[048-1a] 
比例尺式即度數尺也原名比例規以兩尺可/開可合有似作圓之器故亦可云規
用薄銅板或厚紙或堅木黄楊/木等作兩長股如圖任長一
尺上下廣如長八之一兩股等長等廣股首上角為樞
[048-1b]
以樞心為心從心出各直線以尺大小定線數今折中
作五線兩股兩面共十線可用十種比例之法線行相
距之地取足書字而止尺首半規餘地以固樞也用時
張翕㳺移
[048-2a]
比例尺又式
前式兩股相疊此式兩股相並股上兩用之際以為心
規餘地以安樞其一規面與尺面平而空其中其一剡
[048-2b]
規而入於彼尺之空令宻無罅也樞欲其無偏也兩尺
並欲其無罅也樞心為心與兩尺之合線欲其中繩也
張盡令兩首相就成一直線可作長尺或以兩尺横直
相得成一方角可作矩尺
[048-3a]
規式此本為畫圓之器尺算賴之/以取底數葢相湏為用者也
用銅或鐡亦如尺作兩股但尺式扁方此可圓也首為
[048-3b]
樞可張可翕末鋭以便于尺上取數也當其半腰綴一
銅條横貫之勢曲而長如割圓象限之弧與樞相應得
數後用螺釘固之
凡算例假如有言取某數為底線者並以規之兩鋭於
平分線上量而得之其用底線為得數者並以規取兩
尺上弦線相等之距于平分線上量而命之故規之兩
鋭可當横尺數度衍以横尺比量反不如用規之便利
而得數且真也
[048-4a]
第一平分線
此線為諸線之根取數貴多尺大可作一千然過宻
又恐其不清也故以二百為率
分法 如設一直線欲作百分先平分之為二又平分
[048-4b]
之為四又于每一分内各五分之則已成二十
分矣于是用更分法取元分四改為五分如甲/乙丙
有丙戊丁三㸃是元分之四也今/復匀作五分加己庚辛壬四㸃則元分與次
分之較如壬丙/及巳戊皆元分五之一亦即設線百分
之一分凖此為度而周布之即百分以成
解曰元分為設線百分為二十分之一即每一分内
函五分也今壬丙己戊既皆五分之一則甲壬己乙
皆五分之四亦即百分之四也又丙辛庚戊皆三而
[048-5a]
辛丁丁庚皆二也任用一度參差作㸃互相攷訂即
成百分匀度矣每數至十至百/皆作字記之 或取元分六復五
分之亦同何則元分一内函五分則元分四共函二
十分故可以五分之若元分六即共函三十分故亦
可五分之其理一也
用法一 凡設一直線任欲作幾分假如四分即以規
量設線為度而數兩尺之各一百以為弦乃張尺以
就度令設線度為兩弦之底置尺置尺者置不復動/故亦可云定尺下
[048-5b]
倣/此數兩尺之各二十五以為弦斂規取二十五兩㸃
間之底以為度即所求分數即四分中一分也以此/為度而分其線即成四
分/ 若求極微分如一百之一如上以一百為弦設
線為底置尺次以九十九為弦取底比設線其較為
百之一 若欲設線内取零數如七之三即以七十
為弦設線為底置尺次以三十為弦斂規取底即設
線七之三
謹按尺筭上兩等邊三角形分之即兩句股也兩
[048-6a]
句聫為一線而在下直謂之底宜也若兩尺上數
原係斜弦改而稱腰于義無取今直正其名曰弦
用法二 凡有線求幾倍之以十為弦設線為底置尺
如求七倍以七十為弦取底即元線之七倍若求十
四倍則倍得線或先取十倍更取四倍并之
用法三 有兩直線欲定其比例以大線為尺末之數
尺百即百/千即千置尺斂規取小線度于尺上進退就其兩
弦等數如大線為一百小線為三十七即兩線之比
[048-6b]
例若一百與三十七可約者約之約法以兩大數約/為兩小數其比例
不異如一百與三/十約為十與三
用法四 有兩數求相乗假如以七乗十三先以十㸃
為弦取十三㸃為底置尺次檢七十之等弦取其底
得九十一為所求乗數若以十為弦七為底置尺而/檢一百三十㸃之底得數亦
同/
論曰乗法與倍法相通故以七乗十三是以十三之/數七倍之是七个十三也以十三乗七是以七數十
三倍之是十三个/七也故得數並同
[048-7a]
用法五 有兩數求相除假如有數九十一七人分之
即以本線七十為弦取九十一為底置尺次檢十㸃
之弦取底必得十三為所求
又法以九十一為弦用規取七十為底置尺斂規取
一十為底進退求其等弦亦得十三如所求
論曰筭家最重法實今當以七人為法所分九十一/數為實乃前法以法數七為弦實數九十一為底又
法反之而所得並同何也曰異乗同除以先有之兩/率為比例筭今有之兩率雖曰三率實四率也徴之
于尺則大弦與大底小弦與小底兩兩相比明明四/率較若列睂故先有之兩率當弦則今所求者在底
[048-7b]
是以弦之比例例底也若先有之率當底則今所求/者在弦是以底之例例弦也但四率中原缺一率比
而得之固不必先審/法實殊為簡易矣
然則乗除一法乎曰凡四率中所缺之一率求而得/之謂之得數乗則先缺者必大數也故得亦大數除
則先缺者必小數也故得亦小數所不同者此耳是/故乗除皆有四率得尺筭而其理愈明亦諸家所未
發/也
假如有銀九十六兩四人分之法以人數取四十分
為底置銀數九十六兩為弦定尺斂規取一十分為
底進退求其等弦得二十四兩為每人得數
[048-8a]
又法取銀數九十六兩為底置一百分為弦定尺斂
規于二十五分等弦取其底亦得二十四兩為每人
數
又如有數一百二十三欲折取三分之一法以規取
三十分為底置一百二十三等數為兩弦定尺斂規
取一十數為底進退求其等數為弦必得四十一命
為三分之一如所求
用法六 凡所求數大尺所不能具則退位取之
[048-8b]
假如有數一百二十欲加五倍即退一位取一十二
為底以尺之一十㸃為兩弦定尺取兩弦五十㸃之
底即五/倍得六十進一位命所得為六百以一十二當/一百二十是
一而當十故進位命之也凡/用尺筭湏得此通融之法
又法以規取一十數為底于尺之一十二㸃為兩弦
一十二以當一百二十是一當/十也或二十四亦可為一當五定尺展規取五十數
以當/五倍為底進退求其等數之弦必得六十進位成六
百
[048-9a]
假如有銀十三兩每兩換錢一千二百文法退二位
以規取十二分當一千二百以尺/上一數當一百為底置一十㸃即/每
兩之/位為弦定尺然後尋一百三十㸃即十三/兩之位為弦展
規取其底得一百五十六分進二位命之得共錢一
十五千六百
又如有銀四兩每兩換錢九百六十文法作兩次乗
先乗六十取六數為底置一十㸃為弦定尺展規取
四十㸃之底得二十四次乗九百取九數為底置一
[048-9b]
十㸃為弦定尺展規取四十㸃之底得三十六進一
位併之得三八四末増一○為進位得三千八百四
十文
三二四/ 六 因每兩是九百六十故末位増○
三八四○/千百十文
假如有數一百二十欲折取三分之一法以規取六
十折半/法也為底置九十分為弦定尺然後尋兩弦之三
十分㸃即三/之一取其底于本線比之必二十命所得為
[048-10a]
四十加倍法也先折/半故得數加倍凡所用數在一十㸃以内近心
難用則進位取之如前條所設宜用六數九數為底
其㸃近心取數難清即進位作六十取數用之是進
一位也但先進一位者得數後即退一位命其數此
可于前假如中詳之用尺時有退位得數後進位命/其數用尺時有進位得數後退
位命其數其理相/通故不另立假如或先進二位者得數亦退二位或
先加倍者得數折半並同一法
用法七 凡四率法有中兩率同數者謂
[048-10b]
之連比例假如有大數三十/六小
數二十/四再求一小數與此兩數
為連比例法以大數為弦如辛/甲
小數為底如辛/巳定尺再以辛巳
底為弦如甲/丁而取其底如丁/戊其
數必十/六則三十六與念四之比
例若念四與十六也其比例為/三分損一若先有小數十/六大數
二十/四而求連比例之大數則以小數為底如丁/戊大數
[048-11a]
為弦如丁/甲定尺再以丁甲弦為底如辛/巳取其弦如辛/甲
其數必三十六則十六與念四若念四與三十六也
其比例為/三分増一他皆倣此原書有斷比例法今按斷比例/即古法之異乗同除西法謂之
三率前各條中用尺取數皆/異乗同除之法故不更立例
用法八 凡句股形有句有股有弦共
[048-11b]
三件先有兩件而求其不知
之一件法以尺作正角取之
假如有句八/尺股十五/尺欲知其
弦法以規量取八十㸃為底
一端指尺上之六十四㸃一
端指又一尺之四十八㸃以
定尺則尺成正角乃于尺上
取八十㸃為句又于一尺上
[048-12a]
取一百五十㸃為股張規以就所識句股之兩㸃必
一百七十退一位得弦十七尺如所求取句股數時/原進一位故
所得弦數退一/位命之説見前
若先有弦十七/尺股十五/尺求其句則以規取一百七十㸃
為句股之弦乃以規端指一百五十㸃以餘一端又于
一尺上尋所指之㸃必八十也如上退位得句八尺
或先有弦十七/尺句八/尺求其股亦以規取一百/七十而一端指
八/十尋又一端之所指必得一百/五十命一十/五尺為股如所求
[048-12b]
凡雜三角形内無正角不可以句股
算法先作角假如先有一角及角
旁之兩邊求餘一邊法于平分線
任用一籩/如甲乙取數為底分圓線六/十度為
兩弦定尺以規取所設角之底為平分線上任用/甲乙邊等度之底定
尺則尺間角如所設如乙/角乃于兩尺上依所設取角
旁兩邊之數于兩尺各作識如甲乙/丙乙遂用規取斜距
之底如甲/丙即得餘一邊如所求
[048-13a]
又法 假如乙甲丙三角
形有甲角五十三度/○七分甲乙
邊五十/六尺甲丙邊七十/五尺而求
乙丙邊法以規取一百分
為分圓線上六十度之底斂規取五十三度强之底
移于平分線上作百分之底定尺乃于尺上取五十
六㸃如甲/乙又一尺上取七十五㸃如甲/丙乃以規取兩
㸃斜距之底于尺上較之即得六十一尺如乙/丙命為
[048-13b]
所求邉分圓線/見後
用法十 有小圖欲改作大幾倍之圖用前倍法假如
有小圖濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二為十
㸃之底定尺展規取五十㸃之底必得六十命為六
尺如所求
用法十一 平圓形周徑相求法于平分線上作兩識
以一百八十八半弱上為周六十為徑各書其號假
如有徑七十/一求周法以規取七十一加于徑㸃為底
[048-14a]
定尺展規取周㸃之底即得周二百二十三如所求
以周求徑/反此用之
用法十二 求理分中末線法于線上定三㸃于九十
六定全分五十九又三之一
為大分三十六又三之二為
小分假如有一直線一百四/十四
欲分中末線即以設線加于
全分㸃為底取其大小分㸃之底即得八十/九强為大分五/十
[048-14b]
五/弱為小分
按平線上既作周徑之號若又作此則太繁不如另/作一線其上可寄五金線也 又按原書全分七十
二大分四十二又三之一小分二/十七又三之二大有訛錯今改定
以上十二用法姑舉其概其實平分線之用不止于
是善用者自知之耳
[048-15a]
第二平方線舊名分面線凡平方形有積有邉積謂之也/冪亦謂之面邊線亦謂之根即開平方法
原為一百不平分今按若尺小欲其清則但為五十
分亦可假如有積六千四百則以平分線之二十自
乗得四百于積為十六倍之一若置二十分於一㸃
為底求十六㸃之底則得方根八十或置于二㸃為
[048-15b]
底則求三十二㸃之底或置于三㸃為底則求四十
八㸃之底皆同
分法有二 以算一以量
以算分
算法者自樞心甲/任定一度命為十分如甲/乙即平方
[048-16a]
積一百分之根今求加倍平方二百分之根為十四又
念九之四即于甲乙線上加四分强如/丙命甲丙為倍積
之根求三倍則開平方三百分之根得十七又三十五
之十一即又于甲乙線上加十分半弱如/丁即甲丁為三
倍積之根求四倍則平方四百之根二十即以甲乙倍
之得甲戊為四倍積之根五六七以上並同按用方根/表甚簡易
以量分
以任取之甲乙度作正方形如丙/乙甲乃于乙甲横邊引長之
[048-16b]
以當積數丙乙直邊引長之作垂線以當根數如求倍
積之根即于横
線上截丁乙為
甲乙之倍次平
分甲丁於戊戊為心甲為界作半圈截垂線于巳即己
乙為二百分之邊求三倍則乙丁三倍于甲乙四倍以上並同
又㨗法 如前作句股形法定兩尺間成正方角如甲
乃任于尺上取甲乙命為一㸃而又于一尺取甲丙度
[048-17a]
與甲乙相等即皆為一百之根次取乙丙底加于甲乙
尺上為二百之根甲丁又自丁至丙作
斜弦以加于甲乙尺上為三百之根甲
戊又自戊至丙作弦以加于甲乙尺上
為四百之根甲已如此遞加即得各方
之根其加法俱從尺心起如求得丙乙即以丙加甲/乙加丁成甲丁他皆倣此
試法 甲乙為一正方形之邊倍其度即四倍方積之邊
否即不合三倍得九倍方積之邊四倍得十六五倍得
[048-17b]
二十五又取三倍之邊倍之即十二倍之邊四其/三也再加
一倍得二十七倍之邊九其/三也再加倍得四十八倍之邊
十六其/三也再加倍得七十五倍之邊二十五/其三也若以五倍之邊
倍之得二十倍之邊四其/五也再加倍得四十五倍之邊
九其/五也再加倍得八十倍之邊十六其五也如凡言倍其度/者線上度也 正方四百分
之邊二十分甲乙正方一百分之邊十分其大為一倍也/言幾倍方積者積數也如邊二十者積四百即尺上所書
用法一 有平方積求其邊即開/平方法先其設數與某數能
相為比例得幾倍如法求之假如有平方積一千二百
[048-18a]
二十五尺欲求其根以約分法求得
二十五為設數四十九之一即以規
于平分線取五㸃為平方線上一㸃
之底定尺展規于四十九㸃取其底
即得一邊三十五尺為平方根積二十五方根五加四/十九倍為積一千二百
二十五方/根三十五 或用四十九為設數一千二百/二十五尺二十五之
一即以規取七㸃為平方一㸃之底而取平方二十五
㸃之底亦得方根三十五如所求積四十九方根七加/二十五倍為積一千
[048-18b]
二百二十五則其方根三十五又法若無比例可求/者但以十分為一㸃之底定尺有假如在用法七
用法二 凡同類之平面形可併為一大形或方或圓/或三角多
邊等形但形相/似即為同類假如有平面正方四形求作一大正
方形與之等積其第一形之冪積為二第二形之積
為三第三形之積四有半第四形之積六又四之三
法先併其積得十六叉/四之一乃任取第一小形之邊為
底二㸃為弦定尺若用第二形之邊為底/定尺即用三㸃為弦而于十六㸃
又四之一取其底為大形邊其面積與四形總數等
[048-19a]
若但有同類之形而不知面積亦
不知邊數則先求其積之比例如
甲乙丙丁方形四法以小形甲之
邊為底平方線第一㸃為弦定尺
次以乙形邊為底進退求等數得
第二㸃外又五分之一即命其積
為二又五之一此與小形一之/比例不拘丈尺次
丙形邊為底求得二又四/之三丁形邊
[048-19b]
得四又六/之五并諸數及甲形一得十/又
六十分之/四十七約為五之/四弱向元定尺上
尋十㸃外十一㸃内之距取其五
之四為等數之兩弦即十/一弱用其底
為大方形邊其面積與四形併數
等
此加形法也圓面及三角等面凡/相似之形並可相併其法同上
[048-20a]
用法三 平面形求作一同類之他形大于設形幾倍
以設形之邉為/一㸃之底定尺 假如有正方形面
積四百其邉二十今求别作一方形
其容積大九倍法以設形邉二/十為平
方線一㸃之底定尺而取平方九㸃等數之底得六/十
如所求邉六十其方積三千六百/以比設形積為大九倍
用法四 平面形求别作一同類之形為設形幾分之
幾以設形之邉為命分/定尺而于得分取數 假如有平方形積三千六
[048-20b]
百其邉六十今求作小形為設形九之
四法以設形邉六/十為平方第九㸃之底
定尺而取第四㸃之底得四/十如所求邉/四
十其積一千六百以比設形積為/九之四也九為命分四為得分
此減積法也圓面三角等俱同一法
用法五 有兩數求中比例即三率連比/例之第二率
假如有二與八兩數求其中比例法先以大數為平
方線八㸃之底而取二㸃之底得四如所求
[048-21a]
二與四如四與八皆加倍之比例故四為
二與八之中率
用法六 有長方形求作正方形 假如長方形横二
尺直八尺如上圖求得中比例之數為四尺以作正
方形之邊則其面積與直形等
直八尺横二尺 其積一十六尺
方形各邊並四尺其積亦十六尺
用法七 有設積求其方根而不能與他數為比例則
[048-21b]
以一十數為比例
假如平積二百五十五用十數比之為二十五倍半
即取十數為平方線一㸃之底而取二十五㸃半之
底得十六弱為方根十六自乗積二百五十六今只/欠一小數故命之為十六弱
[048-22a]
第三更面線
[048-22b]
凡平面形方必中矩圓必中規其餘各形並/等邊等角故皆為有法之形而可以相求
分法
[048-23a]
置公積四三二九六四以開方得正方形之根六五
八三邊形之根一千五邊形之根五○二六邊形之
根四○八七邊形之根三四五八邊形之根二九九
九邊形之根二六○十邊形之根二三七十一邊形
之根二一四十二邊形之根一九七圜徑七四二以本
線為千平分而取各類之數從心至末取各數加本類之號
用法一 有平面積求各類之根凡三角及多邊各平/面形其邊既等故並
以形之一邊為根/圓形則以徑為根法先以設數于平方線上求其正
[048-23b]
方根以此為度於更面線之正方號為底定尺次于
各形之號取底即得所求各形邊
假如有平面三等邊形積二千七百七十一寸欲求
其邊法以設積于平方線上如法開其平方根依前/卷用
法七以設數為十數之二百七十七倍強各降一位/命為一數之二十七倍又十之七强乃以一數為平
方一㸃之底定尺而于其二十七㸃十之七强/取底數得五寸二六進一位作五尺二寸半强以所
得方根為更面線正方號之底定尺而取三等邊號
之底得八尺為三等邊形根如所求
[048-24a]
用法二 有平面形不同類欲相併為一大形法先以
各形邊為更面線上各本號之底定尺而取其正方
號之底作線為所變正方形之邊次以所變方邊于
分面線上求其積數而併之為總積
假如有甲三/角乙五/邊丙三形欲相併先以甲邊為三角
號之底定尺而取其正方號之底作線于甲形内如/此
則甲形已變/為正方下同書其數曰十次以乙邊為五邊號之底
如前取其平方底向平方線求之得二十一半其法/以甲
[048-24b]
邉為平方十㸃之底定尺而以乙/所變方邊進退求等度之弦命之即
于乙形作方底線書之次以丙圓徑
為平圓號之底如前求得十六弱併
三數得四十七半弱為總積此因三/形之邉
無數姑以小形命十數定尺而所/得各方積並小形十數之比例
若三形内先知一形之面積即用其
所變方邉定尺則所得皆真數如上
三形但知丙形之積十六或十六尺/或十六寸
[048-25a]
等/如法以丙形邉變方邊于平方線十六㸃為底定
尺餘如上法求之亦必得甲為十數乙為二十一半
總積四十七半但前條所得是比例之數比例雖同
而尺有大小故以此所得為真數也
末以總數于原定尺上尋平方線四十七㸃半處取
其底度為平方邉則此大平方形與三形面積等
若欲以總積為五邉形則以所得大平方邉為更面
線正方號之底定尺而于五邉形之號取其底即所
[048-25b]
求五邊形之一邉若欲作三角或/圓形並同一法
用法三 有平面形欲變為他形如上法以本形邉為
本號之底定尺而取所求他形號之底
假如有三角形欲改平圓則以所設三角形之邉加
于本尺三角形之號為底定尺而取平圓號之底求
其數命為平圓徑所作平圓必與所設三角形同積
用法四 有兩平面形不同類欲定其相較之比例如
前法各以所設形變為平方
[048-26a]
假如有六邉形有圓形相較即如法各變為平方求
其數平圓數二十六邉數三十六即平員為六邉形
三十六之二十以二十減三十六得十六為兩形之
較
[048-27a]
第四立方線舊名分體線無凡平方形如棊局其四邉/横直相等而 高與厚之數立方則如方
櫃有横有直又有髙而皆相等平方之積曰平積亦/曰面積亦曰冪積如棊局中之細分方罫立方之積
曰體積亦曰立積並/如骰子之積累成方
舊圖誤以尺樞心甲書于一㸃上今改正甲乙一亦/即一十則其内細數亦不平分舊圖作十平分亦誤
[048-27b]
今删/去
分法有二一以算一以量
以算分 從尺心甲任定一㸃為乙則甲乙之度當
十分邉之積為一千十分自乗之再乗之即成一千/假如立方一尺其積必千寸紀
其號曰一次加一倍為立積二千開立方求其根得
十二又三之一即于甲乙上加二又三之一為甲丙
紀其號曰二再加一倍立積三千開立方得數紀三
以上並同
[048-28a]
㨗法 取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍體
邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍體邉
又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍體邉再加
如圖
右加法與開立方數所差不逺然尾數不清難為/定率姑存其意
又㨗法用立方表
[048-28b]
以量分 如後圖作四率連比例而求其第二盖元
體之邉與倍體之邉為三加之比例也假如邉為一/倍之則二若
求平方面則復倍之為四是再加之比例也今求立/方體必再倍之為八故曰三加 三加者即四率
連比/例也
幾何法曰第二線上之體與第一線上之體若四率
連比例之第四與第一第一為元邉線第二為加倍/之邉線第三以邉線自乗為
加倍線上之面第四以邉線再自乗為加倍線上之/體今開立方是以體積求邉線即是以第四率求第
二率/也
[048-29a]
假如有立方體積又有加倍之積
法以兩積變為線元積如辛庚/倍積如辛巳作
壬巳辛庚長方形次于壬巳壬庚
兩各引長之以形心戊/為心作圈
分截引長線于子于午作子午直
線切辛角如不切辛角必漸試/之令正相切乃止即辛庚一/率午庚二/率子
巳三/率己辛四/率為四率連比例末用第二率午庚為倍
積之一邊其體倍大于元積
[048-29b]
若辛巳為辛庚之三倍四倍則午庚邉上體積亦大
于元積三倍四倍以上/倣此
解四率連比例之理
試于辛㸃作卯辛為子午之垂線次
用子壬度從午作卯午直線截卯辛
線于卯又從卯作直線至子又從辛
㸃引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成
各句股形皆相似而比例等
[048-30a]
卯辛午句股形從辛正角作垂線至/丑分為兩句股形則形相似而比例
等為午丑辛形以午丑為句丑辛為/股辛丑卯形以丑辛為句丑卯為股
則午丑與丑辛若丑辛與丑卯為連/比例也 卯辛子句股形從辛正角
作垂線至辰分兩句股形亦形相似/而比例等 卯辰辛形卯辰為句辰
辛為股辛辰子形辰辛為句辰子為/股則卯辰與辰辛若辰辛與辰子
亦連比例也而辰辛即丑卯故合之/成四率連比例
一率 辛庚 即午丑
二率 午庚 即丑辛 亦即辰卯
[048-30b]
三率 子巳 即辛辰 亦即丑卯
四率 己辛 即辰子
試法 元體邊倍之即八倍體積之邉若三之即二十
七倍之邉四之即六十四倍體積之邉五之即一百
二十五倍體積之邉
又取二倍邉倍之得十六八其/二也再倍之得一二八倍
體積之邉六十四/其二也
三加比例表平方立方同理即連比例/
[048-31a]
第一率 第二率 第三率 第四率
按第一率為元數第二率為線即根數也第三率為
面平方冪積也第四率為體立方積也開平方開立
[048-31b]
方並以積求根故所用者皆二率也比例規觧乃云/本線上量體任
用其邉其根其面其對角線其/軸皆可其説殊不可曉今删去
用法一 有立積求其根即開立方/
假如有立方積四萬法先求其與一千之比例則四
萬與一千若四十與一即取十數為分體線上一㸃
之底定尺而取四十㸃之底得三十四强即立方之
根説見/平方
用法二 有兩數求其雙中率謂有連比例之第一與/第四而求其第二第三
[048-32a]
法以小數為一率用作本線一㸃之底而取大數之
底為二率既有二率可求三率
假如有兩數為三與二十四欲求其雙中率法約兩
數之比例為一與八即以小數三為本線一㸃之底
定尺而于八㸃取底得六為第二率末以二率四率
依法求中率得十二為三率
一率三 二率六 三率十二 四率二十四
用法三 設一體求作同類之體大于設體為幾倍此/乗
[048-32b]
體之/法
假如設立方體八千其邉二十求作加八倍之體為
六萬四千問邉若干法以設體根二十為本線一㸃
之底定尺而取八㸃之底得四十即大體邉如所求
用法四 有同類之體欲併為一法累計其積而併之
為總積求其根即得
假如有三立方體甲容一十乙容十三
又四之三丙容十七又四之一併得四
[048-33a]
十一即以甲容一十為本線一㸃之底
定尺而取四十一㸃之底為總體邉如
所求 若設體無積數則以小體命為
一十而求其比例然後併之
用法五 有兩同類之體求其比例與其較此分體/之法
假如甲丙兩立方體欲求其較而不知容積之數法
以甲小體邉為一㸃之底定尺而以丙邉為底進退
[048-33b]
求其等數如所得為九即其比例為九與一以一減
九其較八即于八㸃取底為較形之邉
用法六 有立方體欲别作一體為其幾分之幾
假如有立方體欲另作一體為其八之五則以設體
邉為本線八㸃之底定尺而于五㸃取底為邉作立
方體即其容為設體八之五
[048-34a]
第五更體線舊名變體線/
體之有法者曰立方曰立圓曰四等面曰八等面曰
十二等面曰二十等面凡六種外此皆不能為有法
之體
[048-34b]
六等面體各面皆正方即立方也有
十二棱八角測量全義曰設邊一百
求其容為一○○○○○○
渾圓體亦曰球體即立圓也幾何補
編曰同徑之立方積與立圓積若六
○○○○○○與三一四一五九二
[048-35a]
設徑一百求其容為五二三五九八
此三角平面形相合而成有六稜四
角測量全義曰設邊一百求其容為
一一七四七二半
[048-35b]
此體各面亦皆三等邊形有十二稜
六角測量全義曰設邊一百求其容
為四七一四二五有竒
[048-36a]
此體各面皆五等邊有三十稜二十
角測量全義曰設邊一百求其容為
七六八六三八九
[048-36b]
此體各面亦皆三等邊有三十稜十
二角按幾何補編二十等面體設邊
一百其積二百一十八萬一八二八
測量全義作邊一百容五二三八○
九相差四倍故今不用
分法
置公積百萬依算法開各類之根則立方六等面體
[048-37a]
之根為一百四等面體之根為二○四八等面體之
根為一二八半十二等面體之根為五○半强二十
等面體之根為七七圓球之徑為一二四原本十二/等面根五
○二十等面根七六圓徑一/二六今並依幾何補編改定 因諸體中獨四等面
體之根最大故本線用二○四平分之從心數各類
之根至本數加字
用法一 有各類之立體以積求根即開各類有/法體之方
法皆以設積于立方線求其根乃移置更體線求本
[048-37b]
號之根即得
假如有十二等面體其積八千問邉若干法以一千
之根十為立方一㸃之底定尺而取八㸃之底得二
十為所變立方之根次以二十為本線上立方號之
底而取十二等面號之底得一十○强即十二等面
之一邉他倣/此
用法二 有各類之立體以根求積 法先以所設根
變為正方根乃于立方線求其積
[048-38a]
假如有二十等面體其邉三十一弱問積法以根三
十一弱為本線二十等面號之底定尺而取立方號
之底得四十弱為所變立方之邉次于立方線以一
十為一㸃之底而以四十進退求等數得十/六㸃命其
積一萬/六千如所求邉一十其積一千則/邉四十積一萬六千
用法三 有不同類之體欲相併為一此以體相加之/法並變為正方
體積即/可相併
假如有三立體甲渾圓體徑一百/二十四乙二十等面體邉/七
[048-38b]
十/七丙十二等面體邉五十/○半欲相併用前條法各以積
變為立方積則三體之積皆一百萬併之得三百萬
如所求
用法四 有不同類之兩體求其比例與其較此以體/相减之
法/法各變為立方體即可相較以得其比例並同更
面線法
[048-39a]
第六分圓線即各弧度之通弦也舊名分弦線亦曰分圈/
分法有二一以量一以算
[048-39b]
以量分 法作半方形如甲乙丙令甲丙斜弦與本線
等長以乙方角為心甲為界作象限
弧如甲丁丙乃勻分之為九十度各
識之次從甲㸃作直線至各度移入
尺上識其號 若尺小可作六十度
即本線之長為六十度號 若尺大可作一百八十
度即本線之半為六十度號
以算分 法用正弦表倍之為倍度之通弦 假如求
[048-40a]
六十度通弦即以三十度之正弦五○○/○○倍之得一/○
○○/○○即六十度之通弦他皆若是
試法十八為半周十之一即全圈二/十之一也三十六為半周五
之一即全圈/十之一四十五為半周四之一即全圈/八之七十二
為半周五之二即全圈/五之一九十為半周之半即全圈四/之一謂之
象/限百二十度為半周三之二即全圈/三之一
用法一 有圓徑求若干度之弧以半徑當六十度取
之
[048-40b]
假如有甲乙丙全圈有甲丙徑求五十
度之弧即以甲丙徑半之于丁以甲丁
半徑為本線六十度之底定尺而取五十
度之底如甲乙直線以切圓分即得甲戊乙弧為五
十度如所求
用法二 若以弧問徑則反之
如先有弧分如甲戊乙為五十度而問全徑法從弧
兩端聫之作直線如甲/乙用為本線五十度之底定尺
[048-41a]
而取六十度之底為半徑甲/丁倍之得全徑甲/丙
用法三 直線三角形求量角度
法以角為心任用規截角旁兩線作通弦如法得角
度
假如甲丙乙三角形不知角法任用甲丁度以甲為
心作虚圈截甲丙線于丁截甲乙線于
戊次作丁戊直線次即用甲丁原度以
乙為心如法截甲乙于辛截丙乙于庚
[048-41b]
作辛庚直線末以甲丁為六十度之底定尺乃用丁戊
為底進退求其等度之號得甲角之度用辛庚為底
亦得乙角之度合兩角減半周得丙角度
如甲角六十五乙角四十則丙角必七十五
用法四 平面等邉形求其徑
假如有五等邉平面形欲求徑作圖即對角輳/心直線法以
設邉為分圓線七十二度之底而取其六十度之底
為半徑以作平圓末以原設邊為度分其周為五平
[048-42a]
分即成五等面如所求他等邉/形並同
五等邉形有一邉如丙乙如法求
得乙甲半徑以甲為心乙為界作
平圓而以丙乙邉度分其圓得丁
戊己等㸃作線聫之即成五等邉形而所作圓即外
切之圓
[048-43a]
第七正弦線舊名節氣線以其造平儀時有分節氣之/用也然正弦在三角法中為用甚多不止
一事不如直言/正弦以免掛漏
正弦線不平分亦近樞心大而漸小與分圓同
分法 全尺為一百平分尺大可作一千于正弦表取
[048-43b]
數從樞心至各度分之每十度加號
簡法 第一平分線可當此線其線兩傍一書平分號
一書正弦號
又法 分圓線可當此線以分圓線兩度當正弦一度
紀其號
假如分圓六十度齘即紀正弦三十但分圓之號直
書則正弦横書以别之
[048-44a]
解曰凡正弦皆倍度分圓之半故其比例等然則分
圓之一度即正弦之半度而半度亦可取用為尤便
也
如圖甲乙為通弦甲丙乙丙皆正弦
用法一 有設弧求其正弦法以九十度當半徑
假如有七十五度之弧求正弦即以本圈半徑為正
[048-44b]
弦線九十度之底定尺而取七十五之底為正弦如
所求
用法二 有弧度之正弦數求徑數則以前條反用之
假如有七十五度之正弦數即用為本線七十五度
之底定尺而取其九十度之底得半徑數
用法三 句股形有角度有弦求句求股法以弦當半
徑正弦當句與股
假如句股形之弦二丈有對句之角
[048-45a]
三十度即取平分線之二十當弦數
為正弦線九十度之底而取三十度
之底得一十即其句一丈
又於其角之餘弦即六十/度正弦取底得一十七又/三之二弱即其股
為一丈七尺/三寸二分
若以句求弦則反之如句一丈其句與弦所作之角
為六十度其餘角三十度即取一十數為三十度之
底定尺而取九十度之底得二十命其弦二丈
[048-45b]
用法四 三角形以邉求角 假如三角形有乙甲邉
甲丙邉及丙角度而求乙角法以乙甲
邉數為丙角正弦之底定尺而以甲丙
邉為底進退求其等度取正弦線上號為乙角度如
所求
用法五 三角形以角求邉
假如三角形有戊角度己角度及庚己邉而求庚戊
邉法以庚己邉為戊角正弦之底定尺而取己角正
[048-46a]
弦之底得數即為庚戊邉如所求 餘
詳三角法舉要
用法六 作平儀求太陽二至日離赤道緯度
如圖以十字分大圓直者為两
極横者為赤道横直交於圓心
即地心也赤道即春秋分日行
之道也地心至兩極半徑為正
弦線九十度之底定尺取二十
[048-46b]
三度半之底于地心上下各作㸃于直線于此㸃作
横線與赤道平行為二至日道近北極者夏至近南
極者冬至也
又求作各節氣日道
法先求黄道線
法于夏至之一端作斜線過地心至冬至之又一端即成
黄道日行其上一嵗一周天者也以黄道半徑為九十度
之底定尺每十五度正弦取底移至黄道半徑上並從地/心起度
[048-47a]
於地心上下各識之即各節氣日躔黄道上度也或/三
十度取底則/所得皆中氣
[048-47b]
乃自黄道上各㸃作直線並與赤道平行即各節氣
日行之道此與分至日道皆東升西没一日一周者
也其各線兩端
抵大圓處即各
節氣赤道緯度
也春分以後在
赤道北秋分以
後在赤道南
[048-48a]
試法于二至日道兩端作横線聫之如甲/乙次以此横
線之半為度如丙/乙過赤道處如/丙為心作半圈于大圓
之上如乙戊/甲半圓亦如法作半圈于下兩半圈各匀分十
二分作識若但求中氣/可分六分上下相向作直線聫之即必
與先所作日行道合為一線 又以甲丙為正弦九
十度之底定尺而于其各正弦取底亦即與原定日
道緯度線合如丙辛三十度之正弦也與赤道旁第/一緯線合丙丁六十度之正弦也與第
二緯線合左右/上下考之並同
[048-48b]
用法七 定時刻仍用平儀/
法以平儀上赤道半徑為正弦線九十度之底定尺
而於各時刻距卯酉之度取其正弦于赤道作識過/兩
極軸線處即夘正酉正也距此而上三十度午前為/辰正午後為申正距此而下三十度子前為戌正子
後為寅正距此而上六十度午前為巳正午後為未/正距此而下六十度子前為亥正子後為丑正至圓
周處上為午/正下為子正即春秋分之時刻也欲作各時初正及
刻凖此求之並以正弦為用每時分初正各加距十/五度初正又各分四刻
每刻加距三度又四分/之三並取正弦如前法又以二至日道之半徑為正
[048-49a]
弦九十度之底定尺如
法取各正弦作識即二
至之時刻也 末以分
至線上時刻作弧線聫
之即得各節氣之時刻
凖此論之平儀作時刻亦用正弦比例規觧以正
弦名節氣線切線名時刻線區而别之非是
[048-50a]
第八切線舊名時刻線今按平儀時刻原用正弦惟以/日景取髙度定時刻斯用切線耳又如渾盖
通憲等法亦皆切線其用/甚多故不如直名切線
切線不平分先小漸大至九十度竟平行無界故只
用八十度或只作六十度亦可
[048-50b]
分法 簡切線本表八十度之切線五六七即于尺上
作五六七平分次簡各度數分之逢十加識
用法一 三角形求角
假如乙甲丁三角形求乙角任截角
旁線于丙得乙丙十寸自丙作垂線
戊丙量得七寸次用十數為切線四十五度之底定
尺而以戊丙七數為底進退求等度得三十五度為
乙角
[048-51a]
用法二 求太陽地平上髙度用直表/
法曰凡地平上直立之物皆可當表以表高數為切
線四十五度之底定尺而取表影數為底進退求等
度得日髙度之餘切線
假如表髙一丈影長一丈五尺法以丈尺變為數用
一十數當表髙為切線四十五度之底定尺次以一
十五數當影長為底進退求等度得五十六度十九
分為日髙之餘度以減九十度得日髙三十三度四
[048-51b]
十一分
癸丙地平上日高度與壬辛
等其餘度癸丁為日距天頂
與戊辛等甲戊為表長其影
戊已乃日距天頂之切線在
日高癸丙為餘切線也
用法三 求太陽髙度用横表
植横木于牆以候日影即得倒影為正切線之度
[048-52a]
假如横表長一尺倒影在墻壁者長一尺五寸法用
十數當横表為四十五度之底定尺次以十五數當
影長進退求等度得五十六度十九分即命為日
高之度
凡亭臺之内日影可到者量其簷際之深可當
横表
卯寅牆 子甲為横表
太陽光從丁過表端甲射丑成子丑倒影丁丙為
[048-52b]
日在地平上髙度與午子度等故以子丑倒影為日
髙度之正切線也
按直表之影低度則影長髙度則漸短日度益髙則
[048-53a]
影極短故以餘切線當直影前圖/是也横表之影低度則
影短髙度則漸長日度益髙則影極長故以正切線
當倒影後圖/是也比例規觧乃俱倒説今正之
用法四 求北極出地度分 假如江寧府立夏後九
日午正立表一丈測得影長為
二尺四寸法以一百數當表髙
為切線四十五度之底定尺而
以二十四數為底進退求等數
[048-53b]
得一十三度半如法以減九十度得七十六度半為
日出地平上髙度簡黄赤距度表是日太陽北緯一
十九度以減日髙度得赤道髙五十七度半轉減九
十度得北極髙三十二度半㨗法以直表所得一十
三度半加太陽北緯十九度即得三十二度半為北
極髙度
解曰直表所得太陽距天頂度也加北緯即赤道距
天頂度亦即北極出地度
[048-54a]
又如順天府立春後四日如法
用横表三尺得倒影二尺一寸
依切線法求得日髙三十五度
簡表得本日太陽南緯一十五
度以加日髙度得赤道髙五十
度以減九十度得北極髙四十度
[048-55a]
第九割線舊名表心線今按割線非表心又割線之/用甚多非只作日晷一事故直名割線為
是/
割線不平分先小後大並與切線略同故亦只作八
十度或只作六十度亦可
[048-55b]
分法 用割線本表八十度之割線五七五平分之其
初㸃與切線四十五度等次依表作度加識
用法一 三角形以割線求角
假如有甲乙丙三角形求甲角法任
于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂
線如戊丁截又一邉于丁得丁甲十
九寸次以十數為割線初㸃之底定尺而以十九數
為底進退求等數得五十八度一十七分為甲角之
[048-56a]
度
用法二 作平面日晷兼用割切二線/
法曰先作子午直線卯酉横線十字相交于甲以甲
為正午時從甲左右儘横線盡處為度于切線八十
二度半為底定尺次于本線七度半取底向卯酉横
線上識之自甲㸃起為第一時如甲丙甲乙次每加
七度半取底如前作識為各時分如七度半加之成/十五度即第二時
又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五/度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八
[048-56b]
八十二度半合/線末元定之㸃若逓加三
度四十五分而取底作識
即每時四刻全矣按每七/度半加
㸃乃二刻也今每三度/四十五分則一刻加㸃
訂定法曰横線上定時刻
訖次取甲交㸃左右各十
二刻之度即元定四十五/度之切線亦即
半徑/全數為割線上北極髙度之底定尺而取割線初㸃
[048-57a]
之底為表長如壬/庚 次以表長當半徑為切線四十
五之底定尺而檢北極髙度之正切取底自甲㸃向
南截之如甲壬以壬為表位
又于北極髙度之餘切線取底
自表位壬向南截之如壬辛以
辛為晷心 末自晷心辛向横
線上原定時刻作斜直線引長
之得時刻 時刻在子午線西
[048-57b]
者乙為午初丁為巳正癸為巳初又加之即辰正又加
之即辰初在子午線東者丙為未初戊為未正巳為申
初又加之即申正又加之即酉初並逓加四刻
謹按卯酉線即赤道線也二分之日日
躔赤道日影終日行其上庚甲割線正
對赤道正午時日影從庚射甲成庚甲影弦若已末
午初則庚㸃之影不射甲而射乙而庚甲影弦如半
徑乙甲如切線矣以庚甲為切線上半徑而遞取各
[048-58a]
七度半之切線以定左右各時刻之㸃並日影從庚
所射也然此時庚甲之度無所取故即用赤道線四
十五度之切線代之用切線實用庚甲也庚甲既為/切線之半
徑則必與四十五/度之切線同長
以四十五度當半徑而取切線以定時刻此天下所
同也然赤道髙度隨各方北極之髙而變庚甲割線
何以能常指赤道則必于表之長短及表位之逺近
别之故以庚甲當北極髙度之割線而取其初㸃為
[048-58b]
表長初㸃者半徑也本宜以半徑求割線今先有割
線故轉以割線求半徑也既以庚壬表長為半徑庚
甲為割線則自有壬甲切線而表位亦定矣表位既
定則庚甲影弦能指赤道矣何以言之表端壬庚甲
角既為極髙度則庚角必赤道髙度而庚甲能指赤
道也故北極度髙則庚角大甲角小而庚壬表短壬
甲之距逺北極度低則赤道髙甲角大而庚壬表長
壬甲之距近比例規觧乃以表位定于甲㸃失其理
[048-59a]
矣遂復誤以割線為表長餘割線為晷心而强以割
線名為表心線名實盡乖貽誤來學此皆習其業者
原未深諳强為作觧而即有毫釐千里之差立法者
之精意亡矣故特為闡明之
庚壬表上指天頂下指地心為半徑
壬表位壬甲為正切線辛晷心辛壬
為餘切線甲角即赤道髙度壬庚甲
角即北極髙度與辛角等
[048-59b]
用法三 先有表求作日晷借用前圖可解/
法先作子午直線任于線中定一㸃為表位如壬
乃以表長數壬庚為切線四十五度之底定尺而
取本方北極出地度之底得壬甲正切度于表位
北作㸃如/甲次於甲㸃作卯酉横線與子午線十字
相交即赤道線春秋分日影所到也又取極髙餘
度之底得壬辛餘切線于表位南作㸃如/辛即晷心
也若自表端庚作直線至晷心辛即為兩極軸線
[048-60a]
辛指南極庚指北極也次以表長庚/壬與壬甲正切相
連作正方角則庚壬如句壬甲如股而取其弦線庚
甲即極出地正割線也次以庚甲為切線四十五度
之底定尺而各取七度半之底累加之于甲㸃左右
作識于卯酉横線上末自晷心辛作線向所識㸃
即得午前後時刻並如前法
用法四 有立面向正南作日晷並同平面法但以
北極髙度之餘切線定表位以正切線定晷心則
[048-60b]
自晷心作線至表端能上指北極為兩極軸線又立
晷書時刻並逆旋與平面反然以立晷正立于北與
平晷相連成垂線則其時刻一一相符
用法五 用横表作向東向西日晷
假如立面向正東法于近南作直線上指天頂下
指地心近上作横線與地平相應兩線相交于甲
以甲為心于兩線間作象限弧自下起數至本方
北極出地度止自此向甲心作斜直線以分弧度
[048-61a]
此線即為赤道次以甲為表
位用横表乙甲之長取數為
切線四十五度之底定尺遞
取十五度切線從心向赤道
線累加之作識定時即春秋
分日影所到也若分二刻則/逓取七度半
細分每刻則逓取/三度四十五分次于甲心作横斜線如丁戊為赤
道之垂線其餘時刻㸃各作線與丁戊平行亦並與/赤道十
[048-61b]
字相/交次于元定尺上即以表長為四/十五度所定取二十三度半
之切線為度于甲左右截之為界如丁甲/如戊甲即二至
卯正時日影所到也二分日卯正則乙甲表正對日/光無影分前後則有緯度而影
亦漸生日日不同然不離丁戊線至二至而極冬至/影在北如丁夏至影在南如戊以此為界向西酉正
時亦/然仍用元尺取每十五度之/黄赤距緯切線作于丁戊線内
從甲㸃左右作識得各節氣卯正日影或取三十度/切線則所得
每月中氣/酉正亦然
次以乙甲表長為割線初㸃之底定尺而取十五度
[048-62a]
之割線為二分日在辰初刻之影弦如乙辛即天元
赤道上日離午線十五度其光過乙至辛所成也就
以乙辛割線為切
線四十五度之底
而取二十三度半
之底自辛㸃左右
截横線並如辛壬
為冬夏至辰初刻日影所到之界辛壬在南為夏至/其在北為冬至亦
[048-62b]
然/又逓取每三十度之/黄赤距緯切線從辛至壬作㸃為各中
氣界此向南日影界乃赤道北半周節氣/其辛㸃向北作界為南半周亦然自此而辰
正而巳初而巳正以至午初並同乃于節氣界作線
聫之即成正東日晷其面正西立晷作法並同但其
時刻逆書自下而上最下為未初次未正次申初次
申正次酉初而至酉正則横表正對日光而無影矣
此亦二分日酉正也其餘節氣亦有短影而不出本
線與卯正同
[048-63a]
新增時刻線以切線分時刻本亦非誤但切線無半度/取度難清今另作一線得數既易時刻尤
真/
分法 依尺長短作直線如後圖/乙丙於線端作横垂線如/乙
甲為乙/丙垂線又作直線略短與設線平行交横線如十字
如甲巳線交/横線于甲以甲為心作象限弧六平分之為時限
[048-63b]
各一分内四平之為刻限次于甲心出直線過各時
限至直線成六時過各刻限者成刻乃作識紀之並/如
後/圖
尺短移直線近甲心取之移進線並與原直線平行/以遇第六時第二刻為度
如已戊虚線遇丁戊線于/戊即戊為第六時之二刻
[048-64a]
用法 凡作日晷並以所設半徑置第三時為底定尺
而取各時刻之底移于赤道線上午前午後並起午
正左右為第一時依次加識即各得午正前後時刻
並如/前法
[048-65a]
第十五金線即輕重之學/
物有輕重以此權之獨言五金者以其有定質也
五金之性情有與七政相類者因以為識
金太/陽水銀水/星鉛土/星銀太/隂銅太/白鐵火/星錫木/星
[048-65b]
分法 用各分率及立方線
比例率 先取諸色金造成立方體其大小/一般無二乃權其輕重以為比例
黄金一
水銀一又七十五分之三十八儀象志作九十/五分之三十八
鉛一又二十三分之一十五
銀一又三十一分之二十六
銅二又九分之一
鐵二又八分之三
[048-66a]
錫二又三十七分之二十一比例規觧原作三十七分/之一則錫率反小于銅鐵
而輕重之序乖/今依儀象志
金體最重故以為凖自尺心向外任定一度為金之
根率自此依各率増之並以金度為立方線上十分
之底定尺次依各率為底進退求等數取以為各色
五金之根率自心向金率㸃外作識
解曰此同重異積之率也于立方線上求得方根作
識于尺則同重異根之率也金體重則其積最少謂/立
[048-66b]
方體/積各色之金謂銀/鉛等體並輕于金故必體積多而後
能與之同重然立積雖有多少非開方不得其根之
大小故必于立方線求之也
又解曰先以同大之立方權之得各率者同根異重
之率也而即列之為同重異根之率何也盖以根求
重則金最重而他色輕以重求根則金最小而他色
大其事相反然其比例則皆等假如金與銅之比例
為一與二强若體同大則金倍重于銅矣若其重同
[048-67a]
者則銅之體必倍大于金其理一也
又法 用立方根比例率
黄金一六六弱
水銀一九一弱
鉛二○二
銀二○四
銅二一三
鐵二二二
[048-67b]
錫二二八
用法一 有某色金之立方體求作他色金之立方體
與之同重或立圓及各種/等面體並同
假如有金球之徑又有其重今作銀球與之等重求
徑若干法以金球徑數置本線太陽號為底定尺而
取太隂號之底數作銀球之徑即其重與金球等
用法二 若同類之體其根同大求其重
假如有金銀兩印章體俱正方而其大等既知銀重
[048-68a]
而求金重法以銀圖章之根數置太隂號為底定尺
而取太陽號底數次于分體線上以銀章重數為兩
弦太陽號底定尺而轉以太隂底數即銀章/根數進退求
等弦得數即金章之重
[048-69a]
輕重比例三線法附/
重學為西法一種其起重運重諸法以人巧補天工實
宇宙有用之學五金輕重又重學中一種盖他物難為
定率可定者獨五金耳然比例規觧雖載其術而數多
牴牾未可全據愚參以靈臺儀象志其義始確因廣
之為三線曰重比例曰重之容比例曰重之根比例既
列之矩算復為之表若論以發其凡康熙壬戌長夏勿
葊梅文鼎謹述
[048-69b]
重比例異色之物/ 體積同輕重異/
[048-70a]
解曰重比例者同積也積同而求其重則重者數多輕
者數少若反其率則為容積比例矣
用法 假如有金一件不知重法以水盛器中令滿權
其重乃入金其中則水溢溢定出金乃復權之則水
之重必減于原數矣乃以所减之重變為線于比例
尺置于水㸃為底乃于金㸃取大底即金重也 又
如有玉刻辟邪今欲作銅者與之同大問用銅幾何
法如前以玉器入水取水減重之數置水㸃為底取
[048-70b]
銅㸃大底即得所求若作諸器用蠟為模亦同或以/蠟輕難入水者竟以蠟重于蠟
㸃為底而取銅/㸃大底更妙也
重之容比例輕重同則容積異亦謂異色之物/
[048-71a]
解曰容比例者同重也同重而求其積則重者積數少
輕者積數多反其率亦即為輕重之比例矣
又觧曰容積比例以立方求其根則為根比例矣故輕
重當為三線也
用法 假如有水若干重盛器中滿十分有澒與水同
重盛此器中問幾何滿法以水滿十分之數作水㸃
之底而取澒㸃小底則知澒在器中得幾分
用法二 有同重之兩色物欲知其立方根法以容比
[048-71b]
例求其同重之積再于分體線求其根
用法三 有金或銅錫等不知重法如前入水求得水
溢所減之重變為線乃以水重置金㸃為底若銅錫/亦置銅
錫/㸃于水㸃取大底此借容比例求/重故反用其率若用蠟模鑄銅器
亦以蠟重置銅㸃為底而于蠟㸃取大底/即得合用銅斤
觧曰有二法三法則只須容比例一線足矣盖反用之
可以求重既得容可以求根用三線者取其便用一/線者取其簡可任意為
之/也
[048-72a]
又容比例附/
[048-72b]
又客比例
[048-73a]
解曰容比例有三率也其實一率而已第一率以水
為主取其便用也第二率以金為主取其便擕也
第三率平列乃立方之積數也其作線於尺則皆
一率而已矣
此外仍有通分之法亦愚所演然其理皆具原表中故
仍載表而附之故後
輕重原表
[048-74a]
右表靈臺儀象志所引重學一則也其法同重者以
直推見容積同積者以横推見重重比例容比例皆
在其中矣既得容可以求根則根之比例亦在其中
矣比例規觧五金線盖原于此原書金與蠟之比例
訛卄一為廾九今改定
通分法亦容比例之率/
分母
澒九五
[048-74b]
鉛廾三乗得二一八五
銀卅一又乗得六七七三五
銅○九又乗得六○九六一五
鐵○八又乘得四八七六九二○
錫卅七又乗得一八○四四六○四○為金率
以澒分母九十五除金率得一八九九四三二以乗分
子卅八得七二一七八四一六加金率得二五二六
二四四五六為澒率
[048-75a]
以鉛母卄三除金率得七八四五四八○以乗子十五
得一一七六八二二○○加金率得二九八一二八
二四○為鉛率
以銀母卅一除金率得五八二○八四○以乗子廾六得一五
一三四一八四○加金率得三三一七八七八八○為銀率
以銅母九除金率得二○○四九五六○以乗子一得如
原數加金率二得三八○九四一六四○為銅率
以鐵母八除金率得二二五五五七五五以乘子三得六
[048-75b]
七六六七二六五加金率二得四二八五五九三四五為鐵
率
以錫母卅七除金率得四八七六九二○以乗子廾一得
一○二四一五三二○加金率二得四六三三○七四
○○為錫率
[048-76a]
按自古厯算諸家于尾數不能盡者多不入算故曰
半已上収為秒巳下棄之其有不欲棄者則以大半
少强弱収之
假如一百分則成一整數九十為一弱/一十為一强百二十五為
[048-76b]
少即四分之一也若二十為少弱/三十為少强五十為半四十為/半弱六
十為/半强七十五為太即四分之三也七十為太弱/八十為太强
重之根比例異色同重之立方/
[048-77a]
[048-78a]
附求重心法
乙甲癸子形求重心先作乙甲線分為乙子甲/乙癸甲兩三角
形次用三角形求心術求乙子/甲乙
癸/甲之形心在丙/丁作丙丁線聫之
又作子癸線分為癸乙子/癸甲子兩
三角形求癸乙子/癸甲子形之心在庚/辛
作庚辛線聫之 此二線相交
於壬則壬為本形心即重心也 試作乙巳正角線至
[048-78b]
子癸線上又作甲戊線至子癸線上此兩線之比例即
兩形大小之比例也法為癸乙子形與癸甲子形/之比例若乙巳與甲戊也
以此比例於庚辛兩心距線上求得壬㸃為全形之重
心法為乙巳線與甲/戊若辛壬與庚壬
如圖子巳與癸戊之比例
若丁壬與丙壬也餘並同
前圖
[048-79a]
一率 子巳與癸戊二線并
二率 子巳
三率 丁丙
四率 丁壬
[048-79b]
歴算全書卷三十九
