[004-1a] 
欽定四庫全書
勾股引蒙卷四
海寧 陳訏 撰
三角法
八線全圖
周天三百六十/度兩分之為半
周四分之為一/象限 每一象
限各九十度又/名弧度 六
[004-1b]
凡正方角乙/即直角即象限之角其所對弧必九
十度
凡在一象限不及九十度者為鋭角如丙/
凡過一象限多於九十度者為鈍角
凡言角以中一字為所指之角如甲乙癸/
凡求某角者求其角之對弧度與分
凡求某角即本角之弧矢弦割切為正其外為餘
凡半徑為全數為一○○○○○八線有增減半
[004-2a]
徑無増減常為十萬弧中旋轉可如弦如句
凡正角以半徑全數為正弦
凡鈍角以外角之正餘弦為正餘弦
[004-3a]
直角即正方角一名勾股形/
有角有邊求餘角餘邊直角之一/
假如壬癸丁/勾股形有丁角五十七度/壬丁弦九十一/
丈八尺/求餘角餘邊
先求癸丁邊
術曰以半徑全數比丁角之餘
弦若壬丁弦與癸丁句
[004-3b]
一率原設/弦半徑 一○○○○○ 為法
二率原設/句丁角五十/七度餘弦 五四四六四 相乗/
三率今有/弦壬丁邊 九十一丈八尺 為實/
四率今所/求句癸丁邊 五十丈 法除實得所/求
右三率法後同 半徑即乙丁餘弦即甲丁
求壬癸邊
以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一率原設/弦半徑 一○○○○○
[004-4a]
二率原設/股丁角五十/七度正弦 ○八三八六七
三率今有/弦壬丁邊 九十一丈八尺
四率所求/股壬癸邊 七十七丈
求壬角
以丁角五十七度與象限九十度相減得餘三十
三度為壬角
右例先得弦以求勾股
假如壬癸/丁勾股形有丁角六十/二度癸丁勾二十/四丈求餘角餘
[004-4b]
邊
求壬角
以丁角六十/二度與象限相減得餘二十/八度為壬角 平
面弧止容一正方角兩鋭角今既有勾股形癸/則
於一象限内減丁角之度其餘度自必壬角
戊丙丁勾股形以戊丙
切線為股丙丁半徑為
勾戊丁割線為弦是丁
[004-5a]
角原有之線 今壬癸丁勾股形與戊丙丁勾股
形既同丁角則其比例等
求壬丁邊
以半徑比丁角之割線若癸丁勾與壬丁弦
一率原設/勾半徑 一○○○○○
二率原設/弦丁角六十/二度割線 二一三○○五
三率今有/勾癸丁邊 二十四丈
四率所求/弦壬丁邊 五十一丈一尺
[004-5b]
求壬癸邊
以半徑比丁角之切線若癸丁勾與壬癸股
一率原設/勾半徑 一○○○○○
二率原設/股丁角六十/二度切線 一八八○七三
三率今有/勾癸丁邊 二十四丈
四率所求/股壬癸邊 四十五丈一尺
右例先得勾以求弦及股或先得股以求弦及
勾亦同
[004-6a]
按半徑隨弧旋轉無有増減故可為弦為勾為
股各隨比例之所取用視邊與線之縱横小大
為比例
有邊求角直角之二/
假如壬癸/丁勾股形有壬丁弦一百○二/丈二尺癸丁勾四十/八丈求
二角一邊
求丁角
以丁壬弦比癸丁勾若半徑乙丁與丁角之餘
[004-6b]
弦甲丁
一 壬丁邊 一百○二丈二尺
二 癸丁邊 ○四十八丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘弦 四六九六六
[004-7a]
以所得餘弦檢表得六十二度為丁角度
右壬角癸角俱止一邊無兩邊不能以邊比邊
為以線比線之例惟丁角有兩邊故先求丁角
得丁角而丁角度之八線即可為餘角之比例
矣然丁角必求餘弦為四率者蓋若求正弦正
切之股則壬癸無邊可例若求正割則雖可以
癸丁邊比壬丁邊若餘弦甲/丁與正割壬/丁之例然
餘弦尚未求得又無可為比故以壬丁弦比癸
[004-7b]
丁句若乙丁弦之半徑與甲丁勾之丁角餘弦
相比例也宣城梅定九氏曰得其角度則諸數
歴然可於無句股中尋出勾股余亦曰知四率
應求之線之故則一率二率三率瞭然可於無
比例中尋出比例矣
求壬角
以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為
壬角
[004-8a]
求壬癸邊
以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一 半徑 一○○○○○
二 丁角六十/二度正弦 ○八八二五九
三 壬丁邊 一百○二丈二尺
四 壬癸邊 ○九十丈○二尺三寸
右例以邊求角而先知方角故止用二邊
此先有之邊是弦與勾故求壬癸邊之股者以
[004-8b]
壬丁邊之斜弦為比而正弦如股半徑旋轉如
弦可線與線相比以為邊與邊相比之例也若
先有者是股邊勾邊則求切線者以股邉為例
而勾之比股者又可以半徑為勾如下求丁角
法
假如壬癸丁三角形有壬丁邊一百○六丈壬癸邊九
十丈癸丁邊五十六丈求角
求癸角
[004-9a]
以壬丁大邊與丁癸邊相加得一/百
六十/二丈為總又相減得五十/丈為較以
較乘總得八千一/百丈為實以壬癸邊
九十/丈為法除之仍得九十/丈與壬癸
邊數等即知癸角為正方角
求丁角
以丁癸邊比壬癸邊若半徑與丁角切線
一 丁癸勾 五十六丈
[004-9b]
二 壬癸股 九十丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角切線 一六○七一四
以所得切線檢表得五十八度○六分為丁
角
有一角必有一弧每一弧必有八線今求丁角
而壬癸邊如丁角弧之切線可以半徑相比故
先以丁癸邊比壬癸邊為例若半徑與丁角之
[004-10a]
切線
求壬角
以丁角五十八度/○六分與象限相減得餘三十一度五
十四分為壬角
右例亦以邊求角而先不知其為勾股形故兼
用三邊
[004-11a]
鋭角
有兩角一邊求餘角餘邊鋭角之一/
假如乙丙丁/鋭角有丙角六十度/丁角五十度/丙丁邊
一百二十尺/
求乙角
以丙角六十/度丁角五十/度相併得一百/一十
度/以減半周一百八十度餘七十度
為乙角
[004-11b]
右丙角丁角有度而無邊乙角有邊
而無度先以兩角之度除半周而乙
角之弧度得矣既得乙角之度即可
以乙角之線比乙角相對之邊若他
角之線與他角之邊
求乙丁邊
以乙角正弦比丙丁邊若丙角正弦與乙丁邊
一 乙角七十/度正弦 九三九六九
[004-12a]
二 丙丁邊即乙角/對邊 一百二十尺
三 丙角六十/度正弦 八六六○三
四 乙丁邊即丙角/對邊 一百一十尺○六寸
以前諸法俱線比線邊比邊互相為例此處
以線比邊下求乙丙邊同
求乙丙邊
以乙角正弦比丙丁邊若丁角正弦與乙丙邊
一 乙角七十/度正弦 九三九六九
[004-12b]
二 丙丁乙角/對邊 一百二十尺
三 丁角五十/度正弦 七六六○四
四 乙丙丁角/對邊 ○九十七尺八寸
右例先有之邊在兩角之間也若先有之邊與
一角相對亦同
有一角兩邊求餘角餘邊鋭角之二/
假如甲乙丙/鋭角形有丙角六十度/甲丙邊八千尺/甲
乙邊七千○三十四尺/
[004-13a]
求乙角
以甲乙邊比甲丙邊若丙角正
弦與乙角正弦
一 甲乙邊 七千○三十四尺
二 甲丙邊 八千尺
三 丙角六十/度正弦 八六六○三
四 乙角 正弦 九八四九六
[004-13b]
檢表得八十度○三分為乙角
凡角俱有正弦下垂角小弦亦小角大弦亦大
依割線之低昻也今丙角斜邊長近俯乙角斜
邊短近仰則乙角必大於丙角故以小邊比大
邊亦若正弦小之比大而可得角也此以小比
大也
求甲角
以丙角乙角相併得一百四十/度○三分以減半周餘三十
[004-14a]
九度五十七分為甲角
求乙丙邊
以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邊與乙丙
邊
一 乙角八十○度/三分正弦 九八四九六
二 甲角三十九度/五十七分正弦 六四二一二
三 甲丙乙角/對邊 八千尺
四 乙丙甲角/對邊 五千二百一十五尺
[004-14b]
乙角以乙丙為底其正弦從甲下垂故弦長甲
角以甲丙為底正弦從乙下垂故弦短今乙丙
邊小於甲乙甲丙之兩邊故以最大之邉比之
先以最大之線比最小之線用乙角甲角之正
弦為例也
右例有兩邊一角而角與一邊相對
假如甲乙/丙鋭角形有甲丙邊四百/尺乙丙邊二百六十一/尺○八分
丙角六十/度角在兩邊之中不與邊對求甲乙邊
[004-15a]
先求中長線分為兩勾股形
以半徑比丙角正弦若甲丙邊
與甲丁中長線
此下四則皆為求甲乙邊與/甲全角故先求分形之邊及
分形之角/
一 半徑 一○○○○○
二 丙角六十/度正弦 ○八六六○三
三 甲丙邊 四百尺
[004-15b]
四 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
求丙丁邊求中長線專為分邊而求/
以半徑比丙角餘弦若甲丙邊與丙丁邊
一 半徑 一○○○○○
二 丙角六十/度餘弦 ○五○○○○
三 甲丙邊 四百尺
四 丙丁邊 二百尺
求角者須先審四率之線應求某線而以邊之
[004-16a]
可比例者為一二率求邊者須先審二率應用
某線可與四率之邊相比例而以一率三率比
之盖邊有定在而線則隨所比例而變其所取
也如右求丙丁邊乃分邊而非乙丙之全邊妙
在八線餘弦限於正弦而不越於正弦之外與
丁丙分邊限於中長線甲丁不能越丁而至乙
故二率取為比例而得丙丁之分邊
求乙丁邊
[004-16b]
以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁
求丁甲乙分角
以甲丁中長線比乙丁分邊若半徑與甲分角切
線
一 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
二 乙丁分邊 ○六十一尺○八分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角切線 ○一七六三三
[004-17a]
檢切線表得一十度為甲分角
右求分角之線自必以分邊為例則所得之線
乃分角之線而非甲全角之線惟切線即在角
之對邊故分邊之線為分角之度
求甲乙邊
以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邊
一 半徑 一○○○○○
二 甲分角十/度割線 一○一五四三
[004-17b]
三 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
四 甲乙邊 三百五十一尺七寸五分
右甲分角以中長線為底則割線即甲乙邊
求甲全角
以丙角六十度/之餘角三十度即分形甲丁/丙之甲分角與求
得甲分角一十度/相併得四十度為甲全角
求乙角
以甲分角一十度/減象限得八十度為乙角或併/丙甲
[004-18a]
二角減/半周同
右例有兩邊一角而角在兩邊之中不與邊對
故用分形以取勾股
用切線分外角梅本新増/
假如甲乙丙/鋭角形有甲丙邊四百尺/乙丙邊二百六/十一尺
○八分/丙角六十度
求甲角
以甲丙邊乙丙邊相併為總相減為較又以丙
[004-18b]
角六十/度減半周得外角一百二/十度半之得半外角
六十/度檢其切線依三率法求得半較角以減半
外角得甲角
一 兩邊總 六百六十一尺○八分
[004-19a]
二 兩邊較 一百三十八尺九寸三分
三 半外角切線 一七三二○五
四 半較角切線 ○三六三九七
檢切線表得二十度為半較角轉與半外角六/十
度/相減得甲角四十度
求乙角
以甲丙二角相併共一百度/以減半周得餘八十
度為乙角
[004-19b]
求甲乙邊
以甲角四十/度正弦 六四二七九
比丙角六十/度正弦 八六六○三
若乙丙邊 二百六十一尺○八分
與甲乙邊 三百五十一尺七寸五分
按此新増例即前有一角兩邊而角在邊中不
與邊對之三角也但此不用求分邊分角之煩
而徑求甲角之半較角葢一弧之中既有丙角
[004-20a]
則所餘之度皆甲乙之角為丙之外角應將外
角中分為半外角以為甲乙兩角之地然甲角
邊長鋭於乙角則乙角必大甲角必小又應於
外角之半分出較角而後甲角始得其真在半外
角既中分外角之半則此較角亦必中分較角
之半為半較角故先以邊總比邊較為一二率
蓋邊總如半外角之總猶之外角一百二十而
半外角止六十也以邊較求甲角之半較角猶
[004-20b]
甲角小於乙角若干而此求得之較為小於乙
角若干之半名半較角也所以求切線者盖切
線在各弧之貼際必與本角之底為直角形如
勾股其線遇本角之割線而止今所求在所割
之半較角則莫如半外角之切線比半較角之
切線同在弧之貼際不煩更覓他線也梅刻増
此一條簡捷巧便而所以然之理初學茫然為
補圖明之如左
[004-21a]
此平三角借弧以明其理
若弧三角所容三角不止
三個如平方立方有面體
之别後同
有三邊求角鋭角之三/
假如甲乙丙/鋭角形有乙丙邊二十丈/甲丙邊一十七丈五尺/
[004-21b]
八寸五分/乙甲邊一十三丈○五寸/
求兩勾相減之數為勾較
任以乙丙/大邊為底從甲角作甲丁虚
垂線至底分為兩勾股形
一甲丁丙形以甲丙邊為弦丁丙為勾
一甲丁乙形以甲乙邊為弦丁乙為勾
兩弦相併為總相減為較 兩勾相併
即乙丙/邊原數為勾總 求戊丙勾較
[004-22a]
以勾總比弦總若弦較與勾較
一 兩勾之總即乙/丙 二十丈
二 兩弦之總 三十丈○六尺三寸五分
三 兩弦之較 四丈五尺三寸五分
四 兩勾之較即丙/戊 六丈九尺四寸六分
此欲求丙角而甲乙角無度則無線可比止乙
至丙之勾似丙角之餘弦然餘弦長短必限於
正弦今甲丁中垂線即丙角之正弦今若求丙
[004-22b]
角餘弦又多乙丁勾之長故先求勾較之丙戊
既得勾較則可加分形之勾戊/丁而得丁丙分邊
與丙角之餘弦等以之比例而得丙角之餘弦
即查表得丙角之度
求分形之兩勾
以勾較六丈九尺/四寸六分減勾總二十丈/即乙丙餘乙戊一十三/丈○五
寸四/分半之得丁乙即戊/丁六丈五尺二寸七分為甲
丁乙分勾之形
[004-23a]
又以戊丁六丈五尺/二寸七分加勾較六丈九尺四寸/六分 即戊丙得丁
丙一十三丈四尺七寸三分為甲乙丙分勾之形
求丙角
以甲丙弦比丁丙勾若半徑與丙角餘弦
一 甲丙邊 一十七丈五尺八寸五分
二 丁丙分邊 一十三丈四尺七寸三分
三 半徑 一○○○○○
四 丙角餘弦 ○七六六一六
[004-23b]
檢餘弦表得丙角四十度
求甲角
先求分形大半之甲角
以丙角四十度/減象限餘五十度為丁甲丙/分形
甲角
次求分形小半之甲角
以甲乙弦比丁乙勾若半徑與分形甲角之正弦
一 甲乙邊 一十三丈○五寸
[004-24a]
二 丁乙分邊 ○六丈五尺二寸七分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角正弦 ○五○○一五
以甲丁為底則甲乙邊如半徑/而乙丁邊如甲分角之正弦
檢正弦表得三十度為丁甲乙/分形之甲角併
分形兩甲角先得五十度/次得三十度得共八十度為甲全
角
求乙角
[004-24b]
併丙甲二角共一百二十度/以減半周得餘六十
度為乙角
[004-25a]
鈍角
有兩角一邊求餘角餘邊鈍角之一/
假如乙丙丁/鈍角形有丙角三十六度半/乙角二十四/度
丁乙邊五十四丈/
求丁角
以丙丁二角併共六十度半/以減
半周得餘一百一十九度半為丁
鈍角
[004-25b]
求乙丙邊
以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邊與乙丙邊
一 丙角三十六度/三十分正弦 五九四八二
二 丁角一百十九/度三十分正弦 八七○三六
三 乙丁邊 五十四丈
四 乙丙邊 七十九丈○一寸
右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度
減半周用之凡鈍角同
[004-26a]
求丁丙邊
以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊
一 丙角三十六度/三十分正弦 五九四八二
二 乙角二十/四度正弦 四○六七四
三 乙丁邊 五十四丈
四 丁丙邊 三十六丈九尺二寸
凡鈍角以外角之正弦為正弦蓋即
此鈍角之外角也如圖丁為鈍角乙
[004-26b]
丙為丁角所對之弧乙丁甲為丁角
之外角至於正弦皆以本角之勾為
底以割線半徑/同與弧之相界處直線
垂下與本角之底為正方直角如圖
乙丁甲為丁角之外角乙丁如外角
之割線夘丁如外角之餘弦而夘乙
則外角之正弦也至如丙角以丙丁
為底其正弦丑丁近乙丁邊乙角以
[004-27a]
乙丙為底其正弦子丁近乙丙邊也
補圖明之
有一角兩邊求餘角餘邊鈍角之二/
假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分鈍角形此/
鈍角所對之弧度分/甲丙邊四千尺甲乙邊三千五百
一十七尺
前則用他角求鈍角/此則用鈍角求他角
乙角為鈍角
[004-27b]
甲丙為鈍角所對之弧度
乙丁為丙角正弦
甲戊為鈍角用外角之正弦
求丙角
以甲丙邊比甲乙邊若乙角正弦與丙角正弦
一 甲丙邊 四千尺
二 甲乙邊 三千五百一十七尺
三 乙角九十九度/五十七分正弦 九八四九六即八十度/三分正度
[004-28a]
四 丙角 正弦 八六六○三
檢表得丙角六十度
按乙角為鈍角其所用外角之正弦即鈍角
九十九度五十七分減半周一百八十度所
餘八十度○三分之外角其所有之正弦也
每度六十分/求丙角者止丁外角之正弦可
比丙角之正弦故先以甲丙邊比甲乙邊為
例俱以長比短而縱與縱為同類
[004-28b]
求甲角
併乙丙二角共一百五十九度五十七分以減半
周得餘二十度○三分為甲角
求乙丙邊
以乙角之正弦比甲角正弦若甲丙邊與乙丙邊
一 乙角九十九度/五十七分正弦 九八四六九
二 甲角二十度/○三分正弦 三四二八四
三 甲丙邊 四千尺
[004-29a]
四 乙丙邊 一千三百九十二尺
右甲角正弦以甲丙為底乙已即甲角正弦
與甲已為正方角此二則皆以大比小
右例有兩角一邊而先有對角之邊若兩邊
一角而邊在角之兩旁不與角對又另法如
左
假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊一千○八十尺/乙丙邊
一千五百八十二尺/乙角二十四度/
[004-29b]
丙戊為虚股 戊丁為虚勾
乙角乙丁為底丑丁為正弦 乙丁
即餘弦 丙角丙丁為底子丁為正
弦
先以半徑比乙角正弦若乙丙邊與丙戊邊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十/四度正弦 ○四○六七四
[004-30a]
三 乙丙邊 一千五百八十二尺
四 丙戊邊即虚/垂線 ○六百四十三尺
又以半徑比乙角餘弦若乙丙邊與乙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十/四度餘弦 ○九一三五五
三 乙丙邊 一千五百八十二尺
四 乙戊邊即乙丁/引長線 一千四百四十五尺
右以原邊乙丁一千○/八十尺與引長乙戊邊相減得
[004-30b]
丁戊三百六/十五尺為形外所作虚勾股形之勾先得/丙戊
垂線為股原有/邊之丁丙為弦
求丁丙邊
依勾股求弦法以丙戊股自乘四十一萬三千/四百四十九尺丁
戊勾自乘一十三萬三千/二百二十五尺併之得數五十四萬六/千六百七十
四/尺為實平方開之得弦七百三十九尺為丁丙邊
求丙角
以丁丙邊比丁乙邊若乙角正弦與丙角正弦
[004-31a]
一 丁丙邊 ○七百三十九尺
二 丁乙邊 一千○八十尺
三 乙角二十/四度正弦 四○六七四
四 丙角 正弦 五九四四二
檢表得丙角三十六度二十九分
求丁角
以丙乙二角併之共六十度二十九分/以減半周
得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角
[004-31b]
此三角形既有乙角度當先求丙角之鋭而後
丁角之鈍可以半周相減即得但求丙角雖有
乙丁邊可為丙角正弦之比例凡正弦必在本/角相對之邊
然丙丁無邊不能以邊比邊為乙角正弦比丙
角正弦之例故又當先求丙丁邊但丙丁邊如
勾股之斜弦當以勾股求弦法求之今丁戊無
勾丙戊無股故先求丙戊邊以作虚股再求乙
戊邊以作虚勾而後用勾股求弦法而得丙丁
[004-32a]
之邊三邊既得則每角之正弦必近本角所對
之邊即可以所對之兩邊相比為兩角之正弦
相比之例求之矣葢丙角以丙丁為底其正弦
子丁近乙丁邊而乙角之正弦子丑近丙丁邊
故必先得邊以為求線之比例也既先有乙角
又求得丙角則丁角半周減之即得矣
右兩邊一角而角不與邊對
用切線分外角梅本新増/
[004-32b]
假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊五百四十尺/丙乙邊七/
百九十一尺/乙角二十四/度
求丙角
以丁乙/丙乙兩邊相併為總相減為較又以乙/角二十/
四度/減半周得外角一百五十六度/半之得半外
[004-33a]
角七十八度/
以邊總比邊較若半外角切線與半較角切線
一 兩邊之總 一千三百三十一尺
二 兩邊之較 ○二百五十一尺
三 半外角切線 四七○四六三
四 半較角切線 ○八八七一九
檢表得半較角四十一度三十五分/以減半外
角七十八度/得餘三十六度二十五分/為丙角
[004-33b]
求丁角
併乙丙二角共六十度二十五分/以減半周得一
百一十九度三十五分為丁鈍角
求丁丙邊
以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊
一 丙角三十六度/二十五分正弦 五九三六五
二 乙角二十/四度正弦 四○六七四
三 乙丁邊 五百四十尺
[004-34a]
四 丁丙邊 三百六十九尺九寸八
分
右新増一則亦角在兩邊之中不與邊對與
前三角形無異亦俱先求丙角前法先以勾
股求弦法求丙丁邊先補虚勾虚股以求丙
丁邊邊得而丙角之線可比例以求丙角其
法詳此新増法竟求丙角而求丙丁邊反在
求得丙角之後更簡捷矣其邊總邊較半外
[004-34b]
角切線與半較角切線補圖明之如左
甲庚癸為半周/子庚為半徑
甲壬為乙角度/壬辛癸為外角
壬辛為半外角割/子夘為半外角
線夘為半外角切/壬
線丑為半較角切/己
線辛為半較角/己
新式三邊求角鈍角之三/
[004-35a]
假如乙丙丁/鈍角形有乙丙邊三百五十尺/乙丁邊六/
百○七尺/丁丙邊三百尺/
右有邊無角
術自乙角作虚垂線至甲又引丁丙線横
出遇於甲而成正方形為乙甲丁勾股形
又横線至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁
辛為兩勾之總丁丙邊為兩勾之較乙丁
邊為大形乙甲/丁之弦乙丙邊為小形乙甲/辛即
[004-35b]
乙甲/丙之弦兩弦相併為總相減為較
先求勾總
此因將求丁角度而三角無度則無線可比唯
丙丁句似丁角餘弦然丁角以乙丁為半徑則
乙甲為正弦而餘弦應自丁至甲今止自丁至
丙尚少丙甲之餘弦故必先求甲丁勾始與丁
角餘弦相等然欲求甲丁勾又必先求勾總以
為分形之勾股而後甲丁之勾可比得丁角之
[004-36a]
餘弦以查表而得丁角也
一 勾較即丁/丙邊 三百尺
二 弦較即乙丁邊減/乙丙之餘二百三十二尺
三 弦總即乙丁乙丙/二邊相併 九百八十二尺
四 勾總即丁辛/ 七百五十九尺四寸
以勾較三百/尺減所得勾總七百五十/九尺四寸餘數四百五/十九尺
四/寸半之得數二百二十/九尺七寸為小形之勾甲丙
以甲丙小形之勾加丁丙較三百/尺得數五百二十/九尺七寸
[004-36b]
為大形之勾甲丁
求丁角
以乙丁弦比丁甲勾若半徑與丁角之餘弦
一 乙丁弦 六百○七尺
二 甲丁勾 五百二十九尺七寸
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘弦 ○八七二六五
檢表得丁角二十九度一十四分
[004-37a]
求丙角用乙甲丙小形/
鈍角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股
之弦乙丙即此鈍角丙之外角割線
以甲丙勾比乙丙弦若半徑與丙角之割線
一 甲丙勾 二百二十九尺七寸
二 乙丙弦 三百七十五尺
三 半徑 一○○○○○
四 丙角割線 一六三二五六
[004-37b]
檢表得丙角五十二度/一十四分為本形之丙外角以減
半周得丙鈍角一百二十七度四十六分
按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故
乙丙斜弦實即丙角之割線至於求丁角求丙
角俱以半徑為三率而丁角之三率用以作弦
丙角之三率用以作勾半徑可勾可股可弦顧
隨所取用耳
求乙角
[004-38a]
併丁丙二角所得度分共一百五十七度/以減半
周得餘二十三度為乙角
右例鈍角形三邊求角作垂線於形外徑求鈍
角乃新式也若以大邊為底從鈍角分中長線
同鋭角之三
補圖 乙丙丁三角形 乙己為丙角
弧度 乙辛為丙外角 丙戊
即乙/丙為丙外角割線 乙壬壬
[004-38b]
辛為外角之丁角乙角
乙甲即中長線 乙甲丙即小
形勾股 乙甲丁即大形勾股
乙丙即虚勾虚股之弦 戊辛
為切線
右鈍角用割線宣城梅定九先生新増此式為
割線求度分之法盖割線乃象限中所割各度
之線必與切線相遇以為増減割線割於弧内
[004-39a]
切線切於弧外彼増此減彼減此増如前鈍角
之二己辛為半較角其切線即從己之弧外起
今外角乙辛即從辛之弧外起此新式之用割
線視前法無異也至鈍角之所以用外角者蓋
大圜兩分之為半周四分之為象限凡象限止
九十度而自一度至四十四度為平度自四十
五度至八十九度為髙度其髙度之正線即平
度之餘線而髙度之餘線即平度之正線故四
[004-39b]
十四與四十五同表四十三與四十六同表以
至○度○分則與八十九度六十分同表此作
八線表者因髙度平度如測望之直景倒景相
反而實相通為此省文也今凡鈍角度必過象
限之外在八線無半弧之表可查則用外角之
線度以減半弧而所餘之度即鈍角所對之弧
度明矣此因八線表而立鈍角用外角之法也
勾股引䝉卷四
