[005-1a] 
欽定四庫全書
幾何原本卷五之首
西洋利瑪竇譯
界説十九則
前四卷所論皆獨幾何也此下二卷所論皆自兩以
上多幾何同例相比者也而本卷則總説完幾何
之同例相比者也諸卷中獨此卷以虚例相比絶
不及線靣體諸類也第六卷則論線論角論圜界
[005-1b]
諸類及諸形之同例相比者也今先解向後所用
名目為界説十九
第一界
分者幾何之幾何也小能度大以小為大之分
以小幾何度大幾何謂之分曰幾何之幾
何者謂非此小幾何不能為此大幾何之
分也如一㸃無分亦非幾何即不能為線
之分也一線無廣狹之分非廣狹之幾何
[005-2a]
即不能為靣之分也一靣無厚薄之分非厚薄之幾
何即不能為體之分也曰能度大者謂小幾何度大
幾何能盡大之分者也如甲為乙為丙之分則甲為
乙三分之一為丙六分之一無贏不足也若戊為丁
之一即贏為二即不足己為丁之三即贏為四即不
足是小不盡大則丁不能為戊己之分也以數明之
若四于八于十二于十六于二十諸數皆能盡分無
贏不足也若四于六于七于九于十于十八于三十
[005-2b]
八諸數或贏或不足皆不能盡分者也本書所論皆
指能盡分者故稱為分若不盡分者當稱幾分幾何
之幾如四于六為三分六之二不得正名為分不稱
小度大也不為大幾何内之小幾何也
第二界
若小幾何能度大者則大為小之幾倍
如第一界圖甲與乙能度丙則丙為甲與乙之幾倍
若丁戊不能盡己之分則己不為丁戊之幾倍
[005-3a]
第三界
比例者兩幾何以幾何相比之理
兩幾何者或兩數或兩線或兩靣或兩體各以同類
大小相比謂之比例若線與靣或數與線相比此異
類不為比例又若白線與黒線熱線與冷線相比雖
同類不以幾何相比亦不為比例也
比例之説在幾何為正用亦有借用者如時如音如
聲如所如動如稱之屬皆以比例論之
[005-3b]
凡兩幾何相比以此幾何比他幾何則此幾何為前
率所比之他幾何為後率如以六尺之線比三尺之
線則六尺為前率三尺為後率也反用之以三尺之
線比六尺之線則三尺為前率六尺為後率也
比例為用甚廣故詳論之如左
凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合
如二十尺之線比十尺之線是也其非數可明者為
小合如直角方形之兩邉與其對角線可以相比而
[005-4a]
非數可明者是也
如上二種又有二名其大合線為有兩度之線如二
十尺比八尺兩線為大合則二尺四尺皆可兩度之
者是也如此之類凡數之比例皆大合也何者有數
之屬或無他數可兩度者無有一數不可兩度者若
七比九無他數可兩度之以一則可兩度之也其小
合線為無兩度之線如直角方形之兩邉與其對角
線為小合即分至萬分以及無數終無小線可以盡
[005-4b]
分能度兩率者是也此論詳見/十卷末題
小合之比例至十卷詳之本篇所論皆大合也
凡大合有兩種有等者如二十比二十十尺之線比
十尺之線是也有不等者如二十比十八比四十六
尺之線比二尺之線是也
如上等者為相同之比例其不等者又有兩種有以
大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十
是也大合比例之以大不等者又有五種一為幾倍
[005-5a]
大二為等帶一分三為等帶幾分四為幾倍大帶一
分五為幾倍大帶幾分
一為幾倍大者謂大幾何内有小幾何或二或三或
十或八也如二十與四是二十内為四者五如三十
尺之線與五尺之線是三十尺内為五尺者六則二
十與四名為五倍大之比例也三十尺與五尺名為
六倍大之比例也倣此為名可至無窮也
二為等帶一分者謂大幾何内既有小之一别帶一
[005-5b]
分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至
無窮者是也如三與二是三内既有二别帶一一為二
之半如十二尺與九尺之線是十二内既有九别帶
三三為九三分之一則三與二名為等帶半也十二
尺與九尺名為等帶三分之一也
三為等帶幾分者謂大幾何内既有小之一别帶幾
分而此幾分不能合為一盡分者是也如八與五是
八内既有五别帶三一每一各為五之分而三一不
[005-6a]
能合而為五之分也他如十與八其十内既有八别
帶二一雖每一各為八之分與前例相似而二一却
能為八四分之一是為帶一分屬在第二不屬三也
則八與五名為等帶三分也又如二十二與十六即
名為等帶六分也四為幾倍大帶一分者謂大幾何
内既有小幾何之二之三之四等别帶一分此一分
或元一之半或三分四分之一以至無窮者是也如
九與四是九内既有二四别帶一一為四之分之一
[005-6b]
則九與四名為二倍大帶四分之一也
五為幾倍大帶幾分者謂大幾何内既有小幾何之
二之三之四等别帶幾分而此幾分不能合為一盡
分者是也如十一與三是十一内既有三三别帶二
一每一各為三之分而二一不能合而為三之分也
則十一與三名為三倍大帶二分也
大合比例之以小不等者亦有五種俱與上以大不
等五種相反為名一為反幾倍大二為反等帶一分
[005-7a]
三為反等帶幾分四為反幾倍大帶一分五為反幾
倍大帶幾分
凡比例諸種如前所設諸數俱有書法書法中有全
數有分數全數者如一二三十百等是也分數者如
分一以二以三以四等是也書全數依本數書之不
必立法書分數必有兩數一為命分數一為得分數
如分一以三而取其二則為三分之二即三為命分
數二為得分數也分一為十九而取其七則為十九
[005-7b]
分之七即十九為命分數七為得分數也
書以大小不等各五種之比例其一幾倍大以全數
書之如二十與四為五倍大之比例即書五是也若
四倍即書四六倍即書六也其反幾倍大即用分數
書之而以大比例之數為命分之數以一為得分之
數如大為五倍大之比例則此書五之一是也若四
倍即書四之一六倍即書六之一也
其二等帶一分之比例有兩數一全數一分數其全
[005-8a]
數恒為一其分數則以分率之數為命分數恒以一
為得分數如三與二名為等帶半即書一别書二之
一也其反等帶一分則全用分數而以大比例之命
分數為此之得分數以大比例之命分數加一為此
之命分數如大為等帶二之一即此書三之二也又
如等帶八分之一反書之即書九之八也又如等帶
一千分之一反書之即書一千○○一之一千也
其三等帶幾分之比例亦有兩數一全數一分數其
[005-8b]
全數亦恒為一其分數亦以分率之數為命分數以
所分之數為得分數如十與七名為等帶三分即書
一别書七之三也其反等帶幾分亦全用分數而以
大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分
數加大之得分數為此之命分數如大為等帶七之
三命數七得數三七加三為十即書十之七也又如
等帶二十之三反書之二十加三即書二十三之二
十也
[005-9a]
其四幾倍大帶一分之比例則以幾倍大之數為全
數以分率之數為命分數恒以一為得分數如二十
二與七二十二内既有三七别帶一一為七分之一
名為三倍大帶七分之一即以三為全數七為命分
數一為得分數書三别書七之一也其反幾倍大帶
一分則以大比例之命分數為此之得分數以大之
命分數乘大之倍數加一為此之命分數如大為三
帶七之一即以七乘三得二十一又加一為命分數
[005-9b]
書二十二之七也又加五帶九之一反書之九乘五
得四十五加一為四十六即書四十六之九也
其五幾倍大帶幾分之比例亦以幾倍大之數為全
數以分率之數為命分數以所分之數為得分數如
二十九與八二十九内既有三八别帶五一名為三
倍大帶五分即以三為全數八為命分數五為得分
數書三别書八之五也其反幾倍大帶幾分則以大
比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數
[005-10a]
乘大之倍數加大之得分數為此之命分數如大為
三帶八之五即以八乘三得二十四加五為二十九
書二十九之八也又如四帶五之二即書二十二之
五也
以上大小十種足盡比例之凡不得加一減一
第四界
兩比例之理相似為同理之比例
兩幾何相比謂之比例兩比例相比謂之同理之比
[005-10b]
例如甲與乙兩幾何之比例偕丙與丁
兩幾何之比例其理相似為同理之比
例又若戊與己兩幾何之比例偕己與
庚兩幾何之比例其理相似亦同理之
比例
凡同理之比例有三種有數之比例有量法之比例
有樂律之比例本篇所論皆量法之比例也量法比
例又有二種一為連比例連比例者相續不斷其中
[005-11a]
率與前後兩率逓相為比例而中率既為前率之後
又為後率之前如後圖戊與己比己又與庚比是也
二為斷比例斷比例者居中兩率一取不再用如前
圖甲自與乙比丙自與丁比是也
第五界
兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何
上文言為比例之幾何必同類然同類中亦有無比
例者故此界顯有比例之幾何也曰倍其身而能相
[005-11b]
勝者如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身
即大于八尺之線是為有比例之線也又如直角方
形之一邉與其對角線雖非大合之比例可以數明
而直角方形之一邉一倍之即大于對角線兩邉等/三角形
其兩邉并必大于/一邉見一卷二十是亦有小合比例之線也又圜之
徑四倍之即大于圜之界則圜之徑與界亦有小合
比例之線也圜之界當三徑七分徑/之一弱别見圜形書又曲線與直線
亦有比例如以大小兩曲線相合為初月形别作一
[005-12a]
直角方形與之等六卷三十三/一増題今附即曲直兩線相視有
大有小亦有比例也又方形與圜雖自古至今學士
無數不能為相等之形然兩形相視有大有小亦不
可謂無比例也又直線角與曲線角亦有比例如上
圖直角鈍角鋭角皆有與曲線角等者若第一圖甲
乙丙直角在甲乙乙丙兩直線内而其間設
有甲乙丁與丙乙戊兩圜分角等即于甲乙
丁角加甲乙戊角則丁乙戊曲線角與甲乙
[005-12b]
丙直角等矣依顯壬庚癸曲線角與己庚辛
鈍角等也又依顯卯丑辰曲線角與子丑寅
鋭角各减同用之子丑丑辰内圜小分即兩
角亦等也此五者皆疑無比例而實有比例
者也他若有窮之線與無窮之線雖則同類
實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之
線故也又線與靣靣與體各自為類亦無比例何者
畢世倍線不能及靣畢世倍靣不能及體故也又切
[005-13a]
圜角與直線鋭角亦無比例何者依三卷十六題所
説畢世倍切邉角不能勝至小之鋭角故也此後諸
篇中每有倍此幾何令至勝彼幾何者故備著其理
以需後論也
第六界
四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第
一第三之幾倍偕第二第四之幾倍其相視或等或
俱為大俱為小恒如是
[005-13b]
兩幾何曷顯其能為比例乎上第五界所説是也兩
比例曷顯其能為同理之比例乎此所説是也其術
通大合小合皆以加倍法求之如
一甲二乙三丙四丁四幾何于一
甲三丙任加幾倍為戊為己戊倍
甲己倍丙其數自相等次于二乙四丁任加幾倍為
庚為辛庚倍乙辛倍丁其數自相等而戊與己偕庚
與辛相視或等或俱大或俱小如是等大小累試之
[005-14a]
恒如是即知一甲與二乙偕三丙與四丁為同理之
比例也
如初試之甲幾倍之戊小于乙幾倍之庚而丙幾倍
之己亦小于丁幾倍之辛又試之倍甲之戊與倍乙
之庚等而倍丙之己亦與倍丁之辛等三試之倍甲
之戊大于倍乙之庚而倍丙之己
亦大于倍丁之辛此之謂或相等
或雖不等而俱為大俱為小若累
[005-14b]
合一差即元設四幾何不得為同理之比例如下第
八界所指是也
下文所論若言四幾何為同理之比例即當推顯第
一第三之幾倍與第二第四之幾倍或等或俱大俱
小若許其四幾何為同理之比例亦如之
以數明之如有四幾何第一為三第二為二第三為
六第四為四今以第一之三第三之六同加四倍為
十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍
[005-15a]
為十四為二十八其倍第一之十二既
小于倍第二之十四而倍第三之二十
四亦小于倍第四之二十八也又以第
一之三第三之六同加六倍為十八為
三十六次以第二之二第四之四同加
九倍為十八為三十六其倍第一之十八既等于倍
第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之
三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九
[005-15b]
為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為
八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之
十八亦大于倍第四之八也若爾或俱大俱小或等
累試之皆合則三與二偕六與四得為同理之比例
也
以上論四幾何者斷比例之法也其連比例法倣此
但連比例之中率兩用之既為第二又為第三視此
異耳
[005-16a]
第七界
同理比例之幾何為相稱之幾何
甲與乙若丙與丁是四幾何為同理之
比例即四幾何為相稱之幾何又戊與
己若己與庚即三幾何亦相稱之幾何
第八界
四幾何若第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾
倍不大于第四之幾倍則第一與二之比例大于第
[005-16b]
三與四之比例
此反上第六界而釋不同理之兩比例其相視曷顯
為大曷顯為小也謂第一第三之幾
倍與第二第四之幾倍依上累試之
其間有第一之幾倍大于第二之幾
倍而第三之幾倍乃或等或小于第四之幾倍即第
一與二之比例大于第三與四之比例也如上圖甲
一乙二丙三丁四甲與丙各三倍為戊己乙與丁各
[005-17a]
四倍為庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙
三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲與乙之比例大
于丙與丁也若第一之幾倍小于第二之幾倍而第
三之幾倍乃或等或大于第四之幾倍即第一與二
之比例小于第三與四之比例如是等大小相戾者
但有其一不必再試
以數明之中設三二四三四幾何先有第一之倍大
于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍後復有
[005-17b]
第一之倍大于第二之倍而第三之倍
乃或等或小于第四之倍即第一與二
之比例大于第三與四也若以上圖之
數反用之以第一為二第二為一第三
為四第四為三則第一與二之比例小
于第三與四
第九界
同理之比例至少必三率
[005-18a]
同理之比例必兩比例相比如甲與乙
若丙與丁是四率斷比例也若連比例
之戊與己若己與庚則中率己既為戊
之後又為庚之前是以三率當四率也
第十界
三幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例
四幾何為同例之連比例則第一與四為三加之比
例倣此以至無窮
[005-18b]
甲乙丙丁戊五幾何為同理之連比例其甲與乙若
乙與丙乙與丙若丙與丁丙與丁若丁與戊即一甲
與三丙視一甲與二乙為再加之比例
又一甲與四丁視一甲與二乙為三加
之比例何者甲丁之中有乙丙兩幾何
為同理之比例如甲與乙故也又一甲與五戊視一
甲與二乙為四加之比例也若反用之以戊為首則
一戊與三丙為再加與四乙為三加與五甲為四加
[005-19a]
也
下第六卷二十題言此直角方形與彼直角方形為
此形之一邉與彼形之一邉再加之比例何者若作
三幾何為同理之連比例則此直角方形與彼直角
方形若第一幾何與第三幾何故也以數明之如此
直角方形之邉三尺而彼直角方形之邉一尺即此
形邉與彼形邉若九與一也夫九與一之間有三為
同理之比例則九三一三幾何之連比例既有三與
[005-19b]
一為比例又以九比三三比一為再加之比例也則
彼直角方形當為此形九分之一不止為此形三分
之一也大畧第一與二之比例若線相比第一與三
若平靣相比第一與四若體相比也第一與五若筭/家三乘方與六
若四乘方與七若五/乘方倣此以至無窮
第十一界
同理之幾何前與前相當後與後相當
上文己解同理之比例此又解同理之幾何者蓋一
[005-20a]
比例之兩幾何有前後而同理之兩
比例四幾何有兩前兩後故特解言
比例之論常以前與前相當後與後
相當也如上甲與乙丙與丁兩比例
同理則甲與丙相當乙與丁相當也戊己己庚兩比
例同理則己既為前又為後兩相當也如下文有兩
三角形之邉相比亦常以同理之兩邉相當不可混
也
[005-20b]
上文第六第八界説幾何之幾倍常以一與三同倍
二與四同倍則以第一第三為兩前第二第四為兩
後各同理故
第十二界
有屬理更前與前更後與後
此下説比例六理皆後論所需也
四幾何甲與乙之比例若丙與丁今
更推甲與丙若乙與丁為屬理 下言屬理皆省曰
[005-21a]
更
此論未證證見本卷十六
此界之理可施于四率同類之比例若兩線兩靣或
兩靣兩數等不為同類即不得相更也
第十三界
有反理取後為前取前為後
甲與乙之比例若丙與丁今反推乙與
甲若丁與丙為反理
[005-21b]
證見本篇四之系
此界之理亦可施于異類之比例
第十四界
有合理合前與後為一而比其後
甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己今合
甲丙為一而比乙丙合丁己為一而比戊
己即推甲丙與乙内若丁己與戊己是合
兩前後率為兩一率而比兩後率也
[005-22a]
證見本卷十八
第十五界
有分理取前之較而比其後
甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今分
推甲乙之較甲丙與丙乙若丁戊之較丁
己與己戊
證見本卷十七
[005-22b]
第十六界
有轉理以前為前以前之較為後
甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今轉
推甲乙與甲丙若丁戊與丁己
證見本卷十九
第十七界
有平理彼此幾何各自三以上相為同理之連比例則
[005-23a]
此之第一與三若彼之第一與三又曰去其中取其
首尾甲乙丙三幾何丁戊己三幾何
等數相為同理之連比例者甲與乙
若丁與戊乙與丙若戊與己也今平
推首甲與尾丙若首丁與尾己
平理之分又有二種如後二界
第十八界
有平理之序者此之前與後若彼之前與後而此之後
[005-23b]
與他率若彼之後與他率
甲與乙若丁與戊而後乙與他率丙
若後戊與他率己是序也今平推甲
與丙若丁與己也此與十七界同重/宣序義以别後界
也/
證見本卷二十二
第十九界
有平理之錯者此數幾何彼數幾何此之前與後若彼
[005-24a]
之前與後而此之後與他率若彼之他率與其前
甲乙丙數幾何丁戊己數幾何其甲
與乙若戊與己又此之後乙與他率
丙若彼之他率丁與前戊是錯也今
平推甲與丙若丁與己也十八十九界推法于十七/界中通論之故兩題中不
再著/也
證見本卷二十三
増一幾何有一幾何相與為比例即此幾何必有
[005-24b]
彼幾何相與為比例而兩比例等一幾何有一幾
何相與為比例即必有彼幾何與此幾何為比例
而兩比例等比例同理省/曰比例等
甲幾何與乙幾何為比例即此幾何丙
亦必有彼幾何如丁相與為比例若甲
與乙也丙幾何與丁幾何為比例即必
有彼幾何如戊與此幾何丙為比例若丙與丁也
此理推廣無礙于理有之不必舉其率也舉率之
[005-25a]
理備見後卷
[005-25b]
幾何原本卷五之首
[005-26a]
欽定四庫全書
幾何原本卷五
西洋利瑪竇撰
第一題
此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍于彼之各率則
此之并率亦幾倍于彼之并率
解曰如甲乙丙丁此二幾何大于戊己彼二
幾何各若干倍題言甲乙丙丁并大于戊己
[005-26b]
并亦若干倍
論曰如甲乙與丙丁既各三倍大于戊與己
即以甲乙三分之各與戊等為甲庚庚辛辛
乙又以丙丁三分之各與己等為丙壬壬癸
癸丁即甲乙與丙丁所分之數等而甲庚既
與戊等丙壬既與己等既于甲庚加丙壬于
戊加己其甲庚丙壬并與戊己并必等依顯庚辛壬
癸并辛乙癸丁并與戊己并各等夫甲乙與丙丁之
[005-27a]
分三合于戊己皆等本卷界/説二則甲乙丙丁并三倍大
于戊己并
第二題
六幾何其第一倍第二之數等于第三倍第四之數而
第五倍第二之數等于第六倍第四之數則第一第
五并倍第二之數等于第三第六并倍第四之數
解曰一甲乙倍二丙之數如三丁戊倍四己之數又
五乙庚倍二丙之數如六戊辛倍四己之數題言一
[005-27b]
甲乙五乙庚并倍二丙之數若三丁戊六
戊辛并倍四己之數
論曰甲乙丁戊之倍于丙己其數等則甲
乙幾何内有丙幾何若干與丁戊幾何内
有己幾何若干其數亦等本卷界/説二依顯乙庚丙有丙
若干與戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊兩等
數率每加一等數之乙庚戊辛率則甲庚丁辛兩幾
何内之分數等而一五并之甲庚内有二丙若干與
[005-28a]
三六并之丁辛内有四己若干亦等
注曰若第一第三兩幾何之數與第二第四兩幾
何之數各等而第五倍第二之數等于第六倍第
四之數或第一倍第二之數等于第三倍第四之
數而第五第二兩幾何之數與第六第四兩幾何
之數各等俱同本論如上二
圖甲庚為第一第五之并率
其倍二丙之數與丁辛為第
[005-28b]
三第六之并率其倍四己之數等也甲庚内有丙/若干與丁辛
内有己若干/等故同理他若第一第三兩幾何之數第五第
六兩幾何之數與第二第四兩幾何之數各等此
理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六
并之倍第四俱兩倍故
第三題
四幾何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍
第一又倍第三其數等則第一所倍之與第二若第
[005-29a]
三所倍之與第四
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于
四丁次作戊己兩幾何同若干倍于甲
于丙題言以平理推戊倍乙之數若己倍丁
論曰戊與己之倍甲與丙其數既等試
以戊作若干分各與甲等為戊庚庚辛
辛壬次分己亦如之為己癸癸子子丑
即戊内有甲若干與己内有丙若干等
[005-29b]
本卷界/説二夫戊庚與甲己癸與丙既等而甲之倍乙與
丙之倍丁又等則戊庚倍乙若己癸倍丁也依顯庚
辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫
一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛
之倍二乙亦若六癸子之倍四丁則一戊庚五庚辛
并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也本篇/二
又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛
壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁則一戊辛五辛
[005-30a]
壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛
壬子丑以上任作多分皆倣此論
第四題其系爲反理/
四幾何其第一與二偕第三與四比例等第一第三同
任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍
與第二所倍第三所倍與第四所倍比例亦等
觧曰甲與乙偕丙與丁比例等次作戊與己同任若
干倍于一甲三丙别作庚與辛同任若干倍于二乙
[005-30b]
四丁題言一甲
所倍之戊與二
乙所倍之庚偕
三丙所倍之己
與四丁所倍之
辛比例亦等
論曰試以戊己二㡬何同任倍之為壬為癸别以庚
辛同任倍之為子為丑其戊之倍甲既若己之倍丙
[005-31a]
而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之
倍丙也本篇/三依顯子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲
與乙偕丙與丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子
丑所倍于乙丁各等即三試之若倍甲之壬小于倍
乙之子則倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等
即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣本卷/界説
六/夫戊己之倍為壬癸也庚辛之倍為子丑也不論
㡬許倍其等大小三試之恒如是也則一戊所倍之
[005-31b]
壬與二庚所倍之子偕三己所倍之癸與四辛所倍
之丑等大小皆同類也而戊與庚偕己與辛之比例
必等本卷界/説六
一系凡四㡬何第一與二偕第三與四比例等即可
反推第二與一偕第四與三比例亦等何者如上倍
甲之壬與倍乙之子偕倍丙之癸與倍丁之丑等大
小俱同類而顯甲與乙若丙與丁即可反説倍乙之
子與倍甲之壬偕倍丁之丑與倍丙之癸等大小俱
[005-32a]
同類而乙與甲亦若丁與丙本卷界/説六
二系别有一論亦本書中所恒用也曰若甲與乙偕
兩與丁比例等則甲之或二或三倍與乙之或二或
三倍偕丙之或二或三倍與丁之或二或三倍比例
俱等倣此以至無窮
第五題
大小兩㡬何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍
于彼全截取之分則此全之分餘所倍于彼全之分
[005-32b]
餘亦如之
解曰甲乙大㡬何丙丁小㡬何甲乙所倍
于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁
之截分丙己題言甲戊之分餘戊乙所倍
于丙巳之分餘巳丁亦如其數
論曰試作一他㡬何為庚丙今戊巳之倍庚丙若甲
戊之倍丙巳也本卷界/説増甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其
數等即其兩并甲乙之倍庚巳亦若甲/戊之倍丙巳
[005-33a]
也本篇/一而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍
丙己則丙丁與庚己等也次毎減同用之
丙巳即庚丙與巳丁亦等而戊乙之倍巳
丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚
丙既若甲戊之倍丙己則戊乙為甲戊之
分餘所倍于巳丁為丙巳之分餘者亦若
甲乙之倍丙丁也
又論曰試作一他㡬何為庚甲令庚甲之
[005-33b]
倍己丁若甲戊之倍丙巳本説界/説二十即其兩并庚戊之
倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也本篇/一而甲乙之倍丙
丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊與甲乙等矣次毎減
同用之甲戊即庚甲與戊乙等也而庚甲之倍己丁
若甲乙之倍丙丁也則戊乙之倍巳丁亦若甲乙之
倍丙丁也
第六題
此兩㡬何各倍于彼兩㡬何其數等于此兩㡬何毎減
[005-34a]
一分其一分之各倍于所當彼㡬何其數等則其分
餘或各與彼㡬何等或尚各倍于彼㡬何其數亦等
觧曰甲乙丙丁兩㡬何各倍于戊巳兩㡬
何其數等毎減一甲庚丙辛甲庚丙辛之
倍戊巳其數等題言分餘庚乙辛丁或與
戊巳等或尚各倍于戊巳其數亦等
論曰甲乙全與其分甲庚既各多倍于戊則分餘庚
乙與戊其或等或尚㡬倍必矣何者庚乙與戊不等
[005-34b]
不㡬倍其加于甲庚不成為戊之多倍也
然則庚乙與戊等曷為辛丁與巳亦等試
作壬丙與己等其一甲庚之倍二戊既若
三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙
之等四巳則第一第五并之甲乙所倍于
二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳
也本篇/二而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己
即壬辛與丙丁亦等次毎減同用之丙辛
[005-35a]
即壬丙與辛丁必等是辛丁與己亦等矣然則庚乙
之倍戊曷為與辛丁之倍己等試作壬丙其倍己若
庚乙之倍戊依前論甲乙之倍戊若壬辛之倍己本/篇
二/而壬辛與丙丁等壬丙與辛丁亦等是辛丁之倍
己亦若庚乙之倍戊矣
第七題二/支
此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與
此相等之兩幾何各為比例亦等
[005-35b]
解曰甲乙兩幾何等彼幾何丙不論等大
小于甲乙題言甲與丙偕乙與丙各為比
例必等又反上言丙與甲偕丙與乙各為
比例亦等
論曰試作丁戊兩率任同若干倍于甲乙
即丁與戊等别作己任若干倍于丙其丁
戊既等即丁視己與戊視己或等或大或
小必同類矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕
[005-36a]
當二又當四之丙所倍之己其等大小既同類本卷/界説
六/則一甲與二丙之比例若三乙與四丙矣反説之
當一當三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊
其等大小既同類則一丙與二甲之比例若三丙與
四乙矣
後論與本篇第四題之系同用反理如甲與丙若乙
與丙反推之丙與甲亦若丙與乙也
第八題
[005-36b]
大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大
于小與他之比例而他與小之比例大于他與大之比例
解曰不等兩幾何甲乙大丙小又有他幾
何丁不論等大小于甲乙于丙題言甲乙
與丁之比例大于丙與丁之比例又反上
言丁與丙之比例大于丁與甲乙之比例
論曰試于大幾何甲乙内分甲戊與小幾何丙等而
戊乙為分餘次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚
[005-37a]
己而庚己為戊乙之倍必令大于丁辛庚為甲戊之
倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加
之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等
即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣本/篇
一/甲戊即丙也次作一壬癸為丁之倍令
僅大于辛庚兩倍不足三之又不足任加之己大勿
倍也次于壬癸截取子癸與丁等即壬子必不大于
辛庚何者向作壬癸為丁之倍元令僅大于辛庚若
[005-37b]
壬子大于辛庚者何必又倍之為壬癸也故僅大之
壬癸截去子癸者必不大于辛庚也則壬子或等或
小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸與丁等即庚
己必大于子癸又辛庚不小于壬子或大/或等即辛己亦
大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第
三丙也而壬癸之倍于當二之丁當四之丁又同一
率也則第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而
第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸辛庚元/小于壬
[005-38a]
癸/是一甲乙與二丁之比例大于三丙與四丁矣本/卷
界説/八次反上説一丁所倍之壬癸反説則丁當一當/三丙二甲乙四
大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于
四甲乙所倍之辛己壬癸必小/于辛己是一丁與二丙之比
例大于三丁與四甲乙矣本卷界/説八
第九題二支/
兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾
何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等
[005-38b]
先解曰甲乙兩幾何各與丙為比例等題言甲
與乙等
論曰如云不然而甲大于乙即甲與丙之比例
宜大于乙與丙本篇/八何先設兩比例等也故比例等
則甲與乙等
後解曰丙幾何與甲與乙各為比例等題言甲與乙等
論曰如云不然而甲大于乙即丙與乙之比例宜大
于丙與甲本篇/八何先設兩比例等也
[005-39a]
第十題二/支
彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大于彼與他之
比例則此幾何大于彼他幾何與彼幾何之比例大
于他與此之比例則彼幾何小于此
先解曰甲乙兩幾何復有丙幾何甲與丙之比
例大于乙與丙題言甲大于乙
論曰如云不然甲與乙等即所為兩比例宜等
本篇/七何先設甲與丙大也又不然甲小于乙即乙與
[005-39b]
丙之比例宜大于甲與丙本篇/八何先設甲與丙大也
後解曰丙與乙之比例大于丙與甲題言乙小于甲
論曰如云不然乙與甲等即所為兩比例宜等
本篇/七何先設丙與乙大也又不然乙大于甲即
丙與甲之比例宜大于丙與乙何先設丙與乙
大也
第十一題
此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何
[005-40a]
之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比
例與此兩幾何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各與戊己之比
例等題言甲乙與丙丁之比例亦等
論曰試于各前率之甲丙戊同任倍之為
庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之
為癸子丑其一甲與二乙之比例既若三
戊與四己即三試之若倍一甲之庚小于
[005-40b]
倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四
己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大
于癸即壬亦大于丑矣本卷界/説六依顯壬之
視丑若辛之視子其等大小亦同類矣此三前三後
率任作幾許倍其等大小皆同類也本卷界/説六則甲與
乙之比例若丙與丁也
第十二題
數幾何所為比例皆等則并前率與并後率之比例若
[005-41a]
各前率與各後率之比例
解曰甲乙丙丁戊己數幾何所為比例皆等者甲與
乙若丙與丁丙與丁若戊與己也題言甲
丙戊諸前率并與乙丁己諸後率并之比
例若甲與乙丙與丁戊與己各前各後之
比例也
論曰試于各前率之甲丙戊同任倍之為
庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之
[005-41b]
為癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若
庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若
癸之倍乙也本篇/一夫一甲與二乙既若三
丙與四丁又若三戊與四己則庚之倍一甲與癸之
倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊與子五
之倍四丁己等大小同類也又各前所倍庚辛壬并
與各後所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前
所自倍與各後所自倍其等大小必同類也本卷界/説六
[005-42a]
則一甲與二乙之比例若三甲丙戊并與四乙丁己
并矣
第十三題
數幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第三
與四之比例大于第五與六之比例則第一與二之
比例亦大于第五與六之比例
解曰一甲與二乙之比例若三丙與四丁而三丙與
四丁之比例大于五戊與六己題言甲與乙之比例
[005-42b]
亦大于戊與己
論曰試以甲丙戊各前率同任倍之為庚
辛壬别以乙丁己各後率同任倍之為癸
子丑其甲與乙既若丙與丁即三試之若
倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必
大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等
若庚小于癸即辛亦小于子矣本卷界/説六次
丙與丁既大于戊與己又三試之即倍丙
[005-43a]
之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之
丑也或等或小矣本卷界/説八夫庚癸與辛子等大小同
類則壬丑不類于辛子者亦不類于庚癸也故甲與
乙之比例亦大于戊與己本卷界/説八
注曰若三丙與四丁之比例或小或等于五戊六
己則一甲與二乙之比例亦小亦等于五戊六己
依此論推顯
第十四題
[005-43b]
四幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第一
幾何大于第三則第二幾何亦大于第四第一或等
或小于第三則第二亦等亦小于第四
解曰甲與乙之比例若丙與丁題言甲大
于丙則乙亦大于丁若等亦等若小亦小
先論曰如甲大于丙即甲與乙之比例大
于丙與乙矣本篇/八夫一丙與二丁之比例既若三甲
與四乙而三甲與四乙之比例大于五丙與六乙即
[005-44a]
一丙與二丁之比例亦大于五丙與六乙本篇/十三是丁
幾何小于乙也本篇/十一
次論曰如甲丙等即甲與乙之比例若丙
與乙本篇/七夫甲與乙之比例元若丙與丁
而又若丙與乙是丙與丁之比例亦若丙與乙也本/篇
十/一則乙與丁等也本篇/九
後論曰如甲小于丙即丙與乙之比例大于甲與乙
矣本篇/八夫一丙與二丁之比例既若三甲與四乙而
[005-44b]
三甲與四乙之比例小于五丙與六乙即
一丙與二丁之比例亦小于五丙與六乙
也本篇/十三是乙小于丁也本篇/十
第十五題
兩分之比例與兩多分并之比例等
解曰甲與乙同任倍之為丙丁為戊己題言丙丁與
戊己之比例若甲與乙
論曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲
[005-45a]
若干與戊己内有乙若干等次分丙丁為丙庚
庚辛辛丁各與甲分等分戊己為戊壬壬癸癸
己各與乙分等即丙庚與戊壬若甲與乙也丙/庚
與甲等戊壬與乙/等故見本篇七庚辛與壬癸辛丁與癸己皆
若甲與乙也本篇/十一則等甲之丙庚與等乙之戊
壬定若丙丁全與戊己全而丙丁全與戊己全若甲
與乙矣本篇/十二
第十六題更/理
[005-45b]
四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等
解曰甲乙丙丁四幾何甲與乙之比例若
丙與丁題言更推之甲與丙之比例亦若
乙與丁
論曰試以甲與乙之任倍之為戊為己别
以丙與丁同任倍之為庚為辛即戊與己
若甲與乙也本篇/十五庚與辛若丙與丁也夫
甲與乙若丙與丁而戊與己亦若甲與乙即戊與己
[005-46a]
亦若丙與丁矣依顯庚與辛若丙與丁即戊與己亦
若庚與辛也本篇/十一次三試之若戊大于庚則己亦大
于辛也若等亦等若小亦小任作幾許倍恒如是也
本篇/十四則倍一甲之戊倍三乙之己與倍二丙之庚倍
四丁之辛其等大小必同類也而甲與丙若乙與丁
矣
第十七題分/理
相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等
[005-46b]
解曰相合之兩幾何其一為甲乙丁乙其
一為丙戊己戊比例等者甲乙與丁乙若
丙戊與己戊也題言分之為比例亦等者
甲丁與丁乙若丙己與己戊也
論曰試以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之
為庚辛辛壬為癸子子丑即庚壬之倍甲
乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也本篇/一
夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍
[005-47a]
甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任
倍之為壬寅為丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三
子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑
卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己
戊也本篇/二夫一甲乙與二丁乙之比例既若三丙戊
與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試之若
一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三
丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若
[005-47b]
等亦等若小亦小也本卷界/説六如庚壬小于
辛寅而癸丑小于子卯者即每減一同用
之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而
癸子亦小于丑卯矣依顯庚壬等辛寅而
癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等
丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯
者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛為
甲丁之倍癸子為丙己之倍壬寅為丁乙之倍丑卯
[005-48a]
為己戊之倍而甲丁丙己之所倍視丁乙己戊之所
倍其等大小皆同類則甲丁與丁乙若丙己與己戊
也本卷界/説六
第十八題合理/
兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等
解曰甲丁丁乙與丙己己戊兩分幾何其
比例等者甲丁與丁乙若丙己與己戊是
也題言合之為比例亦等者甲乙與丁乙
[005-48b]
若丙戊與己戊也
論曰如前論以甲丁丁乙丙己己戊同任
倍之為庚辛辛壬為癸子子丑本篇/二次别
以丁乙己戊同任倍之為壬寅為丑卯即庚壬之倍
甲乙若癸丑之倍丙戊也本篇/一而辛寅之倍丁乙若
子卯之倍乙戊也本篇/二夫一甲丁與二丁乙既若三
丙己與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試
之若一甲丁所倍之庚辛小於二丁乙所倍之壬寅
[005-49a]
即三丙己所倍之癸子亦小於四己戊所
倍之丑卯也若等亦等若大亦大也本卷/界説
六/如庚辛小於壬寅而癸子亦小於丑卯
即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小於
辛寅而癸丑亦小於子卯矣依顯庚辛等
壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸
丑等子卯矣庚辛大於壬寅而癸子大於丑卯即庚
壬大於辛寅而癸丑大於子夘矣夫一甲乙所倍之
[005-49b]
庚壬與二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑
與四己戊所倍之子夘其等大小皆同類則甲乙與
丁乙若丙戊與己戊也本卷界/説六
第十九題其系為轉理/
兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例
等則分餘之比例與兩全之比例亦等
解曰甲乙丙丁兩幾何其甲乙全與丙丁全之比例
若截取之甲戊與丙己題言分餘戊乙與己丁之比
[005-50a]
例亦若甲乙與丙丁
論曰甲乙與丙丁既若甲戊與丙己試更之甲
乙與甲戊若丙丁與丙己也本篇/十六次分之戊乙
與甲戊若己丁與丙己也本篇/十七又更之戊乙與
己丁若甲戊與丙己也本篇/十六夫甲戊與丙己元
若甲乙與丙丁則戊乙與己丁亦若甲乙與丙
丁矣
一系從此題可推界説第十六之轉理如上甲乙與
[005-50b]
戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與
丙己也何者甲乙與戊乙既若丙丁與己丁試更之
甲乙與丙丁若截取之戊乙與己丁也本篇/十六即甲乙
全與丙丁全又若分餘之甲戊與丙己矣本/題又更之
則甲乙與甲戊若丙丁與丙己也本篇/十六此轉理也
注曰凡更理可施於同類之比例不可施於異類
若轉理不論同異類皆可用也依此系即轉理亦
頼更理為用似亦不可施於異類矣今别作一論
[005-51a]
不頼更理以為轉理明轉理可施於異類也
論曰甲乙與丙乙若丁戊與己戊即轉推甲
乙與甲丙若丁戊與丁己何者甲乙與丙乙既
若丁戊與己戊試分之甲丙與丙乙若丁己與
己戊也本篇/十七次反之丙乙與甲丙若己戊與丁己也
本篇/四次合之甲乙與甲丙若丁戊與丁己也本篇/十八
第二十題三支/
有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大於
[005-51b]
第三則第四亦大於第六第一或等或小於第三則
第四亦等亦小於第六
先解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何其
甲與乙之比例若丁與戊乙與丙之比例
若戊與己而甲大於丙題言丁亦大於己
論曰甲既大於丙即甲與乙之比例大於
丙與乙矣本篇/八而甲與乙之比例若丁與戊即丁與
戊之比例亦大於丙與乙矣本篇/十三又丙與乙之比例
[005-52a]
若己與戊乙與丙若戊與己反之/則丙與乙若己與戊即丁與戊之比例
大於己與戊矣是丁大於己也本篇/十
次解曰若甲丙等題言丁己亦等
論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與
乙矣本篇/七而甲與乙之比例若丁與戊即
丁與戊之比例亦若丙與乙矣本篇/十一又丙
與乙之比例若己與戊反/理即丁與戊之比例亦若己
與戊矣是丁己等也本篇/九
[005-52b]
後解曰若甲小於丙題言丁亦小於己
論曰甲既小於丙即甲與乙之比例小於
丙與乙矣本篇/八而甲與乙之比例若丁與
戊即丁與戊之比例亦小於丙與乙矣又
丙與乙之比例若己與戊反/理即丁與戊之比例小於
己於戊矣是丁小於己也本篇/十
第二十一題三支/
有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之
[005-53a]
若第一幾何大于第三則第四亦大于第六若第一
或等或小于第三則第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何相為
連比例不序不序者甲與乙若戊與己乙
與丙若丁與戊也以平理推之若甲大于
丙題言丁亦大于己
論曰甲既大于丙即甲與乙之比例大于丙與乙本/篇
八/而甲與乙若戊與己即戊與己之比例亦大于丙
[005-53b]
與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若
戊與丁也本篇/四則戊與己大于戊與丁也是丁大于己也
本篇/二十
次解曰若甲丙等題言丁己亦等
論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與
乙本篇/七而甲與乙若戊與己即丙與乙之
比例亦若戊與己也又乙與丙既若丁與戊反之即
丙與乙亦若戊與丁也本篇/四則戊與己若戊與丁也
[005-54a]
是丁己等也本篇/九
後解曰若甲小于丙題言丁亦小于己
論曰甲既小于丙即甲與乙之比例小于
丙與乙本篇/八而甲與乙若戊與己即戊與
己之比例小于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反
之即丙與乙若戊與丁本篇/四則戊與己小于戊與丁
也是丁小于己也本篇/十
第二十二題平理之序/
[005-54b]
有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以
平理推
解曰有若干幾何甲乙丙又
有若干幾何丁戊己而甲與
乙之比例若丁與戊乙與丙
之比例若戊與己題言以平
理推之甲與丙之比例若丁
與己
[005-55a]
論曰試以甲與丁同任倍之為庚為辛别以乙與戊
同任倍之為壬為癸别以丙與己同任倍之為子為
丑其一甲與二乙既若三丁與四戊即倍甲之庚與
倍乙之壬若倍丁之辛與倍
戊之癸也本篇/四依顯一乙與
二丙既若三戊與四己即倍
乙之壬與倍丙之子若倍戊
之癸與倍己之丑也是庚壬
[005-55b]
子三幾何辛癸丑三幾何又相為連比例矣次三試
之若庚大于子即辛必大于丑也本篇/二十若等亦等者
小亦小也則倍一甲之庚倍三丁之辛與倍二丙之
子倍四己之丑等大小皆同類也是甲與丙若丁與
己也本卷界/説六其幾何自三以上如更有丙與寅若己
與卯亦依顯甲與寅若丁與卯也何者上既顯甲與
丙若丁與己而今稱丙與寅若己與卯即以甲丙寅
作三幾何以丁己卯作又三幾何相為連比例依上
[005-56a]
推論亦得甲與寅之比例若丁與夘也自四以上可
至無窮依此推顯
第二十三題平理/之錯
若干幾何又若干幾何相為連比例而錯亦以平理推
解曰甲乙丙若干幾何丁戊
己若干幾何相為連比例而
錯者甲與乙若戊與己乙與
丙若丁與戊也題言以平理
[005-56b]
推之甲與丙之比例亦若丁與己
論曰試以甲乙丁同任倍之為庚辛壬别以丙戊己
同任倍之為癸子丑即甲與乙若所自倍之庚與辛
本篇/十五而甲與乙既若戊與己
即庚與辛亦若戊與己本篇/十一
戊與己又若所自倍之子與
丑即庚與辛亦若子與丑本/篇
十/一依顯一乙與二丙既若三丁與四戊即倍一乙之
[005-57a]
辛與倍二丙之癸若倍三丁之壬與倍四戊之子也
本篇/四是庚辛癸三幾何壬子丑三幾何又相為連比
例而錯矣次三試之若庚大于癸即壬亦大于丑若
等亦等若小亦小本篇/廿一則一甲三丁所倍之庚壬與
二丙四己所倍之癸丑等大小皆同類也是一甲與
二丙若三丁與四己本卷界/說六如三以上既有甲與乙
若己與夘乙與丙若戊與己又有丙與寅若丁與戊
亦顯甲與寅若丁與卯何者依上論先顯甲與丙若
[005-57b]
戊與夘次丙與寅又若丁與戊即以甲丙寅作三幾
何丁戊夘作又三幾何相為連比例而錯依上論亦
得甲與寅若丁與夘四以上悉依此推顯
第二十四題
凡第一與二幾何之比例若第三與四幾何之比例而
第五與二之比例若第六與四則第一第五并與二
之比例若第三第六并與四
解曰一甲乙與二丙之比例若三丁戊與四己而五
[005-58a]
乙庚與二丙若六戊辛與四己題言一甲乙五
乙庚并與二丙若三丁戊六戊辛并與四己
論曰乙庚與丙既若戊辛與己反之丙與乙庚
若己與戊辛也本篇/四又甲乙與丙既若丁戊與
己而丙與乙庚亦若己與戊辛平之甲乙與乙庚若
丁戊與戊辛也本篇/廿二又合之甲庚全與乙庚若丁辛
全與戊辛也本篇/十八夫甲庚與乙庚既若丁辛與戊辛
而乙庚與丙亦若戊辛與己平之甲庚與丙若丁辛
[005-58b]
與己矣本篇/廿二
注曰依本題論可推廣第六題之義作後増題第/六
題言幾倍後增題不/止言倍其義稍廣矣
増題此兩幾何與彼兩幾何比例等于此兩幾何
每截取一分其截取兩幾何與彼兩幾何比例等
則分餘兩幾何與彼兩幾何比例亦等
解曰如上圗甲庚丁辛此兩幾何與丙己彼兩幾
何比例等者甲庚與丙若丁辛與己也題言截取
[005-59a]
之甲乙與丙若丁戊與己則分餘之乙庚與丙亦
若戊辛與己
論曰甲乙與丙既若丁戊與己即反之丙與甲乙
若己與丁戊也本篇/四又甲庚與丙既若丁辛與己
而丙與甲乙亦若己與丁戊即平之甲庚與
甲乙若丁辛與丁戊也本篇/廿二又分之乙庚與
甲乙若戊辛與丁戊也本篇/十七夫乙庚與甲乙
既若戊辛與丁戊而甲乙與丙若丁戊與己
[005-59b]
即平之若戊辛與己也本篇/廿三
第二十五題
四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何并大于餘兩
幾何并
解曰甲乙與丙丁之比例若戊與己甲乙最大己最
小題言甲乙己并大于丙丁戊并
論曰試于甲乙截取甲庚與戊等于丙丁截取丙辛
與己等即甲庚與丙辛之比例若戊與己也亦若甲
[005-60a]
乙與丙丁也夫甲乙全與丙丁全既若截取之
甲庚與丙辛即亦若分餘之庚乙與辛丁也本/篇
十/九而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛
丁矣又甲庚與戊丙辛與己既等即于戊加丙
辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁則甲
乙己并豈不大于丙丁戊并
第二十六題
第一與二幾何之比例大于第三與四之比例反之則
[005-60b]
第二與一之比例小于第四與三之比例
解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁
題言反之二乙與一甲之比例小于四丁與
三丙
論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與
乙之比例大于戊與乙而甲幾何大于戊本篇/十則乙
與戊之比例大于乙與甲也本篇/八反之則乙與戊之
比例若丁與丙本篇/四而乙與甲之比例小于丁與丙
[005-61a]
第二十七題
第一與二之比例大于第三與四之比例更之則第一
與三之比例亦大于第二與四之比例
解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁題
言更之則一甲與三丙之比例亦大于二乙與
四丁
論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙
之比例大于戊與乙而甲㡬何大于戊本篇/十則甲與
[005-61b]
丙之比例大于戊與丙也本篇/八夫戊與乙之比例既
若丙與丁更之則戊與丙之比例亦若乙與丁本篇/十六
而甲與丙之比例大于乙與丁矣
第二十八題
第一與二之比例大于第三與四之比例合之則第一
第二并與二之比例亦大于第三第四并與四之比
例
解曰一甲乙與二乙丙之比例大于三丁戊與四戊
[005-62a]
己題言合之則甲丙與乙丙之比例亦大于
丁己與戊己
論曰試作庚乙與乙丙之比例若丁戊與戊
己即甲乙與乙丙之比例大于庚乙與乙丙而甲乙
幾何大于庚乙矣本篇/十此二率者每加一乙丙即甲
丙亦大于庚丙而甲丙與乙丙之比例大于庚丙與
乙丙也本篇/八夫庚乙與乙丙之比例既若丁戊與戊
己合之則庚丙與乙丙之比例亦若丁己與戊己也
[005-62b]
本篇/十八而甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己矣
第二十九題
第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比例
分之則第一與二之比例亦大于第三與四之比例
解曰甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己
題言分之則甲乙與乙丙之比例亦大于丁
戊與戊己
論曰試作庚丙與乙丙之比例若丁己與戊
[005-63a]
己即甲丙與乙丙之比例亦大于庚丙與乙丙而甲
丙幾何大于庚丙矣本篇/十此二率者每減一同用之
乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙與乙丙之比例大
于庚乙與乙丙也本篇/八夫庚丙與乙丙之比
例既若丁己與戊己分之則庚乙與乙丙之
比例亦若丁戊與戊己也本篇/十七而甲乙與乙
丙之比例大于丁戊與戊己矣
第三十題
[005-63b]
第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比
例轉之則第一合第二與一之比例小于第三合第
四與三之比例
解曰甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己題言轉
之則甲丙與甲乙之比例小于丁己與丁戊
論曰甲丙與乙丙之比例既大于丁己與戊己
分之即甲乙與乙丙之比例亦大于丁戊與戊
己也本篇/廿九又反之乙丙與甲乙之比例小于戊
[005-64a]
己與丁戊矣本篇/廿六又合之甲丙與甲乙之比例亦小
于丁己與丁戊也本篇/廿八
第三十一題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第
一與二之比例此第二與三之比例大于彼第二
與三之比例如是序者以平理推則此第一與三之
比例亦大于彼第一與三之比例
解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙
[005-64b]
之比例大于丁與戊乙與丙之比例大于
戊與己如是序者題言以平理推則甲與
丙之比例亦大于丁與己
論曰試作庚與丙之比例若戊與己即乙
與丙之比例大于庚與丙而乙幾何大于
庚本篇/十是甲與小庚之比例大于甲與大
乙矣本篇/八夫甲與乙之比例元大于丁與戊即甲與
庚之比例更大于丁與戊也次作辛與庚之比例若
[005-65a]
丁與戊即甲與庚之比例亦大于辛與庚而甲幾何
大于辛本篇/十是大甲與丙之比例大于小辛與丙矣
本篇/八夫辛與丙之比例以平理推之若丁與己也本/篇
廿/二則甲與丙之比例大于丁與己也
第三十二題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第二
與三之比例此第二與三之比例大于彼第一與二
之比例如是錯者以平理推則此第一與三之比例
[005-65b]
亦大于彼第一與三之比例
解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙
之比例大于戊與己乙與丙之比例大于丁與戊如
是錯者題言以平理推則甲與丙之比
例亦大于丁與己
論曰試作庚與丙之比例若丁與戊即
乙與丙之比例大於庚與丙而乙㡬何
大于庚本篇/十是甲與小庚之比例大于
[005-66a]
甲與大乙矣本篇/八夫甲與乙之比例既大于戊與己
即甲與庚之比例更大于戊與己也次作辛與庚之
比例若戊與己即甲與庚之比例亦大于辛與庚而
甲幾何大于辛本篇/十是大甲與丙之比例大于小
辛與丙矣本篇/八夫辛與丙之比例以平理推之
若丁與己也本篇/廿三則甲與丙之比例大于丁與
己也
第三十三題
[005-66b]
此全與彼全之比例大于此全截分與彼全截分之比
例則此全分餘與彼全分餘之比例大于此全與彼
全之比例
解曰甲乙全與丙丁全之比例大于兩截分甲
戊與丙己題言兩分餘戊乙與己丁之比例大
于甲乙與丙丁
論曰甲乙與丙丁之比例既大于甲戊與丙己
更之即甲乙與甲戊之比例亦大于丙丁與丙
[005-67a]
己也本篇/廿七又轉之甲乙與戊乙之比例小于丙
丁與己丁也本篇/三十又更之甲乙與丙丁之比例
小于戊乙與己丁也本篇/廿七戊乙與己丁分餘也
則分餘之比例大于甲乙全與丙丁全矣依顯
兩全之比例小于截分則分餘之比例小于
兩全
第三十四題三支/
若干幾何又有若干㡬何其數等而此第一與彼第一
[005-67b]
之比例大于此第二與彼第二之比例此第二與彼
第二之比例大于此第三與彼第三之比例以後俱
如是則此并與彼并之比例大于此末與彼末之比
例亦大于此并減第一與彼并減第一之比例而小
于此第一與彼第一之比例
解曰如甲乙丙三幾何又有丁戊己三幾何其甲與
丁之比例大于乙與戊乙與戊之比例大于丙與己
題先言甲乙丙并與丁戊己并之比例大于丙與己
[005-68a]
次言亦大於乙丙并與戊己并後言小于甲
與丁
論曰甲與丁之比例既大于乙與戊更之即
甲與乙之比例大于丁與戊也本篇/廿七又合之
甲乙并與乙之比例大于丁戊并與戊也本/篇
廿/八又更之甲乙并與丁戊并之比例大于乙與戊也
本篇/廿七是甲乙全與丁戊全之比例大于減并乙與減
并戊也既爾即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙
[005-68b]
全與丁戊全也本篇/卅三依顯乙與戊之比例亦
大于乙丙全與戊己全即甲與丁之比例更
大于乙丙全與戊己全也又更之甲與乙丙
并之比例大于丁與戊己并也本篇/廿七又合之
甲乙丙全與乙丙并之比例大于丁戊己全
與戊己并也本篇/廿八又更之甲乙丙全與丁戊己全之
比例大于乙丙并與戊己并也本篇/廿七則得次解也又
甲乙丙全與丁戊己全之比例既大于減并乙丙與
[005-69a]
減并戊己即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙丙
全與丁戊己全也本篇/卅三則得後解也又乙與戊之比
例既大于丙與己更之即乙與丙之比例大于戊與
己也本篇/卄七又合之乙丙全與丙之比例大于戊己全
與己也本篇/卄八又更之乙丙并與戊己并之比例大于
丙與己也本篇/卄七而甲乙丙并與丁戊己并之比例既
大于乙丙并與戊己并即更大于末丙與末己也
則得先解也
[005-69b]
若兩率各有四幾何而丙與己之比
例亦大于庚與辛即與前論同理
盖依上文論乙與戊之比例大于乙丙庚
并與戊己辛并即甲與丁之比例更
大于乙丙庚并與戊己辛并也更之
即甲與乙丙庚并之比例大于丁與
戊己辛并也本篇/十八又合之甲乙丙庚
全與乙丙庚并之比例大于丁戊
[005-70a]
己辛全與戊己辛并也又更之甲乙丙庚全與丁戊
己辛全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并也本篇/廿七
則得次解也又甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例
既大于減并乙丙庚與減并戊己辛即減餘甲與減
餘丁之比例大于甲乙丙庚全與丁戊己辛全也本/篇
卅/三則得後解也又依前論顯乙丙庚并與戊己辛并
之比例既大于庚與辛而甲乙丙庚全與丁戊己辛
全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并即更大于末
[005-70b]
庚與末辛也則得先解也自五以上至于無窮俱倣
此論可顯全題之㫖
幾何原本卷五
