[035-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書巻三十一
宣城梅文鼎撰
籌算二之三
開平方法
勿菴氏曰自周髀算經特著開平方法其説謂周公受
于商髙矩地規天為用甚大然有實無法故少廣之
在九數別自為章今以籌御之簡易直截亦數學之
[035-1b]
一樂也
解曰平方者長濶相等之形也其中所容古謂之冪積
亦曰面冪西法謂之面面有方有圓此所求者方面
也其法有方有亷有隅總曰平方也冪音覔覆/物中也開亦
除也以所有散數整齊而布列之為正方形故不曰
除而曰開平方四邊相等今所求者其一邊之數西
法謂之方根
如後圖方者初商也初商不盡則倍初商之根為亷
[035-2a]
法除之得兩亷又以次商為隅法自乘
得隅隅者以補兩廉之空合一方兩亷
一隅成一正方形
如圖一方兩廉一隅除積仍不盡則
合初商次商倍之為廉法除之以得
次兩廉又以三商為隅法自乘得隅
合一方四廉兩隅成一正方形商四/次以
上倣此/加之
[035-2b]
解曰上兩位者自乘之積也假如方一十則其積一
百方二十則其積四百以至方九十則其積八千一
百也下一位者方根也假如積一百則其根一十積
四百則其根二十乃至積八千一百則其根九十也
平方籌式列左
[035-3a]
開平方籌只用兩位積數何也曰開方難得
者初商耳平方積數雖多而初商所用者只
兩位次商以後皆亷積也亷積可用小籌除
之開方大籌専為初商故積止兩位
籌下一位單數也而實有百也萬也百萬也
億也百億也萬億也百萬億也皆與單同理
故獨商首位者用下位之積數焉其積自○/一至○九
其方根為/一二三
[035-3b]
籌上一位十數也而實有千也十萬也千萬也十億
也千億也十萬億也干萬億也皆與十同理故合商
兩位者用上下兩位之積數焉其積自一六至八一/其方根自四至九
用法曰先以實列位列至單位止實有空位作圏以存其
位次乃作㸃凡作㸃之法皆從實單位實單位起作
一㸃毎隔位則㸃之而視其最上一㸃以為用
首位有㸃者以實首一位獨商之乃補作一圏于原/實之上亦成兩位
之/形
[035-4a]
首位無㸃㸃在次位者以實首位合商之
皆視平方大籌積數有與相同或差小于實者用
之以減原數而得方數即初商也
定位法曰既得初商則約實以定其位知其所得為何
等或單或十/或百之類以求次商
其法依前隔位所作之㸃總計之視有若干㸃
假如只一㸃者初商所得必單數也自方一/至方九則初商已
盡無次商矣
[035-4b]
有二㸃者初商所得必十數也自方一十/至方九十初商十數
者有次商
有三㸃者初商所得必百數也自方一百/至方九百初商百數
者有次商又有三商
有四㸃者初商千也有商四次焉
有五㸃者初商萬也有商五次焉
次商法曰依前術定位則知其宜有次商與否
若已開得單數雖減積不盡不必更求次商也
[035-5a]
雖未開得單數而初商減盡亦不必更求次商也
惟初商未是單數而減積又有不盡是有次商矣
次商者 倍初商為亷法用小籌以除之初商一則/用第二籌
初商七則用第一第/四兩籌皆取倍數視籌積數有小于餘實者用
之為亷積視亷積在小籌某行命為次商數
既得次商減去亷積即用次商數為隅法以求隅積
隅積小平方也即隅法自乘之數也可借開方/籌取之
若隅積大于餘實不及減者轉改次商及減而止
[035-5b]
以數明之 假如積一百其方根十即除實盡此獨用
方法無亷隅矣若積一百四十四初商十除實百餘
四十四則倍初商之根得廿為亷法在初商之兩旁/故曰亷亷有二
故倍/之也次商二以乘亷得四十為亷積又次商二為隅
法自乘得四為隅積共四十四除實盡開其根得一
十二也
商三次以上法曰次商所得尚非單數而減積又有不
盡是有第三次商矣
[035-6a]
商第三次者合初商次商數皆倍之為次亷法 如
前用籌以除餘實求得第三商以减亷積
又即以第三商之數為隅法以求隅積皆如次商
商四次五次以上並同第三商
命分法曰但開至單數而有餘實者是不盡也不盡者
以法命之法以所開得數倍之又加隅一為命分
不盡之數為得分 凡得分必小于命分
亦有開未至單宜有續商而其餘實甚少不能除作
[035-6b]
單一者亦如法命之而于其開得平方數下作圈紀
其位如云平方每面幾十○又幾十幾分之幾 或
平方每面幾百○○又幾百幾十幾分之幾
若欲知其小分別有開除分秒法見第七巻
列商數法曰凡初商得數而書之有二法 其法依前
隔位所作㸃以最上一㸃為主凡得數皆書于此㸃
之上一位五以上者又進一位故有二法也
其故何也五以上之亷倍之則十故豫進一位以居
[035-7a]
次商四以下雖倍之猶單數也所以不同凡歸除開
平方須明此理不則皆誤矣 大約所商單數必在
亷法之上一位乃法上得零之理也平方有實無法
亷法者乃其法也
凡次商列位亦有二法 次商用歸除除法者皆書于
籌之第一位故次商以之
看次商所減之數其籌行内第一位是空與否若不空
即以次商數對而書之對餘實首一位是也
[035-7b]
若第一位是圈即以次商數進位書之以暗對其圏
餘實上一位是也
知此則知空位矣次商有一定之位故空位亦一
定也如次商與初商隔位則作圈隔兩位作兩圈
是也
商三次以上書法並同
隅積定位法曰凡減隅積皆視其隅數為何等隅數即/次商之
數也或單或/十或百千等以求其積
[035-8a]
隅數是單其減隅積亦盡于單位
隅數是十其減隅積必盡于百位
隅數是百其減隅積必盡于萬位
隅數千其隅積必百萬
隅數萬其隅積必億
每隅數進退一位則隅積差兩位隅積小平方也/故皆與初商同
理/
還原法曰凡開方還原皆以所開得數為法又為實而
[035-8b]
自相乘之有不盡者以不盡之數加入即得原數
假如有積三百六十平方開之
列位單位作圈/作㸃從單位起/
視首位有㸃以首位三百獨商之
乃視平方籌積數有小于○三者是○
一也○一之方一故商一十有二㸃故/初商是十
于原實内減去方積一百餘二百六十初商是十/知有次商
以上一㸃為主凡得數皆書于此㸃之上一位此
[035-9a]
常法也四以下用常法
次倍初商一十/作二十/用第二籌為亷法
視籌第九行積一八小于二六次商九
于初商一十之下去亷積一百八十餘
八十所減數在籌上一位不空故/以商數九對餘實首位書之
次以次商九為隅法其隅積八十一大于餘實不及
減應轉改次商為八視籌之第八行積數一六/減亷
積一百六十餘一百所減第一位下/空故對位書之
[035-9b]
乃以次商八為隅法減隅自乘積六十/
四/餘三十六/不盡
隅數單故減隅積亦盡于單位
初商一十/次商八/共一十八/是已開至
單位也而有單位也以法命之 以平方一十八/倍
之又加隅一/共三十七/為命分
命為平方一十八又三十七分之三十六
還原法
[035-10a]
以平方一十八用籌為法即以平方
一十八為實而自相乘之得三百二
十四加入不盡之數三十六共得三
百六十如原數
命分還原論詳別巻
假如有積一十二萬九千六百平方開之
列位 作㸃
[035-10b]
視首位無㸃㸃在次位以兩位一
十二萬合商之
乃視平方籌積有小于一二者是
○九其方三也于是商三百三㸃故/初商百減去方積九萬
餘三萬九千六百初商百故/知有次商
次倍初商三百/作六百/用第六籌為亷法
視籌第六行積數三六/小于三九/次商六十于初商
三百之下減去亷積三萬六千餘三千六百所減首/位不空
[035-11a]
故對/書之次以次商六十/為隅法減隅積三千六百恰盡
隅數十故減隅/積必盡于百位
凡開得平方三百六十○ 開方雖未至單減積已盡
是方面無單數也後倣此
還原法
以所得平方三百六十○為法為實而
自相乘之得一十二萬九千六百○○
如原數
[035-11b]
假如有積一千平方開之
列位 作㸃
視㸃在次位以首二位一千○百合商
之
乃視平方籌小于一○/者○九/也○九/
之方三商作三十二㸃故/初商十減方積九百餘一百
次以初商三十/倍作六十/用第六籌為亷法
視第六籌第一行是○六/小于一百/次商一千初商
[035-12a]
三十之下減亷積六十餘四十所減是○六首位空/也故書于進位以對
其○今雖對于餘實以所減六十/言之猶進位也列位之理明矣
次以次商一為隅法減隅積一餘三十九不盡隅積/盡單
位/
所開已至單位而有不盡以法命之倍所商三十一
又加隅一共六十三為命分
命為平方三十一又六十三分之三十九
此以上皆初商四以下列位之例 皆以最上之
[035-12b]
一㸃為主而書其初商所得數于㸃之上一位乃
常法也
假如有積四千○九十六平方開之
列位 作㸃
視㸃在次位以四千○百合商之
乃視平方籌積數有三六小于四○
其方六也商作六十二㸃故/初商十減方積
三千六百餘四百九十六初商十故/知有次商
[035-13a]
以最上一㸃為主而書其得數于㸃之上兩位乃
進法五以上用進法
次倍初商六十/作一百二十/為亷法用第一第二兩籌/
視籌第四行積數四八/小于餘實次商四於初商六
十之下減亷積四百八十餘一十六所減是○四八/首位空也故次
商四進位書之若初商/不進則次商同位矣
次以次商四為隅法減隅積一十六恰盡隅數單故/隅積盡單
位/
[035-13b]
凡開得平方六十四
假如有積八千○九十九以平方開之
列位 作㸃
視㸃在次位以八千○百合商之
乃視平方籌有六四/小于八○/ 其方
八也于是商八十二㸃故/初商十除實六千
四百餘一千六百九十九初商是十/宜有次商
次以初商八十倍作一百六十為亷
[035-14a]
法用第一第六兩籌/
合視兩籌第一行積一六/與餘實同宜商一十/因無
隅積改用第九行一四四/次商九于初商八十之下
減亷積一千四百四十餘二百五十九所減第一位/不空故對位
書/之
次以次商九為隅法減隅積八十一/仍餘一百七十
八不盡隅數單隅/積盡單位
已開至單位而有不盡以法命之 應倍所商八十
[035-14b]
九又加隅一共一百七十九為命分
命為平方八十九又一百七十九分之一百七十八
因少一數故不/能成九十之方
假如有積二千五百四十八萬二千三百○四平方開之
列位 作㸃
視㸃在次位以二千五百萬合商
之
乃視平方籌積有二五/與實相
[035-15a]
同其方五也商五千四㸃故/初商千除方積二千五百
萬餘四十八萬二千三百○四初商千/有次商
又法既以四㸃知所得為五千倍之則為一萬即/亷法也法上一位便是單逆上三倍則五千位矣
次倍初商五千/作一萬/為亷法用第一籌/
視籌第四行積四與餘實同次商四十于初商五千
之隔位減亷積四十萬餘八萬二千三百○四所减/是○
四故進位書之以對其○然與初商五千猶隔/一位故知所得為四十此定位之法之妙也
次以次商四十為隅法減隅積一千六百餘八萬○
[035-15b]
七百○四隅數十故減隅積盡于/百位 商至十有末商
次合初商次商倍之得一萬○○八十/為亷用第一/
第八并二空位共四籌/
大凡商五數以上則其亷法視所商方數必進一位/不論初商次商皆然若四以下則其亷法視方數必
同位亦初/次商盡然
合視籌内第八行積數八○六四/小于餘實又次商
八于先商五千○四十之下減亷積八萬○六百四
十餘六十四此所減第一位亦是○故商/數八亦進位書之以對其○
[035-16a]
次以末商八為隅法用減隅積六十四恰盡隅數是/單故減
隅積亦必/盡于單位
凡開得平方五千○四十八
以上皆商五以上進書例也
常法中有初商得二或四者進法中有初商得七
或九者並雜見開方分秒法并開方捷法中
[035-17a]
開立方法籌算三/
勿菴氏曰物可以長短度者泰西家謂之線線之原度
一横一縮而自相乘之以得其羃積者平方也西法
謂之方面方面與線再相乘而得其容積則立方也
西法謂之體
解曰平方長濶相等形如碁局立方長濶髙皆相等形
如骰子細分之有方有平亷有長亷有小隅總曰立
方
[035-17b]
立方亦有實無法以所有散數整齊之成一立方形
故亦曰開
立方長濶髙皆等今所求者其一邊之數故西法亦
曰立方根
如圖方者初商也初商不盡
則再商之于是有三平亷三
長亷一小隅共七并初商方
形而八合之成一立方形
[035-18a]
如圖方形者長濶髙皆如初商之數
方形只一
如圖平亷形者長濶相同皆如初商數
其厚則如次商數 平亷形凡三以輔/于方形之三面
長亷者長如初商數其兩頭髙與濶等
皆如次商數 長亷形亦三以/補三平亷之隙
小隅者長濶髙皆等皆如次商數 其/形
只一以補三/長亷之隙
[035-18b]
商三位圖
如後圖一方三平亷三長亷
一小隅除實仍不盡則更商
又得次平廉次長廉各三
次小隅一合之共十五形凑
成一大立方形 次平亷之
長濶相等皆如初商并次商
之數厚如三商數其形三以
[035-19a]
輔初商并次商合形之外 次長亷之長如初商并
次商之數其濶與厚相等皆如三商數其形亦三以
補次平亷之隙次小隅之長濶髙皆等皆如三商數
其形只一以補次長亷之隙
立方籌式列後/
解曰上三位者自乘再乘之積也假如根一十則其積
一千根二十則其積八千乃至根九十則其積七十
二萬九千也 次兩位者自乘之積即平方也置于立方
[035-19b]
籌者以為亷法之用假如初商一百則
其平亷亦方一百其積一萬乃至商九
百則其平亷方九百而積八十一萬也
又如次商一十則其長亷之兩頭亦必
方一十而積一百乃至次商九十則其
長亷之兩頭必方九十而積八千一百
也 下一位者方根也假如立積一千
則其根一十立積八千則其根二十乃
[035-20a]
至積七十二萬九千則其根九十也
立方籌三位何也自乘再乘之數止于三位也且以
為初商之用故只須三位其餘實雖多位皆亷積耳
用法曰先以積列位至單位止無單者作圈以存其位
次作㸃從單位㸃起每隔兩位作一㸃即滿三位去/之之法也
[035-20b]
㸃訖視最上一㸃以為用
㸃在首位者獨商之以首位為初商之實
單數商法也 若千若百萬若十億若萬億若千
萬億凡以三位去之餘一位者皆與單法同
㸃在次位者合首兩位為初商之實
十數商法也 若萬若千萬若百億若十萬億若
兆凡以三位去之餘二位者皆與十同法
㸃在第三位者合首三位為初商之實
[035-21a]
百數商法也 若十萬若億若千億若百萬億若
十兆凡以三位去之餘三位者皆與百同法
又法視其㸃在首位則于原實之上加兩圈㸃在次
位者上加一圈皆合三位而商之
次以初商之實與立方籌相比勘視立方籌積數有
與實相同或差小于實者用之以減原實而得其立
方之數即初商也
定位法曰既得初商則約實以定位知所得立方為何
[035-21b]
等或單或/十百等以知有續商與否 皆以前所作㸃而合
計之視有若干㸃之命之
假如只有一㸃則商數是單 初商已得單數無次
商
有二㸃者商數十 初商十數者有商兩次焉
有三㸃者商數百 初商百數者有三三次焉
四㸃商千 五㸃商萬 每多一㸃則得數進一
位而其商數亦多一次皆以商得單數乃盡也
[035-22a]
减積法曰凡初商减積皆止于最上㸃之位
次商法曰依前定位若初商末是單而减積未盡是有
次商也次商者有平亷法有長亷法有隅法解曰平/亷古曰
方法長亷法古曰亷法以後或曰平亷長/長亷從質也或省曰方法亷法從古也
先以所得初商數三之為亷法
又以初商數自乘而三之為三法 以方法用籌除
積以得次商以列位之法定/之其法見後
既得次商用其數以乘方法為三平亷積
[035-22b]
又以次商自乘以乘亷法為三長亷積
其次商即為隅法 以隅法自乘再乘得小立方積
為隅積
乃併三平亷三長亷一小隅積為次商亷隅共積
若此亷隅共積與餘積適等或小于餘積則減而
去之視其仍餘若干以為用或續商或/以法命之
若共積反大于餘實不及減轉改次商及減而止
若次商單一而/無減以法命之
[035-23a]
商三次法曰次商尚未是單而減積未盡是有第三次商
也
第三次商者合初商次商得數而三之為亷法
又合初商次商得數自乘而三之為方法 如前以
方法用籌除餘實求得第三商亦以列位法/詳其所得
既得第三商如前求得三平亷三長亷一小隅積以
減餘實其法並同次商
四次以上皆同法
[035-23b]
命分法曰但商得單數而有不盡則以法命之 未商
得單數而餘實甚少不能商單一者亦以法命之
其法以所商立方數自乘而三之如平/亷又以立方數
三之如長/亷又加單一如小/隅併三數為命分不盡之數
為得分 其命分必大于得分
列商數法曰依前隔位作㸃以最上一㸃為主而論之
有三法凡商得立方一數者于此㸃之上一位書之
或單一或一十或/一百或一千並同此常法也
[035-24a]
若商得立方二三四五者于此㸃之上兩位書之單/十
百千其/法並同乃進法也
若商得立方六七八九者于此㸃之上三位書之單/十
百千其/法並同乃超進法也
平方只有進法而立方有三法何也平方以亷法為
法而平方只二亷故其亷法之積數只有進一位
故止立進法與常法為二也立方以方法為法而
立方有三平廉故其方法之積數有進一位進兩位
[035-24b]
故立進法超進法而與常法為三也其預為續商
之地使所得單數居于法之上一位則同
假如立方單一其方法單三 若立方單二則方法
一十二變為十數進一位矣故單一用常法而單
二即用進法也
又如立方單五其方法七十五 若立方單六則方
法一百○八又變百數進兩位矣故單五只用進
法而單六以上必用超進之法也
[035-25a]
假如立方一十其方法三百 若立方二十則方
法一千二百變千數進一位矣故一十只用常法
而二十即用進法也
又如立方五十其方法七千五百 若立方六十則
方法一萬○八百又變萬數進兩位矣故五十仍
用進法而六十以上必用超進之法也
若宜進而不進宜超進而不超進則初商次商同位
矣不宜進而進則初商次商理不相接矣此歸除
[035-25b]
開立方之大法也
其次商列位理本歸除以所減積數首一位是空不是
空定其進退皆同平方 商三次以上並同
隅積法曰隅法單隅積盡單位 隅法是十隅積盡于
千位
隅法百隅積盡百萬之位 以上倣求 大約隅法
大一位則隅積大三位
還原法曰置開得立方數為實以立方數為法乘之得
[035-26a]
數再以立方數乘之有不盡者加入不盡之數即得
原實
假如有積一千三百三十一立方開之
列位 作㸃從單位起/
視首位有㸃以○○一千為初商
之實
乃視立方籌有○○一其立方一
于是商一十有二㸃/故商十減去立方積一千餘三百三十
[035-26b]
一初商十者/有次商也
以最上㸃為主商一數者書于㸃之上一位常法也
次以初商一十而三之得三十為亷法
又以初商一十自乘而三之得三百為方法用第三/
視籌第一行積數○三與餘
實同次商一於初商一十之
下減積首位是○故進位書/于一十之下以暗對其○
[035-27a]
于是以次商一乘方法仍得三百為平亷積 又以
次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十為長亷積
又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積 併三
積共三百三十一除餘實恰盡
凡開得立方一十一還法以立方一十一自乘得一/百二十一又以一十一再乘合
原/積
假如有積一十二億五千九百七十一萬二千立方開之
列位 作㸃
[035-27b]
視首位有㸃以○○一十
億為初商之實
乃視立方籌有○○一其方亦一于是商一千減立
方積一十億餘二億五千九百七十一萬二千
次以初商一千而三因之得三千為亷法
又以初商一千自乘得一百萬而三之得三百萬為
方法用第三籌/
視第三籌之第八行積數二四小于餘實次商八十
[035-28a]
于初商一千之下一位所減首位不空故次商八書/本位而上一位作○因與次
商隔位故/知其是十
就以次商八十乘方法三百萬得二億四千萬為平
亷積
又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得
二千九百二十萬為長亷積 又次商八十自乘再
乘得五十一萬二千為隅積 併三積共二億五千
九百七十一萬二千除實盡
[035-28b]
凡開得立方一千○八十○初商千次商○八是十/而除實已盡是所商單
位亦○也此/列位之妙
以上皆商得一數例也 皆以最上一㸃為主而
以初商得數書于㸃之上一位乃常法也惟商得
一數者可用常法一十一百一千一萬並同
假如有積九千二百六十一立方開之
列位 作㸃
視㸃在首位以○○九千命為初商之實
[035-29a]
乃視立方籌積有小于○○九者
○○八也其立方二于是商二十
二㸃故/初商十減立方積八千餘一千二
百六十一
以最上一㸃為主而以得數書于㸃之上兩位乃
進法也商二至五之法也
次以初商二十用三因之得六十為亷法
又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百
[035-29b]
為方法用第一第二兩籌/
合兩籌第一行積一二與餘實相同次商單一于初
商二十之下所減首位空宜進書也若初商不先用/進法則無以處次商矣故進法自商二
始/
就以次商一乘方法仍得一千二百為三平亷積
又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十為三長
亷積又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積 併
三積共一千二百六十一除實盡凡開得立方二十一
[035-30a]
假如有立方積三萬二千七百六十八立方開之問得
若干
列位 作㸃
視㸃在次位以○三萬二千為初
商之實乃視立方籌積小于○三
二者是○二七其立方三也于是
商三十二㸃故/初商十減商三十二㸃故/初商十減立方積二萬七
千餘五千七百六十八
[035-30b]
次以初商三十用三因得九十為亷法
又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百為
方法用第二第七兩籌/
合視兩籌第二行積○五四小于餘實次商單二于
初商三十之下所减首位○宜/進書以對其○
就以次商單二乘方法得五千四百為平亷積 又
以次商自乘得四用乘廉法得三百六十為長廉積
又以次商自乘再乘得八為隅積 併三積共五
[035-31a]
千七百六十八除實盡凡開得立方三十二
假如有立方積一十一萬七千六百四十九立方開得
若干
列位 作㸃
視㸃在第三位以一十一萬七千為初商之實
乃視立方籌積有小于一一七者
○六四也其立方四于是商四十
二㸃故/初商十減立方積六萬四千餘五
[035-31b]
萬三千六百四十九 次以初商四十用三因之得
一百二十為亷法
又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八
百為方法用第四第八兩籌/
合視兩籌第九行積數四三二小于餘實次商九于
初商四十之下所減首位不空/故本位書之
就以次商九乘方法得四萬三千二百為平亷積
又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百
[035-32a]
二十為長亷積 又以次商九自乘再乘得七百二
十九為隅積 合計亷隅三積共五萬三千六百四
十九除實盡
凡開得立方四十九
假如有積一千六百六十三億七千五百萬立方開得
若干
列位 作㸃
視㸃在第三位以一千六百六十億為初商之實
[035-32b]
乃視立方籌有小于一六
六者是一二五其立方五
也商作五千四㸃/商千除立方
積一千二百五十億餘四百一十三億七千五百萬
次以初商五千用三因之得一萬五千為亷法
又以初商五千自乘得二千五百萬三因之得七千
五百萬為方法用第七第五兩籌/
合視兩籌第五行積三七五小于餘實次商五百于
[035-33a]
初商五千之下所減首位不/空故書本位
就以次商五百乘方法得三百七十五億為平亷積
又以次商五百自乘得二十五萬用乘亷法得三
十七億五千萬為長亷積 又以次商五百自乘再
乘得一億二千五百萬為隅積 併三積共四百一
十三億七千五百萬除實盡 凡開得立方五千五
百○○
以上乃商得二三四五之例也 皆以最上一㸃
[035-33b]
為主而以初商所得進書㸃之上兩位進法也初
商得二三四五者用進法單十百千並同
假如有積二十六萬二千一百四十四立方開之
列位 作㸃
視㸃在第三位以二十六萬二
千為初商之實
乃視立方籌有小于二六二者
二一六也其立方是六商六十二㸃/商十減立方積二十
[035-34a]
一萬六千餘四萬六千一百四十四
以最上一㸃為主而以得數書于㸃之上三位超
進法也乃商六至九之法也
次以初商六十用三因之得一百八十為亷法
又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一萬
○八百為方法用第一空位第八三籌/
合視籌第四行積四三二小于餘實次商四于初商
六十之下所減首位是○故進/位書之以對其○
[035-34b]
就以次商四乘方法得四萬三千二百為平亷積
又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百
八十為長亷積 又以四自乘再乘得六十四為隅
積 併三積共四萬六千一百四十四除實盡
凡開得立方六十四
假如有積三十七萬三千二百四十八立方開之
列位 作㸃
視㸃在第三位以三十七萬三千為初商之實
[035-35a]
乃視立方籌積有小于三七三
者是三四三其立方七也商七
十二㸃/商十減立方積三十四萬三
千餘三萬○二百四十八次以初商七十用三因之
得二百一十為亷法
又以初商七十自乘得四千九百三之得一萬四千
七百為方法用第一第四第七三籌/
合視籌第二行積二九四小于餘實次商二于初商
[035-35b]
七十之下所減首位空故進/位書之以對其○
就以次商二乘方法得二萬九千四百為平亷積
又以二自之得四用乘亷法得八百四十為長亷積
又以二自乘再乘得八為隅積 併三積共三萬
○二百四十八除實盡凡開得立方七十二
假如有積五十三萬一千四百四十一立方開之
列位 作㸃
視㸃在第三位以五十三萬一千為初商之實
[035-36a]
乃視立方籌積有五一二小于
五三一其方八也商八十二㸃/商十
減立方積五十一萬二千餘一
萬九千四百四十一
次以初商八十用三因之得二百四十為亷法
又以八十自乘得六千四百三之得一萬九千二百
為方法用第一第九第二三籌/
合視籌第一行是一九二小于實次商一于初商之
[035-36b]
下 就以次商一乘方法為平亷積 又以一自乘
用乘亷法為長亷積 又以一自乘再乘為隅積
併三積共一萬九千四百四十一除實盡
凡開得立方八十一
假如有積九十七萬○二百九十九立方開之
列位 作㸃
視㸃在第三位以九十七萬○為初商之實
乃視立方籌有七二九小于九七○其方九也商九
[035-37a]
十二㸃/商十減積七十二萬九千餘
二十四萬一千二百九十九
次以初商九十三之得二百七十為亷法
又以九十自之得八千一百而三之得二萬四千三
百為方法用第二第四第三三籌/
合視籌第九行是二一八七小于餘實次商九于初
商九十之下所減首位不空/故本位書之
[035-37b]
就以次商九乘方法得二十一萬八千七百為平亷
積 又以九自乘得八十一以乘亷法得二萬一千
八百七十為長亷積 又以九自乘再乘得七百二十九為
隅積 併三積共二十四萬一千二百九十九除實盡
凡開得立方九十九
此以上皆初商六七八九之例也 皆以最上一
㸃為主而以得數書于㸃之上三位乃超進法也
初商六七八九用超進之法單十百千並同
[035-38a]
命分例
假如有立方八百一十尺問立方每面各若干
列位 作㸃
㸃在第三位以八百一十○尺為
初商之實
視立方籌有小于實者為七二九
其立方九商九尺減積七百二/十九尺餘八十/一尺
此商數已至單尺而有不盡當以法命之
[035-38b]
法以商數九自乘八十/一而三之得二百四/十三如平亷
又置商數九而三之得二十/七如長亷 加小隅一
共二百七/十一為命分
命為立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一
此商得單數而有不盡以法命之例也
又如有立方積一億二千五百七十五萬尺問立方若
干
列位 作㸃
[035-39a]
㸃在第三位以一億二千五百萬
尺為初商實
視立方籌有一二/五恰與實合商五百/尺減實一億二千/五百萬尺
餘七十五萬○/○○○尺
有三㸃故知所商是五百/尺宜有第二商第三商也
乃以初商五百/尺自乘二十五/萬尺而三之得七十五/萬尺為平
亷法又以初商五百/尺三之得一千五/百尺為長亷法
視餘實七十五/萬尺僅足平亷之數而無長亷知第二商
[035-39b]
第三商皆空也補作兩圈而以法命之
法以平亷法長亷法合數加小隅一共七十五萬一/千五百○一
尺/為命分
命為立方每面五百尺又七十五萬一千五百○一
分尺之七十五萬○○○○
此商數雖未至單而餘實甚少不能成一整數亦以
法命之例也
厯算全書巻三十一
