[041-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷三十六
末部六
借根方比例體類/
[041-2a]
體類
設如有扁方體髙十八尺若將體積加六倍則髙與
長闊皆相等問長闊之各一邊及體積幾何
法借一根為長闊之各一邊數以一根
自乘得一平方為扁方體之面積再以
髙十八尺乘之得十八平方為扁方體
之體積又以一根與一平方相乘得一
立方為扁方體積之六倍乃以扁方體
[041-2b]
之體積十八平方六因之得一百零八
平方是為一立方與一百零八平方相
等兩邊各降二位得一根與一百零八
尺相等卽扁方體之長闊各一邊數也
以一百零八尺自乘得一萬一千六百
六十四尺再以十八尺乘之得二十萬
零九千九百五十二尺為扁方體積六
因之得一百二十五萬九千七百一十
二尺與毎邊一百零八尺自乘再乘之
[041-2b]
立方積相等此扁方體邊線比例法也
[041-3a]
葢兩體之底面積旣同則其體積之比
例同於其髙之比例今扁方體之長闊
各一邊旣與正方體之毎一邊等而正
方體積為扁方體積之六倍則其髙亦
必為六倍故以扁方體之髙數六因之
卽得長闊之各一邊數也
設如有一長方體髙三尺五寸又有一正方體其每
一面積與長方體之底面積等而長方體積為正
[041-3b]
方體積之五倍問正方體之一邊及體積各幾何
法借一根為正方體毎邊之數以一根
自乘得一平方為正方體之面積亦卽
長方體之底面積以一平方與髙三十
五寸相乘得三十五平方為長方體之
體積又以一根自乘再乘得一立方為
正方體之體積長方體積旣為正方體
之五倍乃以一立方五因之得五立方
而與三十五平方為相等兩邊各降二
[041-3b]
位得五根與三十五寸相等五根旣與
[041-4a]
三十五寸相等則一根必與七寸相等
卽正方體之毎一邊之數也以七寸自
乘再乘得三百四十三寸卽正方體之
體積又以七寸自乘得四十九寸再以
三十五寸乘之得一千七百一十五寸
卽長方體之體積為正方體積之五倍
此一長方體一正方體同底比例法也
葢兩體之底面積旣同則其體積之比
[041-4b]
例同於其髙之比例今正方體之每一
面積旣與長方體之底面積等而長方
體積為正方體積之五倍則其髙亦必
為五倍故長方體之髙之五分之一卽
正方體之毎一邊之數也
設如有一正方面形又有一正方體形但知正方面
毎邊為正方體毎邊之八倍而正方面積與正方
體積相等問邊線積數各若干
法借一根為正方體毎邊之數則正方
[041-4b]
面毎邊之數為八根以一根自乘再乘
[041-5a]
得一立方為正方體積以八根自乘得
六十四平方為正方面積是為一立方
與六十四平方相等兩邊各降二位得
一根與六十四尺相等卽正方體毎邊
之數八因之得五百一十二尺卽正方
面毎邊之數以五百一十二尺自乘得
二十六萬二千一百四十四尺為正方
面積以六十四尺自乘再乘亦得二十
[041-5b]
六萬二千一百四十四尺為正方體積
兩數相等也此一平方一立方/邊數積數比例法
設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同於
四與六闊與長之比例同於六與九其髙與闊相
乘之數為長數之四倍問髙闊長各幾何
法借四根為髙數六根為闊數九根為
長數以髙四根與闊六根相乘得二十
四平方為長數之四倍乃以長數九根
四因之得三十六根是為二十四平方
[041-5b]
與三十六根相等兩邊各降一位得二
[041-6a]
十四根與三十六尺相等二十四根旣
與三十六尺相等則四根必與六尺相
等卽髙數六根必與九尺相等卽闊數
九根必與一十三尺五寸相等卽長數
以髙六尺與闊九尺相乘得五十四尺
四歸之得一十三尺五寸與長數相等
也此帶兩縱不同立方/邊線面積比例法
設如有帶兩縱不同立方體長二十四尺髙與闊和
[041-6b]
五十二尺其髙與闊相乘之積與長自乘之積等
問髙闊各若干
法借一根為髙數則闊數為五十二尺
少一根以髙一根與闊五十二尺少一
根相乘得五十二根少一平方又以長
二十四尺自乘得五百七十六尺此二
數為相等乃以五百七十六尺為長方
積以五十二根作五十二尺為長闊和
用帶縱和數開平方法算之得闊十六
[041-6b]
尺為一根之數卽立方之髙數與髙闊
[041-7a]
和五十二尺相減餘三十六尺卽立方
之闊數以髙十六尺與闊三十六尺相
乘得五百七十六尺與長二十四尺自
乘之數相等也此帶兩縱不同立方/邊線與面積比例法
設如有帶兩縱不同立方體髙十二寸長比闊多十
寸其長與闊相乘之積與髙自乘之積等問長闊
各若干
法借一根為闊數則長數為一根多十
[041-7b]
寸以闊一根與長一根多十寸相乘得
一平方多十根以髙十二寸自乘得一
百四十四寸此二數為相等乃以一百
四十四寸為長方積以十根作十寸為
長闊較用帶縱較數開平方法算之得
闊八寸為一根之數卽立方之闊數加
長比闊多十寸得十八寸卽立方之長
數以闊八寸與長十八寸相乘得一百
四十四寸與髙十二寸自乘之數相等
[041-7b]
也此帶兩縱不同立方/邊較與面積比例法
[041-8a]
設如有帶兩縱不同立方體長比闊多四寸闊比髙
多二寸其體積比髙自乘再乘之正方體多一百
七十六寸問長闊髙各幾何
法借一根為髙數則闊數為一根多二
寸長數為一根多六寸以髙一根與闊
一根多二寸相乘得一平方多二根再
以長一根多六寸乘之得一立方多八
平方多十二根内減髙數一根自乘再
[041-8b]
乘之一立方餘八平方多十二根與一
百七十六寸相等八平方多十二根旣
與一百七十六寸相等則一平方多一
根半必與二十二寸相等乃以二十二
寸為長方積以一根半作一寸五分為
長闊較用帶縱較數開平方法算之得
闊四寸為一根之數卽立方之髙數加
闊比髙多二寸得六寸卽立方之闊數
再加長比闊多四寸得十寸卽立方之
[041-8b]
長數以長闊相乘以髙再乘得二百四
[041-9a]
十寸為立方體積内減髙四寸自乘再
乘之六十四寸餘一百七十六寸以合
原數也此帶兩縱不同立方/邊較與積較比例法
設如一長方池深二十尺長闊和六十尺其體積一
萬七千二百八十尺問長闊各若干
法借一根為闊數則長數為六十尺少
一根以闊一根與長六十尺少一根相
乘得六十根少一平方以深二十尺再
[041-9b]
乘得一千二百根少二十平方與一萬
七千二百八十尺相等一千二百根少
二十平方旣與一萬七千二百八十尺
相等則六十根少一平方必與八百六
十四尺相等乃以八百六十四尺為長
方積以六十根作六十尺為長闊和用
帶縱和數開平方法算之得闊二十四
尺為一根之數卽池之闊數與長闊和
六十尺相減餘三十六尺卽池之長數
[041-9b]
以長闊相乘以深再乘得一萬七千二
[041-10a]
百八十尺以合原數也此帶兩縱不同/立方知一邊與
兩邊和/相求法
設如一長方池深三十尺長比闊多十尺其體積七
萬一千二百八十尺問長闊各若干
法借一根為闊數則長數為一根多十
尺以闊一根與長一根多十尺相乘得
一平方多十根再以深三十尺乘之得
三十平方多三百根與七萬一千二百
[041-10b]
八十尺相等三十平方多三百根旣與
七萬一千二百八十尺相等則一平方
多十根必與二千三百七十六尺相等
乃以二千三百七十六尺為長方積以
十根作十尺為長闊較用帶縱較數開
平方法算之得闊四十四尺為一根之
數卽池之闊數加長比闊多十尺得五
十四尺卽池之長數也以長闊相乘以
深再乘得七萬一千二百八十尺以合
[041-10b]
原數也此帶兩縱不同立方知/一邊與兩邊較相求法
[041-11a]
設如有帶兩縱不同立方體長闊髙共五十八尺長
比闊多六尺其對角斜線自乘之數為一千一百
五十六尺問長闊髙各幾何
法借一根為闊數則長數為一根多六
尺以長闊兩數相加得二根多六尺與
長闊髙共五十八尺相減餘五十二尺
少二根為髙數以闊一根自乘得一平
方為闊自乘之數以長一根多六尺自
[041-11b]
乘得一平方多十二根多三十六尺為
長自乘之數以髙五十二尺少二根自
乘得二千七百零四尺少二百零八根
多四平方為髙自乘之數三自乘數相
加得二千七百四十尺少一百九十六
根多六平方與對角線自乘之一千一
百五十六尺相等兩邊各加一百九十
六根得二千七百四十尺多六平方與
一千一百五十六尺多一百九十六根
[041-11b]
相等兩邊各減一千一百五十六尺得
[041-12a]
一千五百八十四尺多六平方與一百
九十六根相等一千五百八十四尺多
六平方旣與一百九十六根相等則二
百六十四尺多一平方必與三十二根
又六分根之四相等乃以二百六十四
尺為長方積以三十二根六分根之四
作三十二尺又六分尺之四為長闊和
用帶縱和數開平方法算之得長十八
[041-12b]
尺為一根之數卽立方之闊加長比闊
多六尺得二十四尺卽立方之長長闊
相加得四十二尺與長闊髙共五十八
尺相減餘十六尺卽立方之髙也以髙
十六尺自乘得二百五十六尺以闊十
八尺自乘得三百二十四尺以長二十
四尺自乘得五百七十六尺三自乘數
相加得一千一百五十六尺與對角斜
線自乘之數相等也此帶兩縱不同立/方邊線面積和較
[041-12b]
相求/法
[041-13a]
設如有帶兩縱不同立方體其長闊髙為相連比例
三率長為首率闊為中率髙為末率共五十七寸
其六面積共二千零五十二寸問長闊髙各幾何
法借一根為長數則闊髙之共數為五
十七寸少一根又以六面積共二千零
五十二寸折半得一千零二十六寸為
三面積共數以長闊髙共五十七寸除
之得一十八寸為闊數因長為首率闊/為中率髙為末
[041-13b]
率故其三面積一為首率乘中率一為/末率乘中率一為首率乘末率而首率
乘末率之數與中率自乘之數等則此/三而積相合卽為首率中率末率之共
數乘中率之數矣故以長闊髙/之共數除之卽得中率為闊也以闊一
十八尺與闊髙之共數五十七寸少一
根相減餘三十九寸少一根為髙數乃
以首率長一根與末率髙三十九寸少
一根相乘得三十九根少一平方與中
率闊十八寸自乘之三百二十四寸相
等乃以三百二十四寸為長方積以三
[041-13b]
十九根作三十九寸為長闊和用帶縱
[041-14a]
和數開平方法算之得長二十七寸為
一根之數卽立方之長數與髙長和三
十九寸相減餘一十二寸卽立方之髙
數以長二十七寸與闊十八寸之比同
於闊十八寸與髙十二寸之比為相連
比例三率也此帶兩縱不同立方邊/線面積相和比例法
設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同於
一與二闊與長之比例同於二與三以髙自乘再
[041-14b]
乘之數與闊自乘再乘之數相加比原體積多一
千零二十九寸問長闊髙各幾何
法借一根為髙數則闊數為二根長數
為三根以闊二根與長三根相乘得六
平方再以髙一根乘之得六立方為原
體積又以髙一根自乘再乘得一立方
以闊二根自乘再乘得八立方相併得
九立方内減原體積六立方餘三立方
與一千零二十九寸相等三立方旣與
[041-14b]
一千零二十九寸相等則一立方必與
[041-15a]
三百四十三寸相等乃以三百四十三
寸開立方得七寸為一根之數卽立方
之髙數倍之得十四寸卽立方之闊數
三因之得二十一寸卽立方之長數以
長二十一寸與闊十四寸相乘得二百
九十四寸再以髙七寸乘之得二千零
五十八寸為原體積又以髙七寸自乘
再乘得三百四十三寸闊十四寸自乘
[041-15b]
再乘得二千七百四十四寸相併得三
千零八十七寸與原體積相減餘一千
零二十九寸以合原數也此帶兩縱不/同立方邊線
體積比/例法
設如有甲乙丙三正方體甲方邊與乙方邊之比例
同於二與三乙方積比甲方積多一百五十二寸
丙方積比乙方積多七百八十四寸問三正方體
之邊數各若干
法借二根為甲方毎邊之數則乙方毎
[041-15b]
邊之數為三根以二根自乘再乘得八
[041-16a]
立方為甲方之體積以三根自乘再乘
得二十七立方為乙方之體積兩體積
相減餘一十九立方與一百五十二寸
相等十九立方旣與一百五十二寸相
等則一立方必與八寸相等乃以八寸
開立方得二寸為一根之數倍之得四
寸卽甲方毎邊之數三因之得六寸卽
乙方毎邊之數自乘再乘得二百一十
[041-16b]
六寸加七百八十四寸得一千寸開立
方得十寸卽丙方毎邊之數也此三正/方體邊
線體積/比例法
設如有帶兩縱不同立方體髙比闊為五分之一闊
比長亦為五分之一體積六十一萬四千一百二
十五尺問髙闊長各幾何
法借一根為髙數則闊數為五根長數
為二十五根以闊五根與長二十五根
相乘得一百二十五平方再以髙一根
[041-16b]
乘之得一百二十五立方與六十一萬
[041-17a]
四千一百二十五尺相等一百二十五
立方旣與六十一萬四千一百二十五
尺相等則一立方必與四千九百一十
三尺相等乃以四千九百一十三尺開
立方得十七尺為一根之數卽立方之
髙以五乘之得八十五尺卽立方之闊
以二十五乘之得四百二十五尺卽立
方之長也乃以長闊相乘得三萬六千
[041-17b]
一百二十五尺再以髙乘之得六十一
萬四千一百二十五尺以合原數也此/帶
分比例開/立方法
設如有一大長方體其闊三倍於髙其長三倍於闊
又有一小長方體比大長方體髙為二分之一闊
為三分之二長為九分之七小長方體積二萬三
千六百二十五寸問大小二長方體之長闊髙各
幾何
法借一根為大長方體之髙則大長方
[041-17b]
體之闊為三根大長方體之長為九根
[041-18a]
小長方體之髙為半根小長方體之闊
為二根小長方體之長為七根乃以長
七根與闊二根相乘得一十四平方再
以髙半根乘之得七立方為小長方體
積與二萬三千六百二十五寸相等七
立方旣與二萬三千六百二十五寸相
等則一立方必與三千三百七十五寸
相等乃以三千三百七十五寸開立方
[041-18b]
得十五寸為一根之數卽大長方體之
髙三因之得四十五寸卽大長方體之
闊又以三因之得一百三十五寸卽大
長方體之長以大長方體之髙折半得
七寸五分卽小長方體之髙以大長方
體之闊三歸二因得三十寸卽小長方
體之闊以大長方體之長九歸七因得
一百零五寸卽小長方體之長以小長
方體之長闊相乘再以髙乘之得二萬
[041-18b]
三千六百二十五寸以合原數也此帶/分比
[041-19a]
例開立/方法
設如有人買馬三次第二次比第一次多一倍第三
次比第二次多一倍以第三次馬數四分之一與
第二次馬數之一半相乘又與第一次馬數三分
之一相乘得六千五百六十一匹問三次所買馬
數各若干
法借三根為第一次買馬之數第一次/分母數
則第二次買馬之數為六根第三次買
[041-19b]
馬之數為十二根以第三次四分之一
三根與第二次之一半三根相乘得九
平方又與第一次三分之一一根相乘
得九立方與六千五百六十一匹相等
九立方旣與六千五百六十一匹相等
則一立方必與七百二十九匹相等乃
以七百二十九匹開立方得九匹為一
根之數三因之得二十七匹為第一次
買馬之數倍之得五十四匹為第二次
[041-19b]
買馬之數又倍之得一百零八匹為第
[041-20a]
三次買馬之數以第三次四分之一二
十七匹與第二次一半二十七匹相乘
得七百二十九匹再以第一次三分之
一九匹乘之得六千五百六十一匹以
合原數也此帶分比例/開立方法
設如有馬牛羊各不知數但知牛數比馬數多四羊
數與馬牛相乘之數等馬毎匹之價與牛數等牛
毎頭之價與馬數等羊毎隻之價比馬毎匹價少
[041-20b]
十兩而羊之共價為一百九十二兩問馬牛羊及
價銀各若干
法借一根為馬數則牛數為一根多四
以馬數一根與牛數一根多四相乘得
一平方多四根為羊數馬價與牛數等
為一根多四兩則羊價為一根少六兩
以羊數一平方多四根與羊價一根少
六兩相乘得一立方少二平方少二十
四根為羊之共價與一百九十二兩相
[041-20b]
等乃以一百九十二兩為磬折扁方體
[041-21a]
積用帶縱開立方法算之得八為一根
之數卽馬數亦卽牛毎頭之價為八兩
也加牛比馬多四得十二為牛數亦卽
馬毎匹之價為十二兩也以馬數八與
牛數十二相乘得九十六為羊數以羊
數九十六歸除羊共價一百九十二兩
得二兩為羊毎隻價比馬一匹之價少
十兩也此磬折扁方/體求邊法
[041-21b]
設如有馬騾運重其共馬數比馬毎匹所䭾之數多
二十騾毎匹所䭾之數比共馬數多三十其共騾
數與馬所䭾之共數等但知騾共䭾一千一百萬
斤問馬數騾數及所䭾之斤數各若干
法借一根為共馬數則馬毎匹所䭾之
斤數為一根少二十斤騾毎匹所䭾之
數為一根多三十斤以共馬數一根與
馬毎匹䭾一根少二十斤相乘得一平
方少二十根為馬所䭾之共數亦卽共
[041-21b]
騾數再以騾毎匹䭾一根多三十斤乘
[041-22a]
之得一立方多十平方少六百根為騾
所䭾之共數與一千一百萬斤相等乃
以一千一百萬斤為磬折長方體積用
帶縱開立方法算之得二百二十為一
根之數卽共馬數減二十餘二百斤為
馬毎匹所䭾之數以共馬二百二十匹
與馬毎匹所䭾之二百斤相乘得四萬
四千斤為馬所䭾之共數亦卽共騾數
[041-22b]
以共騾四萬四千匹歸除一千一百萬
斤得二百五十斤為騾毎匹所䭾之數
比共馬數二百二十多三十也此磬折/長方體
求邊/法
設如有大小二正方體邊數共二尺六寸體積共五
千零九十六寸問二正方體邊數體積各幾何
法借一根為小方毎邊之數則大方毎
邊之數為二十六寸少一根以一根自
乘再乘得一立方為小方之體積以二
[041-22b]
十六寸少一根自乘再乘得一萬七千
[041-23a]
五百七十六寸少二千零二十八根多
七十八平方少一立方為大方之體積
兩體積相加得一萬七千五百七十六
寸少二千零二十八根多七十八平方
與五千零九十六寸相等兩邊各加二
千零二十八根得一萬七千五百七十
六寸多七十八平方與五千零九十六
寸多二千零二十八根相等兩邊各減
[041-23b]
五千零九十六寸得一萬二千四百八
十寸多七十八平方與二千零二十八
根相等一萬二千四百八十寸多七十
八平方旣與二千零二十八根相等則
一百六十寸多一平方必與二十六根
相等乃以一百六十寸為長方積以二
十六根作二十六寸為長闊和用帶縱
和數開平方法算之得闊十寸為一根
之數卽小方毎邊之數與共邊二十六
[041-23b]
寸相減餘一十六寸卽大方毎邊之數
[041-24a]
以十寸自乘再乘得一千寸卽小方之
體積以十六寸自乘再乘得四千零九
十六寸卽大方之體積兩體積相加共
五千零九十六寸以合原數也此二正/方體有
邊和積和/求邊法
設如有大小二正方體大方邊比小方邊多四尺大
方積比小方積多一千二百一十六尺問二正方
體邊數體積各幾何
[041-24b]
法借一根為小方毎邊之數則大方毎
邊之數為一根多四尺以一根自乘再
乘得一立方為小方之體積以一根多
四尺自乘再乘得一立方多十二平方
多四十八根多六十四尺為大方之體
積兩體積相減得十二平方多四十八
根多六十四尺與一千二百一十六尺
相等兩邊各減六十四尺得十二平方
多四十八根與一千一百五十二尺相
[041-24b]
等十二平方多四十八根旣與一千一
[041-25a]
百五十二尺相等則一平方多四根必
與九十六尺相等乃以九十六尺為長
方積以四根作四尺為長闊較用帶縱
較數開平方法算之得闊八尺為一根
之數卽小方每邊之數加四尺得一十
二尺卽大方毎邊之數以八尺自乘再
乘得五百一十二尺卽小方之體積以
一十二尺自乘再乘得一千七百二十
[041-25b]
八尺卽大方之體積兩體積相減餘一
千二百一十六尺以合原數也此二正/方體有
邊較積較/求邊法
設如有大小二正方體大方邊比小方邊多二尺體
積共一千零七十二尺問二正方體邊數體積各
幾何
法借一根為小方毎邊之數則大方毎
邊之數為一根多二尺以一根自乘再
乘得一立方為小方之體積以一根多
[041-25b]
二尺自乘再乘得一立方多六平方多
[041-26a]
十二根多八尺為大方之體積兩體積
相加得二立方多六平方多十二根多
八尺與一千零七十二尺相等兩邊各
減去八尺得二立方多六平方多十二
根與一千零六十四尺相等二立方多
六平方多十二根旣與一千零六十四
尺相等則一立方多三平方多六根必
與五百三十二尺相等乃以五百三十
[041-26b]
二尺為磬折長方體積用帶縱開立方
法算之得七尺為一根之數卽小方毎
邊之數加二尺得九尺卽大方每邊之
數以七尺自乘再乘得三百四十三尺
卽小方之體積以九尺自乘再乘得七
百二十九尺卽大方之體積兩體積相
加得一千零七十二尺以合原數也此/二
正方體有邊較/積和求邊法
設如有大小二正方體邊數共十四尺大方比積小
[041-26b]
方積多二百九十六尺問二正方體之邊數體積
[041-27a]
各幾何
法借一根為小方每邊之數則大方每
邊之數為十四尺少一根以一根自乘
再乘得一立方為小方之體積以十四
尺少一根自乘再乘得二千七百四十
四尺少五百八十八根多四十二平方
少一立方為大方之體積兩體積相減
得二千七百四十四尺少五百八十八
[041-27b]
根多四十二平方少二立方與二百九
十六尺相等兩邊各加二立方又加五
百八十八根得二立方多五百八十八
根多二百九十六尺與二千七百四十
四尺多四十二平方相等兩邊各減去
二百九十六尺又各減去四十二平方
得二立方少四十二平方多五百八十
八根與二千四百四十八尺相等二立
方少四十二平方多五百八十八根旣
[041-27b]
與二千四百四十八尺相等則一立方
[041-28a]
少二十一平方多二百九十四根必與
一千二百二十四尺相等乃以一千二
百二十四尺為磬折扁方體積用帶縱
開立方法算之得六尺為一根之數卽
小方毎邊之數與共邊數十四尺相減
餘八尺卽大方每邊之數以六尺自乘
再乘得二百一十六尺為小方之體積
以八尺自乘再乘得五百一十二尺為
[041-28b]
大方之體積兩體積相減餘二百九十
六尺以合原數也此二正方體有邊/和積較求邊法
設如勾股積二百四十尺股弦較四尺問勾股弦各
幾何
法借一根為股數則弦為一根多四尺
以一根自乘得一平方為股自乘之數
以一根多四尺自乘得一平方多八根
多十六尺為弦自乘之數内減去股自
乘之一平方餘八根多十六尺為勾自
[041-28b]
乘之數凡勾自乘之數與勾股相乘之
[041-29a]
數及股自乘之數為相連比例三率乃
以首率勾自乘之八根多十六尺與末
率股自乘之一平方相乘得八立方多
十六平方又以勾股積二百四十尺倍
之得四百八十尺為中率自乘得二十
三萬零四百尺是為八立方多十六平
方與二十三萬零四百尺相等八立方
多十六平方旣與二十三萬零四百尺
[041-29b]
相等則一立方多二平方必與二萬八
千八百尺相等乃以二萬八千八百尺
為長方體積用帶縱開立方法算之得
三十尺為一根之數卽股數加股弦較
四尺得三十四尺卽弦數又以股三十
尺除倍積四百八十尺得十六尺卽勾
數也此有勾股積有股/弦較求勾股弦法
設如勾股積二百四十尺勾弦和五十尺問勾股弦
各幾何
[041-29b]
法借一根為勾數則弦為五十尺少一
[041-30a]
根以一根自乘得一平方為勾自乘之
數以五十尺少一根自乘得二千五百
尺少一百根多一平方為弦自乘之數
内減去勾自乘之一平方餘二千五百
尺少一百根為股自乘之數凡勾自乘
之數與勾股相乘之數及股自乘之數
為相連比例三率則以首率勾自乘之
一平方與末率股自乘之二千五百尺
[041-30b]
少一百根相乘得二千五百平方少一
百立方又以勾股積二百四十尺倍之
得四百八十尺為中率自乘得二十三
萬零四百尺是為二千五百平方少一
百立方與二十三萬零四百尺相等二
千五百平方少一百立方旣與二十三
萬零四百尺相等則一平方少二十五
分立方之一必與九十二尺一十六寸
相等乃以九十二尺一十六寸為扁方
[041-30b]
體積用帶縱開立方法算之得一十六
[041-31a]
尺為一根之數卽勾數與勾弦和五十
尺相減餘三十四尺卽弦數又以勾十
六尺除倍積四百八十尺得三十尺卽
股數也此有勾股積有勾/弦和求勾股弦法
設如有數十萬為一率作相連比例四率使一率與
四率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾
何
法借一根為二率以二率一根自乘得
[041-31b]
一平方以一率十萬除之得十萬分平
方之一為三率又以二率一根與三率
十萬分平方之一相乘得十萬分立方
之一以一率十萬除之得一百億分立
方之一為四率將四率俱以百億乘之
則一率為一千兆二率為一百億根三
率為一十萬平方四率為一立方因四/率為
百億分立方之一以百億乘之則得一/整立方故將餘三率俱以百億乘之其
比例始/相當也乃以一率與四率相加得一千
[041-31b]
兆多一立方又以二率三倍之得三百
[041-32a]
億根是為三百億根與一千兆多一立
方相等兩邊各減去一立方得三百億
根少一立方與一千兆相等乃以一千
兆為實以三百億根為法用割圜内新
增益實歸除法算之得三萬四千七百
二十九為一根之數卽相連比例之第
二率也以二率自乘一率除之得一萬
二千零六十一為相連比例之第三率
[041-32b]
又以二率與三率相乘一率除之得四
千一百八十七為相連比例之第四率
乃以一率與四率相加得一十萬零四
千一百八十七與二率之三倍相等也
此卽求圜内/容十八邊法
設如有數十萬為一率作相連比例四率使一率與
四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二
率三率四率各幾何
法借一根為二率以二率一根自乘得
[041-32b]
一平方以一率十萬除之得十萬分平
[041-33a]
方之一為三率以二率一根與三率十
萬分平方之一相乘得十萬分立方之
一以一率十萬除之得一百億分立方
之一為四率將四率俱以百億乘之則
一率為一千兆二率為一百億根三率
為一十萬平方四率為一立方乃以一
率與四率相加得一千兆多一立方又
以二率倍之得二百億根加一三率得
[041-33b]
二百億根多十萬平方是為二百億根
多十萬平方與一千兆多一立方相等
兩邊各減去一立方得二百億根多十
萬平方少一立方與一千兆相等乃以
一千兆為實以二百億根為法用割圜
内益實兼減實歸除法算之得四萬四
千五百零四為一根之數卽相連比例
之第二率也以二率自乘一率除之得
一萬九千八百零六為相連比例之第
[041-33b]
三率又以二率與三率相乘一率除之
[041-34a]
得八千八百一十四為相連比例之第
四率乃以一率與四率相加得一十萬
零八千八百一十四與二率兩倍加一
三率之數相等也此卽求圜内/容十四邊法
設如有大小二正方面大方毎邊為小方毎邊之二
倍若以兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺
問二方邊面積各幾何
法借一根為小方毎邊之數則大方毎
[041-34b]
邊數為二根以一根自乘得一平方為
小方之面積以二根自乘得四平方為
大方之面積以一平方與四平方相乘
得四三乘方為兩方面積相乘之數與
五萬八千五百六十四尺相等四三乘
方旣與五萬八千五百六十四尺相等
則一三乘方必與一萬四千六百四十
一尺相等乃以一萬四千六百四十一
尺為三乘方積用開三乘方法算之得
[041-34b]
十一尺為一根之數卽小方每邊之數
[041-35a]
倍之得二十二尺卽大方每邊之數以
十一尺自乘得一百二十一尺卽小方
之面積以二十二尺自乘得四百八十
四尺卽大方之面積兩面積相乘得五
萬八千五百六十四尺以合原數也此/開
三乘/方法
設如有解錢糧船不言數但知每船所載銀鞘之數
比船數加一倍每鞘内銀數與共鞘數等其共銀
[041-35b]
數為五百三十四萬五千三百四十四兩問船數
鞘數各若干
法借一根為船數則每船所載鞘數為
二根以一根與二根相乘得二平方為
共鞘數亦為每鞘内銀數自乘得四三
乘方與五百三十四萬五千三百四十
四兩相等四三乘方旣與五百三十四
萬五千三百四十四兩相等則一三乘
方必與一百三十三萬六千三百三十
[041-35b]
六兩相等乃以一百三十三萬六千三
[041-36a]
百三十六兩為三乘方積用開三乘方
法算之得三十四為一根之數卽船數
倍之得六十八卽每船之鞘數以船數
三十四與每船所載鞘數六十八相乘
得二千三百一十二為共鞘數亦卽每
鞘内之銀數自乘得五百三十四萬五
千三百四十四兩以合原數也此開三/乘方法
設如有一正方又有一長方二方面積共二十三萬
[041-36b]
六千一百九十六尺長方之長比正方面積多二
十四尺長方之闊比正方面積少二十尺問二方
邊面積各幾何
法借一根為正方每邊之數自乘得一
平方為正方之面積則長方之長為一
平方多二十四尺長方之闊為一平方
少二十尺長闊相乘得一三乘方多四
平方少四百八十尺為長方面積加正
方面積之一平方得一三乘方多五平
[041-36b]
方少四百八十尺為二方之共面積與
[041-37a]
二十三萬六千一百九十六尺相等兩
邊各加四百八十尺得一三乘方多五
平方與二十三萬六千六百七十六尺
相等乃以二十三萬六千六百七十六
尺為帶縱三乘方積用帶縱開三乘方
法算之得二十二為一根之數卽正方
每邊之數自乘得四百八十四尺為正
方面積加二十四尺得五百零八尺為
[041-37b]
長方之長減二十尺得四百六十四尺
為長方之闊長闊相乘得二十三萬五
千七百一十二尺為長方面積兩面積
相加得二十三萬六千一百九十六尺
以合原數也此帶縱開/三乘方法
設如有一長方其面積五百二十七丈又有大小二
正方其面積共一千二百五十丈大正方邊與長
方之長等小正方邊與長方之闊等問長方之長
闊各幾何
[041-37b]
法借一根為大方每邊之數自乘得一
[041-38a]
平方為大方之面積則小方之面積為
一千二百五十丈少一平方此大方面
積與長方面積及小方面積為相連比
例三率乃以首率大方面積一平方與
末率小方面積一千二百五十丈少一
平方相乘得一千二百五十平方少一
三乘方又以長方面積五百二十七丈
為中率自乘得二十七萬七千七百二
[041-38b]
十九丈此兩數為相等乃以二十七萬
七千七百二十九丈為帶縱三乘方積
用帶縱開三乘方法算之得三十一為
一根之數卽大方每邊之數亦卽長方
之長以長三十一丈除長方面積五百
二十七丈得十七丈卽長方之闊亦卽
小正方每邊之數乃以三十一丈自乗
得九百六十一丈為大方面積以十七
丈自乘得二百八十九丈為小方面積
[041-38b]
兩面積相加得一千二百五十丈以合
[041-39a]
原數也此帶縱開/三乘方法
設如有一方臺俱係正方石砌成其用石之塊數與
每一石之面積等其共石之體積為五十三萬七
千八百二十四寸問用石之塊數及每一石之邊
數若干
法借一根為每一石之邊數自乘得一
平方為每一石之面積亦卽所用石之
塊數再乘得一立方為每一石之體積
[041-39b]
與所用石之塊數一平方相乘得一四
乘方為共石之體積與五十三萬七千
八百二十四寸相等乃以五十三萬七
千八百二十四寸為四乘方積用開四
乘方法算之得一十四寸為一根之數
卽每一石之邊數自乘得一百九十六
寸為每一石之面積亦卽所用石之塊
數再乘得二千七百四十四寸為每一
石之體積與所用石之塊數相乘得五
[041-39b]
十三萬七千八百二十四寸以合原數
[041-40a]
也此開四/乘方法
設如有二十四正方體又有一扁方體共積八百二
十九萬四千四百寸扁方體之髙與正方體之邊
數等扁方體之長與闊俱與正方體之面積等問
正方體扁方體之邊數各若干
法借一根為正方體每邊之數亦卽扁
方體之髙數以一根自乘得一平方為
正方體之面積亦卽扁方體之長與闊
[041-40b]
再乘得一立方為正方體之積以二十
四乘之得二十四立方為二十四正方
體之共積又以扁方體之長闊一平方
自乘得一三乘方再以髙一根乘之得
一四乘方為扁方體之積兩積數相加
得一四乘方多二十四立方與共體積
八百二十九萬四千四百寸相等乃以
八百二十九萬四千四百寸為帶縱四
乘方積用帶縱開四乘方法算之得二
[041-40b]
十四寸為一根之數卽正方體之每邊
[041-41a]
亦卽扁方體之髙自乘得五百七十六
寸為正方體之面積亦卽扁方體之長
與闊再乘得一萬三千八百二十四寸
為一正方體之積以二十四乘之得三
十三萬一千七百七十六寸為二十四
正方體之共積又以扁方體之長闊五
百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘
之得七百九十六萬二千六百二十四
[041-41b]
寸為一扁方體積兩積相加得八百二
十九萬四千四百寸以合原數也此帶/縱開
四乘/方法
設如有商人貿易第一次之銀數比原本銀加一倍
第二次之銀數與第一次銀自乘再乘之數等第
三次之銀數與第一次銀自乘又乘第二次銀之
數等將第三次之銀數與第二次之銀數相加得
三萬三千二百八十兩問原本銀數及每次銀數
各若干
[041-41b]
法借一根為原本銀數則第一次之銀
[041-42a]
數為二根自乘再乘得八立方為第二
次之銀數以第一次自乘之四平方與
第二次之八立方相乘得三十二四乘
方為第三次之銀數與第二次之銀數
八立方相加得三十二四乘方多八立
方與三萬三千二百八十兩相等三十
二四乘方多八立方旣與三萬三千二
百八十兩相等則一四乘方多四分立
[041-42b]
方之一必與一千零四十兩相等乃以
一千零四十兩為帶縱四乘方積用帶
縱開四乘方法算之得四兩為一根之
數卽原本銀數也倍之得八兩為第一
次之銀數自乘再乘得五百一十二兩
為第二次之銀數又以第一次銀數八
兩自乘之六十四兩與第二次之銀數
五百一十二兩相乘得三萬二千七百
六十八兩為第三次之銀數與第二次
[041-42b]
之銀數相加得三萬三千二百八十兩
[041-43a]
以合原數也此帶縱開/四乘方法
設如有一小長方體闊為髙之二倍長為髙之三倍
又有一大長方體其每邊之比例與小長方體同
其髙數與小長方體長闊相乘之數等體積八萬
二千九百四十四尺問二長方體長闊髙各幾何
法借一根為小長方體之髙則闊為二
根長為三根長闊相乘得六平方為大
長方體之髙倍之得十二平方為大長
[041-43b]
方體之闊三因之得十八平方為大長
方體之長長闊相乘再以髙乘之得一
千二百九十六五乘方為大長方體積
與八萬二千九百四十四尺相等一千
二百九十六五乘方旣與八萬二千九
百四十四尺相等則一五乘方必與六
十四尺相等乃以六十四尺為五乘方
積用開五乘方法算之得二尺為一根
之數卽小長方體之髙倍之得四尺卽
[041-43b]
小長方體之闊三因之得六尺卽小長
[041-44a]
方體之長長闊相乘得二十四尺卽大
長方體之髙倍之得四十八尺卽大長
方體之闊三因之得七十二尺卽大長
方體之長長闊相乘再以髙乘之得八
萬二千九百四十四尺以合原數也此/開
五乘/方法
設如有大小二正方體大方體積比小方體積多一
千七百四十四寸以小方邊與大方邊相乘得一
[041-44b]
百四十寸問二正方體之邊數體積各幾何
法借一根為小方體每邊之數以一根
除一百四十寸得一根之一百四十寸
為大方體每邊之數以一根自乘再乘
得一立方為小方體積數以一根之一
百四十寸自乘再乘得一立方之二百
七十四萬四千寸為大方體積内減小
方體積一立方餘一立方之二百七十
四萬四千寸少一立方與一千七百四
[041-44b]
十四寸相等兩邊各以立方乘之得一
[041-45a]
千七百四十四立方與二百七十四萬
四千寸少一五乘方相等兩邊各加一
五乘方得一五乘方多一千七百四十
四立方與二百七十四萬四千寸相等
乃以二百七十四萬四千寸為帶縱五
乘方積用帶縱開五乘方法算之得十
寸為一根之數卽小方體每邊之數以
十寸除一百四十寸得一十四寸卽大
[041-45b]
方體每邊之數以小方體每邊十寸自
乘再乘得一千寸為小方體積以大方
體每邊十四寸自乘再乘得二千七百
四十四寸為大方體積兩體積相減餘
一千七百四十四寸以合原數也此帶/縱開
五乘/方法
設如有大小二正方體共積四千一百二十三寸以
小方邊與大方邊相乘得四十八寸問二正方體
之邊數體積各幾何
[041-45b]
法借一根為小方體每邊之數以一根
[041-46a]
除四十八寸得一根之四十八寸為大
方體每邊之數以一根自乘再乘得一
立方為小方體積以一根之四十八寸
自乘再乘得一立方之一十一萬零五
百九十二寸為大方體積兩體積相加
得一立方多一立方之一十一萬零五
百九十二寸與四千一百二十三寸相
等兩邊各以立方乘之得四千一百二
[041-46b]
十三立方與一五乘方多一十一萬零
五百九十二寸相等兩邊各減一五乘
方得四千一百二十三立方少一五乘
方與一十一萬零五百九十二寸相等
乃以一十一萬零五百九十二寸為帶
縱五乘方積用帶縱開五乘方法算之
得三寸為一根之數卽小方體每邊之
數以三寸除四十八寸得十六寸為大
方體每邊之數以小方體每邊三寸自
[041-46b]
乘再乘得二十七寸為小方體積數以
[041-47a]
大方體每邊十六寸自乘再乘得四千
零九十六寸為大方體積數兩體積相
加得四千一百二十三寸以合原數也
此帶縱開/五乘方法
設如有一長方體積二千一百八十七尺其髙數自
乘與闊等闊數自乘與長數等問髙闊長各若干
法借一根為髙自乘得一平方為闊以
闊自乘得一三乘方為長長闊相乘得
[041-47b]
一五乘方再以髙乘之得一六乘方為
長方體積與二千一百八十七尺相等
乃以二千一百八十七尺為六乘方積
用開六乘方法算之得三尺為一根之
數卽長方之髙自乘得九尺卽長方之
闊以闊自乘得八十一尺為長方之長
乃以長闊相乘再以髙乘之得二千一
百八十七尺以合原數也此開六/乘方法
設如甲丙正方花園二所園中各有正方水池一面
[041-47b]
甲池每邊為丙池每邊之三倍甲園每邊與甲池
[041-48a]
之面積等丙園每邊與丙池之面積等若以兩園
之面積相乘得五百三十萬八千四百一十六尺
問園池每邊各若干
法借一根為丙池每邊之數則甲池每
邊之數為三根以一根自乘得一平方
為丙池之面積卽丙園每邊之數自乘
得一三乘方為丙園之面積以三根自
乘得九平方為甲池之面積卽甲園每
[041-48b]
邊之數自乘得八十一三乘方為甲園
之面積兩園之面積相乘得八十一七
乘方與五百三十萬八千四百一十六
尺相等八十一七乘方旣與五百三十
萬八千四百一十六尺相等則一七乘
方必與六萬五千五百三十六尺相等
乃以六萬五千五百三十六尺為七乘
方積用開七乘方法算之得四尺為一
根之數卽丙池每邊之數三因之得十
[041-48b]
二尺卽甲池每邊之數以甲池每邊十
[041-49a]
二尺自乘得一百四十四尺為甲池之
面積卽甲園每邊之數以丙池每邊四
尺自乘得一十六尺為丙池之面積卽
丙園每邊之數以甲園每邊一百四十
四尺自乘得二萬零七百三十六尺卽
甲園之面積以丙園每邊十六尺自乘
得二百五十六尺卽丙園之面積乃以
兩園面積相乘得五百三十萬八千四
[041-49b]
百一十六尺以合原數也此開七/乘方法
設如有甲乙丙三長方體甲方之髙為闊二分之一
乙方之髙與闊為甲方之二倍丙方之髙與闊為
甲方之三倍俱不知長甲方體積與面積自乘之
數等乙方之體積與髙闊相併乘甲方面積之數
等丙方之體積與乙方體積自乘再乘之數等今
但知丙方體積八十八萬四千七百三十六丈問
三方髙闊長各若干
法借一根為甲方之髙則甲方之闊為
[041-49b]
二根乙方之髙亦為二根乙方之闊為
[041-50a]
四根丙方之髙為三根丙方之闊為六
根以甲方髙一根與闊二根相乘得二
平方卽甲方之面積自乘得四三乘方
卽甲方之體積乙方髙二根與闊四根
相併得六根與甲方面積二平方相乘
得十二立方卽乙方之體積自乘再乘
得一千七百二十八八乘方卽丙方之
體積與八十八萬四千七百三十六丈
[041-50b]
相等一千七百二十八八乘方旣與八
十八萬四千七百三十六丈相等則一
八乘方必與五百一十二丈相等乃以
五百一十二丈為八乘方積用開八乘
方法算之得二丈為一根之數卽甲方
之髙倍之得四丈卽甲方之闊髙闊相
乘得八丈卽甲方之面積自乘得六十
四丈卽甲方之體積又將甲方髙二丈
倍之得四丈卽乙方之髙將甲方闊四
[041-50b]
丈倍之得八丈卽乙方之闊髙闊相併
[041-51a]
得一十二丈與甲方面積八丈相乘得
九十六丈卽乙方之體積又以髙四丈
闊八丈相乘得三十二丈以除體積九
十六丈得三丈卽乙方之長又將甲方
髙二丈三因之得六丈卽丙方之髙將
甲方闊四丈三因之得一十二丈卽丙
方之闊以乙方體積九十六丈自乘再
乘得八十八萬四千七百三十六丈卽
[041-51b]
丙方之體積又髙六丈闊十二丈相乘
得七十二丈以除體積八十八萬四千
七百三十六丈得一萬二千二百八十
八丈卽丙方之長也此開八/乘方法
設如有客船不言數但云每船之人數與船數等每
人之本銀數與船數自乘再乘之數等其共銀自
乘之數為六千零四十六萬六千一百七十六兩
問船數人數各若干
法借一根為船數亦為每船之人數以
[041-51b]
一根自乘得一平方為共人數再乘得
[041-52a]
一立方為每人本銀數與一平方相乘
得一四乘方為共銀數以一四乘方自
乘得一九乘方為本銀自乘之數與六
千零四十六萬六千一百七十六兩相
等乃以六千零四十六萬六千一百七
十六為九乘方積用開九乘方法算之
得六為一根之數卽船數亦卽每船之
人數自乘得三十六為共人數再乘得
[041-52b]
二百一十六為每人之銀數以三十六
人乘之得七千七百七十六兩為共銀
數自乘得六千零四十六萬六千一百
七十六兩以合原數也此開九/乘方法
[041-52b]
御製數理精藴下編卷三十六
