[004-1a] 
欽定四庫全書
幾何原本卷四之首
西洋利瑪竇譯
界說七則
第一界
直線形居他直線形内而此形之各角切他形之各邉
為形内切形
此卷將論切形在圜之内外及作圜在形之内外故
[004-1b]
解形之切在形内及切在形外者先以直
線形為例如前圖丁戊己角形之丁戊己
三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三
邉則丁戊己為甲乙丙之形内切形如後
圖癸子丑角形雖癸子兩角切庚辛壬角
形之庚辛壬庚兩邉而丑角不切辛壬邉
則癸子丑不可謂庚辛壬之形内切形
第二界
[004-2a]
一直線形居他直線形外而此形之各邉切他形之各
角為形外切形
如第一界圖甲乙丙為丁己戊之形外切形 其餘
各形倣此二例
第三界
直線形之各角切圜之界為圜内切形
甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙
是也
[004-2b]
第四界
直線形之各邉切圜之界為圜外切形
甲乙丙形之三邉切圜界于丁于己于戊
是也
第五界
圜之界切直線形之各邉為形内切圜
同第四界圖
第六界
[004-3a]
圜之界切直線形之各角為形外切圜
同第三界圖
第七界
直線之兩界各抵圜界為合圜線
甲乙線兩界各抵甲乙丙圜之界為合圜線
若丙抵圜而丁不至及戊之兩俱不至不為
合圜線
[004-3b]
幾何原本卷四之首
[004-4a]
欽定四庫全書
幾何原本卷四
西洋利瑪竇撰
第一題
有圜求作合圜線與所設線等此設線不大于圜之徑線
法曰甲乙丙圜求作合線與所設丁線等
其丁線不大于圜之徑線徑為圜内之最/大線更大不可
合見三/卷十五先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與
[004-4b]
丁等者即是合線若丁小于徑者即于乙丙上截取
乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙
丙圜于甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙
戊等則與丁等
第二題
有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設
丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜于甲三卷/十七
[004-5a]
次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛
甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即
圜内三角切形與所設丁戊己形等角
論曰甲丙乙與庚甲乙兩角等甲乙丙與
辛甲丙兩角亦等三卷/卅二而庚甲乙辛甲丙兩角既與
所設己戊兩角各等即甲丙乙甲乙丙亦與己戊各
等而乙甲丙必與丁等一卷/卅二則三角俱等
第三題
[004-5b]
有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三
角與所設丁戊己形之三角各等先于戊
己一邉引長之為庚辛次于圜界抵心作
甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作
乙壬丙角與丁己辛等末于甲乙丙上作
癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜于甲于乙于丙三卷/十六
之/系而相遇于子于丑于癸若作甲丙線郎癸甲丙癸/丙甲兩角小于兩直角而
[004-6a]
子癸丑癸兩線必/相遇餘二倣此此癸子丑三角與所設
丁戊己三角各等
論曰甲壬乙子四邉形之四角與四直角
等一卷卅/二題内而壬甲子壬乙子兩為直角即
甲壬乙甲子乙兩角并等兩直角彼丁戊
庚丁戊己兩角并亦等兩直角一卷/十三此二等率者每
减一相等之丁戊庚甲壬乙則所存丁戊己與甲子
乙等依顯丑角與丁己戊等則癸與丁亦等一卷/卅二而
[004-6b]
癸子丑與丁戊己兩形之各三角俱等
第四題
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙
丙角甲丙乙角各兩平分之一卷/九作乙丁丙
丁兩直線相遇于丁次自丁至角形之三邉
各作垂線為丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形
之丁戊乙丁乙戊兩角與乙丁己角形之丁己乙丁
[004-7a]
乙己兩角各等乙丁同邉即丁戊丁己兩邉亦等一/卷
廿/六依顯丁丙己角形與丁庚丙角形之丁己丁庚兩
邉亦等即丁戊丁己丁庚三線俱等末作圜以丁為
心戊為界即過庚己為戊庚己圜而切角形之甲乙
乙丙丙甲三邉于戊于己于庚三卷十/六之系此為形内切
圜
第五題
三角形求作形外切圜
[004-7b]
法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邉若形/是直
角鈍角則分直角/鈍角之兩旁邉于丁于戊次于丁戊上各作垂線
為己丁己戊而相遇于己若自丁至戊作/直線即己丁戊
角形之己丁戊己戊丁兩角小于/兩直角故丁己戊己兩線必相遇其己㸃
或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙
三線或在乙丙邉上止作己甲線其甲丁
己角形之甲丁與乙丁己角形之乙丁兩
腰等丁己同腰而丁之兩旁角俱直角即
[004-8a]
甲己己乙兩底必等一卷/四依顯甲己戊丙
己戊兩形之甲己己丙兩底亦等則己甲
己乙己丙三線俱等末作圜以己為心甲
為界必切丙乙而為角形之形外切圜
一系若圜心在三角形内即三角形為銳角形何者
每角在圜大分之上故若在一邉之上即為直角形
若在形外即為鈍角形
二系若三角形為銳角形即圜心必在形内若直角
[004-8b]
形必在一邉之上若鈍角形必在形外
増從此推得一法任設三㸃不在一直線可作一
過三㸃之圜其法先以三㸃作三直線相聯成三
角形次依前作
其同法甲乙丙三㸃先以甲乙兩㸃
各自為心相向各任作圜分令兩圜
分相交于丁于戊次甲丙兩㸃亦如
之令兩圜分相交于己于庚末作丁
[004-9a]
戊己庚兩線各引長之令相交于辛即辛為圜之
心 論見三卷二十五增
第六題
有圜求作内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角
方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于
戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為内
切圜直角方形
[004-9b]
論曰甲乙戊角形之甲戊與乙戊丙角形之戊丙兩
腰等乙戊同腰而腰間角兩為直角即其底甲乙乙
丙等一卷/四依顯乙丙丙丁亦等則四邉形之四邉俱
等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角三/卷
卅/一是為内切圜直角方形
第七題
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先
[004-10a]
作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊次于
甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩
徑之垂線而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛
為外切圜直角方形
論曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行一/卷
廿/八依顯甲丙庚壬亦平行則己庚辛壬亦平行一卷/三十
又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等一卷/卅四而甲
丙辛甲己辛兩角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦
[004-10b]
直角依顯庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邉俱
等于甲丙乙丁兩徑既四邉俱等于兩徑則己庚壬
辛為直角方形而四邉各切圜三卷十/六之系
第八題
直角方形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先
以四邉各兩平分于戊于己于庚于辛而作
辛己戊庚兩線交于壬其甲丁與乙丙既平行相等
[004-11a]
即半減線之甲辛乙己亦平行相等而甲乙與辛己
亦平行相等一卷/卅三依顯丁丙與辛己亦平行
相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙
壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四線
與甲辛戊乙丁辛甲戊四線各等夫甲辛戊乙丁辛
甲戊各為等線之半即與之等者壬戊壬己壬庚壬
辛亦自相等次作圜以壬為心戊為界必過己庚辛
而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉三卷/十六是為形内切圜
[004-11b]
第九題
直角方形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作
對角兩線為甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁
角形之甲乙甲丁兩腰等即甲乙丁甲丁乙兩角亦
等一卷/五而乙甲丁為直角即甲乙丁甲丁乙俱半直
角一卷/卅二依顯丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱
等又戊甲丁戊丁甲兩角等即戊甲戊丁兩邉亦等
[004-12a]
一卷/六依顯戊甲戊乙兩邉亦等而戊乙戊丙兩邉戊
丙戊丁兩邉各等次作圜以戊為心甲為界必過乙
丙丁而為形外切圜
第十題
求作兩邉等三角形而底上兩角各倍大于腰間角
法曰先任作甲乙線次分之于丙其分法
須甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直
角方形等二卷/十一次以甲為心乙為界作乙
[004-12b]
丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等本篇/一末作甲丁線
相聯其甲乙甲丁等即甲乙丁為兩邉等角形而甲
乙丁甲丁乙兩角各倍大于甲角
論曰試作丙丁線而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜
本篇/五其甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方
形等即亦與至規外之乙丁上直角方形等而乙丁
線切甲丙丁圜于丁三卷/卅七即乙丁切線偕丁丙割線
所作乙丁丙角與負丁甲丙圜分之甲角交互相等
[004-13a]
三卷/卅二此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角與
丙甲丁丙丁甲兩角并等夫乙丙丁外角亦與丙甲
丁丙丁甲相對之兩内角等一卷/卅二即乙丙丁角與甲
丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與乙丁
兩線亦等一卷/六夫乙丁元與甲丙等即丙丁與甲丙
亦等丙甲丁丙丁甲兩角亦等而甲角既與乙丁丙
角等即乙丁丙與丙丁甲兩角亦等是甲丁乙倍大
于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙
[004-13b]
丁亦倍大于甲也
第十一題
有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形
等邉等角先作己庚辛兩邉等角形而庚
辛兩角各倍大于己角本篇/十次于圜内作
甲丙丁角形與己庚辛角形各等角本篇/二
次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分一卷/九作丙戊丁
[004-14a]
乙兩線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聯即
甲乙丙丁戊為五邉内切圜形而五邉五角俱自相
等
論曰甲丙丁甲丁丙兩角皆倍大于丙甲丁角而兩
角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲
五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲
五圜分亦等三卷/廿六即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線
亦等三卷/廿九是五邉形之五邉等又甲乙戊丁兩圜分
[004-14b]
等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁與戊丁丙乙
兩圜分等乘兩圜分之甲戊丁乙甲戊兩角亦等依
顯餘三角與兩角俱等是五邉形之五角等
第十二題
有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形
等邉等角先作圜内甲乙丙丁戊五邉等
邉等角切形本篇/十一次從己心作己甲己乙
[004-15a]
己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸
癸子子庚五埀線相遇于庚于辛于壬于癸于子庚/戊
甲庚甲戊兩角小于兩直角故/甲庚戊庚線必相遇餘四倣此五埀線既切圜三卷/十六
即成外切圜五邉形而等邉等角
論曰試從己心作己庚己辛己壬己癸己子五線其
己甲甲辛上兩直角方形己乙乙辛上兩直角方形
之兩并各與己辛上直角方形等一卷/四七即兩并自相
等此兩并率者每減一相等之甲己己乙上直角方
[004-15b]
形即所存甲辛辛乙上兩直角方形等則甲辛辛乙
兩線等也又甲己辛角形之甲己與乙己辛角形之
乙己兩腰等己辛同腰而甲辛辛乙兩底又等即甲
己辛辛己乙兩角等一卷/八而甲辛己乙辛己兩角亦
等一卷/四則甲己乙角倍大于辛己乙角也依顯乙己
丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬
己角也又甲己乙乙己丙兩角乘甲乙乙丙相等之
兩圜分線等故圜分等/見三卷廿八即兩角自相等三卷/廿七半減之
[004-16a]
辛己乙乙己壬兩角亦等 乙己辛角形之乙己辛
辛乙己兩角與乙己壬角形之乙己壬壬乙己兩角
各等而乙己同邉是辛乙乙壬兩邉亦等也一卷/廿六乙
辛己乙壬己兩角亦等也則辛壬線倍大于辛乙線
也依顯庚辛線亦倍大于辛甲線也前己
顯甲辛辛乙兩線等則倍大之庚辛辛壬
兩線亦等也依顯壬癸癸子子庚與庚辛
辛壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五邉等又依前
[004-16b]
所顯乙辛己與乙壬己兩角等是乙辛甲之減半角
與乙壬丙之減半角等即倍大之乙辛甲與乙壬丙
亦等也依顯辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛與庚辛
壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五角等
第十三題
五邉等邉等角形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先
分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分一卷/九其線為己甲
[004-17a]
己乙而相遇于己己甲乙己乙甲兩角小/于兩直角故己甲己乙
兩線必/相遇自己作己丙己丁己戊三線其甲
己乙角形之甲乙腰與乙己丙角形之乙
丙腰等乙己同腰而兩腰間之甲乙己丙乙己兩角
等即甲己己丙兩底亦等乙甲己乙丙己兩角亦等
一卷/四又乙甲戊與乙丙丁兩角等而乙甲己為乙甲
戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半則乙丙丁角亦兩
平分于己丙線矣依顯丙丁戊丁戊甲兩角亦兩平
[004-17b]
分于己丁己戊兩線矣次從己向各邉作
己庚己辛己壬己癸己子五埀線其甲己
庚角形之己甲庚己庚甲兩角與甲己子
角形之己甲子己子甲兩角各等甲己同邉即兩形
必等一卷/廿六己子與己庚兩線亦等依顯己辛己壬己
癸三埀線與己庚己子兩埀線俱等末作圜以己為
心庚為界必過辛壬癸子而為甲乙丙丁戊五邉形
之内切圜三卷/十六
[004-18a]
第十四題
五邉等邉等角形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先
分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為
己甲己乙而相遇于己說見/前次從己作己
丙己丁己戊三線依前題論推顯乙丙丁
丙丁戊丁戊甲三角各兩平分于己丙己丁己戊三
線夫五角既等即其半減之角亦等而甲乙己角形
[004-18b]
之己甲乙己乙甲兩角等即甲己與己乙兩線亦等
一卷/六依顯己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末
作圜以己為心甲為界必過乙丙丁戊而為甲乙丙
丁戊五邉形之外切圜
第十五題
有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邊内切圜形
等邊等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜
[004-19a]
兩圜相交于丙于戊次從庚心作丙庚
戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作
甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相
聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邉形而等邉等角
論曰庚丙庚丁兩線等而丁丙與丁庚亦等依圜/界說三
邉俱等即庚丙丁為平邉角形而庚丁丙丁丙庚丙
庚丁三角俱等一卷/五此三角元與兩直角等一卷/卅二即
每角為兩直角三分之一而丙庚丁角為兩直角三
[004-19b]
分之一也依顯丁庚戊角亦兩直角三分之一而丙
庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于兩直角一卷/十三即戊
庚己角亦兩直角三分之一矣則丙庚丁丁庚戊戊
庚己三角亦自相等而此三角與己庚甲甲庚乙乙
庚丙三角亦等一卷/十五是輳庚心之六角俱自相等而
所乗之六圜分三卷/廿六及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己
甲六線俱自相等三卷/廿九則甲乙丙丁戊己形之六邉
等乂乙丙與甲己兩圜分等而各加一丙丁戊己圜
[004-20a]
分即乙丙丁戊己與甲己戊丁丙兩圜分等而所乗
之乙甲己與甲乙丙兩角等三卷/廿七依顯乙丙丁丙丁
戊丁戊己戊己甲四角與乙甲己甲乙丙兩角俱等
則甲乙丙丁戊己形之六角等
一系凡圜之半徑為六分圜之一之分弦何者庚丁
與丁丙等故故一開規為圜不動而可六平分之
二系依前十二十三十四題可作六邉等邉等角形
在圜之外又六邉等邉等角形内可作切圜又六邉
[004-20b]
等邉等角形外可作切圜
第十六題
有圜求作圜内十五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先
作甲乙丙内切圜平邉三角形與丁等
角本篇/二即三邉等而甲乙乙丙丙甲三
圜分亦等三卷/廿八夫甲乙丙圜十正分之
則甲乙三分圜之一當為十五分之五
[004-21a]
次從甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角本篇/十一即
甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等三卷/廿八夫甲乙丙
圜十五分之則甲戊五分圜之一當為十五分之三
而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分兩平分于壬
三卷/卅則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共
作十五合圜線本篇/一則成十五邉等邉形而十五角
所乗之圜分等即各角亦等三卷/廿七
一系依前十二十三十四題可作外切圜十五邉
[004-21b]
形又十五邊形内可作切圜又十五邉
形外可作切圜
注曰依此法可設一法作無量數形
如本題圗甲乙圜分為三分圜之一
即命三甲戊圜分為五分圜之一即命五三與五
相乗得十五即知此兩分法可作十五邉形又如
甲乙命三甲戊命五三與五較得二即知戊乙得
十五分之二因分戊乙為兩平分得壬乙線為十
[004-22a]
五分之一可作内切圜十五邊形也以此法爲例
作後題
增題若圜内從一㸃設切圜兩不等等邊等角形
之各一邊此兩邊一爲若干分圜之一一爲若干
分圜之一此兩若干分相乗之數卽後作形之邊
數此兩若干分之較數卽兩邊相距之圜分所得
後作形邊數内之分數
法曰甲乙丙丁戊圜内從甲㸃作數形之各一邊
[004-22b]
如甲乙爲六邊形之一邊甲丙爲五邊形之一邊
甲丁爲四邊形之一邊甲戊爲三邊形之一邊甲
乙命六甲丙命五較數一卽乙丙圜分爲所作三
十邊等邊等角形之一邊何者五六相乗爲三十
故當作三十邊也較數一故當爲一邊
也
論曰甲乙圜分爲六分圜之一卽得三
十分圜之五而甲丙爲五分圜之一卽得三十分
[004-23a]
圜之六則乙丙得三十分圜之一也依顯乙丁為
二十四邉形之二邉也何者甲乙命六甲丁命四
六乗四得二十四也又較數二也依顯乙戊為十
八邉形之三邉也丙丁為二十邉形之一邉也丙
戊為十五邉形之二邉也丁戊為十二邉形之一
邉也
二系凡作形于圜之内等邉則等角何者形之角所
乗之圜分皆等故三卷/廿七凡作形于圜之外即從圜心
[004-23b]
作直線抵各角依本篇十二題可推顯各角等
三系凡等邉形既可作在圜内即依圜内形可作在
圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十
二十三十四題
四系凡圜内有一形欲作他形其形邉倍于此形邉
即分此形一邉所合之圜分為兩平分而每分各作
一合線即三邉可作六邉四邉可作八邉倣此以至
無窮
[004-24a]
又補題圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至
小圜其多邉為偶數而等
法曰甲乙丙丁戊兩圜同以己為心求
于甲乙丙大圜内作多邉切形不至丁
戊小圜其多邉為偶數而等先從己心
作甲丙徑線截丁戊圜于戊次從戊作
庚辛為甲戊之垂線即庚辛線切丁戊圜于戊也三/卷
十六/之系夫甲庚丙圜分雖大于丙庚若于甲庚丙減其
[004-24b]
半甲乙存乙丙又減其半乙壬存壬丙又減其半壬
癸如是逓減至其減餘丙癸必小于丙庚如下/補論既得
丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所
求切圜形之一邉也次分乙壬圜分其分數與丙壬
之分數等次分甲乙與乙丙分數等分丙甲與甲乙
丙分數等則得所求形三卷/廿九而不至丁戊小圜
論曰試從癸作癸子為甲丙之垂線遇甲丙于丑其
庚戊丑癸丑戊兩皆直角即庚辛癸子為平行線一/卷
[004-25a]
廿/八庚辛線之切丁戊圜既止一㸃即癸子線更在其
外必不至丁戊矣何况丙癸更逺于丑癸乎依顯其
餘與丙癸等邉同度距心者三卷/十四俱不至丁戊圜也
此係十二卷第十六題因六卷今/増題宜藉此論故先類附于此
補論其題曰兩幾何不等若于大率逓減其大半必
可使其減餘小于元設小率
解曰甲乙大率丙小率題言于甲乙逓減其大半至
可使其減餘小于丙
[004-25b]
論曰試以丙倍之又倍之至僅大于甲乙而
止為丁戊丁戊之分為丁己己庚庚戊各與丙
等也次于甲乙減其大半甲辛存辛乙又減
其大半辛壬存壬乙如是逓減至甲乙與丁戊之分
數等夫甲辛辛壬壬乙與丁己己庚庚戊分數既等
丁戊又大于甲乙若兩率各為兩分而大丁戊之減
丁己止于半小甲乙之減甲辛為大半即丁戊之減
餘必大于甲乙之減餘也若各為多分而己戊尚多
[004-26a]
于丙者即又于己戊減己庚于辛乙減其大半辛壬
如是逓減卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分
壬乙也而庚戊元與丙等是壬乙小于丙也
又論曰若于甲乙逓減其半亦同前論何者大丁戊
所減不大于半則丁戊之減餘每大于甲乙之減餘
以至末分亦大于末分此係十卷第一題借/用于此以足上論
[004-26b]
幾何原本卷四
