[003-1a] 
欽定四庫全書
幾何原本卷三之首
西洋利瑪竇譯
界説十則
第一界
凡圜之徑線等或從心至圜界線等為等圜
三卷將論圜之情故先為圜界説此解
圜之等者如上圖甲乙乙丙兩徑等或
[003-1b]
丁己戊庚從心至圜界等即甲己乙乙
庚丙兩圜等若下圖甲乙乙丙兩徑不
等或丁己戊庚從心至圜界不等則兩圜亦不等矣
第二界
凡直線切圜界過之而不與界交為切線
甲乙線切乙己丁圜之界乙又引長之至
丙而不與界交其甲丙線全在圜外為切
線若戊己線先切圜界而引之至庚入圜
[003-2a]
内則交線也
第三界
凡兩圜相切而不相交為切圜
甲乙兩圜不相交而相切于丙或切于外如第一圖
或切于内如第三圖其第二
第四圖則交圜也
第四界
凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距
[003-2b]
心逺近之度
凡一點至一直線上惟垂線至近其他即
逺垂線一而已逺者無數也故欲知點與
線相去逺近必用垂線為度試如前圖甲
點與乙丙線相去逺近必以甲丁垂線為
度為甲丁一線獨去直線至近他若甲戊
甲己諸線愈大愈逺乃至無數故如後圖
説甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁兩線其去戊心逺近
[003-3a]
等為己戊庚戊兩垂線等故若辛壬線去戊心近矣
為戊癸垂線小故
第五界
凡直線割圜之形為圜分
甲乙丙丁圜之乙丁直線任割圜之一分
如甲乙丁及乙丙丁兩形皆為圜分凡分
有三形其過心者為半圜分函心者為圜大分不函
心者為圜小分又割圜之直線為弦所割圜界之一
[003-3b]
分為弧
第六界
凡圜界偕直線内角為圜分角
以下三界論圜角三種本界所言雜
圜也其在半圜分内為半圜角在大
分内為大分角在小分内為小分角
第七界
凡圜界任于一點出兩直線作一角為負圜分角
[003-4a]
甲乙丙圜分甲丙為底于乙點出兩直線作
甲乙丙角形其甲乙丙角為負甲乙丙圜分
角
第八界
若兩直線之角乘圜之一分為乘圜分角
甲乙丙丁圜内于甲點出甲乙甲丁兩線其
乙甲丁角為乘乙丙丁圜分角
圜角三種之外又有一種為切邊角或直線切圜
[003-4b]
或兩圜相切其兩圜相切者又或内或外
如上圖甲乙線切丙丁戊圜于丙即甲丙
丁乙丙戊兩角為切邊角又丙丁戊己戊
庚兩圜外相切于戊及己戊庚己辛壬兩
圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱
為切邊角
第九界
凡從圜心以兩直線作角偕圜界作三角形為分圜形
[003-5a]
甲乙丙丁圜從戊心出戊甲戊丙兩線偕甲
丁丙圜界作角形為分圜形
第十界
凡圜内兩負圜分角相等即所負之圜分相似
甲乙丙丁圜内有甲乙己與丁丙戊兩負
圜分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戊
兩圜分相似
又有兩圜或等或不等其負圜分角等即圜分俱
[003-5b]
相似如上三圖三
圜之甲乙丙丁戊
己庚辛壬三負圜分角等即所負甲乙丙丁戊己
庚辛壬三圜分相似相似者如云同為/幾分圜之幾也
幾何原本卷三之首
[003-6a]
欽定四庫全書
幾何原本卷三
西洋利瑪竇撰
第一題
有圜求尋其心
法曰甲乙丙丁圜求尋其心先于圜之兩
界任作一甲丙直線次兩平分之于戊一/卷
十/次于戊上作乙丁垂線兩平分之于己即己為圜
[003-6b]
心
論曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下
何者乙丁線既平分于己離平分不能為心故必言
心在乙丁線外為庚即令自庚至丙至戊至甲各作
直線則甲庚戊角形之甲戊既與丙庚戊
角形之丙戊兩邊等戊庚同邊而庚甲庚
丙兩線俱從心至界宜亦等即對等邊之庚戊甲庚
戊丙兩角宜亦等一卷/八而為兩直角矣一卷界/説十夫乙
[003-7a]
戊甲既直角而庚戊甲又為直角可不可也
系因此推顯圜内有直線分他線為兩平分而作直
角即圜心在其内
第二題
圜界任取二點以直線相聯則直線全在圜内
解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二點作直
線相聨題言甲丙線全在圜内
論曰如云在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙圜之戊
[003-7b]
心本篇/一次作戊甲戊丙兩直線次于甲丁丙線上作
戊乙丁線而與圜界遇于乙即戊甲丁丙當為三角
形以甲丁丙為底戊甲戊丙兩腰等其戊甲丙戊丙
甲兩角宜等一卷/五而戊丁甲為戊丙丁之外角宜大
于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角一卷/十六則對戊丁
甲大角之戊甲線宜大于戊丁線矣一卷/十九夫戊甲與
戊乙本同圜之半徑等據如所論則戊乙
亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而
[003-8a]
在圜界依前論令戊甲大于戊乙亦不可通也
第三題
直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角
為兩直角必兩平分
解曰乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁
線為兩平分于己題言甲己必是垂線而
己旁為兩直角又言己旁既為兩直角則甲己分乙
丁必兩平分
[003-8b]
先論曰試從甲作甲乙甲丁兩線即甲乙己角形之
乙己與甲丁己角形之丁己兩邊等甲己同邊甲乙
甲丁兩線俱從心至界又等即兩形等則其對等邊
之甲己乙甲己丁亦等一卷/八而為兩直角矣
後論曰如前作甲乙甲丁兩線甲乙丁角形之甲乙
甲丁兩邊既等則甲乙丁甲丁乙兩角亦等一卷/五又
甲乙己角形之甲己乙甲乙己兩角與甲丁己角形
之甲己丁甲丁己兩角各等而對直角之甲乙甲丁
[003-9a]
兩邊又等則己乙己丁兩邊亦等一卷/廿六
欲顯次論之㫖又有一説如甲丁上直角方形與甲
己己丁上兩直角方形并等一卷/四七而甲乙上直角方
形與甲己乙己上兩直角方形并亦等即
甲己己乙上兩直角方形并與甲己己丁
上兩直角方形并亦等此二率者每減一甲己上直
角方形則所存乙己己丁上兩直角方形自相等而
兩邊亦等
[003-9b]
第四題
圜内不過心兩直線相交不得俱為兩平分
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩直線
俱不過己心若一過心一不過心即兩線/不得俱為兩平分其理易顯
而交于戊題言兩直線或有一線為兩平分不得俱
為兩平分
論曰若云不然而甲乙丙丁能俱兩平分于戊試令
尋本圜心于己本篇/一從己至戊作甲乙之垂線其己
[003-10a]
戊既分甲乙為兩平分即為兩直角本篇/三而又能分
丙丁為兩平分亦宜為兩直角是己戊甲為直角而
己戊丙亦直角全與其分等矣
第五題
兩圜相交必不同心
解曰甲乙丁戊乙丁兩圜交于乙于丁題
言兩圜不同心
論曰若言丙為同心令自丙至乙至甲各作直線其
[003-10b]
丙乙至圜交而丙甲截兩圜之界于戊于
甲夫丙既為戊乙丁圜之心則丙乙與丙
戊等而又為甲乙丁圜之心則丙乙與丙甲又等是
丙戊與丙甲亦等而全與其分等也
第六題
兩圜内相切必不同心
解曰甲乙丙乙兩圜内相切于乙題言兩圜
不同心
[003-11a]
論曰若言丁為同心令自丁至乙至丙各作直線其
丁乙至切界而丁丙截兩圜之界于甲于丙夫丁既
為甲乙圜之心則丁乙與丁甲等而又為丙乙圜之
心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與
其分等也
第七題
圜徑離心任取一點從點至圜界任出幾線其過心線
最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過
[003-11b]
心線者愈小而諸線中止兩線等
解曰甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離
心任取一點為庚從庚至圜界任出幾線
為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸線
惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小
三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近
心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁止
可出兩線等
[003-12a]
先論曰試從已心出三線至丙至丁至戊其丙己庚
角形之丙己己庚兩邊并大于丙庚一邊一卷/二十而丙
己己庚等于甲己己庚則庚甲大于庚丙依顯庚丁
庚戊俱小于庚甲是庚甲最大
次論曰己庚戊角形之己戊一邊小于己庚庚戊兩
邊并一卷/二十而己戊與己乙等則己乙小于己庚庚戊
并矣次各減同用之己庚則庚乙小于庚戊依顯庚
戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小
[003-12b]
三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己
兩邊等己庚同邊而丙己庚角大于丁己庚角全大/于分
則對大角之庚丙邊大于對小角之庚丁邊一卷/廿四依
顯庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小
後論曰試依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界為
己辛線次從庚作庚辛線其戊己庚角形之戊己腰
與庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰兩腰間角
又等則對等角之庚戊庚辛兩底亦等一卷/四而庚乙
[003-13a]
兩旁之庚戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之
上即依第三論大于庚辛在辛之下即小于庚辛故
云庚乙兩旁止可出庚戊庚辛兩線等
第八題
圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規内則過圜心線
最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑
之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止兩線
等
[003-13b]
解曰乙丙丁戊圜之外從甲㸃任
出幾線其一為過癸心之甲壬其
餘為甲辛為甲庚為甲己皆至規
内規内線者如/車輻之指牙題先言過心之甲
壬最大次言近心之甲辛大于離心之甲庚甲庚又
大于甲己三反上言規外之甲乙為乙壬徑餘者規/外
線者如車/輻之湊轂最小四言甲丙近徑餘小于甲丁甲丁又
小于甲戊後言甲乙兩旁止可出兩線等
[003-14a]
先論曰試從癸心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲
癸辛角形之甲癸癸辛兩邊并大于甲辛一邊一卷/二十
而甲癸癸辛與甲壬等則甲壬大于甲辛依顯甲壬
更大于甲庚甲己而過心之甲壬最大
次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚
兩邊等甲癸同邊而甲癸辛角大于甲癸庚角全大/于分
則對大角之甲辛邊大于對小角之甲庚邊一卷/廿四依
顯甲庚大于甲己而規内線愈離心愈小
[003-14b]
三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊
小于甲丙丙癸兩邊并一卷/二十次每
減一相等之乙癸丙癸則甲乙小
于甲丙矣依顯甲乙更小于甲丁
甲戊而規外甲乙最小
四論曰甲丁癸角形之内從甲與癸出甲丙丙癸兩
邊并小于甲丁丁癸兩邊并一卷/廿一此二率者每減一
相等之丙癸丁癸則甲丙小于甲丁矣依顯甲丙更
[003-15a]
小于甲戊而愈近徑餘甲乙者愈小
後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作
甲子線其甲子癸角形之甲癸癸子兩腰與甲癸丙
角形之甲癸癸丙兩腰各等而兩腰間角又等則對
等角之甲子甲丙兩底亦等也一卷/四此外若有從甲
出線在子之上即依第四論小于甲丙在子之下即
大于甲丙故云甲乙兩旁止可出甲丙甲子兩線等
第九題
[003-15b]
圜内從一㸃至界作三線以上皆等即此㸃必圜心
解曰從甲㸃至乙丙丁圜界作甲乙甲丙
甲丁三直線若等題言甲㸃為圜心三以
上等者更不待論
論曰試于乙丙丙丁界作乙丙丙丁兩直
線相聨此兩線各兩平分于戊于己從甲
出兩直線為甲戊為甲己其甲乙戊角形
之甲乙與甲戊丙角形之甲丙兩腰既等甲戊同腰
[003-16a]
乙戊戊丙兩底又等即甲戊乙與甲戊丙兩角亦等
一卷/八為兩直角依顯甲己丙甲己丁亦等為兩直角
則甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分為直角而此兩
線俱為函心線本篇一/之系定相遇于甲甲為圜心矣
又論曰若言甲非心心在于戊者令戊甲
相聨引作己庚徑線即甲是戊心外所取
一㸃而從甲所出線愈近心者宜愈大矣
本篇/七則甲丁宜大于甲丙而先設等何也
[003-16b]
第十題
兩圜相交止于兩㸃
論曰若言甲乙丙丁戊己圜與甲庚乙丁
辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙
乙丁兩直線相聯此兩線各兩平分于壬
于癸次從壬癸作子壬子癸兩垂線其子
壬分甲乙子癸分乙丁既皆兩平分而各為兩直角
即子壬子癸兩線俱為甲庚乙丁辛戊圜之函心線
[003-17a]
本篇一/之系而子為其心矣依顯甲乙丙丁戊
己圜亦以子為心也夫兩交之圜尚不得
同心本篇/五何縁得有三交
又論曰若言兩圜三相交于甲于乙于丁
令先尋甲庚乙丁辛戊圜之心于壬本篇/一
次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線
此三線等也一卷界/説十五又甲乙丙丁戊己圜
内有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線
[003-17b]
則壬又為甲乙丙丁戊己圜之心本篇/九不亦交圜同
心乎本篇/五
第十一題
兩圜内相切作直線聯兩心引出之必至切界
解曰甲乙丙甲丁戊兩圜内相切于甲而
己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心題言
作直線聨庚己兩心引抵圜界必至甲
論曰如云不至甲而截兩圜界于乙丁及丙戊令從
[003-18a]
甲作甲己甲庚兩線其甲己庚角形之庚己己甲
兩邉并大于庚甲一邉一卷/二十而同圜心所出之庚甲庚
丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各減同
用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲與己乙是
内圜同心所出等線則己乙亦大于己丁而分大于
全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心亦依
前轉説之甲己庚角形之己庚庚甲兩邉并大于
甲己一邉一卷/二十而同圜心所出之己甲己戊宜等即
[003-18b]
己庚庚甲大于己戊矣此二率者各減同
用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲
與庚丙是内圜同心所出等線則庚丙
亦大于庚戊而分大子全也可乎
第十二題
兩圜外相切以直線聯兩心必過切界
解曰甲乙丙丁乙戊兩圜外相切于乙其甲乙丙心
為己丁乙戊心為庚題言作己庚直線必過乙
[003-19a]
論曰如云不然而己庚線截兩圜界于戊于
丙令于切界作乙己乙庚兩線其乙己庚角
形之己乙乙庚兩邊并大于己庚一邊而乙
庚與庚戊乙己與己丙俱同心所出線宜各等即庚
戊丙己兩線并亦大于庚己一線矣一卷/二十夫庚己線
分為庚戊丙己尚餘丙戊而云庚戊丙己大于庚己
則分大于全也故直線聨己庚必過乙
第十三題二支/
[003-19b]
圜相切不論内外止以一㸃
先論曰甲乙丙丁與甲戊丙己兩圜内相
切若云有兩㸃相切于甲又于丙令作直
線函兩圜心庚辛引出之如前圖宜至相
切之甲之丙本篇/十一則甲丙為兩圜之同徑
矣而此徑線者兩平分于庚又兩平分于
辛何也一直線止以/一㸃兩平分若云庚辛引出直線
一抵甲一截兩圜之界于癸于壬即如後圖令從兩
[003-20a]
心各作直線至又相切之丙次問之甲乙丙丁圜之
心為庚邪辛邪如曰庚也而辛為甲戊内己之心則
丙庚辛角形之庚辛辛丙兩邊并大于庚丙一邊一/卷
二/十而庚辛辛丙與庚癸宜等辛癸辛丙同/圜心所出故即庚癸亦
大于庚丙矣夫庚丙與庚壬者外圜同心所出等線
也將庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚為甲戊
丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙兩邊并大于
辛丙一邊一卷/二十而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙亦
[003-20b]
大于辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦
大于庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圜心所出等線
也而安有大小
後論曰甲乙與乙丙兩圜外相切于已從甲
乙之丁心丙乙之戊心作直線相聨必過已
本篇/十三若云又相切于乙令自乙至丁至戊各
作直線其丁乙乙戊并宜與丁戊等而為角形之兩
腰又宜大于丁戊一卷/二十則兩圜相切安得兩㸃
[003-21a]
又後論曰更令于兩相切之乙之己作直線
相聨其直線當在甲乙圜内本篇/二又當在乙
丙圜内何所置之
第十四題二支/
圜内兩直線等即距心之逺近等距心之逺近等即兩
直線等
先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙兩線等
題言兩線距戊心逺近亦等
[003-21b]
論曰試從戊心向甲乙作戊己向丁丙作
戊庚各垂線次自丁自甲至戊各作直線
其戊己戊庚既各分甲乙丁丙線為兩平
分本篇/三而甲乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫
甲戊上直角方形與甲己己戊上兩直角方形并等
一卷/四七等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上兩
直角方形并等而甲己丁庚上兩直角方形既等即
戊己戊庚上兩直角方形亦等則戊己戊庚兩線亦
[003-22a]
等是甲乙丁丙兩線距心之度等本卷界/説四
後解曰甲乙丁丙兩線距戊心逺近等題言甲乙丁
丙兩線亦等
論曰依前論從戊作戊己戊庚兩垂線既
等本卷界/説四而分甲乙丁丙各為兩平分本/篇
三/其甲戊上直角方形與甲己己戊上兩
直角方形并等一卷/四七等甲戊之丁戊上直角方形與
丁庚庚戊上兩直角方形并等即甲己己戊上兩直
[003-22b]
角方形并與丁庚庚戊上兩直角方形并亦等此二
率者每減一相等之己戊戊庚上直角方形即所存
甲己丁庚上兩直角方形亦等是甲己丁庚兩線等
也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等
第十五題
徑為圜内之大線其餘線者近心大于逺心
解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其徑甲己其近心線
為辛壬逺心線為丙丁題言甲乙最大辛壬近心大
[003-23a]
于丙丁逺心
論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚
子各垂線其丙丁距心逺于辛壬即庚癸
大于庚子本卷界/説四次于庚癸線截庚丑與庚子等次
從丑作乙戊為庚癸之垂線末于庚乙庚丙庚丁庚
戊各作直線相聯其庚丑既等于庚子即乙戊與辛
壬各以垂線距心逺近等本卷界/説四而兩線亦等本篇/十四
夫庚乙庚戊并大于乙戊一卷/二十而與甲己等即甲己
[003-23b]
大于乙戊亦大于辛壬矣依顯甲己大于
他線則甲己最大又乙庚戊角形之乙庚
庚戊兩腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁兩
腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角則乙戊底大于丙
丁底一卷/廿四故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心
線大于逺心線也
第十六題三支/
圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊
[003-24a]
角不得更作一直線入其内其半圜分角大于各直
線鋭角切邊角小于各直線鋭角
先解曰甲乙丙圜丁為心甲丙為徑從
甲作甲丙之垂線題言此線全在圜外
論曰若言在内如甲乙令自丁至乙作
直線即丁甲乙與丁乙甲兩角等一卷/五丁甲既為直
角丁乙又為直角乎夫角形三角并等兩直角一卷/十七
豈得形内自有兩直角也則垂線必在圜外若己戊
[003-24b]
必不在圜内若甲乙又不在圜界之上如云在界/亦依此論故
曰全在圜外
次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角
不得更作一直線入其内
論曰若云可作如庚甲令從丁心向庚
甲作丁辛為庚甲之垂線一卷/十二夫丁甲
辛角形之丁甲辛丁辛甲兩角并小于
兩直角一卷/十七而丁辛甲為直角即對小角之丁辛線
[003-25a]
小于對大角之甲丁線矣一卷/十九甲丁者與丁壬為同
圜相等者也將丁壬亦大于丁辛乎則戊甲乙角之
内不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本
圜之内也
後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲圜界所作丙甲乙
圜分角大于各直線鋭角而戊甲垂線偕乙甲圜界
所作切邊角小于各直線鋭角
論曰依前論甲戊下有直線既云必入圜内即此直
[003-25b]
線偕戊甲所作各直線鋭角皆小于圜分角而切邊
角小于各直線鋭角
系己甲線必切圜以一㸃
増先解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲
丙從甲作戊甲為甲丙之垂線題言
戊甲全在圜外
増正論曰試于甲戊線内任取一㸃為庚自庚至
丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲兩角
[003-26a]
小于兩直角一卷/十七而丁甲庚為直角即丁庚甲小
于直角對大角之丁庚線大于對小角之丁甲線
矣一卷/十九則庚㸃在圜之外也凡戊甲以内作㸃皆
依此論故戊甲線全在圜外
増次解曰從甲作甲辛線在戊甲之
下題言甲辛必割圜為分
増正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁
壬辛甲丁兩角并等于戊甲丁直角必小于兩直
[003-26b]
角而丁壬甲辛兩線必相遇分論/十一其相遇又必在
圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲兩角既與一直
角等即甲壬丁必為直角一卷/卅二而對大角之甲丁
線必大于對小角之丁壬線矣一卷/十九夫甲丁線僅
至圜界則丁壬不能抵圜界必在圜之内也
後支前已正論
或難曰切邊角有大有小何以畢不得兩分向者
聞幾何之分不可窮盡如莊子尺棰之義深著明
[003-27a]
矣今切邊之内有角非幾何乎此幾何何獨不可
分邪又十卷第一題言設一小幾何又設一大幾
何若從大者半減之減之又減必至一處小于所
設小率此題最明無可疑者今言切邊之角小于
直線鋭角是亦小幾何也彼直線鋭角是亦大幾
何也若從直線鋭角半減之減之又減何以終竟
不得小于切邊角邪既本題推顯切邊角中不得
容一直線如此著明便當并無切邊角無角則無
[003-27b]
幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至
大不可加之率無有至小不可減之率若切邊角
不可分豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也
有圜有線安得無切邊角且既言直線鋭角大于
切邊角即有切邊角矣苟無角安所較大小哉且
子言直線與圜界并無切邊角
則兩圜外相切亦無角乎曰然
曰試如作甲己乙圜其心丙而
[003-28a]
丁戊為切線即丁甲己為切邊角次移心于庚又
作甲辛癸圜即丁甲辛為切邊角而小于丁甲己
次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑為切邊角
而又小于丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又
于切線之外以辰為心作甲己午圜而與前圜外
相切于甲依子所説疑無角焉然兩圜外相切而
以丁戊線分之不可分乎更自辰至寅作直線截
兩圜之界而分丁戊為兩平分不可分乎兩圜兩
[003-28b]
直線交羅相遇于甲也能不皆以一㸃乎如以一
㸃也即此一㸃之外不能無空即不能不為四切
邊角矣子所據尺棰之分無盡又言幾何原本書
中無至小不可減之率也是也夫切邊角但不可
以直線分之耳若用圜線則可分矣如
甲乙庚圜與丙甲丁直線相切于甲作
丁甲庚切邊大角若移一心作甲戊辛
圜又得丁甲辛切邊角即小于丁甲庚也又移一
[003-29a]
心作甲己壬圜又得丁甲壬切邊小角即又小于
丁甲辛也如此以至無窮則切邊角分之無盡何
謂不可減邪若十卷第一題所言元無可疑但以
圜角分圜角則與其説合矣彼所言大小兩幾何
者謂夫能相較為大能相較為小者也如以直線
分直線角以圜線分圜線角是已此切邊角與直
線角豈能相較為大小哉
増題有兩種幾何一大一小以小率半増之遞増
[003-29b]
至于無窮以大率半減之遞減至于無窮其元大
者恒大元小者恒小
解曰戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直
線鋭角為大率今别作甲丙甲丁等圜
俱切戊己線于甲其切邊角愈増愈大
如前論别以庚癸庚子線作角分壬庚
辛角于庚愈分愈小然直線角恒大切
邊角恒小乃至終古不得相比
[003-30a]
又増題舊有一説以一小率加一大率之上或以
一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至
一相等之處又一説有率大于此率者有率小于
此率者則必有率等于此率者昔人以為皆公論
也若用以律本題即不可得故今斥不為公論
解曰甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲
界定在于甲而引丙線逐線漸移之向
已其所經丁戊己及中間逐線所經無
[003-30b]
數然依本題論則甲丙所經凡割圜時皆為鋭角
即小于半圜分角纔離鋭角便為直角即大于半
圜分角是所經無數線終無有相等線可見前一
舊説未為公論又直線鋭角皆小于半圜分角直
角與鈍角皆大于半圜分角是有大者有小者終
無等者可見後一舊説未為公論也
第十七題
設一㸃一圜求從㸃作切線
[003-31a]
法曰甲㸃求作直線切乙丙圜其圜心丁
先從甲作甲丁直線截乙丙圜于乙次以
丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁
之垂線而遇甲戊圜于戊次作戊丁直線而截乙丙
圜于丙末作甲丙直線即切乙丙圜于丙
論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙兩腰與甲
丙丁角形之甲丁丁丙兩腰各等一卷界/説十五
丁角同即甲丙乙戊兩底亦等一卷/四而戊
[003-31b]
乙丁為直角即甲丙丁亦直角則甲丙偕乙丙圜之
半徑丁丙為一直角矣豈非圜之切線本篇十/六之系
第十八題
直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線
解曰甲乙直線切丙丁圜于丙從戊心至
切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線
論曰如云不然令從戊别作垂線如至已
而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既為直
[003-32a]
角即宜大于己丙戊角一卷/十七而對大角之戊丙邊宜
大于對小角之戊己邊矣一卷/十九夫戊丙與戊丁等也
戊丙大于戊已則戊丁亦大于戊己乎
又論曰若云丙非直角即其兩旁角一鋭一鈍令乙
丙戊為鋭角則鋭角乃大于半圜分角乎本篇/十六
第十九題
直線切圜圜内作切線之垂線則圜心必在垂線之内
解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙為甲乙
[003-32b]
之垂線題言圜心在戊丙線内
論曰如云不然心在于已令從已作己丙
直線即己丙亦為甲乙之垂線本篇/十八而已
丙甲與戊丙甲等為直角是全與其分等矣
第二十題
負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍
大于負圜角
解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負
[003-33a]
圜角同以乙丙圜分為底題言乙丁丙角倍大于乙
甲丙角
先論分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上
圖試從甲過丁心作甲戊線其甲丁乙角
形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲兩角
等一卷/五而乙丁戊外角與内相對兩角并等一卷/卅二即
乙丁戊倍大于乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大于丙
甲丁則乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角
[003-33b]
次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙
線過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁
丙外角等于内相對之丁甲丙丁丙甲兩
角并一卷/卅二而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等一/卷
五/則乙丁丙角倍大于乙甲丙角
後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截
丁丙者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊
線其戊丁丙分圜角與戊甲丙負圜角同
[003-34a]
以戊乙兩圜分為底如前次論戊丁丙角倍大于戊
甲丙角依顯戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙負圜
角次于戊丁丙角減戊丁乙角戊甲丙
角減戊甲乙角則所存乙丁丙角必倍
大于乙甲丙角
増若乙丁丁丙不作角于心或為半圜
或小于半圜則丁心外餘地亦倍大于
同底之負圜角
[003-34b]
論曰試從甲過丁心作甲戊線即丁心外餘地分
為乙丁戊戊丁丙兩角依前論推顯此兩角倍大
于乙甲丁丁甲丙兩角
第二十一題
凡同圜分内所作負圜角俱等
解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜
分内任作丁甲丙丁乙丙兩角題言此兩
角等
[003-35a]
先論函心大分所作曰試從戊作戊丁戊丙線其丁
戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角本篇/十二即
甲乙兩角自相等公論/七
後論半圜分不函心小分所作曰丁甲乙
丙或為半圜分或為不函心小分俱從甲
從乙過戊作甲己乙庚兩線若不函心更
從戊作戊丁戊丙兩線其丁戊己分圜角
既倍大于丁甲己負圜角本篇/二十依顯丙戊
[003-35b]
己分圜角亦倍大于丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊
己兩角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戊己己戊丙
三角必倍大于丁甲丙依顯此三角亦倍大于丁乙
丙則丁甲丙丁乙丙兩角自相等
又後論曰二十題増言分圜不作角其心外餘地倍
大于同底各負圜角即各角自相等
又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇為已試
作甲乙線相聯其甲丁己角形之三角并
[003-36a]
與乙丙己角形之三角并等一卷/卅二次每減
一交角相等之甲己丁乙己丙一卷/十五即己
甲丁己丁甲兩角并與己丙乙己乙丙兩
角并等矣而甲丁乙乙丙甲兩角同在甲
丁丙乙函心大分内又等本題第/一論則丁甲
丙與丙乙丁亦等
又後論曰丁丙之外任取一界為已作丁己丙己兩
線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙甲丁己俱為大
[003-36b]
分次于甲己乙己各作直線相聨其丁甲
已與丁乙己兩角同負于甲乙丙己圜界
即等本題第/一論依顯丙乙己與丙甲已兩角
同負丙乙甲丁己圜界又等此二相等率
并之則丁甲丙丁乙丙兩全角亦等
第二十二題
圜内切界四邊形每相對兩角并與兩直角等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四邊形
[003-37a]
題言甲乙丙丙丁甲兩角并乙丙丁丁甲
乙兩角并各與兩直角等
論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁
甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圜分即等本/篇
廿/一依顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等則甲乙
丁丙乙丁兩角并為甲乙丙一角與甲丙
丁丙甲丁兩角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙
丙丁甲并與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三
[003-37b]
角并元與兩直角等一卷/卅二則甲乙丙丙丁甲相對兩
角并與兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙并亦與兩直
角等
第二十三題
一直線上作兩圜分不得相似而不相等
論曰如云不然令于甲乙線上作同方兩
圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲
丁乙其兩圜相交止于甲乙兩㸃本篇/十即
[003-38a]
一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁線截
甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙兩線相聨夫兩圜
分相似者其負圜角宜等本卷界/説十則乙丙甲外角與
相對之乙丁甲内角等乎一卷/十六
第二十四題
相等兩直線上作相似兩圜分必等
解曰甲乙丙丁兩線上作甲丙乙丙己丁相似兩圜
分題言兩圜分等
[003-38b]
論曰甲乙丙丁兩線既等試以甲乙線加
丙丁線上兩線必相合即甲丙乙丙己丁
兩圜分相加亦相合如云不然必兩圜分
相加或在内或在外或半在内半在外矣
若在内在外即一直線上有兩圜分相似
而不相等也本篇/廿三若半在内半在外即兩
圜三相交也本篇/十兩俱不可故相似者必
等
[003-39a]
第二十五題
有圜之分求成圜
法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之兩端作
甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙
線相聯其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等
或小若大即甲乙丙當為圜之小分何也乙丁分甲
丙為兩平分即知圜之心必在乙丁線内本篇一/之系而
心在丁㸃之外則從丁㸃所出丁乙為不過心徑線
[003-39b]
至小本篇/七故對小邊之丁甲乙角小于對大邊之丁
乙甲角也一卷/十八即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從
乙丁引出一線與甲戊線遇于戊即戊為圜心
論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與
丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁
戊兩皆直角即對直角之甲戊與戊丙兩線等一卷/四
夫甲戊與乙戊以對角等故既等一卷/六戊丙與甲戊
又等則從戊至界三線皆等而戊為心本篇/九
[003-40a]
次法兼論曰若丁乙甲丁甲乙兩角等即甲
乙丙為半圜而甲丙為徑丁為心何也丁乙
丁甲兩邊等然後丁乙甲丁甲乙兩角等一/卷
五/今丁乙甲丁甲乙兩角既等即丁乙丁甲兩線必
等一卷/六丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁
為圜心本篇/九
後法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙
當為圜大分何也乙丁分甲丙為兩平分
[003-40b]
即知圜心在乙丁線内本篇一/之系而丁㸃在心之外則
所出丁乙為過心徑線至大本篇/七故對大邊之丁甲
乙大于對小邊之丁乙甲也一卷/十八即作乙甲戊角與
丁乙甲角等而甲戊線與乙丁線遇于戊即戊為圜
心
論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與
丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁
戊兩皆直角即對直角之甲戊戊丙兩線亦等一卷/四
[003-41a]
夫乙戊與甲戊以對角等故既等一卷/五戊丙與甲戊
亦等則從戊至界三線皆等而戊為心本篇/九
増求圜分之心有一簡法于甲乙丙圜
分任取三㸃于甲于乙于丙以兩直線
聯之各兩平分于丁于戊從丁從戊作
甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇于己
即已為圜心
論曰己丁己戊既各以兩直角平分甲乙乙丙兩
[003-41b]
線即圜之心當在兩垂線内本篇/一而相遇于已即
已為圜心
其用法圜界上任取四㸃為甲為乙為
丙為丁每兩㸃各自為心相向各任作
圜分四圜分兩兩相交于戊于己于庚
于辛從戊己從庚辛各作直線引長之
交于壬即壬為圜心
論曰試作甲戊戊乙乙己己甲四直線此四線各
[003-42a]
為同圜等圜之半徑各等即甲戊己角形之甲戊
己甲己戊兩角等而乙戊己角形之乙戊己乙己
戊兩角亦等次作甲乙直線分戊己于癸即甲己
癸角形之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己
癸同邊而對甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角
之乙癸邊亦等一卷/八則甲癸己乙癸己俱為直角
而戊己線必過心本篇/一依顯庚辛線亦過心而相
遇于壬為圜心
[003-42b]
第二十六題二支/
等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦
等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圜等其
心為庚為辛有甲庚丙與丁辛己兩乘圜
角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等
論曰試于甲乙丙丁戊己兩圜分之上任
取兩㸃于乙于戊從乙作乙甲乙丙從戊
[003-43a]
作戊丁戊己各兩線次作甲丙丁己兩線
相聯其乙與戊兩角既各半于庚辛兩角
即乙與戊自相等本篇/二十而所負甲乙丙與
丁戊己兩圜分相似本卷界/説十又甲庚丙角
形之甲庚庚丙兩邊與丁辛己角形之丁
辛辛己兩邊各等庚角與辛角又等即甲丙與丁己
兩邊亦等一卷/四而相似之甲乙丙與丁戊己兩圜分
在等線上亦等本篇/卄四夫相等圜減相等圜分則所存
[003-43b]
甲丙丁己兩圜分亦等故云等角所乗之圜分等
後解在界者曰兩圜之乙與戊兩乘圜角等題言所
乘之甲丙丁己兩圜分亦等
論曰乙戊兩角既等而庚辛兩角各倍于乙戊即庚
辛自相等本篇/二十依前論甲丙丁己兩邊亦自相等而
甲乙丙與丁戊己兩圜分亦等本篇/廿四今于相等圜減
相等圜分則所存甲丙丁己兩圜分亦等
注曰後解極易明葢庚辛角既各倍于乙戊則依
[003-44a]
先論甲丙丁己自相等在心之乘圜角即/分圜角隨類異名
第二十七題二支/
等圜之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等
先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩
圜等其心為庚為辛若甲庚丙乘
圜角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁己分等題
言甲庚丙丁辛己兩角等
論曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角與丁辛
[003-44b]
己角等即甲壬圜分宜與丁己圜分等本/篇
廿/六而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦
等乎
後解在界者曰甲丙丁己兩圜分等題言
其上乙戊兩角亦等
論曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角與戊角
等其甲乙壬與丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜
等本篇/廿六而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎
[003-45a]
増題從此推顯兩直線不相交而在一
圜之内若兩線界相去之圜分等則兩
線必平行若兩線平行則兩線界相去
之圜分等
先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙兩線其相去
之甲乙丁丙兩圜分等題言兩線必平行
論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等
即甲丙乙與丙甲丁兩乘圜角亦等本/題既内相對
[003-45b]
之兩角等即兩線必平行一卷/廿七
後解曰甲丁乙丙為平行線題言甲乙
丁丙兩圜分必等
論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行
即内相對之兩角甲丙乙丙甲丁必等一卷/廿七而所
乘圜分甲乙丁丙亦等本篇/廿六
第二十八題
等圜内之直線等則其割本圜之分大與大小與小各
[003-46a]
等
解曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為
辛圜内有甲丙丁己兩直線等題言甲乙
丙與丁戊己兩大分甲丙與丁己兩小分
各等
論曰試于甲庚庚丙丁辛辛己各作直線
其甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之
丁己兩底既等而甲庚庚丙兩腰與丁辛辛己兩腰
[003-46b]
又等即庚辛兩角亦等一卷/八其所乘之甲丙丁己兩
小分必等本篇/廿六次減相等之甲丙丁己兩小分則所
存甲乙丙丁戊己兩大分亦等
第二十九題
等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等
解曰依前題兩圜之甲乙丙丁戊
己兩圜分等而甲丙丁己兩圜分
亦等題言甲丙丁己兩線必等
[003-47a]
論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲
庚庚丙兩腰與丁辛己角形之丁辛辛己
兩腰等而庚辛兩角所乘之甲丙丁己兩
圜分等即庚辛兩角亦等本篇/廿七而對等角
之甲丙丁己兩線必等一卷/四
注曰第二十六至二十九四題所説俱等圜其在
同圜亦依此論
第三十題
[003-47b]
有圜之分求兩平分之
法曰甲乙丙圜分求兩平分先于分之兩
界作甲丙線次兩平分于丁從丁作乙丁
為甲丙之垂線即乙丁分甲乙丙圜分為
兩平分
論曰從乙作乙甲乙丙兩線其甲乙丁角形之甲丁
與丙乙丁角形之丙丁兩腰等丁乙同腰而甲丁乙
與丙丁乙兩直角又等即對直角之甲乙乙丙兩底
[003-48a]
亦等一卷/四而甲乙與乙丙兩圜分亦等本篇/十八則甲乙
丙圜界兩平分于乙矣
第三十一題五支/
負半圜角必直角負大分角小于直角負小分角大于
直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角
解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙于半
圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角
負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙
[003-48b]
大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半
圜之甲乙丙為直角二言負大分之乙甲丙角小于
直角三言負小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙
甲大圜分角大于直角後言丙乙戊小圜分角小于
直角
先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至已其丁
乙丁甲兩線等即丁乙甲丁甲乙兩角等一卷/五依顯
丁乙丙丁丙乙兩角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙
[003-49a]
甲丙乙兩角并等又己乙丙外角亦與相對之乙甲
丙甲丙乙兩内角并等一卷/卅二則己乙丙與甲乙丙等
為直角
二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既為直角則乙甲丙
小于直角一卷/十七
三論曰甲乙戊丙四邊形在圜之内其乙甲丙乙戊
丙相對兩角并等兩直角本篇/廿二而乙甲丙小于直角
則乙戊丙大于直角
[003-49b]
四論曰甲乙丙直角為丙乙甲大圜分角之分則大
于直角
後論曰丙乙戊小圜分角為己乙丙直角之分則小
于直角
此題别有四解四論先解曰甲乙丙半圜其
心丁其上任作甲乙丙角題言此為直角
論曰試作乙丁線其丁乙丁甲兩線既等即
丁乙甲丁甲乙兩角亦等一卷/五而乙丁丙外角既與
[003-50a]
丁乙甲丁甲乙相對之兩内角并等一卷/卅二即倍大于
丁乙甲角依顯乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即
乙丁甲乙丁丙兩角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁
甲乙丁丙并等兩直角一卷/十三則甲乙丙為直角
二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙
丙角題言此小于直角
論曰試作甲丁戊徑線次作乙戊線相聯
其甲乙戊既為直角本題/一論即甲乙丙為其分而小于
[003-50b]
直角
三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙
丙角題言此大于直角
論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至
戊次作乙戊線其甲乙戊既負半圜之直角而為甲
乙丙角之分則甲乙丙大于直角
四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊
題言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角
[003-51a]
小于直角
論曰試作乙戊丙徑線次作乙甲線引
長之至己其乙甲丙直角為丙甲乙大
圜分角之分而丙甲丁小圜分角又為己甲丙直角
之分則大分角大于直角小分角小于直角
一系凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角
何者其外角與内相對之兩角等則與外角等之内
交角豈非直角
[003-51b]
二系大分之角大于直角小分之角小于直角終無
有角等于直角又從小過大從大過小非大即小終
無相等依此題四五論甚明與本篇十六題増注互
相發也
第三十二題
直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分内各任為
負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互
相等
[003-52a]
解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙從丙任作丙戊直線
割圜為兩分兩分内任作丙丁戊丙庚戊兩負圜角
題言甲丙戊角與丙庚戊角乙丙戊角與
丙丁戊角交互相等
先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戊乙
丙戊兩皆直角一卷/十八而丙庚戊丙丁戊兩
負半圜角亦皆直角本篇/卅一則交互相等
後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙
[003-52b]
己過心直線次作戊己線相聯其己丙為
甲乙之垂線一卷/十八而丙戊己為直角本篇/卅一
即戊丙己戊己丙兩角并等于一直角亦
等于甲丙己角矣此兩率者各減同用之戊丙己角
即所存戊己丙與甲丙戊等也夫戊己丙與丙庚戊
元等本卷/廿一則甲丙戊與丙庚戊交互相等又丙丁戊
庚四邊形之丙丁戊丙庚戊兩對角并等兩直角本/篇
廿/二而甲丙戊乙丙戊兩交角亦等兩直角一卷/十三此二
[003-53a]
率者各減一相等之甲丙戊丙庚戊則所存丙丁戊
乙丙戊亦交互相等
第三十三題
一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等
先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負
圜分角與丙等其丙角或直或鋭或鈍若直
角先以甲乙兩平分于丁次以丁為心甲乙
為界作半圜圜分内作甲戊乙角即負半圜角為直
[003-53b]
角本篇/卅一如所求
次法曰若設丙鋭角先于甲㸃上作丁
甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲丁之
垂線于甲乙之上次作己乙甲角與己
甲乙角等而乙己線與甲戊線遇于己
即己乙己甲兩線等一卷/六末以己為心甲為界作甲
庚圜必過乙即甲庚乙圜分内甲乙線上所作負圜
角必為鋭角而與丙等
[003-54a]
論曰試作甲庚乙角其甲己戊線過己心而丁甲又
為戊甲之垂線即丁甲線切甲庚乙圜于甲本篇十/六之系
則丁甲乙與甲庚乙兩角交互相等本篇/卅二如所求
後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次
作戊甲為壬甲之垂線餘倣第二法而于甲乙線上
作甲癸乙等即與辛等
後論同次
第三十四題
[003-54b]
設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等
法曰設甲乙丙圜求割一分而負圜分角
與丁等先作戊己直線切圜于甲本篇/十七次
作已甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上
所作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等
何者已甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故本/篇
卅/二
第三十五題
[003-55a]
圜内兩直線交而相分各兩分線矩内直角形等
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩線交
而相分于戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕
戊丁兩矩内直角形等其兩線或俱過心
或一過心一不過心或俱不過心若俱過心者其各
分四線等即兩矩内直角形亦等
先論曰圜内線獨丙丁過己心者又有二種其一丙
丁平分甲乙線于戊即丙戊線在甲乙上為兩直角
[003-55b]
本篇/三試作已乙線相聯其丙丁線既兩平
分于己又任兩分于戊即丙戊偕戊丁矩
内直角形及已戊上直角方形并與等已
丁之已乙上直角方形等二卷/五夫已乙上直角方形
與已戊戊乙上兩直角方形并等一卷/四七即丙戊偕戊
丁矩内直角形及已戊上直角方形并與已戊戊乙
上兩直角方形并亦等矣次每減同用之已戊上直
角方形則所存丙戊偕戊丁矩内直角形不與戊乙
[003-56a]
上直角方形等乎戊乙與甲戊既等即甲戊偕戊乙
矩内直角形與丙戊偕戊丁矩内直角形亦等
次論曰若丙丁任分甲乙線于戊即以甲
乙線兩平分于庚次于庚已已乙各作直
線相聯即已庚為甲乙之垂線而成兩直
角本篇/三其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳
戊上直角方形并與等已丁之已乙上直
角方形等二卷/五而已戊上直角方形與已
[003-56b]
庚庚戊上兩直角方形并等一卷/四七已乙上直角方形
與已庚庚乙上兩直角方形并亦等則丙戊偕戊丁
矩内直角形及已庚庚戊上兩直角方形并與已庚
庚乙上兩直角方形并等次每減同用之已庚上直
角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上
直角方形不與庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊
乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦與庚乙上
直角方形等二卷/五此二相等率者每減同用之庚戊
[003-57a]
上直角方形則丙戊偕戊丁與甲戊偕戊乙兩矩内
直角形等矣
後論曰圜内兩線俱不過心者又有二種
或一線平分或兩俱任分皆從已心與戊
相聨作直線引長之為庚辛線依上論甲
戊偕戊乙矩内直角形不論甲乙線平分
任分皆與過心之庚戊偕戊辛矩内直角
形等又依上論丙戊偕戊丁矩内直角形
[003-57b]
不論丙丁線平分任分亦與過心之庚戊偕戊辛矩
内直角形等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内
直角形等
第三十六題
圜外任取一㸃從㸃出兩直線一切圜一割圜其割圜
之全線偕規外線矩内直角形與切圜線上直角方
形等
解曰甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙線切圜于
[003-58a]
乙本篇/十七作丁甲線截圜界于丙題言甲丁偕丙丁矩
内直角形與丁乙上直角方形等
先論丁甲過戊心者曰試作乙戊線為丁
乙之垂線本篇/十八其甲丙線平分于戊又引
出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩内直角形
及等戊丙之戊乙上直角方形并與戊丁上直角方
形等二卷/六而戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直
角方形并等一卷/四七即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊
[003-58b]
乙上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等此
兩率者每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁
偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等
後論丁甲不過戊心者曰試
以甲丙線兩平分于已次從
戊心作戊已戊丙戊丁戊乙
四線即戊乙為丁乙之垂線本篇/十八戊已為甲丙之垂
線本篇/三其甲丙線既兩平分于已又引出一丙丁線
[003-59a]
即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直
角方形并與已丁上直角方形等二卷/六次
每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙
矩内直角形及已丙戊已上兩直角方形
并與己丁戊己上兩直角方形并等夫己
丙戊己上兩直角方形并與等戊丙之戊
乙上直角方形等一卷/四七而戊丁上直角方形與己丁
戊己上兩直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角
[003-59b]
形及戊乙上直角方形與戊丁上直角方形等矣又
戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等
即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并
與戊乙丁乙上兩直角方形并等次每減同用之戊
乙上直角方形則所存甲丁偕丁丙矩内直角形與
丁乙上直角方形等
一系若從圜外一㸃作數線至規内各全
線偕規外線矩内直角形俱等如從甲作
[003-60a]
甲丙甲丁甲戊各線截圜界于己于庚于辛其甲丙
偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱
等何者試作甲乙切圜線則各矩線内直角形與甲
乙上直角方形俱等故本/題
二系從圜外一㸃作兩直線切圜此兩線
等如甲㸃作甲乙甲丙兩切圜線即甲丙
與甲乙等何者試從甲作甲丁線截圜界
于戊其甲乙甲丙上兩直角方形各與甲丁偕甲戊
[003-60b]
矩内直角形等本/題則此兩直角方形自相等
三系從圜外一㸃止可作兩直線切圜若
言從甲既作甲乙甲丙兩線切圜又可作
甲丁線亦切圜令從戊心作戊乙戊丁兩
線即甲乙戊為直角而甲丁戊亦宜等為直角本篇/十八
試作甲戊直線則甲乙戊角形内有甲丁戊角應大
于甲乙戊角一卷/廿一安得為直角也又甲乙甲丁若俱
切圜即兩線宜等本題/二系試作甲戊線截圜于己則甲
[003-61a]
丁為近己線甚小當小于逺己之甲乙線本篇/八又安
得相等也故一㸃上止可作切圜線兩也
第三十七題
圜外任于一㸃出兩直線一至規外一割圜至規内而
割圜全線偕割圜之規外線矩内直角形與至規外
之線上直角方形等則至規外之線必切圜
解曰甲乙丙圜其心戊從丁㸃作丁乙至規外之線
遇圜界于乙又作丁甲割圜至規内之線而截圜界
[003-61b]
于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形與丁乙
上直角方形等題言丁乙為切圜線
論曰試從丁作丁己線切圜于己本篇/十七次
作戊乙戊己兩線相聯若丁甲不過戊心
者又作丁戊直線其丁己上直角方形與
丁甲偕丁丙矩内直角形等本篇/卅六而丁乙
上直角方形與丁甲偕丁丙矩内直角形亦等則丁
乙丁己上兩直角方形自相等而丁乙丁己兩線亦
[003-62a]
等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊與丁己戊角形之丁
己己戊各兩腰等丁戊同底即兩角形之三角各等
一卷/八而對丁戊底之丁己戊為直角本篇/十八即丁乙戊
亦直角故丁乙為切圜線本篇十/六之系
[003-62b]
幾何原本卷三
