[002-1a] 
欽定四庫全書
句股引蒙卷二
海寜 陳訏 撰
開方
開方為句股積冪測量步算之源其法取積實歸
除使均齊方正知每邊得若干數其用籌除實視
某格為某商若干等類俱如前法有平方大籌立
方大籌置廉用散籌
[002-2a]
平方開面立方開體皆開除所積之實平方則開
平面所積之方故大籌每格止一自乗立方則開
立體所積之方故大籌每格其右邊直行先平列
一自乘數其中左兩行雖有斜格而平行每格又
以自乗之數與每格之一二三四五六七八九相
乗蓋如圍棋子平方則四邊十九而三百六十一
為十九个十九也立方則十九个三百六十一也
又平方立方俱以第一次大籌除實之格為方根
[002-2b]
後各依法加廉其大籌所除之格其實即隅積其
平行之數即隅數且隅積即在平廉約法中并列
并除此天然之巧也凡測算雖極逺極大其所測
中心止憑一㸃其逺近多少相距亦止憑一㸃從
此㸃至彼㸃則有線線即有所積之面面即有所
積之體故平方開面立方開體皆因其所積之面
與體以求其所距之線與所測之㸃為句股三角
之用也此所測之㸃非開/方㸃定開位之㸃
[002-3a]
開平方法
先㸃定開位從末單位㸃起如積實尾無單位者/於尾位置○㸃起隔
一位㸃以至實首一㸃一開二㸃二開開不盡者命
分
一㸃者根必單二㸃者根必十俱以/次増先從左大數視
平方籌相近之格除之開數定則方根之十百千萬
亦定矣立方同/
凡初商除至前第一㸃止次商除至前第二㸃止如
[002-3b]
次商㸃位前原止二位而籌格有三位不得除至第
二㸃後便須置○於次商為次商○三商以下皆然
初商法
平方籌取近少除實至前第一㸃止在第幾格即為
初商若干此第一次除之商數名為方根
㸃前無餘者從籌上一二三格之單位除㸃前有餘
者從籌上四五六七八九格之雙位除如實少於籌
者用退位法除
[002-4a]
次商法
以初商所得數倍之為廉以所倍之廉數列籌於平
方籌左取某格近少除之為次商若干
[002-4b]
三商法
以次商所得數倍之為廉列籌於次商籌之右平方
籌之左除實同前法各商同此/
每商置○定位三則開方定位依㸃逓加不/用順尋逆尋法立方同
三商式
如列實三㸃為三開從末零位㸃/起每開一位㸃
前無餘該大籌單位除實三格内除
九為初商三寫三字在首㸃積實之
[002-5a]
二 上
三 九 次商應倍初商之三列六號籌為廉除
○ 實若取近少莫如三格但次㸃位前實
止有二位而籌有三位不得除至次㸃
位後便須置○是為次商得○寫○於
次㸃位積實上隔○籌於平方籌左
三商既列六號籌○籌於平方籌之左
便應統取近少除至末㸃位止今四格
[002-5b]
恰除盡為三商得四寫四於末㸃位積
實之上
三商根必百故初商之三為三百
四商式
[002-6a]
㸃前無餘大籌單位除九初商得三書
商數及置○與三商俱同前法
四商倍三商之四列八號籌於大籌之
左及前六號籌與○籌之右四格除盡
[002-6b]
為四商四
四商根必千故初商之三為三千
四商○○式
初商視平方籌取三格除九為初商得
三次商倍方根列六號籌於表左應除
至次㸃位止但次㸃前實止一位而法
之一格兩位下俱三位便須置○隔○
籌於前列籌右平方籌左為次商得○
[002-7a]
三商應除至三㸃位止但三㸃前止三
位取近少在三格法有四位便須置○
隔○/籌於前列籌右平方籌左為三商
得○/四商四格恰除盡為四商得四
[002-7b]
四商根必千故初商之三為三千
加籌
凡商除之後如兩廉必倍前商之數如前商一加二
號籌前商二加四號籌之類此易明惟前商五倍之
加一十則加一號○號兩籌葢五加一籌○籌方是
一十若不𢃄○籌則一為單數矣若前商之廉是十
數又當為升籌
升籌
[002-8a]
凡商除之後如有加兩籌者當用升籌法葢同位則
升也如平方三開其初商二是為二百次商倍之為
廉是四百應列四號籌矣其次商六是為六十三商
倍之為廉是一百二十似應再列一號二號籌於前
商四號籌之右然從四號籌挨次而來似乎四百一
十二而非倍六十之一百二十矣故應將一百與四
百併之為五百連二十為五百二十升作五二籌列
於平方籌左而前商之四號籌去之
[002-8b]
隔籌
每商必加倍數籌以為廉法故前商既置○矣亦須
隔○籌於前列籌之右以為後商之廉法而取近少
除實為後商其前列籌固倍數也而○不必倍者葢
置一○只應隔一○籌耳立方每隔○○/兩籌與平方異
命分
見前籌算法視末商籌之第一格為若干分視所餘
不盡之實命為若干分之若干分
[002-9a]
如餘積五十七如末商兩廉列八號四號籌連前/商籌
在/内視第一格八四一命為八百四十一分之五百
七十分葢第一格是兩廉每加一分之全數故止
視第一格而命其全數與現在不盡之分也
求分杪
凡有開不盡者或不命分欲知若干分杪於餘實下
增兩○位為○○則多開一位而分杪可得矣平方/隔一
位㸃是每開兩/位故増○○
[002-9b]
右皆開平方法其平方帶縱者開方附左
平方𢃄縱
列積實依開方商除法每商除實得商數以乘縱數
除餘實其次商倍初商數除實以次商數乗縱數除
餘實但倍商不倍縱餘商同法合每商之數為闊即/正
方/加縱數即𢃄縱之長方
如縱數有比例可求者先以比例分其積而餘積以
平方開之得闊因以知其長
[002-10a]
開方得闊加縱式
假如長田六百二十四步 闊不及長二步
初商得二除四百步 又以商數二乗縱二
步二二/如四除四十步 餘一百八十四步
又倍初商列四號籌次商四格除一百七十
六步 又以商數四乘縱二步二四/如八 共一
[002-10b]
百八十四步除盡為次商四
開得闊二十四步 加縱二步為長二十六步
比例分積式
假如直田積四百五十步 長多闊一倍
法平分其積得二百二十五步平方開之得
闊一十五步倍之得三十步即長
假如長田積二百五十二步 長比闊多四分
分母/之三分子/
[002-11a]
法以分子三加分母四共七為法以分母四
乗積為實法除實得一百四十四步開方得
闊一十二步又以闊一十二步七因四除之
得二十一步為長長比闊多九步較之/十二步為四分之三
[002-12a]
開立方法
從末單位㸃起每㸃隔二位視列實位一㸃一開二
㸃二開餘同
凡一㸃者方根必單二㸃者方根必十以次而増先
從列實左大位視立方籌取近少除之
㸃前無餘除一二格之單位㸃前餘一除三四格之
十位㸃前餘二除五六七八九之百位
立方根單其積實必從單至幾百止如九之所積
[002-12b]
其平面自乗得八十一而立體則九與八十一相
乗得七百二十九故根單必積實至百位而單位
㸃起隔兩位至百也
立方根十其積實必從幾千至幾萬幾十萬止如
九十之所積其平面自乗得八千一百而立體則
九十與八千一百相乗得七十二萬九千故根十
其積實必從千位萬位至十萬位止而㸃亦隔兩
位也餘以類推
[002-13a]
立方積實必得三位故一㸃一開二㸃二開而開
數定於此矣一㸃者根必單二㸃者根必十方根
定於此矣初商除至左首㸃位止次商除至次㸃
位止置○肇於此矣若尾位列實止於十則實右
補一○列實止於百則實右補○○以便從單位
㸃起若列實不至單位止則㸃位一錯而開數方
根置○俱因之以錯矣故列至單位開方之異於
籌除者在此
[002-13b]
初商
法同平方視列實用立方大籌視單位十位百位依
法取近少除之至前首㸃位止在第幾格為初商若
干為方根
次商
以初商方根自之即自乗/又三倍自乗之實得若干
列某號籌於立方籌之左為平廉法
再以初商方根竟三倍之列某號籌於立方籌之右
[002-14a]
為長廉法
視平廉籌及大籌某格近少列為平廉約數
將平廉約數在某格之隅數即大籌兩行/平寫之數乗立方大
籌右之長廉如九格之八一為隅數即將長廉籌/八格一格所列之數依大小次併之得
[002-14b]
若干數為長廉約法
併平廉長廉兩約數若干以減初商所餘之實至次
㸃位止為次商若干
如併兩廉數浮於實須退位改商如位多於實應置
○不得除至次㸃位後
右立方有平廉三長廉三與平方異
三商
去前商左右列籌
[002-15a]
以初商兩商自之又三倍之為平廉列籌於立方籌
左
再以初次兩商竟三倍之為長廉列籌於立方籌右
如前商法除至三㸃位止
四商以下皆同/
去前商籌依法列平廉長廉籌除至末㸃位止為四
商若干如尚有餘實依命分法
右前法俱前商之後即將前各商數自之又三倍
[002-15b]
之為平廉列籌視某格與餘實近少列為平廉約
數再以前各商竟三倍之為長廉列籌俱依前法/分列大籌
左/右視平廉約數在某格之隅數取以乗長廉得若
干數為長廉約數其萬千百十各依位數附於平
廉之本位併之而除餘實其隅數即在大籌之除
格其廉積即在散籌之每格仍是於全數中除兩
廉應除之餘實而隅數亦不煩再乗再除也梅定
九先生籌算仍依古法先以前商三倍之為廉法
[002-16a]
以前商數自之又三倍之為方法以方法除餘積
得次商既得次商用其數以乗方法為三平廉積
又次商自乗以乗廉法為三長廉積再以次商為
隅法以隅法自乗再乗得小立方形為隅積三共
併之除餘積不知既列籌除則籌之每格即乗有
廉之全積何必多此一乗且大籌在初商為方根
在每商即為隅積今用籌倂除何必又自乘再乗
耶
[002-16b]
立方籌右行隅數定位
二開 次商三格以上是單位 四格以下是
十位
三開 三商三格以上是單位 四格以下是
十位
次商三格以上是百位 四格以下是
千位
四開 四商三格以上是單位 四格以下是
[002-17a]
十位
三商三格以上是百位 四格以下是
千位
次商三格以上是萬位 四格以下是
十萬位
右隅數以末商三格以上是單四格以下是
十起層累逓加
法式
[002-17b]
二開商式
假如積實六千八百五十九
兩㸃兩開
兩㸃根必十
㸃前無餘從單位
㸃俱隔二位連本位共三位/
[002-18a]
初商 列立方大籌視第四格之六四雖係近少然
㸃前無餘必從單位除寜可在第一格除一蓋第
二格雖亦單位然八浮於六不可除實故除一格
之一為近少除去一千為初商一兩㸃根必十此/初商一為方根
一/十
次商 以方根一十自之又三倍自乗之實得三百
列三號籌於立方籌左為平廉籌又以方根竟三
倍之得三十列三號籌於立方籌右為長廉籌
[002-18b]
前商餘實五八五九視平廉籌之九格三四二九
相近列為平廉約數其九格之隅數八一乗長廉
之三十得二千四百三十為長廉約數
併兩廉約數共五千八百五十九除實盡在第九
格為次商九
次商在九格除盡即次商隅數九亦在除内葢
隅在長平兩廉相凑之角故次商之隅即同次
商之商數其在大籌之第幾格者為隅之邊數
[002-19a]
而在第幾格之自乗者為隅之實數今與大籌
並列同除故隅亦在其中也
三平廉貼於前商方形之正面側面及或上或
下而後成四方平等之方故次商先以方根自
乗者乗平廉一面之全數也三倍之則所貼方
根三面之平廉全數也但全數與方根等方而
全數之積多於現在之餘積故於此三平廉全
數中視某格與餘實近少而為平廉約數然此
[002-19b]
三平廉者與方根闊狹厚薄相等今三面貼凑
止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加
廉之方故又有長廉三一縱二横補於平廉不
能合縫之際始得凑合成方法以方根又三倍
之者成三個長廉之全數也再以平廉之隅數
乗長廉則為現在平廉貼身應得之數為長廉
約數併之除餘實而隅亦在所除之中而此四
面之方凑合無缺矣葢平廉以方根為準長廉
[002-20a]
以平廉為準而隅數與平廉長廉又互相為準
數藏大籌巧在與大籌並列同除法精密矣
初商次商退位除式
假如積實一萬九千六百八十三
[002-20b]
初商二十 積實兩㸃兩開方根必十㸃前餘一位
應從立方籌之十位除實但籌之三格四格俱大
於積實應退在第二格之八除八千籌格退位/餘
一一六八三
此退位不用三四格除實而退至二格者籌數
浮於實數用退位除恰除至㸃位止故取二格
之八為近少也此初商止退籌格不退商位
次商七 先以方根二十自之得四百又三倍之得
[002-21a]
一千二百取一號二號籌列立方籌左為平廉以
方根二十竟三倍之得六十取六號籌列立方籌
右為長廉 雖九格一萬一千五百二十九相近
然再加長廉便浮於實故不取九格凡平廉籌格/與除至㸃位
之實位數相當者則萬千十百之數亦必相符今/㸃位前實係一萬一千六百八十三平廉九格恰
五位便是一萬一千五百二十九矣蓋二開次商/得九以九乗平廉法得廉約數一萬○八百加隅
約數七百二十九共數如前以此推算即得實數/然不如即視位數更為簡㨗故比㸃位少一位則
其數必小多一/位便須置○也八格之一○五一二雖更相近然
[002-21b]
若以八格之隅數六十四乗長廉之六十得三千
八百四十併平廉八格之一○五一二為一萬四
千三百五十二亦浮於現在之餘實故又應退格
取七格之八千七百四十三單為平廉約數取七
格之四九隅數乗長廉之六十得二千九百四十
為長廉約數俱係千數可併進而除首位次位之
一 一矣於是併兩廉約數共一萬一千六百八十
三單除盡為次商七
[002-22a]
此退格約廉因籌數雖浮籌位不多於餘實故/止退格而不改商也
自乗再乗還原
次商置○式 三商加○籌式
假如積實一億二千九百五十五萬四千二百一十
六
[002-22b]
三㸃三開
㸃前餘二位
初商㸃前餘二位視立方大籌百位除實第五格之
一二五近少除之得初商五百
次商以方根五百自之得二十五萬又三倍之得
[002-23a]
七十五萬為平廉列七號五號籌於立方籌左以
方根竟三倍之得一千五百為長廉列一號五號
籌於立方籌右若取平廉籌相近莫如第六格之
四五二一六相近然次商應除至次㸃位止今籌
位多實位少若依籌位即平廉巳除至㸃位後何
况更有長廉是必變商之大位為小位則有後商
㸃前之實應除而不患除至㸃位之後故應商數
置○為次商○前二商式是退格併亷此處次商/是退位再商故有置○不置○之
[002-23b]
别/
三商 因前平廉籌巳備三廉實數尚未商除而前
商之○又無實數可三倍故不去前籌不將前商
自之又三倍之止於立方籌左前平廉籌右加○
○兩籌蓋立方毎㸃隔二位今加○○籌則前商
變為後商變次商之十為三商之單矣故平廉籌
仍照前七十五萬而七五列籌之第六格之四百
五十萬相近又立方大籌六格之二百一十六單
[002-24a]
共四五○○二十六列為平廉約數
再以隅數之三六在三開次商為三千六百者今
為三開三商之三十六見前隅/數定位以之乗三倍方根
之一千五百為五萬四千列為長廉約數併之共
四百五十五萬四千二百一十六除餘實盡為三
商六
右共開方得五百○六
自乘再乘還原
[002-24b]
五開
三商列籌不隔○ 商數置○式
四商隔○籌式 又商數置○式
五商又隔○籌式
[002-25a]
假如積實一萬七千三百一十八億即萬/萬九千○百
九十一萬六千七百二十九
按他書十萬曰億算學書萬萬曰億後同/
五開列實如左
五㸃五開
五㸃根必萬
㸃前無餘從單位
[002-25b]
初商 㸃前無餘從立方籌單位一格除實一萬億
為初商方根一萬
次商 以初商一萬自之得一億又三倍之得三億
列三號籌於立方籌左為平廉
以方根一萬竟三倍之得三萬列三號籌於立方
[002-26a]
籌右為長廉
視第二格之六○八近少為平廉約數
以此三號籌二格之隅數四乗長廉之四得一二
為長廉約數按隅數五開次商三格以上是百萬/位
併之除七千二百八十億為次商二千
三商 以前初商除一萬億次商除七千二百八十
億餘實三八九○九一六七二九
去前所列籌以初次兩商共一萬二千/自之得一
[002-26b]
四四又三倍之得四三二列籌於立方籌左為平
廉
凡乗大數各存○餘位則從單位逆推乗數定/位不紊
上圖如兩商一十二
萬自之得一億四千
四百○○萬
再以初次兩商一萬二千竟三倍之得三萬六千
列立方籌右為長廉法
[002-27a]
如法列兩廉約數取近少莫如九格三八九五二/
九/但三商應除至三㸃位止今籌格六位而第三
㸃前連㸃位亦止四位法實不符應商除退位不
但變大數商為小數商又有後商㸃前之實可合
籌格之多位應本商置○為三商○百
四商 立方凡前商置○則後商應隔○○兩籌以
當每㸃之隔二位列於平方籌左前商平廉四三
二號籌之右為平廉再如法列長廉籌取兩廉約
[002-27b]
數併除餘實又莫如九格三八八○/七二九但五開四商
應除至第四㸃止今第四㸃之前止七位而籌格
有八故又應置○為四商○十
五商 依立方法後商應去前商之廉籌另依商法
置平長兩廉籌約數除實今前三四兩商俱未除
實俱退商數置有○○今五商仍存前商廉籌及
○○籌再加○○籌以當每㸃之隔二位列於立
方籌左廉籌及○○籌之右為五商之平廉仍用
[002-28a]
九格之三八八八○○○七二九為平廉約數此/
約數首位三係十億位/
再以九格之隅數八十一五開五商次格以下是/
十位/乗長廉之三萬六千得二百九十一萬六千
為長廉約數併之除餘實至五開尾㸃位止為五
商九
右五商共一萬二千○○九
末商平廉/ 長廉 三八八八○○○七二九/ 二九一六
[002-28b]
併之/ 三八九○九一六七二九/
右五開式末商九是單數凡立方積不過至十
位百位止今何以能除至三十八億九千○百
萬各位之多葢三商○四商○雖兩商無除而
○無定位列實未除之三八九○萬即皆前商
平廉之所應有之數改商而未嘗改廉但因籌
數位多實數位少故知三四商之皆應置○而
前商未除之平廉其約數仍在至五商則但以
[002-29a]
五商之隅數乗前商原有之長廉以為長廉約
數葢隅因亷為升降而亷依方限不因商為升降
特借五商之九同格幷除非單九能除至十億位也
立方帶縱
方為闊加縱為長法與開方無異先視某格與方根
近少為商數乗縱數再乗得縱積併入方積以減原
實為初商
次商以下更加縱積縱廉積除餘實為次商餘商/同併
[002-29b]
兩商數得闊因闊以知長
用㸃定開位悉依立方/ 縱積除至㸃後/
如初商視立方大籌某格近少之格數取為方根
依定位列於原實之下又以方根之數因縱數若
干即以因得之數再乗方根數得若干為縱積依
定位列方根之下併減原實為初商若干
按方根悉如開方法但未即除實如併縱積多/于原實應退位或改商或退格在方根不可除
至㸃後其併縱積則除至㸃位之後葢縱在立/方之外積非立方之積不可以每㸃之位為定
[002-30a]
也/
如次商列平廉長廉法悉如立方先取平廉約數
依定位列餘實之下再取長廉約數列平廉約數
之下次以次商之商數有兩廉約數在某/格即某格是商數因縱數
得若干再以商數乗之為次商縱積依定位列兩
廉約數之下又以縱數倍之為縱廉法乗初商數
得若干以乗得之數與次商數乗之得若干為縱
廉積依位列於約數之下共併之減原實為次商
[002-30b]
若干
右𢃄縱方兩開者次商之平廉必列至次㸃位
止如有三開者則加縱積縱廉積除至次㸃位
之後與開方/不同止兩開者即併積亦必次㸃位止
若併積之位浮於餘實應退格改商以除實若
平廉各格多於㸃前之實或應退格或應置○
同前開方置○法
三商以下列廉法悉如前其縱廉法應乗上初商
[002-31a]
次商再以乗得之數乗末商為縱廉積併除實四/
商以下同/
如積實九萬七千二百○十○尺但云闊不及長三
尺
初商近少在四格即方根四十闊不及長三尺即
[002-31b]
三為縱法乗初商之四十得一百二十此縱靣/再
以初商四十乗一百二十得縱積四千八百此縱/
體/先以方根積六萬四千照位列實下又以縱積
四千八百列方根積之千位下併之得六萬八千
八百減原實為初商四十餘實二萬八千四百
不先除方根者恐加縱積多於原實故先併後
除
次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之
[002-32a]
得四千八百為平廉列大籌左再以方根四十竟
三倍之得一百二十為長廉列大籌右取平廉第
五格二四一二五/為近少為平廉約數以五格之
隅數二五/乗長廉之一百二十得三千兩開次商/四格以下
隅數/是十為長廉約數列於平廉下之千位
以縱法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十
五得七十五為次商縱積照定位列於兩廉之下
又以縱法之三竟三倍之得六為縱廉法乗次商
[002-32b]
四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一
千二百為縱廉積照定位列於縱積之下
併之共除餘實二萬八千四百盡為次商五
右共開方四十五尺加長三尺為長四十八
尺
如積實二百萬○○○○○○尺 但云闊不及長
三尺
三㸃三開 初商是百
[002-33a]
㸃前無餘
初商一在大籌單/位除實以三為縱法乗商數一百得三百
此縱靣/又以商數一百乗三百得三萬此縱體/合
方根積共一百○三萬減積實為初商闊之一百
按此初商除方根并除長三尺之縱但止除
方根等形之縱未除次商後加縱廉積之縱
次商依立方法平廉三萬長廉三百取近少三格九/二七以
[002-33b]
相近因𢃄縱有縱積/應加故退格約廉二格之六○八相近為平廉
約數
以第二格隅數四三開次商三格/以上是百位乗長廉得一十
二萬為長廉約數
以縱法三尺乗次商二十取平廉長廉約數俱/在二格即是二十得
縱面六十又以商數二十乗縱面六十得縱積一
千二百
以縱法三尺倍之得六為縱廉次商方根加廉則/所𢃄之縱亦應加
[002-34a]
廉但次商之縱是小於方根加廉之縱而非短於/方根之縱止縱旁兩邊有廉而縱頂無廉故法止
倍/之乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得
縱廉積一萬二千
併之
平廉約數六十○萬八千
長廉約數一十二萬
縱積一千二百
縱廉積一萬二千
[002-34b]
共七十四萬一千二百減餘積仍餘二十二萬八
千八百○十○單
為次商二十
三商平廉三千二百長廉三百六十依開方法置籌
取第五格近少二十一萬六千一百二十五為平
廉約數
以第五格隅數二十五乗長廉三百六十得九千
為長廉約數
[002-35a]
以縱法三尺乗商數五得一十五又以商數五乗
一十五得七十五為縱積
以縱廉六縱法三尺/倍之得六乗初次兩商之一百二十得
七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百
為縱廉積
依法併之共二十二萬八千八百○○除實盡為
三商五
右共開方一百二十五尺加縱三尺為一百二
[002-35b]
十八尺
按立方𢃄縱初商未開之前其所開之方未有定
數而縱長三尺則有定數然雖有定數而如三開
者其方闊必等於每開立方之邊或匾縱或長縱
故每商必先依開方法開本身立方之方再以縱
之三尺乗商數得縱之面更以商數乗縱之面而
得縱之積在初商無廉故止併方根積與縱積除
實為初商若干也至於次商則方根有廉而所立
[002-36a]
之方其形更大於方根今𢃄縱方則其長雖定於
三尺而其方之大小應與次商之方相等但立方
之廉有三而此𢃄縱方則縱首無廉止應兩旁有
廉故廉止於二但此兩廉亦止如方根之方其合
縫之處亦如立方平廉之不能凑合必有一長廉
焉於是以縱法乗次商而得𢃄縱長廉之面又以
次商商數乗縱面而得𢃄縱長廉之積此所謂縱
積也其實乃𢃄縱之長廉積也于是𢃄縱之兩平
[002-36b]
廉以縱法倍之即以乗初商之數為𢃄縱平廉之
面以此𢃄縱平廉之面乗次商商數而得𢃄縱平
廉之積於是所𢃄之縱其縱則定於三尺而其方
之形與次商之方等矣葢其法與開立方同而立
方則先有平廉後有長廉今開所𢃄之縱乃先有
長廉後有平廉此為異耳至三商與次商同惟縱
廉積以縱法乗初商次商之商數而以乗得之數
再乗三商之商數葢必連初商次商再乗三商方
[002-37a]
是三商𢃄縱之平廉其廉比初商次商較薄而其
方之形則初商次商後之三商其闊狹與三商有
廉之方相等其理一也
附立方減縱法
假如立方積五千七百七十六尺 但云長不及闊
三尺
㸃前無餘除單格
[002-37b]
初商除一格之單位因二格之八浮於列實故止
除一格之一為商數以三尺為縱法乗商數一十
兩㸃根/必十得三十再以三十乗商數一十得縱積三
百以初商方根積一千減去縱積三百餘七百以
減原實為初商一十
餘實五千○七十六尺
次商依開立方法列平廉長廉籌近少取三號籌
次商以初商自/之又三倍之之九格三千四百二十九為平廉
[002-38a]
約數以隅乗長廉得二千四百三十尺為長廉約
數合之為五千八百五十九其數稍浮於實者立/方積也後以縱積等
減之乃成匾方形故凡減縱之/末商必約數浮於實以待後減為立方兩廉約數
次以縱法三尺乗次商九得二十七尺為縱面又
以次商九乗縱面之二十七得二百四十三尺為
立方減縱之長廉積今名縱積
次以縱法三尺倍之得六尺為縱廉以乗初商一
十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺為
[002-38b]
立方減縱之兩平廉積今名縱廉積
合縱積縱廉積共七百八十三尺以減立方之兩
廉約數餘廉積五千○七十六尺減餘實盡為次
商九此餘廉積即前立方兩廉不浮之約數葢既/先于前所稍浮之立方廉約中除縱廉等積
則所餘者乃方根應有各廉之真數/因本商未除故末後除之而合也
右共開得闊一十九尺減長不及闊三尺為十
六尺長
以上𢃄縱方開法初商方根積必至首㸃
[002-39a]
位止次商平廉長廉共約數必至次㸃位
止不得除至㸃位之後惟減縱每商之廉
其約數應稍浮于列實以待後減縱廉等
積
[002-39b]
句股引蒙卷二
