KR3f0050 數學鑰-清-杜知耕 (master)


[004-1a]
欽定四庫全書
 數學鑰巻四凡例
             柘城杜知耕撰
凡例
  一則
形為體之界在上之界曰靣在下之界曰底底與面有
 長廣而無厚薄故底面之積曰平積
  二則
[004-1b]
體之縱者曰長衡者曰廣立者曰髙
  三則
底面長廣及髙皆等者曰立方如第一圖底面皆方而
                 髙不與長
                 廣等者曰
                 方體如第
                 二圖長廣
                 及髙皆不
                 等而角方
[004-1b]
                 者曰直體
[004-2a]
 亦曰直方體如第三圖底或方或直而傍為勾股形
 曰塹堵如第四圖底或方或直而傍為三角形曰芻
 蕘如第五圖底或方或圓或多邊而上鋭至盡者曰
 錐體如第六圖凡底面相等者即取底之形為體之
 名設底六邊即為六邊體如第七圖渾然無界無稜
 者曰渾體渾圓如第八圖渾撱圓如第九圖面長殺
 于底長而無廣者曰鋭脊如第十圖面之長廣各殺
 于底者曰鋭面如第十一圖上下皆有長無廣者曰
[004-2b]
 鼈臑如第十二圖
  四則
錐及鋭面等體自傍科量之度非正髙五邊七邊等底
 中長折半之㸃非正心
  五則
線之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百
 分體之度尺容千寸寸容千分
  六則
相似兩形之比例為線與線再加之比例再加者謂兩
[004-2b]
 線各自乘以為比例也相似兩體之比例為線與線
[004-3a]
 三加之比例三加者謂兩線各自乘再乘以為比例
 也兩形有一度等者同兩線之比例兩體有一度等
 者同兩形之比例兩體有兩度等者亦同兩線之比
 例
  七則
堆止一層曰平堆二層以上曰髙堆
 
 
[004-3b]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[004-3b]
 數學鑰巻四凡例
[004-4a]
欽定四庫全書
 數學鑰卷四目録
             柘城杜知耕撰
 少廣
  一則立方求積
  二則直體求積
  三則塹堵求積
  四則芻蕘求積
[004-4b]
  五則三角體求積
  六則六邊體求積八邊十二邊附/
  増/七則五邊體求積九邊附/
  八則圓體求積
  増/九則撱圓體求積
  増/十則弧矢體求積
  十一則錐體求積
  十二則諸雜線體求積
  西/法十三則渾圓求積二法/
[004-4b]
  增/十四則渾撱圓求積
[004-5a]
  十五則鋭脊體求積
  増/十六則鼈臑求積
  増/十七則等廣鋭面體求積
  十八則鋭面方體求積
  十九則鋭面直體求積二法/ 後法増/
  二十則鋭面圓體求積
  増/二十一則鋭面撱圖體求積
  西/法二十二則諸鋭面體求積
[004-5b]
  二十三則求錐體之正髙
  二十四則立方以積求邊一法即開立方法/
  二十五則立方以積求邊二法
  増/二十六則方體以積求邊一法即帶縱開立方/法
  増/二十七則方體以積求邊二法
  二十八則直體以積求邊一法
  増/二十九則直體以積求邊二法
  三十則渾圓以積求徑
  増/三十一則渾撱圓以積求徑
[004-5b]
  三十二則三乗還原即開三乗方法/附 五乗七乗/
[004-6a]
  三十三則委粟求積
  三十四則倚壁委粟求積
  三十五則倚外角委粟求積
  三十六則倚内角委粟求積
  三十七則方平堆以周求積
  三十八則方平堆以積求周
  三十九則三角平堆以濶求積
  四十則三角平堆以積求濶
[004-6b]
  四十一則梯形平堆以濶求積
  四十二則六邊平堆以邊求積
  四十三則六邊平堆以積求邊求周附/
  四十四則塹堵髙堆求積
  四十五則方底髙堆求積
  四十六則三角髙堆求積
  四十七則直底髙堆求積
  四十八則直底鋭面堆求積
  四十九則三角鋭面堆求積
[004-6b]
 數學鑰巻四目録
[004-7a]
欽定四庫全書
 數學鑰巻四
             柘城杜知耕撰
 少廣
  一則
立方求積
 設立方方三尺求積法曰置三尺自乘得九/尺再以三
 尺乘之得二十七尺即所求
[004-7b]
 解曰算體之法先求底積即方圓等形求/積詳一二巻以髙為底
       積倍數如圖長廣各三尺相乘得九尺
       為底積若髙二尺則二倍底積之數得
       一十八尺髙三尺則三倍底積之數得
       二十七尺
  二則
直體求積
        設直體長七尺廣五尺髙一十二尺
        求積法曰以廣乘長得三十/五尺以髙乘
[004-7b]
        之得四百二十尺即所求
[004-8a]
 解同前
  三則
塹堵求積
 設塹堵長一十二尺廣五尺髙七尺求積法曰以廣
               乘長得六/十尺以髙
               乘之得四百/二十尺
               半得二百一十
               尺即所求
[004-8b]
 解曰甲乙丙丁直體與塹堵髙廣長各等依甲乙線
 丙乙稜分之必成二塹堵夫一直體既能當二塹堵
 則一塹堵必當半直體也故折半得積
  四則
芻蕘求積
 設芻蕘長一十二尺廣五尺髙七尺求積法同塹堵
               解曰甲乙丙戊
               芻蕘依丙丁線
               丙戊脊分之必
[004-8b]
               成二塹堵各為
[004-9a]
 相當直方之半兩直方並必成一直方夫直方之兩
 分既倍于芻蕘之兩分直方之全體不倍于芻蕘之
 全體乎故亦折半得積同塹堵也
  五則
三角體求積
              設三角體廣六尺
              中長五尺高一十
              二尺求積法曰置
[004-9b]
              長廣相乘得三/十尺
 髙乘之得三百/六十尺折半得一百八十尺即所求
 解曰即芻蕘但彼横此縱耳○勾股體同
  六則
六邊體求積八邊及十/二邊附
 設六邊體每邊廣二十尺中長三十四尺六寸四分
               有竒髙四十尺
               求積法曰置廣
               三因之得六/十尺
[004-9b]
               長折半得一十/七尺三
[004-10a]
 寸二分/零二毫乘之得一千零三十九/尺二寸一分二釐為底積再以高乘之
 得四萬一千五百六十八尺四寸八分即所求
 解曰六邊底依各角分之成三角形六三角求積法
 以廣乘長折半一巻/五則不折則得兩三角積故三因邊
 廣以底長之半乘之底之半長即/三角之中長即得六三角積即/全
 底/積猶平圓半徑乘半周之義也二巻/三則若無底長之度
 則取邊廣為弦全底分為六三角形每形之三邊俱/等以甲乙為弦即以丙乙為弦也
 半廣為勾丁/乙各自乘相減平方開之得股丙/丁即底長
[004-10b]
 之半六巻/二則○設八邊底每邊廣二十尺求底長即以
 二十尺折半為勾丁/乙另置二十尺以七六五三六除
 之得二六一三一四强為弦丙/乙各自乘相減平方開
 之得股丙/丁即底長之半設十二邊底每邊廣二十尺
 求底長即以二十尺折半為勾丁/乙另置二十尺以五
 一七六四除之得三八六三六八强為弦丙/乙各自乘
               相減平方開之
               得股丙/丁即底長
               之半按七六五
[004-10b]
               三六乃四十五
[004-11a]
 度弧之通弦四十五度為三百六十度八之一故以
 之除八邊底之一邊即得外切圓形之半徑五一七
 六四乃三十度弧之通弦三十度為三百六十度十
 二之一故以之除十二邊底之一邊即得外切圓形
 之半徑外切圓形之半徑即三角形之腰線丙/乙見/大
 測及八/線表
  七則
五邊體求積
[004-11b]
 設五邊體毎邊廣二十尺中長三十尺零七寸七分
               六釐六毫强高
               四十尺求積法
               曰置邊廣以邊
               數五因之得一/百尺
 折半得五/十尺為實另置邊廣折半得十/尺自乘得一/百尺以中
 長除之得三尺二寸四/分九釐一毫强與中長相減餘二十七尺五/寸二分七釐四
 毫/强折半得一十三尺七寸/六分三釐七毫强為法乘實得六百八十八/尺一寸八分八
 釐/為底積再以高乘之得二萬七千五百二十七尺
[004-11b]
 五寸二分即所求
[004-12a]
         解曰五邊底依各角分之成三
         角形五欲求底積必先得三角
         積欲求三角積必先得三角之
         中長丙/丁然上則六邊邊為偶數
 角與角相對邊與邊相對其全底之長即相對兩三
 角之中長令五邊邊為竒數邊與角相對其底長己/丁
 小半為此三角之中線丙/丁大半為彼三角之腰線己/丙
 折半則得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求
[004-12b]
 己丙于己丁底長減去/己丙餘即丁丙欲得己丙必先求外切圓形
 之己戊徑己戊折半/即己丙欲得己戊必先求外切圓徑大
 于底長之丁戊底長加丁/戊即己戊欲求丁戊則用弧矢以弦
 及餘徑求矢法二巻二/十二則今邊廣甲戊乙弧矢形之甲
 乙弦也邊廣折半自乘丁乙半弦上方形也底長己
 丁餘徑也以除半弦上方形所得者丁戊矢也以矢
 減底長所餘者倍三角中長之辛丁也故半之為三
 角之中長又五因邊廣折半者取五三角底之半也
 若無底長之度則取邊廣折半為勾丁/乙另置邊廣以
[004-12b]
 一一七五五八除之得一七零一二八八為弦丙/乙
[004-13a]
 自乘相減平方開之得股丙/丁即三角形之中長六巻/二則
         一 一七五五八乃七十二度弧
         之通弦七十二度為三百六十
         度五之一故以之除五邊之一
         即得外切圓形之半徑丙/乙為三
 角形之腰線也○設九邊底每邊廣二十尺求三角
 分形之中長則以二十尺折半為勾丁/乙另置二十尺
 以六八四零四除之得二九二三八為弦丙/乙自乘相
[004-13b]
 減平方開之得股丙/丁即三角形之中長六八四零四
 乃四十度弧之通弦四十度為三百六十度九之一
 故以之除九邊之一即得三角形之腰線也
  八則
圓體求積
 設圓體徑三十尺高四十尺求積法曰置徑自乘得/九
              百/尺再以高乘之
              得三萬/六千尺用圓法
              十一乘十四除
[004-13b]
              二巻/四則得二萬八
[004-14a]
 千二百八十五尺七寸有竒即所求
 解曰以徑自乘再以髙乘之方體積也方體與圓體
 等髙則兩體即若兩底之比例故用平圓法求圓體
 之積也
  九則
撱圓體求積
 設撱圓體大徑三十六尺小徑一十六尺髙四十尺
 求積法曰置兩徑相乘得五百七/十六尺再以高乘之得二/萬三
[004-14b]
 千零四/十尺用圓法十一乘十四除得一萬八千一百零
               二尺八寸有竒
               即所求
               解同前則及二
               巻十六則
  十則
弧矢體求積
 設弧矢體矢濶八尺六寸六分零二毫弦長三十尺
 背三十六尺二寸九分零三毫六絲高四十尺求積
[004-14b]
 法曰置半弦自乘得二百二/十五步以矢除之得二十五尺/九寸八分零
[004-15a]
               九壹/强為餘徑餘
               徑加矢折半得/一
               十七尺三寸二/分零五毫五絲
               為法乘背得六/百二
 十八尺五寸/六分九釐另以餘徑減矢折半得八尺六寸六/分零四毫弱
 法乘弦得二百五十九尺/八寸一分二釐兩數相減餘三百六十八/尺七寸五分七
 釐/折半得一百八十四尺/三寸七分八釐為底積再以高乘之得七
 千三百七十五尺一寸四分即所求二卷十/七則
[004-15b]
  十一則
錐體求積
 設方錐方二十尺高四十尺求積法曰置二十尺自
              乘得四/百尺為底積
              再以高乘之得/一
              萬六/千尺以錐法三
              歸之得五千三
 百三十三尺三寸三分有奇即所求
 解曰方邊自乘再以高乘之方體也方錐居方體三
[004-15b]
 之一故三歸得積也何以知方錐居體三之一也試
[004-16a]
               作立方如甲乙
               自心至各稜分
               之必成錐體六
               俱以方靣為底
               方邊之半為高
               更作一方體與
               錐體同底等高
               如丙丁丙丁方
[004-16b]
               體既與錐體同
 底必亦與甲乙立方同底既與錐體等高必以甲乙
 方邊之半為高兩方體既同底則兩體之比例若高
 與高丙丁體必為甲乙立方二之一矣錐體既為甲
 乙立方六之一不為等高同底丙丁方體三之一乎
 再作直體廣二尺長四尺高八尺如癸辛亦自心至
 各稜分之亦成錐體六底等戊庚辛己高等辛子之
 半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者
 二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六錐體
[004-16b]
 形勢雖殊而俱等何也丑與寅同長丑之高倍于寅
[004-17a]
 而寅之廣倍于丑折寅之廣凖丑之高則丑寅二體
 等矣又丑與卯同廣丑之長倍于卯而卯之高倍于
 丑折丑之長凖卯之高則丑卯二體亦等矣夫寅等
 于丑丑等于卯是六錐俱等矣今癸辛一直體能分
 為相等之六錐體則一錐體不為癸辛直體六之一
 乎錐體既為同底倍高直體六之一必為同底等高
 三之一無疑矣○從此推之不論方圓多邊弧矢凡
 屬錐體者皆為同底等高體三之一
[004-17b]
  十二則
諸雜線體求積
 凡體先求底積底屬直線依一巻九則例屬曲線及
 雜線依二巻四十則例裁之得底積再以高乘之即
 得體積
  十三則
渾圓求積
 設渾圓徑十尺求積法曰置徑自乘得一/百尺四因之得/四
 百/尺十一乘十四除得三百一十四尺/二寸八分六釐弱為靣積再以半
[004-17b]
 徑乘之得一千五百七十/一尺四寸三分弱以三歸之得五百二十三
[004-18a]
         尺八寸一分即所求
         解曰置徑自乘再以十一乘十
         十四除者渾圓中丙子乙丑平
         圓積也以四因之者渾圓面積
 當平圓積四也何也渾圓面任割一分如甲丁/己戊欲求
 面分之容則取自甲頂至戊界之度甲戊/線為半徑作
 平圓如辛癸平圓辛/壬與甲戊等其容即等若自乙丙平割渾圓
 之半取自甲頂至乙界之度為半徑作平圓其容必
[004-18b]
 與渾圓半靣等今丙子乙丑平圓半徑為乙庚乙庚
             與甲庚等乙庚甲庚
             兩線偕甲乙線則成
             一勾股形甲乙為弦
             乙庚甲庚一為勾一
 為股也以弦為半徑之平圓必倍大于或勾或股為
 半徑之平圓渾圓半靣既等于以甲乙弦為半徑之
 平圓不倍大于以乙庚勾為半徑之丙子乙丑平圓
 乎半面既倍大于丙子乙丑平圓全靣不四倍大于
[004-18b]
 丙子乙丑平圓乎法以半徑乘之以三歸之又何也
[004-19a]
 平圓求積同于以圓周為底以半徑為高之三角形
 二巻/四則故渾圓求積同于以全面為底以半徑為高之
          錐體以高乘底以三歸之者
          錐體求積之法也本巻十/一則
          又嘗借西洋割圓八線表考
          之如前徑十尺之渾圓自頂
 中剖之再以乙丙線平分之依八線表例分乙丁甲
 曲線為九十度設任割球分為甲丁己戊其甲丁曲
[004-19b]
 線三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八線表
 中求三十度通弦得五尺二十九度通弦得四尺八
 寸四分八釐一毫用梯形求積法一巻/七則並兩數折半
 得四尺九寸二分四釐零五絲再求二十八度通弦
 得四尺六寸九分四釐七毫與二十九度通弦並而
 折半得四尺七寸七分一釐四毫依次折盡三十度
 共得通弦數七十六尺七寸五分九釐七毫五絲用
 圓徑求周法二巻/一則求得二百四十一尺二寸四分五
 釐弱為球分面上三十段/梯形兩濶折半之數為實復求甲丁曲線三十
[004-19b]
 分之一得八分七釐三毫有竒取渾圓全周以三/十六歸之即得
[004-20a]
 梯長乘實得割球靣積二十一尺零五分有奇叧求
 甲戊直線得二尺五寸八分八釐二毫即表中十/五度通弦
 之得五尺一寸七分六釐四毫為徑求圓積亦得二
 十一尺零五分有竒與前數合
 又法置徑自乘再以徑乘之得一/千尺以十一乘二十一
 除得數同
 解曰圓體與方體等高則兩體之比例若兩底之比
 例是方體與圓體若十四與十一也又圓體與渾圓
[004-20b]
 等高令圓體之底同渾圓中心之平圓則圓體之容
         必等于以平圓為底以渾圓半
         徑為高渾圓半徑即固/體高度之半也之錐體
         六本巻十/一則渾圓之面既四倍于
         中心平圓而渾圓求積之法又
 同錐體則渾圓之容必等于以平圓為底半徑為高
 之錐體四夫以相等之錐體圓體得六而渾圓得四
 是圓體與渾圓若六之與四六之與四即三之與二
 也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二
[004-20b]
 各以二約之為二十一與十一則二十一與十一即
[004-21a]
 等高立方渾圓之比例也法置徑自乘再乘立方也
 十一乘二十一除取立方二十一之十一為渾圓也
  十四則
渾撱圓求積
 設渾撱圓大徑四十尺小徑二十尺求積法曰置小
               徑自乘得四/百尺
               以大徑乘之得/一
               萬六/千尺以十一乘
[004-21b]
               二十一除得八
 千三百八十尺零九寸五分即所求
 解曰小徑自乘再以大徑乘之甲乙方體也方體渾
 撱圓比例亦猶立方與渾圓故十一乘二十一除得
 渾撱圓之積
  十五則
鋭脊體求積
 設鋭脊體脊長十尺底長十四尺廣五尺高十二尺
 求積法曰倍底長加脊長得三十/八尺以廣乘之得一百/九十尺
[004-21b]
 再以高乘之得二千二/百八十尺以六歸之得三百八十尺即
[004-22a]
            所求
            解曰依甲丙乙丁兩線
            分之成芻蕘一斜錐二
            斜錐與正/錐同論芻蕘以高乘
 底積之半得積本巻/四則錐以高乘底積三之一得積本/巻
 十一/則夫芻蕘之底長即鋭脊之脊長也若三倍脊長
 以六歸之即得芻蕘底長之半又兩斜錐之底長即
 鋭脊之脊長與底長之較也即戊庚己辛/兩線並之度若二倍較
[004-22b]
 線以六歸之即得斜錐底長三之一今倍底長加脊
 長非即三倍脊長二倍較線乎以六歸之以廣乘之
 再以高乘之得三分體之積即全體之積法先乘後
 歸亦異乘同除之意也
  十六則
鼈臑求積
               設鼈臑上長二
               尺下長四尺高
               九尺求積法曰
[004-22b]
               置兩長相乘得/八
[004-23a]
 尺/再以高乘之得七十/二尺以六歸之得一十二尺即所
 求
 解曰叧作一芻蕘如下圖芻蕘原為等高同底方體
 二之一本巻/四則依甲丙乙丙兩線各從底稜分之成一
 錐體二鼈臑錐體原為等高同底方體三之一本巻/十一
 則/必為芻蕘三之二于芻蕘内減去錐體所餘三之
 一則兩鼈臑也兩鼈臑並既為芻蕘三之一必為與
 芻蕘等高同底方體六之一矣與芻蕘等高同底即
[004-23b]
 為鼈臑等高倍底者也兩鼈臑既為等高倍底方體
 六之一則一鱉臑亦必為等高同底方體六之一故
 用六歸也
  十七則
等廣鋭面體求積
 設等廣鋭靣體靣長四尺底長一十二尺底面俱廣
               五尺高一十二
               尺求積法曰並
               兩長折半得八/尺
[004-23b]
               以廣乘之得四/十尺
[004-24a]
 再以高乘之得四百八十尺即所求
 解曰依甲丙乙丁兩線分之成一直體二塹堵全靣即
 一直體底全底即一直體二塹堵底底靣並而折半則
 成一直體一塹堵底矣夫直體以高乘本底得積本巻/二則
 塹堵以高乘半底得積本巻/三則今一塹堵之全底即兩塹
 堵之半底也故以高乘㡳靣相並折半之數得全積
  十八則
鋭靣方體求積
[004-24b]
 設鋭靣方體靣方六尺底方八尺高一十二尺求積
               法曰置上方自
               乘得三十/六尺下方
               自乘得六十/四尺
               下兩方相乘得/四
 十八/尺三數並共一百四/十八尺以高乘之得一千七百/七十六尺以三
 歸之得五百九十二尺即所求
 解曰各依面稜分之成方體一塹堵方錐各四凡九
 體而有三等三等求積之法則各殊方體以高乘底
[004-24b]
 得積本巻/二則塹堵以高乘底二之一得積本巻/三則方錐以
[004-25a]
 高乘底三之一得積本巻十/一則若從方體則與塹堵不
 合從塹堵又與方錐不合不得不用三歸以就方錐
 然用三歸必三倍方體之底半倍塹堵之底而後可
 今下方自乘即甲乙方形得方體之底一塹堵方錐
 之底各四上方自乘即丙丁方形得方體之底一上
 下相乘即戊己直形得方體之底一塹堵之底二合
 三形共方體底三塹堵底六方錐底四夫方體底三
 三歸之仍得一塹堵底六三歸之得二二塹堵底即
[004-25b]
 四塹堵底二之一也方錐底四三歸之各得三之一
 今以高乘一方體底四塹堵底二之一四方錐底三
 之一故得全積餘同本巻/十五則
  十九則
鋭靣直體求積
 設鋭靣直體靣長六尺廣五尺底長十尺廣八尺高
               一十二尺求積
               法曰倍上長加
               下長共二十/二尺
[004-25b]
               上廣乘之得一/百一
[004-26a]
 十/尺另倍下長加上長共二十/六尺以下廣乘之得二百/零八尺
 數並得三百一/十八尺以高乘之得三千八百/一十六尺以六歸之得
 六百三十六尺即所求
 解曰依各靣稜分之亦成九體與前則同但四塹堵
 兩兩相等辛戊與庚己等丙戊與丁己等四塹堵既
 不等則三歸之法不可用矣于是有六歸之法倍上
 長加下長以上廣乘之即戊己直形二丙丁直形一
 得戊己直體底三丙戊己丁塹堵底各一倍下長加
[004-26b]
 上長以下廣乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊
 己直體底三辛戊庚己塹堵底各三丙戊丁己塹堵
 底各二甲戊等四錐底各二合之共直體底六塹堵
 底十二與辛戊等者六與丙戊等者六錐底八以六
 歸之得一直體底四塹堵底二之一四錐底三之一
 故以高乘之得全積○按鋭靣直體亦有可用三歸
         者如後圖面長五尺廣三尺底
         長七尺廣四尺二寸高一十二
         尺用前法得積二百六十一尺
[004-26b]
         六寸今以面廣乘靣長得一十
[004-27a]
 五尺以底廣乘底長得二十九尺四寸以靣廣乘底
 長得二十一尺或以底廣乘/靣長亦同三數並共六十五尺四
 寸以高乘之以三歸之得積同用此法求前體則不
 合其故何也葢前體乃鋭脊之截體後體乃直錐之
 截體後體底靣長廣可互為比例若依四角斜線引
 而高之必成直錐是以謂之直錐之截體依前例分
 為九體其四塹堵雖體勢不同而容積皆等故用三
 歸而合也若前體底靣長廣不可為比例亦依四角
[004-27b]
 斜線引而高之止成鋭脊終不成錐體是以謂之鋭
 脊之截體如前分為九體其四塹堵體勢既異而大
 小復殊故用三歸必不合也鋭靣直體有此二等不
 可不知也
  二十則
鋭靣圓體求積
         設鋭靣圓體靣徑六尺底徑八
         尺高一十二尺求積法曰置靣
         徑自乘得三十/六尺底徑自乘得六/十四
[004-27b]
         尺/兩徑相乘得四十/八尺三數並共/一
[004-28a]
 百四十/八尺以高乘之得一千七百/七十六尺再十一乘四十二除
 得四百六十五尺一寸四分有竒即所求
 解曰此與鋭靣方體法同元當用三歸得鋭靣方體
 積再十一乘十四除為本積今用十一乘四十二除
 者以三因十四得四十二以四十二除猶三歸又十
 四除也
  二十一則
鋭面撱圓體求積
[004-28b]
 設鋭面撱圓體面大徑四尺小徑二尺底大徑八尺
         小徑六尺高一十二尺求積法
         曰倍靣大徑加底大徑以靣小
         徑乘之得三十/二尺另倍底大徑加
         靣大徑以底小徑乘之得一百/二十尺
 兩數並共一百五/十二尺以高乘之得一千八百/二十四尺再以十一
 乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所
 求
 解曰此與鋭靣直體法同元當用六歸得鋭靣直體
[004-28b]
 積再十一乘十四除為本積今以八十四除者以六
[004-29a]
 因十四得八十四以八十四除猶六歸又十四除也
  二十二則
諸鋭靣體求積
 設鋭靣六邊體靣每邊廣一尺中長一尺七寸三分
 二釐所謂中長者乃邊與邊相對之/度非角與角相對之度也底同底每邊廣二尺
               中長三尺四寸
               六分四釐高四
               尺求積法曰置
[004-29b]
               高以底長折半
 乘之得六尺九寸/二分八釐以兩長相減折半得八寸六/分六釐除之
 得八尺為錐高另三因底邊二尺得六/尺以底長之半
 乘之得十尺零三/寸九分二釐以錐高八尺乘之三歸之得二十/七尺七
 寸一/分强為錐積另三因靣邊一尺得三/尺以靣長之半乘
 之得二尺五寸/九分八釐以原高減錐高餘四尺乘之三歸之
 得三尺四寸/六分四釐為虚積以虚積減錐積餘二十四尺二
 寸四分八釐即所求
 解曰凡鋭靣體底靣長廣能為比例者皆諸錐之截
[004-29b]
 體既得錐積復得體外虚積相減之餘即為所求之
[004-30a]
 實積然欲求錐積必先求錐高錐高甲丙與元高甲
 丁之比例若底長之半甲乙與底靣兩半長之較線
 己乙也法以底長之半乘高以兩半長之較線除之
 者乃借乙己與己戊之比例己戊即/甲丁因甲乙以求甲
 丙也凡鋭靣體俱同此法
  二十三則
求錐體之正高
 設方錐底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高
[004-30b]
 自乘得一百六/十九尺另以底方折半自乘得二十/五尺兩數相
         减餘一百四/十四尺平方開之得一十
         二尺即所求
         解曰此勾弦求股法也六巻/二則
         求諸錐體之積須得諸錐正高
 自傍面量者乃斜高非正高也自頂至底中心方為
 正高方錐係偶邊故折底長為勾如遇竒邊則求底
 中心至邊之度為勾本巻/七則
  二十四則
[004-30b]
立方以積求邊一法即開/立方
[004-31a]
 設立方積三千三百七十五尺求方邊法曰置積于
 中為實先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再
 乘得一/千尺除實餘二千三百/七十五尺三因下法十尺得三/十尺為方
 法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺
 于初商十尺之次共一十/五尺以次商五尺徧乘之得七/十五
 尺/為廉法再以方法乘廉法得二千二/百五十尺除實餘一百/二十五
 尺/又置次商五尺自乘再乘得一百二/十五尺為隅法除實
 恰盡合左初商次商得一十五尺即所求
[004-31b]
 解曰初商自乘再乘大方積也次商五尺乘下法十
               尺得五十尺即
               方廉甲乙丙丁
               一側面之平積
               也丁乙五尺丁/丙十尺相乘
               得五/十尺以初商乘
               之必得一方廉
               之積每一方廉/積五百尺
               若以方法三十
[004-31b]
               尺乘之則得三
[004-32a]
 方廉之積三方廉/皆等又以次商五尺乘下法五尺得二
 十五尺即戊己庚辛長廉一方面之平積也戊己五/尺戊庚
 亦五尺相乘/得二十五尺以初商乘之必得一長亷之積每一長/廉積二
 百五/十尺若以方法三十尺乘之則得三長廉之積三長/廉皆
 等/今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即
 方廉之側面長亷之方面兩平積也總以方法三十
 尺乘之即得三方廉三長廉之共積矣又次商五尺
 自乘再乘得一百二十五尺即隅方積以三方廉附
[004-32b]
 于大方之三面以三長廉補方廉之缺又以一隅方
 補長廉之缺八體凑合則成一縱廣皆一十五尺之
 立方矣
  二十五則
立方以積求邊二法
 設立方積三百六十五萬二千二百六十四尺求方
 邊法曰置積于中為實先商一百尺于左下法亦置
 一百尺于右自乘再乘得一百/萬尺除實餘二百六十五/萬二千二百六
 十四/尺三因下法一百尺得三/百尺為方法次商五十尺置
[004-32b]
 于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一
[004-33a]
 百尺之次共一百/五十尺次商五十尺徧乘之得七千/五百尺為廉
 法以方法乘廉法得二百二/十五萬尺除實餘四十萬零二千/二百六十四尺
 又以次商自乘再乘得一十二/萬五千尺為隅法除實餘二十/七萬七
 千二百六/十四尺復三因下法一百五十尺得四百/五十尺為方法
 三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦
 置四尺于初商次商一百五十尺之次共一百五/十四尺
 三商四尺徧乘之得六百一/十六尺又為廉法以方法乘廉
 法得二十七萬/七千二百尺除實餘六十/四尺又以三商四尺自乘再
[004-33b]
 乘得六十/四尺為隅法除實恰盡合左初次三商共得一
 百五十四尺即所求
 解曰此與前則同但彼二位此三位耳設三商又不
 盡復三因初次三商為方法四商之倣此
  二十六則
方體以積求邊一法即帶縱/開立方
 設方體積二千九百二十五尺長廣相等高朒二尺
 求各度法曰置積于中為實初商十尺自乘又以朒
 二尺減十尺餘八尺乘之得尺/百除實餘二千一百/二十五尺
[004-33b]
 八尺加初商十尺共二十/六尺為方廉法又倍初商十尺
[004-34a]
 加八尺共二十/八尺為長廉法次商五尺置于初商之次
 以初商十尺乘方廉法得二百/六十尺以次商五尺乘長廉
 法得一百/四十尺兩數並共四/百尺以次商五尺乘之得二/千尺除實
 餘一百二/十五尺又置次商五尺自乘再乘得一百二/十五尺為隅
 法除實恰盡合初商次商共得一十五尺即底方之
 度減高朒二尺餘一十三尺即高度
 解曰初商自乘大方之底積又減二尺乘之高朒于
 縱及廣也倍八尺加十尺為方廉法者以方廉廣十
[004-34b]
 尺者一廣八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之
               長皆十尺也倍
               十尺加八尺為
               長廉法者以長
               廉長八尺者一
               長十尺者二也
               又以次商五尺
               乘之者三長廉
               之廣皆五尺也
[004-34b]
               又並六廉以五
[004-35a]
 尺乘之者六廉之厚皆五尺也餘同前則○改設前
 積為三千二百四十三尺三寸七分五釐初商十尺
 次商五尺仍餘積三百一十八尺三寸七分五釐又
 以朒二尺減初次兩商十五尺餘十三尺倍之加十
 五尺共四十一尺為方廉法倍十五尺加十三尺共
 四十三尺為長廉法三商五寸于初次兩商一十五
 尺之次以初次兩商十五尺乘方廉法得六百一十
 五尺以三商五寸乘長廉法得二十一尺五寸並兩
[004-35b]
 數共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三
 百一十八尺二寸五分除實餘一寸二分五釐陞二
 位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一
 百二十五寸除實恰盡合初次三商得一十五尺五
 寸為底方之度减高朒二尺餘一十三尺五寸為高
 度○餘積一寸二分五釐陞二位何也葢體以縱廣
 及高各一尺為積一尺一尺實積千寸取十分尺之
 一為寸是一寸而實積百寸也故寸以下皆陞二位
  二十七則
[004-35b]
方體以積求邊二法
[004-36a]
 設方體積四千二百七十五尺長廣相等高多四尺
 求各度法曰置積于中為實初商十尺自乘又以多
 四尺並十尺共十四尺乘之得一千/四百尺除實餘二千八/百七十五
 尺/倍十四尺加初商十尺共三十/八尺為方廉法倍初商
 十尺加十四尺共三十/四尺為長廉法次商五尺置于初
 商之次以初商十尺乘方廉法得三百/八十尺以次商五尺乘
 長廉法得一百/七十尺兩數並共五百/五十尺又以次商五尺乘之
 得二千七/百五十尺除實餘一百二/十五尺又置次商五尺自乘再乘
[004-36b]
 得一百二/十五尺為隅法除實恰盡合初次兩商共得一十
 五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度
 解同前
  二十八則
直體以積求邊一法
 設直體積七千二百尺高一十二尺廣朒于長十尺
 求長廣法曰置積以高除之得六/百尺四因之得二千/四百尺
 置廣朒于長十尺自乘得一/百尺兩數並平方開之得五/十尺
 減廣朒于長十尺餘四/十尺折半得二十尺即廣加十尺
[004-36b]
 得三十尺即長
[004-37a]
 解曰以高除積所得者直體底積也故平方帶縱開
 之即得所求也
  二十九則
直體以積求邊二法
 設直體積三千一百三十五尺高多長四尺長多廣
 四尺求各度法曰置積于中為實初商十尺以十尺
 減長多廣四尺餘六尺乘之又以十尺加高多長四
 尺共十四尺乘之得八百/四十尺除實餘二千二百/九十五尺列十尺
[004-37b]
 六尺十四尺為方廉法並十尺六尺十四尺共三十
 尺為長廉法次商五尺置于初商之次方廉法維乘
 以六尺乘十尺得六/十尺十尺乘十四尺得一百/四十尺十四尺
 乘六尺得八十/四尺並之共二百八/十四尺又以次商五尺乘長
 廉法得一百/五十尺兩數並共四百二/十四尺再以次商五尺乘之
 得二千一/百七十尺除實餘一百二/十五尺又置次商五尺自乘再乘
 得一百/十五尺 為隅法除實恰盡合初次兩商共一十五
 尺即長増四尺共一十九尺即高減長四尺餘一十
 一尺即廣
[004-37b]
 解曰初商十尺為大方之長減四尺餘六尺為廣増
[004-38a]
         四尺共一十四尺為高故兩乘
         得大方積大方三面之平積即
         三方廉之底積也而大方之三
         面各不等以廣六尺乘長十尺
 得甲乙丙丁面平積以長十尺乘高一十四尺得戊
 己甲乙面平積以高一十四尺乘廣六尺得已庚乙
 丁面平積故列三位為方廉法維乘也又大方三稜
 之度即三長廉之高也而大方三稜亦不等甲乙稜
[004-38b]
 十尺乙丁稜六尺乙己稜一十四尺故並三數為長
           廉法也餘同前解
 
 
 
  三十則
渾圓以積求徑
 設渾圓積一千七百六十七尺八分五釐七毫有竒
 求圓徑法曰置積二十一乘十一除得三千三百/七十五尺
[004-38b]
 方開之得一十五尺即所求
[004-39a]
 解曰十一與二十一渾圓立方之比例也本巻十/三則
 十一乘十一除令渾圓化為相當之立方故立方開
 之得方邊即得圓徑也
  三十一則
渾撱圓以積求徑
 設渾撱圓積二千二百三十九尺二寸八分五釐有
 竒大徑多小徑四尺求兩徑法曰置積二十一乘十
 一除得四千二百/七十五尺以帶縱立方開之得一十五尺即
[004-39b]
 小徑加多四尺得一十九尺即大徑
 解曰渾㨊圓與方體之比例亦若渾圓與立方故二
 十一乘十一除帶縱立方開之得方體之廣及高即
 渾撱圓之兩徑也
  三十二則
三乘還原即開三/乘方
 設三乘積六百二十五尺求還原法曰置積為實平
 方開之得二十/五尺再以平方開之得五尺即所求
 解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所謂三
[004-39b]
 乘方也反求元數即所謂開三乘方也三乘原無形
[004-40a]
 體可言但法類于開平方立方故亦謂之方耳○從
 此推之一次平方一次立方可開五乘方三次平方
 可開七乘方
  三十三則
委粟求積
 設委粟底周八十八尺高八尺八寸求積法曰置周
 自乘得七千七百/四十四尺以高乘之得六萬八千一百/四十七尺二寸再七
 乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有
[004-40b]
 竒即所求
 解曰此即圓錐也圓形與周上方形之比例若七與
        八十八二巻/五則凡兩體等高者體與
        體之比例若底與底圓體與周上
        等高方體之比例必亦若七與八
        十八今圓錐居圓體三之一以三
 乘八十八得二百六十四則是圓錐與周上等高方
 體之比例必若七與二百六十四矣
  二十四則
[004-40b]
倚壁委粟求積
[004-41a]
             設倚壁委粟周四十
             四尺高八尺八寸求
             積法曰置周自乘得/一
             千九百三/十六尺以高乘之
 得一萬七千零/三十六尺八寸再七乘一百三十二除得九百零三
 尺四寸六分有竒即所求
 解曰此圓錐之半也半錐居全錐二之一半周上方
 體與圓錐等/高下同居全周上方體四之一故其比例為七
[004-41b]
 與一百三十二也
  三十五則
倚外角委粟求積
 設倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求積法曰
             置周自乘得四千三/百五十六
             尺/以高乘之得三萬/八千三
             百三十二/尺八寸再七乘一
             百九十八除得一千
 三百五十五尺二寸即所求
[004-41b]
 解曰此圓錐四之三也與全周上方體與圓錐等/高下同
[004-42a]
 
[004-43a]
 
[004-44a]
 
[004-45a]
 
[004-46a]
 
[004-47a]
 
[004-48a]
 
[004-49a]
 
[004-50a]
 
[004-51a]
 
[004-52a]