[012-1a] 
欽定四庫全書
九章錄要卷十二
松江屠文漪撰
借徴法
衰分盈朒方程之外更有借徴之法蓋借衰原於衰
分疉借原於盈朒而觸類通之可以窮難知之數此
九章法外之巧也故以次九章之後
借衰互徴 借衰者本無正衰而借立虚數為衰以相
[012-1b]
例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦從其
便假如商販不知其母初往獲息當母十之三以并
入母再往獲息當母五之三以并入母又往折閲四
之一又往獲倍息母一子/亦一也以并入母又往折閲六之
一亦不知實在總銀㡬何只云更須銀十兩即所獲
子銀為原母數者二問原母及總銀其法任意借一
數為原母且如原母十兩如前計之當得總銀二十
六兩若論母一子二則不足四兩以四兩之原母及
[012-2a]
總銀推之而不足十兩者可知也
一率 四借衰不足兩數/
二率 十借衰原/母兩數 二十六借衰總/銀兩數
三率 十所問不/足兩數
四率 二十五所問原/母兩數六十五所問總/銀兩數
又如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小
船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大
小船各㡬隻試借大小各六為船衰計總載兵一千
[012-2b]
四百五十名以一千四百五十名所須之船推之而
四千三百五十名所用船可知也
一率 一千四百五十借衰兵數/
二率 六借衰船數/
三率 四千三百五十所問兵數/
四率 一十八所問船載/
按右例用借衰法較之衰分章用互乗者倍㨗右一/條新
增/
[012-3a]
又如漏壺注水三時而滿洩水八時而盡問且注且
洩㡬時滿一壺即借十二時推之凡注四壺洩一壺
半相減得二壺半
一率 二壺又二分壺之一
二率 十二時
三率 一壺
四率 四時又五分時之四
又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注
[012-3b]
且洩問五時又三分時之一可滿㡬何亦借十二時
推之注洩相減得二壺半
一率 十二時
二率 二壺又二分壺之一
三率 五時又三分時之一
四率 一壺又九分壺之一
又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用
銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即任意
[012-4a]
借一數算之且如借銀二兩加三度倍息得一十六
兩為用銀之衰於十六兩内減母二兩餘十四兩為
母銀之衰
一率 十六兩
二率 十四兩
三率 三百兩
四率 二百六十二兩五錢
右例說見衰分章參觀自解其意也若四度五度而/盡者即加四度
[012-4b]
五度倍息如法算之章以/上四條並已見衰分
疊借互徴盈數最難知則兩借虚數以徴之盖彷彿盈
朒之法然原數初無盈朒而盈朒生於借數乃因其
盈朒推求眞數立法尤為竒巧假如米每石價二兩
麥一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各
㡬何試借米三十石用價六十兩則麥一十石當用
價一十六兩計價總七十六兩以比原總盈二兩列
左又借米十五石用價三十兩則麥二十五石當用
[012-5a]
價四十兩計價總七十兩以比原總不足四兩列右
盈不足相并為法米麥各以所借石數及所借用價
數左右互乗盈不足數相并以法除之即各得所求
正數若兩盈兩不足者為法之數及互乗得數皆相
減與盈朒/章同
右例借衰或據價原總數算之而以總石數較原總
以得盈朒如法乗除亦合
又如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹
[012-5b]
其價綾多於羅每匹六錢羅多於絹每匹八錢問三
物各價㡬何試借二兩為綾價一兩四錢為羅價六
錢為絹價計價總六百兩比原總不足二百列左又
借三兩為綾價二兩四錢為羅價一兩六錢為絹價
計價總一千一百兩比原總盈三百列右三物各以
所借價數互乗盈不足數如前法求之即各得正價
又如賞軍每馬兵五名給紬三匹每歩兵四名給布
六匹總馬歩共八千一百名給紬布共九千匹問馬
[012-6a]
歩各㡬何紬布各㡬何試借馬兵四千給紬二千四
百則歩兵四千一百應給布六千一百五十計總紬
布八千八百五十比原總不足四百五十列左又借
馬兵五千給紬三千則歩兵三千一百應給布四千
六百五十計總紬布七千六百五十比原總不足一
千三百五十列右馬歩紬布各以所借數互乗兩不
足數如法求之即各得正數右例借衰或據紬布原
總數算之而以馬歩總數較原總以得盈朒如法乗
[012-6b]
除皆合右一條/新増
又如大船四櫓四
小船二櫓八今但見總作櫓
一百張二百零八張問大小船各㡬何試借大船
二十櫓八十小船一十櫓二十則大船槳八十小船
槳八十總一百六十比原總不足四十八列左又借
大船十五櫓六十小船二十櫓四十則大船槳六十
小船一百六十總二百二十比原總盈十二列右
大小船及大小船櫓槳各以所借數互乗盈不足數
[012-7a]
如法求之即各得正數右一條/新增
右例借衰或據槳原總數算之而以櫓總數較原總
得盈朒如法乗除亦同
又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用
銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即借三
百為母三度後當用六百固盈三百列左又借二百
五十為母三度後止應用二百又不足一百列右乃
以借母互乗盈不足數如法求之得原母右一條/新增
[012-7b]
右例已見借衰互徴旣可單借而得則不須疊借矣
舉此以見法之無窮耳凡單借可得者亦可疊借而
得若須疊借而得者往往非單借所能得也以上五/條並已
見衰/分章
又如乙匠製造四十五日而畢加甲匠則十八日而
畢問獨用甲匠須㡬日法先推乙匠十八日所成為
四十五日内五分之二則甲匠十八日所成乃其五
分之三也因借三十六日推之當成五分之六是全
[012-8a]
工外盈五之一列左又借二十六日推之當成十五
分之十三則全工内不足十五之二列右乃以借日
互乘盈不足數如法求之得甲日右一條已/見商功章
又如驛使先發一十三日别遣騎追之馳二日半訪
之驛舍知先後經過較十一日半問更須㡬日追及
法以先發日減較日知二日半追上一日半則一日
追上五分日之三也因借二十日推之當追上五分
日之六十減較日二分日之二十三為盈二之一列
[012-8b]
左又借十五日推之當追上五分日之四十五比較
日不足二之五列右乃以借日互乗盈不足數如法
求之得追及日
又如空車日行七十里若載重即日行五十里今運
米到倉五日三返問路逺㡬何試借五十里推之重
行三日則空行七分日之十五而五日減三日餘二
日止七分日之十四為盈七之一列左又借三十五
里推之空行一日半則重行十分日之二十一而五
[012-9a]
日減一日半餘三日半固十分日之三十五為不足
十之十四列右乃以借日互乗盈不足數如法求之
得路逺右二條已見均/輸章俱新增
又如將銀買米用銀三分之一買十石不足三兩用
九分之四買十二石不足二兩問銀數及米每石價
各㡬何試借二十七兩為銀總數内以三之一九兩
買十石不足三兩則米價當為一兩二錢而以九之
四一十二兩買十二石不足二兩四錢比原數不足
[012-9b]
四錢列左又借五十四兩為銀總數内以三之一一
十八兩買十石不足三兩則米價當為二兩一錢而
以九之四二十四兩買十二石不足一兩二錢比原
數盈八錢列右銀總數與三之一九之四及米價各
以所借數互乗盈不足數如法求之即各得正數
右例或據九分之四算之而以三分之一較原不足
數以得盈朒如法乘除亦同右一條已見/盈朒章新增
又如賣米五石麥五石得銀一十四兩又賣米四石
[012-10a]
買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何試借二
兩為米價八錢為麥價以符一十四兩之數則賣米
四石買麥七石當得銀二兩四錢比原數盈四兩四
錢列左又借一兩八錢為米價一兩為麥價以符一
十四兩之數則賣米四石買麥七石當得銀二錢比
原數盈二兩二錢列右米麥價各以所借數互乗兩
盈數如法求之即各得正數 右例或據賣米買麥
數算之而以總賣價較原價以得盈朒如法乗除亦
[012-10b]
同右一條已見/方程章新增
又如甲乙銀各不知數别有銀八十兩以與甲則甲
為乙數者三以與乙則乙為甲數者二問原數各㡬
何試借四十為甲數加八十得一百二十而以其三
之一四十為乙數加八十得一百二十則倍甲外盈
四十列左又借七十為甲衰加八十得一百五十而
以其三之一五十為乙數加八十得一百三十則欲
倍甲又不足一十列右甲乙各以所借數及所借又
[012-11a]
加八十之數互乗盈不足數如法求之即各得所問
數甲原六十四/乙原四十八
又如甲乙銀不知數乙以十六兩與甲則乙當甲三
之一甲以二十四兩與乙則甲當乙七之五問各實
數㡬何試借二十九兩為甲數減二十四與乙則餘/五故借此數且得乙
十六成四十五又/為三倍乙之地也又得乙十六兩則成四十五兩而
乙居三之一應是一十五兩并未與甲十六兩共三
十一兩為乙數又得甲二十四兩則成五十五兩乃
[012-11b]
甲減二十四止餘五兩論甲五乙七乙止應七兩固
盈四十八兩列左再借四十四兩為甲數以二十四/與乙則餘
二十為五數者四又得十六/成六十為三倍乙之地也又得乙十六兩則成六
十兩而乙居三之一應是二十兩並未與甲十六兩
共三十六兩為乙數又得甲二十四兩則成六十兩
乃甲減二十四止餘二十兩論甲五乙七乙止應二
十八兩亦盈三十二兩列右甲乙各以所借數及所
借加減得失之數互乗兩盈數如法求之即各得所
[012-12a]
問數甲原七十四/乙原四十六
又如出師有中上下三軍中軍四萬上軍為中下二
軍二分之一下軍為中上二軍三分之一問上下軍
各㡬何試借三萬為上軍則中下二軍應六萬而下
軍止應二萬若為中上三分之一中上止應六萬而
實七萬固盈一萬列左又借二萬四千為上軍則中
下二軍應四萬八千而下軍止應八千若為中上三
分之一中上止應二萬四千而實六萬四千又盈四
[012-12b]
萬列右上軍下軍中上二軍中下二軍各以所借數
互乗兩盈數如法求之即各得正數上軍三萬二千/下軍二萬四千
又如甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金
三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百兩問
各原母㡬何試借一百兩為甲母内減四之一二十
五兩與丙應存七十五兩又贏乙二之一而為七百
兩是得乙六百二十五兩而乙母當為一千二百五
十兩内旣減二之一應存六百二十五兩又贏丙三
[012-13a]
之一而為七百兩是得丙七十五兩而丙母應為二
百二十五兩内旣減三之一應存一百五十兩加入
得甲二十五兩共一百七十五兩欲滿七百則不足
五百二十五列左又借二百兩為甲母内減四之一
五十兩與丙應存一百五十兩又贏乙二之一而為
七百兩是得乙五百五十兩而乙母應為一千一百
兩内旣減二之一應存五百五十兩又贏丙三之一
而為七百兩是得丙一百五十兩而丙母應為四百
[012-13b]
五十兩內旣減三之一應存三百兩加入得甲五十
兩共三百五十兩欲滿七百亦不足三百五十列右
甲乙丙各以所借母數及所借加減得失之數互乗
兩不足數如法求之即各得所問數甲母四百乙母/八百丙母九百
又如甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙
加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙
數者四問各原數㡬何此因三數牽連難析必以前
法再三推求而得之先借一為甲衰甲加七十三當
[012-14a]
兼乙丙而倍之因以減半得三十七為乙丙數而乙
丙又衰分焉且如借二為乙數則丙係三十五矣乃
以乙二加七十三得七十五而甲丙合數三十六若
乙欲為甲丙數者三應一百/零八固不足三十三列左只/列
乙二丙三十五及不足三十/三其甲衰且置之下倣此又借五為乙數則丙係
三十二矣乃以乙五加七十三得七十八而甲丙合
數三十三若乙欲為甲丙數者三應九/十九亦不足二十
一列右乙丙各以所借數互乗兩不足數如法求之
[012-14b]
得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三再借
三為甲衰加七十三以其半三十八為乙而數而乙
丙又衰分之為法如前焉即借二為乙數則丙係三
十六矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合數
三十九若乙欲為甲丙數者三應一百/一十七固不足四十
二列左又借二十為乙數則丙係一十八矣乃以乙
二十加七十三得九十三而甲丙合數二十一若乙
欲為甲丙數者三應六/十三又盈三十列右乙丙各以所
[012-15a]
借數互乗盈不足數如法求之得乙衰一十二零二
之一丙衰二十五零二之一於是更以前所借甲衰
一所得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三
别為圖列左而以後所借甲衰三所得乙衰一十二
零二之一丙衰二十六零二之一列右乃依所問察
之左甲衰及所加已得為乙丙數者二乙衰及所加
八十三又/四之一亦得為甲丙數者三甲丙共二十/七又四之三惟丙衰
及所加共得九十九零四之三而甲乙合數一十一
[012-15b]
零四之一若丙欲為甲乙數者四應四/十五則盈五十四
零四之三隨列於左又審右甲衰及所加已得為乙
丙數者二乙衰及所加八十五又/二之一亦得為甲丙數者
三甲丙共二十/八又二之一惟丙衰及所加共得九十八零二之
一而甲乙合數一十五零二之一若丙欲為甲乙數
者四應六/十二亦盈三十六零二之一隨列於右甲乙丙
各以衰互乗兩盈數如法求之得七為甲數一十七
為乙數二十三為丙數
[012-16a]
[012-16b]
九章錄要卷十二
