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欽定四庫全書
九章録要卷一
松江屠文漪撰
乗除諸法
九章乗除之法各有不同因以分著各章其通用者
宜先講也具詳於左
并乗并除 算以速見巧乗或屢乗除或屢除不若一
乗一除之捷也假如有數須用一十五乗復一十八
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乗者直以二百七十乗之先以十五與/十八相乗餘可意推其
在除法尤以并為便葢使分除而前除不盡以後必
用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟
前除適盡則後除雖有零餘亦當無幾特便於命分
而并除者餘實反多然約之亦正相同耳
分乗分除 再三乗除不若一乗除之便而亦有時宜
用分者不可以一律拘假如有數須二百四十五乗
凡為四十/九者五則先以五乗之復以七乗之又以七乗之
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既無易誤之患而算較㨗也其在除法則須審量何
也恐前除不盡而後仍用零除也葢以法除實或不
能盡者非必如三六七九等除雖破實之一為十為
百與千如實米一石破為十斗為/百升為千合之類是也而終不盡也即如
二四五八等除但破實之一為十與百千自無不盡
而若不破實則仍不盡矣前除既破實以至於盡後
除勢不中止此於命分反逺特求分釐數者宜之耳
夫既已命分而以母除子亦得分釐數既得分釐數
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而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自
取㨗豈須借徑此其宜審者也更恐前除破實且不
盡則雖求分釐數亦未能精細故所分之除法孰先
孰後大抵二四五八等除宜居/前三六七九等除宜居末又不可不審總之運
算之巧存乎一心非言所可悉矣 假如有銀四百
五十兩用一百六十八除若并除得二兩又一百六
十八分兩之一百一十四即不復破實細除但約之
為二十八分兩之一十九而可以命分矣若分除者
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先用三除次八除次七除以原數四百五十故先用/三除若係三百五十便當
先用七除次/八次三也得二兩六錢七分八釐五毫七絲又七
分絲之一尚可再除而/數微已甚矣倘欲以兩命分則惟二兩整
數已定外餘須以原法乗之乃得一百一十四之數
仍再約之反不㨗也右一條/新增
乗除相減歸一法 數須乗除並用而可用乗省除或
用除省乗則歸一尤為至便如數須一十八乗復三
除者直以六乗之須四乗復十二除者直以三除之
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其法乗數多則從乗除數多則從除而必先取乗除
兩數以少除多除之可盡即用除得之數不可盡者
不能歸一也省乗用除倘有零餘則約分簡易更非
原數乗除之比右一條/新訂
兩數一半一倍乗法 置兩數欲相乗者若倍其一半
其一而乗之所得數同如一數五百二十五一數三
十二倍上數為一千零五十半下數為一十六乗之
視以原數相乗者㨗矣此特宜於數之少者葢直可
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以臆計而不煩布算也右一條/新增
倍除法 置兩數欲以法除實者若倍其法除之所得
數亦倍之即應得之數如有數須四十五除則用九
十除須一百三十五除則用二百七十除亦倍所得
數㨗於以原法除也遇零分欲求分釐數者依此除
之若欲命分則仍其子還用原母即原/法也以命之或須
約者更約之滿原母者歸整為一數俱不用倍右一/條新
增/
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乗除通用法 二乗與五除同二除與五乗同置銀十/兩以二
乗之得二十兩以五除之得二兩其差十倍/然而可通用者其乗除俱得二數則同耳 四乗
與二五除同四除與二五乗同其差/百倍 八乗與一二
五除同八除與一二五乗同其差/千倍
以加減代乗法 假如有數須八乗者即於實下一位
減二若實數係五二五當減一十則於實之本位減
一也有數須一零五乗者即於實下第二位加五若
實數係二二五當加一十則於實下一位加一也加
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減俱從小數始
三率準測乗除法 數有已知者因以測所未知則列
前三率求後一率先定三率之位第一率與第三率
相準第二率與未知之第四率相準如穀準穀錢準
錢之類乃以二率三率相乗為實以一率為法除之
得四率為所求數舊名異乗同除左例原銀與原米/是為同今銀與原
米是/為異
假如原有銀三十六兩糴米四十八石今銀六十三
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兩問米幾何
一率 原銀三十六兩
二率 原米四十八石
三率 今銀六十三兩
四率 八十四石為今米數
右法若先以一率除二率得數乃以乗三率或先以
一率除三率得數乃以乗二率所得四率皆同但除
之不盡必用零乗之法則不若從前先乗後除為㨗
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凡數須乗除並用者/每以乗居先倣此
右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得
第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以
三率除之得二率
三率化多為寡乗除法 别求一通數可以除盡率中
之兩數者其一必係第一率其一/或第二率或第三率即以通數除率數
所得數列本率下以代率數乗除如前無通數者則
否
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一率 三十六 三此以十二為通數/
二率 四十八 四
三率 六十三
四率 八十四
又式
一率 三十六 四此以九為通數/
二率 四十八
三率 六十三 七
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四率 八十四
三率易位乗除法 前法以原銀原米相連置一二率
而今銀置三率葢以二率視四率猶以一率視三率
三率視四率亦猶一率視二率其數可例推也若如
左例原珠數多其價數反少今珠數少其價數反多
必以一率與三率互換其位而後三率之視四率亦
猶一率之視二率矣乗除如前得所求數舊名同乗
異除若如前置率則當以一率/二率相乗以三率除之 假如原有小珠五
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十顆今有珠稍大三十顆其總重適等原珠共價銀
一十二兩問今價幾何
一率 今珠三十顆 三以十為通數/
二率 原價十二兩
三率原珠五十顆 五
四率 二十兩為今價
又如有物一枚以稱稱之稱小不及其錘重十兩外
加一錘重八兩稱之得三十五斤依小稱算該幾斤
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一率 原錘十兩 二以五為通數/
二率 今重三十五斤 七
三率 并兩錘十八兩
四率 六十三斤為實重數
又如原稱稱物重三十五斤失原錘欲别作錘配之
不知輕重却借一錘重十兩以較原稱之物得六十
三斤問原錘重
一率 原重三十五斤
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二率 今錘十兩
三率 今重六十三斤
四率 十八兩為原錘重
此即前例一率四率相乗/而以二率除得三率也
三率重測法數或繁襍非三率可盡當疊用三率之
法次第推之
假如原母銀五十兩三月得子銀四兩今母銀二百
兩欲得子銀二百兩須幾年
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一率 原母五十兩
二率 原子四兩
三率 今母二百兩
四率 十六兩為今母三月之子
又
一率 子十六兩
二率 三月
三率 子二百兩
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四率 三十七月二分月之一為所求數
右例亦可用并法
一率 原子四兩
二率 原母乗三月得一百五十兩
三率 今須子二百兩
四率 七千五百兩為今母乗月之數再以今母除
之得月數
又如客販布賣之每匹二錢即母銀百兩已得息三
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十兩設每匹賣二錢四分則百兩獲息幾何
一率 已得息并母一百三十兩
二率 母一百兩
三率 布價二錢化二十分
四率 十五分又十三分分之五為每匹母銀
别有㨗法應補於後
一率 二十分
二率 一百三十兩
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三率 四分
四率 二十六兩
并三十兩得五十六兩
又
一率 每匹母十五分又十三之五
二率 布價二錢四分内息八分又十三之八
三率 母一百兩
四率 五十六兩為所求息數
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又㨗法
一率 二十分
二率 一百三十兩
三率 二十四分
四率 一百五十六兩
此為母子并數
三率并乗并除法數雖繁襍而可歸并入三率之内
則以三率盡之
[001-11b]
假如煉礦求銀初火得三之二再火得七之五又火
得四之三凡三火得銀七十五兩問原礦幾何
一率 三子相乗得三十
二率 三母相乗得八十四
三率 煉得銀七十五兩
四率 二百一十兩為原礦
又如原有綾八匹換紗二十匹原紗三十匹換布一
百匹原布六十匹換錦二匹今有綾一十八匹問換
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錦幾何
一率 原綾紗布乗得一萬四千四百
二率 原換紗布錦乗得四千匹
三率 今綾一十八匹
四率 五匹為換錦數
乗除先化大小數法 凡數大小雜見不便相乗除則
先以大數化為小數假如原有銀六錢買絲七兩今
有銀五兩問買絲幾何此因銀數有錢復有兩須化
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兩為錢其絲自作兩算不必化錢也大凡同類者須
化殊類則否遇多數取最小數為主以大數化之倣/此如一十二兩三錢四分化為一千二
百三十四/分之類
一率 六原銀錢數/
二率 七原絲兩數/
三率 五十今銀化為錢數/
四率 五十八又三分之一今應得絲兩數/
右例亦可以錢從兩化之而不如前法之㨗
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一率 五分之三原銀化為兩數/
二率 七原絲兩數/
三率 五今銀兩數/
四率 五十八又三分之一得絲兩數同前/
又如原銀六錢二分五釐買絲七兩今銀一百三十
二兩問買絲幾何此若以大數化小則原銀今銀當
悉化為釐而原銀數固可以兩命分又不如從兩化
之為便所貴乎隨宜通變者也因今銀是以兩計而/化之非為絲以兩計
[001-13b]
也/
一率 八分之五原銀化為兩數/
二率 七原絲兩數/
三率 一百三十二今銀兩數/
四率 一千四百七十八又五分之二今應得絲/兩數
右一條/新增
九章録要卷一
