/乙丁大横線原邊為大分即乙/丙
[070-86a]
引出餘邊為小分即丙/戊
又法
作平三角使兩角如戊/如丁俱倍大於一角如/乙末乃破一倍
角平分之作線至一邊如平/分丁
角為兩作丁丙/線至乙戊邊則其斜線即
為理分中末之大分即丁/丙也
解曰倍破角則與小角等如破丁角為兩/皆與乙角等而乙丙丁形
之乙丁兩角同大則乙丙/丁丙兩弦亦同大而乙丙既為大
[070-86b]
分丁丙亦為大分矣准此又破丙角可以遞求於無窮
諸體比例
凡諸體之比例有三
一曰同邊之比例可以求積
一曰同積之比例可以求邊
一曰相容之比例可以互知
内相容之比例亦有三
一曰立圓内容諸體之比例 所容體又容立圓
[070-87a]
一曰立方内容諸體之比例 所容體又容立方
一曰諸體自相容之比例即同徑同/髙之比例或或兩體互相容
或數體遞相容
等積之比例 比例規解所用今攷定
立方積 一○○○○○○ 其邊一百
四等面積 一○○○○○○ 其邊二百○四
八等面積 一○○○○○○ 其邊一百二十八
十二等面積 一○○○○○○ 其邊五十
[070-87b]
二十等面積 一○○○○○○ 其邊七十七
方燈
圓燈
凡方燈依楞剖之縱横斜側皆六等邊平面凡圓燈
依楞剖之縱横斜側皆十等邊平面故皆有法形體
等邊之比例 測量全義所用今攷定
立方邊 一○○ 積一○○○○○○
方燈體邊 ○七○七一○六積○八三三三三三
[070-88a]
邊 一○○ 積二三五七○二一
八等面邊 ○七○七一○六 積○一六六六六六
邊 一○○ 積○四七一四○四
四等面邊 一○○ 積○一一七八五一
十二等面邊一○○ 積七六八二二一五
二十等面邊一○○ 積二一八一八二二
圓燈體邊 ○三○九○一七 積○二九○九二九
邊 一○○ 積○九八五九一六
[070-88b]
等徑之比例 皆立方所容
立方徑 一○○積一○○○○○○ 邊一○○/
内容方燈徑 一○○積○八三三三三三 邊○七○七/一○六
内容四等面徑 一○○積○三三三三三三 邊一四一四/二一三
内容八等面徑 一○○積○一六六六六六 邊○七○七/一○六
内容立圓徑 一○○積○五二三八○九
内容二十等面徑一○○積○五一五二二六 邊○六一八/○三四
内容十二等面徑一○○積○四二五九五○ 邊○三八一/九六六
[070-89a]
内容圓燈徑 一○○積○二九○九二九 邊○三○九/○一七
右以立方為主而求諸體
内立方及燈體之徑為自面至面
四等面十二等面二十等面之徑皆自邊至邊以邊折/半處作
垂線至對邊折半處形如工字四/等面則上下邊遥相午錯如十字
八等面之徑為自尖至尖 然皆以其徑之兩端正切
於立方方面之中心一㸃立方面其相切亦必六㸃
求積約法
[070-89b]
凡立方内容諸體皆與立方之六面同髙同濶 則燈
形積為立方積六之五 四等面積為立方積三之一
八等面積為立方積六之一 以上三者皆方斜比
例
燈形及八等面皆以方求斜法以邊自乘倍之開方得
外切立方徑以徑再自乘得立方積取六之五為燈六
之一為八等面積
四等面則以方求其半斜法以邊自乘半之開方得外
[070-90a]
切立方徑以徑再自乘為立方積取三之一為四等面
積
立圓在立方内則其積為立方積二十一之十一
謹按方圓比例祖率圓徑一百一十三圓周三百五
十五見鄭世子律學新説較徑七周二十二之率為
宻又今推平圓居平方四百五十二分之三百五十
五較十四分之十一為宻又推得立圓居立方六百
七十八分之三百五十五較二十一分之十一為宻
[070-90b]
准立方比例以求各體自相比 皆以同髙同闊同為
立方所容者較其積
燈内容同髙之八等面 為八等面得燈積五之一
又立圓内容同髙之八等面 為八等面得圓積六十
六之二十一即二十/二之七 二者皆同髙而又能相容
用課分法母互乘子得之
[070-91a]
准此而知立圓内容八等面其積之比例若圍與徑
也
又立方内容十二等面其内又容八等面 又立方内
容二十等面其内又容八等面 二者亦同髙而能相
容
同髙之四等面積為燈積五之二即十之四四以燈面四/因退位得 等面積
同髙之八等面積為四等面積二之一
同髙之四等面積為立圓積十一之七
[070-91b]
此三者但以同髙同為立方所容而不能自相容若
相容則不同髙
凡立方之燈形内又容立方則内小立方邊與徑得外
立方三之二體積為二十七之八面幂為九之四
凡燈容立方以其邊為方而求其斜為外切之立方邊
取方斜三之二為内立方邊
[070-92a]
立方邊一○○ 面幂一○○○○ 體積一○○○/○○○
燈邊 ○七○七一○六 面幂○五○○ 體積○八三三/三三三
小立方邊○六六六六六六 面幂○四四四四四四 體積○二九六/二九六
凡方内容圓圓内又容方則内小方之幂得大方三之一
㨗法以小方根倍之為等邊三角形之邊而求其中垂
線即外切立圓之徑亦即為外大方之邊
如圖三邊既等則乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而
甲丙二其幂則四以乙丙句幂一減甲丙弦幂四所餘
[070-92b]
為甲乙股幂三
内方之幂一而外切渾圓之
幂三故其根亦如乙丙與甲
乙也 或以小立方之根為句倍根為弦求其股為外
切渾圓徑亦同渾圓徑即/外方邊
若以量代算則三角形便
如以大方求小方者則以大方為中垂線而作等邊三
角形其半邊即小方根也
[070-93a]
或用大方為股而作句股形使其句為弦之半即得之
㨗法句股形使甲角半於丙角則弦倍於句而句與股
如小立方根與大方根
或以甲角作三十度而自乙作垂線引之與甲丙弦線
遇于丙則乙丙即圓所容方之根
又按先有大方求小方者取大方根倍之為等邊三
角形之邊而求其中垂線以三歸之即得
凡立方内容方燈燈内又容立圓圓内又容圓燈燈内
[070-93b]
又容八等面凡四重在内其外切於立方也皆同㸃切/立
方有六處所同者皆在其方面之最中一㸃若從此一/㸃刺一針則五層悉透内惟方燈以面切面不可言㸃
若言㸃則有十二皆/切在立方邊折半處
凡立方内容方燈燈内又容十二等面體體内又容圓
燈燈内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同
處凡六處皆在立方面内方燈體以面切面十二等/面以邊切餘皆以尖切尖切者皆每面之最中㸃
凡立方内容方燈燈内又容二十等面體體内又容圓
燈燈内又容八等面同上
[070-94a]
凡立方方燈立圓十二等面二十等面圓燈内所容之
八等面皆同大
凡立方内容四等面體體内又容八等面其切立方皆
同處四等面以邊切為立方六面之斜八等面以/尖切居立方各面中心即四等面邊折半處
准此而知立方内所容之八等面與四等面所容之八
等面亦同大且同髙各體中所容八等面皆同大因此
可知
凡立圓内容十二等面體 又容立方其立方之角同
[070-94b]
十二等面之尖而切於立圓故立圓内所容之立方與
十二等面内所容之立方同大
凡二十等面體内容立圓 内又容立方立方之角切
立圓以切二十等面之面故立圓所容之立方與二十
等面内所容之立方必同大
凡二十等面體内容立圓 内又容十二等面體體内
又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圓而切
于二十等面之面皆同處
[070-95a]
凡諸體能相容者其相容之中間皆可容立圓此立圓
為外體之内切圓亦為内體之外切圓
惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圓燈其
中間難著立圓何也八等面之切圓燈以尖切尖而其
切四等面十二等面二十等面則以尖切邊故其中間
不能容立圓
其他相切之中間能容立圓者皆以内之尖切外之面
凡諸體在立方内即不能外切他體惟四等面在立方
[070-95b]
内能以其角同立方之角切他體故諸體所容四等面
之邊皆與其所容立方之面為斜線
凡諸體相容其在内之體為所容其在外之體為能容
能容與所容兩體之相切必皆有一定之處
凡相容兩體之相切或以尖或以邊即體/之稜或以面
渾圓在立方内為以面切面其相切處只一㸃皆在立
方每面之中央立方六面相/切凡六㸃
立方在渾圓内為以尖切面立方之角有八/故相切有八㸃有一㸃不
[070-96a]
相切者即非正相容也
渾圓在諸種體内皆與在立方内同謂其皆以面切諸
體之面而切處亦皆一㸃也然其數不同如四等面則
切㸃有四方燈則切㸃有六八等面則切㸃有八十二
等面及圓燈則切㸃有十二二十等面則切㸃有二十
其切㸃之數皆如其面之數而皆在其面之中央也方
燈則以其方面為數圓燈則以其五等邊之面為數而
不論三角之面者何也三角之面距體心逺故不能内
[070-96b]
切立圓也
諸體在渾圓内皆與立方在渾圓内同謂其皆以各體
之尖切渾圓之面也其數亦各不同如四等面則切㸃
亦四方燈則切㸃十二八等面則切㸃六十二等面則
切㸃二十二十等面則切㸃十二圓燈則切㸃三十皆
如其尖之數也
四等面在立方内以邊稜切立方之面四等面有六稜
以切立方之六面皆徧其四尖又皆切於立方之角
[070-97a]
十二等面二十等面在立方内皆以其邊稜切立方之
面兩種各有三十稜其切立方只有其六以立方只有
六面也
此三者為以楞切面
八等面在立方内以尖切面凡六㸃 圓燈在立方内
亦以尖切面有六㸃皆在立方面中尖與八等面同
方燈在立方内則以面切面皆方面也方燈之方面六
亦與立方等也其十二尖又皆切於立方之十二邊楞
[070-97b]
皆在其折半處為㸃
十二等面與二十等面逓相容皆以内體之尖切外體
之面
十二等面在八等面内以其尖切八等面之面體有二
十尖只用其八也
方燈在八等面内亦以面切面而皆三角面方燈之三
角面有八數相等也又其尖皆切於八等面各稜之中
央折半處稜有十二與燈之尖正等也
[070-98a]
圓燈在十二等面内以面切面皆五等邊平面也圓燈
體之五等邊平面原有十二故也又皆以其尖切十二
等面之邊楞而皆在其中半
圓燈在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圓燈
體之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等
面之邊楞而皆在其中半
問十二等面與二十等面體勢不同而圓燈之尖皆能
切其楞邊何也曰圓燈有三十尖而兩等面體皆有三
[070-98b]
十楞故也
凡能容之體皆可改為所容之體遞相容者亦可遞改
如立方容圓即可刓方為圓渾圓容方即可削圓為方
遞相容者如立方内容渾圓圓内又容十二等面體體
内又容二十等面即可遞改
凡所容之體皆可補為能容之體皆以數求之
如立方外切立圓以其尖角則求立方心至角之線為
立圓半徑
[070-99a]
凡以面切面者其情相通
如方燈以其方面切立方面又能以其三角切八等邊
面則此三者皆方斜之比例也
又如圓燈以其五等邊面切十二等面又能以其三角
面切二十等面則此三者皆理分中末之比例也
若反用之而令立方在方燈之内則立方之尖所切者必三
角面若八等面在方燈之内則其尖所切又必方面也
若令十二等面在圓燈内則所切者必三角面而二十
[070-99b]
等面居圓燈内所切者又必五等邊面也故曰其情相
通
諸體相容
凡立圓立方皆可以容諸體
凡立圓内容立方立方内又可容立圓兩者不雜他體
可以相生而不窮
凡立圓内容立方此立方内又可容四等面四等面又
可容立圓三者以序進亦可以不窮
[070-100a]
凡立圓内容立方又容四等面四等面在立方内以其
尖切立圓與立方尖所切必同㸃
凡立圓容四等面在立圓所容立方内必以其楞為立
方面之斜依此斜線衡轉成圓柱形必為立圓之所容
而此柱形又能含立方
外圓者柱之底若面内方者
立方之底若面直而斜者四
等面之邊
[070-100b]
凡四等面體在立圓内任以一尖為頂以所對之面為
㡳旋而作圓錐此錐體必為立圓之所容而不能為立
方之容
此兩體雖非正相容體然皆有法之體
凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相與為
不窮
凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者
相容則所容體之尖皆切於為所容大體之面之中央
[070-101a]
而等
凡立方内容立圓此立圓内仍容八等面其八等面尖
切立圓之㸃即可為切立方之㸃
八等面内容立圓此立圓内仍容立方則立方尖切立
圓之㸃亦即可為其切八等面之㸃
凡立圓可為諸等面體所容其在諸體内必以圓面一
㸃切諸體之各面此一㸃皆在其各等面之中心而等
而徧
[070-101b]
凡八等面内容立圓仍容立方 立方内仍容四等面
而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圓以
切八等面叠串四體皆一㸃相切必在八等面各面之
中心
立方設一百内容二十等面邊六十一八○三/三九八内又容
立圓也十三四一/七二
簡法取内容立圓徑幂三之一開方得内容小立方再
以小立方為理分中末之全分而求其大分得内容十
[070-102a]
二等面邊
凡十二等面二十等面皆能為立圓之所容皆以其尖
切渾圓凡十二等面二十等面皆能容立圓皆以各面
之中心一㸃正與渾圓相切
凡十二等面與二十等面可以互相容皆以内體之尖
切外體之各面中心一㸃
凡十二等面内容渾圓渾圓内又容二十等面與無渾
圓者同徑二十等面内容渾圓渾圓内又容十二等面亦
[070-102b]
與無渾圓同徑何也渾圓在各體内皆以其體切於外
體各面之中心㸃而此㸃即各内體切渾圓之㸃故也
以上皆可以迭串相生而不窮
凡十二等面内容渾圓渾圓内又容十二等面亦可以
相生不窮
二十等面與渾圓遞相容亦同
凡立方内容十二等面皆以十二等面之邊正切於立
方各面之正中凡六皆遥相對如十字
[070-103a]
假如上下兩面所切十二等
面之邊横則前後兩面所切
之邊必縱而左右兩面所切
之邊又横若引其邊為周線
則六處相交皆成十字
立方内容二十等面邊亦同
凡各體相容皆以内之尖切
外之面惟立方内容四等面
[070-103b]
則以角而切角立方内容十
二等面二十等面則以邊而
切面
厯算全書卷五十七
