[007-1a] 
序
厯家所憑全恃測騐昔者蔡邕上書願匍匐渾儀之下
按度考數著於篇章以成一代盛典古人之用心蓋可
想見然則儒者端居斗室足不履觀臺目不睹渾象安
所得測騐之事而親之而安從學之曰所恃者有測騐
之法之理在則句股是也遭秦之厄天官書器散亡漢
落下閎鮮于妄人等追尋墜緒厯代相承攷訂加詳至
于今日厥理大著則句股之用于渾圓是也今夫測量
[007-1b]
之法方易而圓難古用徑一圍三聊舉成數非有所不
知也自劉徽祖沖之各為圓率逮元趙友欽定為徑一
則圍三一四一五九二與今西術略同皆割圓以得之
非句股奚藉焉西法割圓比例以直角三邊形為/主即句股也但異其名不異其實然用
句股測平圓猶易用句股測渾圓更難厯家所測皆渾
圓也非平圓也古有黄赤道相準之率大約於渾器比
量僅得梗槩未能彰諸笇術近代諸家以相減相乘推
變其差損益有序稍為近之而未親也惟元郭太史守
[007-2a]
敬始以弧矢命笇有平視側視諸圖推步立成諸數黄
赤相求斯有定率視古為密由今觀之皆句股也但其
立法必先求矢又用三乗方取數不易故但能列其一
象限中度率不復能求其細分之數厯書之法則先求
角既因弧以知角復因角以知弧而句股之形能預定
其比例又佐之八線互用以通其窮其法以三弧度相
交輒成三角則此三弧度者各有其相應之弦弧與弧
相割即弦與弦相遇而句股生焉茍熟其法則正反斜
[007-2b]
側八線犁然各相得而成句股八線比例以半徑全數/為弦正弦餘弦為句為
股又以割線為弦切線與半徑全數為/其句股表中所列句股形凡五千四百於是乎黃可變
赤赤可變黃可以經度知緯可以緯度知經羅絡鉤連
旁通曲暢分秒忽微臚陳笇位求諸中心可無纎芥之
疑告諸同學亦如指掌之晰即不必匍匐渾儀之下可
以不窺牖而見天道賴有此具也全部厯書皆弧三角
之理即皆句股之理顧未嘗正言其為句股使人望洋
無際彼云直角三邊形此云句股乃西國/方言譯書時不知此理遂生分别又譯書者識
[007-3a]
有偏全筆有工拙語有淺深詳略所載圖説不無滲漏
之端影似之談與臆參之見學者病之兹稍為摘其肯
綮從而䟽剔訂補以直截發明其所以然竊為一言以
蔽之曰析渾圓㝷句股而已蓋于是而知古聖人立法
之精雖弧三角之巧豈能出句股範圍然句股之用亦
必至是而庶無餘藴爾厯法之深㣲奥衍不啻五花八
門其章句之詰曲離竒不啻羊腸絙度而由是以啓其
扃鑰庶將掉臂游行若揭日月而騁康莊矣文雖不多
[007-3b]
實為此道中開闢塗徑蓋積數十年之探索而後能㑹
通簡易故亟欲與同志者共之余老矣禹服九州之大
厯代聖人教澤所漸被必有好學深思其人所冀大為
闡發俾古人之意晦而復昭一綫之傳引而弗替則生
平之志願畢矣豈必身擅其名然後為得哉余拭目竢
之康熙二十三年上元甲子長至之吉勿菴梅文鼎書
於柏梘山中
[007-4a]
欽定四庫全書
厯算全書卷七
宣城梅文鼎撰
弧三角舉要卷一
弧三角體勢
弧三角與平異理故先體勢知體勢然後可以用算而
算莫先於正弧猶平三角之有句股形也故以為弧度
之宗正弧形之之角取法于黄赤交角則有定度而餘
[007-4b]
角取法于過極圏交黄道之角則隨度而移互用之其
理益顯故有求餘角法弧三角以一角對一邊而比例
等與平三角同而其理迴别故有弧角比例法斜弧無
相對之弧角則比例之法窮故有垂弧法三角求邊則
垂弧之法又窮故有次形法垂弧與次形合用則有捷
法弧與角各有八綫而可以互視故有相當法餘詳環/中秦尺
及塹堵/測量
弧度與天相應
[007-5a]
弧三角之法以測渾員渾員之大者莫如天員之至者
亦莫如天故弧三角之度皆天度也
以平測員其難百倍以員測員其簡百倍而得數且真
是故測天者必以弧度而論弧度者必以天為法
測弧度必以大圏
渾球上弧度有極大之圏乃腰圍之一綫也如赤道帶
天之紘原止一綫如黄道如子午規如地平規盡然
又如測得兩星相距之逺近亦為大圏之分若以此兩/星之距弧
[007-5b]
引而長之必匝於渾員之體而成/大圏不論從衡斜側皆同一法
球上大圏必相等
所以必用大圏者以其相等也 渾球上從衡斜側皆
可為大圏而其大必相等者以俱在腰圍之一綫也如
黄道赤道及子午規地平規俱係大圏必皆相等不相
等即非大圏故惟大圏可相為比例任測兩星之距不/必當黄赤道而能
與二道相比例者/以其皆大圏也
球上兩大圏無平行者
[007-6a]
大圏在渾球既為腰圍之一綫則必無兩圏平行之法
若平行即非大圏如黄赤道並止一綫而無廣即無地/可容平行綫也子午規地平規亦然
球上圏能與大圏平行者皆小圏謂之距等圏
離大圏左右作平行圏皆曰距等圏謂其四圍與大圏
相距皆等如于黄道内外作緯圏其與黄道相距或近/則四靣皆近或逺則四面亦皆逺無毫忽之
不同平行故也赤道/緯圏地平髙度並同而其自相距亦等故曰距等也如/黄
道内外或近或逺處處可作距等圏而皆與/黄道平行即其圏亦自相平行故並為等距距等圏皆
小于大圏如黄道内外緯圏但離數分其圍即小于黄/道其距益逺其圏益小小之極至一㸃而止
[007-6b]
諸緯圏/並然不能與大圏為比例大圏惟一距等圏無數無/一同者無法可為比例
故為比例者必大圏也
[007-7a]
[007-8a]
如圖甲乙為大圏大圏只一丙丁及戊庚等皆小圏小
圏無數漸近圎頂己即其圏愈小而成一㸃大小懸殊
故不可以相為比例
大圏之比例以度不拘丈尺
凡圏皆可分三百六十度每圏平分之成半周四平分/之成象限象限又各平分之
為九十度成/三百六十度而球大者其大圏大球小者其大圏小皆
以本球之圍徑自為比例不拘丈尺儘本球之圍分為/全周之度其球上
之度即皆以此為準但在本球上為最/大故謂之大圏非以丈尺言其大小古人以八尺渾
[007-8b]
儀準周天蓋以此也又如古渾儀原有三重其在内之
環周必小于外而其度皆能相應者在内環周雖小而
在内之渾員以此為大圏即在内之各度並以此為準
故也
大圏之度為公度
凡球上距等圏亦可平公三百六十度而其圈皆小于
本球之大圏又大小不倫則其所分之細度亦皆小于
大圈而大小不倫矣惟本球腰圍大圏上所分之度得
[007-9a]
為公度故凡言度者必大圏也
[007-10a]
如圖甲乙為大圏一象限丙丁及戊庚各為距等小圏
一象限象限雖同而大小迥異又如甲辛為大圈三十
度丙壬及戊癸亦各為小圏之三十度其為三十度雖
同而大小亦異再細攷之至一度或至一分亦大小異
也故惟大圏之度為公度
大圏即本球外周其度即外周之度而横直皆相等
平員有徑有周渾員亦有徑有周立渾員于前則外周
可見即腰圍之大圏也旋而視之皆可為外周故大圏
[007-10b]
之横直皆等皆以外周度/為其度故等
[007-11a]
[007-11b]
如圖子午規為渾儀外周其度三百六十乃横度也地
平為腰圍度亦三百六十乃横度也横度直度皆得為
外周故其度相等若依北極論之則赤道又為腰圍而
亦即外周也推是言之渾球上大圏從衡斜側皆相等
何則旋而視之皆得為腰圍即皆得為外周故也
大圏上相遇有相割無相切大圏相割各成兩半分
球上從衡斜側既皆成大圏則能相割矣而皆為渾員
之外周則必無相切之理若相切者必在外周/之内為距等小圈
[007-12a]
[007-12b]
如圖甲丙乙為大圏半周能割大圏于甲于乙而不能
相切丙丁成小圈則能切大圏于丙于丁
[007-13a]
[007-13b]
如圖甲庚辛乙為大圏半周割外圏于甲于乙則甲己
乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圏割大圏于庚于
辛而庚辛非半周
球上兩大圏相割必有二處此二處必相距一百八十
度而各成兩平分如黃赤二道相交於春分必復相交
於秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黃道成
兩半分赤道亦兩平分也若距等圏與大圏相割必不
能成兩平方
[007-14a]
兩大圏相遇則成角
球上大圏既不平行則其相遇必相交相割而成角弧
三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有銳鈍共
三種而角兩旁皆弧綫與直綫角異
[007-15a]
如圖己午戊子為子午規辛午乙子為地平規兩大圏
正相交于南地平之午北地平之子則皆正角而四角
皆等並九十度角也正角一名直角一名/十字角一名正方角
[007-16a]
如圖午辛子為地平規丁辛癸為赤道規兩大圏斜相
交于辛則丁辛子鈍角大于九十度丁辛午銳角小于
九十度兩角相並一百八十度減銳角其外角必鈍若
減鈍角亦得鋭角也故有内角即知外角 又兩銳角
相對兩鈍角相對其度分必等故有此角即知對角
凡此數端並與平三角同然而實有不同者以角兩旁
之為弧綫也
弧綫之作角必兩
[007-16b]
直綫剖平員作角形如分餅角旁兩綫皆半徑至周而
止弧綫剖渾冪作角形如剖𤓰角旁兩弧綫皆半周必
復相交作角而等如黄赤道交于/二分其角相等
角有大小量之以對角之弧其角旁兩弧必皆九十度
弧綫角既如𤓰瓣則其相距必兩端狹而中濶其最濶
處必離角九十度此處離兩角各均即球上腰圍大圏
也故其度即為角度如黄赤道之二分交角二十三度/半即二至時距度此時黄赤道離
二分各九十度乃/腰圍最濶處也
[007-17a]
大圈有極
大圏能分渾員之面冪為兩則各有最中之處而相對
是為兩極兩極距大圏四靣各九十度
[007-18a]
如圖甲辛乙為赤道大圈己為北極己為南極甲己丁
己等弧綫距北極各九十度距南極亦然 若己為天
頂甲辛乙為地平大圏亦同如甲正北辛正東乙正南
丁東北丙東南所在不同而甲乙等髙弧距天頂各九
十度皆等
大圏上作十字弧綫引長之必過兩極兩極出弧綫
至大圏必皆十字正交
如赤道上經圏皆與赤道正交為十字角則其圏必上
[007-18b]
過北極下過南極也然則從兩極出弧綫過赤道必十
字正交矣
大圏之極為衆角所輳
如赤道上逐度經圏皆過兩極則極心一㸃為衆角之
宗經圏之弧在赤道上成十字者本皆平/行漸逺漸狹至兩極則成角形之銳尖角無論大小
皆輳于極而合成一㸃離此一㸃外即成銳鈍之形而
皆與赤道度相應所謂量角以對弧度而角兩旁皆九
十度以此
[007-19a]
[007-19b]
如圖己為北極即衆角之頂鋭其所當赤道之度如乙
丙等則己角為鋭角如丙庚等則己角為鈍角 若己
為天頂外圏為地平亦然
角度與角旁兩弧之度並用本球之大圏度故量角
度者以角為極
有弧線角不知其度亦不知角旁弧之度法當先求本
球之九十度其法以角旁二弧各引長之使復作角乃中/分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度
可/知以角為心九十度為界作大圏與角旁兩弧並本球/大圏而其分度等
[007-20a]
乃視角所當之弧即角旁兩九/十度弧所界於大圏上得若干度分
即角度也故曰以角為極
三大圏相遇則成三角三邊
此所謂弧三角形也如黄道赤道既相交於二分又有
赤道經圏截兩道而過之則成乙丙甲弧三角形
[007-21a]
知圖己為北極戊辛為赤道丁庚為黄道二道相交於
春分成乙角又己壬為過極經圏自北極己出弧線截
黄道於丙得丙乙邊為黄道之一弧亦截赤道於甲成
甲乙邊為赤道之一弧而過極經圏為二道所截成丙
甲邊為經圏之一弧是為三邊即又成丙角甲角合乙
角為三角
弧三角不同於平三角之理
弧三角形有三角三邊共六件以先有之三件求餘三
[007-21b]
件與平三角同所不同者平三角形之三角并之皆一
百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度
必盈三邊在一度以下可借平三角立算因/其差甚微然其角度視半周必有微盈但不得滿
五百四十度角之極大者合之以/比三半周必不能及
平三角之邊小僅咫尺大則千百萬里弧三角邊必在
半周以下不得滿一/百八十度合三邊不得滿三百六十度如滿/全周
即成全員而/不得成三角
平三角有兩角即知餘角弧三角非算不知
[007-22a]
平三角有一正角餘二角必銳弧三角則否有三正角/兩正角者
其餘角有鈍有鋭或兩鋭/兩鈍或一鋭一鈍不等
平三角有一鈍角餘二角必銳弧三角則否其餘角或/鋭或正或
鈍甚有三/鈍角者
平三角以不同邊而同角為相似形同邊又同角為相
等形弧三角則但有相等之形而無相似之形以同角
者必同邊也
平三角但可以三邊求角不可以三角求邊弧三角則
[007-22b]
可以三角求邊弧三角之邊皆員度也初無丈尺可言故/三角可以求邊若干三角邊各有丈尺則
必有先得之邊以為之例所以不同相前條言有相等/之形無相似之形亦謂其所得之度 等非謂其丈尺
等/也
弧三角用八綫之理
平三角用八綫惟用於角弧三角用八綫并用於邊平
三角以角之八綫與邊相比弧三角是以角之八綫與
邊之八綫相比平三角有正角即為句股若正弧三角
形實非句股而以其八綫輳成句股
[007-23a]
平三角以角求邊是用弧綫求直綫也有角即/有弧以邊求
角是用直線求弧線也然角以八綫為用仍是以直綫
求直綫也句股法也弧三角以邊求角以角求邊並是
以弧綫求弧綫也而角與邊並用八綫仍是以直綫求
直綫也亦句股法也蓋惟直綫/可成句股所不同者平三角所成
句股形即在平靣而弧三角所成句股不在弧靣而在
其内外
弧三角之㸃綫面體
[007-23b]
測量家有㸃綫面體弧三角備有之其所測之角即㸃
也但其㸃俱在弧靣如于渾球任指一星為所測之㸃/即角度從兹起如太陽太陰角度
並從其中心/一㸃論之
弧三角之邊即綫也但其綫皆弧綫如渾球上任指兩/星即有距綫或于
一星出兩弧綫與他星相距即/成角而角旁兩綫皆弧綫也
弧三角之形即靣也但其靣皆渾球上面冪之分形
弧三角之所麗即渾體也剖渾員至心即成錐體而並
以弧三角之形為底詳塹堵/測量
[007-24a]
渾員内㸃綫面體與弧三角相應
前條㸃綫面體俱在球面可以目視器測但皆弧綫難
相比例比例必用句股句/股必直綫故也賴有相應之㸃綫面惟在渾
體内厯員可指雖不可以目視而可以算得弧三角之
法所以的確不易也 如渾球中剖則成平員即靣也
于是以球面之各㸃即弧三角/之各角依視法移于平員面即
渾員内相應之㸃也又以弧與角之八綫移至平面成
句股以相比例是渾員内相應之綫也 又如弧三角
[007-24b]
之三邊各引長之成大圏各依大圏以剖渾員即各成
平員面是亦渾員内相應之面也二平員面相割成𤓰
瓣之體三平員面相割成三楞錐體若又依八線横割
之即成塹堵諸體是渾員體内相應之分體也此皆與
弧面相離在渾員之内非剖渾員即不可見而可以算
得即不啻目視而器測矣
大圏與渾員同心
球上大圏之心即渾員之心若依各大圏剖渾員成平/員面其平員心即渾員之
[007-25a]
心/若距等小圏則但以渾員之軸為心而不能以渾員
心為心同心者亦同徑大圏以渾貟徑為徑若距/等圏則但以通弦為徑渾體
内諸綫能與弧三角相應者以此渾員體内諸綫皆宗/其徑弧三角既以大
圏相割而成必宗大圏/之徑徑同故内外相應弧三角之邊不用小圏亦以此
也距等圏既與大圏異徑則其度不齊不能成/邊而所作之角必非真角無從考其度分也
弧三角視法
弧三角非圖不明然圖弧綫於平面必用視法變渾為
平
[007-26a]
平置渾儀從北極下視則惟赤道為外周不變而黄道
斜立即成撱形 其分至各經圏本穹然半員今以正
視皆成員徑是變弧綫為直綫也
[007-27a]
立置渾儀使北極居上而從二分平視之則惟極至交
圏為外周不變其赤道黄道俱變直綫為員徑而成輳
心之角即大距度/平面角是變弧綫角為直綫角也又距等圏/亦變横綫
而成各度正弦/與員徑平行其赤道上逐度經圏之過黄赤道者雖
變撱形而其正弦不變且厯算可見如在平面而與平
面上之大距度正弦同角成大小句股比例是弧面各
綫皆可移于平面也故視法不但作圖之用即步算之
法已在其中
[007-27b]
以上謂之正視以黄赤道為式若于六合儀取/天頂地平諸綫亦同他可類推
[007-28a]
[007-29a]
以上謂之旁視渾員上有垜疊諸綫從旁側視之/庶幾可見雖不能按度肖形而大
意不失以顯弧三/角之理為用亦多
角之矢
如圖甲丙乙丁半渾員以甲戊乙弧界之則其弧面分
兩角為一鋭一鈍以視法移此弧度于相應之平面亦
一鋭一鈍即分員徑為大小二矢而戊丙正矢為戊甲
丙鋭角之度戊乙丙/亦同戊丁大矢為戊甲丁鈍角之度戊/乙
丁亦/同故得矢即得角
[007-30a]
角之八線
如前圖丙戊弧為甲銳角之度與丙庚等則丙戊之在
平面者變為直綫即爲甲鋭角之矢而戊巳為角之餘
弦戊庚為角之正弦丙辛爲角之切綫己辛為角之割
綫皆與平面丙庚弧之八綫等
丁巳戊過弧為甲鈍角之度與丁乙庚過弧等則丁戊
在平面者變為鈍角之大矢而戊巳餘弦戊庚正弦丙
辛切綫己辛割綫並與鋭角同平面鈍角之八綫與外/角同用弧三角亦然
[007-30b]
正弧斜弧之角與邊分為各類
凡三角内有一正角謂之正弧三角形三角内並無正
角謂之斜弧三角形
正弧三角形之角有三正角者有二正角一鋭角者有
二正角一鈍角者以上種種/不須用算又有一正角兩鋭角者内/分
二種一種兩銳角同度/一種兩銳角不同度有一正角兩鈍角者内分二種/一種兩鈍
角同度一種兩/鈍角不同度有一正角一銳角一鈍角者内分二種/一種銳鈍
角角合之成半周一種合/銳鈍兩角不能成半周計正弧之角九種而用算者
[007-31a]
六也
正弧三角形之邊有三邊並足者足謂足/九十度有二邊足一
邊小者在象限以/下為小有二邊足一邊大者過象限以上為/大○以上三種
可不/用算有三邊並小者内分二種一種二邊/等一種二邊不等有二邊大而
一小者内分三種一種二大邊等一種二大邊/不等一種小邊為一大邊減半周之餘計正弧
之邊八種而用算者五也
二邊俱小則餘邊必不能大故無二小一大之形
二邊俱大則餘邊亦不能大故無三邊並大之形
[007-31b]
一邊若足則餘邊亦有一足故無一邊足之形
[007-32a]
正弧三角形圖一計三種/
[007-33a]
[007-33b]
正弧三角形圖二訃三種/
[007-34a]
以上正弧形三種有同度之邊與角謂之二等邊形
内有己形雖無同等之邉角而有共為半周之邉角
[007-34b]
度雖不同而所用之正弦則同即同度也
凡邉等者角亦等後倣此
[007-35a]
正弧三角形圖三計三種/
[007-35b]
以上正弧形三種邊角與丁戊巳三種無異但無同
度之邊凡正弧三角形共九種
[007-36a]
斜弧三角形之角有三角並鋭者内分三種一種有二/角相等一種三角不
相等一種/三角俱等有二角銳而一鈍者内分四種一種二銳角/相等一種二銳角不相
等一種鈍角為一銳角減半周之餘一種/二銳角相等而又並為鈍角減半周之餘有二角鈍而
一銳者内分四種一種二鈍角相等一種二鈍角不相/等一種銳角為一鈍角減半周之餘一種二鈍
角相等而又並為/銳角減半周之餘有三角並鈍者内分三種一種有二/角相等一種三角不
相等一種/三角相等計斜弧之角十有四種
斜弧三角形之邊有一邊足二邊小者内分二種一種/二小邊相等一
種二小/邊不等有一邊足二邊大者内分二種一種二大邊/等一種二大邊不等有
[007-36b]
一邊足一邊小一邊大者内分二種一種大小二邊合/之成半周一種合二邊不能
成半/周有三邊並小者内分三種一種三邊不等一/種二邊等一種三邊俱等有二
邊大而一小者内分四種一種二大邊等一種二大邊/不等一種小邊為一大邊減半周之餘
一種二大邊等而又並/爲小邊減半周之餘有二邊小而一大者内分四種/一種二小
邊等一種二小邊不等一種大邊為一小邊減半周/之餘一種二小邊等而又並為大邊減半周之餘有
三邊並大者内分三種一種三邊不等一/種二邊等一種三邊俱等計斜弧之邊
二十種
[007-37a]
斜弧三角形圖一計四種/
[007-37b]
以上斜弧形四種並三角三邊同度謂之三等邊形内有二
等邊者其一邊為等邊減半周之餘與三等邊同法以同用/正弦故
[007-38a]
斜弧三角形圖二計十二種/
[007-39a]
[007-39b]
以上斜弧三角形十二種並二等邊形内有四種以大小二邊
度成半周與二等邊同法小邊為大邊減半周/之餘則同用一正弦
[007-40a]
斜弧三角形圖三計十種鋭厯書只九/種遺一 二鈍形
[007-41a]
[007-41b]
以上斜弧三角形十種並三邊不等用算只/四種
凡斜弧三角形共二十六種
通共弧三角形三十五種内除正弧三種不須/用算實三十二種
[007-42a]
[007-42b]
乙丁寅為赤道乙丙癸為黄道乙與寅為春秋分癸為
夏至午癸丁辰為極至交圏午與辰為南北極午丙甲
為過極經圈
丙乙為黄道距二分之度甲乙為赤道距二分之度卯/同
升/度丙甲為黄赤距緯成丙乙甲三角弧形甲為正角乙
春秋分角與渾員心卯角相應
癸丁弧為黄赤大距即乙角之弧亦/為夘角之弧癸巳為乙角正弦
卯巳其餘弦戊丁為乙角切線戊卯其割線卯癸及夘
[007-43a]
丁皆半徑成癸巳夘及戊丁夘兩句股形
又午夘半徑庚午為乙角餘切庚夘為乙角餘割成午
夘庚倒句股形
丙辛為丙甲距度正弦丙壬為丙乙黄道正弦作辛壬
線與丁卯平行成丙辛壬句股形
子甲為丙甲距度切線甲丑為甲乙赤道正弦作子丑
線與丙壬平行成子甲丑句股形
酉乙為丙乙黄道切線未乙為甲乙赤道切線作酉未
[007-43b]
線與子甲平行成酉未乙句股形
前二句股形在癸丁大距弧内外癸巳邜用正餘弦/在弧内戊丁夘用
割切線/出弧外後三句股形在丙乙甲三角内外丙辛壬在/丙角用兩
正弦在渾員内子甲丑在甲角兼用正弦切線/半在内半在外酉未乙用兩切線在渾員外
論曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安
從乙視之則丁乙象限與丁夘半徑視之成一線而辛
壬聨線甲丑正弦未乙切線皆在此線之上矣以其線
皆平安皆在赤道平面與赤道半徑平行故也是為/句線
[007-44a]
赤道平安則黄道之斜倚亦平其癸乙象限與癸夘半
徑從乙視之亦成一線而丙壬正弦子丑聨線酉乙切
線皆在此線之上矣以其線皆斜倚皆在黄道平面與
黄道半徑平行故也是為/弦線
黄赤道相交成乙角而赤道既平安則從乙窺夘卯乙
半徑竟成一㸃而乙丑壬夘角合成一角矣
諸句股形既同角而其句線皆同赤道之平安其弦線
皆同黄道之斜倚則其股線皆與赤道半徑為十字正
[007-44b]
角而平行矣是故形相似而比例皆等也其夘午庚倒/句股形為相
當之用與諸句股形/亦相似而比例等
又論曰丙辛壬形兩正弦丙辛/丙壬俱在渾體之内其理易
明子甲丑形甲丑正弦在渾體内子甲切線在渾體之
外已足詫矣酉未乙形兩切線酉乙/未乙俱在渾體之外雖
習其術者未免自疑厯書置而不言蓋以此耶今為補
説詳明欲令學者了然心目庶以用之不疑
用法
[007-45a]
假如有丙乙黄道距春分之度求其距緯丙甲法為半
徑癸夘與乙角之正弦癸巳若丙乙黄道之正弦丙壬
與丙甲距緯之正弦丙辛也
一 半徑全數 癸夘 弦
二 乙角正弦 癸巳 股
三 黄道正弦 丙壬 弦
四 距緯正弦 丙辛 股
若先有丙甲距度而求丙乙黄道距二分之度則反用
[007-45b]
之為乙角之正弦癸巳與半徑癸夘若欲用半徑為一/率以省除則為半
徑午夘與乙角之餘/割庚夘其比例亦同若丙甲距緯之正弦丙辛與丙乙
黄道之正弦丙壬也
一 乙角正弦 癸巳 半徑全數 午夘 股
二 半徑全數 癸夘 乙角餘割 庚夘 弦
三 距緯正弦 丙辛 股
四 黄道正弦 丙壬 弦
右丙辛壬形用法
[007-46a]
假如有甲乙赤道同升度求距緯丙甲法為半徑夘丁
與乙角之切線丁戊若甲乙赤道之正弦甲丑與丙甲
距緯之切線子甲也
一 半徑全數 卯丁 句
二 乙角正切 丁戊 股
三 赤道正弦 甲丑 句
四 距緯正切 子甲 股
若先有丙甲距緯而求甲乙赤道則反用之為乙角之
[007-46b]
切線戊丁與半徑丁夘或用半徑為一率則為半徑/夘午與乙角之餘切午庚若
丙甲距緯之切線子甲與甲乙赤道之正弦甲丑也
一 乙角正切 戊丁 半徑全數 卯午 股
二 半徑全數 丁夘 乙角餘切 午庚 句
三 距緯正切 子甲 股
四 赤道正弦 甲丑 句
右子甲丑形用法
論曰以上四法厯書所有但于圖増一夘午庚句股形
[007-47a]
則互視之理更明
假如有丙乙黄道距二分之度徑求甲乙赤道同升度
法為半徑夘癸與乙角之餘弦夘巳若丙乙黄道之切
線酉乙與甲乙赤道之切線未乙也
一 半徑全數 夘癸 弦
二 乙角餘弦 卯巳 句
三 黄道正切 酉乙 弦
四 赤道正切 未乙 句
[007-47b]
若先有甲乙赤道而求其所當黄道丙乙法為半徑丁
夘與乙角之割線戊夘若甲乙赤道之切線未乙與丙
乙黄道之切線酉乙也
一 半徑全數 丁夘 句
二 乙角正割 戊夘 弦
三 赤道正切 未乙 句
四 黄道正切 酉乙 弦
論曰以上兩條酉未乙形用法予所補也有此二法黄
[007-48a]
赤道可以自相求而正角弧形之用始備矣外此仍有
三弧割線餘弦之用具如别紙
十餘年前曽作弧三角所成句股書一册稿存兒輩
行笈中覓之不可得也庚辰年乃復作此至辛己夏
復得舊稿為之惘然然其理固先後一揆而説有詳
略可以互明不妨並存以徵予學之進退因思古人
畢生平之力而成一事良自不易世有子雲或不以
覆瓿置之乎康熙辛己七夕前兩日勿菴梅文鼎識
[007-48b]
是日也爲立秋之辰好雨生涼炎歊頓失稍簡殘帙
殊散人懐
[007-49a]
[007-49b]
甲乙丙正弧三角形即測量全義第七卷原圖稍為酌
定又増一酉未乙形
[007-50a]
[007-50b]
測員之用甚博非止黄赤也然黄道赤道南北極二分
二至諸名皆人所習聞故仍借用其號以便識别
案圖中句股形凡五皆形相似
其一癸巳夘形
以癸卯半徑為弦即黄道/半徑癸巳正弦為股即黄赤大/距弧之正
弦/巳夘餘弦為句即黄赤大距/弧之餘弦
其二戊丁夘形
以戊夘割線為弦即黄赤大距/弧之正割線戊丁切線為股即黄赤/大距弧
[007-51a]
之正/切線丁夘半徑為句即赤道/半徑
以上二句股形生於黄赤道之大距度乃總法也兩
句股形一在渾體之内一出其外同用夘角即黄道/心亦即
春分/角
其三丙辛壬形
以丙壬正弦為弦即黄經乙丙弧之正弦以丙夘黄/道半徑為其全數而夘壬其餘弦丙
辛正弦為股即黄赤距緯丙甲弧之正弦亦以丙夘/黄道半徑為其全數而辛夘其餘弦辛
壬横線為句
[007-51b]
法於赤道平面上作横線聨兩餘弦成夘壬辛平句
股形此形以距緯餘弦夘/辛為弦黄經餘弦夘/壬為股而
辛壬其句也此辛壬線既為兩餘弦平句股形之句
亦即能為兩正弦立句股形之句矣厯書以辛壬為
丙辛之餘弦誤也然則當命為何線曰此非八線中
所有乃立三角體之楞線也
其四子甲丑形
以子丑斜線為弦此亦立三角體之楞/線也非八線中之線子甲切線為股
[007-52a]
即黄赤距緯弧之正切線以赤道半/徑甲夘為其全數而子夘其割線也甲丑正弦為句即/赤
經乙甲弧之正弦亦以赤道半徑/甲夘為其全數而丑夘其餘弦也
其五酉未乙形
以酉乙切線為弦即黄經丙乙弧之正切線以黄赤半/徑夘乙為其全數而酉夘其割線也
酉未立線為股此亦立三角之楞/線非八線中之線未乙切線為句即赤/經乙
甲弧之正切線亦以黄赤半徑夘/乙為其全數而未夘其割線也
以上三句股形生於設弧之度第三形在渾體之内
第四形半在渾體之内而出其外第五形全在渾體
[007-52b]
之外
問既在體外其狀何如曰設渾圓在立方之内而以
兩極居立方底葢之心以乙春分居立方立面之心
則黄赤兩經之切線酉乙未乙皆在方體之立面而
未乙必為句酉乙必為弦于是作立線聨之即成
酉未乙句股形矣此一形厯書遺之予所補也詳/塹
堵測/量
論曰此五句股形皆同角故其比例等然與弧三角真
[007-53a]
同者乙角也
第一癸巳/夘形第二戊丁/夘形兩形皆乙角原有之八線即春秋
分角也其度則兩至之大距也
或先有角以求邊則以此兩形中線例他形中線得
線則得邊矣
或先有邊以求角則以他形中線例此兩形中線得
線則亦得角矣蓋夘角即乙角也○若欲求丙/角則以丙角當乙角如法求之
第三形丙辛/壬形以黄經之正弦丙/壬黄赤距度之正弦丙/辛為
[007-53b]
弦與股是以黄經與距緯相求
或先有乙角有黄經以求距緯用乙角實用/壬角下同
或先有乙角有距緯以求黄經
或先有黄經距緯可求乙角亦可求丙角
第四形子甲/丑形以黄赤距緯之切線子/甲赤經之正弦甲/丑為
股與句是以距緯與赤經相求
或先有乙角有赤經以求距緯用乙角實用/丑角下同
或先有乙角有距緯以求赤經
[007-54a]
或先有赤經距緯可求乙角亦可丙角
第五形酉未/乙形以赤經之正切未/乙黄經之正切酉/乙為句與
弦是黄赤經度相求
或先有乙角有黄經以求赤道同升度
或先有乙角有赤道同升以求黄經
或先有黄赤二經度可求乙角亦可求丙角
又論曰諸句股形所用之夘壬丑乙四角實皆乙角何
也側望則弧度皆變正弦而體心夘作直線至乙為夘
[007-54b]
壬丑乙線即半徑也今以側望之故此半徑直線化為
一㸃則乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣
[007-55a]
[007-55b]
癸丁為乙角之度即黄赤大距/二至緯度癸乙為黄道半徑丁乙
為赤道半徑戊丁為乙角切線癸巳為乙角正弦戊乙
爲乙角割線已乙為乙角餘弦癸巳乙戊丁乙皆句股
形其乙角即夘角
丙甲為設弧距度其正弦丙辛其切線子甲
丙乙為所設黄道度其正弦丙壬因側望弧度/正弦成一線偕距度
正弦丙辛成句股形其乙角即壬角
甲乙爲所設赤道同升度其正弦甲丑因側望弧度/正弦成一線偕
[007-56a]
距度切線子甲成句股形其乙角即丑角
酉乙為所設黄經切線未乙為赤道同升度切線此兩
線成一酉未乙句股形在體外真用乙角
正弧三角形求餘角法
凡弧三角有三邊三角先得三件可知餘件與平三角
同理前論正弧形以黄赤道為例而但詳乙角者因春
分角有一定之度人所易知故先詳之或疑求乙角之
法不可施於丙角兹復為之條析如左仍以黄道上過/極經圏之交角
[007-56b]
為/例
[007-57a]
假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角
則爲乙丙之正弦與乙甲之正弦若半徑與丙角之正
弦也
[007-57b]
假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角則為丙
甲之正弦與乙甲之切線若半徑與丙角之切線
[007-58a]
假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角則為乙
丙之切線與丙甲之切線若半徑與丙角之餘弦
[007-58b]
又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度則為
半徑與丙角之正弦若乙丙之正弦與乙甲之正弦
[007-59a]
或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度則以前率更之
為丙角之正弦與半徑若乙甲之正弦與乙丙之正弦
[007-59b]
又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度則為丙
角之切線與半徑若乙甲之切線與丙甲之正弦
[007-60a]
或先有丙甲距度而求乙甲同升度則以前率更之為
半徑與丙角切線若丙甲正弦與乙甲切線
[007-60b]
又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度則為半徑與
丙角餘弦若乙丙切線與丙甲切線
[007-61a]
或先有丙甲距度而求乙丙黄道則以前率更之為丙
角餘弦與半徑若丙甲切線與乙丙切線
[007-61b]
論曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求餘邊
亦如其用乙角也所異者乙角定為春分角則其度不變
丙角為過極經圏交黄道之角隨度而移交角近大距則/甚大類十字角
近春分只六十六度半弱中間交角/度度不同他形亦然皆逐度變丙角有時大於乙角有時
小於乙角乙角不及半象限則丙角大乙/角過半象限則丙角有時小故必求而得之
又論曰丙交角既隨度移而甲角常為正角何也凡球
上大圏相交成十字者必過其極今過極經圏乃赤道
之經線惟二至時則此圏能過黄赤兩極其餘則但過
[007-62a]
赤道極而不能過黄道極故其交黄道也常為斜角即/丙
角/交赤道則常為正角即甲/角
又論曰丙角與乙角共此三邊一乙丙黄道一乙甲/赤道一丙甲距度其
所用比例者亦共此三邊之八線三邊各有正弦/亦各有切線而所
成句股形遂分兩種可互觀也
乙角所成諸句股皆以戊丁夘為例
内角所成諸句股皆以亥辰夘為例
並如後圖
[007-63a]
[007-63b]
如圖丙角第一層句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也
在乙角兩正弦交于丙在丙角兩正弦交于乙皆弦與
股之比例而同弦不同股乙角丙角並以乙丙黄道正/弦為弦而乙角所用之股為
丙甲正弦丙角所用則乙甲/正弦皆正弦也而弦同股别
丙角第二層句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角
丙角並以一正弦一切線交于甲為句與股之比例而
所用相反乙角于乙甲用正弦于丙甲用切線丙角則/于乙甲用切線于丙甲用正弦皆乙甲丙甲
兩弧之正弦切/線而所用逈别
[007-64a]
丙角第三層句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙
角以兩切線聨于乙在丙角以兩切線交于丙皆弦與
句之比例而同弦不同句乙丙兩角並以乙丙切線為/弦而乙角以乙甲切線為句
丙角以丙甲切線為句/皆切線也而弦同句别
[007-65a]
球面弧三角形弧角同比例解
第一題
正弧三角形以一角對一邊則各角正弦與對邊之正
弦皆為同理之比例
[007-65b]
如圖乙甲丙弧三角形甲為/正角 法為半徑與乙角之正
弦若乙丙之正弦與丙甲之正弦更之則乙角之正角
與對邊丙甲之正弦若半徑與乙丙之正弦也又丙角
之正弦與其對邊乙甲之正弦亦若半徑與乙丙之正
弦也合之則乙角之正弦與其對邊丙甲之正弦亦若
丙角之正弦與其對邊乙甲之正弦
論曰乙丙兩角與其對邊之正弦既並以半徑與乙丙
為比例則其比例亦自相等而兩角與兩對邊其正弦
[007-66a]
皆為同比例
又論曰甲為正角其度九十而乙丙者甲正角所對之
邊也半徑者即九十度之正弦也以半徑比乙丙之正
弦即是以甲角之正弦比對邊之正弦故以三角對三
邊皆為同比例
第二題
凡四率比例二宗内有二率三率之數相同則兩理之
首末二率為互視之同比例即斜弧比例之所/以然故先論之
[007-66b]
假如有甲乙丙丁四率甲四/與乙八/若丙六/與丁十/二皆
加倍之比例也
又有戊乙丙辛四率戊二/與乙八/若丙六/與辛二十/四皆
四倍之比例也
此兩比例原不同理特以兩理之第二第三同為乙
八/丙六/故兩理之第一第四能互用為同理之比
例先理之第一甲四與次理之第四辛二十四若/次理之第一戊二與先理之四丁十二皆六倍
之比/例也
[007-67a]
[007-67b]
論曰凡二率三率相乘為實首率為法得四率今兩理
所用之實皆乙八/丙六/相乘四十/八之實惟甲四/為法則
得十二若戊二/為法則得二十四矣法大者得數小法
小者得數大而所用之實本同故互用之即為同理之
比例也
試以先理之四率更為首率其理亦同丁與辛若戊與/甲皆加倍比例
若反之令兩四率並為首率亦同甲與戊若辛與/丁皆折半比例並如
後圖
[007-68a]
[007-68b]
第三題
斜弧三角形以各角對各邊其正弦皆為同比例
[007-69a]
乙丙丁斜弧三角形任從乙角作乙甲垂弧至對邊分
元形為兩正角形甲為正角
依前正角形論各對邊之正弦與所對角之正弦比例
皆等
乙甲丁形丁角正弦與乙角正弦若半徑即甲角/正弦與丁
乙正弦是一理也
乙甲丙形丙角正弦與乙甲正弦若半徑與乙丙正弦
是又一理也
[007-69b]
兩理之第二同為乙甲第三同為半徑則兩理之首末
二率為互視之同比例故丁角之正弦與乙丙之正弦
若丙角之正弦與丁乙之正弦也
又如法從丁角作丁戊垂弧至對邊分兩形而戊為正
角則乙角正弦與丁丙正弦亦若丙角正弦與乙丁正
弦 又從丙作垂弧分兩形而壬為正角則乙角與丁
丙亦若丁角與乙丙
一 丁角正弦 丙角正弦
[007-70a]
[007-70b]
乙丙丁斜弧三角形丁為鈍角 法從乙角作乙甲垂
弧於形外亦引丙丁弧㑹於甲成乙甲丁虚形亦凑成
乙甲丙虚實合形甲為正角
[007-71a]
乙甲丁形丁角之正弦與乙甲邊若半徑與乙丁邊正
弦一理也 乙甲丙形丙角之正弦與乙甲邊若半徑
與乙丙正弦又一理也 准前論兩理之第二第三既
同則丁角正弦與乙丙正弦若丙角正弦與乙丁正弦
也
論曰丁角在虚形是本形之外角也何以用為内角曰
凡鈍角之正弦與外角之正弦同數故用外角如本形
角也
[007-71b]
若用乙角與丁丙邊則作丙庚弧於形外取庚正角其
理同上或作丁戊垂弧於形内取戊正角分兩形則如
前法並同
[007-72a]
用法
凡弧三角形不論正/角斜角但有一角及其對角之一弧則其
餘有一角者可以知對角之弧而有一弧者亦可以知
對弧之角皆以其正弦用三率比例求之
[007-72b]
假如乙丁丙三角形先有丁角及相對之乙丙弧則其
餘但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此
為角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可
求乙角此為弧求角也
一 丁角正弦 一 乙丙正弦
二 乙丙正弦 二 丁角正弦
三 丙角正弦 乙角正弦 三 乙丁正弦 丁丙正弦
四 乙丁正弦 丁丙正弦 四 丙角正弦 乙角正弦
[007-73a]
[007-73b]
厯算全書巻七
