[001-1a] 
欽定四庫全書
幾何原本卷一之首
西洋利瑪竇譯
界說三十六則
凡造論先當分别解說論中所用名目故曰界說
凡厯法地理樂律算章技藝工巧諸事有度有數者
皆依頼十府中幾何府屬凡論幾何先從一㸃始
自㸃引之為線線展為靣靣積為體是名三度
[001-1b]
第一界
㸃者無分
無長短廣狹厚薄 如下圖凡圖十干為識干盡用/十二支支盡用八卦八
音/
甲/
第二界
線有長無廣
試如一平靣光照之有光無光之間不容一物是線
[001-2a]
也真平真圓相遇其相遇處止有一㸃行則止有一線
線有直有曲
第三界
線之界是㸃凡線有界者/兩界必是㸃
第四界
直線止有兩端兩端之間上下更無一㸃
兩㸃之間至徑者直線也稍曲則繞而長矣
[001-2b]
直線之中㸃能遮兩界
凡量逺近皆用直線
甲乙丙是直線甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是
曲線
第五界
靣者止有長有廣
體所見為靣
凡體之影極似於靣無厚/之極
[001-3a]
想一線横行所留之迹即成靣也
第六界
靣之界是線
第七界
平靣一靣平在界之内
平靣中間線能遮兩界
[001-3b]
平靣者諸方皆作直線
試如一方靣用一直繩施於 角繞靣運
轉不礙於空是平靣也
若曲靣者則中間線不遮兩界
第八界
平角者兩直線於平靣縱横相遇交接處
[001-4a]
凡言甲乙丙角皆指平角
如上甲乙乙丙二線平行相遇不能作角
如上甲乙乙丙二線雖相遇不作平角為是
曲線
所謂角止是兩線相遇不以線之大小較論
第九界
直線相遇作角為直線角
[001-4b]
平地兩直線相遇為直線角本書中所論止是直線
角但作角有三等今附著於此一直線角二曲線角
三雜線角 如下六圖
第十界
直線垂於横直線之上若兩角等必兩成直角而直線
下垂者謂之横線之垂線
[001-5a]
量法常用兩直角及垂線垂線加於横線之上必不
作銳角及鈍角
若甲乙線至丙丁上則乙之左右作兩角相
等為直角而甲乙為垂線
若甲乙為横線則丙丁又為甲乙之垂線何者丙乙
與甲乙相遇雖止一直角然甲線若垂下過乙則丙
線上下定成兩直角所以丙乙亦為甲乙之垂線如/今
用短尺一縱一横互相/為直線互相為垂線
[001-5b]
凡直線上有兩角相連是相等者定俱直角中間線
為垂線
反用之若是直角則兩線定俱是垂線
第十一界
凡角大于直角為鈍角
如甲乙丙角與甲乙丁角不等而甲乙丙大
於甲乙丁則甲乙丙為鈍角
第十二界
[001-6a]
凡角小於直角為銳角
如前圖甲乙丁是
通上三界論之直角一而己鈍角銳角其大小不等
乃至無數
是後凡指言角者俱用三字為識其第二字即所指
角也 如前圖甲乙丙三字第二乙字即所指鈍角
若言甲乙丁即第二乙字是所指銳角
第十三界
[001-6b]
界者一物之終始
今所論有三界㸃為線之界線為靣之界靣為體之
界體不可為界
第十四界
或在一界或在多界之間為形
一界之形如平圓立圓等物多界之形如平方立方
及平立三角六八角等物 圖見後卷
第十五界
[001-7a]
圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱
等
若甲乙丙為圜丁為中心則自甲至丁與
乙至丁丙至丁其線俱等
外圓線為圜之界内形為圜
一說圜是一形乃一線屈轉一周復於元處所作如
上圖甲丁線轉至乙丁乙丁轉至丙丁丙丁又至甲
丁復元處其中形即成圜
[001-7b]
第十六界
圜之中處為圜心
第十七界
自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜
兩平分
甲丁乙戊圜自甲至乙過丙心作一直線
為圜徑
第十八界
[001-8a]
徑線與半圜之界所作形為半圜
第十九界
在直線界中之形為直線形
第二十界
在三直線界中之形為三邉形
第二十一界
在四直線界中之形為四邉形
第二十二界
[001-8b]
在多直線界中之形為多邊形五邉以/上俱是
第二十三界
三邊形三邊線等為平邊三角形
第二十四界
三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形或銳/或鈍
[001-9a]
第二十五界
三邊形三邊線俱不等為三不等三角形
第二十六界
三邊形有一直角為三邊直角形
[001-9b]
第二十七界
三邊形有一鈍角為三邊鈍角形
第二十八界
三邉形有三銳角為三邉各銳角形
凡三邊形恒以在下者為底在上二邊為腰
第二十九界
[001-10a]
四邊形四邊線等而角直為直角方形
第三十界
直角形其角俱是直角其邊兩兩相等
如上甲乙丙丁形甲乙邊與丙丁邊自相
等甲丙與乙丁自相等
第三十一界
[001-10b]
斜方形四邊等俱非直角
第三十二界
長斜方形其邊兩兩相等俱非直角
第三十三界
[001-11a]
以上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆
謂之無法四邊形
第三十四界
兩直線於同靣行至無窮不相離亦不相逺而不得相
遇為平行線
[001-11b]
第三十五界
一形每兩邊有平行線為平行線方形
第三十六界
凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角
[001-12a]
線又於兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對
角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形
有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘
方形
甲乙丁丙方形於丙乙兩角作一線為對
角線又依乙丁平行作戊己線依甲乙平
行作庚辛線其對角線與戊己庚辛兩線
交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬
[001-12b]
己丙及戊壬辛乙兩方形謂之角線方形而甲庚壬
戊及壬己丁辛謂之餘方形
求作四則
求作者不得言不可作
第一求
自此㸃至彼㸃求作一直線
此求亦出上篇葢自此㸃直行至彼㸃即是直線
自甲至乙或至丙至丁俱可作直線
[001-13a]
第二求
一有界直線求從彼界直行引長之
如甲乙線從乙引至丙或引至丁俱一直
行
第三求
不論大小以㸃爲心求作一圜
[001-13b]
第四求
設一度於此求作彼度較此度或大或小凡言度者或/線或面或體
皆/是或言較小作大可作較大作小不可作何者小
之至極數窮盡故也此說非是凡度與數不同數
者可以長不可以短長數無窮短數有限如百數
減半成五十減之又減至一而止一以下不可損
[001-14a]
矣自百以上增之可至無窮故曰可長不可短也
度者可以長亦可以短長者增之可至無窮短者
減之亦復無盡嘗見莊子稱一尺之棰日取其半
萬世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若
減之可盡是有化爲無也有化爲無猶可言也令
巳分者更復合之合之又合仍爲尺棰是始合之
初兩無能并爲一有也兩無能并爲一有不可言也
公論十九則
[001-14b]
公論者不可疑
第一論
設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等
第二論
有多度等若所加之度等則合并之度亦等
第三論
有多度等若所減之度等則所存之度亦等
第四論
[001-15a]
有多度不等若所加之度等則合并之度不等
第五論
有多度不等若所减之度等則所存之度不等
第六論
有多度俱倍於此度則彼多度俱等
第七論
有多度俱半於此度則彼多度亦等
第八論
[001-15b]
有二度自相合則二度必等以一度加/一度之上
第九論
全大於其分如一尺大於一寸寸者全/尺中十分中之一分也
第十論
直角俱相等見界/說十
第十一論
有二横直線或正或偏任加一縱線若三線之間同方
兩角小於兩直角則此二横直線愈長愈相近必至
[001-16a]
相遇甲乙丙丁二横直線任意作一戊己縱
線或正或偏若戊己線同方兩角俱小於直
角或并之小於兩直角則甲乙丙丁線愈長
愈相近必有相遇之處
欲明此理宜察平行線不得相遇者界說/卅四加一垂線
即三線之間定為直角便知此論兩角小於直角者
其行不得不相遇矣
第十二論
[001-16b]
兩直線不能為有界之形
第十三論
兩直線止能於一㸃相遇
如云線長界近相交不止一㸃試於丙乙二界各出
直線交於丁假令其交不止一㸃當引至
甲則甲丁乙宜為甲丙乙圜之徑而甲丁
[001-17a]
丙亦如之界說/十七夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦
右半也界說/十七甲丁乙為全甲丁丙為其分而俱稱右
半是全與其分等也本篇/九
第十四論
有幾何度等若所加之度各不等則合并之差與所加
之差等
甲乙丙丁線等于甲乙加乙戊於丙丁加丁
己則甲戊大於丙己者庚戊線也而乙戊大
[001-17b]
於丁己亦如之
第十五論
有幾何度不等若所加之度等則合并所贏之度與元
所贏之度等
如上圖反說之戊乙己丁線不等於戊乙加
乙甲於己丁加丁丙則戊甲大於己丙者戊
庚線也而戊乙大於己丁亦如之
第十六論
[001-18a]
有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減
去所贏之度等
甲乙丙丁線等於甲乙減戊乙於丙丁減己
丁則乙戊大於丁己者庚戊也而丙己大於
甲戊亦如之
第十七論
有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與元
所贏之度等
[001-18b]
如十四論反說之甲戊丙己線不等於甲戊
減甲乙於丙己減丙丁則乙戊長於丁己者
亦庚戊也與甲戊長於丙己者等矣
第十八論
全與諸分之并等
第十九論
有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全
所減之度則此較亦倍於彼較相减之/餘曰較
[001-19a]
如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較
十四彼較七
[001-19b]
幾何原本卷一之首
[001-20a]
欽定四庫全書
幾何原本卷一
西洋利瑪竇撰
第一題
于有界直線上求立平邊三角形
法曰甲乙直線上求立平邊三角形先以甲
為心乙為界作丙乙丁圜次以乙為心甲為
界作丙甲丁圜兩圜相交于丙于丁末自甲
[001-20b]
至丙丙至乙各作直線即甲乙丙為平邊三角形
論曰以甲為心至圜之界其甲乙線與甲丙甲丁線
等以乙為心則乙甲線與乙丙乙丁線亦等何者凡
為圜自心至界各線俱等故界説/十五既乙丙等于乙甲
而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙
丙公論/一三邊等如所求凡論有二種此/以是為論者正
論也下/倣此
[001-21a]
其用法不必作兩圜但以甲為心乙為界
作近丙一短界線乙為心甲為界亦如之
兩短界線交處即得丙
諸三角形俱推前用法作之詳本篇/卄二
第二題
一直線線或内或外有一㸃求以㸃為界作直線與元
線等
[001-21b]
法曰有甲㸃及乙丙線求以甲為界作一
線與乙丙等先以丙為心乙為界乙為心/丙為界
亦可/作作丙乙圜第三/求次觀甲㸃若在丙乙
之外則自甲至丙作甲丙線第一/求如上前
圖或甲在丙乙之内則截取甲至丙一分
線如上後圖兩法俱以甲丙線為底任于
上下作甲丁丙平邊三角形本篇/一次自三角形兩腰
線引長之第二/求其丁丙引至丙乙圜界而止為丙戊
[001-22a]
線其丁甲引之出丙乙圜外稍長為甲己線末以丁
為心戊為界作丁戊圜其甲己線與丁戊圜相交于
庚即甲庚線與乙丙線等
論曰丁戊丁庚線同以丁為心戊庚為界
故等界説/十五于丁戊線減丁丙丁庚線減丁
甲其所減兩腰線等則所存亦等公論/三夫
丙戊與丙乙同以丙為心戊乙為界亦等
界説/十五即甲庚與丙乙等公論/一
[001-22b]
若所設甲㸃即在丙乙線之一界其法尤易假如㸃
在丙即以丙為心作乙戊圜從丙至戊即所求
第三題
兩直線一長一短求于長線減去短線之度
法曰甲短線乙丙長線求于乙丙減甲先以
甲為度從乙引至别界作乙丁線本篇/二次以
乙為心丁為界作圜第三/求圜界與乙丙交于
戊即乙戊與等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜
[001-23a]
故界説/十五
第四題
兩三角形若相當之兩腰線各等各兩腰線間之角等
則兩底線必等而兩形亦等其餘各兩角相當者俱
等
解曰甲乙丙丁戊己兩三角形之甲與丁兩
角等甲丙與丁己兩線甲乙與丁戊兩線各
等題言乙丙與戊己兩底線必等而兩三角
[001-23b]
形亦等甲乙丙與丁戊己兩角甲丙乙與丁
己戊兩角俱等
論曰如云乙丙與戊己不等即令將甲角置
丁角之上兩角必相合無大小甲丙與丁己甲乙與
丁戊亦必相合無大小公論/八此二俱等而云乙丙與
戊己不等必乙丙底或在戊己之上為庚或在其下
為辛矣戊己既為直線而戊庚己又為直線則兩線
當别作一形是兩線能相合為形也辛倣此公論十/二 此
[001-24a]
以非為論者駁/論也下倣此
第五題
三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出
之其底之外兩角亦等
解曰甲乙丙三角形其甲丙與甲乙兩
腰等題言甲丙乙與甲乙丙兩角等又
自甲丙線任引至戊甲乙線任引至丁
其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等
[001-24b]
論曰試如甲戊線稍長即從甲戊截取一分與甲丁
等為甲己本篇/三次自丙至丁乙至己各作直線第一/求
即甲己乙甲丁丙兩三角形必等何者此兩形之甲
角同甲己與甲丁兩腰又等甲乙與甲丙兩腰又等
則其底丙丁與乙己必等而底線兩端相當之各兩
角亦等矣本篇/四又乙丙己與丙乙丁兩
三角形亦等何者此兩形之丙丁乙與
乙己丙兩角既等本/論而甲己甲丁兩腰
[001-25a]
各減相等之甲丙甲乙線即所存丙己乙丁兩腰又
等公論/三丙丁與乙己兩底又等本/論又乙丙同腰即乙
丙丁與丙乙己兩角亦等也則丙之外乙丙己角與
乙之外丙乙丁角必等矣本篇/四次觀甲乙己與甲丙
丁兩角既等于甲乙己減丙乙己角甲丙丁減乙丙
丁角則所存甲丙乙與甲乙丙兩角必等公論/三
増從前形知三邊等形其三角俱等
第六題
[001-25b]
三角形若底線兩端之兩角等則兩腰亦等
解曰甲乙丙三角形其甲乙丙與甲丙乙
兩角等題言甲乙與甲丙兩腰亦等
論曰如云兩腰線不等而一長一短試辯之若甲乙
為長線即令比甲丙線截去所長之度為乙丁線而
乙丁與甲丙等本篇/三次自丁至丙作直線則本形成
兩三角形其一為甲乙丙其一為丁乙丙而甲乙丙
全形與丁乙丙分形同也是全與其分等也公論/九何
[001-26a]
者彼言丁乙丙分形之乙丁與甲乙丙全形之甲丙
兩線既等丁乙丙分形之乙丙與甲乙丙全形之乙
丙又同線而元設丁乙丙與甲丙乙兩角
等則丁乙丙與甲乙丙兩形亦等也本篇/四
是全與其分等也故底線兩端之兩角等者兩腰必
等也
第七題
一線為底出兩腰線其相遇止有一㸃不得别有腰線
[001-26b]
與元腰線等而于此㸃外相遇
解曰甲乙線為底于甲于乙各出一線至丙
㸃相遇題言此為一定之處不得于甲上更
出一線與甲丙等乙上更出一線與乙丙等
而不于丙相遇
論曰若言有别相遇于丁者即問丁當在丙内邪丙
外邪若言丁在丙内則有二説俱不可通何者若言
丁在甲丙元線之内則如第一圖丁在甲丙兩界之
[001-27a]
間矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙與甲丁等
也是全與其分等也公論/九若言丁在甲丙乙三角頂
間則如第二圖丁在甲丙乙之間矣即令自丙至丁
作丙丁線而乙丁丙甲丁丙又成兩三角形次從乙
丁引出至己從乙丙引出至戊則乙丁丙形之乙丁
乙丙兩腰等者其底線兩端之兩角乙丁丙乙丙丁
宜亦等也其底之外兩角己丁丙戊丙丁宜
亦等也本篇/五而甲丁丙形之甲丁甲丙兩腰
[001-27b]
等者其底線兩端之兩角甲丙丁甲丁丙宜
亦等也本篇/五夫甲丙丁角本小于戊丙丁角
而為其分今言甲丁丙與甲丙丁兩角等則
甲丁丙亦小于戊丙丁矣何況己丁丙又甲
丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外兩
角等乎若言丁在丙外又有三説俱不可通
何者若言丁在甲丙元線外是丁甲即在丙甲元線
之上則甲丙與甲丁等矣即如上第一説駁之若言
[001-28a]
丁在甲丙乙三角頂外即如上第二説駁之若言丁
在丙外而後出二線一在三角形内一在其外甲丁
線與乙丙線相交如第五圖即令將丙丁相聯作直
線是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜與甲丁丙
兩角等也本篇/五夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而為
其分據如彼論則甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又
丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜與丁丙乙兩角
等也本篇/五夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而為其分
[001-28b]
據如彼論則丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二説
者豈不自相戾乎
第八題
兩三角形若相當之兩腰各等兩底亦等則兩腰間角
必等
解曰甲乙丙丁戊己兩三角形其甲乙與丁
戊兩腰甲丙與丁己兩腰各等乙丙與戊己
兩底亦等題言甲與丁兩角必等
[001-29a]
論曰試以丁戊己形加于甲乙丙形之上問
丁角在甲角上邪否邪若在上即兩角等矣
公論/八或謂不然乃在于庚即問庚當在丁戊
線之内邪或在三角頂之内邪或在三角頂之外邪
皆依前論駁之本篇/七
系本題止論甲丁角若旋轉依法論之即三角皆同
可見凡線等則角必等不可疑也
第九題
[001-29b]
有直線角求兩平分之
法曰乙甲丙角求兩平分之先于甲乙
線任截一分為甲丁本篇/三次于甲丙亦
截甲戊與甲丁等次自丁至戊作直線次以丁戊為
底立平邊三角形本篇/一為丁戊己形末自己至甲作
直線即乙甲丙角為兩平分
論曰丁甲己與戊甲己兩三角形之甲丁與甲戊兩
線等甲己同是一線戊己與丁己兩底又等何言兩/底等初
[001-30a]
從戊丁底作此三角平形/此二線為腰各等戊丁故則丁甲己與戊甲己兩角
必等本篇/八
用法如上截取甲丁甲戊即以丁為
心向乙丙間任作一短界線次用元
度以戊為心亦如之兩界線交處得己本篇/一
第十題
一有界線求兩平分之
法曰甲乙線求兩平分先以甲乙為底作甲
[001-30b]
乙丙兩邊等三角形本篇/一次以甲丙乙角兩
平分之本篇/九得丙丁直線即分甲乙于丁
論曰丙丁乙丙丁甲兩三角形之丙乙丙甲兩腰等
而丙丁同線甲丙丁與乙丙丁兩角又等本篇/九則甲
丁與乙丁兩線必等本篇/四
用法以甲為心任用一度但須長于甲
乙線之半向上向下各作一短界線次
用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末
[001-31a]
作丙丁直線即分甲乙于戊
第十一題
一直線任于一㸃上求作垂線
法曰甲乙直線任指一㸃于丙求丙上作垂線先于
丙左右任用一度各截一界為丁為戊本/篇
二/次以丁戊為底作兩邊等角形本篇/一為
丁己戊末自己至丙作直線即己丙為甲
乙之垂線
[001-31b]
論曰丁己丙與戊己丙兩角形之己丁己戊兩腰等
而己丙同線丙丁與丙戊兩底又等即兩形必等丁
與戊兩角亦等本篇/五丁己丙與戊己丙兩角亦等本/篇
八/九則丁丙己與戊丙己兩角必等矣等即是直角直
角即是垂線界説十角此後三角/形多稱 形省文也
用法于丙㸃左右如上截取丁與戊即
以丁為心任用一度但須長于丙丁線
向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之
[001-32a]
兩界線交處即己
又用法于丙左右如上截取丁與戊
即任用一度以丁為心于丙上下方
各作短界線次用元度以戊為心亦
如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直
線交于丙㸃即得是用法又為嘗巧之法
増若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線
末甲界上甲外無餘線可截則于甲乙
[001-32b]
線上任取一㸃為丙如前法于丙上立
丁丙垂線次以甲丙丁角兩平分之本/篇
九/為己丙線次以甲丙為度于丁丙垂
線上截戊丙線本篇/三次于戊上如前法
立垂線與己丙線相遇為庚末自庚至甲作直線
如所求
論曰庚甲丙與庚丙戊兩角形之甲丙戊丙兩線
既等庚丙同線戊丙庚與甲丙庚兩角又等即甲
[001-33a]
庚戊庚兩線必等本篇/四而對同邊之甲角戊角亦
等本篇/四戊既直角則甲亦直角是甲庚為甲乙之
垂線界説/十
用法甲㸃上欲立垂線先以甲為心向
元線上方任抵一界作丙㸃次用元度
以丙為心作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次
自丁至丙作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與
圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求此法/今未
[001-33b]
能論論見第三/卷第三十一題
第十二題
有無界直線線外有一㸃求于㸃上作垂線至直線上
法曰甲乙線外有丙㸃求從丙作垂線至
甲乙先以丙為心作一圜令兩交于甲乙
線為丁為戊次從丁戊各作直線至丙次
兩平分丁戊于己本篇/十末自丙至己作直線即丙己
為甲乙之垂線
[001-34a]
論曰丙己丁丙己戊兩角形之丙丁丙戊
兩線等丙己同線則丙戊己與丙丁己兩
角必等本篇/八而丁丙己與戊丙己兩角又
等則丙己丁與丙己戊等皆直角本篇/四而丙己定為
垂線矣
用法以丙為心向直線兩處各作短
界線為甲為乙次用元度以甲為心
向丙㸃相望處作短界線乙為心亦如之兩界線
[001-34b]
交處為丁末自丙至丁作直線則丙戊為垂線
又用法于甲乙線上近甲近乙任取
一㸃為心以丙為界作一圜界于丙
㸃及相望處各稍引長之次于甲乙
線上視前心或相望如前圖或進或
退如後圖任移一㸃為心以丙為界
作一圜界至與前圜交處得丁末自
丙至丁作直線得戊若近界作垂線無/可截取亦用此法
[001-35a]
第十三題
一直線至他直線上所作兩角非直角即等于兩直角
解曰甲線下至丙丁線遇于乙其甲乙丙與
甲乙丁作兩角題言此兩角當是直角若非
直角即是一鋭一鈍而并之等于兩直角
論曰試于乙上作垂線為戊乙本篇/十一令戊乙
丙與戊乙丁為兩直角即甲乙丁甲乙戊兩鋭角并
之與戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊兩鋭角
[001-35b]
又加戊乙丙一直角并此三角定與戊乙丙戊乙丁
兩直角等也公論/十八次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭
直兩角定與甲乙丙鈍角等也次于甲乙戊戊乙丙
鋭直兩角又加甲乙丁鋭角并此三角定與甲乙丁
甲乙丙鋭鈍兩角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三
角既與兩直角等則甲乙丁與甲乙丙兩角定與兩
直角等公論/一
第十四題
[001-36a]
一直線于線上一㸃出不同方兩直線偕元線每旁作
兩角若每旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直
線
解曰甲乙線于丙㸃上左出一線為丙丁
右出一線為丙戊若甲丙戊甲丙丁兩角
與兩直角等題言丁丙與丙戊是一直線
論曰如云不然令别作一直線必從丁丙更引出一
線或離戊而上為丁丙己或離戊而下為丁丙庚也
[001-36b]
若上于戊則甲丙線至丁丙己直線上為甲丙己甲
丙丁兩角此兩角宜與兩直角等本篇/十三如此即甲丙
戊甲丙丁兩角與甲丙己甲丙丁兩角亦
等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙
己兩角較之果相等乎公論/三夫甲丙己本
小于甲丙戊而為其分今曰相等是全與其分等也
公論/九若下于戊則甲丙線至丁丙庚直線上為甲丙
庚甲丙丁兩角此兩角宜與兩直角等本篇/十三如此即
[001-37a]
甲丙庚甲丙丁兩角與甲丙戊甲丙丁兩角亦等矣
試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙庚較之果相等
乎公論/三夫甲丙戊實小于甲丙庚而為其分今曰相
等是全與其分等也公論/九兩者皆非則丁丙戊是一
直線
第十五題
凡兩直線相交作四角每兩交角必等
解曰甲乙與丙丁兩線相交于戊題言甲戊丙與丁
[001-37b]
戊乙兩角甲戊丁與丙戊乙兩角各等
論曰丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙
兩角與兩直角等本篇/十三甲戊線至丙丁線上則甲戊
丙甲戊丁兩角與兩直角等本篇/十三如此即丁戊乙甲
戊丁兩角亦與甲戊丁甲戊内兩角等公論/十試減同
用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙兩角必等公/論
三/又丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙兩角與
兩直角等本篇/十三乙戊線至丙丁線上則丁戊乙丙戊
[001-38a]
乙兩角與兩直角等本篇/十三如此即甲戊丁丁
戊乙兩角亦與丁戊乙丙戊乙兩角公論/十試
減同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等
一系推顯兩直線相交于中㸃上作四角與四直角
等
二系一㸃之上兩直線相交不論幾許線幾許角定
與四直角等公論/十八
増題一直線内出不同方兩直線而所作兩交角
[001-38b]
等即後出兩線為一直線
解曰甲乙線内取丙㸃出丙丁丙戊兩
線而所作甲丙戊丁丙乙兩交角等或
甲丙丁戊丙乙兩交角等題言戊丙丙丁即一直
線
論曰甲丙戊角既與丁丙乙角等每加一戊丙乙
角即甲丙戊戊丙乙兩角必與丁丙乙戊丙乙兩
角等公論/二而甲丙戊戊丙乙與兩直角等本篇/十三則
[001-39a]
丁丙乙戊丙乙亦與兩直角等是戊丙丙丁為一
直線本篇/十四
第十六題
凡三角形之外角必大于相對之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲線引之至丁
題言外角丁甲丙必大于相對之内角
甲乙丙甲丙乙
論曰欲顯丁甲丙角大于甲丙乙角試以甲丙線兩
[001-39b]
平分于戊本篇/十自乙至戊作直線引長之
從戊外截取戊巳與乙戊等本篇/三次自甲
至己作直線即甲戊己戊乙丙兩角形之
戊己與戊乙兩線等戊甲與戊丙兩線等甲戊己乙
戊丙兩交角又等本篇/十五則甲己與乙丙兩底亦等本/篇
四/兩形之各邊各角俱等而己甲戊與戊丙乙兩角
亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分則丁甲丙大于己
甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于
[001-40a]
相對之甲丙乙内角乎次顯丁甲丙大于甲乙丙試
自丙甲線引長之至庚次以甲乙線兩平分于辛本/篇
十/自丙至辛作直線引長之從辛外截取辛壬與丙
辛等本篇/三次自甲至壬作直線依前論推顯甲辛壬
辛丙乙兩角形之各邊各角俱等則壬甲辛與辛乙
丙兩角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚
甲乙也庚甲乙又與丁甲丙兩交角等本篇/十五則甲乙
丙内角不小于丁甲丙外角乎其餘乙丙上作外角
[001-40b]
俱大于相對之内角依此推顯
第十七題
凡三角形之每兩角必小于兩直角
解曰甲乙丙角形題言甲乙丙甲丙乙兩
角丙甲乙甲乙丙兩角甲丙乙丙甲乙兩
角皆小于兩直角
論曰試用兩邊線丙甲引出至戊丙乙引出至丁即
甲乙丁外角大于相對之甲丙乙内角矣本篇/十六此兩
[001-41a]
率者每加一甲乙丙角則甲乙丁甲乙丙必大于甲
丙乙甲乙丙矣公論/四夫甲乙丁甲乙丙與兩直角等
也本篇/十三則甲丙乙甲乙丙小于兩直角也餘二倣此
第十八題
凡三角形大邊對大角小邊對小角
解曰甲乙丙角形之甲丙邊大于甲乙邊乙
丙邊題言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙
角
[001-41b]
論曰甲丙邊大于甲乙邊即于甲丙線上截甲丁與
甲乙等本篇/三自乙至丁作直線則甲乙丁與甲丁乙
兩角等矣本篇/五夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角
必大于相對之丁丙乙内角本篇/十六則甲乙丁角亦大
于甲丙乙角而況甲乙丙又函甲乙丁于其中不又
大于甲丙乙乎如乙丙邊大于甲乙邊則乙甲丙角
亦大于甲丙乙角依此推顯
第十九題
[001-42a]
凡三角形大角對大邊小角對小邊
解曰甲乙丙角形乙角大于丙角題言對乙
角之甲丙邊必大于對丙角之甲乙邊
論曰如云不然令言或等或小若言甲丙與甲乙等
則甲丙角宜與甲乙角等矣本篇/五何設乙角大于丙
角也若言甲丙小于甲乙則甲丙邊對甲乙大角宜
大本篇/十八又何言小也如甲角大于丙角則乙丙邊大
于甲乙邊依此推顯
[001-42b]
第二十題
凡三角形之兩邊并之必大于一邊
解曰甲乙丙角形題言甲丙甲乙邊并之必
大于乙丙邊甲丙丙乙并之必大于甲乙甲
乙乙丙并之必大于甲丙
論曰試于丙甲邊引長之以甲乙為度截取甲丁本/篇
三/自丁至乙作直線令甲丁甲乙兩腰等而甲丁乙
甲乙丁兩角亦等本篇/五即丙乙丁角大于甲乙丁角
[001-43a]
亦大于丙丁乙角矣夫丁丙邊對丙乙丁大角也豈
不大于乙丙邊對丙丁乙小角者乎本篇/十九又甲丁甲
乙兩線各加甲丙線等也則甲乙加甲丙者與丙丁
等矣丙丁既大于乙丙則甲乙甲丙兩邊并必大于
乙丙邊也餘二倣此
第二十一題
凡三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其
内則内形兩腰并之必小于相對兩腰而後兩線所
[001-43b]
作角必大于相對角
解曰甲乙丙角形于乙丙邊之兩界各出一
線遇于丁題言丁丙丁乙兩線并必小于甲
乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角
論曰試用内一線引長之如乙丁引之至戊即乙甲
戊角形之乙甲甲戊兩線并必大于乙戊線也本篇/二十
此二率者每加一戊丙線則乙甲甲戊戊丙并必大
于乙戊戊丙并矣公論/四又戊丁丙角形之戊丁戊丙
[001-44a]
線并必大于丁丙線也此二率者每加一丁乙線則
戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣公論/四夫乙
甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙豈不更大于丁丙丁
乙乎本篇/二十又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相對
之乙甲戊内角本篇/十六即丁戊丙角形之乙丁丙外角
更大于相對之丁戊丙内角矣而乙丁丙角豈不更
大于乙甲丙角乎
第二十二題
[001-44b]
三直線求作三角形其每兩線并大于一線也
法曰甲乙丙三線其第一第二線并大于
第三線若兩線比第三線或等或小即/不能作三角形見本篇二十求
作三角形先任作丁戊線長于三線并次
以甲為度從丁截取丁巳線本篇/三以乙為
度從己截取己庚線以丙為度從庚截取
庚辛線次以己為心丁為界作丁壬癸圜以庚為心
辛為界作辛壬癸圜其兩圜相遇下為壬上為癸末
[001-45a]
以庚巳為底作癸庚癸巳兩直線即得己癸庚三角
形用壬亦可作線若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不/到丑即是兩 或等或小于第三線不成三角形
矣/
論曰此角形之丁己己癸線皆同圜之半徑等界説/十五
則己癸與甲等庚辛庚癸線亦皆同圜之半徑等則
庚癸與丙等己庚元以乙為度則角形三線與所設
三線等
用法任以一線為底以底之一界為心第
[001-45b]
二線為度向上作短界線次以又一界為
心第三線為度向上作短界線兩界線交
處向下作兩腰如所求
若設一三角形求别作一形與之等亦用
此法
第二十三題
一直線任于一㸃上求作一角與所設角等
法曰甲乙線于丙㸃求作一角與丁戊己角等先于
[001-46a]
戊丁線任取一㸃為庚于戊巳線任取一
㸃為辛自庚至辛作直線次依甲乙線作
丙壬癸角形與戊庚辛角形等本篇/卄二即丙
壬丙癸兩腰與戊庚戊辛兩腰等壬癸底
與庚辛底又等則丙角與戊角必等本篇/八
第二十四題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之腰間角大則底
亦大
[001-46b]
解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁
戊兩腰甲丙與丁巳兩腰各等若乙甲丙角
大于戊丁己角題言乙丙底必大于戊巳底
論曰試依丁戊線從丁㸃作戊丁庚角與乙
甲丙角等本篇/卄三則戊丁庚角大于戊丁己角
而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚線與丁
巳等本篇/三即丁庚丁巳俱與甲丙等又自戊
至庚作直線是甲乙與丁戊甲丙與丁庚腰
[001-47a]
線各等乙甲丙與戊丁庚兩角亦等而乙丙
與戊庚兩底必等也本篇/四次問所作戊庚底
今在戊巳底上邪抑同在一線邪抑在其下
邪若在上即如第二圖自己至庚作直線則
丁庚己角形之丁庚丁巳兩腰等而丁庚己
與丁己庚兩角亦等矣本篇/五夫戊庚己角乃
丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相
等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分則
[001-47b]
戊庚己益小于戊巳庚也公論/九則對戊庚己
小角之戊己腰必小于對戊己庚大角之戊
庚腰也本篇/十九若戊巳與戊庚兩底同線即如
第四圖戊己乃戊庚之分則戊己必小于戊
庚也公論/九若戊庚在戊巳之下即如第六圖自己至
庚作直線次引丁庚線出于壬引丁巳線出于辛則
丁庚丁巳兩腰等而辛巳庚壬庚己兩外角亦等矣
本篇/五夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己
[001-48a]
亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之
分則戊庚巳益小于戊己庚也公論/九則對戊庚己小
角之戊巳腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也本/篇
十/九是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙本篇/四也
第二十五題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之底大則腰間角
亦大
解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁戊甲丙
[001-48b]
與丁巳各兩腰等若乙丙底大于戊巳底題
言乙甲丙角大于戊丁巳角
論曰如云不然令言或小或等若言等則兩
形之兩腰各等腰間角又等宜兩底亦等本篇/四何設
乙丙底大也若言乙甲丙角小則對乙甲丙角之乙
丙線宜亦小本篇/廿四何設乙丙底大也
第二十六題二支/
兩三角形有相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩
[001-49a]
邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之内及一
角之對
先解一邊在兩角之内者曰甲乙丙角形之
甲乙丙甲丙乙兩角與丁戊己角形之丁戊
巳丁巳戊兩角各等在兩角内之乙丙邊與
戊巳邊又等題言甲乙與丁戊兩邊甲丙與丁巳兩
邊各等而乙甲丙角與戊丁巳角亦等
論曰如云兩邊不等而丁戊大于甲乙令于丁戊線
[001-49b]
截取庚戊與甲乙等本篇/三次自庚至己作直線即庚
戊巳角形之庚戊戊巳兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等
矣夫乙角與戊角元等則甲丙與庚巳宜等本篇/四而
庚巳戊角與甲丙乙角宜亦等也本篇/四既設丁己戊
與甲丙乙兩角等今又言庚己戊與甲丙乙兩角等
是庚己戊與丁己戊亦等全與其分等矣公/論
九/以此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦
等
[001-50a]
後解相等邊不在兩角之内而在一角之對
者曰甲乙丙角形之乙角丙角與丁戊己角
形之戊角丁己戊角各等而對丙之甲乙邊
與對己之丁戊邊又等題言甲丙與丁己兩邊丙乙
與己戊兩邊各等而甲角與戊丁己角亦等
論曰如云兩邊不等而戊己大于乙丙令于戊己線
截取戊庚與乙丙等本篇/三次自丁至庚作直線即丁
戊庚角形之丁戊戊庚兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等
[001-50b]
矣夫乙角與戊角元等則甲丙與丁庚宜等本篇/四而
丁庚戊角與甲丙乙角宜亦等也既設丁巳戊與甲
丙乙兩角等今又言丁庚戊與甲丙乙兩角等是丁
庚戊外角與相對之丁巳戊内角等矣本篇/十六可乎以
此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦等
第二十七題
兩直線有他直線交加其上若内相對兩角等即兩直
線必平行
[001-51a]
解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于
庚于辛而甲庚辛與丁辛庚兩角等題言甲
乙丙丁兩線必平行
論曰如云不然則甲乙丙丁兩直線必至相
遇于壬而庚辛壬成三角形則甲庚辛外角宜大于
相對之庚辛壬内角矣本篇/十六乃先設相等乎若設乙
庚辛角與丙辛庚角等亦依此論若言甲乙丙丁兩
直線相遇于癸亦依此論
[001-51b]
第二十八題二支/
兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之内
角等或同方兩内角與兩直角等即兩直線必平行
先解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交
于庚于辛其戊庚甲外角與同方相對之庚
辛丙内角等題言甲乙丙丁兩線必平行
論曰乙庚辛角與相對之内角丙辛庚等本/篇
卄/七戊庚甲與乙庚辛兩交角亦等本篇/十五即兩直線必
[001-52a]
平行
後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等題言甲
乙丙丁兩線必平行
論曰甲庚辛丙辛庚兩角與兩直角等而甲庚戊甲
庚辛兩角亦與兩直角等本篇/十三試減同用之甲庚辛
即所存甲庚戊與丙辛庚等矣既外角與同方相對
之内角等即甲乙丙丁必平行本/題
第二十九題三支/
[001-52b]
兩平行線有他直線交加其上則内相對兩角必等外角
與同方相對之内角亦等同方兩内角亦與兩直角等
先解曰此反前二題故同前圖有甲乙丙丁
二平行線加他直線戊巳交于庚于辛題言
甲庚辛與丁辛庚内相對兩角必等
論曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚則丁辛庚加
辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣公論/四夫辛庚甲
辛庚乙元與兩直角等本篇/十三據如彼論則丁辛庚辛
[001-53a]
庚乙兩角小于兩直角而甲乙丙丁兩直線向乙丁
行必相遇也公論/十一可謂平行線乎
次解曰戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等
論曰乙庚辛與相對之丙辛庚兩内角等本/題則乙庚
辛交角相等之戊庚甲本篇/十五與丙辛庚必等公論/一
後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等
論曰戊庚甲與庚辛丙兩角既等本/題而每加一甲庚
辛角則庚辛丙甲庚辛兩角與甲庚辛戊庚甲兩角
[001-53b]
必等公論/二夫甲庚辛戊庚甲本與兩直角等本篇/十三則
甲庚辛丙辛庚兩内角亦與兩直角等
第三十題
兩直線與他直線平行則元兩線亦平行
解曰此題所指線在同面者不同面線後别有論如
甲乙丙丁兩直線各與他線戊巳平行題言甲乙與
丙丁亦平行
論曰試作庚辛直線交加于三直線甲乙于壬戊巳
[001-54a]
于子丙丁于癸其甲乙與戊巳既平
行即甲壬子與相對之己子壬兩内
角等本篇/廿九丙丁與戊巳既平行即丁
癸子内角與己子壬外角亦等本篇/廿九
丁癸子與甲壬子亦為相對之内角亦等公論/一而甲
乙丙丁為平行線本篇/廿七
第三十一題
一㸃上求作直線與所設直線平行
[001-54b]
法曰甲㸃上求作直線與乙丙平行先從甲㸃
向乙丙線任指一處作直線為甲丁即乙丙線上
成甲丁乙角次于甲㸃上作一角與甲丁乙等本/篇
廿/三為戊甲丁從戊甲線引之至己即己戊與乙丙平行
論曰戊己乙丙兩線有甲丁線聯之其所作戊甲丁
與甲丁乙相對之兩内角等即平行線本篇/廿七
増從此題生一用法設一角兩線求作有法四邊
形有角與所設角等兩兩邊線與所設線等
[001-55a]
法曰先作己丁戊角與丙等次截丁戊
線與甲等己丁線與乙等末依丁戊平
行作己庚依己丁平行作庚戊即所求
本題用法于甲㸃求作直線與乙丙平行
先作甲丁線次以丁為心任作戊己圜界
次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長于
戊己次取戊己圜界為度于庚辛圜界截取庚辛
末自甲至辛作直線各引長之即所求
[001-55b]
又用法以甲㸃為心于乙丙線近乙處任
指一㸃作短界線為丁次用元度以丁為
心于乙丙上向丙截取一分作短界線為
戊次用元度以戊為心向上與甲平處作短界線
又用元度以甲為心向甲平處作短界線後兩界
線交處為己自甲至己作直線各引長之即所求
第三十二題二支/
凡三角形之外角與相對之内兩角并等凡三角形之
[001-56a]
内三角并與兩直角等
先解曰甲乙丙角形試從乙丙邊引至丁題言甲丙
丁外角與相對之内兩角甲乙并等
論曰試作戊丙線與甲乙平行本篇/三一令甲丙
為甲乙戊丙之交加線則乙甲丙角與相對
之甲丙戊角等本篇/卄九又乙丁線與兩平行線相遇則
戊丙丁外角與相對之甲乙丙内角等本篇/廿九既甲丙
戊與乙甲丙等而戊丙丁與甲乙丙又等則甲丙丁
[001-56b]
外角與内兩角甲乙并等矣
後解曰甲乙丙三角并與兩直角等
論曰既甲丙丁角與甲乙兩角并等更于甲丙丁加
甲丙乙則甲丙丁甲丙乙兩角并與甲乙丙内三角
并等矣公論/二夫甲丙丁甲丙乙并元與兩直角等本/篇
十/三則甲乙丙内三角并亦與兩直角等
増從此推知凡第一形當兩直角第二形當四直
角第三形當六直角自此以上至于無窮每命形
[001-57a]
之數倍之為所當直角之數凡一線二線不/能為形故三邊
為第一形四邊為第二形五邊為第/三形六邊為第四形倣此以至無窮又視每
形邊數減二邊即所存邊數是本形之數
論曰如上四圖第一形三邊減二邊存一邊
即是本形一數倍之當兩直角本/題第二形四
邊減二邊存二邊即是本形二數倍之當四
直角欲顯此理試以第二形作一對角線成兩三
角形每形當兩直角并之則當四直角矣第三形
[001-57b]
五邊減二邊存三邊即是本形三數倍之當
六直角欲顯此理試以第三形作兩對角線
成三三角形每形當兩直角并之亦當六直
角矣其餘依此推顯以至無窮
又一法每形視其邊數每邊當兩直角而減
四直角其存者即本形所當直角
論曰欲顯此理試于形中任作一㸃從此㸃向各
角俱作直線令每形所分角形之數如其邊數每
[001-58a]
一分形三角當二直角本/題其近㸃之處不論
幾角皆當四直角本篇十/五之系次減近㸃諸角即
是減四直角其存者則本形所當直角如上
第四形六邊中間任指一㸃從㸃向各角分
為六三角形每一分形三角六形共十八角
今于近㸃處減當四直角之六角所存近邊
十二角當八直角餘倣此
一系凡諸種角形之三角并俱相等本題/増
[001-58b]
二系凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角每當直
角之半腰間鈍角則餘兩角俱小于半直角腰間鋭
角則餘兩角俱大于半直角
三系平邊角形每角當直角三分之二
四系平邊角形若從一角向對邊作垂線分為兩角
形此分形各有一直角在垂線之下兩旁則垂線之
上兩旁角每當直角三分之一其餘兩角每當直角
三分之二
[001-59a]
増從三系可分一直角為三平分其法任
于一邊立平邊角形次分對直角一邊為
兩平分從此邊對角作垂線即所求如上圖甲乙
丙直角求三分之先于甲乙線上作甲乙丁平邊
角形本篇/一次平分甲丁于戊本篇/九末作乙戊直線
第三十三題
兩平行相等線之界有兩線聯之其兩線亦平行亦相
等
[001-59b]
解曰甲乙丙丁兩平行相等線有甲丙乙丁
兩線聯之題言甲丙乙丁亦平行相等線
論曰試作甲丁對角線為甲乙丙丁之交加
線即乙甲丁丙丁甲相對兩内角等本篇/卄九又甲丁線
上下兩角形之甲乙丙丁兩邊既等甲丁同邊則對
乙甲丁角之乙丁線與對丙丁甲角之甲丙線亦等
本篇/卄九而乙丁甲與丙甲丁兩角亦等也本篇/四此兩角
者甲丙乙丁之内相對角也兩角既等則甲丙乙丁
[001-60a]
兩線必平行本篇/廿七
第三十四題
凡平行線方形每相對兩邊線各等每相對兩角各等
對角線分本形兩平分
解曰甲乙丁丙平行方形界説/三五題言甲乙與
丙丁兩線甲丙與乙丁兩線各等又言乙與
丙兩角乙甲丙與丙丁乙兩角各等又言若
作甲丁對角線即分本形為兩平分
[001-60b]
論曰甲乙與丙丁既平行則乙甲丁與丙丁甲相對
之兩内角等本篇/廿九甲丙與乙丁既平行則乙丁甲與
丙甲丁相對之兩内角等本篇/廿九甲乙丁角形之乙甲
丁乙丁甲兩角與甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁兩
角既各等甲丁同邊則甲乙與丙丁甲丙與乙丁俱
等也而丙角與相對之乙角亦等矣本篇/廿六又乙丁甲
角加丙丁甲角與丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙
甲丙與丙丁乙相對兩角亦等也公論/二又甲乙丁甲
[001-61a]
丁丙兩角形之甲乙乙丁兩邊與丁丙丙甲兩邊各
等腰間之乙角與丙角亦等則兩角形必等本篇/四而
甲丁線分本形為兩平分
第三十五題
兩平行方形若同在平行線内又同底則兩形必等
解曰甲乙丙丁兩平行線内有丙丁戊甲與
丙丁乙巳兩平行方形同丙丁底題言此兩
形等等者不謂腰等角等謂所函之地等後
[001-61b]
言形等者多倣此
先論曰設己在甲戊之内其丙丁戊甲與丙丁乙己
皆平行方形丙丁同底則甲戊與丙丁巳乙與丙丁
各相對之兩邊各等本篇/三四而甲戊與己乙亦等公論/一
試于甲戊己乙兩線各減己戊即甲己與戊乙亦等
公論/三而甲丙與戊丁元等本篇/三四乙戊丁外角與己甲
丙内角又等本篇/廿九則乙戊丁與己甲丙兩角形必等
矣本篇/四次于兩角形每加一丙丁戊己無法四邊形
[001-62a]
則丙丁戊甲與丙丁乙己兩平行方形等也公論/二
次論曰設己戊同㸃依前甲戊與戊乙等乙
戊丁與戊甲丙兩角形等本篇/四而每加一戊
丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁乙戊兩平行
方形必等公論/二
後論曰設己㸃在戊之外而丙己與戊丁兩
線交于庚依前甲戊與己乙兩線等而每加
一戊己線即戊乙與甲己兩線亦等公論/二因
[001-62b]
顯己甲丙與乙戊丁兩角形亦等本篇/四次每
減一己戊庚角形則所存戊庚丙甲與乙己
庚丁兩無法四邊形亦等公論/三次于兩無法
形每加一庚丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁
乙己兩平行方形必等公論/二
第三十六題
兩平行線内有兩平行方形若底等則形亦等
解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊己與庚辛丁
[001-63a]
乙兩平行方形而丙戊與辛丁兩底等題言
兩形亦等
論曰試自丙至庚戊至乙各作直線相聯其
丙戊庚乙各與辛丁等則丙戊與庚乙亦等本篇/卅四庚
乙與丙戊既平行線則庚丙與乙戊亦平行線本篇/卅三
而甲丙戊己與庚丙戊乙兩平行方形同丙戊底者
等矣本篇/三五庚辛丁乙與庚丙戊乙兩平行方形同庚
乙底者亦等矣本篇/三五既爾則庚辛丁乙與甲丙戊己
[001-63b]
亦等公論/一
第三十七題
兩平行線内有兩三角形若同底則兩形必等
解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁乙丙
丁兩角形同丙丁底題言兩形必等
論曰試自丁至戊作直線與甲丙平行次自
丁至己作直線與乙丙平行本篇/三一夫甲丙丁戊乙丙
丁己兩平行方形在甲乙丙丁兩平行線内同丙丁
[001-64a]
底既等本篇/三五則甲丙丁角形為甲丙丁戊方
形之半與乙丙丁角形為乙丙丁己方形之
半者甲丁乙丁兩對角線平/分兩方形見本篇卅四亦等公論/七
第三十八題
兩平行線内有兩三角形若底等則兩形必等
解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊與乙
己丁兩角形而丙戊與己丁兩底等題言兩
形必等
[001-64b]
論曰試自庚至戊辛至丁各作直線與甲丙乙己平
行本篇/卅一其甲丙戊庚與乙己丁辛兩平行方形既等
本篇/卅六則甲丙戊與乙己丁兩角形為兩方形之半者
本篇/卅四亦等公論/七
増凡角形任于一邊兩平分之向對角作
直線即分本形為兩平分
論曰甲乙丙角形試以乙丙邊兩平分于丁本篇/十
自丁至甲作直線即甲丁線分本形為兩平分何
[001-65a]
者試于甲角上作直線與乙丙平行本篇/卅一則甲乙
丁甲丁丙兩角形在兩平行線内兩底等兩形亦
等本/題
二増題凡角形任于一邊任作一㸃求從
㸃分本形為兩平分
法曰甲乙丙角形從丁㸃求兩平分先自
丁至相對甲角作甲丁直線次平分乙丙線于戊
本篇/十作戊己線與甲丁平行本篇/卅一末作己丁直線
[001-65b]
即分本形為兩平分
論曰試作甲戊直線即甲戊己己丁戊兩角形在
兩平行線内同己戊底者等而每加一己戊丙形
則己丁丙與甲戊丙兩角形亦等公論/二夫甲戊丙
為甲乙丙之半本題/増則己丁丙亦甲乙丙之半
第三十九題
兩三角形其底同其形等必在兩平行線内
解曰甲乙丙與丁丙乙兩角形之乙丙底同其形復
[001-66a]
等題言在兩平行線内者葢云自甲至丁
作直線必與乙丙平行
論曰如云不然令從甲别作直線與乙丙
平行本篇/卅一必在甲丁之上或在其下矣設
在上為甲戊而乙丁線引出至戊即作戊丙直線是
甲乙丙宜與戊丙乙兩角形等矣本篇/卅七夫甲乙丙與
丁丙乙既等而與戊丙乙復等是全與其分等也公/論
九/設在甲丁下為甲己即作己丙直線是己丙乙與
[001-66b]
丁丙乙亦等如前駁之
第四十題
兩三角形其底等其形等必在兩平行線内
解曰甲乙丙與丁戊己兩角形之乙丙與
戊己兩底等其形亦等題言在兩平行線
内者葢云自甲至丁作直線必與乙己平
行
論曰如云不然令從甲别作直線與乙己平行本篇/卅一
[001-67a]
必在甲丁之上或在其下矣設在上為甲庚而戊丁
線引出至庚即作庚己直線是甲乙丙宜與庚戊己
兩角形等矣本篇/三八夫甲乙丙與丁戊己既等而與庚
戊己復等是全與其分等也公論/九設在甲丁下為甲
辛即作辛己直線是辛戊己與丁戊己亦等如前駁之
第四十一題
兩平行線内有一平行方形一三角形同底則方形倍
大于三角形
[001-67b]
解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁戊方
形乙丁丙角形同丙丁底題言方形倍大于
角形
論曰試作甲丁直線分方形為兩平分則甲丙丁與
乙丁丙兩角形等矣本篇/卅七夫甲丙丁戊倍大于甲丙
丁本篇/卅三必倍大于乙丁丙
第四十二題
有三角形求作平行方形與之等而方形角有與所設
[001-68a]
角等
法曰設甲乙丙角形丁角求作平行方形與
甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平
分如乙丙邊平分于戊本篇/十次作丙戊己角
與丁角等本篇/廿次自甲作直線與乙丙平行本篇/卅一而
與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為丙
庚本篇/卅一而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方
形與甲乙丙角形等
[001-68b]
論曰試自甲至戊作直線其甲戊丙角形與己戊丙
庚平行方形在兩平行線内同底則己戊丙庚倍大
于甲戊丙矣本篇/四一夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙本篇/卅八
増/即與己戊丙庚等公論/六
第四十三題
凡方形對角線旁兩餘方形自相等
解曰甲乙丙丁方形有甲丙對角線題言兩旁之乙
壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形界説/卅六必等
[001-69a]
論曰甲乙丙甲丙丁兩角形等本篇/卅四甲戊庚
甲庚辛兩角形亦等本篇/卅四而于甲乙丙減甲
戊庚于甲丙丁減甲庚辛則所存乙丙庚戊
與庚丙丁辛兩無法四邊形亦等矣公論/三又
庚壬丙己角線方形之庚丙己庚丙壬兩角
形等本篇/三四而于兩無法四邊形每減其一則
所存乙壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形安得不等公論/三
第四十四題
[001-69b]
一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角
有與所設角等
法曰設甲線乙角形丙角求于甲線上作
平行方形與乙角形等而有丙角先作丁
戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚
角與丙角等本篇/四二次于庚己線引長之作
己辛線與甲等次作辛壬線與戊己平行
本篇/三一次于丁戊引長之與辛壬線遇于壬
[001-70a]
次自壬至己作對角線引出之又自丁庚引長之與
對線角遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬
辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子
線得丑即己丑子辛平行方形如所求
論曰此方形之己辛線與甲等而辛己丑角為戊己
庚之交角本篇/十五則與丙等又本形與戊己庚丁同為
餘方形等本篇/四三則與乙角形等
第四十五題
[001-70b]
有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有
與所設角等
法曰設甲乙丙五邊形丁角求作平行
方形與五邊形等而有丁角先分五邊
形為甲乙丙三三角形次作戊己庚辛
平行方形與甲等而有丁角本篇/四二次于
戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形
與乙等而有丁角本篇/四四末復引前線作壬癸子丑平
[001-71a]
行方形與丙等而有丁角本篇/四四即此三形并為一平
行方形與甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至
無窮俱倣此法
論曰戊己庚與辛庚癸兩角等而每加一己庚辛角
即辛庚癸己庚辛兩角定與己庚辛戊己庚兩角等
夫己庚辛戊己庚是兩平行線内角與兩直角等也
本篇/廿九則己庚辛辛庚癸亦與兩直角等而己庚庚癸
為一直線也本篇/十四又戊辛庚與戊己庚兩對角等而
[001-71b]
辛壬癸與辛庚癸兩對角亦等則戊己庚辛庚辛壬
癸皆平行方形也本篇/卅四壬癸子丑依此推顯本篇/三十即
與戊己癸壬并為一平行方形矣
増題兩直線形不等求相減之較幾何
法曰甲與乙兩直線形甲大于乙以乙
減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行
方形與甲等次于丙丁線上依丁角作
丁丙辛庚平行方形與乙等本/題即得辛
[001-72a]
庚戊己為相減之較矣何者丁丙己戊之大于丁
丙辛庚較餘一辛庚戊己也則甲大于乙亦辛庚
戊己也
第四十六題
一直線上求立直角方形
法曰甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩
界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等
本篇/十一次作丁丙線相聯即甲乙丙丁為直角方形
[001-72b]
論曰甲乙兩角俱直角則丁甲丙乙為平行線本篇/廿八
此兩線自相等則丁丙與甲乙亦平行線本篇/三三而甲
乙丙丁四線俱平行俱相等又甲乙俱直角則相對
丁丙亦俱直角本篇/卅四而甲乙丙丁定為四直角方形
第四十七題
凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊
上所作兩直角方形并等
解曰甲乙丙角形于對乙甲丙直角之乙丙邊上作
[001-73a]
乙丙丁戊直角方形本篇/四六題言此形與
甲乙邊上所作甲乙己庚及甲丙邊上
所作甲丙辛壬兩直角方形并等
論曰試從甲作甲癸直線與乙戊丙丁
平行本篇卅一/分乙丙邊于子次自甲
至丁至戊各作直線末自乙至辛自丙
至己各作直線其乙甲丙與乙甲庚既皆直角即庚
甲甲丙是一直線本篇/十四依顯乙甲甲壬亦一直線又
[001-73b]
丙乙戊與甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即
甲乙戊與丙乙己兩角亦等公論/二依顯甲丙丁與乙
丙辛兩角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊兩邊與
丙乙己角形之己乙乙丙兩邊等甲乙戊與丙乙己
兩角復等則對等角之甲戊與丙己兩邊亦等而此
兩角形亦等矣本篇/四夫甲乙己庚直角方形倍大于
同乙己底同在平行線内之丙乙己角形本篇/四一而乙
戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行線内
[001-74a]
之甲乙戊角形則甲乙己庚不與乙戊癸子等乎公/論
六/依顯甲丙辛壬直角方形與丙丁癸子直角形等
則乙戊丁丙一形與甲乙己庚甲丙辛壬兩形并等
矣
一増凡直角方形之對角線上作直角方
形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之
甲丙線上作直角方形倍大于甲乙丙丁形
二増題設不等兩直角方形如一以甲為邊一以
[001-74b]
乙為邊求别作兩直角方形自相等而并之又與
元設兩形并等
法曰先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直
角而丙丁線與乙等次作戊丁線相聨末
于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己
戊己丁兩腰遇于己公論/十一而等本篇/六即己戊己丁
兩線上所作兩直角方形自相等而并之又與丙
戊丙丁上所作兩直角方形并等
[001-75a]
論曰己丁戊己戊丁兩角既皆半于直角則丁己
戊為直角本篇/卅二而對直角之丁戊線上所作直角
方形與兩腰線上所作兩直角方形并等矣本/題己
戊與己丁既等則其上所作兩直角方形自相等
矣又丁戊線上所作直角方形與丙丁丙戊線上
所作兩直角方形并既等則己戊己丁上兩直角
方形并與丙戊丙丁上兩直角方形并亦等
三増題多直角方形求并作一直角方形與之等
[001-75b]
法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊為
邊任等不等求作一直角方形與五形
并等先作己庚辛直角而己庚線與甲
等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己
辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線
旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線旋
作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線題言
己子線上所作直角方形即所求
[001-76a]
論曰己辛上作直角方形與甲乙兩形并等本/題己
壬上作直角方形與己辛及丙兩形并等餘倣此
推顯可至無窮
四増三邊直角形以兩邊求第三邊長短
之數
法曰甲乙丙角形甲為直角先得甲乙甲
丙兩邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長
短之數其甲乙甲丙上所作兩直角方形并既與
[001-76b]
乙丙上所作直角方形等本/題則甲乙之羃自乘之/數曰羃
得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙
之羃亦百百開方得十即乙丙數十也又設先得
甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之數其甲
乙甲丙上兩直角方形并既與乙丙上直角方形
等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百
百減三十六得甲丙之羃六十四六十四
開方得八即甲丙八也求甲乙倣此 此
[001-77a]
以開方盡實者為例其不盡實者自具筭家分法
第四十八題
凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作兩直
角方形并等則對一邊之角必直角
解曰此反前題如甲乙丙角形其甲丙邊上
所作直角方形與甲乙乙丙邊上所作兩直
角方形并等題言甲乙丙角必直角
論曰試于乙上作甲乙丁直角而乙丁與乙丙兩線
[001-77b]
等次作丁甲線相聯其甲乙丁既直角則甲丁上直
角方形與甲乙乙丁上兩直角方形并等本篇/四七而甲
乙乙丁上兩直角方形并與甲乙乙丙上兩直角方
形并又等甲乙同乙丁/乙丙等故即丁甲上直角方形與甲丙
上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁兩腰
與甲乙丙角形之甲乙乙丙兩腰既等而丁甲甲丙
兩底又等則對底線之兩角亦等本篇/八甲乙丁既直
角即甲乙丙亦直角
[001-78a]
[001-78b]
幾何原本卷一
