[006-1a] 
欽定四庫全書
幾何原本卷六之首
西洋利瑪竇譯
界說六則
第一界
凡形相當之各角等而各等角旁兩線之比例俱等為
相似之形
甲乙丙丁戊己兩角形之甲角與丁角等乙與戊丙
[006-1b]
與己各等其甲角旁之甲乙與甲丙
两線之比例若丁角旁之丁戊與
丁己兩線而甲乙與乙丙若丁戊與
戊己甲丙與丙乙若丁己與己戊則
此兩角形為相似之形依顯凡平邉
形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱
平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也
四邉五邉以上諸形俱倣此
[006-2a]
第二界
兩形之各兩邉線互為前後率相與為比例而等為互
相視之形
甲乙丙丁戊己庚辛兩方形其甲乙
乙丙邉與戊己己庚邉相與為比例
等而彼此互為前後如甲乙與戊己
若己庚與乙丙也則此兩形為互相
視之形依顯壬癸子丑寅卯兩角形
[006-2b]
之壬子與丑寅若丑夘與壬癸或壬癸與丑寅若丑
夘與壬子亦互相視之形也
第三界
理分中末線者一線兩分之其全與大分之比例若大
分與小分之比例
甲乙線兩分之于丙而甲乙與大分甲丙之比
例若大分甲丙與小分丙乙此為理分中末線
其分法見本卷三十題而與二卷十一題理同
[006-3a]
名異此線為用甚廣至量體尤所必須十三卷諸題
多頼之古人目為神分線也
第四界
度各形之髙皆以垂線之亘為度
甲乙丙角形從甲頂向乙丙底作甲庚垂
線即甲庚為甲乙丙之髙又丁戊己角形
作丁辛垂線即丁辛為丁戊己之髙若兩
形相視兩垂線等即兩形之髙必等如上兩形在兩
[006-3b]
平行線之内者是也若以丙己為頂以甲乙丁戊為
底則不等自餘諸形之度髙俱倣此
凡度物髙以頂底為界以垂線為度盖物之定度止
有一不得有二自頂至底垂線一而己偏線無數也
第五界
比例以比例相結者以多比例之命數相乗除而結為
一比例之命數
此各比例不同理而相聚為一比例者則用相結之
[006-4a]
法合各比例之命數求首尾一比例之命數也曷為
比例之命數謂大幾何所倍於小幾何若干或小幾
何在大幾何内若干也如大幾何四倍于小或小幾
何為大四分之一即各以四為命比例之數也五卷/界說
三/今言以彼多比例之命數相
乗除而結為此一比例之命數
者如十二倍之此比例則以彼
二倍六倍兩比例相結也二六
[006-4b]
相乗為十二故也或以彼三倍
四倍兩比例相結也三四相乗
亦十二故也又如三十倍之此
比例則以彼二倍三倍五倍三
比例相結也二乗三為六六乗
五為三十故也
其曰相結者相結之理盖在中率凡中率為前比例
之後後比例之前故以二比例合為一比例則中率
[006-5a]
為輳合之因如兩爿合此為之膠如兩襟合此為之
紐矣第五卷第十界言數幾何為同理之比例則第
一與第三為再加之比例再加者以前中二率之命
數再加為前後二率之命數亦以中率為紐也但彼
所言者多比例同理故止以第一比例之命數累加
之此題所言則不同理之多比例不得以第一比例
之命數累加之故用此乗除相結之理于不同理之
中求其同理别為累加之法其紐結之義頗相類焉
[006-5b]
下文仍發明借象之術以需後用也
五卷言多比例同理者第一與第三為再加與第四
為三加與第五為四加以至無窮今此相結之理亦
以三率為始三率則兩比例
相乗除而中率為紐也若四
率則先以前三率之兩比例
相乗除而結為一比例復以
此初結之比例與第三比例
[006-6a]
乗除相結為一比例也若五率則先以前三率之兩
比例乗除相結復以此再結之比例與第三比例乗
除相結又以三結之比例與第四比例乗除相結為
一比例也或以第一第二第三率之兩比例乗除相
結以第三第四第五之兩比例乗除相結又以此二
所結比例乗除相結而為一比例也自六以上倣此
以至無窮
設三幾何為二比例不同理而合為一比例則以第
[006-6b]
一與二第二與三兩比例相結也如上圗三幾何二
比例皆以大不等者其甲乙與丙丁為二倍大丙丁
與戊己為三倍大則甲乙與戊己為六
倍大二乗三為六也若以小不等戊己
為第一甲乙為第三三乗二亦六則戊己與甲乙為
反六倍大也
甲乙與丙丁既二倍大試以甲乙二平分之為甲庚
庚乙必各與丙丁等丙丁與戊己既三倍大而甲庚
[006-7a]
庚乙各與丙丁等即甲庚亦三倍大於戊己庚乙亦
三倍大於戊己而甲乙必六倍大於戊己
又如上圗三幾何二比例前以大不等
後以小不等者中率小子前後兩率也
其甲乙與丙丁為三倍大丙丁與戊己為反二倍大
反二倍大者丙/丁得戊己之半即甲乙與戊己為等帶半三乗半得
等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三反推之半
除三為反等帶半也
[006-7b]
又如上圗三幾何二比例前以小不等
後以大不等者中率大於前後二率也
其甲乙與丙丁為反二倍大甲乙得丙/丁之半丙丁與戊己
為等帶三分之一即甲乙與戊己為反等帶半甲乙/得戊
己三分/之二何者如甲乙二即丙丁當四丙丁四即戊己
當三是甲乙二戊己當三也
後増其乗除之法則以命數三帶得數一為四以半
除之得二二比三為反等帶半也若以戊己為第一
[006-8a]
甲乙為第三三比二為等帶半也
設四幾何為三比例不同理而合為一
比例則以第一與二第二與三第三與
四三比例相結也如上圗甲乙丙丁四
幾何三比例先依上論以甲與乙乙與丙二比例相
結為甲與丙之比例次以甲與丙丙與丁相結即得
甲與丁之比例也如是逓結可至無窮也
或用此圗申明本題之㫖曰甲與乙之命數為丁乙
[006-8b]
與丙之命數為戊即甲與丙之命數
為己何者三命數以一丁二戊相乗
得三己即三比例以一甲與乙二乙
與丙相乗得三甲與丙
後増若多幾何各帶分而多寡不等者當用通分法
如設前比例為反五倍帶三之二後比例為二倍大
帶八之一即以前命數三通其五倍為十五得分數
從之為十七是前比例為三與十七也以後命數八
[006-9a]
通其二倍為十六得分數從之為十七是後比例為
十七與八也即首尾二幾何之比例為三與八得二
倍大帶三之二也
曷謂借象之術如上所說三幾何二比例者皆以中
率為前比例之後後比例之前乗除相結畧如連比
例之同用一中率也而不同理别有二比例異中率
者是不同理之斷比例也無法可以相結當于其所
設幾何之外别立三幾何二比例而同中率者乗除
[006-9b]
相結作為儀式以彼異中率之四幾何二比例依倣
求之即得故謂之借象術也假如所設幾何十六為
首十二為尾却云十六
與十二之比例若八與
三及二與四之比例八
為前比例之前四為後
比例之後三與二為前
之後後之前此所謂異
[006-10a]
中率也欲以此二比例乗除相結無法可通矣用是
别立三幾何二比例如其八與三二與四之比例而
務令同中率如三其八得二十四為前比例之前三
其三得九為前比例之後即以九為後比例之前又
求九與何數為比例若二與四得十八為後比例之
後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四
也則十六與十二若二十四與十八俱為等帶半之
比例矣是用借象之術變異中率為同中率乗除相
[006-10b]
結而合二比例為一比例也其三比例以上亦如上
方所說展轉借象逓結之 詳見本卷二十三題筭
家所用借象金法雙金法俱本此
第六界
平行方形不滿一線為形小於線若形有餘線不足為
形大於線
甲乙線其上作甲戊丁丙平行方形不滿甲乙線而
丙乙上無形即作己乙線與丁丙平行次引戊丁線
[006-11a]
遇己乙于己是為甲戊己乙滿甲乙線平
行方形則甲丁為依甲乙線之有闕平行
方形而丙己平行方形為甲丁之闕形又
甲丙線上作甲戊己乙平行方形其甲乙邉大于元
設甲丙線之較為丙乙而甲己形大于甲丙線上之
甲丁形則甲己為依甲丙線之帶餘平行方形而丙
己平行方形為甲己之餘形
[006-11b]
幾何原本卷六之首
[006-12a]
欽定四庫全書
幾何原本卷六
西洋利瑪竇撰
第一題
等髙之三角形方形自相與為比例與其底之比例等
觧曰甲乙丙丁戊己兩角形等髙其底乙
丙戊己丙庚戊辛兩方形等髙其底乙丙
戊己題言甲乙丙與丁戊己之比例丙庚
[006-12b]
與戊辛之比例皆若乙丙與戊己
論曰試置四形於庚辛子寅兩平行線内
凡形自頂至底作垂線即本形之髙故/等髙者必在平行線内見本卷界說四于
乙子線内作數底線各與乙丙等為乙壬
壬癸癸子于己寅線内作數底線各與戊
己等為己丑丑寅次從甲從丁作甲壬甲
癸甲子丁丑丁寅諸線其甲乙丙甲乙壬
甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行線内即
[006-13a]
等一卷/三八依顯丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等
則子丙底線大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于
甲乙丙亦若干倍依顯戊寅之倍戊己亦若丁戊寅
之倍丁戊己底線分數與形/之分數等故即用三試法若子丙
底大于戊寅底則甲子丙形亦大于丁戊寅形也若
等亦等若小亦小也一卷/三八則一乙丙所倍之子丙三
甲乙丙所倍之甲子丙與二戊己所倍之戊寅四丁
戊己所倍之丁戊寅等大小皆同類也而一乙丙底
[006-13b]
與二戊己底之比例若三甲乙丙與四丁戊己矣五/卷
六/界又丙庚戊辛兩方形各倍大于甲乙丙丁戊己兩
角形一卷/卅三而甲乙丙與丁戊己之比例既若乙丙與
戊己即丙庚與戊辛兩方形之比例亦若乙丙與戊
己兩底矣五卷/十五或從壬癸子及丑寅各作直線與庚
乙辛己平行即依上論推顯
增題凡兩角形兩方形各等底其自相與為比例
若兩形之髙之比例
[006-14a]
解曰甲乙丙與丁戊己兩角形甲庚乙
丙與丁戊己辛兩方形其底乙丙與戊
己等題言甲乙丙與丁戊己兩角形之
比例甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形之
比例皆若甲壬與丁癸兩髙
論曰試作子壬底線與乙丙等作丑癸
底線與戊己等次作甲子丁丑兩線其甲壬子與
甲乙丙兩角形等底又等髙即等依顯丁癸丑與
[006-14b]
甲乙丙兩角形等底又等髙即等依顯丁癸丑與
丁戊己兩角形亦等一卷/三八即甲乙丙與丁戊己之
比例若甲壬子與丁癸丑也五卷/七今以甲壬丁癸
為底即甲壬子與丁癸丑两角形之比例若甲壬
與丁癸兩底也本篇/一而甲乙丙與丁戊乙之比例
亦若甲壬與丁癸矣又甲乙丙與丁戊己兩角形
之比例既以倍大故若甲庚乙丙與丁戊己辛兩
方形之比例五卷/十五即兩方形之比例亦若甲壬與
[006-15a]
丁癸兩底也五卷/十一若作庚子辛丑兩線亦依前論
推顯
第二題二/支
三角形任依一邉作平行線即此線分兩餘邉以為比
例必等三角形内有一線分兩邉以為比例而等即
此線與餘邉為平行
先解曰甲乙丙角形内如作丁戊線與乙
丙平行題言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊
[006-15b]
以為比例必等者甲丁與丁乙若甲戊與戊丙也
論曰試作丁丙戊乙兩線其丁戊乙丁戊丙兩角形同
以丁戊為底同在兩平行線内即等一卷/三七而甲戊丁
與丁戊乙兩角形之比例若甲戊丁與丁戊丙矣五/卷
七/夫甲戊丁與丁戊乙兩角形亦在兩平行線内若/干
戊㸃上作一線與甲乙/平行即兩形在其内則甲戊丁與丁戊乙兩角形
之比例若甲丁與丁乙兩底也本篇/一依顯甲戊與戊
丙兩底之比例亦若甲戊丁與丁戊丙兩角形也兩/形
[006-16a]
亦在兩平/行線内故是甲丁與丁乙兩線之比例甲戊與戊丙
兩線之比例皆若甲戊丁與丁戊乙也或與丁戊丙
也丁戊乙與/丁戊丙等則甲丁與丁乙亦若甲戊與戊丙也五/卷
十/一
後解曰甲乙丙角形内有丁戊線分甲乙甲丙于丁
于戊以為比例而等題言丁戊與乙丙為平行線
論曰試作丁丙戊乙兩線其甲丁與丁乙兩底之比
例若甲戊丁與丁戊乙兩角形也在兩平行線内/故見本篇一而
[006-16b]
甲丁與丁乙之比例若甲戊與戊丙即甲戊丁與丁
戊乙之比例亦若甲戊與戊丙也五卷/十一又甲戊與戊
丙兩底之比例既若甲戊丁與丁戊丙在兩平行線/内故見本篇
一/則甲戊丁與丁戊乙之比例亦若甲戊
丁與丁戊丙也五卷/十一而丁戊乙與丁戊丙
兩角形等矣五卷/九兩角形同以丁戊為底
而等則在兩平行線内一卷/卅九
第三題二支/
[006-17a]
三角形任以直線分一角為兩平分而分對角邉為兩
分則兩分之比例若餘兩邉之比例三角形分角之
線所分對角邉之比例若餘兩邉則所分角為兩平
分
先解曰甲乙丙角形以甲丁線分乙甲丙角為兩平
分題言乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲
丙
論曰試作乙戊線與甲丁平行次于丙甲線引長之
[006-17b]
至戊其甲乙戊與乙甲丁為平行線相對之兩内角
等外角丁甲丙與内角戊亦等一卷/廿九今乙甲丁與丁
甲丙又等即甲乙戊角與戊角亦等也而甲戊與甲
乙兩腰亦等矣一卷/六則戊甲與甲丙之比例若乙甲
與甲丙也五卷/七夫戊甲與甲丙之比例若乙丁與丁
丙也本篇/二則乙甲與甲丙之比例亦若乙丁與丁丙
也五卷/十一後解曰乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲丙
題言甲丁線分乙甲丙角為兩平分
[006-18a]
論曰依前作乙戊線與甲丁平行而引丙
甲線至戊其乙甲與甲丙之比例既若乙
丁與丁丙甲丁線又與戊乙邉平行而乙丁與丁丙
之比例若戊甲與甲丙本篇/二即乙甲與甲丙之比例
亦若戊甲與甲丙五卷/十一是戊甲與乙甲兩線等矣五/卷
九/則甲乙戊角與戊角亦等也一卷/五夫甲乙戊與乙
甲丁為平行線相對之兩内角等而外角丁甲丙與
内角戊亦等一卷/廿九則乙甲丁丁甲丙兩角必等
[006-18b]
第四題
凡等角三角形其在等角旁之各兩腰線相與為比例
必等而對等角之邉為相似之邉
解曰甲乙丙丁丙戊兩角形等角者甲乙
丙與丁丙戊甲丙乙與丁戊丙乙甲丙與
丙丁戊每相當之各角俱等也題言甲乙
與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲
丙若丁丙與丁戊甲丙與乙丙若丁戊與丙戊而每
[006-19a]
對等角之邉各相似相似者謂各前各後率各對本
形之相當等角論曰試並置兩角形令乙丙丙戊兩
底為一直線而丁丙戊為甲乙丙之外角其甲乙丙
甲丙乙兩角既小于兩直角一卷/廿七丁戊丙與甲丙乙
两角又等即乙戊两角亦小於兩直角而
乙甲戊丁兩線引出之必相遇一卷界/說十一即
作兩線令遇于己其丁丙戊外角與甲乙
丙内角既等即丁丙與己乙為平行線一/卷
[006-19b]
廿/八依顯甲丙乙外角與丁戊丙内角既等即甲丙與
己戊亦平行線一卷/廿八而甲己丁丙為平行線方行則
甲己與丁丙兩線等也甲丙與己丁兩線等也一卷/卅四
夫乙戊己角形内之甲丙線既與己戊邉平行即甲
乙與等甲己之丁丙之比例若乙丙與丙戊也本篇/二
更之即甲乙與乙丙若丁丙與丙戊也五卷/十六又乙戊
己角形内之丁丙線既與己乙邉平行即乙丙與丙
戊之比例若等己丁之甲丙與丁戊也本篇/二更之即
[006-20a]
乙丙與甲丙若丙戊與丁戊也五卷/十六甲乙與乙丙既
若丁丙與丙戊而乙丙與甲丙又若丙戊與丁戊平
之即甲乙與甲丙若丁丙與丁戊也五卷/廿二
一系凡角形内之直線與一邉平行而截一分為角
形必與全形相似如上甲乙丙角形作丁
戊直線與乙丙平行而截一分為甲丁戊
角形必與甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角與甲
乙丙内角等甲戊丁外角亦與甲丙乙内角等一卷/廿九
[006-20b]
甲角又同即兩形相似而各等角旁兩邉之比例等
本/題
増題凡角形之内任依一邉作一平行線于此邉
任取一㸃向對角作直線則所分兩平行線比例
等
解曰甲乙丙角形内作丁戊線與乙
丙平行次于乙丙邉任取己㸃向甲
角作直線分丁戊于庚題言乙己與
[006-21a]
己丙之比例若丁庚與庚戊
論曰甲己乙甲庚丁兩角形既相似本/系即甲己與
己乙之比例若甲庚與庚丁也更之即甲己與甲
庚若己乙與庚丁也五卷/十六依顯甲己與甲庚若己
丙與庚戊也則乙己與丁庚亦若己丙與庚戊也
五卷/十一更之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也五卷/十六
又論曰甲己乙甲庚丁兩角形甲己丙甲庚戊兩
角形既各相似即乙己與甲己之比例若丁庚與
[006-21b]
庚甲也本/系依顯甲己與己丙亦若甲庚與庚戊也
平之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也五卷/廿二
第五題
兩三角形其各兩邊之比例等即兩形為等角形而對
各相似邊之角各等
觧曰甲乙丙丁戊己兩角形其各兩邊之比例等者甲乙
與乙丙若丁戊與戊己而乙丙與甲丙若戊己與丁己甲
丙與甲乙若丁己與丁戊也題言此兩形為等角形而對
[006-22a]
各相似邊之角甲與丁乙與戊丙與己各等
論曰試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與
丙角等而戊庚己庚兩線遇于庚即庚角與甲
角等一卷/三二是甲乙丙庚戊己兩形等角矣則甲
乙與乙丙之比例若庚戊與戊己也本篇/四甲乙與乙丙元
若丁戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也五卷/十一
而丁戊與庚戊兩線必等五卷/九又乙丙與甲丙之比例若
戊己與庚己本篇/四而乙丙與甲丙元若戊己與丁己則戊
[006-22b]
己與庚己亦若戊己與丁己也五卷/十一而丁己與庚己兩線
必等五卷/九夫庚戊庚己兩腰既與丁戊丁己兩腰各等戊己
同底即丁角與庚角亦等一卷/八其餘庚戊己與丁戊己庚己
戊與丁己戊各相當之角俱等一卷/四而庚角與甲角既等即
丁角與甲角亦等丁戊己角與乙角丁己戊角與丙角俱等
第六題
兩三角形之一角等而等角旁之各兩邊比例等即兩形
為等角形而對各相似邊之角各等
[006-23a]
解曰甲乙丙丁戊己兩角形其乙與戊两角等而甲乙與乙
丙之比例若丁戊與戊己題言餘角丙與己甲與丁俱等
論曰試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與
丙角等而戊庚己庚两線遇于庚依前論推顯
甲乙丙庚戊己兩形等角即甲乙與乙丙之比
例若庚戊與戊己也本篇/四甲乙與乙丙元若丁
戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也五卷/十一而
丁戊與庚戊兩線必等五卷/九夫丁戊庚戊兩邊既等戊
[006-23b]
己同邊庚戊己角與丁戊己角又等丁戊己角與乙角/等而己戊庚亦與
乙等/故即其餘各相當之角俱等一卷/四而庚角既與甲
角等庚己戊角既與丙角等即甲角丙角與丁角戊
己丁角各等而甲乙丙丁戊己為等角形矣
第七題
兩三角形之第一角等而第二相當角各兩旁之邊比
例等其第三相當角或俱小于直角或俱不小于直
角即兩形為等角形而對各相似邊之角各等
[006-24a]
解曰甲乙丙丁戊己兩角形其一甲角與一丁角等
而第二相當角如甲丙乙兩旁之甲丙丙
乙兩邉偕丁己戊兩旁之丁己己戊兩邉
比例等其第三相當角如乙與戊或俱小
于直角或俱不小于直角題言兩形等角
者謂甲丙乙角與己等乙角與戊等
先論乙與戊俱小于直角者曰如云不然
而甲丙乙大于己令作甲丙庚角與己等即甲庚丙
[006-24b]
角宜與戊等一卷/卅二甲庚丙與丁戊己為等角形矣即
甲丙與丙庚之比例宜若丁己與己戊本篇/四而先設
甲丙與丙乙若丁己與己戊也是甲丙與丙庚亦若
甲丙與丙乙也五卷/十一是庚丙與乙丙兩線等也五卷/九
丙庚乙與丙乙庚兩角亦等也一卷/五夫乙既小于直
角即等腰内之丙庚乙亦小于直角則較角之丙庚
甲必大于直角也丙庚甲丙庚乙兩角等/于兩直角見一卷十三而丙庚甲
既與戊等則丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角
[006-25a]
何由得小于直角也
後論乙與戊俱不小于直角者曰如云不然依先論
乙角與丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙
庚乙丙乙庚同為角形内之兩角乃俱不小于直角
一卷/十七何也則甲丙乙不得不等于丁己戊也而其餘
乙與戊角等矣一卷/卅二
第八題
直角三邉形從直角向對邉作一垂線分本形為兩直
[006-25b]
角三邉形即兩形皆與全形相似亦自相似
解曰甲乙丙直角三邉形從乙甲丙直角作
甲丁垂線題言所分甲丁丙甲丁乙兩三邉
形皆與全形相似亦自相似
論曰甲乙丙甲丁丙兩形既各以乙甲丙甲丁丙為
直角而丙角又同即其餘甲乙丙丁甲丙兩角必等
一卷/三則甲乙丙甲丁丙兩形必為等角形而等角旁
之各兩邉比例必等等者謂乙丙與甲丙若甲丙與
[006-26a]
丙丁也甲丙與甲乙若丙丁與甲丁也乙丙與甲乙
若甲丙與甲丁也即甲丁丙角形與甲乙丙全形相
似矣本篇/四依顯甲丁乙角形與甲乙丙全形亦相似
也何者丙甲乙甲丁乙兩皆直角而乙角又同即其
餘甲丙乙丁甲乙兩角必等一卷/卅二甲乙丙甲丁乙兩
形必為等角形而等角旁之各兩邉比例必等故也
依顯甲丁乙甲丁丙兩角形亦相似也何者兩形各
與全形相似即兩形自相似五卷/十一
[006-26b]
系從直角作垂線即此線為兩分對邉線比例之中
率而直角旁兩邉各為對角全邉與同方分邉比例
之中率何者丙丁與丁甲之比例若丁甲與丁乙也
故丁甲為丙丁丁乙兩分邉比例之中率也又乙丙與
丙甲之比例若丙甲與丙丁也故丙甲為乙丙丙丁
之中率也乙丙與乙甲之比例若乙甲與乙丁也故
乙甲為乙丙乙丁之中率也
第九題
[006-27a]
一直線求截所取之分
法曰甲乙直線求截取三分之一先從甲任
作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作
所命分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也
次作己乙直線末作丁庚線與己乙平行即
甲庚為甲乙三分之一
論曰甲乙己角形内之丁庚線既與乙己邉平行即
己丁與丁甲之比例若乙庚與庚甲也本篇/二合之己
[006-27b]
甲與甲丁若乙甲與庚甲也五卷/十八而甲丁既為己甲
三分之一即庚甲亦為乙甲三分之一也
注曰甲乙線欲截取十一分之四先作甲
丙線為丙甲乙角從甲向丙任平分十一
分至丁次作丁乙線末從甲取四分得戊
作戊己線與丁乙平行即甲己為十一分
甲乙之四何者依上論丁甲與戊甲之比
例若乙甲與己甲也反之甲戊與甲丁若甲己與甲
[006-28a]
乙也五卷/四甲戊為甲丁十一分之四則甲己亦甲乙
十一分之四矣依此可推不盡分之數葢四不為十
一之盡分故
第十題
一直線求截各分如所設之截分
法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分
之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若甲
丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙兩線相聮
[006-28b]
于甲任作丙甲乙角次作丙乙線相聮末從丁從戊
作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線于己
于庚若甲丙之分于丁于戊
論曰甲丁與丁戊之比例既若甲己與己庚本篇/二即
甲己與己庚亦若甲丁與丁戊也更作丁辛線與甲
乙平行而分戊庚于壬即丁戊與戊丙若丁壬與壬
辛也亦若等丁壬之己庚一卷/卅四與等壬辛之庚乙也
本篇/二則己庚與庚乙亦若丁戊與戊丙也
[006-29a]
從此題作一用法平分一直線為若干分如甲乙線求
五平分即從甲任作甲丙線為丙甲乙角
次從甲向丙任作五平分為甲丁丁戊戊
己己庚庚辛次作辛乙直線相聨末作丁
壬戊癸己子庚丑四線皆與辛乙平行即
壬癸子丑分甲乙為五平分其理依前論推顯
又一簡法如甲乙線求五平分即從丙任作丙乙線
為丙乙甲角次于乙丙任取一㸃為丁作丁戊線與
[006-29b]
甲乙平行次從丁向戊任作五平分
為丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸
線令小于甲乙次從甲過癸作甲子
線遇乙丙于子末從子作子壬子辛
子庚子己四線各引長之而分甲乙
于丑于寅于夘于辰為五平分
論曰丁戊與甲乙既平行即子壬癸與子丑甲兩
角子癸壬與子甲丑兩角各等一卷/廿九而甲子丑同
[006-30a]
角即甲子丑癸子壬兩角形相似矣則子癸與癸
壬之比例若子甲與甲丑也本篇/四依顯子壬與壬
辛若子丑與丑寅也又癸壬與壬辛等即子壬與
壬癸若子壬與壬辛也五卷/七則子丑與丑甲亦若
子丑與丑寅也而甲丑丑寅兩線等矣五卷/十一依顯
寅夘夘辰辰乙俱與甲丑等則甲乙線為五平分
又一簡法如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲
丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分
[006-30b]
次用元度從甲作壬癸子丑四平分
末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聨
即分甲乙于己于辰于夘于寅為五
平分
論曰辛庚與壬癸既平行相等即辛
壬與庚癸亦平行一卷/卅三依顯己子戊
丑俱平行而甲丑既為四平分則甲
己亦四平分本/題依顯乙辛既為四平
[006-31a]
分則乙寅亦四平分而通甲乙為五平分
又用法先作一器丙丁戊己為
平行線任平分為若干格每分
作平行線相聨今欲分甲乙為
五平分即規取甲乙之度以一
角抵戊丙線而一角抵庚辛線如不在庚辛者即
漸移之令至也既至壬即戊壬之分為甲乙之分
論曰庚癸與子辛既平行相等即癸子庚辛亦平
[006-31b]
行相等一卷/卅三而丙丁戊己内諸線俱平行相等戊
庚為五平分即戊壬亦五平分矣本/題戊壬之度既
與甲乙等即自戊至壬諸格分甲乙為五平分也
如戊丙線上取丑㸃而甲乙度抵庚辛之外若丑
寅即從庚辛線引長之為庚寅而癸子諸線俱引
長之其丑寅仍為五平分如前論若所欲分之線
極小則製器宜宻令相稱焉
増題有直線求兩分之而两分之比例若所設兩線
[006-32a]
之比例
法曰甲乙線求兩分之而兩分之比例
若所設丙與丁先從甲任作甲戊線而
為甲角次截取甲己與丙等己庚與丁
等次作庚乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即
分甲乙于辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁說
見本篇二
又増題兩直線各三分之各互為兩前後率比例
[006-32b]
等即兩中率與兩前兩後率各為比例亦等
解曰甲乙丙丁兩線各三分之于戊
于己于庚于辛各互為兩前兩後率
比例等者甲戊與戊乙若丙庚與庚
丁甲己與己乙若丙辛與辛丁也題言中率戊己
庚辛各與其前後率為比例亦等者甲戊與戊己
若丙庚與庚辛己乙與戊己若辛丁與庚辛也
論曰甲戊與戊乙之比例既若丙庚與庚丁即合
[006-33a]
之甲乙與戊乙若丙丁與庚丁也而甲己與己乙
既若丙辛與辛丁即合之甲乙與己乙若丙丁與
辛丁也又反之己乙與甲乙若辛丁與丙丁也夫
己乙與甲乙既若辛丁與丙丁而甲乙與戊乙又
若丙丁與庚丁即平之己乙與戊乙
亦若辛丁與庚丁也五卷/廿二又轉之戊
乙與戊己若庚丁與庚辛也又分之
己乙與戊己若辛丁與庚辛也此後解也又甲戊
[006-33b]
與戊乙既若丙庚與庚丁而戊乙與戊己又若庚
丁與庚辛即平之甲戊與戊己若丙庚與庚辛也
此前觧也
又簡論曰如後圗聨甲于丙作乙甲丁角次作丁
乙辛己庚戊三線相聨其甲戊與戊乙之比例既
若丙庚與庚丁即庚戊與丁乙平行本篇/二甲己與
己乙既若丙辛與辛丁即辛己與丁乙平行本篇/二
而庚戊與辛己亦平行一卷/三十是甲戊與戊己若丙
[006-34a]
庚與庚辛也己乙與戊己亦若辛丁與庚辛也本/篇
二/
第十一題
兩直線求别作一線相與為連比例
法曰甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比
例者合兩線任作甲角而甲乙與甲丙之比
例若甲丙與他線也先于甲乙引長之為乙
丁與甲丙等次作丙乙線相聨次從丁作丁戊線與
[006-34b]
丙乙平行末于甲丙引長之遇于戊即丙戊為所求
線如以甲丙為/前率倣此
論曰甲丁戊角形内之丙乙線既與戊丁邉
平行即甲乙與乙丁之比例若甲丙與丙戊
也本篇/二而乙丁甲丙元等即甲乙與甲丙若甲丙與
丙戊也五卷/七
注曰别有一法以甲乙乙丙兩線列作甲
乙丙直角次以甲丙線聨之而甲乙引長
[006-35a]
之末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線于丁
即乙丁為所求線
論曰甲丙丁角形之甲丙丁既為直角而從直角
至甲丁底有丙乙垂線即丙乙為甲乙乙丁比例
之中率本篇八/之系則甲乙與乙丙若乙丙與乙丁也
既從一二得三即從二三求四以上至于無窮俱
倣此
第十二題
[006-35b]
三直線求别作一線相與為斷比例
法曰甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相
與為斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲
乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線為甲丙
次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次
從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊
于戊即丁戊為所求線
論曰甲丙戊角形内之丁乙線既與丙戊邊平行即
[006-36a]
甲丁與丁戊之比例若甲乙與乙丙本篇/二
第十三題
兩直線求别作一線為連比例之中率
法曰甲乙乙丙兩直線求别作一線為中率
者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也
先以兩線作一直線為甲丙次以甲丙兩平
分于戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從
乙至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率
[006-36b]
論曰試從丁作丁甲丁丙兩線即甲丁丙為直角三/卷
卅/一而直角所下乙丁垂線兩分對邉線甲丙其甲乙
與乙丁若乙丁與乙丙也本篇八/之系則乙丁為甲乙乙
丙之中率
注曰依此題可推凡半圜内之垂線皆為
分徑線之中率線如甲乙丙半圜其乙丁
為甲丁丁丙之中率己戊為甲戊戊丙之
中率辛庚為甲庚庚丙之中率也何者半圜之内從
[006-37a]
垂線作角皆為直角三卷/卅一故依前論推顯各為中率
也
増題一直線有他直線大于元線二倍以上求分
他線為兩分而以元線為中率
法曰甲乙線大于甲丙二倍以上求兩分
甲乙而以甲丙為中率先以甲乙甲丙聨
為丙甲乙直角而兩平分甲乙于下次以
丁為心甲乙為界作甲戊乙半圜次從丙作丙戊
[006-37b]
線與甲乙平行而遇半圜界于戊末從戊作戊己
垂線而分甲乙于己即戊己為甲己己乙兩分之
中率
論曰試作戊甲戊乙兩線依本題論即戊己為甲
己己乙之中率而甲丙戊己為平行方形即丙甲
與戊己等一卷/卅四則丙甲亦甲己己乙之中率也
第十四題二/支
兩平行方形等一角又等即等角旁之兩邉為互相視
[006-38a]
之邉兩平行方形之一角等而等角旁兩邉為互相
視之邉即兩形等
先解曰甲乙丙辛乙戊己庚兩平行方
形等甲乙丙戊乙庚兩角又等題言此
兩角各兩旁之兩邉為互相視之邉者
甲乙與乙庚之比例若戊乙與乙丙也
論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙庚為一直線
其甲乙丙與戊乙庚既等角卽戊乙乙丙亦一直線
[006-38b]
一卷十/五增題次從辛丙己庚各引長之遇于
丁其辛乙乙己兩平行方形既等即辛
乙與乙丁兩形之比例若乙己與乙丁
也五卷/七而辛乙與乙丁俱在兩平行線之内等髙即
辛乙與乙丁兩形之比例若其底甲乙與乙庚也本/篇
一/依顯乙己與乙丁兩形亦若其底戊乙與乙丙也
則甲乙與乙庚亦若戊乙與乙丙也
後觧曰甲乙丙戊乙庚等角兩旁之各兩邉為互相
[006-39a]
視之邉者甲乙與乙庚若戊乙與乙丙也題言辛乙
乙己兩平行方形等
論曰依上論以兩等角相聨其甲乙與乙庚之比例
既若戊乙與乙丙而甲乙與乙庚兩底之比例若平
行等髙之辛乙與乙丁兩形本篇/一戊乙與乙丙兩底
之比例若平行等髙之乙己與乙丁兩形則辛乙與
乙丁若乙己與乙丁矣而辛乙乙己兩形安得不等
五卷/九
[006-39b]
第十五題二/支
相等兩三角形之一角等即等角旁之各兩邉互相視
兩三角形之一角等而等角旁之各兩邉互相視即
兩三角形等
先解曰甲乙丙乙丁戊兩角形等兩乙角又
等題言等角旁之各兩邉互相視者謂甲乙
與乙戊之比例若丁乙與乙丙也
論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙戊為
[006-40a]
一直線其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一
直線一卷十/五増題次作丙戊線相聨其甲乙丙乙丁戊兩
角形既等即甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與
乙丙戊也五卷/七夫甲乙丙與乙丙戊兩等髙形之比
例若其底甲乙與乙戊也而乙丁戊與乙丙戊兩等
髙形亦若其底丁乙與乙丙也則甲乙與乙戊若丁
乙與乙丙
後解曰兩乙角等而乙旁各兩邊甲乙與乙戊之比
[006-40b]
例若丁乙與乙丙題言甲乙丙乙丁戊兩角形等
論曰依前列兩形令等角旁兩邉各為一直線其甲
乙與乙戊之比例既若丁乙與乙丙而甲乙與乙戊
兩底又若其上甲乙丙乙丙戊兩等髙角形丁乙與
乙丙兩底又若其上乙丁戊乙丙戊兩等髙角形則
甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與乙丙戊矣而
甲乙丙與乙丁戊豈不相等五卷/九
第十六題二/支
[006-41a]
四直線為斷比例即首尾兩線矩内直角形與中兩線
矩内直角形等首尾兩線與中兩線兩矩内直角形
等即四線為斷比例
先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直線為
斷比例者謂甲乙與己庚若戊己與乙
丙也而甲乙丙丁為甲乙乙丙首尾兩
線矩内直角形戊己庚辛為戊己己庚
中兩線矩内直角形題言甲丙戊庚兩形等
[006-41b]
論曰兩形之乙與己既等為直角而甲乙與己庚之
比例若戊己與乙丙是乙己等角旁之各兩邉互相
視而甲丙戊庚兩直角形必等本篇/十四
後解曰甲丙戊庚兩直角形等題言四線之比例等
者謂甲乙與己庚若戊己與乙丙也
論曰甲丙戊庚兩形之乙與己既等為直角即等角
旁之各兩邉互相視而甲乙與己庚之比例若戊己
與乙丙也本篇/十四則四線為斷比例矣
[006-42a]
注曰若平行斜方形而等
角亦同此論如上圗
以上二題即筭家句股法三數筭法所頼也
第十七題二/支
三直線為連比例即首尾兩線矩内直角形與中線上
直角方形等首尾線矩内直角形與中線上直角方
形等即三線為連比例
先解曰甲乙戊己乙丙三線為連比例者甲乙與戊
[006-42b]
己若戊己與乙丙也而甲乙丙丁為甲
乙乙丙首尾線矩内直角形戊己
庚辛為戊己上直角方形題言甲丙戊
庚兩形等
論曰試作己庚線與戊己等即甲乙乙丙己庚戊己
為比例等等者謂甲乙與戊己若己庚與乙丙也則
戊己己庚矩内直角形即戊己上/直角方形與甲乙乙丙首尾
線矩内之甲丙形等矣本篇/十六
[006-43a]
後解曰甲丙直角形與戊庚直角方形等題言甲乙
與戊己之比例若戊己與乙丙
論曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙與戊己之比例
若己庚與乙丙也本篇/十六而己庚與乙丙亦若等己庚
之戊己與乙丙五卷/七則甲乙與戊己若戊己與乙丙
矣
注曰若平行斜方形而等
角亦同此論如上圗
[006-43b]
系凡直線上直角方形與他兩線所作矩内直角形
等即此線為他兩線之中率何者依上後論甲乙乙
丙矩内直角形與戊己上直角方形等即可推甲乙
與戊己若戊己與乙丙而戊己為甲乙乙丙之中率
故
第十八題
直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等
法曰如甲乙線上求作直線形與所設丙丁戊己庚
[006-44a]
形相似而體勢等先于設形任從一角向
各對角各作直線而分本形為若干角形
如上設形則從己向丙向丁作兩直線而
分為丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也
次于元線上作乙甲壬甲乙壬兩角與丁丙己丙丁
己兩角各等其甲壬乙壬兩線遇于壬即甲壬乙與
丙己丁兩角亦等而甲壬乙與丙己丁兩形為等角
形矣一卷/卅二次作乙壬辛壬乙辛兩角與丁己戊己丁
[006-44b]
戊兩角各等其壬辛乙辛兩線遇于辛即乙辛壬與
丁戊己兩角亦等而乙壬辛與丁己戊兩形為等角
形矣末依上作甲壬癸與丙己庚亦為等角形即甲
乙辛壬癸與丙丁戊己庚兩形等角則相似而體勢
等凡設多角形俱倣此
論曰壬甲乙角與己丙丁角既等而壬甲癸角與己
丙庚角又等即乙甲癸全角與丁丙庚全角等依顯
甲乙辛與丙丁戊兩全角亦等而其餘各全角俱等
[006-45a]
則甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚為等角形矣又甲乙
與乙壬之比例既若丙丁與丁己而乙壬
與乙辛亦若丁己與丁戊本篇/四平之即甲
乙與乙辛亦若丙丁與丁戊也五卷/廿二則甲
乙辛丙丁戊兩等角旁各兩邊之比例等
也而辛戊兩等角旁各兩邊之比例亦等也兩形等角/即等角旁
各兩邊之比例/等見本篇四又辛壬與壬乙之比例既若戊己與己
丁而壬乙與壬甲亦若己丁與己丙壬甲與壬癸亦若
[006-45b]
己丙與己庚平之即辛壬與壬癸亦若戊己與巳庚
也五卷/廿二則辛壬癸戊己庚兩等角旁各兩邊之比例
等也依顯餘角俱如是則兩形為等角形而各等角
旁各兩邊之比例俱等是兩形相似而體勢等
注曰凡線上形相當之各角等即形相似
而體勢等如上甲乙丙丁戊己兩角形其
乙丙戊己線上之乙角丙角與戊角己角
相當相等者是也若兩形在乙丙丁戊兩
[006-46a]
線上則雖相似而體勢不等又如上甲
丙戊庚兩直角形其甲丁與丁丙之比
例若戊辛與辛庚而餘邉之比例俱等
亦形相似而體勢等若甲丙壬庚兩直
角形雖角旁比例等而在丁丙庚
辛線上不相當則體勢不等
増作本題别有一簡法如設甲乙
丙丁戊己直線形求于庚線上作
[006-46b]
直線形與相似而體勢等先于甲角旁之甲乙甲
己兩線任引出之為甲辛甲丑次從甲向各角各
任作直線為甲壬甲癸甲子次于甲乙線上截取
甲辛與庚線末從辛作辛壬線與乙丙平行作壬
癸與丙丁癸子與丁戊子丑與戊己各平行即所
求
論曰兩形之甲角既同甲乙丙甲己戊兩角與甲
辛壬甲丑子兩角各等一卷/廿九而甲丙乙甲丙丁兩
[006-47a]
角與甲壬辛甲壬癸兩角各等即乙丙丁與辛壬
癸兩全角亦等依顯丙丁戊丁戊己與壬癸子癸
子丑各全角各等則甲乙丙丁戊己與甲辛壬癸
子丑兩直線形為等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲
癸子甲子丑四三角形與甲乙丙甲丙丁甲丁戊
甲戊己四三角形各相似本篇四/之系即甲乙與乙丙
之比例若甲辛與辛壬也而乙丙與丙甲若辛壬
與壬甲也丙甲與丙丁若壬甲與壬癸也平之則
[006-47b]
乙丙與丙丁亦若辛壬與壬癸也依顯餘邉俱如
是則兩形相似而體勢等也
第十九題
相似三角形之比例為其相似邉再加之比例
解曰如甲乙丙丁戊己兩角形等角其乙與戊丙與
己相當之角各等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與
戊己題言兩形之比例為乙丙與戊己兩邉再加之
比例
[006-48a]
先論曰若兩角形等即乙丙與戊己兩邉
亦等而各兩等邉為相同之比例即兩形
亦相同之比例就令作再加之比例亦未
免為相同之比例則相等之兩形即可為
兩等邉再加之比例矣
後論曰若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙線上截取
乙庚為連比例之第三率令乙丙與戊己之比例若
戊己與乙庚也本篇/十一次作甲庚直線其甲乙與乙丙
[006-48b]
之比例若丁戊與戊己更之即甲乙與丁
戊若乙丙與戊己也而乙丙與戊己若戊
己與乙庚則甲乙與丁戊若戊己與乙庚
也夫甲乙庚與丁戊己兩角形有乙戊兩
等角而各兩旁之兩邉又互相視本篇/十五即兩形等則
甲乙丙形與丁戊己形之比例若甲乙丙形與甲乙
庚形矣五卷/七又甲乙丙與甲乙庚兩等髙角形之比
例若乙丙底與乙庚底本篇/一則甲乙丙形與丁戊己
[006-49a]
形之比例亦若乙丙底與乙庚底也既乙
丙戊己乙庚三線為連比例則一乙丙與
三乙庚之比例為一乙丙與二戊己再加
之比例矣是甲乙丙與丁戊己兩形之比
例為乙丙與戊己再加之比例也
系依本題可顯凡三直線為連比例即第一線
上角形與第二線上角形之比例若第一線與
第三線之比例如上甲乙丙三直線為連比例
[006-49b]
其甲與乙上各有角形相似而體勢等則一甲線與
三丙線之比例若甲形與乙形也何者甲線與丙線
之比例為甲線與乙線再加之比例而甲形與乙形
之比例亦甲線與乙線再加之比例則甲形與乙形
之比例若甲線與丙線矣依顯二乙上角形與三丙
上角形相似而體勢等則二乙形與三丙形之比例若
一甲線與三丙線
第二十題三/支
[006-50a]
以三角形分相似之多邉直線形則分數必等而相當
之各三角形各相似其各相當兩三角形之比例若
兩元形之比例其元形之比例為兩相似邉再加之
比例
先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸兩多邉直線
形其乙甲戊庚己癸兩角等餘相當之各角俱等而
各等角旁各兩邉之比例各等題先言各
以角形分之其角形之分數必等而相當
[006-50b]
之各角形各相似
論曰試從乙甲戊庚己癸兩角向各對角
俱作直線為甲丙甲丁己辛己壬其元形
既相似即角數等而所分角形之數亦等又乙角既
與庚角等而角旁各兩邉之比例亦等即甲乙丙與
己庚辛兩角形必相似本篇/六乙甲丙與庚己辛兩角
甲丙乙與己辛庚兩角各等而各等角旁各兩邉之
比例各等本篇/四依顯甲戊丁己癸壬兩角形亦相似
[006-51a]
又甲丙與丙乙之比例既若己辛與辛庚而丙乙與
丙丁若辛庚與辛壬兩元形/相似故平之即甲丙與丙丁若
己辛與辛壬也五卷/廿二又乙丙丁角既與庚辛壬角等
而各減一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙
丁角與己辛壬角必等則甲丙丁與己辛壬兩角形
亦等角形亦相似矣本篇/六
次解曰題又言各相當角形之比例若兩元形之比
例
[006-51b]
論曰甲乙丙己庚辛兩角形既相似即兩形之比例
為甲丙己辛兩相似邉再加之比例本篇/十九依顯甲丙
丁己辛壬之比例亦為甲丙己辛再加之比例則甲
乙丙與己庚辛兩角形之比例若甲丙丁
與己辛壬兩角形之比例依顯甲丁戊與
己壬癸之比例亦若甲丙丁與己辛壬之
比例則此形中諸角形之比例若彼形中
諸角形之比例此諸形為前率彼諸形為
[006-52a]
後率而一前與一後之比例又若并前與并後之比
例五卷/十二即此一角形與相當彼一角形之比例若此
元形與彼元形之比例矣
後解曰題又言兩多邉元形之比例為兩相似邉再
加之比例
論曰甲乙丙與己庚辛兩角形之比例既若甲乙丙
丁戊與己庚辛壬癸兩多邉形之比例而甲乙丙與
己庚辛兩形之比例為甲乙己庚兩相似邉再加之
[006-52b]
比例本篇/十九則兩元形亦為甲乙己庚再加之比例
増題此直線倍大于彼直線則此線上方形與彼
線上方形為四倍大之比例若此方形與彼方形
為四倍大之比例則此方形邉與彼方形邉為二
倍大之比例
先解曰甲線倍乙線題言甲上方形與乙
上方形為四倍大之比例
論曰凡直角方形俱相似本卷界/說一依本題
[006-53a]
論則甲方形與乙方形之比例為甲線與乙線再
加之比例甲線與乙線既為倍大之比例則兩方
形為四倍大之比例矣何者四倍大之比
例為二倍大再加之比例若一二四為連
比例故也
後解曰若甲上方形與乙上方形為四倍大之比
例題言甲邉與乙邉為二倍大之比例
論曰兩方形四倍大之比例既為兩邉再加之比
[006-53b]
例則甲邉二倍大于乙邉
系依此題可顯三直線為連比例如甲乙
丙則第一線上多邉形與第二線上相似
多邉形之比例若第一線與第三線之比
例
此系與本篇第十九題之系同論
第二十一題
兩直線形各與他直線形相似則自相似
[006-54a]
解曰甲乙丙丁戊己兩直線形各與庚辛壬
形相似題言兩形亦自相似
論曰甲乙丙形之各角既與庚辛壬形之各
角等而丁戊己形之各角亦與庚辛壬形之
各角等即兩形之各角自相等公/論兩形之各
角既等則甲乙丙形與庚辛壬形各等角旁
各邉之比例等五卷/十一而丁戊己形與庚壬辛
形各等角旁各邉之比例亦等也是甲乙丙
[006-54b]
形與丁戊己形各等角旁各邉之比例亦等也各角
既等各邉之比例又等即兩形定相似矣本卷界/說一
第二十二題二/支
四直線為斷比例則兩比例線上各任作自相似之直
線形亦為斷比例兩比例線上各任作自相似之直
線形為斷比例則四直線為斷比例
先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直線為斷比例者甲
乙與丙丁若戊己與庚辛也今于甲乙丙丁上各任
[006-55a]
作直線形自相似如甲乙壬丙丁癸
于戊己庚辛上各任作直線形自相
似如戊己丑子庚辛夘寅題言四形
亦為斷比例者謂甲乙壬與丙丁癸
若戊丑與庚夘也
論曰試以甲乙丙丁兩線求其連比
例之末率線為辰本篇/十一次以戊己庚辛兩線求其連
比例之末率線為己平之即甲乙與辰之比例若戊
[006-55b]
己與己也五卷/廿二夫甲乙壬與丙丁癸兩相似形之比
例若甲乙線與辰線本篇十九/及廿之系而戊丑與庚夘兩相
似形之比例若戊己線與己線則甲乙
壬與丙丁癸之比例亦若戊丑與庚夘
矣五卷/十一
後解曰如前四形為斷比例題言甲乙
丙丁戊己庚辛四線亦為斷比例
論曰試以甲乙丙丁戊己三線求其斷
[006-56a]
比例之末率線為午未本篇/十二次于午未上作直線形
與戊丑相似而體勢等為午未酉申本篇/十八午酉與戊
丑相似即與庚夘亦相似而甲乙與丙丁之比例既
若戊己與午未依上論即甲乙壬與丙丁癸兩形之
比例若戊丑與午酉矣夫甲乙壬與丙丁癸之比例
元若戊丑與庚夘則戊丑與午酉亦若戊丑與庚夘
也五卷/十一而午酉與庚夘等也五卷/九午酉與庚夘既等
又相似而體勢等即兩形必在等線之上而庚辛與午
[006-56b]
未必等見下方/補論則戊己與午未之比例若戊己與庚
辛也而戊己與午未元若甲乙與丙丁則甲乙與丙
丁亦若戊己與庚辛也
補論曰庚夘午酉兩直線形相等相似而體勢等即
在等線之上者何也盖庚辛與午未若云不等者或
言庚辛大于午未也則辛夘宜亦大于未酉矣五卷/十四
而庚夘形宜亦大于午酉形矣何先設兩形等也言
小倣此補論者前此未著而論中無他/論可徴故别作一論以足未備
[006-57a]
又補論曰甲乙丙丁戊己兩直線形相等相
似而體勢等即相似邉如甲乙與丁戊必等
者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也
即令以甲乙丁戊兩線求其連比例之末率
線為庚本篇/十一其甲乙與丁戊既若丁戊與庚
而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大
于庚矣然甲乙與庚之比例若甲乙丙形與丁戊己
形本篇十九/及廿之系甲乙既大于庚則甲乙丙宜大于丁戊
[006-57b]
己何先設兩形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小
倣此
増論曰本題别有簡論今先顯四線之比例等而甲
乙壬與丙丁癸兩形之比例若戊丑
與庚夘兩形者盖甲乙與丙丁之比
例若戊己與庚辛而甲乙壬與丙丁
癸之比例為甲乙與丙丁再加之比
例本篇/十九戊丑與庚卯之比例亦為戊己與庚辛再加
[006-58a]
之比例是甲乙壬與丙丁癸若戊丑與庚夘也
次増論曰今顯四形之比例等而甲乙與丙丁兩
線之比例若戊己與庚辛兩線者盖甲乙壬與丙
丁癸之比例若戊丑與庚夘而甲乙壬與丙丁癸
之比例為甲乙與丙丁再加之比例若戊丑與庚
夘為戊己與庚辛再加之比例本篇/十九則甲乙與丙
丁之比例若戊己與庚辛矣
第二十三題
[006-58b]
等角兩平行方形之比例以兩形之各兩邊兩比例相結
解曰甲丙丙己兩平行方形之乙丙
丁戊丙庚兩角等題言兩形之比例以
各等角旁各兩邉之比例相結者謂兩
比例之前率在此形兩比例之後率在
彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙
與丙戊相結也或以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相
結也
[006-59a]
論曰試以兩等相聨于丙而乙丙丙庚作一直線其
乙丙丁角既與戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直線
一卷十/五増次于甲丁己庚各引長之遇于辛次任作一
壬線次以乙丙丙庚壬三線求其斷比例之末率線
為癸本篇/十二末以丁丙丙戊癸三線求其斷比例之末
率線為子其乙丙與丙庚兩底之比例既若甲丙與
丙辛兩形本篇/一而乙丙與丙庚亦若壬與癸則甲丙
與丙辛亦若壬與癸也五卷/十一依顯丙辛與丙己亦若
[006-59b]
癸與子也平之即甲丙與丙己若壬與子也五卷/廿二夫
壬與子之比例元以壬與癸癸與子兩比例相結本/卷
界說/五而壬與癸癸與子元若乙丙與丙庚丁丙與丙
戊則甲丙與丙己之比例以乙丙與丙
庚偕丁丙與丙戊兩比例相結也其以
乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結則先
以乙丙丙戊為一直線可依上推顯
後注曰此不同理之比例也兩形不相似本篇/十九又
[006-60a]
不相等之形也等角旁各兩邉不互相視本篇/十四故
必用相結之理必湏借象之術其法假虚形實所
以通比例之窮也以數明之乙丙六十丙庚二十
壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子
二即甲丙之實二千四百與丙己之實一千六百
若壬三與子二為等帶半之比例也其曰壬與癸
癸與子兩比例相結者壬三倍大于癸癸反二倍
大于子反二倍者癸/得子之半三乗半得一五則壬與子為
[006-60b]
等帶半之比例也其曰借象者乙丙與丙庚丁丙與
丙戊二比例既不同理又異中率故借壬與癸癸與
子同中率而不同理之二比例以為象本卷界/說五初作
壬與癸若乙丙與丙庚次作癸與子若丁丙與丙戊
本篇/十二則癸為前率之後又為後率之前是為壬子首
尾兩率之樞紐令相象之丙庚丁丙亦化兩率為一
率為乙丙丙戊首尾兩率之樞紐因以兩比例相
結為首尾兩率之比例雖不能使三率為同理之
[006-61a]
兩比例而合為一連比例亦能使兩不同理之比
例首尾合而為一比例矣自三以上可倣此相借
以至無窮也本卷界/說五
第二十四題
平行線方形之兩角線方形自相似亦與全形相似
解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線
任作戊己庚辛兩線與丁丙乙丙平行而
與對角線交相遇于壬題言戊庚己辛兩
[006-61b]
角線方形自相似亦與全形相似
論曰試依一卷廿九題推顯兩角線形等角又庚甲
戊與乙甲丁同角而甲戊壬外角與甲丁丙内角等
甲庚壬外角與甲乙丙内角等戊壬庚外角與乙己
壬内角等乙己壬外角又與乙丙丁内角等則戊庚
形與甲丙全形等角矣依顯己辛形亦與全形等角
矣今欲顯兩形與全形相似者試觀甲庚壬與甲乙
丙兩角形甲戊壬與甲丁丙兩角形既各等角一卷/廿九
[006-62a]
可推仍見本/篇四之系即甲乙與乙丙之比例若甲庚與庚壬
而庚乙兩角旁各兩邊之比例等也六卷/四又乙丙與
丙甲之比例若庚壬與壬甲丙甲與丙丁之比例若
壬甲與壬戊平之即乙丙與丙丁若庚壬與壬戊也五卷/廿二
則乙丙丁庚壬戊兩角旁各兩邊之比例等也依顯各
角旁各両邊之比例皆等是兩角線方形自相似亦
與全形相似
第二十五題
[006-62b]
兩直線形求作他直線形與一形相似與一形相等
法曰甲乙兩直線形求作他直線形與
甲相似與乙相等先于求相似之甲形
任取一邊如丙丁于丙丁邊上作平行
方形與甲等為丙戊一卷四/四四五次于丁戊
邊上作平行方形與乙等而戊丁庚角
與丁丙己角等為丁辛其丙丁庚己戊辛俱為直線
也一卷四/五可推次作一壬癸線為丙丁丁庚之中率本篇/十三
[006-63a]
末于壬癸上作子形與甲相似而體勢等本篇/十八即子
形與乙等
論曰丙丁壬癸丁庚三線既為連比例即依本篇二
十題之系可顯一丙丁與三丁庚之比例若一丙丁
上之甲與二壬癸上之子兩形相似而體勢等者之
比例也又丙丁與丁庚之比例若丙戊與丁辛兩等
髙平行方形之比例也本篇/一則丙戊與丁辛若甲與
子矣夫丙戊與丁辛元若甲與乙也丙戊與甲等/丁辛與乙等則
[006-63b]
甲與乙之比例若甲與子也五卷/十一而乙形與子形等
矣五卷/九
第二十六題
平行方形之内減一平行方形其減形與元形相似而
體勢等又一角同則減形必依元形之對角線
解曰乙丁平行方形之内減戊庚平行
方形元形減形相似而體勢等又戊甲
庚同角題言戊庚形必依乙丁形之對
[006-64a]
角線
論曰試作甲己己丙對角兩線若兩線
為一直線即顯戊庚形依甲丙對角線
矣如云甲己己丙非一直線令别作元
形之對角線而分戊己邉于辛即作辛壬線與己庚
平行其乙丁戊壬兩平行方形既同依甲辛丙一直
對角線則宜相似而體勢等矣本篇/廿四是乙甲與甲丁
之比例宜若戊甲與甲壬也夫乙甲與甲丁元若戊
[006-64b]
甲與甲庚元設形相似/而體勢等今若所云則戊甲與甲庚亦
若戊甲與甲壬矣五卷/十一而甲壬分與甲庚全亦等矣
五卷/九可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬與
己戊平行依前論駁之
第二十七題
凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線
上之闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕
依形必大于此有闕依形
[006-65a]
解曰甲乙線平分于丙于半線丙乙上任
作丙丁戊乙平行方形其對角線乙丁次
作甲乙戊辛滿元線平行方形即甲丁為
甲丙半線上之有闕依形丙戊為丙乙半
線上之闕形本卷界/說六此兩形相等相似勢體又等題
言甲乙線上凡作有闕依形不滿線者其闕形與丙
戊相似而體勢等即甲丙半線上之甲丁有闕依形
必大于此有闕依形
[006-65b]
論曰試于乙丁對角線上任取一㸃為庚從庚作己
庚壬線庚癸線與甲乙乙戊各平行即得甲庚為依
甲乙元線之有闕平行方形而癸壬為其闕形此癸
壬闕形既依乙丁對角線則與丙戊闕形相似而體
勢等本篇/廿四夫丙庚庚戊兩餘方形既等一卷/四三若每加
一癸壬角線方形即丙壬與癸戊亦等也又丙壬與
丙己俱在兩平行線内底等即兩形等一卷/三六而丙己
與癸戊兩形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方
[006-66a]
形與子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬
折形之外尚有庚丁形則丙戊形必大于子丑磬折
形而等丙戊之甲丁形丙戊甲丁同在兩平行線/内又等底故見一卷三六必
大于等磬折形之甲庚形矣依顯凡依乙丁對角線
作形與丙戊相形者其有闕依形俱小于
甲丁也為其必有庚丁之較故也
又論甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬兩平
行方形同在兩平行線内又底等即兩形
[006-66b]
等一卷/卅六而庚戊為丁壬之分則丁壬大于庚戊較餘
一庚丁形其大于丙庚亦如之庚戊丙庚兩餘方形/等故見一卷四三
即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦較餘一庚丁形
也次每加一丙己形則甲丁必大于甲庚矣
又解曰若庚㸃在丙戊形外即引乙丁對
角線至庚從庚作辛丑線與癸戊平行次
引甲癸線至辛引乙戊線至丑而與辛丑
線遇于辛于丑末作庚己線與辛甲平行
[006-67a]
即得甲庚為依甲乙元線之有闕平行方形又得己
丑與丙戊相似而體勢等者兩形同依乙庚對角/線故見本篇廿四為
其闕形也題言甲丁形亦大于甲庚形
論曰試于丙丁線引出之至子即辛子子丑兩線等
一卷/卅四而辛丁丁丑兩形亦等一卷/卅六其丁丑己丁兩餘
方形既等即己丁與辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既
較餘一庚丁形則己丁之大于辛壬亦較餘一庚丁
形也此兩率者每加一甲壬平行方形則甲丁大于
[006-67b]
甲庚者亦較餘一庚丁形矣依顯凡乙丁對角線引
出丙戊形外依而作形與丙戊相似者其有闕依形
俱小于甲丁也為其必有庚丁之較故也
第二十八題
一直線求作依線之有闕平行方形與所設直線形等
而其闕形與所設平行方形相似其所設直線形不
大于半線上所作平行方形與所設平行方形相似
者
[006-68a]
法曰甲乙線求作依線之有闕平行方形與所設直
線形丙等而其闕形與所設平行方形丁相似先以
甲乙線兩平分于戊次于戊乙半線
上作戊己庚乙平行方形與丁相似
而體勢等本篇/十八次作甲辛庚乙滿元
線平行方形若甲己平行方形與丙
等者本篇/廿五即得所求矣若甲己大于
丙者題言甲己小即不/可作見本篇廿七即等甲己之
[006-68b]
戊庚亦大于丙也則尋戊庚之大于丙幾何假令其
較為壬兩直線形不等相減之/較法見一卷四五増即作癸子丑寅平行
方形與壬等又與戊庚形相似而體勢本篇/廿五則戊庚
平行方形與丙直線形及癸丑平行方形并等而戊
庚必大于癸丑矣夫戊庚與癸丑既相似即戊己與巳
庚兩邊之比例若寅癸與癸子也而戊庚既大于癸
丑即戊己己庚兩邉亦大于寅癸癸子也次截取己巳
己夘與癸子癸寅等而作己己辰夘平行方形必與
[006-69a]
癸丑形相等相似而體勢等矣又夘
己形既與戊庚相似而體勢等必同
依乙己對角線也本篇/廿六次于己辰線
引出抵甲乙元線于夘辰兩界各引
出作午未線即甲辰為依甲乙線之
有闕平行方形與丙等而其闕形乙
辰與戊庚相似本篇/廿四即亦與丁相似
論曰辰庚與辰戊兩餘方形既等一卷/四三每加一乙辰
[006-69b]
角線方形即乙己與戊午亦等而與等戊午之戊未
亦等戊午戊未同在平行線内/又底等故見一卷卅六乙己與戊未既等又
每加一申辰方形即甲辰平行方形與申酉罄折形
亦等矣夫申酉罄折形為戊庚形之分而戊庚與丙
及癸丑等戊庚所截去之夘己又與癸丑等則申酉
罄折形與丙等也而甲辰亦與丙等也
第二十九題
一直線求作依線之帶餘平行方形與所設直線形等
[006-70a]
而其餘形與所設平行方形相似
法曰甲乙線求作依線之帶餘平行
方形與所設直線形丙等而其餘形
與所設平行方形丁相似先以甲乙
線兩平分于戊次于戊乙半線上作
戊己庚乙平行方形與丁相似而體
勢等本篇/十八次别作一平行方形與丙及
戊庚并等為辛二卷/十四次别作一平行方形與辛等又
[006-70b]
與丁相似而體勢等為壬癸子丑本篇/廿五其丑癸既與
辛等即大于戊庚而丑癸既與戊庚相似即丑壬與
壬癸兩邉之比例若戊己與己庚也而丑壬與壬癸
兩線必大於戊巳與巳庚也若等或小即丑/癸不大於戊庚次於巳
戊引之至卯與壬丑等於巳庚引之至寅與壬癸等
而作卯寅平行方形即卯寅與丑癸同依辰巳對角
線而等本篇/廿六又與戊庚相似而體勢等矣次于甲乙
引之至巳庚乙引之至午於午卯引之至未末作甲
[006-71a]
未線與己夘平行即得甲辰帶餘平行方形依甲乙
線與丙等而己午為其餘形與戊庚形相似而體勢
等本篇/廿四即與丁相似而體勢等
論曰甲夘戊午兩形既等一卷/卅六戊午與乙寅兩餘方
形又等一卷/四三則甲夘與乙寅亦等矣而每加一夘己
形則甲辰平行方形與戊辰寅罄折形亦等矣夫戊
辰寅罄折形元與丙等丑癸即夘寅與丙及戊庚并/等每减一戊庚即罄折形與
丙/等即甲辰亦與丙等
[006-71b]
第三十題
一直線求作理分中末線
法曰甲乙線求理分中末先于元線作甲
乙丙丁直角方形次依丁甲邉作丁己帶
餘平行方形與甲丙直角方形等而甲己為其餘形
又與甲丙形相似本篇/廿九即甲己亦直角方形矣惟直/角方
形恒與直角/方形相似則戊己線分甲乙于辛為理分中末線
也本卷界/說三
[006-72a]
論曰丁己與甲丙兩形既等每減一甲戊形即所存
甲己辛丙兩形亦等矣此兩形之甲辛己戊辛乙兩
角既等兩皆直/角故即兩角旁之各兩邉線為互相視之
線也本篇/十四而等戊辛之甲乙線與等辛己之甲辛線
其為比例若甲辛與辛乙也是甲辛乙線為理分中
末也
又論曰甲乙甲辛辛乙凡三線而第一第三矩内之
辛丙直角形與第二甲辛上直角方形等即三線為
[006-72b]
連比例本篇/十七而甲乙與甲辛若甲辛與辛乙矣
又法曰甲乙線求分于丙而甲乙偕丙乙矩内
直角形與甲丙上直角方形等二卷/十一即甲乙之
分于丙為理分中末線盖甲乙甲丙丙乙三線
為連比例故本篇/廿七
第三十一題
三邉直角形之對直角邉上一形與直角旁邉上兩形
若相似而體勢等則一形與兩形并等
[006-73a]
解曰甲乙丙三邉直角形乙甲丙為直
角于乙丙上任作直線形為乙丙丁戊
次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙
壬辛兩形與乙丁形相似而體勢等本/篇
十/八題言乙丁形與乙庚丙辛兩形并等
論曰試從甲作甲癸為乙丙之垂線依本篇第八題
之系即乙丙與丙甲兩邉之比例若丙甲與丙癸兩
邉則一乙丙邉與三丙癸邉之比例若一乙丙上之
[006-73b]
乙丁形與二甲丙上之丙辛形也本篇十九或/二十之系反之
則丙癸與乙丙兩邉之比例若丙辛與乙丁兩形也
依顯乙癸與乙丙兩邉之比例若乙庚與乙丁兩形
也乙丙乙甲乙癸三邉為連/比例故見本篇八之系夫一丙癸與二乙丙之
比例既若三丙辛與四乙丁而五乙癸與二乙丙之
比例亦若六乙庚與四乙丁則一丙癸五乙癸并與
二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并與四乙丁也既
一丙癸五乙癸并與二乙丙等則三丙辛六乙庚并
[006-74a]
與四乙丁亦等五卷/廿四
又論曰甲乙丙與癸甲丙兩角形既相
似而甲乙丙角形其乙丙與丙甲之比
例若癸甲丙角形之丙甲與丙癸本篇/八
即乙丙與丙甲兩邉相似則癸甲丙與
甲乙丙兩角形之比例為丙甲與乙丙再加之比例
本篇/十九而丙辛與乙丁兩形之比例亦為丙甲與乙丙
再加之比例本篇十/九二十則癸甲丙與甲乙丙兩角形之
[006-74b]
比例若丙辛與乙丁兩形也五卷/十一依顯癸乙甲與甲
乙丙兩角形之比例若乙庚與乙丁兩形也是一甲
癸丙與二甲乙丙之比例若三丙辛與四乙丁也而
五癸乙甲與二甲乙丙之比例若六乙庚與四乙丁
也即一甲癸丙五癸乙甲并與二甲乙丙之比例若
三丙辛六乙庚并與四乙丁也五卷/廿四既一甲癸丙五
癸乙甲并與二甲乙丙等則三丙辛六乙庚并與四
乙丁亦等
[006-75a]
又論曰一甲丙上直角方形與二乙丙上直角方形
之比例若三丙辛形與四乙丁形此兩率之比例皆/甲丙與乙丙再加
之比例見本/篇十九二十又五甲乙上直角方形與二乙丙上直
角方形之比例若六乙庚形與四乙丁形即一甲丙
上五甲乙上兩直角方形并與二乙丙上直角方形
之比例若三丙辛六乙庚兩形并與四
乙丁形五卷/廿四旣甲丙甲乙上兩直角方
形并與乙丙上直角方形等一卷/四十則丙
[006-75b]
辛乙庚兩形并與乙丁形等
増題角形之一邉上一形與餘兩邉上兩形相似
而體勢等者其一形與兩形并等則餘兩邉内角
必直角
解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直線形與甲
乙甲丙上兩形相似而體勢等其一形與兩形并
等題言乙甲丙必直角
論曰試作甲丁為甲丙之垂線與甲乙等次作丁
[006-76a]
丙線其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形與乙
丙上形相似其丁丙上形與丁甲甲丙上相似而
體勢等之兩形并等矣本/題又甲丁與甲乙等其上
兩形亦等即丁丙上形與甲乙甲丙上兩形并亦
等而乙丙上形元與甲乙甲丙上兩形并等則丁
丙乙丙上兩形亦等而丁丙與乙丙兩線亦等本/篇
廿二/補論夫甲丙丁角形之甲丁與甲乙丙角形之甲
乙等甲丙同邉其底乙丙丁丙又等即丁甲丙與
[006-76b]
乙甲丙兩角必等丁甲丙既直角則乙甲丙亦直
角
第三十二題
兩三角形此形之兩邉與彼形之兩邉相似而平置兩
形成一外角若各相似之各兩邉各平行則
其餘各一邉相聨為一直線
解曰甲乙丙丁丙戊兩角形其甲乙甲丙邉
與丁丙丁戊邉相似者謂甲乙與甲丙之比例若丁
[006-77a]
丙與丁戊也試平置兩形令相切成一甲丙丁外角
而甲乙與丁丙甲丙與丁戌各相似之兩邉各平行
題言乙丙丙戊為一直線
論曰甲乙與丁丙既平行即甲角與内相對之甲丙
丁等一卷/廿九依顯丁角亦與内相對之甲丙丁等則甲
丁兩角等而甲乙丙與丁丙戊兩角形之甲丁兩角
旁各兩邉比例又等即兩形為等角形而乙角與丁
丙戊角必等本篇/六次于乙角加甲角于丁丙戊角加
[006-77b]
等甲之甲丙丁角即乙甲兩角并與等甲丙丁丁丙
戊兩角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲
乙丙形之内三角并與甲丙乙甲丙戊兩角并等夫
甲乙丙形之内三角等兩直角一卷/卅二則甲丙乙甲丙
戊并亦等兩直角而為一直線一卷/十四
第三十三題三/支
等圜之乗圜分角或在心或在界其各相當兩乗圜角
之比例皆若所乗兩圜分之比例而兩分圜形之比
[006-78a]
例亦若所乗兩圜分之比例
解曰甲乙丙戊己庚兩圜等其心為丁為
辛兩圜各任割一圜分為乙丙為己庚其
乗圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界
者為乙甲丙己戊庚題先言乙丙與己庚
兩圜分之比例若乙丁丙與己辛庚兩角
次言乙甲丙與己戊庚兩角之比例若乙
丙與己庚兩圜分後言乙丁丁丙兩腰偕乙丙圜分
[006-78b]
内乙丁丙分圜形與己辛辛庚兩腰偕己庚圜分内
己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚兩圜分
先論曰試作乙丙己庚兩線次作丙壬合圜線與乙
丙等作庚癸癸子兩合圜線各與己庚等四卷/一其丙
壬既與乙丙等即乙丙與丙壬兩圜分亦等三卷/十八而
乙丁丙與丙丁壬兩角亦等三卷/廿七依顯己庚庚癸癸
子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等則乙丙
壬圜分倍乙丙圜分之數如在心乙丁壬角或乙丁
[006-79a]
壬内地倍乙丁丙角之數而己庚癸子圜分倍己庚
圜分之數如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛
庚角之數何者乙丁壬己辛子兩角或兩地内之分
數與乙丙壬己庚癸子兩圜分内之分數各等故也
然則乙丁壬角與地若等于己辛子角與地即乙丙
壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦
大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬
三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍
[006-79b]
之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等
大小皆同類也則一乙丙與二己庚之比
例若三乙丁丙與四己辛庚也五卷界/說六
次論曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦
倍大于己戊庚三卷/二十即乙丁丙與己辛庚兩角之比
例若乙甲丙與己戊庚兩角矣五卷/廿五則乙甲丙與己
戊庚在界乗圜之兩角亦若乙丙與己庚兩圜分也
五卷/十一若作甲壬戊癸直線亦可用先論推顯用地當/角說見
[006-80a]
三卷廿/増題
後論曰試于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜
分内作丙寅壬角此兩角所乗之乙甲壬丙與丙乙
甲壬兩圜分既等三卷/廿七即兩角亦等而乙丑丙與丙
寅壬兩圜小分亦相似亦相等乙丙與丙壬兩合圜/線等故見三卷廿四
次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙
丁壬兩分圜形等一卷/四則乙丁壬分圜形倍乙丁丙
分圜形之數如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之數依顯
[006-80b]
己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之數亦如己庚癸
子圜分倍己庚圜分之數然則乙丙壬圜分若等于
己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等
于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小
矣五卷界/說六是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜
分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形
偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛
子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小
[006-81a]
皆同類也則一乙丙圜分與二己庚圜分之比例若
三乙丁丙分圜形與四己辛庚分圜形也五卷界/說六
一系在圜心兩角之比例皆若兩分圜形
二系在圜心角與四直角之比例若圜心角所乗圜
分與全圜界四直角與在圜心角之比例若全圜界
與圜心角所乗之圜分
丁先生言歐几里得六卷中多研察有比例之線
竟不及有比例之靣故因其義類増益數題用補
[006-81b]
闕如左云竇復増一題竊弁于首仍以題㫖從先
生舊題隨類附演以廣其用俱稱今者以别于先
生舊増也
今増題圜與圜為其徑與徑再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己兩圜其徑甲丙丁己題言甲
乙丙與丁戊己為甲丙與丁
己再加之比例
論曰如云不然當言甲乙丙
[006-82a]
圜與小于丁戊己之庚辛壬
圜或大于丁戊己之癸子丑
圜為甲丙與丁己再加之比
例也五卷界說/二十増若言庚辛壬是者試置庚辛壬圜
于丁戊己圜内為同心次于外圜内作丁亥戊未
己申酉戌多邉切形其多邉為偶數又等而全不
至内圜也四卷十/六補題次于甲乙丙圜内作甲午乙寅
丙夘辰己多邉切形與丁戊己圜内切形相似四/卷
[006-82b]
十六補/題可推其兩圜内兩徑上有丁亥戊未己與甲午
乙寅丙相似之兩多邉形則為兩相似邉再加之
比例也本篇/二十而甲丙與丁己兩線為兩形之相似
邉據如彼論即甲午乙寅丙與丁亥戊未己兩形
甲乙丙與庚辛壬兩圜同為甲丙與丁己兩線再
加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将
庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎則分大于
全乎若言癸子丑是者亦如前論甲午乙寅丙與
[006-83a]
丁亥戊未己兩形甲乙丙與癸子丑兩圜同為甲
丙與丁己兩線再加之比例也反之即癸子丑與
甲乙丙兩圜之比例為丁己
與甲丙兩徑再加之比例也
設他圜乾兊離令癸子丑與
甲乙丙之比例若丁戊己與
乾兊離五卷界/說増則丁戊己與
乾兊離兩圜亦宜為丁己與
[006-83b]
甲丙兩徑再加之比例也癸子丑既大于丁戊己
即甲乙丙亦大于乾兊離而丁戊己與小于甲乙
丙之乾兊離兩圜能為丁己與甲丙兩徑再加之
比例乎前己駁有兩圜其第一與他圜之小于/第二者不得為元圜兩徑再加之比例夫
甲乙丙不得與圜之大于丁戊己者小于丁戊己
者為甲丙與丁己再加之比例則止有元兩圜為
其元兩徑再加之比例
一系全圜與全圜半圜與半圜相當分與相當分
[006-84a]
任相與為比例皆等葢諸比例皆兩徑再加之比例故
二系三邊直角形對直角邊為徑所作圜與
餘兩邉為徑所作兩圜并等半圜與兩半圜并等
圜分與相似兩圜分并等本篇卅/一可推
三系三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比
例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求
各圜之相與為比例者本篇十九二/十之系可推
一増題直線形求減所命分其所減所存各作形
[006-84b]
與所設形相似而體勢等
法曰如甲直線形求減三分之一其所
減所存各作形與所設乙形相似而體
勢等先作丙丁形與甲等與乙相似而
體勢等本篇/廿五次任于其一邉如丙戊上
作丙己戊半圜次分丙戊為三平分而取其一庚
戊次從庚作己庚為丙戊之垂線本篇/九次作己丙
己戊兩線末于己丙己戊上作己辛己壬兩形各
[006-85a]
與丙丁相似而體勢等本篇/十八即所求
論曰丙己戊角形既負半圜為直角三卷/卅一即丙丁
直線形與己辛己壬相似之兩形并等本篇/卅而于
等甲之丙丁形減己壬存己辛兩形各與丙丁相
似而體勢等則與乙相似而體勢等今欲顯己壬
為丙丁三分之一者試觀丙庚己丙己戊兩角形
既相似本篇/八即丙庚與庚己之比例若丙己與己
戊也本篇/四夫丙庚庚己庚戊三線為連比例即丙
[006-85b]
庚與庚戊為丙庚與庚己再加之比例本篇八/之系而
己辛與己壬兩形亦為丙己與己戊兩相似邉再
加之比例本篇十/九二十即丙庚與庚戊兩線之比例若
己辛與己戊兩形也兩比例為兩同理/比例之再加故合之則丙
戊與庚戊之比例若等己辛己壬兩形并之丙丁
與己壬矣丙戊三倍于庚戊則丙丁亦三倍于己
壬而己壬為等甲之丙丁三分之一
若直線形求減之不論所減所存何形其法更易
[006-86a]
如甲形求減三分之一先作乙丙平
行線形與甲等一卷/四一次分乙丁為三
平分而取其一戊丁末從戊作己戊線與丙丁平
行即戊丙形為等甲之乙丙形三分之一本篇/一
今附若于大圜求减所設小圜則以圜徑當形邉
餘法同前如上圖
又今附依此法可方一初月形方初月形/者謂作直
角方形與/初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜
[006-86b]
四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方
形與初月形等先從乙丙作甲乙丙丁内切圜直
角方形三卷/六次用方形法四平分之即
其一為所求方形與初月形等何者甲
乙丙半圜與甲乙乙丙上兩半圜并等
本増題/之今附甲乙乙丙兩線自相等即其上兩半圜亦
自相等而庚乙壬丙分圜形為大半圜之半即與
乙己丙戊小半圜等此兩率者各減一同用之乙
[006-87a]
己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月
形與庚乙丙角形等而庚己丙辛直角
方形與庚乙丙角形亦等則與乙壬丙
戊初月形亦等依顯甲乙丙丁直角方形與大圜
界上四初月形并等
二増題兩直線形求别作一直線形為連比例
法曰甲與乙丙丁兩直線形求别作一直線形為
連比例先作一戊己庚直線形與甲等與乙丙丁
[006-87b]
相似而體勢等本篇/廿五次以兩形相似之
各一邉如戊己乙丙為前中率線而求
其連比例之末率線為辛壬本篇/十一末于
辛壬上作辛壬癸形與兩形相似而體勢等本篇/十八
即所求
論曰戊己乙丙辛壬三線既為連比例即其上三
形相似而體勢等者亦為連比例本篇/廿二
今附有兩圜求别作一圜為連比例則以圜徑當
[006-88a]
形邉依上法作之
三増題三直線形求别作一直線形為斷比例
法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直線形求别
作一直線形為斷比例先作壬癸子丑形與甲等
與乙丁相似而體勢等本篇/廿五次以三形之任各一
邉如壬癸乙丙己庚為三率求其斷比例之末率
線為寅夘本篇/十二末于寅夘上作寅夘
辰形與己庚辛相似而體勢等本篇/十八
[006-88b]
即所求
論曰四線既為斷比例即其線上形
相似而體勢等者亦為斷比例本篇/廿二
今附有三圜求别作一圜為斷比例亦以圜徑當
形邉依上法作之
四増題兩直線形求别作一形為連比例之中率
法曰甲與乙丙丁兩直線形求别作一形為連比
例之中率先作戊己庚直線形與甲等與乙丙丁
[006-89a]
相似而體勢等本篇/廿五次求戊己乙丙
兩直線連比例之中率為辛壬本篇/十三
末于辛壬上作辛壬癸形與戊己乙
丙上形相似而體勢等本篇/十八即所求
論曰戊己辛壬乙丙三線既為連比例
即各線上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形
亦為連比例本篇/廿二
又法曰甲乙兩直線形求别作一形為
[006-89b]
連比例之中率先作丁丙己戊平行線形任直斜
角與甲等一卷/四五次作庚戊壬辛平行線
形與乙等與丁己形相似而體勢等本/篇
廿/五次置兩平行線形以戊角相聨而丁
戊戊壬為一直線即庚戊戊己亦一直
線一卷十/五増末從兩形引長各邉成丙子辛癸平行
線形即兩餘方形俱為丁己庚壬兩形之中率
論曰丁己庚壬兩形既相似而體勢等即丁戊與
[006-90a]
己戊之比例若戊壬與戊庚也更之即丁戊與戊
壬若己戊與戊庚也夫丁戊與戊壬兩線之比例
亦若丁己與戊癸兩形己戊與戊庚兩線之比例
又若戊癸與庚壬兩形則戊癸為丁己庚壬之中
率矣
又論曰丁己庚壬兩形既相似而體勢等即同依
丙辛對角線本篇/廿六而子戊戊癸兩餘方形自相等
則丁己與戊癸兩形之比例若子戊與庚壬兩形
[006-90b]
何者此兩比例皆若丁戊與戊壬也則子戊戊癸
皆丁己庚壬之中率也
今附若兩圜求作一圜為連比例之中率亦以圜
徑當形邉依上前法作之
五増一直線形求分作兩直線形俱與所設形相
似而體勢等其比例若所設兩幾何之比例
法曰甲直線形求分作兩直線形俱與所設丁形
相似而體勢等其比例若所設兩幾何如乙線與
[006-91a]
丙線之比例先作戊己庚辛直線形
與甲等與丁相似而體勢等本篇/廿五次
任用其一邉如戊辛兩分之于壬令
戊壬與壬辛之比例若乙與丙也分/法
先以乙丙兩線聯為一直線次截/戊壬與壬辛若乙與丙見本篇十次于戊辛上作
戊癸辛半圜次從壬作癸壬為戊辛之垂線次作
戊癸癸辛線相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸
癸夘寅辛兩形與戊庚形俱相似而體勢等本篇/十八
[006-91b]
即此兩形并與甲等又各與丁相似而體勢等其
比例又若乙與丙
論曰戊癸辛既負半圜為直角三卷/卅一即戊子癸寅
兩形并與等戊庚之甲等本篇/卅一又戊壬與壬癸之
比例若戊癸與癸辛俱在直角兩旁/故見本篇四戊壬壬癸壬
辛三線為連比例即戊壬與壬辛為戊壬與壬癸
再加之比例本篇八/之系而戊子與癸寅兩形亦為戊
癸與癸辛兩相似邉再加之比例本篇/二十則戊壬與
[006-92a]
壬辛之比例亦若戊子與癸寅也兩比例為兩同/理比例之再加
故/夫戊壬與壬辛元若乙與丙也則戊子與癸寅
亦若乙與丙也
今附若一圜求分作兩圜其比例若所設兩幾何
亦以圜徑當形邉依上法作之
六増題一直線形求分作兩直線形俱與所設形
相似而體勢等其兩分形兩相似邉之比例若所
設兩幾何之比例
[006-92b]
法曰甲直線形求分作兩直線形
俱與所設丁形相似而體勢等其
兩分形兩相似邉之比例若所設
兩幾何如乙線與丙線之比例先
以乙與丙兩線求其連比例之末
率為戊本篇/十一次作己庚辛直線形與甲等與丁相
似而體勢等次任用其一邉如己辛兩分之于壬
令己壬與壬辛之比例若乙與戊也本篇/十次于己
[006-93a]
辛線上作己癸辛半圜次從壬作壬癸為己辛之
垂線次作己癸癸辛兩線相聨未于己癸癸辛上
作己子癸癸丑辛兩形俱與丁相似而體勢等即
此兩形并與等甲之己庚辛等而己癸癸辛兩相
似邉之比例若乙與丙
論曰己癸辛既負半圜為直角三卷/卅即己子癸癸
丑辛兩形并與等己庚辛之甲等本篇/卅一又己壬與
壬癸之比例若己癸與癸辛俱在直角兩旁/故見本篇四己壬
[006-93b]
壬癸壬辛三線為連比例即己壬與壬辛為己壬
與壬癸再加之比例本篇八/之系夫己壬與壬癸之比
例既若己子癸癸丑辛兩形相似
邉之己癸與癸辛而乙與戊元若
己壬與壬辛乙與戊元為乙與丙
再加之比例則己癸癸辛之比例
若乙與丙
今附若一圜求分作兩圜其兩圜徑之比例若所
[006-94a]
所設两幾何倣此
七増題兩直線形求并作一直線形與所設形相
似而體勢等
法曰甲乙兩直線形求并作一形與
所設丙形相似而體勢等先作戊丁
己形與甲等作己庚辛形與乙等又
各與丙相似而體勢等本篇/廿五次置兩
形令相似之戊己己辛兩邉聨為直
[006-94b]
角次作戊辛線相聨末依戊辛線作戊辛壬與丙
相似而體勢等即與上兩形并等本篇/卅一如所求
又法曰作一平行方形與甲乙兩形并等一卷/四五次
作戊辛壬角形與平行方形等又與丙相似而體
勢等即所求
今附若兩圜求并作一圜亦以圜徑當形邉依上
法作之
八増題圜内兩合線交而相分其所分之線彼此
[006-95a]
互相視
解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁兩合
線交而相分于戊題言所分之甲戊戊
丙乙戊戊丁為互相視之線者謂甲戊
與戊丁若乙戊與戊丙也又甲戊與乙
戊若戊丁與戊丙也
論曰甲戊偕戊丙與乙戊偕戊丁兩矩内直角形等
三卷/卅五即等角旁之兩邉為互相視之邉本篇/十四
[006-95b]
九増題圜外任取一㸃從㸃出兩直線皆割圜至
規内其兩全線與兩規外線彼此互相視若從㸃
作一切圜線則切圜線為各割圜全線與其規外
線之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊㸃從戊作
戊丁戊丙兩割圜至規内之線遇圜界于
甲于乙題言戊丙戊乙戊丁戊甲互相
視者謂戊丙與戊丁若戊甲與戊乙也
[006-96a]
又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也
論曰試從戊作戊己線切圜于己即戊丙偕戊乙
矩内直角形與戊己上直角方形等三卷/卅六又戊丁
偕戊甲矩内直角形與戊己上直角方
形亦等即戊丙偕戊乙與戊丁偕戊甲
兩矩内直角形自相等而等角旁之兩
邉為互相視之邉本篇/十四又戊丙偕戊乙
戊丁偕戊甲兩矩内直角形各與戊己上直角方
[006-96b]
形等三卷/卅六即戊丙戊己戊乙三線為連比例戊丁
戊己戊甲三線亦為連比例而戊己為各全線與
其規外線之各中率本篇/十七
十増題兩直線相遇作角從兩線之各一界互下
垂線而每方為兩線一自界至相遇處一自界至
垂線則各相對之兩線皆彼此互相視
解曰甲乙丙乙兩線相遇于乙作甲乙丙角從甲
作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為
[006-97a]
鈍角即如前圖兩垂線當至甲乙丙
乙之各引出線上為甲丁為丙戊其
甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙
丙為銳角即如後圖甲丁丙戊兩垂線
當在甲乙丙乙之内交而相分于己也
題言兩圖之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相視
者謂甲乙與乙丙若丁乙與乙戊也又甲乙與丁
乙若乙丙與乙戊也
[006-97b]
論曰甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙兩
角與丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙兩
角各等兩為直角兩于前圗為/交角于後圗為同角故即兩形
為等角形而甲乙與丁乙若乙丙與乙
戊也本篇/四更之則甲乙與乙丙若丁乙
與乙戊也
又論曰依前圗可推後圖之甲丁丙戊交而相分
于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相視蓋甲
[006-98a]
己戊丙己丁既為等角形即甲己與己戊若丙己
與己丁也本篇/四更之則甲己與丙己若己戊與己
丁也
十一増題平行線形内兩直線與兩邉平行相交
而分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆
等解曰甲乙丙丁平行線形内作戊己庚
辛兩線與甲丁丁丙各平行而交于壬題
言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相
[006-98b]
與為比例皆等
論曰戊壬與壬己兩線之比例既若戊庚與庚己
兩形本篇/一又若乙壬與壬丙兩形即戊庚與庚己
亦若乙壬與壬丙也五卷/十二依顯乙壬與戊庚亦若
壬丙與庚己也
十二増題凡四邉形之對角兩線交而相分其所
分四三角形任相與為比例皆等
解曰甲乙丙丁四邉形之甲丙乙丁兩對角線交
[006-99a]
相分于戊題言所分甲戊丁乙戊丙甲戊
乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆等
論曰甲戊與戊丙兩線之比例若甲戊丁
與丁戊丙兩角形又若甲戊乙與乙戊丙兩角形
本篇/一即甲戊丁與丁戊丙兩角形亦若甲戊乙與
乙戊丙也依顯甲戊乙與甲戊丁亦若乙戊丙與
丁戊丙也
十三増題三角形任于一邉任取一㸃從㸃求作
[006-99b]
一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾
何之比例
先法曰甲乙丙角形任于一邉如乙丙
上任取一㸃為丁求從丁作一線分本
形為兩形其兩形之比例若所設兩幾
何如戊線與己線之比例先以乙丙線
兩分之于庚令乙庚與庚丙之比例若戊與己本/篇
十/其庚與丁若同㸃即作丁甲線則乙丁與丁丙
[006-100a]
兩線之比例若乙丁甲與丁丙甲兩角形也本篇/一
是丁甲線所分兩形之比例若戊與己
次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲線次
從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線
相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若
戊與己者謂乙丁辛甲無法四邉形與丁
丙辛角之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也
論曰試作庚甲線即辛庚甲庚辛丁兩角形等一/卷
[006-100b]
卅/七次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁兩角
形亦等則甲乙丙全形與丙庚甲角形之比例若
甲乙丙與丙辛丁也五卷/七分之則乙庚甲角形與
丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲無法四邉形與
丙辛丁角形也五卷/十七乙庚甲與丙庚甲兩角形之
比例既若乙庚與庚丙本篇/一則乙丁辛甲無法四
邉形與丙辛丁角形之比例亦若乙庚與庚丙也
則亦若戊與己也
[006-101a]
後法曰若庚在乙丁之内亦作丁甲線次
從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線
相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若
戊與己者謂乙丁辛角形與丁丙甲辛無
法四邉之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也
論曰試作庚甲線如前推顯辛庚甲庚辛丁兩角
形等一卷/卅七次每加一乙庚辛角形即乙庚甲與乙
辛丁兩角形亦等則甲乙丙全形與乙庚甲角形
[006-101b]
之比例若甲乙丙與乙辛丁也五卷/七分之
則丙庚甲角形與乙庚甲角形之比例若
丁丙甲辛無法四邉形與乙辛丁角形也
五卷/十七反之則乙庚甲角形與丙庚甲角形
之比例若乙辛丁角形與丁丙甲辛無法四邉形
也乙庚甲與丙庚甲之比例既若乙庚與庚丙本/篇
則乙丁辛角形與丁丙甲辛無法四邉形之比
例亦若乙庚與庚丙也則亦若戊與己也
[006-102a]
系凡角形任于一邉任取一㸃從㸃求減命分之
一如前法作多倍大之比例即得其所作倍數每
少于命分之一如求減四分之一即作三倍大之
比例減五分之一即作四倍大之比例也則全形
與所減分之比例其倍數若命分之數也
十四増題一直線形求别作一直線形相似而體
勢等其小大之比例如所設兩幾何之比例
法曰甲直線形求别作直線形相似而體勢等其
[006-102b]
甲形與所作形小大之比例若所設
兩幾何如乙與丙兩線之比例先以
乙丙及任用甲之一邉如丁戊三線
求其斷比例之末率為己本篇/十二次求
丁戊及己之中率線為庚辛本篇/十三末
從庚辛上作壬直線形與甲相似而
體勢等即甲與壬之比例若乙與丙
論曰丁戊庚辛己三線為連比例即
[006-103a]
一丁戊與三己之比例若相似而體
勢等之甲與壬本篇十九/二十之系
若先設大甲求作小壬若乙與丙其
法同如上圗
用此法可依此直線形加作兩倍大三倍四五倍
大以至無窮之他形亦可依此直線形減作二分
之一三分四五分之一以至無窮之他形其此形
與他形皆相似而體勢等
[006-103b]
有用法作直角方形平行線形及各形
之相加相減者如甲乙丙丁直角方形
求别作五倍大之他形先以甲乙線引
長之以甲乙為度截取五分至戊令乙
至戊五倍大于甲乙也次以甲戊兩平
分于己次以己為心甲戊為界作甲庚
戊半圜其乙丙線直行遇圜界于庚即乙庚為所
求方形之一邉也末作乙庚辛己直角方形即五
[006-104a]
倍大于甲丙向者乙庚既為戊乙乙甲
之中率線本篇十/三之系即一戊乙與三乙甲
之比例若二庚乙上直角方形與三甲
乙上直角方形之比例也本篇二/十之系戊乙
既五倍于乙甲則乙辛亦五倍于甲丙
若戊乙為乙甲之六倍則乙辛亦甲丙
之六倍若戊乙為乙甲三分之一則乙辛亦甲丙
三分之一相加相減倣此以至無窮如甲乙丙丁
[006-104b]
平行直角形求别作二倍大之他形相似而體勢
等先以甲乙線引長之以甲乙為度截取二分至
戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以
甲戊兩平分于己次以己為心甲戊
為界作甲庚戊半圜其丙乙線直行
遇圜界于庚即乙庚為所求直角形
之一邉也次于甲戊線上截取甲辛與乙庚等從
辛作辛壬線與乙丙平行次作甲丙對角線引長
[006-105a]
之與辛壬線遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸
平行直角形即二倍大于甲丙又相似而體勢等
何者戊乙乙庚乙甲三線既為連比例本篇十/三之系如
前論一戊乙與三乙甲之比例若二等乙庚之甲
辛上平行直角形甲壬與三甲乙上平行直角形
甲丙也本篇二/十之系戊乙既二倍于甲乙則甲壬亦二
倍于甲丙
用此法凡甲乙上不論何等形與乙庚上形相似
[006-105b]
而體勢等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形
相加相減俱倣此以至無窮
今附若用前法作圜則乙庚徑上圜亦二倍大于
甲乙徑上圜相加相減倣此以至無窮
以上用法與本増題同但此用法隨作隨得中率
線不費尋求致為簡易耳
十五増題諸三角形求作内切直角方形
法曰如甲乙丙銳角形求作内切直角方形先從
[006-106a]
甲角作甲丁為乙丙之垂線次
以甲丁線兩分于戊令甲戊與
戊丁之比例若甲丁與乙丙本/篇
十一/増題末從戊作己庚線與乙丙
平行從己從庚作己辛庚壬兩
線皆與戊丁平行即得己壬形
如所求若直角鈍角形則從直角鈍角作垂線餘
法同如第二第/三圗是
[006-106b]
論曰己戊庚線既與乙丙平行即乙丁與丁丙若
己戊與戊庚也本篇四/之増題合之即乙丙與丁丙若己
庚與戊庚也又丁丙與甲丁若
戊庚與甲戊甲丁丙與甲戊庚/為等角形故見本
篇四/之系平之即乙丙與甲丁若己
庚與甲戊也又甲丁與乙丙若
甲戊與戊丁平之即乙丙與乙
丙若己庚與戊丁也乙丙與乙
[006-107a]
丙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬
又等一卷/卅四戊丁與己辛庚壬亦等則己庚庚壬壬
辛辛己四邉俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦
直角一卷/廿九其餘亦皆直角而己壬為直角方形
又法曰若直角三邉形求依乙角作
内切直角方形則以垂線甲乙兩分
于丁令甲丁與丁乙之比例若甲乙
與乙丙本篇/十次從丁作丁戊直線與乙丙平行從
[006-107b]
戊作戊己直線與甲乙平行即得丁己形如所求
論曰乙丙與甲乙既若丁戊與甲丁甲乙丙甲丁/戊為等角形
故見本篇/四之系而甲乙與乙丙又若甲丁與丁乙平之
即乙丙與乙丙若丁戊與丁乙也乙丙與乙丙同
線必等即丁戊與丁乙必等而丁己為直角方形
今附如上三邉直角形依乙角作内切直角方形
其方形邉必為甲丁己丙兩分餘邉之中率何者
甲丁與丁戊若戊己與己丙故本篇四/之系
[006-108a]
[006-108b]
幾何原本卷六
