[001-1a] 
欽定四庫全書
數學鑰卷一凡例
柘城杜知耕撰
凡例計十四則/
一則
數非圖不明圖非手指不明圖用甲乙等字作誌者代
指也作誌必用甲乙等字者取其筆畫省而不亂正
文也甲乙等字盡則用子丑等字又盡則用乾坤等
[001-1b]
字如云甲乙丙丁方形則指第一圖戊巳庚辛方形
則指第二圖或錯舉二字謂
第一圖為甲丁或乙丙形謂
第二圖為戊辛或巳庚形又
指第一圖左下角曰甲角右
下角曰乙角又或有兩角相
連如第三圖兩形相同一角
如第四圖舉一字不能别為某形某角則連用三字
曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字為所指之角
[001-1b]
二則
[001-2a]
四邊皆等四角中矩者曰方形如第一圖四角中矩四
邊兩兩相等者曰直形如第二圖或四邊等或兩邊
等而四角俱不中矩者曰象目形如第三圖四邊俱
不等兩角中矩兩
角不中矩者曰斜
方形如第四圖角
不中矩兩邊相等
者曰梯形如第五
[001-2b]
圖邊及角俱不等
者曰無法形如第六圖三邊形有一方角者甲為/方角曰
勾股形如第七圖無方角者曰三角形如第八圖
三則
形邊之界曰線線之縱者曰長或曰高衡者曰濶或曰
廣在下者或曰底斜對兩角者曰弦
四則
形之積步積尺曰積曰容方形之容或曰羃
五則
[001-2b]
線之作誌處曰㸃
[001-3a]
六則
兩線相並曰和
七則
以此線比彼線彼線之大于此線者以此形比彼形彼
形之大于此形者或曰較或曰差如甲丙線之大于
甲乙線為丙乙則丙乙為兩線之較線或曰兩線之
差丁己形之大于丁戊形為庚己形
則庚己為兩形之較形或曰兩形之
[001-3b]
差
八則
甲乙線上作甲丙方形各邊俱等于甲乙曰甲乙線上
方形其形之容即甲乙自乘
之數丁戊衡線戊己縱線内
作丁己直形己庚與丁戊等
庚丁與戊己等曰丁戊偕戊己兩線矩内形其形之
容即丁戊戊己相乘之數
九則
[001-3b]
甲乙衡線上作丙丁縱線而丙丁乙與丙丁甲兩角俱
[001-4a]
方角則丙丁為甲乙線上之垂線
十則
兩直線引至無窮不相離亦不相遇曰平行線平行線
内任作幾形皆等高如甲乙丙丁兩線平行兩線内
作戊己庚三角形與辛壬直形兩形
之高必相等凡兩形等高者則曰同
[001-4b]
在平行線内
十一則
甲乙丙三形並為一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形
十二則
方形並舉四邊曰方周
十三則
[001-4b]
方形或圓形外實中虚曰環其中虚處曰虚形或曰缺
[001-5a]
形
十四則
甲乙形以丙丁線分之成甲丁丙乙兩形或再以戊己
線分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形
謂甲丁等二形或甲庚等四形曰分
形謂甲乙元形曰全形
[001-5b]
[001-5b]
數學鑰巻一凡例
[001-6a]
欽定四庫全書
數學鑰巻一目録
柘城杜知耕撰
方田上直線類/
一則實積求畝
二則直形求積
三則方形求積
四則勾股求積二法/
[001-6b]
五則三角形求積
六則斜方形求積
七則梯形求積
西/法八則象目形求積二法/
九則諸直線形求積
十則積求方邊即開平方/ 二法/
十一則方邊求斜弦
十二則斜弦求方邊
十三則直積求長與濶即帶縱開平方/
[001-6b]
十四則直形以長求濶
[001-7a]
十五則直形以濶求長
十六則直形長濶求弦
十七則直形濶弦求長
十八則直形長弦求濶
十九則直形長及弦濶差求濶
二十則直形濶及弦長差求長
二十一則直形弦及長濶和求長濶差
二十二則直形長及弦濶和求濶
[001-7b]
二十三則直形濶及弦長和求長
二十四則直形弦及長濶差求長與濶
二十五則直形長弦和及濶弦和求長與濶
二十六則直形長弦差及濶弦差求長與濶
二十七則直形積及長濶和求長濶差
二十八則直形積及長濶和求弦
二十九則兩邊等之三角形求對角之垂線
増/三十則有一方角之三角形求對角之垂線
増/三十一則不等邊而無方角之三角形求對角
[001-7b]
之垂線
[001-8a]
三十二則方周求積
三十三則方環以周求積
増/三十四則方環以積及濶求邊
三十五則直形依長截濶
三十六則直形依濶截長
三十七則直形截勾股
三十八則直形截三角
三十九則直形截斜方
[001-8b]
四十則直形截梯形
四十一則三角形以截積截濶求截長勾股截積/
同/
四十二則三角形以截積截長求截濶
四十三則三角形以截長求截濶
四十四則三角形以截濶求截長
四十五則三角形以截積求截長
四十六則三角形以截積求截濶
四十七則斜方形以截積截長求截濶梯形截積/
[001-8b]
同/
[001-9a]
四十八則斜方形以截積截濶求截長
四十九則斜方形以截濶求截長
五十則斜方形以截長求截濶
五十一則斜方形依小邊截積求截濶
五十二則斜方形依大邊截積求截濶
五十三則梯形截勾股
五十四則梯形截斜方
五十五則梯形截無法五邊形
[001-9b]
増/五十六則方環截外周
増/五十七則方環截内周
[001-9b]
數學鑰巻一目録
[001-10a]
欽定四庫全書
數學鑰巻一
柘城杜知耕撰
方田上直線/類
一則
實積求畝
設田積二萬九千五百二十步求畝法曰置積為實
以畝法二四除之得一百二十三畝即所求
[001-10b]
解曰五尺為步二百四十步為畝如自甲至乙濶一
步即五/尺餘三邊各與甲乙等則甲丙
方形為積一步二百四十倍之則為
一畝故畝法用二四也本巻及二巻
皆言求積之法得積以此法求之即
得畝數
二則
直形求積
設直田長十步濶八步求積法曰置長為實以濶乘
[001-10b]
之得八十步即所求
[001-11a]
解曰直田長濶不等求積之法任取
一邊為此一邊之倍數或以濶乘長/或以長乘濶
如甲戊形之戊乙己甲各二步則二
倍甲乙邊八步之數而甲戊形得積
一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙邊八步
之數故得積八十步也
三則
方形求積
[001-11b]
設方田方八步求積法曰置八步自乘得六十四步
即所求
解曰方田四邊皆等以此邊為此邊
之倍數與以他邊為此邊之倍數同
故法用自乘也
四則
勾股求積
設勾股田股長十二步勾濶八步求積法曰置股為
實以勾乘之得九十/六步折半得四十八步即所求
[001-11b]
解曰勾股形當等高等濶直形之半如甲乙丙勾股
[001-12a]
形另作丁己直形
與之等高謂丁庚/與甲丙
等/等濶謂丁戊與/甲乙等
以庚戊線分之則
成丁戊庚庚己戊兩勾股形皆與甲乙丙勾股形等
夫丁己一直形當甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股
形不當丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己
直形積也故半之得勾股積又法置股為實以半勾
[001-12b]
四/步乘之所得同前半股為實以/勾乘之亦得
解曰丁己直形再以壬辛線中分之成丁壬辛己兩
分形法以半勾乘股所得即分形積也勾股既為丁
己直形之半而分形亦為丁己直形之半故分形積
即勾股積也
五則
三角形求積
設三角田中長一十二步底濶八步求積法同勾股
田
[001-12b]
解曰甲乙丙三角形依底線作甲丁直形從角以丙
[001-13a]
己線分之則三角
形内成甲己丙乙
己丙兩勾股形直
形内成甲丙己丁
兩分形從前解推
之甲己丙勾股形
當甲丙分形之半
乙己丙勾股形當
[001-13b]
己丁直形之半兩勾股形既當兩分形之半而三角
全形不為甲丁全形之半乎故求積之法與勾股同
也 或兩邊等如第/一圖或三邊等如第/二圖或三邊俱不等
如第/三圖法皆同
六則
斜方形求積
設斜方田長一十
五步上濶六步下
濶十步求積法曰
[001-13b]
置長為實以兩濶
[001-14a]
相並共一十/六步折半得八/步為法乘之得一百二十步即
所求
解曰甲乙丁庚斜方形減去辛丁直形所餘必甲庚
辛勾股形勾股形既為等高等濶直形之半本巻/四則則
己庚直形必與甲庚辛勾股形等又己庚直形與辛
丁直形並亦必與甲庚辛勾股形與辛丁直形並等
法並兩濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得
乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁兩形並也
[001-14b]
安得不與甲乙丁庚斜方形等乎
七則
梯形求積
設梯田長一十五步上濶六步下濶十步求積法同
斜方田
解曰甲乙丙丁梯形減去戊丁直形餘甲丙戊乙丁
己兩勾股形必與
辛丙己庚兩分形
等今戊丁直形與
[001-14b]
兩分形並則與全
[001-15a]
梯形等矣故並兩濶折半乘長得積也
八則
象目形求積
設象目田濶八步正長一十二步求積法曰置正長
為實以濶乘之得
九十六步即所求
解曰幾何原本云
甲乙丙丁象目形
[001-15b]
甲戊為正長自乙
作乙己線與甲戊平行次于丁丙線引長之至戊成
甲乙己戊甲乙丁丙兩形在平行線内等高即在/平行線内而
同底等濶即/同底則兩形必相等何也甲戊乙己兩線既
平行則戊己必與甲乙等而丙丁元等于甲乙則丙
丁與戊己必亦等丙丁既與甲乙等則甲丙乙丁兩
線必平行而亦相等因顯甲丙戊乙丁己兩三角形
亦等于兩形内每減一己丙庚三角形所餘甲庚己
戊庚乙丙丁兩無法四邊形亦等次于兩無法形每
[001-15b]
加一甲庚乙三角形則成甲乙丙丁甲乙戊己兩形
[001-16a]
安得不等法以濶乘正長得甲己直形之積即甲乙
丙丁象目形之積
又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自
丙量至戊得六步兩數相乘亦得九十六步與前同
解曰象目田以甲丁線分之則成相
等之兩三角形甲丁即底丙戊即中
長也故以底乘長得全積也三角法/以底乘
長折半得積今不折/故得兩形之共積
[001-16b]
九則
諸直線形求積
第一圖
可作三
三角形
第二圖
可作一
斜方形
[001-16b]
一三角
[001-17a]
形第三圖可作一三角形而減一小三角形第四圖
可作一方形而減一勾股形第五圖可作一直形一
勾股形第六圖可作兩三角形其餘千形萬狀凡屬
直線邊者皆依方直三角勾股裁之
十則
積求方邊即開/平方
設方田積三萬六千一百步求方邊法曰置積于中
為實初商一百步于實左亦置一百步于實右為方
[001-17b]
法左右對呼除實一萬步餘二萬六/千一百步倍方法得二/百步為
亷法次商九十步于左初商
之次共一百/九十步亦置九十步于
右亷法之次為隅法共二百/九十步
以左次商與亷法對呼除實
一萬八千步餘八千/一百步又以左
次商與隅法對呼除實八千
一百步恰盡于左得一百九十步即所求方邊之數
解曰初商與方法對呼所除者己辛方形也即大/方積次
[001-17b]
商與亷法對呼所除者甲壬壬丁兩直形也即兩/亷必
[001-18a]
倍方法為亷法者以亷有二也次商與隅法對呼所
除者庚戊方形也即隅/方四形恰盡實積則初次兩商
之數為方田邊無疑矣
又設方田積七萬一千八百
二十四步求方邊法曰置積
于中為實初商二百步于左
亦置二百步于右為方法左
右對呼除實四萬步餘三萬/一千八
[001-18b]
百二十/四步倍方法得四/百步為亷法
次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之
次為隅法先以次商與亷法對呼除實二萬四千步
再以次商與隅法對呼除實三千六百步餘實四千/二百二十
四/步又倍次商得一百/二十步並右亷法共五百/二十步復為亷法三
商八步于左初商次商之次共二百六/十八步亦置八步于
右亷法之次復為隅法先以三商與亷法對呼除實
四千一百六十步再以三商與隅法對呼除實六十
四步恰盡于左初次三三商共得二百六十八步即
[001-18b]
所求方邊之數
[001-19a]
解曰此與前條無異但前二位此三位耳初商次商
不能盡故三商之如三商又不盡則四商五商倣此
十一則
方邊求斜弦
設方田方五十步求弦法曰置方數自乘得二千/五百步倍
之得五/千步平方開之本巻/十則得七十步零
七分有竒即所求
解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙弦
[001-19b]
線次作己庚辛壬方形令方邊與甲
丁方形之弦線等則庚壬方形必倍大于甲丁方形
何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角
形四是四三角形當一甲丁方形也形外丁丙己乙
丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各與甲丁形内四
三角形等是形外四三角形又當一甲丁方形矣因
知斜弦自乘之方形即庚壬/方形倍大于方邊自乘之方
形即甲丁/方形法置方邊自乘即甲丁方積也倍之即庚
壬方積也平方開之得庚壬方形之邊即得甲丁方
[001-19b]
形之弦也
[001-20a]
十二則
斜弦求方邊
設方田弦長七十步零七分有竒求方邊法曰置弦
自乘得五/千步折半得二千/五百步平方開之得五十步即所求
解曰置弦自乘求庚壬方積也圖同/上則折半即甲丁方
積也故平方開之得甲乙
十三則
直積求長與濶即帶縱/開平方
[001-20b]
設直田積九百七十二步長濶差九步求長與濶法
曰置積四因之得三千八百/八十八步又長濶
差自乘得八十/一步兩數並共三千九百/六十九步
平方開之得六十三步加長濶差共/七
十二/步折半得三十六步即長以長濶
差減長餘二十七步即濶
解曰一線任兩分之兩分線矩内形四及兩分線之
較線上方形一並與元線上方形等如圖甲乙線兩
分于丙丙子庚癸己壬辛丑四線各與乙丙等庚子
[001-20b]
己癸辛壬丙丑四線各與甲丙等則丙庚庚己己辛
[001-21a]
辛丙四形必兩分線矩内形也辛丑既等于丙乙壬
辛又等于甲丙則丑壬必兩分線之較線壬癸癸子
子丑又各等于丑壬則癸丑形必較線上方形矣甲
乙元線上方形不與五形並等乎直田積即兩分線
矩内形也四因之者矩内形四也長濶差自乘即較
線上方形也五形並等于元線上方形故平方開之
得甲乙元線即長濶相和之度也開方所得之/六十三步長濶
和增一長濶差即兩長兩長折半非一長而何以長
[001-21b]
濶差減長非濶而何
十四則
直形以長求濶
設直田積九百七十二步長三十六
步求濶法曰置積為實以長除之得
二十七步即所求
解曰濶為長之倍數故以長除積得
濶本巻/二則
十五則
[001-21b]
直形以濶求長
[001-22a]
設直田積九百七十二步濶二十七步求長法曰置
積為實以濶除之得三十六步即所求
解曰長亦為濶之倍數故以濶除實得長本巻/二則
十六則
直形長濶求弦
設直田濶二十七步長三十六步求
弦法曰長濶各自乘長得一千二百/九十六步濶得
七百二/十九步兩數並共二千零/二十五步平方開之
[001-22b]
得四十五步即所求
解曰此即勾股求弦六巻/一則
十七則
直形濶弦求長
設直田濶二十七步弦四十五步求長法曰弦濶各
自乘弦得二千零二十五步/濶得七百二十九步兩數相減餘一千二/百九十六平
方開之得三十六步即所求
解曰此即勾弦求股六巻/二則
十八則
[001-22b]
直形長弦求濶
[001-23a]
設直田長三十六步弦四十五步求濶法曰弦長各
自乘弦得二千零二十五步長/得一千二百九十六步兩數相減餘七百二/十九步
平方開之得二十七步即所求
解曰此即股弦求勾六巻/三則
十九則
直形長及弦濶差求濶
設直田長三十六步弦濶差一十八步求濶法曰長
與弦濶差各自乘長得一千二百九十六步/弦濶差得三百二十四步兩數相
[001-23b]
減餘九百七/十二步折半得四百八/十六步以弦濶差為法除之得
二十七步即所求
解曰此即股與勾弦較求勾六巻十/四則
二十則
直形濶及弦長差求長
設直田濶二十七步弦長差九步求長法曰置濶自
乘得七百二/十九步以弦長差為法除之得八十/一步減弦長差
餘七十/二步折半得三十六步即所求
解曰此即勾與股弦較求股六巻十/五則
[001-23b]
二十一則
[001-24a]
直形弦及長濶和求長濶差
設直田長濶和六十三步弦四十五步求長濶差法
曰置弦自乘得二千零/二十五步倍之得四千零/五十步另置長濶和
自乘得三千九百/六十九步兩數相減餘八十/一步平方開之得九
步即長濶差以減長濶和餘五十/四步折半得二十七步
即濶加長濶差得三十六步即長
解曰此即弦與勾股和求勾股較六巻/七則
二十二則
[001-24b]
直形長及弦濶和求濶
設直田弦濶和七十二步長三十六步求濶法曰置
長自乘得一千二百/九十六步以弦濶和為法除之得一十八
步即弦濶差以減弦濶和餘五十/四步折半得二十七步
即所求
解曰此即股與勾弦和求勾弦較六巻十/八則
二十三則
直形濶及弦長和求長
設直田弦長和八十一步濶二十七步求長法曰置
[001-24b]
濶自乘得七百二/十九步以弦長和為法除之得九步即弦
[001-25a]
長差以減弦長和餘七十/二步折半得三十六步即所求
解曰此即勾與股弦和求股弦較六巻十/九則
二十四則
直形弦及長濶差求長與濶
設直田長濶差九步弦四十五步求長與濶法曰置
弦自乘得二千零/二十五步倍之得四千零/五十步另置長濶差自乘
得八十/一步兩數相減餘三千九百/六十九步平方開之得六十三
步即長濶和加長濶差共七十/二步折半得三十六步即
[001-25b]
長減長濶差餘二十七步即濶
解曰此即弦與勾股較求勾股和六巻/十則
二十五則
直形長弦和及濶弦和求長與濶
設直田長弦和八十一步濶弦和七十二步求長與
濶法曰置長弦和以濶弦和乘之得五千八百/三十二步倍之
得一萬一千六/百六十四步平方開之得一百零八步與長弦和
相減餘二十七步即濶與濶弦和相減餘三十六步
即長
[001-25b]
解曰此即勾弦和股弦和求勾與股六巻十/三則
[001-26a]
二十六則
直形長弦差及濶弦差求長與濶
設直田長弦差九步濶弦差一十八步求長與濶法
曰置長弦差以濶弦差乘之得一百六/十二步倍之得三百/二十四
步/平方開之得一十八步加濶弦差得三十六步即
長加長弦差得二十七步即濶
解曰此勾弦較股弦較求勾與股六巻二/十則
二十七則
[001-26b]
直形積及長濶和求長濶差
設直田長濶和六十三步積九百七十二步求長濶
差法曰置長濶和自乘得三千九百/六十九步另置積四因之
得三千八百/八十八步兩數相減餘八十/一步平方開之得九步即
所求
解曰長濶和自乘之方積當直田積四長濶差自乘
之方積一故以長濶和自乘減去四直田積餘以平
方開之得長濶差也本巻十/三則
二十八則
[001-26b]
直形積及長濶和求弦
[001-27a]
設直田積九百七十二步長濶和六十三步求弦法
曰置長濶和自乘得三千九百/六十九步另置積倍之得一千/九百四
十四/步兩數相減餘二千零/二十五步平方開之得四十五步即
所求
解曰甲戊形長濶和自乘之方也庚
辛形弦自乘之方也甲戊形内勾股
八及長濶差自乘之方一庚辛形内
勾股四及長濶差自乘之方一每二
[001-27b]
勾股當一直形如一丙乙丑辛直形/内有乙丙辛丑辛丙
兩勾/股形是長濶和上方形大于弦上方形之較為二直
田積也故法以長濶和自乘減去二直田積平方開
之即得弦度也
二十九則
兩邊等之三角形求對角之垂線
設三角田底濶六步兩餘邊各五步
求中長法曰置底折半得三自/步乘得/九
步/餘邊亦自乘得二十/五步兩數相減餘/一
[001-27b]
十六/步平方開之得四步即所求
[001-28a]
解曰丙乙作弦乙丁作勾以所求之丙丁作股此即
勾弦求股法也六巻/二則甲乙邊折半即得勾者以乙丙
丙甲兩邊等也設兩邊不等此法不行矣則有下法
在
三十則
有一方角之三角形求對角之垂線
設不等邊三角田有一方角丙為方角/即勾股田底濶十步乙
丙邊六步甲丙邊八步求中長法曰置乙丙邊自乘
[001-28b]
得三十/六步以底除之得三步六分○此即丁乙/之度以下仍勾弦求股法又自乘
得一十二步/九分六釐與丙乙邊自乘之數相
減餘二十三/步零四釐平方開之得四步八分
即所求
解曰此勾股求對角垂線法也六巻/二十
五/則因有方角故用之若無方角此法
又窮矣更有一法不問等邊方角與否皆可求如下
則
三十一則
[001-28b]
不等邊而無方角之三角形求對角之垂線
[001-29a]
設三角田底濶一十五步乙丙邊八
步甲丙邊十步求中長法曰置乙丙
甲丙兩邊各自乘乙丙得六十四步/甲丙得一百步
兩數相減餘三十/六步為實以底除之得/二
步四/分以減底餘一十二/步六分折半得六步/三分
即乙丁之度以/下勾弦求股法又自乘得三十九步/六分九釐另置乙丙自乘
得六十/四步兩數相減餘二十四步/三分一釐平方開之得四步九
分三釐有竒即所求
[001-29b]
解曰甲乙丙三角形丁為對角㸃另作庚辛為乙丙
邊上方壬癸為甲
丙邊上方壬癸大
于庚辛之較為夘
子丑磬折形若移
丑于寅則成夘子
寅直形又作辰巳
為丁乙上方午未
為甲丁上方午未
[001-29b]
大于辰巳之較為申酉戌磬折形若移戌于亥則成
[001-30a]
申酉亥直形申酉亥與夘子寅兩直形必相等何也
甲乙丙三角形以丙丁線分之則成丁乙丙丁甲丙
兩勾股形既皆勾股形則丙乙弦上方形必與丙丁
股乙丁勾上兩方形並等甲丙弦上方形必與丙丁
股甲丁勾上兩方形並等六巻/一則從此推之則甲丙上
方形大于丙乙上方形之容必與丙丁甲丁上兩方
形大于丙丁乙丁上兩方形之容等試減去同用之
丙丁上方形則甲丙上方形大于乙丙上方形之夘
[001-30b]
子寅直形與甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉
亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上兩方形相減餘
即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申
酉亥直形以甲乙底為長以甲丁乙丁兩線並為/長即以甲乙全線為長以
甲丁乙丁之較線甲己為濶者也故以甲乙底除之
得甲己甲己既為甲丁乙丁之較線于甲乙線減去
甲己則己丁乙丁兩線等矣故折半得乙丁餘仍勾
弦求股法六巻/二則同前則
三十二則
[001-30b]
方周求積
[001-31a]
設方田周二百步求積法曰置周自乘得四/萬步以方法
十六除之得二千五百步即所求
解曰假如一步以
四面計之則周四
步四步自乘得一
十六步是周自乘
之十六步止得實積一步故以十六為方法也然此
法止可施于方田至于直田則不可用如下圖直田
[001-31b]
長六十步濶四十步周亦得二百步實積止得二千
四百步如以前法求之則多積百步矣
三十三則
方環以周求積
設方環田外周二百八十步内周一百二十步求積
法曰二周各自乘外周得七萬八千四百步/内周得一萬四千四百步兩數相
減餘六萬/四千步以方法十六除之得四千
步即所求
解曰此方内減方法也○如知環濶
[001-31b]
則用梯田法置兩周相並折半以濶
[001-32a]
乘之即得環積
三十四則
方環以積及濶求邊
設方環田積四千步濶二十步求内外邊法曰置濶
自乘得四/百步以四因之得一千/六百步以減環積餘二千/四百步餘積
以四歸之得六/百步以濶除之得三十步
即内邊倍濶得四/十步加之得七十步即
外邊
[001-32b]
解曰法以環濶自乘者求環之隅方
也即甲/等以四因之者環之隅有四也即甲乙丙/丁四方形以減
環積所餘必四直形也即戊己庚/辛四直形四歸之者取四直
形之一也以濶除之即得内邊者其直形以環之濶
為濶以内邊之度為長也加兩濶即得外邊者外邊
大于内邊之較為兩濶也○或四因環濶除積得五
十步即直方兩形/並之共長加濶得外邊減濶得内邊
三十五則
直形依長截濶
[001-32b]
設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步
[001-33a]
求截濶法曰置積為實以元長除之
得三十二步即所求
解曰即以長求濶法本巻十/四則
三十六則
直形依濶截長
設直田濶六十四步依元濶截積二千七百二十步
求截長法曰置積為實以元濶除之得四十二步五
[001-33b]
分即所求
解曰即以濶求長法本巻十/五則
三十七則
直形截勾股
設直田長八十五步依元長截積一千三百六十步
成勾股形法曰置積倍之得二千七/百二十步以元長除之得
[001-33b]
三十二步即所求
[001-34a]
解曰勾股形當等高等濶直形之半
法倍勾股積即乙丙直形積也乙丙
直形既倍勾股積則必與勾股等高
等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股
之濶也
三十八則
直形截三角
設直田濶六十四步依元濶截積一千三百六十步
[001-34b]
成三角形求長法曰置積倍之得二千七/百二十步以元濶除
之得四十二步五分即所求
解曰三角形亦當等高等濶直形之
半法倍三角積即甲乙直形積也甲
乙直形既倍三角積則必與三角形
等高等濶矣故求甲乙直形之長即三角形之長也
三十九則
直形截斜方
設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步
[001-34b]
成斜方形兩濶相差五步求兩濶法曰置積為實以
[001-35a]
元長除之得三十/二步另置相差五步折
半得二步/五分並三十二步得三十四步
五分即大邊減三十二步得二十九
步五分即小邊
解曰以元長除積者求甲乙直形之濶也甲乙直形
之濶為斜方兩濶之中度謂小于大邊二步五分/大于小邊亦二步五分故
置差折半增減之即得兩濶
四十則
[001-35b]
直形截梯形
設直田濶六十步依元濶截積三千七百八十步成
梯形兩濶相差一十二步求長法曰置積為實倍元
濶得一百/二十步減相差一十二步餘一百/零八步折半得五十/四步為
法除之得七十步即所求
解曰倍濶減差折半者求甲乙直形
之濶也甲乙直形濶為梯形兩邊之
中度謂小于大邊六步/大于小邊亦六步則直形之容
必與梯形等故求直形之長即得梯形之長
[001-35b]
四十一則
[001-36a]
三角形以截積截濶求截長勾股截/積同
設三角田依角截積一千三百六十
步截濶六十四步求截長法曰置積
倍之得二千七/百二十步以濶除之得四十二
步五分即所求
解曰此與直田截三角同本巻三/十八則
四十二則
三角形以截積截長求截濶
[001-36b]
設三角田依角截積一千三百六十步截長四十二
步五分求截濶法曰置積倍之得二千七/百二十步以長除之
得六十四步即所求
解曰此與直田截勾股同本巻三/十七則
四十三則
三角形以截長求截濶
設三角田元長二百步濶一百五十步自角截長一
百五十步求截濶法曰置截長為實以元濶乘之得/二
萬二千/五百步以元長除之得一百一十二步五分即所求
[001-36b]
解曰凡三角形任以一線分之分線若與底線平行
[001-37a]
則分形之比例必各與全形等謂丙丁與丁戊若丙
甲與甲乙丁戊與丙庚若甲乙與丙己又丁戊與甲
乙若丙丁與甲丙丙庚與丙己也泰西幾/何原本甲乙丙即
元形丁戊丙即截形也則截長與截濶之比例必若
元長與元濶矣截濶與元濶之比例亦必若截長與
元長矣謂截長大/于截濶幾
分之幾則元長亦/大于元濶幾分之
幾截濶小于元濶/幾分之幾則截長
[001-37b]
亦小于元長/幾分之幾法以
元濶乘截長以元長除之者借元長及元濶之比例
因截長以求截濶也求比例用異乘同/除法詳三巻五則
四十四則
三角形以截濶求截長
設三角田元長二百步濶一百五十步截濶一百一
十二步五分求截長法曰置截濶為實以元長乘之
得二萬二/千五百步以元濶除之得一百五十步即所求
解曰此借元濶元長之比例因截濶以求截長也
[001-37b]
四十五則
[001-38a]
三角形以截積求截長
設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八
千四百三十七步五分求截長法曰置積倍之得一/萬六
千八百七/十五步為實以元長乘之得三百三十/七萬五千步以元濶除
之得二萬二/千五百步平方開之得一百五十步即所求
解曰甲乙丙即元
形丁戊丙即截形
丁壬為截形等高
[001-38b]
等濶之直形辛壬
為截長丙庚線上方形丁壬辛壬兩形之高必相等
兩形既等高則其比例必若丁戊與辛戊幾何原本/云凡兩形
等高形與形之/比例若線與線辛戊與截長丙庚等而丁戊即截濶
是丁壬與辛壬之比例若截濶與截長也分形之比
例元與全形等本巻四/十三則則丁壬與辛壬之比例又若
元濶與元長矣法倍截積者求丁壬直形也以元長
乘元濶除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以
求辛壬方形也辛壬為截長丙庚上方形故平方開
[001-38b]
之得截長也
[001-39a]
四十六則
三角形以截積求截濶
設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八
千四百三十七步五分求截濶法曰置截積倍之得/一
萬六千八百/七十五步為實以元濶乘之得二百五十三萬/一千二百五十步以
元長除之得一萬/二千六
百五十六步/二分五釐平方
開之得一百一十
[001-39b]
二步五分即所求
解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬為截形等
高等濶之直形丁辛為截濶丁戊上方形丁壬丁辛
兩形之濶必相等兩形既等濶則其比例必若戊壬
與戊辛戊辛與截濶等戊壬與截長等是丁壬與丁
辛之比例若截長與截濶亦若元長與元濶矣法倍
截積者求丁壬直形也以元濶乘元長除之者借元
長元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛
為截濶丁戊上方形故平方開之得截濶也○以上
[001-39b]
皆自角截積法若自底截積則以截積減元積餘積
[001-40a]
亦以上法求之得濶即截濶得長減元長餘為截長
四十七則
斜方形以截積截長求截濶梯形截/積同
設斜方田元長九十步大邊
濶三十八步小邊濶二十步
依小邊截積八百二十二步
五分截長三十五步求截濶
法曰置積為實以截長除之
[001-40b]
得二十三/步五分倍之得四十/七步減小
邊元濶餘二十七步即所求
解曰以截長除積者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙
為小邊及截濶之中度倍之則與小邊及截濶並等
矣故減小邊即得截濶也
四十八則
斜方形以截積截濶求截長
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二
十步依小邊截積八百二十二步五分截濶二十七
[001-40b]
步求截長法曰置積為實以截濶與小邊元濶並得/四
[001-41a]
十七/步折半得二十三/步五分為法除之得三十五步即所求
解曰以截濶與小邊相並折半者求兩濶之中度甲
乙也同前/圖故以除積得截長
四十九則
斜方形以截濶求截長
設斜方田元長九十步大邊
濶三十八步小邊濶二十步
截濶二十七步求截長法曰
[001-41b]
置小邊元濶與截濶相減餘/七
步/為實以元長乘之得六百/三十步另以兩元濶相減餘一/十八
步/除之得三十五步即所求
解曰小邊與截濶相減所餘必庚己兩元濶相減所
餘必甲戊庚己與截長之比例若甲戊與元長也與
三角形同本巻四/十三則
五十則
斜方形以截長求截濶
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二
[001-41b]
十步自小邊截長三十五步求截濶法曰置截長為
[001-42a]
實以兩元濶相減餘一十/八步乘之得六百/三十步以元長除之
得七/步並小邊元濶得二十七步即所求
解曰七步即己庚之度也圖同/前故加小邊元濶得截
濶餘同前解
五十一則
斜方形依小邊截積求截濶
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二
十步自小邊截積八百二十二步五分求截濶法曰
[001-42b]
置積為實以兩元濶相減餘一十/八步乘之得一萬四千/八百零五步
以元長除之得一百六十/四步五分倍之得三百二/十九步另以小邊
元濶自乘得四/百步兩數並共七百二/十九步平方開之得二十
七步即所求
解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁與甲乙為
兩元濶辛己為截濶丙戊為元長丙庚為截長庚己
為小邊與截濶之較線甲戊
為兩元濶之較線癸辛為截
濶上方形子辛為小邊上方
[001-42b]
形庚辛與/丙丁等癸辛之大于子辛
[001-43a]
者為丑寅兩亷與夘一隅夘隅即較線庚己上方形
也截形以丙庚線分之必成庚丁一直形己丙庚一
勾股形若以截長丙庚除直形必得辛庚線再以較
線己庚乘之必成一亷兩亷俱以小邊為/長以較線為濶若以截長
丙庚除勾股必得庚壬線庚壬者庚己之半也再以
庚己乘之必成半隅然直形與勾股兩形實一截形
之分也若以己庚乘截積以丙庚除之亦必得一亷
半隅也又全形之比例與截形等本巻四/十九則丙戊之與
[001-43b]
甲戊必若丙庚之與己庚故置截積以元長丙戊除
之以兩邊較線甲戊乘之亦得一亷半隅與前同倍
之則成兩亷一隅夫小邊上方形之小于截濶上方
形者此兩亷一隅也並之則成截濶上方形矣故平
方開之得截濶
五十二則
斜方形依大邊截積求截濶
設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二
十步自大邊截積一千七百八十七步五分求截濶
[001-43b]
法曰置積為實以兩元濶相減餘一十/八步乘之得三萬/二千一
[001-44a]
百七十/五步以元長除之得三百五十/七步五分倍之得七百一/十五步另
以大邊元濶自乘得一千四百/四十四步兩數相減餘七百二/十九步
平方開之得二十七步即所求
解曰既自大邊截積則
元形之大邊亦即截形
之大邊而截濶為小邊
小邊上方形之小于大
邊上方形者兩亷一隅也故于大邊上方形内減去
[001-44b]
兩亷一隅平方開之即得截濶○若並求長得濶用
本巻四十八則法求之
五十三則
梯形截勾股
設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二
十步自一角截勾股積三百四十八步四分八釐求
截濶法曰置積倍之得六百/九十六
步九分/六釐以兩元濶相減餘六/十步
折半得三/十步乘之得二萬零九/百零八步八
[001-44b]
分/以元長除之得一百七十/四步二分四
[001-45a]
釐/平方開之得一十三步二分即所求
解曰甲乙丙丁梯形減去甲戊丙丁斜方所餘必戊
丁乙勾股形截積亦勾股形則是勾股截勾股也故
法同勾股本巻四/十六則○若求長則倍截積以截濶除之
即得本巻三/十八則
五十四則
梯形截斜方
設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二
[001-45b]
十步截斜方積三千六百步求截濶法曰置積為實
以元長除之得三/十步另以兩元
濶相減餘六/十步四歸之得一十/五步
兩數並得四十五步即所求
解曰元長除截積得己戊甲
庚為大邊大于小邊之半甲己又為甲庚之半則甲
己為大邊大于小邊四分之一矣故四歸兩濶之較
並己戊得截濶
五十五則
[001-45b]
梯形截無法五邊形
[001-46a]
設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二
十步截五邊形即甲戊/己丁丙積五千六百五十一步五分
二釐求截濶法曰先求梯田全積本巻/七則減去截積餘/三
百四十八步/四分八釐以梯田截勾股
法求之本巻五/十三則得濶一十三/步二分
以減大邊元濶餘六十六步
八分即所求
解曰一十三步二分者乙己戊餘形之濶乙戊也大
[001-46b]
邊元濶甲乙減去乙戊餘甲戊即截濶
五十六則
方環截外周
設方環田外方七十步自外截積二千四百步求截
環内方法曰置元方自乘得四千/九百步減
去截積餘二千/五百步平方開之得五十步
即所求
解曰餘環外方即截環内方
五十七則
[001-46b]
方環截内周
[001-47a]
設方環田内方三十步自内截積一千六百步求截
環外方法曰置内方自乘得九/百步與截積並得二千/五百步平
方開之得五十步即所求
解曰内方自乘者補環内虚形以便開方也
[001-47b]
數學鑰巻一
