KR3f0047 幾何原本-明-西洋歐几里得 (master)


[001-1a]
欽定四庫全書
 幾何原本卷一之首
             西洋利瑪竇譯
  界說三十六則
 凡造論先當分别解說論中所用名目故曰界說
 凡厯法地理樂律算章技藝工巧諸事有度有數者
 皆依頼十府中幾何府屬凡論幾何先從一㸃始
 自㸃引之為線線展為靣靣積為體是名三度
[001-1b]
 第一界
㸃者無分
 無長短廣狹厚薄 如下圖凡圖十干為識干盡用/十二支支盡用八卦八
 音/
 甲/
 第二界
線有長無廣
 試如一平靣光照之有光無光之間不容一物是線
[001-2a]
 也真平真圓相遇其相遇處止有一㸃行則止有一線
 
 線有直有曲
 第三界
線之界是㸃凡線有界者/兩界必是㸃
 第四界
直線止有兩端兩端之間上下更無一㸃
 兩㸃之間至徑者直線也稍曲則繞而長矣
[001-2b]
 直線之中㸃能遮兩界
 凡量逺近皆用直線
    甲乙丙是直線甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是
    曲線
 第五界
靣者止有長有廣
  體所見為靣
 凡體之影極似於靣無厚/之極
[001-3a]
 想一線横行所留之迹即成靣也
 
 
 第六界
靣之界是線
 第七界
平靣一靣平在界之内
 平靣中間線能遮兩界
[001-3b]
 平靣者諸方皆作直線
     試如一方靣用一直繩施於 角繞靣運
     轉不礙於空是平靣也
     若曲靣者則中間線不遮兩界
 第八界
平角者兩直線於平靣縱横相遇交接處
[001-4a]
 凡言甲乙丙角皆指平角
   如上甲乙乙丙二線平行相遇不能作角
 
    如上甲乙乙丙二線雖相遇不作平角為是
    曲線
 所謂角止是兩線相遇不以線之大小較論
 第九界
直線相遇作角為直線角
[001-4b]
 平地兩直線相遇為直線角本書中所論止是直線
 角但作角有三等今附著於此一直線角二曲線角
 三雜線角 如下六圖
 
 
 第十界
直線垂於横直線之上若兩角等必兩成直角而直線
 下垂者謂之横線之垂線
[001-5a]
 量法常用兩直角及垂線垂線加於横線之上必不
 作銳角及鈍角
    若甲乙線至丙丁上則乙之左右作兩角相
    等為直角而甲乙為垂線
 若甲乙為横線則丙丁又為甲乙之垂線何者丙乙
 與甲乙相遇雖止一直角然甲線若垂下過乙則丙
 線上下定成兩直角所以丙乙亦為甲乙之垂線如/今
 用短尺一縱一横互相/為直線互相為垂線
[001-5b]
 凡直線上有兩角相連是相等者定俱直角中間線
 為垂線
 反用之若是直角則兩線定俱是垂線
 第十一界
凡角大于直角為鈍角
    如甲乙丙角與甲乙丁角不等而甲乙丙大
    於甲乙丁則甲乙丙為鈍角
 第十二界
[001-6a]
凡角小於直角為銳角
 如前圖甲乙丁是
 通上三界論之直角一而己鈍角銳角其大小不等
 乃至無數
 是後凡指言角者俱用三字為識其第二字即所指
 角也 如前圖甲乙丙三字第二乙字即所指鈍角
 若言甲乙丁即第二乙字是所指銳角
 第十三界
[001-6b]
界者一物之終始
 今所論有三界㸃為線之界線為靣之界靣為體之
 界體不可為界
 第十四界
或在一界或在多界之間為形
 一界之形如平圓立圓等物多界之形如平方立方
 及平立三角六八角等物 圖見後卷
 第十五界
[001-7a]
圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱
 等
     若甲乙丙為圜丁為中心則自甲至丁與
     乙至丁丙至丁其線俱等
 外圓線為圜之界内形為圜
 一說圜是一形乃一線屈轉一周復於元處所作如
 上圖甲丁線轉至乙丁乙丁轉至丙丁丙丁又至甲
 丁復元處其中形即成圜
[001-7b]
 第十六界
圜之中處為圜心
 第十七界
自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜
 兩平分
     甲丁乙戊圜自甲至乙過丙心作一直線
     為圜徑
 第十八界
[001-8a]
徑線與半圜之界所作形為半圜
 第十九界
在直線界中之形為直線形
 第二十界
在三直線界中之形為三邉形
 第二十一界
在四直線界中之形為四邉形
 第二十二界
[001-8b]
在多直線界中之形為多邊形五邉以/上俱是
 第二十三界
三邊形三邊線等為平邊三角形
 
 
 第二十四界
三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形或銳/或鈍
[001-9a]
 
 第二十五界
三邊形三邊線俱不等為三不等三角形
 
 第二十六界
三邊形有一直角為三邊直角形
 
 
[001-9b]
 第二十七界
三邊形有一鈍角為三邊鈍角形
 
 
 第二十八界
三邉形有三銳角為三邉各銳角形
 凡三邊形恒以在下者為底在上二邊為腰
 第二十九界
[001-10a]
四邊形四邊線等而角直為直角方形
 
 
 第三十界
直角形其角俱是直角其邊兩兩相等
     如上甲乙丙丁形甲乙邊與丙丁邊自相
     等甲丙與乙丁自相等
 第三十一界
[001-10b]
斜方形四邊等俱非直角
 
 
 第三十二界
長斜方形其邊兩兩相等俱非直角
 
 
 第三十三界
[001-11a]
以上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆
 謂之無法四邊形
 
 
 第三十四界
兩直線於同靣行至無窮不相離亦不相逺而不得相
 遇為平行線
 
[001-11b]
 
 
 第三十五界
一形每兩邊有平行線為平行線方形
 
 
 第三十六界
凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角
[001-12a]
 線又於兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對
 角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形
 有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘
 方形
     甲乙丁丙方形於丙乙兩角作一線為對
     角線又依乙丁平行作戊己線依甲乙平
     行作庚辛線其對角線與戊己庚辛兩線
 交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬
[001-12b]
 己丙及戊壬辛乙兩方形謂之角線方形而甲庚壬
 戊及壬己丁辛謂之餘方形
  求作四則
 求作者不得言不可作
 第一求
自此㸃至彼㸃求作一直線
 此求亦出上篇葢自此㸃直行至彼㸃即是直線
自甲至乙或至丙至丁俱可作直線
[001-13a]
 
 
 第二求
一有界直線求從彼界直行引長之
     如甲乙線從乙引至丙或引至丁俱一直
     行
 第三求
不論大小以㸃爲心求作一圜
[001-13b]
 
 
 第四求
設一度於此求作彼度較此度或大或小凡言度者或/線或面或體
  皆/是或言較小作大可作較大作小不可作何者小
  之至極數窮盡故也此說非是凡度與數不同數
  者可以長不可以短長數無窮短數有限如百數
  減半成五十減之又減至一而止一以下不可損
[001-14a]
  矣自百以上增之可至無窮故曰可長不可短也
  度者可以長亦可以短長者增之可至無窮短者
  減之亦復無盡嘗見莊子稱一尺之棰日取其半
  萬世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若
  減之可盡是有化爲無也有化爲無猶可言也令
  巳分者更復合之合之又合仍爲尺棰是始合之
  初兩無能并爲一有也兩無能并爲一有不可言也
  公論十九則
[001-14b]
 公論者不可疑
 第一論
設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等
 第二論
有多度等若所加之度等則合并之度亦等
 第三論
有多度等若所減之度等則所存之度亦等
 第四論
[001-15a]
有多度不等若所加之度等則合并之度不等
 第五論
有多度不等若所减之度等則所存之度不等
 第六論
有多度俱倍於此度則彼多度俱等
 第七論
有多度俱半於此度則彼多度亦等
 第八論
[001-15b]
有二度自相合則二度必等以一度加/一度之上
 第九論
全大於其分如一尺大於一寸寸者全/尺中十分中之一分也
 第十論
直角俱相等見界/說十
 第十一論
有二横直線或正或偏任加一縱線若三線之間同方
 兩角小於兩直角則此二横直線愈長愈相近必至
[001-16a]
    相遇甲乙丙丁二横直線任意作一戊己縱
    線或正或偏若戊己線同方兩角俱小於直
    角或并之小於兩直角則甲乙丙丁線愈長
 愈相近必有相遇之處
 欲明此理宜察平行線不得相遇者界說/卅四加一垂線
 即三線之間定為直角便知此論兩角小於直角者
 其行不得不相遇矣
 第十二論
[001-16b]
兩直線不能為有界之形
 
 
 第十三論
兩直線止能於一㸃相遇
 如云線長界近相交不止一㸃試於丙乙二界各出
     直線交於丁假令其交不止一㸃當引至
     甲則甲丁乙宜為甲丙乙圜之徑而甲丁
[001-17a]
 丙亦如之界說/十七夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦
 右半也界說/十七甲丁乙為全甲丁丙為其分而俱稱右
 半是全與其分等也本篇/九
 第十四論
有幾何度等若所加之度各不等則合并之差與所加
 之差等
    甲乙丙丁線等于甲乙加乙戊於丙丁加丁
    己則甲戊大於丙己者庚戊線也而乙戊大
[001-17b]
 於丁己亦如之
 第十五論
有幾何度不等若所加之度等則合并所贏之度與元
 所贏之度等
    如上圖反說之戊乙己丁線不等於戊乙加
    乙甲於己丁加丁丙則戊甲大於己丙者戊
    庚線也而戊乙大於己丁亦如之
 第十六論
[001-18a]
有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減
 去所贏之度等
    甲乙丙丁線等於甲乙減戊乙於丙丁減己
    丁則乙戊大於丁己者庚戊也而丙己大於
    甲戊亦如之
 第十七論
有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與元
 所贏之度等
[001-18b]
    如十四論反說之甲戊丙己線不等於甲戊
    減甲乙於丙己減丙丁則乙戊長於丁己者
    亦庚戊也與甲戊長於丙己者等矣
 第十八論
全與諸分之并等
 第十九論
有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全
 所減之度則此較亦倍於彼較相减之/餘曰較
[001-19a]
 如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較
 十四彼較七
 
 
 
 
 
 
[001-19b]
 
 
 
 
 
 
 
 幾何原本卷一之首
[001-20a]
欽定四庫全書
 幾何原本卷一
             西洋利瑪竇撰
 第一題
于有界直線上求立平邊三角形
    法曰甲乙直線上求立平邊三角形先以甲
    為心乙為界作丙乙丁圜次以乙為心甲為
    界作丙甲丁圜兩圜相交于丙于丁末自甲
[001-20b]
 至丙丙至乙各作直線即甲乙丙為平邊三角形
 論曰以甲為心至圜之界其甲乙線與甲丙甲丁線
 等以乙為心則乙甲線與乙丙乙丁線亦等何者凡
 為圜自心至界各線俱等故界説/十五既乙丙等于乙甲
     而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙
     丙公論/一三邊等如所求凡論有二種此/以是為論者正
     論也下/倣此
[001-21a]
     其用法不必作兩圜但以甲為心乙為界
     作近丙一短界線乙為心甲為界亦如之
  兩短界線交處即得丙
  諸三角形俱推前用法作之詳本篇/卄二
 第二題
一直線線或内或外有一㸃求以㸃為界作直線與元
 線等
 
[001-21b]
     法曰有甲㸃及乙丙線求以甲為界作一
     線與乙丙等先以丙為心乙為界乙為心/丙為界
     亦可/作作丙乙圜第三/求次觀甲㸃若在丙乙
     之外則自甲至丙作甲丙線第一/求如上前
     圖或甲在丙乙之内則截取甲至丙一分
     線如上後圖兩法俱以甲丙線為底任于
 上下作甲丁丙平邊三角形本篇/一次自三角形兩腰
 線引長之第二/求其丁丙引至丙乙圜界而止為丙戊
[001-22a]
 線其丁甲引之出丙乙圜外稍長為甲己線末以丁
 為心戊為界作丁戊圜其甲己線與丁戊圜相交于
 庚即甲庚線與乙丙線等
     論曰丁戊丁庚線同以丁為心戊庚為界
     故等界説/十五于丁戊線減丁丙丁庚線減丁
     甲其所減兩腰線等則所存亦等公論/三
     丙戊與丙乙同以丙為心戊乙為界亦等
     界説/十五即甲庚與丙乙等公論/一
[001-22b]
 若所設甲㸃即在丙乙線之一界其法尤易假如㸃
 在丙即以丙為心作乙戊圜從丙至戊即所求
 第三題
兩直線一長一短求于長線減去短線之度
    法曰甲短線乙丙長線求于乙丙減甲先以
    甲為度從乙引至别界作乙丁線本篇/二次以
    乙為心丁為界作圜第三/求圜界與乙丙交于
 戊即乙戊與等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜
[001-23a]
 故界説/十五
 第四題
兩三角形若相當之兩腰線各等各兩腰線間之角等
 則兩底線必等而兩形亦等其餘各兩角相當者俱
 等
    解曰甲乙丙丁戊己兩三角形之甲與丁兩
    角等甲丙與丁己兩線甲乙與丁戊兩線各
    等題言乙丙與戊己兩底線必等而兩三角
[001-23b]
    形亦等甲乙丙與丁戊己兩角甲丙乙與丁
    己戊兩角俱等
    論曰如云乙丙與戊己不等即令將甲角置
 丁角之上兩角必相合無大小甲丙與丁己甲乙與
 丁戊亦必相合無大小公論/八此二俱等而云乙丙與
 戊己不等必乙丙底或在戊己之上為庚或在其下
 為辛矣戊己既為直線而戊庚己又為直線則兩線
 當别作一形是兩線能相合為形也辛倣此公論十/二 此
[001-24a]
 以非為論者駁/論也下倣此
 第五題
三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出
 之其底之外兩角亦等
      解曰甲乙丙三角形其甲丙與甲乙兩
      腰等題言甲丙乙與甲乙丙兩角等又
      自甲丙線任引至戊甲乙線任引至丁
 其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等
[001-24b]
 論曰試如甲戊線稍長即從甲戊截取一分與甲丁
 等為甲己本篇/三次自丙至丁乙至己各作直線第一/求
 即甲己乙甲丁丙兩三角形必等何者此兩形之甲
 角同甲己與甲丁兩腰又等甲乙與甲丙兩腰又等
 則其底丙丁與乙己必等而底線兩端相當之各兩
      角亦等矣本篇/四又乙丙己與丙乙丁兩
      三角形亦等何者此兩形之丙丁乙與
      乙己丙兩角既等本/論而甲己甲丁兩腰
[001-25a]
 各減相等之甲丙甲乙線即所存丙己乙丁兩腰又
 等公論/三丙丁與乙己兩底又等本/論又乙丙同腰即乙
 丙丁與丙乙己兩角亦等也則丙之外乙丙己角與
 乙之外丙乙丁角必等矣本篇/四次觀甲乙己與甲丙
 丁兩角既等于甲乙己減丙乙己角甲丙丁減乙丙
 丁角則所存甲丙乙與甲乙丙兩角必等公論/三
     増從前形知三邊等形其三角俱等
 第六題
[001-25b]
三角形若底線兩端之兩角等則兩腰亦等
     解曰甲乙丙三角形其甲乙丙與甲丙乙
     兩角等題言甲乙與甲丙兩腰亦等
 論曰如云兩腰線不等而一長一短試辯之若甲乙
 為長線即令比甲丙線截去所長之度為乙丁線而
 乙丁與甲丙等本篇/三次自丁至丙作直線則本形成
 兩三角形其一為甲乙丙其一為丁乙丙而甲乙丙
 全形與丁乙丙分形同也是全與其分等也公論/九
[001-26a]
 者彼言丁乙丙分形之乙丁與甲乙丙全形之甲丙
 兩線既等丁乙丙分形之乙丙與甲乙丙全形之乙
     丙又同線而元設丁乙丙與甲丙乙兩角
     等則丁乙丙與甲乙丙兩形亦等也本篇/四
 是全與其分等也故底線兩端之兩角等者兩腰必
 等也
 第七題
一線為底出兩腰線其相遇止有一㸃不得别有腰線
[001-26b]
 與元腰線等而于此㸃外相遇
    解曰甲乙線為底于甲于乙各出一線至丙
    㸃相遇題言此為一定之處不得于甲上更
    出一線與甲丙等乙上更出一線與乙丙等
 而不于丙相遇
 論曰若言有别相遇于丁者即問丁當在丙内邪丙
 外邪若言丁在丙内則有二説俱不可通何者若言
 丁在甲丙元線之内則如第一圖丁在甲丙兩界之
[001-27a]
 間矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙與甲丁等
 也是全與其分等也公論/九若言丁在甲丙乙三角頂
 間則如第二圖丁在甲丙乙之間矣即令自丙至丁
 作丙丁線而乙丁丙甲丁丙又成兩三角形次從乙
 丁引出至己從乙丙引出至戊則乙丁丙形之乙丁
 乙丙兩腰等者其底線兩端之兩角乙丁丙乙丙丁
    宜亦等也其底之外兩角己丁丙戊丙丁宜
    亦等也本篇/五而甲丁丙形之甲丁甲丙兩腰
[001-27b]
    等者其底線兩端之兩角甲丙丁甲丁丙宜
    亦等也本篇/五夫甲丙丁角本小于戊丙丁角
    而為其分今言甲丁丙與甲丙丁兩角等則
    甲丁丙亦小于戊丙丁矣何況己丁丙又甲
    丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外兩
    角等乎若言丁在丙外又有三説俱不可通
 何者若言丁在甲丙元線外是丁甲即在丙甲元線
 之上則甲丙與甲丁等矣即如上第一説駁之若言
[001-28a]
 丁在甲丙乙三角頂外即如上第二説駁之若言丁
 在丙外而後出二線一在三角形内一在其外甲丁
 線與乙丙線相交如第五圖即令將丙丁相聯作直
 線是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜與甲丁丙
 兩角等也本篇/五夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而為
 其分據如彼論則甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又
 丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜與丁丙乙兩角
 等也本篇/五夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而為其分
[001-28b]
 據如彼論則丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二説
 者豈不自相戾乎
 第八題
兩三角形若相當之兩腰各等兩底亦等則兩腰間角
 必等
    解曰甲乙丙丁戊己兩三角形其甲乙與丁
    戊兩腰甲丙與丁己兩腰各等乙丙與戊己
    兩底亦等題言甲與丁兩角必等
[001-29a]
    論曰試以丁戊己形加于甲乙丙形之上問
    丁角在甲角上邪否邪若在上即兩角等矣
    公論/八或謂不然乃在于庚即問庚當在丁戊
 線之内邪或在三角頂之内邪或在三角頂之外邪
 皆依前論駁之本篇/七
 系本題止論甲丁角若旋轉依法論之即三角皆同
 可見凡線等則角必等不可疑也
 第九題
[001-29b]
有直線角求兩平分之
      法曰乙甲丙角求兩平分之先于甲乙
      線任截一分為甲丁本篇/三次于甲丙亦
 截甲戊與甲丁等次自丁至戊作直線次以丁戊為
 底立平邊三角形本篇/一為丁戊己形末自己至甲作
 直線即乙甲丙角為兩平分
 論曰丁甲己與戊甲己兩三角形之甲丁與甲戊兩
 線等甲己同是一線戊己與丁己兩底又等何言兩/底等初
[001-30a]
 從戊丁底作此三角平形/此二線為腰各等戊丁故則丁甲己與戊甲己兩角
 必等本篇/八
       用法如上截取甲丁甲戊即以丁為
       心向乙丙間任作一短界線次用元
  度以戊為心亦如之兩界線交處得己本篇/一
 第十題
一有界線求兩平分之
    法曰甲乙線求兩平分先以甲乙為底作甲
[001-30b]
    乙丙兩邊等三角形本篇/一次以甲丙乙角兩
 平分之本篇/九得丙丁直線即分甲乙于丁
 論曰丙丁乙丙丁甲兩三角形之丙乙丙甲兩腰等
 而丙丁同線甲丙丁與乙丙丁兩角又等本篇/九則甲
 丁與乙丁兩線必等本篇/四
      用法以甲為心任用一度但須長于甲
      乙線之半向上向下各作一短界線次
  用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末
[001-31a]
  作丙丁直線即分甲乙于戊
 第十一題
一直線任于一㸃上求作垂線
 法曰甲乙直線任指一㸃于丙求丙上作垂線先于
     丙左右任用一度各截一界為丁為戊本/篇
     二/次以丁戊為底作兩邊等角形本篇/一
     丁己戊末自己至丙作直線即己丙為甲
 乙之垂線
[001-31b]
 論曰丁己丙與戊己丙兩角形之己丁己戊兩腰等
 而己丙同線丙丁與丙戊兩底又等即兩形必等丁
 與戊兩角亦等本篇/五丁己丙與戊己丙兩角亦等本/篇
 八/九則丁丙己與戊丙己兩角必等矣等即是直角直
 角即是垂線界説十角此後三角/形多稱 形省文也
      用法于丙㸃左右如上截取丁與戊即
      以丁為心任用一度但須長于丙丁線
  向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之
[001-32a]
  兩界線交處即己
       又用法于丙左右如上截取丁與戊
       即任用一度以丁為心于丙上下方
       各作短界線次用元度以戊為心亦
  如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直
  線交于丙㸃即得是用法又為嘗巧之法
      増若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線
      末甲界上甲外無餘線可截則于甲乙
[001-32b]
      線上任取一㸃為丙如前法于丙上立
      丁丙垂線次以甲丙丁角兩平分之本/篇
      九/為己丙線次以甲丙為度于丁丙垂
      線上截戊丙線本篇/三次于戊上如前法
  立垂線與己丙線相遇為庚末自庚至甲作直線
  如所求
  論曰庚甲丙與庚丙戊兩角形之甲丙戊丙兩線
  既等庚丙同線戊丙庚與甲丙庚兩角又等即甲
[001-33a]
  庚戊庚兩線必等本篇/四而對同邊之甲角戊角亦
  等本篇/四戊既直角則甲亦直角是甲庚為甲乙之
  垂線界説/十
      用法甲㸃上欲立垂線先以甲為心向
      元線上方任抵一界作丙㸃次用元度
  以丙為心作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次
  自丁至丙作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與
  圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求此法/今未
[001-33b]
  能論論見第三/卷第三十一題
 第十二題
有無界直線線外有一㸃求于㸃上作垂線至直線上
     法曰甲乙線外有丙㸃求從丙作垂線至
     甲乙先以丙為心作一圜令兩交于甲乙
     線為丁為戊次從丁戊各作直線至丙次
 兩平分丁戊于己本篇/十末自丙至己作直線即丙己
 為甲乙之垂線
[001-34a]
     論曰丙己丁丙己戊兩角形之丙丁丙戊
     兩線等丙己同線則丙戊己與丙丁己兩
     角必等本篇/八而丁丙己與戊丙己兩角又
 等則丙己丁與丙己戊等皆直角本篇/四而丙己定為
 垂線矣
       用法以丙為心向直線兩處各作短
       界線為甲為乙次用元度以甲為心
  向丙㸃相望處作短界線乙為心亦如之兩界線
[001-34b]
  交處為丁末自丙至丁作直線則丙戊為垂線
       又用法于甲乙線上近甲近乙任取
       一㸃為心以丙為界作一圜界于丙
       㸃及相望處各稍引長之次于甲乙
       線上視前心或相望如前圖或進或
       退如後圖任移一㸃為心以丙為界
       作一圜界至與前圜交處得丁末自
  丙至丁作直線得戊若近界作垂線無/可截取亦用此法
[001-35a]
 第十三題
一直線至他直線上所作兩角非直角即等于兩直角
    解曰甲線下至丙丁線遇于乙其甲乙丙與
    甲乙丁作兩角題言此兩角當是直角若非
    直角即是一鋭一鈍而并之等于兩直角
    論曰試于乙上作垂線為戊乙本篇/十一令戊乙
 丙與戊乙丁為兩直角即甲乙丁甲乙戊兩鋭角并
 之與戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊兩鋭角
[001-35b]
 又加戊乙丙一直角并此三角定與戊乙丙戊乙丁
 兩直角等也公論/十八次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭
 直兩角定與甲乙丙鈍角等也次于甲乙戊戊乙丙
 鋭直兩角又加甲乙丁鋭角并此三角定與甲乙丁
 甲乙丙鋭鈍兩角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三
 角既與兩直角等則甲乙丁與甲乙丙兩角定與兩
 直角等公論/一
 第十四題
[001-36a]
一直線于線上一㸃出不同方兩直線偕元線每旁作
 兩角若每旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直
 線
     解曰甲乙線于丙㸃上左出一線為丙丁
     右出一線為丙戊若甲丙戊甲丙丁兩角
     與兩直角等題言丁丙與丙戊是一直線
 論曰如云不然令别作一直線必從丁丙更引出一
 線或離戊而上為丁丙己或離戊而下為丁丙庚也
[001-36b]
 若上于戊則甲丙線至丁丙己直線上為甲丙己甲
 丙丁兩角此兩角宜與兩直角等本篇/十三如此即甲丙
     戊甲丙丁兩角與甲丙己甲丙丁兩角亦
     等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙
     己兩角較之果相等乎公論/三夫甲丙己本
 小于甲丙戊而為其分今曰相等是全與其分等也
 公論/九若下于戊則甲丙線至丁丙庚直線上為甲丙
 庚甲丙丁兩角此兩角宜與兩直角等本篇/十三如此即
[001-37a]
 甲丙庚甲丙丁兩角與甲丙戊甲丙丁兩角亦等矣
 試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙庚較之果相等
 乎公論/三夫甲丙戊實小于甲丙庚而為其分今曰相
 等是全與其分等也公論/九兩者皆非則丁丙戊是一
 直線
 第十五題
凡兩直線相交作四角每兩交角必等
 解曰甲乙與丙丁兩線相交于戊題言甲戊丙與丁
[001-37b]
    戊乙兩角甲戊丁與丙戊乙兩角各等
    論曰丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙
 兩角與兩直角等本篇/十三甲戊線至丙丁線上則甲戊
 丙甲戊丁兩角與兩直角等本篇/十三如此即丁戊乙甲
 戊丁兩角亦與甲戊丁甲戊内兩角等公論/十試減同
 用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙兩角必等公/論
 三/又丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙兩角與
 兩直角等本篇/十三乙戊線至丙丁線上則丁戊乙丙戊
[001-38a]
    乙兩角與兩直角等本篇/十三如此即甲戊丁丁
    戊乙兩角亦與丁戊乙丙戊乙兩角公論/十
 減同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等
 一系推顯兩直線相交于中㸃上作四角與四直角
 等
 二系一㸃之上兩直線相交不論幾許線幾許角定
 與四直角等公論/十八
  増題一直線内出不同方兩直線而所作兩交角
[001-38b]
  等即後出兩線為一直線
      解曰甲乙線内取丙㸃出丙丁丙戊兩
      線而所作甲丙戊丁丙乙兩交角等或
  甲丙丁戊丙乙兩交角等題言戊丙丙丁即一直
  線
  論曰甲丙戊角既與丁丙乙角等每加一戊丙乙
  角即甲丙戊戊丙乙兩角必與丁丙乙戊丙乙兩
  角等公論/二而甲丙戊戊丙乙與兩直角等本篇/十三
[001-39a]
  丁丙乙戊丙乙亦與兩直角等是戊丙丙丁為一
  直線本篇/十四
 第十六題
凡三角形之外角必大于相對之各角
      解曰甲乙丙角形自乙甲線引之至丁
      題言外角丁甲丙必大于相對之内角
 甲乙丙甲丙乙
 論曰欲顯丁甲丙角大于甲丙乙角試以甲丙線兩
[001-39b]
     平分于戊本篇/十自乙至戊作直線引長之
     從戊外截取戊巳與乙戊等本篇/三次自甲
     至己作直線即甲戊己戊乙丙兩角形之
 戊己與戊乙兩線等戊甲與戊丙兩線等甲戊己乙
 戊丙兩交角又等本篇/十五則甲己與乙丙兩底亦等本/篇
 四/兩形之各邊各角俱等而己甲戊與戊丙乙兩角
 亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分則丁甲丙大于己
 甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于
[001-40a]
 相對之甲丙乙内角乎次顯丁甲丙大于甲乙丙試
 自丙甲線引長之至庚次以甲乙線兩平分于辛本/篇
 十/自丙至辛作直線引長之從辛外截取辛壬與丙
 辛等本篇/三次自甲至壬作直線依前論推顯甲辛壬
 辛丙乙兩角形之各邊各角俱等則壬甲辛與辛乙
 丙兩角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚
 甲乙也庚甲乙又與丁甲丙兩交角等本篇/十五則甲乙
 丙内角不小于丁甲丙外角乎其餘乙丙上作外角
[001-40b]
 俱大于相對之内角依此推顯
 第十七題
凡三角形之每兩角必小于兩直角
     解曰甲乙丙角形題言甲乙丙甲丙乙兩
     角丙甲乙甲乙丙兩角甲丙乙丙甲乙兩
     角皆小于兩直角
 論曰試用兩邊線丙甲引出至戊丙乙引出至丁即
 甲乙丁外角大于相對之甲丙乙内角矣本篇/十六此兩
[001-41a]
 率者每加一甲乙丙角則甲乙丁甲乙丙必大于甲
 丙乙甲乙丙矣公論/四夫甲乙丁甲乙丙與兩直角等
 也本篇/十三則甲丙乙甲乙丙小于兩直角也餘二倣此
 第十八題
凡三角形大邊對大角小邊對小角
    解曰甲乙丙角形之甲丙邊大于甲乙邊乙
    丙邊題言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙
 角
[001-41b]
 論曰甲丙邊大于甲乙邊即于甲丙線上截甲丁與
 甲乙等本篇/三自乙至丁作直線則甲乙丁與甲丁乙
 兩角等矣本篇/五夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角
 必大于相對之丁丙乙内角本篇/十六則甲乙丁角亦大
 于甲丙乙角而況甲乙丙又函甲乙丁于其中不又
 大于甲丙乙乎如乙丙邊大于甲乙邊則乙甲丙角
 亦大于甲丙乙角依此推顯
 第十九題
[001-42a]
凡三角形大角對大邊小角對小邊
    解曰甲乙丙角形乙角大于丙角題言對乙
    角之甲丙邊必大于對丙角之甲乙邊
 論曰如云不然令言或等或小若言甲丙與甲乙等
 則甲丙角宜與甲乙角等矣本篇/五何設乙角大于丙
 角也若言甲丙小于甲乙則甲丙邊對甲乙大角宜
 大本篇/十八又何言小也如甲角大于丙角則乙丙邊大
 于甲乙邊依此推顯
[001-42b]
 第二十題
凡三角形之兩邊并之必大于一邊
    解曰甲乙丙角形題言甲丙甲乙邊并之必
    大于乙丙邊甲丙丙乙并之必大于甲乙甲
 乙乙丙并之必大于甲丙
 論曰試于丙甲邊引長之以甲乙為度截取甲丁本/篇
 三/自丁至乙作直線令甲丁甲乙兩腰等而甲丁乙
 甲乙丁兩角亦等本篇/五即丙乙丁角大于甲乙丁角
[001-43a]
 亦大于丙丁乙角矣夫丁丙邊對丙乙丁大角也豈
 不大于乙丙邊對丙丁乙小角者乎本篇/十九又甲丁甲
 乙兩線各加甲丙線等也則甲乙加甲丙者與丙丁
 等矣丙丁既大于乙丙則甲乙甲丙兩邊并必大于
 乙丙邊也餘二倣此
 第二十一題
凡三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其
 内則内形兩腰并之必小于相對兩腰而後兩線所
[001-43b]
 作角必大于相對角
    解曰甲乙丙角形于乙丙邊之兩界各出一
    線遇于丁題言丁丙丁乙兩線并必小于甲
    乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角
 論曰試用内一線引長之如乙丁引之至戊即乙甲
 戊角形之乙甲甲戊兩線并必大于乙戊線也本篇/二十
 此二率者每加一戊丙線則乙甲甲戊戊丙并必大
 于乙戊戊丙并矣公論/四又戊丁丙角形之戊丁戊丙
[001-44a]
 線并必大于丁丙線也此二率者每加一丁乙線則
 戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣公論/四夫乙
 甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙豈不更大于丁丙丁
 乙乎本篇/二十又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相對
 之乙甲戊内角本篇/十六即丁戊丙角形之乙丁丙外角
 更大于相對之丁戊丙内角矣而乙丁丙角豈不更
 大于乙甲丙角乎
 第二十二題
[001-44b]
三直線求作三角形其每兩線并大于一線也
     法曰甲乙丙三線其第一第二線并大于
     第三線若兩線比第三線或等或小即/不能作三角形見本篇二十
     作三角形先任作丁戊線長于三線并次
     以甲為度從丁截取丁巳線本篇/三以乙為
     度從己截取己庚線以丙為度從庚截取
 庚辛線次以己為心丁為界作丁壬癸圜以庚為心
 辛為界作辛壬癸圜其兩圜相遇下為壬上為癸末
[001-45a]
 以庚巳為底作癸庚癸巳兩直線即得己癸庚三角
 形用壬亦可作線若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不/到丑即是兩 或等或小于第三線不成三角形
 矣/
 論曰此角形之丁己己癸線皆同圜之半徑等界説/十五
 則己癸與甲等庚辛庚癸線亦皆同圜之半徑等則
 庚癸與丙等己庚元以乙為度則角形三線與所設
 三線等
     用法任以一線為底以底之一界為心第
[001-45b]
     二線為度向上作短界線次以又一界為
     心第三線為度向上作短界線兩界線交
     處向下作兩腰如所求
     若設一三角形求别作一形與之等亦用
     此法
 第二十三題
一直線任于一㸃上求作一角與所設角等
 法曰甲乙線于丙㸃求作一角與丁戊己角等先于
[001-46a]
     戊丁線任取一㸃為庚于戊巳線任取一
     㸃為辛自庚至辛作直線次依甲乙線作
     丙壬癸角形與戊庚辛角形等本篇/卄二即丙
     壬丙癸兩腰與戊庚戊辛兩腰等壬癸底
 與庚辛底又等則丙角與戊角必等本篇/八
 第二十四題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之腰間角大則底
 亦大
[001-46b]
    解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁
    戊兩腰甲丙與丁巳兩腰各等若乙甲丙角
    大于戊丁己角題言乙丙底必大于戊巳底
    論曰試依丁戊線從丁㸃作戊丁庚角與乙
    甲丙角等本篇/卄三則戊丁庚角大于戊丁己角
    而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚線與丁
    巳等本篇/三即丁庚丁巳俱與甲丙等又自戊
    至庚作直線是甲乙與丁戊甲丙與丁庚腰
[001-47a]
    線各等乙甲丙與戊丁庚兩角亦等而乙丙
    與戊庚兩底必等也本篇/四次問所作戊庚底
    今在戊巳底上邪抑同在一線邪抑在其下
    邪若在上即如第二圖自己至庚作直線則
    丁庚己角形之丁庚丁巳兩腰等而丁庚己
    與丁己庚兩角亦等矣本篇/五夫戊庚己角乃
    丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相
    等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分則
[001-47b]
    戊庚己益小于戊巳庚也公論/九則對戊庚己
    小角之戊己腰必小于對戊己庚大角之戊
    庚腰也本篇/十九若戊巳與戊庚兩底同線即如
    第四圖戊己乃戊庚之分則戊己必小于戊
 庚也公論/九若戊庚在戊巳之下即如第六圖自己至
 庚作直線次引丁庚線出于壬引丁巳線出于辛則
 丁庚丁巳兩腰等而辛巳庚壬庚己兩外角亦等矣
 本篇/五夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己
[001-48a]
 亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之
 分則戊庚巳益小于戊己庚也公論/九則對戊庚己小
 角之戊巳腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也本/篇
 十/九是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙本篇/四
 第二十五題
兩三角形相當之兩腰各等若一形之底大則腰間角
 亦大
 解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁戊甲丙
[001-48b]
    與丁巳各兩腰等若乙丙底大于戊巳底題
    言乙甲丙角大于戊丁巳角
    論曰如云不然令言或小或等若言等則兩
 形之兩腰各等腰間角又等宜兩底亦等本篇/四何設
 乙丙底大也若言乙甲丙角小則對乙甲丙角之乙
 丙線宜亦小本篇/廿四何設乙丙底大也
 第二十六題二支/
兩三角形有相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩
[001-49a]
 邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之内及一
 角之對
    先解一邊在兩角之内者曰甲乙丙角形之
    甲乙丙甲丙乙兩角與丁戊己角形之丁戊
    巳丁巳戊兩角各等在兩角内之乙丙邊與
 戊巳邊又等題言甲乙與丁戊兩邊甲丙與丁巳兩
 邊各等而乙甲丙角與戊丁巳角亦等
 論曰如云兩邊不等而丁戊大于甲乙令于丁戊線
[001-49b]
 截取庚戊與甲乙等本篇/三次自庚至己作直線即庚
 戊巳角形之庚戊戊巳兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等
 矣夫乙角與戊角元等則甲丙與庚巳宜等本篇/四
 庚巳戊角與甲丙乙角宜亦等也本篇/四既設丁己戊
 與甲丙乙兩角等今又言庚己戊與甲丙乙兩角等
    是庚己戊與丁己戊亦等全與其分等矣公/論
    九/以此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦
    等
[001-50a]
    後解相等邊不在兩角之内而在一角之對
    者曰甲乙丙角形之乙角丙角與丁戊己角
    形之戊角丁己戊角各等而對丙之甲乙邊
 與對己之丁戊邊又等題言甲丙與丁己兩邊丙乙
 與己戊兩邊各等而甲角與戊丁己角亦等
 論曰如云兩邊不等而戊己大于乙丙令于戊己線
 截取戊庚與乙丙等本篇/三次自丁至庚作直線即丁
 戊庚角形之丁戊戊庚兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等
[001-50b]
 矣夫乙角與戊角元等則甲丙與丁庚宜等本篇/四
 丁庚戊角與甲丙乙角宜亦等也既設丁巳戊與甲
 丙乙兩角等今又言丁庚戊與甲丙乙兩角等是丁
 庚戊外角與相對之丁巳戊内角等矣本篇/十六可乎以
 此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦等
 第二十七題
兩直線有他直線交加其上若内相對兩角等即兩直
 線必平行
[001-51a]
    解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于
    庚于辛而甲庚辛與丁辛庚兩角等題言甲
    乙丙丁兩線必平行
    論曰如云不然則甲乙丙丁兩直線必至相
 遇于壬而庚辛壬成三角形則甲庚辛外角宜大于
 相對之庚辛壬内角矣本篇/十六乃先設相等乎若設乙
 庚辛角與丙辛庚角等亦依此論若言甲乙丙丁兩
 直線相遇于癸亦依此論
[001-51b]
 第二十八題二支/
兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之内
 角等或同方兩内角與兩直角等即兩直線必平行
    先解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交
    于庚于辛其戊庚甲外角與同方相對之庚
    辛丙内角等題言甲乙丙丁兩線必平行
    論曰乙庚辛角與相對之内角丙辛庚等本/篇
 卄/七戊庚甲與乙庚辛兩交角亦等本篇/十五即兩直線必
[001-52a]
 平行
 後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等題言甲
 乙丙丁兩線必平行
 論曰甲庚辛丙辛庚兩角與兩直角等而甲庚戊甲
 庚辛兩角亦與兩直角等本篇/十三試減同用之甲庚辛
 即所存甲庚戊與丙辛庚等矣既外角與同方相對
 之内角等即甲乙丙丁必平行本/題
 第二十九題三支/
[001-52b]
兩平行線有他直線交加其上則内相對兩角必等外角
 與同方相對之内角亦等同方兩内角亦與兩直角等
    先解曰此反前二題故同前圖有甲乙丙丁
    二平行線加他直線戊巳交于庚于辛題言
    甲庚辛與丁辛庚内相對兩角必等
 論曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚則丁辛庚加
 辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣公論/四夫辛庚甲
 辛庚乙元與兩直角等本篇/十三據如彼論則丁辛庚辛
[001-53a]
 庚乙兩角小于兩直角而甲乙丙丁兩直線向乙丁
 行必相遇也公論/十一可謂平行線乎
 次解曰戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等
 論曰乙庚辛與相對之丙辛庚兩内角等本/題則乙庚
 辛交角相等之戊庚甲本篇/十五與丙辛庚必等公論/一
 後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等
 論曰戊庚甲與庚辛丙兩角既等本/題而每加一甲庚
 辛角則庚辛丙甲庚辛兩角與甲庚辛戊庚甲兩角
[001-53b]
 必等公論/二夫甲庚辛戊庚甲本與兩直角等本篇/十三
 甲庚辛丙辛庚兩内角亦與兩直角等
 第三十題
兩直線與他直線平行則元兩線亦平行
 解曰此題所指線在同面者不同面線後别有論如
 甲乙丙丁兩直線各與他線戊巳平行題言甲乙與
 丙丁亦平行
 論曰試作庚辛直線交加于三直線甲乙于壬戊巳
[001-54a]
       于子丙丁于癸其甲乙與戊巳既平
       行即甲壬子與相對之己子壬兩内
       角等本篇/廿九丙丁與戊巳既平行即丁
       癸子内角與己子壬外角亦等本篇/廿九
 丁癸子與甲壬子亦為相對之内角亦等公論/一而甲
 乙丙丁為平行線本篇/廿七
 第三十一題
一㸃上求作直線與所設直線平行
[001-54b]
    法曰甲㸃上求作直線與乙丙平行先從甲㸃
    向乙丙線任指一處作直線為甲丁即乙丙線上
    成甲丁乙角次于甲㸃上作一角與甲丁乙等本/篇
 廿/三為戊甲丁從戊甲線引之至己即己戊與乙丙平行
 論曰戊己乙丙兩線有甲丁線聯之其所作戊甲丁
 與甲丁乙相對之兩内角等即平行線本篇/廿七
  増從此題生一用法設一角兩線求作有法四邊
  形有角與所設角等兩兩邊線與所設線等
[001-55a]
      法曰先作己丁戊角與丙等次截丁戊
      線與甲等己丁線與乙等末依丁戊平
      行作己庚依己丁平行作庚戊即所求
     本題用法于甲㸃求作直線與乙丙平行
     先作甲丁線次以丁為心任作戊己圜界
     次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長于
  戊己次取戊己圜界為度于庚辛圜界截取庚辛
  末自甲至辛作直線各引長之即所求
[001-55b]
     又用法以甲㸃為心于乙丙線近乙處任
     指一㸃作短界線為丁次用元度以丁為
     心于乙丙上向丙截取一分作短界線為
  戊次用元度以戊為心向上與甲平處作短界線
  又用元度以甲為心向甲平處作短界線後兩界
  線交處為己自甲至己作直線各引長之即所求
 第三十二題二支/
凡三角形之外角與相對之内兩角并等凡三角形之
[001-56a]
 内三角并與兩直角等
 先解曰甲乙丙角形試從乙丙邊引至丁題言甲丙
    丁外角與相對之内兩角甲乙并等
    論曰試作戊丙線與甲乙平行本篇/三一令甲丙
    為甲乙戊丙之交加線則乙甲丙角與相對
 之甲丙戊角等本篇/卄九又乙丁線與兩平行線相遇則
 戊丙丁外角與相對之甲乙丙内角等本篇/廿九既甲丙
 戊與乙甲丙等而戊丙丁與甲乙丙又等則甲丙丁
[001-56b]
 外角與内兩角甲乙并等矣
 後解曰甲乙丙三角并與兩直角等
 論曰既甲丙丁角與甲乙兩角并等更于甲丙丁加
 甲丙乙則甲丙丁甲丙乙兩角并與甲乙丙内三角
 并等矣公論/二夫甲丙丁甲丙乙并元與兩直角等本/篇
 十/三則甲乙丙内三角并亦與兩直角等
  増從此推知凡第一形當兩直角第二形當四直
  角第三形當六直角自此以上至于無窮每命形
[001-57a]
    之數倍之為所當直角之數凡一線二線不/能為形故三邊
    為第一形四邊為第二形五邊為第/三形六邊為第四形倣此以至無窮又視每
    形邊數減二邊即所存邊數是本形之數
    論曰如上四圖第一形三邊減二邊存一邊
    即是本形一數倍之當兩直角本/題第二形四
    邊減二邊存二邊即是本形二數倍之當四
  直角欲顯此理試以第二形作一對角線成兩三
  角形每形當兩直角并之則當四直角矣第三形
[001-57b]
    五邊減二邊存三邊即是本形三數倍之當
    六直角欲顯此理試以第三形作兩對角線
    成三三角形每形當兩直角并之亦當六直
    角矣其餘依此推顯以至無窮
    又一法每形視其邊數每邊當兩直角而減
    四直角其存者即本形所當直角
  論曰欲顯此理試于形中任作一㸃從此㸃向各
  角俱作直線令每形所分角形之數如其邊數每
[001-58a]
    一分形三角當二直角本/題其近㸃之處不論
    幾角皆當四直角本篇十/五之系次減近㸃諸角即
    是減四直角其存者則本形所當直角如上
    第四形六邊中間任指一㸃從㸃向各角分
    為六三角形每一分形三角六形共十八角
    今于近㸃處減當四直角之六角所存近邊
  十二角當八直角餘倣此
 一系凡諸種角形之三角并俱相等本題/増
[001-58b]
 二系凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角每當直
 角之半腰間鈍角則餘兩角俱小于半直角腰間鋭
 角則餘兩角俱大于半直角
 三系平邊角形每角當直角三分之二
 四系平邊角形若從一角向對邊作垂線分為兩角
 形此分形各有一直角在垂線之下兩旁則垂線之
 上兩旁角每當直角三分之一其餘兩角每當直角
 三分之二
[001-59a]
     増從三系可分一直角為三平分其法任
     于一邊立平邊角形次分對直角一邊為
  兩平分從此邊對角作垂線即所求如上圖甲乙
  丙直角求三分之先于甲乙線上作甲乙丁平邊
  角形本篇/一次平分甲丁于戊本篇/九末作乙戊直線
 第三十三題
兩平行相等線之界有兩線聯之其兩線亦平行亦相
 等
[001-59b]
    解曰甲乙丙丁兩平行相等線有甲丙乙丁
    兩線聯之題言甲丙乙丁亦平行相等線
    論曰試作甲丁對角線為甲乙丙丁之交加
 線即乙甲丁丙丁甲相對兩内角等本篇/卄九又甲丁線
 上下兩角形之甲乙丙丁兩邊既等甲丁同邊則對
 乙甲丁角之乙丁線與對丙丁甲角之甲丙線亦等
 本篇/卄九而乙丁甲與丙甲丁兩角亦等也本篇/四此兩角
 者甲丙乙丁之内相對角也兩角既等則甲丙乙丁
[001-60a]
 兩線必平行本篇/廿七
 第三十四題
凡平行線方形每相對兩邊線各等每相對兩角各等
 對角線分本形兩平分
    解曰甲乙丁丙平行方形界説/三五題言甲乙與
    丙丁兩線甲丙與乙丁兩線各等又言乙與
    丙兩角乙甲丙與丙丁乙兩角各等又言若
 作甲丁對角線即分本形為兩平分
[001-60b]
 論曰甲乙與丙丁既平行則乙甲丁與丙丁甲相對
 之兩内角等本篇/廿九甲丙與乙丁既平行則乙丁甲與
 丙甲丁相對之兩内角等本篇/廿九甲乙丁角形之乙甲
 丁乙丁甲兩角與甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁兩
 角既各等甲丁同邊則甲乙與丙丁甲丙與乙丁俱
 等也而丙角與相對之乙角亦等矣本篇/廿六又乙丁甲
 角加丙丁甲角與丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙
 甲丙與丙丁乙相對兩角亦等也公論/二又甲乙丁甲
[001-61a]
 丁丙兩角形之甲乙乙丁兩邊與丁丙丙甲兩邊各
 等腰間之乙角與丙角亦等則兩角形必等本篇/四
 甲丁線分本形為兩平分
 第三十五題
兩平行方形若同在平行線内又同底則兩形必等
    解曰甲乙丙丁兩平行線内有丙丁戊甲與
    丙丁乙巳兩平行方形同丙丁底題言此兩
    形等等者不謂腰等角等謂所函之地等後
[001-61b]
 言形等者多倣此
 先論曰設己在甲戊之内其丙丁戊甲與丙丁乙己
 皆平行方形丙丁同底則甲戊與丙丁巳乙與丙丁
 各相對之兩邊各等本篇/三四而甲戊與己乙亦等公論/一
 試于甲戊己乙兩線各減己戊即甲己與戊乙亦等
 公論/三而甲丙與戊丁元等本篇/三四乙戊丁外角與己甲
 丙内角又等本篇/廿九則乙戊丁與己甲丙兩角形必等
 矣本篇/四次于兩角形每加一丙丁戊己無法四邊形
[001-62a]
 則丙丁戊甲與丙丁乙己兩平行方形等也公論/二
    次論曰設己戊同㸃依前甲戊與戊乙等乙
    戊丁與戊甲丙兩角形等本篇/四而每加一戊
    丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁乙戊兩平行
    方形必等公論/二
    後論曰設己㸃在戊之外而丙己與戊丁兩
    線交于庚依前甲戊與己乙兩線等而每加
    一戊己線即戊乙與甲己兩線亦等公論/二
[001-62b]
    顯己甲丙與乙戊丁兩角形亦等本篇/四次每
    減一己戊庚角形則所存戊庚丙甲與乙己
    庚丁兩無法四邊形亦等公論/三次于兩無法
    形每加一庚丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁
 乙己兩平行方形必等公論/二
 第三十六題
兩平行線内有兩平行方形若底等則形亦等
 解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊己與庚辛丁
[001-63a]
    乙兩平行方形而丙戊與辛丁兩底等題言
    兩形亦等
    論曰試自丙至庚戊至乙各作直線相聯其
 丙戊庚乙各與辛丁等則丙戊與庚乙亦等本篇/卅四
 乙與丙戊既平行線則庚丙與乙戊亦平行線本篇/卅三
 而甲丙戊己與庚丙戊乙兩平行方形同丙戊底者
 等矣本篇/三五庚辛丁乙與庚丙戊乙兩平行方形同庚
 乙底者亦等矣本篇/三五既爾則庚辛丁乙與甲丙戊己
[001-63b]
 亦等公論/一
 第三十七題
兩平行線内有兩三角形若同底則兩形必等
    解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁乙丙
    丁兩角形同丙丁底題言兩形必等
    論曰試自丁至戊作直線與甲丙平行次自
 丁至己作直線與乙丙平行本篇/三一夫甲丙丁戊乙丙
 丁己兩平行方形在甲乙丙丁兩平行線内同丙丁
[001-64a]
    底既等本篇/三五則甲丙丁角形為甲丙丁戊方
    形之半與乙丙丁角形為乙丙丁己方形之
    半者甲丁乙丁兩對角線平/分兩方形見本篇卅四亦等公論/七
 第三十八題
兩平行線内有兩三角形若底等則兩形必等
    解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊與乙
    己丁兩角形而丙戊與己丁兩底等題言兩
    形必等
[001-64b]
 論曰試自庚至戊辛至丁各作直線與甲丙乙己平
 行本篇/卅一其甲丙戊庚與乙己丁辛兩平行方形既等
 本篇/卅六則甲丙戊與乙己丁兩角形為兩方形之半者
 本篇/卅四亦等公論/七
     増凡角形任于一邊兩平分之向對角作
     直線即分本形為兩平分
  論曰甲乙丙角形試以乙丙邊兩平分于丁本篇/十
  自丁至甲作直線即甲丁線分本形為兩平分何
[001-65a]
  者試于甲角上作直線與乙丙平行本篇/卅一則甲乙
  丁甲丁丙兩角形在兩平行線内兩底等兩形亦
  等本/題
     二増題凡角形任于一邊任作一㸃求從
     㸃分本形為兩平分
     法曰甲乙丙角形從丁㸃求兩平分先自
  丁至相對甲角作甲丁直線次平分乙丙線于戊
  本篇/十作戊己線與甲丁平行本篇/卅一末作己丁直線
[001-65b]
  即分本形為兩平分
  論曰試作甲戊直線即甲戊己己丁戊兩角形在
  兩平行線内同己戊底者等而每加一己戊丙形
  則己丁丙與甲戊丙兩角形亦等公論/二夫甲戊丙
  為甲乙丙之半本題/増則己丁丙亦甲乙丙之半
 第三十九題
兩三角形其底同其形等必在兩平行線内
 解曰甲乙丙與丁丙乙兩角形之乙丙底同其形復
[001-66a]
     等題言在兩平行線内者葢云自甲至丁
     作直線必與乙丙平行
     論曰如云不然令從甲别作直線與乙丙
     平行本篇/卅一必在甲丁之上或在其下矣設
 在上為甲戊而乙丁線引出至戊即作戊丙直線是
 甲乙丙宜與戊丙乙兩角形等矣本篇/卅七夫甲乙丙與
 丁丙乙既等而與戊丙乙復等是全與其分等也公/論
 九/設在甲丁下為甲己即作己丙直線是己丙乙與
[001-66b]
 丁丙乙亦等如前駁之
 第四十題
兩三角形其底等其形等必在兩平行線内
     解曰甲乙丙與丁戊己兩角形之乙丙與
     戊己兩底等其形亦等題言在兩平行線
     内者葢云自甲至丁作直線必與乙己平
 行
 論曰如云不然令從甲别作直線與乙己平行本篇/卅一
[001-67a]
 必在甲丁之上或在其下矣設在上為甲庚而戊丁
 線引出至庚即作庚己直線是甲乙丙宜與庚戊己
 兩角形等矣本篇/三八夫甲乙丙與丁戊己既等而與庚
 戊己復等是全與其分等也公論/九設在甲丁下為甲
 辛即作辛己直線是辛戊己與丁戊己亦等如前駁之
 第四十一題
兩平行線内有一平行方形一三角形同底則方形倍
 大于三角形
[001-67b]
    解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁戊方
    形乙丁丙角形同丙丁底題言方形倍大于
    角形
 論曰試作甲丁直線分方形為兩平分則甲丙丁與
 乙丁丙兩角形等矣本篇/卅七夫甲丙丁戊倍大于甲丙
 丁本篇/卅三必倍大于乙丁丙
 第四十二題
有三角形求作平行方形與之等而方形角有與所設
[001-68a]
 角等
    法曰設甲乙丙角形丁角求作平行方形與
    甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平
    分如乙丙邊平分于戊本篇/十次作丙戊己角
 與丁角等本篇/廿次自甲作直線與乙丙平行本篇/卅一
 與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為丙
 庚本篇/卅一而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方
 形與甲乙丙角形等
[001-68b]
 論曰試自甲至戊作直線其甲戊丙角形與己戊丙
 庚平行方形在兩平行線内同底則己戊丙庚倍大
 于甲戊丙矣本篇/四一夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙本篇/卅八
 増/即與己戊丙庚等公論/六
 第四十三題
凡方形對角線旁兩餘方形自相等
 解曰甲乙丙丁方形有甲丙對角線題言兩旁之乙
 壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形界説/卅六必等
[001-69a]
    論曰甲乙丙甲丙丁兩角形等本篇/卅四甲戊庚
    甲庚辛兩角形亦等本篇/卅四而于甲乙丙減甲
    戊庚于甲丙丁減甲庚辛則所存乙丙庚戊
    與庚丙丁辛兩無法四邊形亦等矣公論/三
    庚壬丙己角線方形之庚丙己庚丙壬兩角
    形等本篇/三四而于兩無法四邊形每減其一則
 所存乙壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形安得不等公論/三
 第四十四題
[001-69b]
一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角
 有與所設角等
     法曰設甲線乙角形丙角求于甲線上作
     平行方形與乙角形等而有丙角先作丁
     戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚
     角與丙角等本篇/四二次于庚己線引長之作
     己辛線與甲等次作辛壬線與戊己平行
     本篇/三一次于丁戊引長之與辛壬線遇于壬
[001-70a]
 次自壬至己作對角線引出之又自丁庚引長之與
 對線角遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬
 辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子
 線得丑即己丑子辛平行方形如所求
 論曰此方形之己辛線與甲等而辛己丑角為戊己
 庚之交角本篇/十五則與丙等又本形與戊己庚丁同為
 餘方形等本篇/四三則與乙角形等
 第四十五題
[001-70b]
有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有
 與所設角等
      法曰設甲乙丙五邊形丁角求作平行
      方形與五邊形等而有丁角先分五邊
      形為甲乙丙三三角形次作戊己庚辛
      平行方形與甲等而有丁角本篇/四二次于
 戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形
 與乙等而有丁角本篇/四四末復引前線作壬癸子丑平
[001-71a]
 行方形與丙等而有丁角本篇/四四即此三形并為一平
 行方形與甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至
 無窮俱倣此法
 論曰戊己庚與辛庚癸兩角等而每加一己庚辛角
 即辛庚癸己庚辛兩角定與己庚辛戊己庚兩角等
 夫己庚辛戊己庚是兩平行線内角與兩直角等也
 本篇/廿九則己庚辛辛庚癸亦與兩直角等而己庚庚癸
 為一直線也本篇/十四又戊辛庚與戊己庚兩對角等而
[001-71b]
 辛壬癸與辛庚癸兩對角亦等則戊己庚辛庚辛壬
 癸皆平行方形也本篇/卅四壬癸子丑依此推顯本篇/三十
 與戊己癸壬并為一平行方形矣
  増題兩直線形不等求相減之較幾何
      法曰甲與乙兩直線形甲大于乙以乙
      減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行
      方形與甲等次于丙丁線上依丁角作
      丁丙辛庚平行方形與乙等本/題即得辛
[001-72a]
  庚戊己為相減之較矣何者丁丙己戊之大于丁
  丙辛庚較餘一辛庚戊己也則甲大于乙亦辛庚
  戊己也
 第四十六題
一直線上求立直角方形
    法曰甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩
    界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等
 本篇/十一次作丁丙線相聯即甲乙丙丁為直角方形
[001-72b]
 論曰甲乙兩角俱直角則丁甲丙乙為平行線本篇/廿八
 此兩線自相等則丁丙與甲乙亦平行線本篇/三三而甲
 乙丙丁四線俱平行俱相等又甲乙俱直角則相對
 丁丙亦俱直角本篇/卅四而甲乙丙丁定為四直角方形
 第四十七題
凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊
 上所作兩直角方形并等
 解曰甲乙丙角形于對乙甲丙直角之乙丙邊上作
[001-73a]
      乙丙丁戊直角方形本篇/四六題言此形與
      甲乙邊上所作甲乙己庚及甲丙邊上
      所作甲丙辛壬兩直角方形并等
      論曰試從甲作甲癸直線與乙戊丙丁
      平行本篇卅一/分乙丙邊于子次自甲
      至丁至戊各作直線末自乙至辛自丙
 至己各作直線其乙甲丙與乙甲庚既皆直角即庚
 甲甲丙是一直線本篇/十四依顯乙甲甲壬亦一直線又
[001-73b]
 丙乙戊與甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即
 甲乙戊與丙乙己兩角亦等公論/二依顯甲丙丁與乙
 丙辛兩角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊兩邊與
 丙乙己角形之己乙乙丙兩邊等甲乙戊與丙乙己
 兩角復等則對等角之甲戊與丙己兩邊亦等而此
 兩角形亦等矣本篇/四夫甲乙己庚直角方形倍大于
 同乙己底同在平行線内之丙乙己角形本篇/四一而乙
 戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行線内
[001-74a]
 之甲乙戊角形則甲乙己庚不與乙戊癸子等乎公/論
 六/依顯甲丙辛壬直角方形與丙丁癸子直角形等
 則乙戊丁丙一形與甲乙己庚甲丙辛壬兩形并等
 矣
     一増凡直角方形之對角線上作直角方
     形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之
  甲丙線上作直角方形倍大于甲乙丙丁形
  二増題設不等兩直角方形如一以甲為邊一以
[001-74b]
  乙為邊求别作兩直角方形自相等而并之又與
  元設兩形并等
     法曰先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直
     角而丙丁線與乙等次作戊丁線相聨末
  于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己
  戊己丁兩腰遇于己公論/十一而等本篇/六即己戊己丁
  兩線上所作兩直角方形自相等而并之又與丙
  戊丙丁上所作兩直角方形并等
[001-75a]
  論曰己丁戊己戊丁兩角既皆半于直角則丁己
  戊為直角本篇/卅二而對直角之丁戊線上所作直角
  方形與兩腰線上所作兩直角方形并等矣本/題
  戊與己丁既等則其上所作兩直角方形自相等
  矣又丁戊線上所作直角方形與丙丁丙戊線上
  所作兩直角方形并既等則己戊己丁上兩直角
  方形并與丙戊丙丁上兩直角方形并亦等
  三増題多直角方形求并作一直角方形與之等
[001-75b]
      法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊為
      邊任等不等求作一直角方形與五形
      并等先作己庚辛直角而己庚線與甲
      等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己
      辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線
  旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線旋
  作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線題言
  己子線上所作直角方形即所求
[001-76a]
  論曰己辛上作直角方形與甲乙兩形并等本/題
  壬上作直角方形與己辛及丙兩形并等餘倣此
  推顯可至無窮
     四増三邊直角形以兩邊求第三邊長短
     之數
     法曰甲乙丙角形甲為直角先得甲乙甲
  丙兩邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長
  短之數其甲乙甲丙上所作兩直角方形并既與
[001-76b]
  乙丙上所作直角方形等本/題則甲乙之羃自乘之/數曰羃
  得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙
  之羃亦百百開方得十即乙丙數十也又設先得
  甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之數其甲
  乙甲丙上兩直角方形并既與乙丙上直角方形
     等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百
     百減三十六得甲丙之羃六十四六十四
     開方得八即甲丙八也求甲乙倣此 此
[001-77a]
  以開方盡實者為例其不盡實者自具筭家分法
 第四十八題
凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作兩直
 角方形并等則對一邊之角必直角
    解曰此反前題如甲乙丙角形其甲丙邊上
    所作直角方形與甲乙乙丙邊上所作兩直
 角方形并等題言甲乙丙角必直角
 論曰試于乙上作甲乙丁直角而乙丁與乙丙兩線
[001-77b]
 等次作丁甲線相聯其甲乙丁既直角則甲丁上直
 角方形與甲乙乙丁上兩直角方形并等本篇/四七而甲
 乙乙丁上兩直角方形并與甲乙乙丙上兩直角方
 形并又等甲乙同乙丁/乙丙等故即丁甲上直角方形與甲丙
 上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁兩腰
 與甲乙丙角形之甲乙乙丙兩腰既等而丁甲甲丙
 兩底又等則對底線之兩角亦等本篇/八甲乙丁既直
 角即甲乙丙亦直角
[001-78a]
 
 
 
 
 
 
 
 
[001-78b]
 
 
 
 
 
 
 
 幾何原本卷一