[005-1a] 
欽定四庫全書
九章録要卷五
松江屠文漪撰
差分法
古九章三曰差分亦曰衰分以御貴賤廩税
一分遞加減衰分以最少者一分之數遞加成多若從/多者遞減則減至最少者而減盡也
法以一為首衰從少者/起算自一而二而三四遞加為各
等衰并之為總衰以為一率總實為二率各等衰為
[005-1b]
三率求得四率即各等數
假如有銀七十二兩甲乙丙丁戊五人以一分遞加
減分之問各幾何
一率 一十五總衰/ 衰分章三率法獨有宜/先以一率除二率者
二率 七十二總實/ 一率除二率/得四兩八錢
三率 五甲衰/四乙/ 三丙/ 二丁/ 一戊/
四率 二十/四兩 一十九一十四九兩/兩二錢兩四錢六錢 四兩/八錢
右各等中倘復各自有數不齊者先以各衰乗之為
[005-2a]
各總衰然後并為大總衰
假如有糧二千四百石甲乙丙丁四等户依前例輸
之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十
户則以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户
數為各總衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三
百為大總衰列一二率如前若以各總衰為三率即
得各等總數以各衰為三率即得各等每户數以下/諸法
倣/此
[005-2b]
減半衰分乙當甲之半丙/又當乙之半也 法以一為首衰自一而二
乗之又二乗之為各等衰以一二乗得二以二二乗/得四并之得七餘倣此
列率乗除如前
二八衰分甲視乙為八與二乙/視丙又為八與二也 法以二為首衰自二
而四乗之又四乗之為各等衰以二四乗得八以八/四乗得三十二并之
得四十二/餘倣此列率乗除如前
四六衰分同/上 法以四為首衰自四而六乗之四除之
又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同為各等
[005-3a]
衰以四六乗四除得六以六六乗四/除得九并之得一十九餘倣此乗除如前
三七衰分同/上 法以三為首衰自三而七乗之三除之
又七乗三除之為各等衰以三七乗三除得七以七/七乗三除得一十六又三
分之一并之得二十/六又三之一餘倣此乗除如前或厭零分多者就首
衰之數以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言
如甲乙丙三等衰則三乗首衰之三得九為首衰甲
乙丙丁四等衰則又三乗九得二十七為首衰甲乙
丙丁戊五等衰則又三乗二十七得八十一為首衰
[005-3b]
每多一等則首/衰多三乗一番既增廣其首衰然後用七乗三除以
求各等之衰可以省零分矣
十分之六遞減衰分 法以一為首衰此從多者起算/所謂首衰之一
亦與前一為首衰者不同前一/只是一數此則無定之數也遇二等衰則為一十
三等衰則為一百四等衰則為一千以為首衰乃自
一而六乗之十除之又六乗十除之為各等衰以一/百六
乗十除得六十以六十六乗十除得/三十六并之得一百九十六餘倣此乗除如前
凡十分之七或八九諸數遞減衰分俱準此推之不
[005-4a]
别為法以滋繁瑣
減半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二數求
總實減半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少
則曰減半言其自少而多則曰倍加亦曰二乗加二
八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加
也零分法一又二之一化為二之三乃用子/乗母除則當三乗二除猶之六乗四除也三七衰
分是二又三之一乗加也零分法二又三之一化為/三之七乃用子乗母除亦
是七乗/三除也十分之六遞減衰分是一又三之二乗加也
[005-4b]
零分法一又三之二化為三之五乃用子乗母除則/當五乗三除猶之十乗六除以此遞加與六乗十除
遞減/同耳以上所云幾乗加者但取衰分之數以少除多
即得之假如三七衰分以三除七得二又三之一十/分之六衰分以六除十得一又三之二即所
云幾乗/加也若各衰分止舉首尾二等最少最多之數問
總實幾何者不必論其中間分作幾等但以首尾數
多少相減減餘以原乗數減一數為法而除之假如/原係
四乗加者以三除之原係一又二之一乗加者以二/之一除之原係二又三之一乗加者以一又三之一
除之原係二乗加者以一除之一除固可不必/除然於法不容沒此一除恐似别為一法也即得
[005-5a]
最少以至次多諸等之總實以并最多數即得全總
實
右例以原乗數減一數為除法亦不必求原乗數而
減之但以衰分之數多少相減減餘以少數除之即
得除法假如三七衰分三七相減餘四以三除四得/一又三之一十分之六衰分十六相減餘四
以六除四得三之二與原乗/數減一數同 右一條新訂
減半二八四六三七十分之六各衰分求隔等數
不論幾乗加但知首等最少之數再知中間一等之
[005-5b]
數即可隔等而求之假如知首等數與第六等數者
第六等數已經五度加矣則以此數自乗以首等數
除之即得十度加之數倍五為十也凡自乗者以倍/相求 十度加乃是第十一
等/若以六度加之數第七/等自乗以首等數除之即得
十二度加之數第十/三等若以五度加六度加之數相乗
以首等數除之即得十一度加之數五六并為十一/也凡二等數相
乗者并而求之二十/一度加是第十 等若以三度加第四/等八度加第九/等
之數相乗以首等數除之亦得十一度加之數此謂
[005-6a]
以少求多者或以多求少如以十六度加之數第十/七等
以首等數乗之開方除之即得八度加之數亦可以
十六度加之數以首等數乗之以十度加之數除之
得六度加之數葢取以少求多之法而反用之即是
也右一條/新訂
右求總實求隔等數二法凡三乗加五乗加及十分
之七之八之九諸數遞減衰分準此推之無不悉合
但必每等止一人者乃可用耳又如商販獲息當母
[005-6b]
二之一并入母銀又獲息每度皆同此亦一又二之
一乗加也但每度加之數俱合子母而言則當以最
後一度之數為總實不得并諸度之數為總實且首
一數即係原母則一度自有一度之加與甲乙分金
十等人止須九度加者亦微有辨也
合率衰分 率者衰分多寡之大率也與三率之率自/不相涉各有取
義/也葢衰分各等之實數有所未知而各等之大率已
知因合各率以與總實相權而衰分得焉不計其合
[005-7a]
未有能分者也然則以前諸法無非合率衰分而此
獨以合率名者何也前諸法若三七若四六皆有準
則固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以
三七四六為準乃不可専名而獨名之合率也各率
為各衰并之為總衰乗除如前假如有銀二百四十
兩甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五
分丁得四分則甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之
為二十五為總衰也其各等中又各有數不齊者亦
[005-7b]
依前法兹仍具例於左以備參觀
假如有銀七兩零八分欲買銅一停錫二停鉛三停
其價銅每斤一錢八分錫一錢三分鉛五分問三物
各幾何
一率 五十九總衰/ 一銅價二錫/價三鉛價并
二率 七百零八總價/ 一率除二率/得一十二
三率 一銅衰/ 二錫/ 三鉛/
四率 一十二銅斤/數二十四錫/ 三十六鉛/
[005-8a]
右總衰總價俱化兩錢為分者既得三物斤數各以
價乗之得各總價數或以銅總衰一十八分錫總衰
二十六分鉛總衰一十五分為三率即先得各總價
乃各以價除之亦得各斤數
又如有銀五百九十四兩糴米一停麥二停豆三停
共三百九十六石其價米一石抵麥一石六斗抵豆
二石問三物及價各幾何此須用重測法先以米衰
一麥衰二豆衰三并之得六為總衰為一率三物共
[005-8b]
石數為二率各衰為三率求得三物各石數米六十/六麥一
百三十二豆/一百九十八然後别求各價其法置三物停數以三
物相當抵之數乗除之或益貴物以從賤則用乗或
減賤物以從貴則用除以為各衰仍并之為總衰為
一率三物共價為二率各衰為三率求得三物各總
價乃以前所求三物各石數除之即得每石價米二/兩四
錢麥一兩五錢/豆一兩二錢
一率 三又四之三總衰/
[005-9a]
二率 五百九十四總價兩數十一率除二率/得一百五 八又五之二
三率 一米衰/ 一又四之一麥/ 一又二之一豆/
四率 一百五十八/兩四錢米 一百九十/八兩麥 二百三十七/兩六錢豆
右以米為主而減麥與豆以從之米衰一得一麥衰
二以一又五之三除之即一六也米一/抵麥一六故得一又四之
一豆衰三以二除之米一抵/豆二故得一又二之一并之得
三又四之三
又式
[005-9b]
一率 七又二之一總衰/
二率 五百九十四總價十一率除二率/得七 九又五之一
三率 二米衰/ 二又二之一麥/ 三豆/
四率
右以豆為主而益米與麥以從之豆衰三得三米衰
一以二乗之得二麥衰二以一又五之三除之先除/以從
米/再以二乗之次乗以/從豆得二又二之一并之得七又
二之一
[005-10a]
又式
一率 六總衰/
二率 五百九十四總價得一率除/二率 九十九
三率 一又五之三米衰/二麥/二又五之二豆/
四率
右以麥為主而益米減豆以從之麥衰二得二米衰
一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二
除之先除以/從米次以一又五之三乗之次乗以/從麥得二又
[005-10b]
五之二并之得六
右例或不復用米一麥二豆三等衰但就三物各石
數而取一數為主其餘則益貴減賤以從之為總衰
以除總價即得其物每石之價依法復損益之得餘
二物每石之價如以米為主米六十六麥一百三十
二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百
九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又
二之一以除總價得二兩四錢即米每石價也仍以
[005-11a]
一又五之三除之得麥價以二除之得豆價若以麥
豆為主法並倣此右一條/新訂
合率帶分母子衰分 合率衰分其間等差各帶母子
分數者自有帶分之法假如有銀七百九十五兩甲
乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三
丁得丙十二之十一問各實數幾何其法先并各衰
分數并各子以乗各母從小數并起惟丁衰十一無
并其丙衰係十二又係三則以十二并三用三除十
[005-11b]
二得四即以四乗乙之十四得五十六為乙衰乙係
五十六又係七則以五十六并七用七除五十六得
八即以八乗甲之十得八十為甲衰并之得一百五
十九為總衰
一率 一百五十九總衰/
二率 七百九十五總銀/ 一率除二/率得五
三率 八十甲衰/五十六乙/十二丙/十一丁/
四率 四百 二百八十 六十 五十五
[005-12a]
右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一則丙
衰係十三又係三欲以十三并三用三除十三除之
不盡即不用除却以十三乗乙之十四得一百八十
二為乙衰依法推得二百六十為甲衰其丙之十三
丁之十一轉須用三乗之以為衰丙得三十九丁得
三十三也
合率帶分匿總實以較求衰分 假如四人分銀不知
總實但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二
[005-12b]
十四之一十七其丙與丁差四兩問各幾何此三母
皆甲也用并母法累乗得五百七十六為甲衰乃以
乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百
八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰
以丙丁二衰之較為一率丙丁之較為二率各衰為
三率不用約法/覽之易曉
一率 二十四
二率 四
[005-13a]
三率 五百七十六甲/四百八十乙四百三十二丙/四百八丁/
四率 九十六 八十 七十二 六十八
右例帶分與前例母子不同其法互見而可相通前
亦可以較求分此亦可以總實求分也又凡以前諸
衰分法若匿其總實任舉一等所得之數或兩等所
差之數皆可倣二例而求之
合率帶分匿總實以餘實求分 假如四人分銀不知
總實但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁
[005-13b]
得六之一尚餘五兩問各幾何此四母皆銀也用并
母法得九百六十為總衰乃以甲乙丙丁之原子乗
之原母除之而得三百六十為甲衰二百四十為乙
衰一百九十二為丙衰一百六十為丁衰以四衰減
總衰餘八為餘銀之衰為一率餘銀為二率各衰為
三率率式不贅但求得總/實即得各分數矣
右例四母皆據總實言之故可以餘實求總實求分
若以前諸衰分法不可以餘實求也
[005-14a]
右例亦可任舉兩等所得之較以求之又右二例俱/可用借徵法
葢用并分法/亦借衰也
一數遞加減衰分以等求總實與一分遞加減相類而/不同者一分為不定之
數一數則一而已又自此以下及同較衰分共/十法皆謂每等只一人者與以前諸法自别凡一
數遞加自一而二而三四此不難於衰分須求總實
㨗法耳假如欲分十五等問總實幾何法以首等一
以少者/為首并末等十五等十五則末等所/得數亦十五也得十六以等
數乗之折半得一百二十為總實又如有物倚牆一
[005-14b]
面尖堆下廣二十四枚以首層一并下層二十四得
二十五以層數即下/廣數乗之折半得三百為總積前一/分遞
加法若每等只一人者亦可用此以求總實但依法/所得數須更以較數乗之方得總實若未經較數相
乗止得總衰而非總實也假如每一分銀四兩遞加/分十五等依法得一百二十為總衰更以每等之較
四乗之得四百/八十為總實也
一數遞加減衰分以總實求等 假如總實一百二十
以一數遞加分之得幾等法倍實開方除之得十五
而餘實亦十五即十五是等數又如總積物三百欲
[005-15a]
作倚牆一面尖堆倍積開方得二十四而餘實亦二
十四即二十四是下廣數前一分遞加法若每等只/一人者亦可用此以求等
數但須先以每等之較數為法除實而後依上法求/之假如銀四百八十兩每一分四兩遞加分之則先
以較四除實得一百二十乃/依法求得十五為等數也
右二法謂首等數起於一者故比之倚牆一面尖堆
若不從一數起即各等俱以一數遞加但謂之同較
衰分不在此例如倚牆一面平堆每層亦俱較一而
當依同較衰分法也前一分遞加衰分亦謂首等所/得之一分同於各等所差之一
[005-15b]
分也如其不然即/是同較衰分矣
又右二法不可用之同較衰分而下同較諸法凡七/法
則可用之一數遞加衰分也亦可用之一分遞加之/每等只一人者 右一
條新/增
同較衰分不論較數幾何但甲乙之較乙丙/之較丙丁之較各等俱同者是也
假如總實九十九作十一等分之各等俱較一數問
各幾何法以等數減一存十與等數相乗折半得五
十五以較一乗之仍得五十五較一則乗猶不乗也/而於法不可無此一
[005-16a]
乗者為較不止/於一者而設也以減總實餘四十四以等數除之得
四為首等數或以并總實得一百五十四以等數除
之得十四為末等數餘以次推之
同較衰分以等及較與首數求尾數與尾數求首數求
總實 如前例十一等每等各較一法以等數減一
存十以較一乗之仍得十并首數四得尾數減尾數
十四得首數并首尾數以等數乗之折半得總實
同較衰分以較與首尾數求等求總實 法以首尾數
[005-16b]
相減得首尾較以較除之加一數得等數如前法求
總實
同較衰分以總實及較與首尾和求等求分 法以首
尾和折半為法除總實得等數即以等數減一乗較
數得首尾較和較相減半之得首數相并半之得尾
數
同較衰分以總實及等與首尾較求較求分 法倍總
實以等數除之得首尾和如前法求之再以等數減
[005-17a]
一除首尾較得各較
同較衰分以總實及等與首幾等和或尾幾等和求較
求分言或者首尾/不必並舉法以帶和之等數乗總實以全等
數除之所得數乃首尾幾等應得均平之數也因衰/分而多少不均近尾者必盈近首者必不足
而此盈彼不足其數必相當故下但/云與和相減而不必問其首尾也與和數相減減
餘以帶和之等數折半為法除之再以全等數減帶
和等數為法除之得各較右一條/新增
同較衰分以等與首幾等和尾幾等和求較求分求總
[005-17b]
實 假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分銀甲乙丙三
人共一百一十一兩庚辛二人共四十一兩問各較
幾何各分幾何總實幾何法以三互乗四十一得一
百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相
減餘九十九又以二三相并得五折半為二又二之
一以減人數總八餘五又二之一又以二三相乗得
六以乗五又二之一得三十三為法以除九十九得
三為各較數乃以甲乙丙和三除之得乙數加較得
[005-18a]
甲數減較得丙數或以庚辛和并較半之得庚數減
較半之得辛數次求丁戊已數并八數為總實右例/但取
首尾並舉而或舉首尾各二人或各三人或各四人/或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡於法
皆通即總數滿百人而但舉/首尾兩三人亦無不可也
同較衰分令多寡齊數法 假如有銀二百七十兩作
甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人
數齊問各幾何法如一分遞加減列衰甲五乙四丙
三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相
[005-18b]
減較三以二人三人相減之較一為法除之仍得三
較一則亦不必除而言除/者為較有不止於一者也却於五等衰各加三數為
各衰并之為總衰列三率求之
一率 三十總衰/
二率 二百七十總實/ 一率除二/率得九
三率 八甲衰/七乙/ 六丙/ 五丁/ 四戊/
四率 七十二 六十三 五十四 四十五 三十六
又如有銀七十兩作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲
[005-19a]
乙二人數與丙丁戊已庚五人數齊問各幾何法列
衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得
十三并丙丁戊已庚衰得十五相減較二而此乃五
人之數多於二人與前二人之數多於三人者不同
亦以二人五人相減之較三為法除之得三之二却
於五等衰各減三之二為各衰并為總衰如前求之
一率 二十三又三之一總衰/
二率 七十總實/ 一率除二/率得三
[005-19b]
按一數遞加一分遞加衰分只三人甲數與乙丙數
齊而餘皆不能故此法獨不可以相通也
同較衰分又法 前同較衰分八法皆謂每等只一人
者據實與等與較及首尾數更互相求於法止可每
等一人耳若但欲衰分則雖每等之中復有人數多
寡不齊非無法以分之 假如銀三百二十四兩甲
[005-20a]
乙丙丁四等人分之每等較三兩甲等二人乙等四
人丙等六人丁等十人問各幾何法以較三乗乙四
人得十二倍較為六乗丙六人得三十六三乗較為
九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并總實
得四百六十二以甲乙丙丁總二十二人除之得二
十一為甲等一人所得數遞減較得各等數右一條/新增
或以較三乗丙六人較六乗乙四人較九乗甲二人/并得六十減總實得二百六十四除得十二為丁等
數/
[005-20b]
母子差分此謂商賈以母銀得/息非帶分之母子也假如三商共得子銀四
百兩甲母三百兩經十箇月乙母六百兩丙母八百
兩俱不知月其子銀則甲得二百兩乙得一百二十
兩丙得八十兩問乙丙出母銀經幾月
一率 二百甲子/
二率 三千甲母乗月數/
三率 一百二十乙子/ 八十丙子/
四率 一千八百乙母兼/月數 一千二百丙母兼/月數
[005-21a]
各再以母除得月數乙得三丙得一又二之
一
又如三商共得子銀一百三十八兩甲出母二百兩
經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十箇月不
知母其子銀則甲得六十乙得四十八丙得三十問
乙月丙母
一率 六十甲子/
二率 二千四百甲母乗/月數
[005-21b]
三率 四十八乙子/ 三十丙子/
四率 一千九百二十乙母兼/月數一千二百丙母兼/月數
乙再以母除/得八月 丙再以月除得/一百二十兩
又如三商共得子銀一千五百二十兩甲母一千八
十兩乙母三百六十兩丙不知母其子銀則丙得二
百四十兩問甲乙各子及丙母
一率 一千四百四十甲乙/共母
二率 一千二百八十總子減丙子/得甲乙共子
[005-22a]
三率 一千八十甲母/三百六十乙母/
四率 九百六十甲子/三百二十乙子/
又
一率 一千二百八十甲乙共子/
二率 一千四百四十甲乙共母/
三率 二百四十丙子/
四率 二百七十丙母/
又如二商共得子銀一百兩甲母倍於乙外又一十
[005-22b]
五兩其子銀則甲得六十八兩乙得三十二兩問甲
乙母各幾何
一率 四甲子倍乙外/又盈此數
二率 十五甲母倍乙外/又盈此數
三率 六十八甲子/ 三十二乙子/
四率 二百五十五甲/母一百二十乙/母
貴賤差分 法以貴價乗總物數與總價數相減餘以
貴賤價較數為法除之得賤物數或以賤價乗總物
[005-23a]
數與總價數相減餘以價較數為法除之得貴物數
假如米每石價二兩麥每石價一兩六錢總銀七十
四兩買米麥共四十石問各幾何法以米價乗總石
數得八十減總價得六以米麥價較五分兩之二為
法除之得一十五是麥石數餘為米石數或先求米
石數亦可
又如上酒每斗價錢三百次酒每斗價二百二十今
欲襍和二酒立價二百五十問一斗内上酒幾何次
[005-23b]
酒幾何法以上酒價減立價餘五十以上次價較八
十為法除之得八分斗之五為次酒餘八分斗之三
為上酒也或以次酒價減立價算之先得上酒數亦
同
匿價差分 假如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹
絹二百匹其價綾比羅每匹多六錢羅比絹每匹多
八錢問三物各價幾何法以羅二百匹乗羅絹價較
得一百六十兩以綾一百匹乗綾羅羅絹二價較得
[005-24a]
一百四十兩并之得三百兩以減總價得五百兩以
總匹數五百除之得一兩為絹每匹價以次推得綾
羅價或以羅二百匹乗綾羅價較得一百二十兩以
絹二百匹乗綾羅羅絹二價較得二百八十兩并之
得四百兩以并總價得一千二百兩以總匹數五百
除之得二兩四錢為綾每匹價又或先求羅價亦可
又如米十四石麥十八石兩總價適等但云米每石
價多於麥三錢六分問二物各價幾何法以米麥石
[005-24b]
數較四除價較得九分以麥數十八乗之得米每石
價以米數十四乗之得麥每石價
又如金九塊銀十一塊其總重適等交換一塊則金
輕十三兩問金銀各塊重法以輕重較十三兩折半
得六兩五錢以金銀塊數較二除之得三兩二錢五
分以銀數十一乗之得金每塊重以金數九乗之得
銀每塊重此與上米麥例同惟折半不同耳葢/輕重交換較二實止較一故須折也
襍差分法 假如出兵大小船數相等大船每三隻載
[005-25a]
五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五
十名問大小船各幾隻各總載兵幾何
一率 二千九百三隻五百名四隻三百名/互乗并得兵數為兵總衰
二率 一十二三隻四隻相乗船/數為大小船各衰
三率 四千三百五十總兵/數
四率 一十八大小船/各數
次求大小船各總載兵數
一率 三 四
[005-25b]
二率 五百 三百
三率 一十八 一十八
四率 三千大船總/載兵數 一千三百五十小船總/載兵數
右例亦可先求大小船各總載兵數
一率 二千九百三隻五百名四隻三百名/互乗并得兵數為兵總衰
二率 四千三百五十總兵/數
三率 二千四隻互乗五百/名為大船兵衰 九百三隻互乗三百/名為小船兵衰
四率 三千 一千三百五十
[005-26a]
次求大小船各數
一率 五百 三百
二率 三 四
三率 三千 一千三百五十
四率 一十八 一十八
又如出兵左右營兵數相等左營用大船每三隻載
五百名右營用小船每四隻載三百名共用船一百
七十四隻問左右營兵各幾何各總用船幾隻
[005-26b]
一率 二千九百三隻五百名四隻三百名互/乗并得船數約為二十九
二率 一十五萬五百三百相乗兵數約為/一千五百 以百為通數
三率 一百七十四總船/數
四率 九千左右營/各兵數
次求各總用船數
一率 五百 三百
二率 三 四
三率 九千 九千
[005-27a]
四率 五十四左營用/大船數 一百二十右營用/小船數
右例亦可先求大小船各總數
一率 二千九百三隻五百四隻三百互乗并得/船數為船總衰約為二十九
二率 一百七十四總船/數
三率 九百三百互乗三隻為/大船衰約為九 二千五百互乘四隻為/小船衰約為二十
四率 五十四 一百二十
次求各總載兵數
一率 三 四
[005-27b]
二率 五百 三百
三率 五十四 一百二十
四率 九千 九千
又如犒師每二十四名給牛一頭每五名給羊一頭
共用牛羊一千七百四十頭問兵幾何牛羊各幾何
一率 二十九二十四名一頭五名一/頭互乗并得牛羊數
二率 一百二十二十四名五/名相乗兵數
三率 一千七百四十牛羊/總數
[005-28a]
四率 七千二百兵數/
次求牛羊各總數
一率 二十四 五
二率 一 一
三率 七千二百 七千二百
四率 三百牛數/ 一千四百四十羊數/
右例初測第一率不必互乗直以五與二十四并得
二十九再測不必列第二率直以二十四與五除兵
[005-28b]
數即得牛與羊各總數而立法必如是者葢此例與
前二例本同一法若從簡省乃似别為一法而學者
反眩惑也
右例亦可先求牛羊各數
一率 二十九如前互乗并得牛/羊數為牛羊總衰
二率 一千七百四十牛羊/總數
三率 五五名互乗一/頭為牛衰二十四二十四名互乗/一頭為羊衰
四率 三百 一千四百四十
[005-29a]
次求兵數如前二例不復贅 又按右例謂兵既給
牛又給羊者不然則給牛之兵與給羊之兵數等者
若兩營兵一給牛一給羊牛羊數等而兩營兵數不
等乃舉兩營兵總數問兩營各數及牛羊數依上以/一千七
百四十為兵/總數餘並同則以二十九為一率以一為二率一與/一相
乗仍得/一也以一千七百四十為三率求得六十為四率
為牛羊各數又或先求兩營兵各數則以二十九為
兵總衰為一率一千七百四十為二率二十四為給
[005-29b]
牛兵衰五為給羊兵衰為三率求得一千四百四十
與三百為四率為給牛與給羊兵各數也㕘觀前諸
例其法自備不復詳列
又如賞軍毎馬兵五名給紬三匹毎歩兵四名給布六匹
總計馬歩兵共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩兵各
幾何紬布各幾何此與前例不同葢馬兵與步兵數既不
等紬與布數又不等也法以馬兵五名紬三匹歩兵四名
布六匹互乗得數相減餘一十八為法别以馬兵五名紬
[005-30a]
三匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數
相減餘二萬零七百以法除之得一千一百五十為
步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵總四千六
百名以布六匹乗之得布總六千九百匹其餘則馬
兵及紬總數也或以步兵四名布六匹馬步總八千
一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘一萬二千
六百以法除之得七百為馬兵及紬衰乃以馬兵五
名乗之得馬兵總三千五百名以紬三匹乗之得紬
[005-30b]
總二千一百匹其餘則步兵及布總數
又如大船四櫓四槳小船二櫓八槳今但見總作櫓
一百張槳二百零八張問大小船各幾何法以四櫓
四槳二櫓八槳互乗得數相減餘二十四為法别以
大船四櫓四槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相
減餘四百三十二以法除之得一十八為小船數或
以小船二櫓八槳總一百櫓二百零八槳互乗得數
相減餘三百八十四以法除之得一十六為大船數
[005-31a]
右例與前賞馬步兵紬布例同前馬兵及紬衰步兵
及布衰在此即大小船各數也右一條/新訂
又如漏壺一具上有渇烏注水三時而滿下有天池
洩水八時而盡今且注且洩問幾時可滿一壺法先/求一
時所注所/洩之數
一率 三時 八時
二率 一壺 一壺
三率 一時 一時
[005-31b]
四率 三分壺之一注/ 八分壺之一洩/
次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求
全壺滿時
一率 二十四分壺之五
二率 一時
三率 一壺
四率 四時又五分時之四
又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注
[005-32a]
且洩問五時又三分時之一可滿幾何法先求一時
所注所洩之數置率如前次以一時所注所洩相減
餘為一時所注之數而求五時又三分時之一所注
之數
一率 一時
二率 二十四分壺之五
三率 五時又三分時之一
四率 一壺又九分壺之一
[005-32b]
又如漏壺一具下開三孔洩水大孔四時盡一壺次
六時而盡又次十二時而盡若三孔俱開則一壺須
幾時盡法以三孔一時所洩之數并而計之知一時
泄二分壺之一則二時盡一壺
一率 四時 六時 十二時
二率 一壺
三率 一時
四率 四分壺/之一 六分壺/之一 十二分/壺之一
[005-33a]
右例或以最小孔十二時為主求餘二孔所注之數
乃并而計之知十二時盡幾壺則知幾時盡一壺或/以
中孔六時/為主亦同
一率 四時 六時
二率 一壺
三率 十二時
四率 三壺 二壺
又如甲乙銀各不知數取乙九兩與甲即甲倍多於
[005-33b]
乙取甲七兩與乙則甲乙正等問各幾何法以乙與
甲九兩甲與乙七兩并之得十六兩倍之得三十二
兩是倍多之數即以三十二兩為乙衰幷未與甲九
兩得乙數四十一兩以六十四兩為甲衰減未得乙
九兩得甲數五十五兩右一條/新訂
又如甲乙銀不知數取乙四兩與甲即甲多於乙二
之一乙二而甲三也取甲七兩與乙則甲乙等問各
幾何法如前并而倍之得二十二兩是二之一多數
[005-34a]
即以四十四兩為乙衰六十六兩為甲衰依前求得
乙數四十八甲數六十二右一條/新訂
又如商販不知其母但云每度俱獲倍息母一得/子亦一即
於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母幾何
凡倍上加倍者率三倍而一得八一兩三倍之成八/兩也四倍則一得
十六餘準/此推之法以八除三百得三十七兩五錢以減三
百得二百六十二兩五錢即原母數若四度而盡者/即以十六除而
減/之
[005-34b]
按右例立法之意乍閲之或未解葢原母倘係三百
則每度用其倍息三度後仍存三百矣何得子母俱
盡須知三倍後之三百其母為三十七兩五錢故於
三百内減之而餘即原母數也一三倍而成八故用
八除三百得母三十七兩五錢猶之三度折半爾右/一
條新/訂
自貴賤差分至此諸例亦可以借徵法求之别見數
條於後
[005-35a]
又如黄金百斤製一鑪既成慮匠人盜金和銀銷毁
驗之則損工費乃以器貯水令滿已知水幾斤即以
純金百斤入器内溢出水六十斤加水令滿復以銀
百斤入之溢水九十斤再貯滿水却以鑪入之溢水
六十五斤問和銀及實金幾何法以金銀溢水之較
三十斤以百斤除之得每斤溢水之較十分斤之三
為法以除鑪與金溢水之較五斤得和銀數一十六
斤又三分斤之二以除鑪與銀溢水之較二十五斤
[005-35b]
得實金數八十三斤又三分斤之一補貴賤差/分第三條
又如犒軍每八名給豕一頭每六名給羊一頭每三
名給兔一頭共用豕羊兔一千一百二十五頭問兵
幾何豕羊兔各幾何法以八名六名相乗為兔衰八
名三名相乗為羊衰六名三名相乗為豕衰此所謂/三維乗
也或先求兵總衰而豕羊兔/各以所給兵名數除之亦同并之得九十為豕羊兔
總衰為一率以八名六名三名累乗得一百四十四
為兵總衰為二率豕羊兔總實為三率求得四率一
[005-36a]
千八百為兵總數豕羊兔各以所給兵名數除之得
各數或以豕羊兔總衰為一率豕羊兔總實為二率
豕羊兔各衰為三率即先得三物各數乃各以所給
兵名數乗之得兵總數按此例亦謂兵既給豕/又給羊兔者下例同
又如賞軍每八名給紬五匹每六名給絹四匹每四
名給布三匹共用紬絹布三千六百七十五匹問兵
幾何紬絹布各幾何法以八名六名相乗再以三匹
乗之為布衰八名四名相乗再以四匹乗之為絹衰
[005-36b]
六名四名相乗再以五匹乗之為紬衰或先求兵總/衰而紬絹布
各以匹數乗之以所/給兵數除之亦同并之得三百九十二為紬絹布
總衰八名六名四名累乗得一百九十二為兵總衰
如前法求之得兵總數一千八百右二例與零分/章并分法相似按
此例與前例本同一法前例豕羊兔俱以一頭立算
故不須以頭數與維乗數再相乗耳但今算家相𫝊
僅知有前例而無後例則法有所窮故特出此條其
實前例亦暗寓頭數一回乗也補襍差分第六第七/條 右一條新增
[005-37a]
[005-37b]
九章録要卷五
