[002-1a] 
欽定四庫全書
數學鑰巻二凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一則
圓必中規不中規者不得為圓形形界曲線曰周如甲/乙丙
丁/線過心直線曰徑如丁/丙線
[002-1b]
二則
一率自乘之數等于兩率相乘之數則此率為兩率之
中率如甲與乙之比例猶乙與丙則乙為甲丙之中
率
三則
設内外兩形内形或以角或以邊抵外形之界而不交
曰相切如丙為甲乙之内切形甲乙
為丙之外切形
[002-2a]
四則
曲線直線相雜曰雜線形
五則
割甲乙丙丁圓之一分為甲乙丙弧矢形甲乙丙曲線
曰背甲乙衡線曰弦丙丁縱線曰矢
丙己曰全徑丁己曰餘徑丁戊曰離
徑丙戊曰半徑
六則
[002-2b]
設甲乙直線以線為徑作甲乙丙丁圓形曰甲乙線上
圓形
數學鑰巻二凡例
[002-3a]
欽定四庫全書
數學鑰卷二目録
柘城杜知耕撰
方田下曲線/類
一則圓徑求周
二則圓周求徑
三則圓周徑求積
四則圓徑求積
[002-3b]
五則圓周求積
六則圓積求徑
七則圓積求周
八則圓環求積
增/九則圓環以積及内周求外周
增/十則圓環以積及外周求内周
十一則圓環以積及内外周求環濶
增/十二則圓環以兩周求環濶
增/十三則圓環以積及濶求兩周
[002-3b]
增/十四則圓環以積及濶求徑
[002-4a]
十五則圓環以全徑及虚徑求積
西/法十六則撱圓求積
西/法十七則弧矢求積
增/十八則弧矢形以積矢弦及離徑求背
西/法十九則弧矢形以矢弦求餘徑求全徑離徑半/
徑附/
西/法二十則弧矢形以矢徑求弦
二十一則弧矢形以離徑半徑求弦
[002-4b]
西/法二十二則弧矢形以弦及餘徑求矢
增/二十三則弧矢形以弦及全徑求矢
二十四則弧矢形以半弦半徑求矢
二十五則弧矢形以半弦及離徑求矢
增/二十六則弧矢形以半徑半弦較及半弦離徑
較求矢與弦
二十七則舊弧矢法以矢弦求積
二十八則舊弧矢法以積矢求弦
二十九則舊弧矢法以積弦求矢
[002-4b]
增/三十則增弧矢法以矢弦求積
[002-5a]
增/三十一則圓截圓
三十二則圓截弧矢
西/法三十三則弧矢形截雜線三角形
三十四則方内減圓以餘積求圓積
三十五則方内減圓以餘積求方積求方邊圓徑/
附/
三十六則圓内減方以餘積求方積求方邊圓徑/
附/
[002-5b]
三十七則圓内減方以餘積求圓積
三十八則方内減不相切之圓以餘積求方邊及
圓徑
增/三十九則圓内減不相切之方以餘積求圓徑
及方弦
四十則諸雜線形求積
[002-5b]
數學鑰巻二目録
[002-6a]
欽定四庫全書
數學鑰巻二
柘城杜知耕撰
方田下曲線/類
一則
圓徑求周
設圓田徑二十八步求周法曰置徑為實以周法二
十二乘之得六百一/十六步以徑法七除之得八十八步即
[002-6b]
所求
解曰徑法七周法二十二者徑與周
之比例若七與二十二也何也西洋
亞竒黙德云圓徑與圓周三倍又七
十之十則朒謂周不及/此數也三倍又七十
一之十則盈謂周過于/此數也先論三倍又七十之十曰丁
甲乙半圜戊為心從甲作午子切線從乙從丁作乙
己壬丁線各與乙戊半徑等設乙戊己角六十度己
戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己
[002-6b]
過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六
[002-7a]
十度則午子為等角形之邊設甲午股一百五十三
步則戊午弦必三百零六步戊午元/與午子
等午子既倍大于甲午則/戊午亦必倍大于甲午各自乘甲
午股得二萬三千四百零九步戊午
弦得九萬三千六百三十六步兩數
相減餘七萬零二百二十七步平方
開之得二百六十五步有竒為戊甲
勾即半/徑則戊甲與甲午之比例為二
[002-7b]
百六十五步有竒與一百五十三步
次平分午戊甲角作戊庚線任分甲午于庚庚戊線/割圜界
于酉己酉甲酉兩弧等兩弧既等則酉戊己酉戊甲/兩角必等故曰平分甲庚庚午兩線不等故曰任分
則午戊與戊甲若午庚與甲庚合之戊午偕戊甲而
與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午並戊甲
而與甲午甲午即午/庚偕甲庚若戊甲與甲庚先定戊午戊甲
並為五百七十一步有竒午甲為一百五十三步則
戊午並戊甲與甲午之比例若五百七十一步有竒
與一百五十三步則戊甲與甲庚之比例亦若五百
[002-7b]
七十一步有竒與一百五十三步矣即以兩數各自
[002-8a]
乘並而開方得五百九十一步又八之一不盡為庚
戊線戊甲為勾甲庚/為股庚戊為弦則庚戊與甲庚之比例若五百
九十一步又八之一不盡與一百五十三步次平分
庚戊甲角作戊辛線則戊庚並戊甲一千一百六十
二步又八之一與庚甲一百五十三步若戊甲與甲
辛若設甲辛為一百五十三步則戊甲為一千一百
六十二步又八之一有竒兩數各自乘並而開方得
一千一百七十二步又八之一為辛戊線甲戊為勾/甲辛為股
[002-8b]
辛戊/為弦則辛戊與辛甲之比例若一千一百七十二步
又八之一與一百五十三步次平分辛戊甲角作戊
寅線則辛戊並戊甲二千三百三十四步又四之一
與辛甲一百五十三步若戊甲與甲寅設甲寅為一
百五十三步則戊甲為二千三百三十四步又四之
一兩數各自乘並而開方得二千三百三十九步又
四之一有竒為寅戊線戊甲為勾甲寅/為股寅戊為弦則寅戊與寅
甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒與
一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊
[002-8b]
並戊甲四千六百七十三步五分有竒與寅甲一百
[002-9a]
五十三步若戊甲與甲未若設甲未為一百五十三
步則戊甲為四千六百七十三步五分有竒子戊午
為半圜三分之一即為全圜六分之一甲戊午為十
二分之一甲戊庚為二十四分之一甲戊辛為四十
八分之一甲戊寅為九十六分之一甲戊未為一百
九十二分之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未
戊申三角形未甲申其切線也為九十六邊形之一
邊此邊與全徑之比例若一百五十三步與四千六
[002-9b]
百七十三步五分未申倍大于未甲乙丁全/徑亦倍大于甲戊半徑以一百
五十三步乘九十六邊得一萬四千六百八十八步
則全邊與全徑之比例為一萬四千六百八十八步
與四千六百七十三步五分約之為三又七之一不
足夫形外切線尚不及三又七之一況圜周乎 次
論三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙徑戊心
從丙作丙甲與半徑戊丙等甲丙即六邊/形之一邊從乙作乙
甲線成乙甲丙勾股形而甲為方角設甲丙勾為七
百八十步乙丙弦為一千五百六十步兩數各自乘
[002-9b]
相減開方得一千三百五十一步不足為乙甲股則
[002-10a]
乙甲與甲丙之比例為一千三百五十一步與七百
八十步次平分甲乙丙角作乙丁線
以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己兩勾
股形自相似葢同用丁方角在半圜
内甲丁丁丙兩線所乘之弧等則丁
丙己丁乙丙兩弧之角必等凡兩形
有兩角等者各腰俱相似則乙丁大/股
與丙丁大/勾若丁丙小/股與丁己小/勾又乙
[002-10b]
丙大/弦與丁丙大/勾若己丙小/弦與丁己小/勾
更之乙丙與己丙兩/弦若丁丙與丁己兩/勾是乙丁與丁
丙兩/股丁丙與丁己兩/勾乙丙與己丙兩/弦三比例皆等又
乙丙與己丙兩/弦若乙丙並甲乙兩/腰與甲丙底之兩分
則乙丁與丁丙亦若乙丙並乙甲與甲丙先定乙甲
一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙
甲乙丙並為二千九百一十一步弱甲丙先設七百
八十步則乙丁與丁丙亦為二千九百一十一步弱
與七百八十步各自乘並而開方得三千零一十三
[002-10b]
步又四之一弱為乙丙線乙丁丙/形之弦則乙丙與丁丙之
[002-11a]
比例為三千零一十三步又四之一弱與七百八十
步次平分丁乙丙角作辛乙線依前論丁乙並乙丙
與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三千零一十三步
又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱並為五千
九百二十四步又四之一弱今丙丁為七百八十步
則乙辛與辛丙為五千九百二十四步又四之一弱
與七百八十步欲省數改設辛丙二百四十步改設
乙辛一千八百二十三步弱兩數各自乘並而開方
[002-11b]
得一千八百三十八步又十一之九弱為乙丙線乙/辛
丙形/之弦則二百四十步與一千八百三十八步又十一
之九弱為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙
壬線以壬丙線聨之辛乙乙丙兩數並三千六百六
十一步又十一之九弱與辛丙二百四十步為乙壬
與壬丙之比例又改設壬丙六十六步改設乙壬一
千零七步弱兩數各自乘並而開方得一千零九步
弱則六十六步與一千零九步弱為壬丙與乙丙之
比例末平分壬乙丙角作乙庚線以庚丙線聨之乙
[002-11b]
庚與庚丙若壬乙並乙丙二千零一十六步又六之
[002-12a]
一與丙壬六十六步兩數各自乘並而開方得二千
零一十七步又四之一弱為乙丙線乙庚丙/形之弦則庚丙
與乙丙之比例為六十六步與二千零一十七步又
四之一弱丙甲弧為全圜六分之一丙丁十二分之
一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九
十六分之一是丙庚為九十六邊内切圜形之一邊
也以六十六步乘九十六邊得六千三百三十六步
為九十六邊内切形之周乙丙徑為二千零一十七
[002-12b]
步又四之一弱約之徑一周三又七十一之十強夫
圜内切線為三又七十一之十尚強況圜周乎○按
三又七十一之十設徑一則周三一四零八四五零
七零四二二有竒設周一則徑三一八三八五六五
零二二再約之徑七十一步周二百二十三步三又
七十之十設徑一則周三一四二八五七一四二八
五七有竒設周一則徑三一八一八一八一八一八
有竒再約之徑七步周二十二步兩數皆不能與周
徑脗合但徑七周二十二其數少整姑從之
[002-12b]
二則
[002-13a]
圓周求徑
設圓田周八十八步求徑法曰置周為實以徑法七
因之得六百一/十六步以周法二十二除之得二十八步即
所求
解曰即前法反用之
三則
圓周徑求積
設圓田周八十八步徑二十八步求積法曰置周折
[002-13b]
半得四十/四步為實以徑折半得一十/四步為法乘之得六百
一十六步即所求
解曰圓形與半徑為高全周為底之
三角形等何也測量全義云甲乙丙
丁圜自戊心百分之必皆成三角形
而己戊甲其百分之一也次依甲戊半徑作庚戊辛
三角形令庚辛底與圜之全周等自戊角百分之亦
必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲
戊壬兩分形己甲甲壬兩底既等又戊甲同高因推
[002-13b]
其容必等夫百倍己戊甲為甲乙丙丁全圜百倍甲
[002-14a]
戊壬為庚戊辛三角形兩分形既等
兩全形有不等乎故法以半徑乘半
周得庚戊辛三角形之積即得甲乙
丙丁圜之積也○或云己戊甲雖全
圜百分之一其底終屬曲線不可與
直線三角形為比不知甲戊壬角大
于己戊甲角而己戊甲中垂線大于
甲戊壬中垂線兩相折准即謂之無
[002-14b]
差亦可
四則
圓徑求積
設圓田徑二十八步求積法曰置徑自乘得七百八/十四步
再以十一乘之得八千六百/二十四步以十四除之得六百一
十六步即所求
解曰測量全義云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半
徑為高以圜周為底己壬為圜徑上方形己丁直形
以全徑為濶以半徑為高而為己壬方形之半己戊
[002-14b]
癸三角形亦以全徑為濶半徑為高而為己丁直形
[002-15a]
之半己戊癸形既為己丁直形之半
必為倍大于己丁之己壬方形四之
一又己戊癸與庚戊辛兩形同以半
徑為高凡兩形等高者形與形之比
例若線與線兩線即兩底○/一巻四十五則今庚辛
底與圜周等己癸底與圜徑等是己
戊癸庚戊辛兩形之比例若圜徑七
與圜周二十二若以四倍大于己戊
[002-15b]
癸之己壬方形與庚戊辛三角形較
其比例必若二十八與二十二矣各以二約之為十
四與十一夫庚戊辛三角形與圓形等本巻/三則故方圓
之比例亦若十四與十一法以圓徑自乘求己壬方
形之積也以十一乘十四除取方積十四分之十一
以為圓積也
五則
圓周求積
設圓田周八十八步求積法曰置周自乘得七千七/百四十四
[002-15b]
步/以七因之得五萬四千/二百零八步以八十八除之得六百一
[002-16a]
十六步即所求
解曰戊己庚辛圜
戊己徑與甲乙丙
丁圜周等則兩圜
之比例為其徑與
徑再加之比例再
加云者以兩徑各
自乘之數以為比
[002-16b]
例也設甲乙徑七
戊己徑二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四
百八十四是兩圜之比例若四十九與四百八十四
又壬癸方形與戊己庚辛圜元若十四與十一本巻/四則
今戊己庚辛圜既為四百八十四壬癸方形必六百
一十六是壬癸方形與甲乙丙丁圜必若六百一十
六與四十九矣各以七約之為八十八與七法以圜
周自乘即壬癸方形之積也以七乘八十八除取方
積八十八分之七以為甲乙丙丁圜積也
[002-16b]
六則
[002-17a]
圓積求徑
設圓田積六百一十六步求徑法曰置積為實以十
四乘之得八千六百/二十四步以十一除之得七百八/十四步平方開
之得二十八步即所求
解曰以十四乘十一除者因圜積以
求戊己方積也平方開之得方邊即
得圜徑者方邊與圜徑等也
七則
[002-17b]
圓積求周
設圓田積六百一十六步求周法曰置積為實以八
十八乘之得五萬四千/二百零八步以七除之得七千七百/四十四步平方
開之得八十八步即所求
解曰以八十八乘七除者因圜積以求圜周上方積
也本巻/五則故平方開之得圜周
八則
圓環求積
設環田外周六十六步内周一十一步求積法曰置
[002-17b]
内外兩周各自乘外周得四千三百五十六/步内周得一百二十一步兩數相
[002-18a]
減餘四千二百/三十五步以七乘之得二萬九千六/百四十五步以八十八
除之得三百三十六步八分七釐五
毫即所求
解曰與方環求積同一巻三十三則/及本巻五則
九則
圓環以積及内周求外周
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫内周一
[002-18b]
十一步求外周法曰置積為實以八十八乘之得二/萬九
千六百四/十五步以七除之得四千二百/三十五步另置内周自乘得/一
百二十/一步兩數並共四千三百/五十六步平方開之得六十六步
即所求
解曰兩數並共成周上方積故平方開之得外周
十則
圓環以積及外周求内周
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六
十六步求内周法曰置外周自乘得四千三百/五十六步另置
[002-18b]
環積以八十八乘之得二萬九千六/百四十五步以七除之得四/千二
[002-19a]
百三十/五步兩數相減餘百二/十一步平方開之得一十一步即
所求
解曰外周上方積減去八十八乘七除之環積所餘
即内周上方積也故平方開之得内周
十一則
圓環以積及内外周求環濶
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六
十六步内周一十一步求環濶法曰置積為實以兩
[002-19b]
周相並共七十/七步折半得三十八/步五分為法除之得八步七
分五釐即所求
解曰全圓既同三角形則圓環必同梯形圓環之兩
周猶梯形之兩濶也圓環之濶猶梯形之中長也故
用梯形求長法一巻四/十八則即得環濶
十二則
圓環以兩周求環濶
設圓環田外周六十六步内周一十一步求環濶法
曰置兩周各以七乘之外周得四百六十二/步内周得七十七步各以二
[002-19b]
十二除之外周得二十一步/内周得三步五分兩數相減餘一十七/步五分折
[002-20a]
半得八步七分五釐即所求
解曰外周所得者圓之全徑也内周所得者環内虚
徑也全徑減虚徑所餘即環之兩濶故折半得一濶
也
十三則
圓環以積及濶求兩周
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步
七分五釐求兩周法曰置積為實以濶除之得三十
[002-20b]
八步五分另置濶以二十二乘之得一百九十/二步五分以七
除之得二十七/步五分與三十八步五分相並得六十六步
即外周與三十八步五分相減得一十一步即内周
解曰此亦梯形求濶法也法以環濶除積所得之三
十八步五分即兩環周之中度也環濶為全徑與虚
徑相差之半以二十二乘七除則為内外兩周相差
之半矣故以之增減兩周之中度得兩周也
十四則
圓環以積及濶求徑
[002-20b]
設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步
[002-21a]
七分五釐求全徑及虚徑法曰置積以十四乘之得/四
千七百一十六/步二分五釐十一除之得四百二十八/步七分五釐另置濶自
乘得七十六步五分/六釐二毫五絲以四因之得三百零六/步二分五釐兩數相
減餘一百二十/二步五分為實以四因濶得三十/五步為法除之得
三步五分即虚徑倍濶得一十七/步五分加之得二十一步
即全徑
解曰置積以十四乘十一除者令圓環積化為方環
積也餘即方環求内方法一巻五/十六則
[002-21b]
十五則
圓環以全徑及虚徑求積
設圓環田全徑二十一步虚徑三步五分求積法曰
置兩徑各自乘全徑得四百四十一步虚/徑得一十二步二分五釐兩數相減
餘四百二十八/步七分五釐以十一乘之得四千七百一十/六步二分五釐十四
除之得三百三十六步八分七釐五毫即所求
解曰兩徑各自乘相減者求方環積也十一乘十四
除者因方環積以求圓環積也
十六則
[002-21b]
撱圓求積
[002-22a]
設撱圓田大徑九十步小徑四十步求積法曰置兩
徑相乘得三千/六百步以十一乘之得三萬九/千六百步以十四除之
得二千八百二十八步五分七釐有竒即所求
解曰西洋亞竒黙德云取撱
圓兩徑之中率為徑作圓其
容與撱圓等四九之中率為/六謂四之與六
猶六之/與九也夫求中率之法以兩
徑相乘平方開之即得然中率自乘之數實即兩徑
[002-22b]
相乘之數故法以兩徑相乘十一乘十四除為撱圓
積也撱圓形狀不同/恐不能無小差
十七則
弧矢求積
設弧矢田矢濶五步弦長一十七步三分二釐有竒
背二十步零九分五釐二毫有竒離徑五步求積法
曰置背以離徑並矢共十/步乘
之得二百零九步五/分二釐三毫有竒另置弦
以離徑乘之得八十六步/六分有竒兩
[002-22b]
數相減餘一百二十二步九/分二釐三毫有竒
[002-23a]
折半得六十一步四分六釐一毫有竒即所求
解曰甲乙丙弧矢形戊為圜心自甲自乙作甲戊乙
戊兩線成甲戊乙丙雜線形其丙丁矢與丁戊離徑
並即全圓之半徑甲丙乙背又為圓周之分線求積
之法當與圓同夫圓以半徑乘周折半得積本巻/三則則
雜線形亦必以半徑乘背折半得積矣又雜線形内
以甲乙線分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三
角形其三角形以甲乙弦為濶以丁戊離徑為高若
[002-23b]
以高乘濶折半必得三角形之積一巻/五則于雜線形内
減去三角積所餘非弧矢積而何故法以半徑乘背
離徑乘弦相減折半得積也相減而後折半與各折/半而後相減得數同
十八則
弧矢形以積矢弦及離徑求背
設弧矢田積六十一步四分六釐一毫有竒矢五步
弦一十七步三分二釐有竒離徑五
步求背法曰置積倍之得一百二十/二步九分二
釐三毫/有竒另置弦以離徑乘之得八十/六步六
[002-23b]
分有/竒兩數並得二百零九步五/分二釐三毫有竒以矢
[002-24a]
並離徑共十/步除之得二十步零九分五釐二毫有竒
即所求
解曰即前則求積法反用之
十九則
弧矢形以矢弦求餘徑求全徑離/徑半徑附
設弧矢田矢五步弦一十七步三分二釐有竒求餘
徑法曰置弦折半得八步六分/六釐有竒自乘得七十/五步以矢除
之得一十五步即所求
[002-24b]
解曰甲乙丙弧矢形丙丁為矢丁戊為離徑丁己為
餘徑自圓心戊作
戊乙線成丁戊乙
勾股形丁乙半弦
為股丁戊離徑為
勾戊乙半徑為弦
另作辛夘形為丁
戊勾上方形庚壬形為戊乙弦上方形夫庚壬之大
于辛夘者為癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于
[002-24b]
乙丁股上方形何也弦上方形與勾股上兩方形並
[002-25a]
等故也六巻/一則若移子于寅則成癸丑寅直形必以勾
弦較為濶勾弦和為長今戊乙弦等于戊丙戊丙之
大于丁戊勾者為丙丁是丙丁矢即勾弦較也故以
矢除丁乙半弦弧矢形/之弦自乘之積即得勾弦和又乙
戊弦勾股形/之弦既半徑必與戊己等戊己合丁戊非丁
己餘徑而何○求得餘徑加矢即全徑減矢折半即
離徑加矢折半即半徑
二十則
[002-25b]
弧矢形以矢徑求弦
設弧矢田矢五步徑二十步求弦法曰以矢減徑餘/一
十五/步以矢乘之得七十/五步平方開之得八步六分/六釐有竒倍之
得一十七步三分二釐有竒即所求
解曰依前解矢與餘徑相乘之數即半弦自乘之數
故平方開之得半弦倍之得全弦也
二十一則
弧矢形以離徑半徑求弦
設弧矢田半徑十步離徑五步求弦法曰置半徑離
[002-25b]
徑各自乘半徑得一百步離/徑得二十五步兩數相減餘七十/五步平方
[002-26a]
開之得八步六分/六釐有竒倍之得一十七步
三分二釐有竒即所求
解曰半徑乙戊為弦勾股形/之弦離徑丁
戊為勾求得乙丁股即半弦也弧矢/形之
弦/故倍之得全弦
二十二則
弧矢形以弦及餘徑求矢
設弧矢田弦一十七步三分二釐有竒餘徑一十五
[002-26b]
步求矢法曰置弦折半得八步六分/六釐有竒自乘得七十/五步以
餘徑除之得五步即所求
解曰依十九則解半弦自乘之數即矢偕餘徑相乘
之數故以餘徑除之得矢
二十三則
弧矢形以弦及全徑求矢
設弧矢田弦一十七步三分二釐有竒全徑二十步
求矢法曰置弦徑各自乘弦得三百步/徑得四百步兩數相減餘/一
百/步平方開之得十/步以減全徑餘十/步折半得五步即所
[002-26b]
求
[002-27a]
解曰全徑上方形當矢偕餘徑矩内形四及矢與餘
徑之較線上方形一一巻十/三則全弦上方形當半弦上
方形四又半弦上方形與矢偕餘徑矩内形等本巻/十九
則/于全徑上方積内減去全弦上方積即減去矢偕
餘徑矩内積四也則所餘必矢與餘徑之較線上方
積平方開之即得矢與餘徑之較線故以之減徑折
半得矢也
二十四則
[002-27b]
弧矢形以半弦半徑求矢
設弧矢田半弦八步六分六釐有竒半徑十步求矢
法曰置半弦半徑各自乘半弦得七十五步/半徑得一百步兩數相
減餘二十/五步平方開之得五/步以減半徑
得五步即所求
解曰半弦丁乙為股戊乙半徑為弦
求得丁戊勾即離徑也故以之減半
徑得矢
二十五則
[002-27b]
弧矢形以半弦及離徑求矢
[002-28a]
設弧矢田半弦八步六分六釐有竒離徑五步求矢
法曰置半弦離徑各自乘半弦得七十五步/離徑得二十五步兩數並
得一/百步平方開之得十/步減去離徑得五步即所求
解曰半弦丁乙圖同/前則為股離徑丁戊為勾求得乙戊
弦即徑也故減去離徑得矢
二十六則
弧矢形以半徑半弦較及半弦離徑較求矢與弦
設弧矢田半徑多半弦一步三分四釐弱半弦多離
[002-28b]
徑三步六分六釐強求矢及弦法曰並兩數共五/步以
半徑多半弦之數乘之得六步/七分倍之得一十三/步四分平方
開之得三步六/分六釐以加半徑多半弦之數得五步即離
徑再加半弦多離徑之數得八步六分六釐即半弦
再加半徑多半弦之數得十步即半徑半徑減去離
徑餘五步即矢
解曰戊乙半徑圖同二/十四則多于丁乙半弦之數即股弦
較丁乙半弦多于丁戊離徑之數即勾股較勾股較
並股弦較即勾弦較此即勾弦較股弦較求勾股弦
[002-28b]
法也六巻二/十則
[002-29a]
二十七則
舊弧矢法以矢弦求積
設弧矢田矢十步弦二十步求積法曰置矢弦相並
共三/十步折半得一十/五步以矢乘之得一百五十步即所求
解曰舊説圓徑一周三甲乙丙丁圓徑二十步周六
十步甲乙丙弧矢形為全圓之半其
背為全周之半必三十步法以矢弦
相並即與弧背等折半以矢乘之猶
[002-29b]
圓法以半徑乘周折半得積之義也
本巻/三則以舊法論全圓得積三百步而半圓之弧得積
一百五十步與圍三徑一之數脗合無差過此以往
其矢漸短弧形漸細其差漸多甚至百步之積有差
至二十餘步者即如十七則弧矢田弦一十七步三
分二釐有竒矢五步依舊法求之止得積五十五步
八分較前法所求之積則少五步六分六釐有竒前
法雖密于舊法然必背矢弦皆具方可起算舊法有
矢有弦即可得積故並存之
[002-29b]
二十八則
[002-30a]
舊弧矢法以積矢求弦
設弧矢田積五十五步八分矢五步求弦法曰置積
倍之得一百分十/一步六以矢除之得二十二步/三分二釐減去矢餘
一十七步三分二釐即所求
解曰舊法以矢乘半弦半矢得弧矢
積若以矢除弧矢積必仍得半弦半
矢以矢除弧矢積既得半弦半矢以
矢除弧矢之倍積不得一弦一矢乎一弦一矢内減
[002-30b]
去一矢所餘非弦而何
二十九則
舊弧矢法以積弦求矢
設弧矢田積五十五步八分弦一十七步三分二釐
求矢法曰置積八因之得四百四十/六步四分另置弦自乘得/二
百九十九步九分/八釐二毫四絲兩數並共七百四/十六步三
分八釐二/毫四絲平方開之得二十七步/三分二釐減
去弦餘十/步折半得五步即所求
解曰甲丁方形邊與一弦二矢等甲
[002-30b]
戊乙己丁庚丙辛各與矢等其戊己
[002-31a]
等四直形即矢偕一弦一矢矩内形壬子即弦上方
形也又弧矢形以矢乘半弦半矢得積本巻二/十七則而當
一直形之半則四直形必當八弧矢積矣是一弦二
矢上方形與弦上方積一及弧矢積八並等反之則
弦上方積一及弧矢積八並為一方其邊必一弦二
矢也法並兩數以平方開之所得即一弦二矢之度
故減弦折半得矢也○舊弧矢法弦背積及徑輾轉
相求共三百二十六法實亦不出十七則以下十法
[002-31b]
之外其不能該者止以上三法耳故存之
三十則
增弧矢法以矢弦求積
設甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙弦一十七步三
分二釐有竒求積法曰有矢與弦可得丁壬餘徑餘
徑加矢可得丙壬全徑本卷十/九則甲己與丙壬等即以
甲己為弦甲乙為股求乙巳勾得十
步六卷/三則為乙巳庚餘弧之弦又將乙
己折半得巳辛復為勾戊巳半徑為
[002-31b]
弦求戊辛股以減半徑戊庚與/戊巳等餘庚
[002-32a]
辛一步三分四釐為乙己庚餘弧之矢另求甲己徑
上半圓積得一百五十七步一分四/釐二毫八絲○本巻三則次求甲乙己勾
股積得八十六步六/分○一巻四則與半圓積相減餘七十步零五/分四釐二毫八
絲/為甲乙丙與乙己庚兩弧之共積置為實兩弧各
以三弦一矢相並以矢乘之甲乙丙弧得二百八十/四步八分乙己庚弧得
四十一步九分/九釐五毫六絲以甲乙丙弧數乘實得二萬零九十/步零五分八釐
九毫四/絲四忽並兩弧數共三百二十六步七/分九釐五毫六絲除之得六十
一步四分七釐七毫五絲有竒即所求
[002-32b]
解曰此借兩弧三弦一矢以矢乘之之數為比例以
分共積也此法較舊法為密然大弧既盈則小弧必
朒較十七則未免有千一之差如必欲得弧積眞數
密量弧背從十七則可也
三十一則
圓截圓
設圓田徑二十一步依外周截積三
百三十六步八分七釐五毫求餘圓
徑法曰置徑自乘得四百四/十一步另置截
[002-32b]
積以十四乘之得四千七百一十/六步二分五釐十
[002-33a]
一除之得四百二十八/步七分五釐兩數相減餘一十二步/二分五釐平方
開之得三步五分即所求
解曰此與方環截積同一巻五/十六則
三十二則
圓截弧矢舊/法
設圓田徑一十三步截弧矢積三十
二步求矢法曰置截積自乘得一千/零二十
四/步為實用商法商矢四步即以所商
[002-33b]
之矢乘截積得一百二/十八步為上亷另以
矢每步加負隅二分五釐得五/步與徑相減餘八步為
餘徑又以所商之矢自乘得一十/六步以乘餘徑得一百/二十八
步/為下亷並兩亷共二百五/十六步為法除實得四步即所
求
解曰弧矢之積元以矢乘半弦半矢而得本巻二/十七則若
以半弦半矢相並除積必得矢法置截積自乘是倍
截積為三十二若以三十二半弦與三十二半矢並
除倍積必亦得矢法以矢乘截積得三十二全矢是
[002-33b]
多三十二半矢少三十二半弦若以半弦大于半矢
[002-34a]
之數三十二倍之與三十二全矢並
即與三十二半弦三十二半矢相並
之數同今無半弦數須以矢乘餘徑
以為半弦自乘之方本巻十/九則如甲乙
方形甲己為半弦甲丁為半矢丁己為半矢弦較即/半
弦大于半/矢之度則丁己乙戊直形必半矢弦較以半弦為
倍數者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁則庚丙戊
辛直形必半矢弦較以半矢為倍數者也兩直形並
[002-34b]
再以矢乘之必半矢弦較以截積三十二為倍數者
也何也弧矢之積元以矢乘半弦半矢而得故也甲
乙大方形減去丁己乙戊與庚丙戊辛兩直形餘甲
丙小方形為甲丁半矢之冪法所謂負隅也負隅既
為半矢之冪必為全矢冪四分之一故法以二分五
釐為負隅也法用矢自乘以乘餘徑與用矢乘餘徑
再以矢乘之得數同也○按元注云所得之矢過于
所商之矢為約矢太短不及所商之矢為約矢太長
宜更商之商約之法既無一定惟以意斟酌之若整
[002-34b]
齊之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商
[002-35a]
不能得者古人于此條實無善法姑以此考驗所商
之合否耳若止欲考驗所商之合否又何如以所商
之矢求半弦本巻二/十則再加半矢以矢乘之本巻二/十七則合
積為準過積為約矢太長不及積為約矢太短不較
捷乎
三十三則
弧矢截雜線三角形
設半圓弧矢田弦二十步自心截雜線三角形背長
[002-35b]
一十步零四分七釐六毫一絲六忽求截積法曰置
截背以弦折半得十/步乘之得一百零/四步七分
六釐一/毫六絲折半得五十二步三分八釐
零八絲即所求
解曰雜線三角形為圓之分形故求
積之法同圓本巻/三則
三十四則
方内減圓以餘積求圓積
設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求
[002-35b]
圓積法曰置積為實以圓法十一乘之得一千八百/四十八步
[002-36a]
以圓法十一與方法十四相減餘三
為法除之得六百一十六步即所求
解曰圓既為方十四分之十一則方
内減圓之餘積必為方十四分之三
圓十一分之三矣故十一乘三歸得圓積也
三十五則
方内減圓以餘積求方積求方邊/圓徑附
設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求
[002-36b]
方積法曰置積為實以十四乘之得二千三百/五十二步以圓
法十一與方法十四相減餘三為法歸之得七百八
十四步即所求
解同前○置方積平方開之即方邊亦即圓徑
三十六則
圓内減方以餘積求方積求方邊/圓徑附
設圓田減去内切方田餘積二百二
十四步求方積法曰置積為實以七
乘之得一千五百/六十八步以七與圓法十一
[002-36b]
相減餘四為法歸之得三百九十二
[002-37a]
步即所求
解曰内切方形之弦與外切方形之邊等則内切方
形必倍小于外切方形而若七之與十四夫圓既為
外方十四分之十一而内方不為圓十一分之七乎
圓内減方之餘積為圓十一分之四即為内方七分
之四故七乘四除得内切方積也○置方積平方開
之即得方邊倍方積平方開之即得圓徑
三十七則
[002-37b]
圓内減方以餘積求圓積
設圓田減去内切方田餘積二百二十四步求圓積
法曰置積為實以圓法十一乘之得二千四百/六十四步以圓
法十一與七相減餘四為法歸之得六百一十六步
即所求
解同前
三十八則
方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑
設方田内減圓田方邊至圓周五步餘積一千七百
[002-37b]
二十五步求方邊及圓徑法曰置五步自乘得二十/五步
[002-38a]
以三因之得七十/五步與餘積並共一千/八百步另置五步以六
因之得三/十步為縱方以平方帶縱開之得九十步則/一巻十三減
去縱方餘六十步即方邊再
減兩邊各五步共十/步餘五十
步即圓徑
解曰依圖分之成甲乙等方
形四子丑等直形八乾坎等
雜線三角形四其甲乙等四形即方邊至圓周五步
[002-38b]
自乘之方形也子丑等八形亦各以五步為濶其長
則圓之半徑也乾坎等四形
為方減内切圓形之餘積以
方四圓三推之舊法謂方内/容圓圓居方
四分/之三四形並必當方四分之
一乾坎艮三形並必足以補
癸形之闕而與一小方二直
形一雜形並共凑成一坤震
方形矣次移甲于丁移乙于
[002-38b]
戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于
[002-39a]
酉移辰于戌移巳于亥尚闕庚辛壬三形故法取方
邊至圓周之五步自乘以三因之加入積内也自壬
至丁凡六形每形濶五步共計三十步故法取方邊
至圓周之五步以六因之為縱方也帶縱開方法置
積四因之縱方自乘兩數並平方開之得長濶相和
之度即兑巽與/巽震並減去縱方即兑/坤餘兩濶即坤巽與/巽震並即
方邊方邊之大于圓徑者為兩邊之各五步故減之
得圓徑本則及下則皆/用周三徑一法
[002-39b]
三十九則
圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方弦
設圓田内減方田圓周至方角一步餘積四十三步
求圓徑及方弦法曰置一步
自乘仍得/一步以二因之得二/步與
餘積並並四十/五步另置一步以
四因之得四/步為縱方以平方
帶縱開之得一十/四步減去縱方
即圓徑再減圓周至方角各一步共二/步餘八步即方
[002-39b]
弦
[002-40a]
解曰依内方角作一圓線此圓線偕外圓周必成一
圓環形次依環濶改作方環圓環當方環四分之三
故止作方環之三隅即與圓
環等依圖分之成甲乙丙三
方形丁戊己庚辛壬六直形
尚餘癸子丑寅四弧矢形為
圓減内切方形之餘積以圓
三方二推之舊法謂圓内容/方方居圓三分
[002-40b]
之/二四弧矢形並當圓三分之
一必當内方二分之一而夘癸辰方形亦當内方二
分之一則四弧矢形必能補夘癸辰方形之闕而與
辛壬丙三形並共輳成一震坎方形矣次移甲于巳
移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于乾
尚闕未申二形故法取圓周至方角一步自乘二因
之補入積内也自巳至申凡四形每形濶一步共四
步故取圓周至方角之一步四因之為縱方也以平
方帶縱開之得巽艮艮坎長濶相和之度減去縱方
[002-40b]
巽震餘震艮艮坎兩濶即圓徑圓徑之大于方弦者
[002-41a]
為兩邊之各一步故減之得方弦
四十則
諸雜線形求積
第一圖可作一弧矢形而減一弧矢形第二圖可作
半弧矢形而減半弧矢形第三圖可作兩弧矢形第
四圖移甲丙實形補乙丁虚形成戊三角形又移己
實形補庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑
自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第
[002-41b]
五圖甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移
戊實形補
己虚形庚
亦成三角
形癸借壬
虚形亦成
三角形得/積
減去壬/圓形此
一大形内
[002-41b]
成弧矢形二三角形五而減一圓形凡屬雜線形者
[002-42a]
皆依五形例裁之
[002-42b]
數學鑰巻二
