[002-1a] 
欽定四庫全書
九章録要卷二
松江屠文漪撰
零分法
几數不能有整而無零分有法以通之則零不異於
整也知此而零分皆可相并減相乗除乃能盡九章
之術故備論於左
竒零命分約法 以法除實除得數為整數餘實少於
[002-1b]
法除之不可乃成竒零或原實先少於法則無整而
但有零矣假如以尺計物是亦以法除實/也物不滿尺是亦實少於法也凡此皆須
命分而母子數多者必當約之其法有三一曰以實
除法假如法一百六十八實一十四則以實除法適
盡得一十二是為一十二分之一也一曰減法除實
假如法一百六十八實一百四十則以實減法餘二
十八乃以餘法除實適盡得五是為六分之五也一
曰以通數並除法實列法實兩數以少減多更互相
[002-2a]
減至兩數相等即為通數假如法一百六十八實三
十五依前互相減得七為通數因以除實盡得五亦
以除法盡得二十四是為二十四分之五也又如二
百五十分之二百一十約為二十五分之二十一是
亦以十為通數也二十四分之一十約為一十二分
之五是亦以二為通數也前兩法之一十四與二十/八亦即是通數之易得者
耳葢三法小/異而理則同亦有不可約者即以法為母實為子命
分
[002-2b]
整帶零分化整為零分法 凡以法除實務得數歸整
值餘實少於法不得已而命分乃有整帶零分此固
然也而此特謂歸整命分之後其數可定不復與他
數相并減相乗除者耳若更有他數須與之相并減
相乗除則無論未歸整者且當以法為母實為子而
勿急於歸整必歸整無零分/方可歸整也即遇整帶零分已成之
數亦必化整為零分何也數或零或整皆可與他數
相并減乗除若本數自兼零整則難用整法又難用
[002-3a]
零分法故必須化之而不能化零為整但可化整為
零其法以原母為母以原母乗整得數并原子為子
如有數七零五分之三則化為五分之三十八是也
零分與整相并法零分并整則成整帶零分矣若更
須與他數相并減乗除者亦以原母為母以原母乗
整得數并原子為子如前法
零分與整相減法 零整相減者法亦以原母為母以
原母乗整得數減原子為子如甲數七乙數五分之
[002-3b]
三相減得五分之三十二是也歸整則為六/又五分之二
零分相并法 諸數皆零分欲相并者法以諸母累乗
得數為共母以諸子各累乗他母得數為諸子本子/與本
母不相乗之或諸子各乗共母而/以本母除 得數為諸子亦可乃相并為子假如
甲數五分之二乙數七分之四丙數八分之三則以
三母累乗得二百八十為共母以甲子累乗乙丙二
母得一百一十二為甲子以乙子累乗甲丙二母得
一百六十為乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零
[002-4a]
五為丙子并之得三百七十七為子凡得二百八十
分之三百七十七是也歸整為一又二百/八十分之九十七
右法亦有可省者如甲數五分之四乙數三分之一
丙數一十五分之七即以丙母一十五為共母而以
甲子乗乙母得一十二為甲子以乙子乗甲母得五
為乙子丙子即/用原數并之得二十四為子凡得一十五分
之二十四仍約為五分之八是也歸整為一又/五分之三
零分相減法 零分相減者依并分法累乗為共母為
[002-4b]
諸子而減之為子如甲數五分之二乙數七分之四
内減丙數八分之三得二百八十分之一百六十七
是也
零分與整相乗法 零分數整數相乗者以原母為母
以原子乗整得數為子如甲數七乙數五分之三相
乗得五分之二十一是也歸整為四又/五分之一
零分除整法 以零分數為法除整數者以原子為母
以原母乗整得數為子如乙數五分之三除甲數七
[002-5a]
得三分之三十五是也歸整為一十一/又三分之二
整除零分法 以整數為法除零分數者以整乗原母
得數為母以原子為子如甲數七除乙數五分之三
得三十五分之三是也
零分相乗法 兩零分數相乗者以兩母相乗得數為
母以兩子相乗得數為子如甲數九分之八乙數五
分之三相乗得四十五分之二十四仍約為一十五
分之八是也或兩母同或兩子/同者亦必相乗
[002-5b]
右法亦有可省者以兩母相乗以甲子除之為母即
竟以乙子為子如右例兩母相乗以乙子除之為母
則以甲子為子得一十五分之八不須更約是也
零分除零分法 以法除實而法實兩數俱係零分者
以法子乗實母得數為母以法母乗實子得數為子
如甲數九分之八除乙數五分之三得四十分之二
十七是也若兩母相同者竟以法子為母實子為子/兩子相同者反以實母為母法母為子也
右法亦有可省者以法子乗實母以法母除之為母
[002-6a]
即竟以實子為子如甲數九分之八除乙數二十七
分之一十三得二十四分之一十三是也
零分自乗法 零分數自乗者以母自乗得數為母以
子自乗得數為子如有數三分之五自乗得九分之
二十五是也歸整為二又/九分之七
零分開方法 零分開平方除者以母自開得數為母
以子自開得數為子如有數九分之二十五開方得
三分之五是也歸整為一又三分之二舉按此因論/零分法而及開方故聊 大畧而已
[002-6b]
其詳在少/廣章中
零分求分釐小整數法 實少於法除之不足不能成
整而為零分若求分釐小整數則以母除子即得如
八分兩之三除得三錢七分五釐一十六分兩之一
除得六分二釐五毫是也葢其初以兩計故三不可
以八除而析為錢為分釐則可除矣至除盡而止亦
有終不可盡者仍當就最後小數命分如七分石之
二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又
[002-7a]
七分粟之四是也或欲還原子即以原母乗之如八/乗三錢七分五釐得三兩為八分
兩之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭/八粟并七分粟之四得二石為七分石之二是也
分釐數命分法 據分釐小整數欲以大數命分者法
以分釐數依其下最小數化之為子以所用大數亦
依最小數化之置一算為母其為伯千及萬億則因/乎所化之數而只置一
算/也乃以法約之如六錢六分二釐五毫欲以兩命分
則以六千六百二十五為子六千六百二/十五毫也以一萬分
為母一兩為一/萬毫也乃約為八十分兩之五十三是也亦
[002-7b]
有不可約者即以所立之母子命分
九章録要卷二
