[016-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精藴下編卷十一
面部一
平方
帶縱平方
[016-2a]
平方
平方者等邊四直角之面積也以形而言則為兩矩
所合以積而言則為自乗之數因其有廣無厚故曰
平方因其縱横相等故曰正方葢方積面也而其邊
則線也有線求面則相乗而得積有面求線則開方
而得邊開之之法略與歸除同但歸除有法有實而
開方則有實而無法故古人立為商除廉隅之制以
相求每積二位得邊之一位所謂一百一十定無疑
[016-2b]
一千三十有零餘九千九百不離十一萬方為一百
推是也其法先從一角而剖其冪以自一至九自乗
之數為方根與所有之積相審量其足減者而定之
是為初商初商減盡無餘則方邊止一位若有餘實
即初商方積外别成一磬折形其附初商之兩旁者
謂之廉兩廉之角所合一小方謂之隅廉有二故倍
初商為兩廉之共長是為廉法視餘積足廉法幾倍
即是次商隅即次商之自乗故次商為隅法合廉隅
而以次商乗之則得兩廉一隅之共積所謂初商方
[016-2b]
積外别成一磬折形者是也故次商為初商所得方
[016-3a]
邊之零如次商數與初商餘積相減尚有不盡之實
則又成一磬折形而仍為兩廉一隅但較前廉愈長
而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照初商之例逐層遞
析之實盡而止實不盡者必非自乗之正數遞析之
至於纎塵終有奇零若餘實不足廉隅法之數者則
方邊為空位此開方之定法也面形不一而容積皆
以方積為準故平方為算諸面之本諸面必通之方
積而後可施其法也
[016-3b]
設如正方面積三十六尺開方問每一邊數幾何
法列方積三十六尺自末位起算每方
積二位定方邊一位今積止有二位則
於六尺上作記定單位以自一至九自
乗之方根數與之相審知與六尺自乗
之數恰合乃以六尺書於方積六尺之
上而以六尺自乗之三十六尺書於方
積原數之下相減恰盡即得開方之數
為六尺也如圖甲乙丙丁正方形每邊
[016-3b]
皆六尺其中函一尺小正方三十六自
[016-4a]
邊計之為六尺自乗之積以積開之則
與六尺自乗方根之數相準故商除之
恰盡也葢方積為二位是以方邊止一
位方積即六尺自乗之數故無廉隅之
可用次商如有餘積則自成廉隅而用
次商矣
設如正方面積一丈四十四尺開方問每一邊數幾
何
[016-4b]
法列方積一丈四十四尺自末位起算
每方積二位定方邊一位故隔一位作
記即於四尺上定尺位一丈上定丈位
其一丈為初商積與一丈自乗之數相
合即定初商為一丈書於方積一丈之
上而以一丈自乗之正方一丈書於初
商積之下相減恰盡爰以方邊末位積
四十四尺續書於下大凢以餘積續書/於下者每取方積
之二位以當方/邊之一位也為次商廉隅之共積乃
[016-4b]
以初商之一丈作一十尺倍之得二十
[016-5a]
尺為廉法以除四十四尺足二尺即定
次商為二尺書於方積四尺之上而以
次商二尺為隅法與廉法二十尺相加
共得二十二尺為廉隅共法書於餘積
之左以次商二尺乗之得四十四尺與
次商廉隅共積相減恰盡是開得一丈
二尺為方面每一邊之數也如圖甲乙
丙丁正方形每邊皆一丈二尺其中函
[016-5b]
積一丈四十四尺是為共積其從一角
所分甲庚己戊正方形每邊一丈即初
商數其中函正方積一丈即初商自乗
數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為
兩廉其各長十尺即初商數其各闊二
尺即次商數廉有二故倍初商為廉法
其己壬丙辛一小正方為隅其邊二尺
亦即次商數故以次商為隅法合兩廉
一隅成一磬折形附於初商自乗方之
[016-5b]
兩邊而成一總正方形此廉隅之法所
[016-6a]
由生也
設如正方面積五百二十九尺開方問毎一邊數幾
何此題正方面積之三位皆以尺命位似與前題/分丈尺者不同然其取方積二位續書於下其
末位即命為單位立/算則與丈尺同也
法列方積五百二十九尺自末位起算
每方積二位定方邊一位故隔一位作
記乃於九尺上定單位五百尺上定十
位其五百尺為初商積以初商本位計
[016-6b]
之則五百尺為初商積之單位止與二
自乗之數相準即定初商為二書於方
積五百尺之上而以二自乗之四書於
初商積之下相減餘一百尺爰以方邊
第二位積二十九尺續書於下共一百
二十九尺為次商廉隅之共積乃以初
商之二作二十尺倍之得四十尺為廉
法以除一百二十九尺足三尺即定次
商為三尺書於方積九尺之上而以次
[016-6b]
商三尺為隅法與廉法四十尺相加共
[016-7a]
得四十三尺為廉隅共法書於餘積之
左以次商三尺乗之得一百二十九尺
與次商廉隅共積相減恰盡是開得二
十三尺為方面每一邊之數也如圖甲
乙丙丁正方形每邊皆二十三尺其中
函積五百二十九尺是為共積其從一
角所分甲庚己戊正方形每邊二十尺
即初商數其中函積四百尺即初商自
[016-7b]
乗數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方
為兩廉其各長二十尺即初商數其各
闊三尺即次商數其己壬丙辛一小正
方為隅其邊三尺亦即次商數合兩廉
一隅成一磬折形附於初商自乗方之
兩邊而成一總正方形也
設如正方面積五丈四十七尺五十六寸開方問每
一邊數幾何
法列方積五丈四十七尺五十六寸自
[016-7b]
末位起算每方積二位定方邊一位故
[016-8a]
隔一位作記即於六寸上定寸位七尺
上定尺位五丈上定丈位其五丈為初
商積與二丈自乗之數相準即定初商
為二丈書於方積五丈之上而以二丈
自乗之四丈書於初商積之下相減餘
一丈即一百尺爰以方邊第二位積四
十七尺續書於下共一百四十七尺為
次商廉隅之共積乃以初商之二丈作
[016-8b]
二十尺倍之得四十尺為廉法以除一
百四十七尺足三尺即定次商為三尺
書於方積七尺之上而以次商三尺為
隅法與廉法四十尺相加共得四十三
尺為廉隅共法書於餘積之左以次商
三尺乗之得一百二十九尺與次商廉
隅共積相減餘一十八尺即一千八百
寸復以方邊末位積五十六寸續書於
下共一千八百五十六寸為三商廉隅
[016-8b]
之共積乃以初商次商之二丈三尺作
[016-9a]
二百三十寸倍之得四百六十寸為廉
法以除一千八百五十六寸足四寸即
定三商為四寸書於方積六寸之上而
以三商四寸為隅法與廉法四百六十
寸相加共得四百六十四寸為廉隅共
法書於餘積之左以三商四寸乗之得
一千八百五十六寸與三商廉隅共積
相減恰盡是開得二丈三尺四寸為方
[016-9b]
面每一邊之數也
設如正方面積四十五萬九千六百八十四尺開方
問每一邊數幾何此題正方面積之六位皆以尺/命位似與前題分丈尺寸三色
者不同然其每取方積二位續書於下其/末位即命為單位立算仍與丈尺寸同也
法列方積四十五萬九千六百八十四
尺自末位起算每方積二位定方邊一
位故隔一位作記乃於四尺上定單位
六百尺上定十位五萬尺上定百位其
四十五萬尺為初商積以初商本位計
[016-9b]
之則五萬尺為初商積之單位而四十
[016-10a]
五萬尺為四十五與六自乗之數相準
即定初商為六書於方積五萬尺之上
而以六自乗之三十六書於初商積之
下相減餘九萬尺爰以方邊第二位積
九千六百尺續書於下共九萬九千六
百尺為次商廉隅之共積以次商本位
計之則六百尺為次商積之單位而九
萬九千六百尺為九百九十六而初商
[016-10b]
之六即為六十故以初商之六作六十
倍之得一百二十為廉法以除九百九
十六足七倍即定次商為七書於方積
六百尺之上而以次商七為隅法與廉
法一百二十相加共得一百二十七為
廉隅共法書於餘積之左以次商七乗
之得八百八十九與次商廉隅共積相
減餘一萬零七百尺復以方邊末位積
八十四尺續書於下共一萬零七百八
[016-10b]
十四尺為三商廉隅之共積以三商本
[016-11a]
位計之則積與邊皆仍為本位乃以初
商次商之六百七十倍之得一千三百
四十為廉法以除一萬零七百八十四
足八倍即定三商為八書於方積四尺
之上而以三商八為隅法與廉法一千
三百四十相加共得一千三百四十八
為廉隅共法書於餘積之左以三商八
乗之得一萬零七百八十四與三商廉
[016-11b]
隅共積相減恰盡是開得六百七十八
尺為方面每一邊之數也
設如正方面積三十五丈九十一尺六十寸四十九
分開方問每一邊數幾何
法列方積三十五丈九十一尺六十寸
四十九分自末位起算每隔一位作記
即於九分上定分位空寸上定寸位一
尺上定尺位五丈上定丈位其三十五
丈為初商積與五丈自乗之數相準即
[016-11b]
定初商為五丈書於方積五丈之上而
[016-12a]
以五丈自乗之二十五丈書於初商積
之下相減餘一十丈即一千尺爰以方
邊第二位積九十一尺續書於下共一
千零九十一尺為次商廉隅之共積乃
以初商五丈作五十尺倍之得一百尺
為廉法以除一千零九十一尺足九尺
即定次商為九尺書於方積一丈之上
而以次商九尺為隅法與廉法一百尺
[016-12b]
相加共得一百零九尺為廉隅共法書
於餘積之左以次商九尺乗之得九百
八十一尺與次商廉隅共積相減餘一
百一十尺即一萬一千寸復以方邊第
三位積六十寸續書於下共一萬一千
零六十寸為三商廉隅之共積乃以初
商次商之五丈九尺作五百九十寸倍
之得一千一百八十寸為亷法以除一
萬一千零六十寸足九寸即定三商為
[016-12b]
九寸書於方積空寸之上而以三商九
[016-13a]
寸為隅法與廉法一千一百八十寸相
加共得一千一百八十九寸為廉隅共
法書於餘積之左以三商九寸乗之得
一萬零七百零一寸與三商廉隅共積
相減餘三百五十九寸即三萬五千九
百分復以方邊末位積四十九分續書
於下共三萬五千九百四十九分為四
商廉隅之共積乃以初商次商三商之
[016-13b]
五丈九尺九寸作五千九百九十分倍
之得一萬一千九百八十分為廉法以
除三萬五千九百四十九分足三分即
定四商為三分書於方積九分之上而
以四商三分為隅法與廉法一萬一千
九百八十分相加共得一萬一千九百
八十三分為廉隅共法書於餘積之左
以四商三分乗之得三萬五千九百四
十九分與四商廉隅共積相減恰盡是
[016-13b]
開得五丈九尺九寸三分為方面每一
[016-14a]
邊之數也
設如正方面積五百八十五萬六千四百尺開方問
每一邊數幾何
法列方積五百八十五萬六千四百尺
補二空位以足其分自末空位起算毎
隔一位作記於空尺上定單位四百尺
上定十位五萬尺上定百位五百萬尺
上定千位其五百萬尺為初商積以初
[016-14b]
商本位計之則五百萬尺為初商積之
單位止與二自乗之數相準即定初商
為二書於方積五百萬尺之上而以二
自乗之四書於初商積之下相減餘一
百萬尺爰以方邊第二位積八十五萬
尺續書於下共一百八十五萬尺為次
商廉隅之共積以次商本位計之則五
萬尺為次商積之單位而一百八十五
萬尺為一百八十五而初商之二即為
[016-14b]
二十故以初商之二作二十倍之得四
[016-15a]
十為廉法以除一百八十五足四倍即
定次商為四書於方積五萬尺之上而
以次商四為隅法與廉法四十相加共
得四十四為㢘隅共法書於餘積之左
以次商四乗之得一百七十六與次商
廉隅共積相減餘九萬尺復以方邊第
三位積六千四百尺續書於下共九萬
六千四百尺為三商㢘隅之共積以三
[016-15b]
商本位計之則四百為三商積之單位
而九萬六千四百尺為九百六十四而
初商之二即為二百次商之四即為四
十故以初商次商之二四作二百四十
倍之得四百八十為廉法以除九百六
十四足二倍即定三商為二書於方積
四百尺之上而以三商二為隅法與㢘
法四百八十相加共得四百八十二為
廉隅共法書於餘積之左以三商二乗
[016-15b]
之得九百六十四與三商㢘隅共積相
[016-16a]
減恰盡是開得二千四百二十尺為方
面每一邊之數也此法方積之末有二
空位故所得方邊之末亦補一空位凢
設數未至單位者皆依此例補足位分
然後開之
設如正方面積八十二丈六十二尺八十一寸開方
問每一邊數幾何
法列方積八十二丈六十二尺八十一
[016-16b]
寸自末位起算每隔一位作記於一寸
上定寸位於二尺上定尺位於二丈上
定丈位其八十二丈為初商積與九丈
自乗之數相準即定初商為九丈書於
方積二丈之上而以九丈自乗之八十
一丈書於方積八十二丈之下相減餘
一丈即一百尺爰以方邊第二位積六
十二尺續書於下共一百六十二尺為
次商廉隅之共積乃以初商九丈作九
[016-16b]
十尺倍之得一百八十尺為㢘法以除
[016-17a]
一百六十二尺其數不足是次商為空
位也乃書一空於方積二尺之上以存
次商之位復以方邊末位積八十一寸
續書於下共一百六十二尺八十一寸
即一萬六千二百八十一寸為三商㢘
隅之共積仍以一百八十尺作一千八
百寸為㢘法以除一萬六千二百八十
一寸足九寸即定三商為九寸書於方
[016-17b]
積一寸之上而以三商九寸為隅法與
㢘法一千八百寸相加共得一千八百
零九寸為㢘隅共法書於餘積之左而
以三商九寸乗之得一萬六千二百八
十一寸與三商㢘隅共積相減恰盡是
開得九丈零九寸為方面每一邊之數
也此法方積無空位而商出之方邊有
空位凡㢘法除餘積而數不足者皆依
此例推之
[016-17b]
設如正方面積六千四百一十一萬二千零四十九
[016-18a]
尺開方問每一邊數幾何
法列方積六千四百一十一萬二千零
四十九尺自末位起算每隔一位作記
於九尺上定單位空百尺上定十位一
萬尺上定百位四百萬尺上定千位其
六千四百萬尺為初商積以初商本位
計之則四百萬為初商積之單位而六
千四百萬為六千四與八自乗之數相
[016-18b]
合即定初商為八書於方積四百萬尺
之上而以八自乗之六十四書於初商
積之下相減無餘爰以方邊第二位積
一十一萬尺續書於下為次商廉隅之
共積以次商本位計之則一萬尺為次
商積之單位而一十一萬尺為一十一
而初商之八即為八十故以初商之八
作八十倍之得一百六十為廉法以除
一十一其數不足是次商為空位乃書
[016-18b]
一空於方積一萬尺之上以存次商之
[016-19a]
位復以方邊第三位積二千尺續書於
下共一十一萬二千尺為三商廉隅之
共積以三商本位計之則空百尺為三
商積之單位而一十一萬二千尺為一
千一百二十尺而初商之八即為八百
次商之空即為空十故以初商次商之
八空作八百倍之得一千六百為廉法
以除一千一百二十其數仍不足是三
[016-19b]
商之為空位乃再書一空於方積空百
尺之上以存三商之位復以方邊末位
積四十九尺續書於下共一十一萬二
千零四十九尺為四商廉隅之共積以
四商本位計之則積與邊皆仍為本位
乃以初商次商三商之八千倍之得一
萬六千為廉法以除一十一萬二千零
四十九足七倍即定四商為七書於方
積九尺之上而以四商七為隅法與㢘
[016-19b]
法一萬六千相加共得一萬六千零七
[016-20a]
為㢘隅共法書於餘積之左而以四商
七乗之得一十一萬二千零四十九與
餘積相減恰盡是開得八千零七尺為
方面每一邊之數也此法方積中雖有
一空位而商出之方邊却有二空位凡
開方遇此類者皆依此例推之
設如有積一萬四千九百二十八尺開方問每一邊
數幾何
[016-20b]
法列積一萬四千九百二十八尺自末
位起算每隔一位作記於八尺上定單
位九百尺上定十位一萬尺上定百位
其一萬尺為初商積以初商本位計之
則一萬尺為初商積之單位止與一自
乗之數相合即定初商為一書於方積
一萬尺之上而以一自乗之一書於初
商積之下相減無餘爰以方邊第二位
積四千九百尺續書於下為次商㢘隅
[016-20b]
之共積以次商本位計之則九百尺為
[016-21a]
次商積之單位而四千九百尺為四十
九而初商之一即為一十故以初商之
一作一十倍之得二十為廉法以除四
十九足二倍即定次商為二書於方積
九百尺之上而以次商二為隅法與㢘
法二十相加共得二十二為㢘隅共法
書於餘積之左以次商二乗之得四十
四與次商廉隅共積相減餘五百尺復
[016-21b]
以方邊末位積二十八尺續書於下共
五百二十八尺為三商廉隅之共積以
三商本位計之則積與邊皆仍為本位
乃以初商次商之一百二十俱倍之得
二百四十為廉法以除五百二十八足
二倍即定三商為二書於方積八尺之
上而以三商二為隅法與廉法二百四
十相加共得二百四十二為㢘隅共法
書於餘積之左以三商二乗之得四百
[016-21b]
八十四與三商廉隅共積相減餘四十
[016-22a]
四尺不盡是開得一百二十二尺為方
面每一邊之數仍餘四十四尺不盡也
如欲以餘數再開則得方邊之寸數乃
増書兩空於總積之後復續書兩空於
四十四尺之後為幾十幾寸之位是則
四十四尺作四千四百寸為四商廉隅
之共積爰以初商次商三商之一百二
十二尺作一千二百二十寸倍之得二
[016-22b]
千四百四十寸為廉法以除四千四百
寸足一倍即定四商為一寸書於餘積
空寸之上而以四商一為隅法與廉法
二千四百四十寸相加共得二千四百
四十一寸為廉隅共法書於餘積之左
以四商一寸乗之仍得二千四百四十
一寸與餘積相減餘一千九百五十九
寸不盡如再以餘數開之則得方邊之
分數乃又續書兩空於後増空十空寸
[016-22b]
之後復續書兩空於五十九寸之後為
[016-23a]
幾十幾分之位是則一千九百五十九
寸作一十九萬五千九百分為五商廉
隅之共積爰以初商次商三商四商之
一百二十二尺一寸作一萬二千二百
一十分倍之得二萬四千四百二十分
為廉法以除一十九萬五千九百分足
八倍即定五商為八分書於餘積空分
之上而以五商八為隅法與㢘法二萬
[016-23b]
四千四百二十分相加共得二萬四千
四百二十八分為廉隅共法書於餘積
之左以五商八分乗之得一十九萬五
千四百二十四分與餘積相減仍餘四
百七十六分不盡是開得一百二十二
尺一寸八分為方面每一邊之數也此
法原積本非自乗所得之數雖遞析之
終不能盡凡開方遇此類者皆依此例
推之
[016-23b]
設如有一方臺上面共鋪方甎四千零九十六塊問
[016-24a]
每一邊得甎幾何
法列方甎四千零九十六塊為方積於
六塊上定單位空百塊上定十位其四
千塊為初商積以初商本位計之則空
百塊為初商積之單位而四千塊為四
十與六自乗之數相準即定初商為六
書於方積空百塊之上而以六自乗之
三十六書於初商積之下相減餘四百
[016-24b]
塊爰以餘積九十六塊續書於下共四
百九十六塊為次商廉隅之共積而以
初商六作六十倍之得一百二十為廉
法以除四百九十六足四倍即定次商
為四書於方積六塊之上而以次商四
為隅法與廉法一百二十相加共得一
百二十四為廉隅共法書於餘積之左
以次商四乗之得四百九十六與餘積
相減恰盡是開得六十四塊為方臺上
[016-24b]
面每一邊之甎數也
[016-25a]
設如有三百六十一人用船分載其每船所載人數
與共船數相等問共船幾何
法列三百六十一人為方積於一人上
定單位三百人上定十位其三百人為
初商積以初商本位計之則三百為初
商積之單位止與一自乗之數相準即
定初商為一書於方積三百之上而以
一自乗之一書於初商積之下相減餘
[016-25b]
二百爰以餘積六十一續書於下共二
百六十一為次商廉隅之共積而以初
商一作一十倍之得二十為廉法以除
二百六十一足九倍即定次商為九書
於方積一人之上而以次商九為隅法
與廉法二十相加共得二十九為㢘隅
共法書於餘積之左以次商九乗之得
二百六十一與餘積相減恰盡是開得
十九為共船數而每船載十九人也
[016-25b]
設如有銀七百八十四兩散給夫匠其每人所得銀
[016-26a]
數與其人數相等問共人數幾何
法列七百八十四兩為方積於四兩上
定單位七百兩上定十位其七百兩為
初商積以初商本位計之則七百為初
商積之單位止與二自乗之數相準即
定初商為二書於方積七百之上而以
二自乗之四書於初商積之下相減餘
三百爰以餘積八十四續書於下共三
[016-26b]
百八十四為次商廉隅之共積而以初
商二作二十倍之得四十為廉法以除
三百八十四足八倍即定次商為八書
於方積四兩之上而以次商八為隅法
與㢘法四十相加共得四十八為㢘隅
共法書於餘積之左以次商八乗之得
三百八十四與餘積相減恰盡是開得
二十八為共人數而每人得銀二十八
兩也
[016-26b]
設如用船運粮六千五百六十一石欲取一船别用
[016-27a]
將此船米分載各船每船領去一石其本船尚餘
一石問共船幾何
法列米六千五百六十一石為方積於
一石上定單位五百石上定十位其六
千五百石為初商積以初商本位計之
則五百石為初商積之單位而六千五
百為六十五與八自乗之數相準即定
初商為八書於方積五百之上而以八
[016-27b]
自乗之六十四書於初商積之下相減
餘一百爰以餘積六十一續書於下共
一百六十一為次商廉隅之共積而以
初商八作八十倍之得一百六十為廉
法以除一百六十一足一倍即定次商
為一書於方積一石之上而以次商一
為隅法與廉法一百六十相加共得一
百六十一為廉隅共法書於餘積之左
以次商一乗之仍得一百六十一與餘
[016-27b]
積相減恰盡是開得八十一為共船數
[016-28a]
而每船載米八十一石也此法葢因一
船所載之米分與各船毎船各領一石
即共去八十石故本船尚餘一石也
設如有錢一萬五千六百二十五文買瓜每瓜一個
與脚錢一文因無現錢將一瓜準作脚錢問瓜數
幾何
法列錢一萬五千六百二十五為方積
於五文上定單位六百上定十位一萬
[016-28b]
上定百位其一萬為初商積以初商本
位計之則一萬為初商積之單位止與
一自乗之數相合即定初商為一書於
方積一萬之上而以一自乗之一書於
初商積之下相減無餘爰以第二位積
五千六百續書於下為次商㢘隅之共
積以次商本位計之則六百為次商積
之單位而五千六百為五十六而初商
之一即為一十故以初商之一作一十
[016-28b]
倍之得二十為廉法以除五十六足二
[016-29a]
倍即定次商為二書於方積六百之上
而以次商二為隅法與㢘法二十相加
共得二十二為㢘隅共法書於餘積之
左以次商二乗之得四十四與次商廉
隅共積相減餘一千二百復以末位積
二十五續書於下共一千二百二十五
為三商廉隅之共積以三商本位計之
則積與邊皆仍為本位乃以初商次商
[016-29b]
之一百二十俱倍之得二百四十為㢘
法以除一千二百二十五足五倍即定
三商為五書於方積五文之上而以三
商五為隅法與㢘法二百四十相加共
得二百四十五為㢘隅共法書於餘積
之左以三商五乗之得一千二百二十
五與餘積相減恰盡是開得一百二十
五為共瓜之數亦即每瓜之價也此法
因每瓜應給脚錢一文今以一瓜準之
[016-29b]
即知一瓜之價與瓜之共數相等故以
[016-30a]
開方法算之而得也
[016-31a]
帶縱平方
帶縱平方者兩等邊直角長方面積也有積數因長
比闊之較或長與闊之和而得邊故曰帶縱葢正方
之縱横皆同故止有積即可得其邊若長方則縱横
不等知其積又必知其縱横相差之較或縱横相併
之和始能得其邊故以長闊之較為問者則皆較為
帶縱加所開之數商除之而得闊或四因積數加較
自乗平方開之即長闊之和和加較半之而得長和
[016-31b]
減較半之而得闊或半較自乗加原積而開平方即
得半和加半較而得長減半較而得闊如以長闊之
和為問者則用和為帶縱減去所開之數商除之而
得闊或四因積數減和自乗平方開之即長闊之較
較減和半之而得闊較加和半之而得長或半和自
乗減原積而開平方即得半較加半和而得長減半
和而得闊夫用半較半和之法與四因積數之法同
出一理葢四因積數加全較自乗故開方而得全和
半較自乗加原積故開方而得半和四因積數減全
[016-31b]
和自乗故開方而得全較半和自乗減原積故開方
[016-32a]
而得半較此即面與線之比例面加四倍而邊加一
倍邊得其半而積為四分之一也法雖不一要之皆
使歸於正方以求其和較是則雖曰帶縱仍不外乎
平方之理也
設如有長方面積八尺縱多二尺問長闊各幾何
法列積如開平方法商之積八尺止可
商二尺乃以二尺書於原積八尺之上
而以所商二尺加縱多二尺得四尺以
[016-32b]
所商二尺乗之得八尺書於原積之下
相減恰盡即知長方之闊得二尺加入
縱多二尺得四尺即為長方之長也如
圖甲乙丙丁長方形容積八尺其甲乙
邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲乙長比
甲丁闊所多戊乙即縱多之數初商所
得二尺即甲戊己丁正方之每一邊葢
因此法長闊兩邊俱止一位而積亦止
一位故初商所得即為一邊而加入縱
[016-32b]
多即又一邊是以兩邊相乗而與原積
[016-33a]
相等也
又法以積八尺用四因之得三十二尺
而以縱多二尺自乗得四尺加八四因
之數得三十六尺開方得六尺即為長
闊相和之數乃以縱多二尺與長闊之
和六尺相加得八尺折半得四尺即長
方之長減縱多二尺得二尺即長方之
闊也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺
[016-33b]
四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸
己子丁丑壬四長方形廻環相湊成一
空心正方式再加入縱多二尺自乗之
丑丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛
子之一大正方形其甲戊類每一邊即
長闊之和故開方得長闊之和既得和
加縱多是為倍長故折半而得長減縱
多則為倍闊故折半而得闊或得長而
減縱多亦得闊也
[016-33b]
又法先將縱多二尺折半得一尺為半
[016-34a]
較自乗仍得一尺與原積八尺相加得
九尺平方開之得三尺為半和於半和
減半較得二尺為闊於半和加半較得
四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙
為長甲丁為闊戊乙為縱多之較將較
折半於庚而移庚乙丙辛置於丁己癸
壬再加己辛子癸半較自乗之方則成
甲庚子壬一正方形故開方而得甲庚
[016-34b]
甲壬之邊皆為半和也於甲壬之半和
減丁壬之半較得甲丁之闊於甲庚之
半和加庚乙之半較得甲乙之長也又
圖甲乙丙丁長方形容積八尺將甲丁
邊引長作丁辛與丁丙等則甲辛為長
闊之和又如甲乙邊截甲丁於庚則庚
丁為長闊之較甲辛和折半於己而庚
丁較亦折半於己故以己為心甲為界
作一半圜而引丙丁邊至戊界作一戊
[016-34b]
丁直線戊巳輻線則甲巳戊己巳辛皆
[016-35a]
為半和而庚己己丁皆為半較且甲丁
戊丁丁辛又為連比例之三線矣其戊
丁中率自乗之方與甲丁首率丁辛末
率相乗之長方等見幾何原本/九卷第三節則是戊
丁自乗之方與原設甲乙丙丁長方之
積等也又戊丁巳為勾股形其戊丁邊
自乗之方與己丁邊自乗之方相併而
與戊巳自乗之方等見幾何原本/九卷第四節故與
[016-35b]
原設甲乙丙丁長方積等之戊丁自乗
之方加以己丁半較自乗之數開方而
得戊巳為半和於戊巳相等之己辛半
和減己丁半較而得丁辛與丁丙等之
闊又與戊巳相等之甲巳半和加己丁
半較而得甲丁之長也
設如有長方面積一千二百五十四尺縱多五尺問
長闊各幾何
法列積如開平方法商之其一千二百
[016-35b]
為初商積可商三十尺乃以三十尺書
[016-36a]
於原積二十尺之上而以初商三十尺
加縱多五尺得三十五尺以初商三十
尺乗之得一千零五十尺書於原積之
下相減餘二百零四尺為次商廉隅之
共積乃以初商三十尺倍之得六十尺
加縱多五尺得六十五尺為廉法以除
二百零四尺足三尺則以三尺書於原
積四尺之上而以廉法六十五尺加隅
[016-36b]
法三尺得六十八尺為廉隅共法以次
商三尺乗之得二百零四尺書於餘積
之下與餘積相減恰盡即知長方之闊
得三十三尺加縱多五尺得三十八尺
即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方
形容積一千二百五十四尺其甲乙邊
長三十八尺甲丁邊闊三十三尺其甲
乙長比甲丁闊所多之甲辛即縱多之
數其甲戊己庚長方形容積一千零五
[016-36b]
十尺即初商所減之積其辛壬與辛戊
[016-37a]
俱三十尺即初商數其甲戊三十五尺
即初商加縱多之數其戊乙丑己壬己
子癸兩長方為兩方廉庚壬癸丁小長
方為縱廉方廉有二縱廉止一故倍初
商加縱多數為廉法其己丑丙子為隅
其長闊皆與次商等故以次商為隅法
合兩方廉一縱廉一小隅成一磬折形
環附初商長方之兩傍成一大長方與
[016-37b]
平方之理無異若次商仍減積不盡則
又為兩方廉一縱廉一小隅復成一磬
折形得三商四商以至多商皆依此法
遞析開之
又法以積一千二百五十四尺用四因
之得五千零一十六尺而以縱多五尺
自乗得二十五尺加入四因之數得五
千零四十一尺開方得七十一尺即為
長闊相和之數乃以縱多五尺與長闊
[016-37b]
之和七十一尺相加得七十六尺折半
[016-38a]
得三十八尺即長方之長減縱多五尺
即長方之闊也
又法先將縱多五尺折半得二尺五寸
為半較自乗得六尺二十五寸與原積
一千二百五十四尺相加得一千二百
六十尺二十五寸開方得三十五尺五
寸為半和於半和減半較得三十三尺
為闊於半和加半較得三十八尺為長
[016-38b]
也
設如有長方面積一十八萬一千四百六十丈縱多
八丈問長闊各幾何
法列積如開平方法商之其一十八萬
丈為初商積可商四百丈乃以四百丈
書於原積八萬丈之上而以初商四百
丈加縱多八丈得四百零八丈以初商
四百丈乗之得一十六萬三千二百丈
書於原積之下相減餘一萬八千二百
[016-38b]
六十丈為次商廉隅之共積乃以初商
[016-39a]
四百丈倍之得八百丈加縱多八丈得
八百零八丈為㢘法以除一萬八千二
百六十丈足二十丈則以二十丈書於
原積四百丈之上而以廉法八百零八
丈加隅法二十丈得八百二十八丈為
廉隅共法以次商二十丈乗之得一萬
六千五百六十丈書於餘積之下與餘
積相減餘一千七百丈為三商廉隅之
[016-39b]
共積乃以初商次商之二百四十丈俱
倍之得八百四十丈加縱多八丈得八
百四十八丈為廉法以除一千七百丈
足二丈則以二丈書於原積空丈之上
而以廉法八百四十八丈加隅法二丈
得八百五十丈為廉隅共法以三商二
丈乗之得一千七百丈書於餘積之下
與餘積相減恰盡即知長方之闊得四
百二十二丈加縱多八丈得四百三十
[016-39b]
丈即為長方之長也
[016-40a]
又法以縱多八丈折半得四丈為半較
自乗得十六丈與原積一十八萬一千
四百六十丈相加得一十八萬一千四
百七十六丈開方得四百二十六丈為
半和於半和減半較得四百二十二丈
為闊於半和加半較得四百三十丈為
長也
設如有長方面積四萬五千二百九十六尺縱多一
[016-40b]
百四十六尺問長闊各幾何
法列積如開平方法商之其四萬尺為
初商積可商二百尺加縱多一百四十
六尺得三百四十六尺以所商二百尺
乗之得六萬九千二百尺大於原積是
初商不可商二百尺也乃改商一百尺
書於原積四萬尺之上而以所商一百
尺加縱多一百四十六尺得二百四十
六尺以初商一百尺乗之得二萬四千
[016-40b]
六百尺書於原積之下相減餘二萬零
[016-41a]
六百九十六尺為次商廉隅之共積乃
以初商一百尺倍之得二百尺加縱多
一百四十六尺得三百四十六尺為廉
法以除二萬零六百九十六尺足五十
尺則以五十尺書於原積二百尺之上
而以廉法三百四十六尺加隅法五十
尺得三百九十六尺為廉隅共法以次
商五十尺乗之得一萬九千八百尺書
[016-41b]
於餘積之下與餘積相減餘八百九十
六尺為三商廉隅之共積乃以初商次
商之一百五十尺倍之得三百尺加縱
多一百四十六尺得四百四十六尺為
廉法以除八百九十六尺足二尺則以
二尺書於原積六尺之上而以廉法四
百四十六尺加隅法二尺得四百四十
八尺為廉隅共法以三商二尺乗之得
八百九十六尺書於餘積之下與餘積
[016-41b]
相減恰盡即知長方之闊得一百五十
[016-42a]
二尺加縱多一百四十六尺得二百九
十八尺即為長方之長也此法原積初
商應得二百尺因加縱多相乗得數大
於原積故改商一百尺始合凡開帶縱
方遇此類者皆依此例推之
又法加縱多一百四十六尺折半得七
十三尺為半較自乗得五千三百二十
九尺與原積四萬五千二百九十六尺
[016-42b]
相加得五萬零六百二十五尺開方得
二百二十五尺為半和於半和減半較
得一百五十二尺為闊於半和加半較
得二百九十八尺為長也
設如有長方面積一萬六千一百二十八尺縱多七
十二尺問長闊各幾何
法列積如開平方法商之其一萬為初
商積可商一百尺加縱多七十二尺得
一百七十二尺以初商一百尺乗之得
[016-42b]
一萬七千二百尺大於原積是初商不
[016-43a]
可商一百尺也乃改商九十尺書於原
積一百尺之上而以所商九十尺加縱
多七十二尺得一百六十二尺以所商
九十尺乗之得一萬四千五百八十尺
書於原積之下相減餘一千五百四十
八尺為次商廉隅之共積乃以初商九
十尺倍之得一百八十尺加縱多七十
二尺得二百五十二尺為廉法以除一
[016-43b]
千五百四十八尺足六尺則以六尺書
於原積八尺之上而以廉法二百五十
二尺加隅法六尺得二百五十八尺為
廉隅共法以次商六尺乗之得一千五
百四十八尺書於餘積之下與餘積相
減恰盡即知長方之闊為九十六尺加
縱多七十二尺得一百六十八尺即長
方之長也此法原積初商應得一百尺
因加縱多相乗得數大於原積故改商
[016-43b]
九十尺而原積一萬尺之上應開百位
[016-44a]
者空其位而不計也或縱多太大過於
初商所得之數則用四因積數之法或
用縱多折半之法設例在後
設如有長方面積三萬四千五百六十九尺縱多三
千八百三十二尺問長闊各幾何
法列積如開平方法商之其三萬尺為
初商積應商一百尺而縱多數為三千
轉大如初商數凡遇此類則用四因積
[016-44b]
數加較自乗開方法之或用半較自乗
加於原積開方之法為明白簡易也故
以縱多三千八百三十二尺折半得一
千九百一十六尺為半較自乗得三百
六十七萬一千零五十六尺與原積三
萬四千五百六十九尺相加得三百七
十萬五千六百二十五尺開方得一千
九百二十五尺為半和於半和減半較
得九尺為闊於半和加半較得三千八
[016-44b]
百四十一尺為長也
[016-45a]
設如有月臺一座共用方甎一千九百二十塊其長
比闊多八塊問長闊兩面各用甎幾何
法以長比闊多八塊折半得四塊為半
較自乗得十六塊與積數一千九百二
十塊相加得一千九百三十六塊開方
得四十四塊為半和於半和四十四塊
減半較得四十塊為闊面甎數於半和
加半較得四十八塊為長面甎數也
[016-45b]
設如有銀三百六十兩賞人其人數比每人所得銀
數為五分之二問人數及每人所得銀數各幾何
法先用比例分其總銀數以五分為一
率二分為二率三百六十兩為三率得
四率一百四十四兩開方得十二為人
數以人數除共銀數三百六十兩得三
十兩為每人所得之銀數也此法以人
數為闊其每人所得銀數為長成一長
方形人數既居銀數之五分之二是闊
[016-45b]
為二分長為五分也今將其共銀分作
[016-46a]
五分而取其二分即人數與所得銀數
相等而成正方形矣故開方而得人數
也
設如有長方面積八尺長闊相和六尺問長闊各幾
何
法列積如開平方法商之積八尺止可
商二尺乃以二尺書於原積八尺之上
而以所商二尺與和數六尺相減餘四
[016-46b]
尺以所商二尺乗之得八尺書於原積
之下相減恰盡即知長方之闊得二尺
與和六尺相減得四尺即為長方之長
也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺其
甲乙邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲丁
與甲乙相併得六尺即長闊之和初商
所得二尺即甲戊己丁正方之每一邊
葢兩邊俱止一位故以初商所得為一
邊於長闊和内減去初商所餘即又一
[016-46b]
邊是以兩邊相乗而與原積相等也此
[016-47a]
法比較數為問者在加減之異其以較
數為問者以所商之數與較數相加此
以和數為問者則以所商之數與和數
相減也
又法以積八尺用四因之得三十二尺
而以和數六尺自乗得三十六尺減去
四因之數餘四尺開方得二尺即為長
闊相較之數乃以較數二尺與和數六
[016-47b]
尺相加得八尺折半得四尺即長方之
長減較二尺得二尺即長方之闊也如
圖甲乙丙丁長方形容積八尺四因之
得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁
丑壬四長方形廻環相湊成一空心正
方式較之和數六尺自乗之甲戊辛子
正方形所少者止正中之一小正方形
故相減即餘丑丙庚癸之一小正方形
其丑丙類每一邊即長闊之較故開方
[016-47b]
得長闊之較既得較加於和數是為倍
[016-48a]
長故折半而得長長減較而得闊也此
法比較數為問者亦在加減之異其以
較為問者用較自乗與四因數相加開
方而得和此以和為問者用和自乗與
四因數相減開方而得較也
又法先將和數六尺折半得三尺為半
和自乗得九尺與原積八尺相減得一
尺平方開之仍得一尺為半較於半和
[016-48b]
減半較得二尺為闊於半和加半較得
四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙
為闊甲丁為長甲壬為長闊和丁壬與/丁丙闊
等/折半為甲庚半和將甲乙丙丁長方
内之庚辛丙丁移於乙丑癸己則成甲
丑癸己辛庚一磬折形與甲庚半和自
乗之甲丑子庚正方形相減餘己癸子
辛一小正方形即半較自乗之方故開
方而得半較也故甲丑之半和減乙丑
[016-48b]
之半較得甲乙之闊於甲庚之半和加
[016-49a]
庚丁之半較得甲丁之長也又圖甲乙
丙丁長方形容積八尺甲壬為長闊之
和甲庚己庚庚壬皆半和甲丁長減等
甲乙闊之甲戊餘戊丁為長闊之較其
庚丁則為半較而甲丁己丁丁壬又為
連比例之三線故己丁中率自乗之方
與甲丁首率丁壬末率相乗之長方等
見幾何原本/九卷第三節則是己丁自乗之方與原
[016-49b]
設甲乙丙丁長方之積等也又己庚丁
為勾股形其己丁邊自乗之方與丁庚
邊自乗之方相併而與己庚自乗之方
等見幾何原本/九卷第四節故於己庚半和自乗方
内減去與原設甲乙丙丁長方積相等
之己丁自乗之數開方而得庚丁為半
較於己庚相等之庚壬半和内減庚丁
半較而得丁壬與丁丙等之闊又於己
庚相等之甲庚半和加庚丁半較而得
[016-49b]
甲丁之長也
[016-50a]
設如有長方面積八百六十四尺長闊相和六十尺
問長闊各幾何
法列積如開平方法商之其八百尺為
初商積可商二十尺乃以二十尺書於
原積八百尺之上而以初商二十尺與
和數六十尺相減得四十尺以初商二
十尺乗之得八百尺書於原積之下相
減餘六十四尺為次商廉隅之共積乃
[016-50b]
以初商二十尺倍之得四十尺與和數
六十尺相減餘二十尺為廉法以除六
十四尺足三尺因廉法内尚要減去商
數為法故取大數為四尺則以四尺書
於原積四尺之上而以廉法二十尺與
次商四尺相減得十六尺以次商四尺
乗之得六十四尺書於餘積之下與餘
積相減恰盡即知長方之闊得二十四
尺與和六十尺相減餘三十六尺即為
[016-50b]
長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容
[016-51a]
積八百六十四尺其甲乙邊闊二十四
尺甲丁邊長三十六尺甲戊為長闊和
六十尺其丁戊與甲乙等甲子二十尺
為初商數與辛戊等甲辛四十尺則和
内減去初商之數兩數相乗成甲子己
辛長方形即初商所減之積也丁戊既
與甲乙等辛戊又與甲子等則丁辛與
子乙等丁庚己辛小長方積與庚丑壬
[016-51b]
丙長方積等是則次商廉隅之共積即
子乙壬丑之積也次於甲戊和内減倍
初商數四十尺如寅戊餘甲寅二十尺
與子癸等為廉法子乙者為次商數也
子乙與丑癸等則於子癸廉法内減丑
癸餘子丑與次商子乙相乗得子乙壬
丑小長方即次商所減之積故減原積
恰盡也以初商甲子二十尺合次商子
乙四尺得甲乙二十四尺為闊於甲戊
[016-51b]
長闊和六十尺内減與甲乙相等之丁
[016-52a]
戊闊二十四尺得甲丁三十六尺為長
也三商以後皆倣此遞析開之
又法以積八百六十四尺用四因之得
三千四百五十六尺而以和六十尺自
乗得三千六百尺減去四因之數餘一
百四十四尺開方得一十二尺即為長
闊之較乃以較十二尺與和六十尺相
加得七十二尺折半得三十六尺即長
[016-52b]
方之長減較十二尺得二十四尺即長
方之闊也
又法先將和數六十尺折半得三十尺
為半和自乗得九百尺與原積八百六
十四尺相減得三十六尺開方得六尺
為半較於半和減半較得二十四尺為
闊於半和加半較得三十六尺為長也
設如有長方面積一萬九千三百一十二尺長闊相
和二百七十八尺問長闊各幾何
[016-52b]
法列積如開平方法商之其一萬尺為
[016-53a]
初商積可商一百尺乃以一百尺書於
原積一萬尺之上而以初商一百尺與
和數二百七十八尺相減得一百七十
八尺以初商一百尺乗之得一萬七千
八百尺書於原積之下相減餘一千五
百一十二尺為次商廉隅之共積乃以
初商一百尺倍之得二百尺與和數相
減得七十八尺為廉法以除一千五百
[016-53b]
一十二尺止足一十尺因廉法内尚要
減去商數為法故取大數為三十尺則
以三十尺書於原積三百尺之上而以
廉法七十八尺與次商三十尺相減得
四十八尺以次商三十尺乗之得一千
四百四十尺書與餘積之下與餘積相
減餘七十二尺為三商廉隅之共積乃
以初商次商之一百三十尺倍之得二
百六十尺與和數二百七十八尺相減
[016-53b]
餘十八尺為廉法以除七十二尺止足
[016-54a]
四尺亦因取大於足除之數故定為六
尺則以六尺書於原積二尺之上而以
廉法十八尺與三商六尺相減得十二
尺以三商六尺乗之得七十二尺書於
餘積之下與餘積相減恰盡即知長方
之闊得一百三十六尺與和二百七十
八尺相減餘一百四十二尺即為長方
之長也此法次商三商皆取大於足除
[016-54b]
之數反覆商除始能相符不若四因積
數減和自乗開方之法或半和自乗減
原積開方之法為整齊也法以一萬九
千三百一十二尺用四因之得七萬七
千二百四十八尺而以和二百七十八
尺自乗得七萬七千二百八十四尺減
去四因之數餘三十六尺開方得六尺
即為長闊之較乃以較六尺與和二百
七十八尺相加得二百八十四尺折半
[016-54b]
得一百四十二尺即長方之長減較六
[016-55a]
尺得一百三十六尺即長方之闊也
設如有長方面積六萬九千三百六十尺長闊相和
七百八十二尺問長闊各幾何
法列積如開平方法商之其六萬為初
商積可除二百尺而以二百尺與和數
七百八十二尺相減得五百八十二尺
以初商二百尺乗之得十一萬六千四
百尺大於積數乃改商一百尺書於原
[016-55b]
積六萬尺之上而以所商一百尺與和
數七百八十二尺相減得六百八十二
尺以初商一百尺乗之得六萬八千二
百尺書於原積之下相減餘一千一百
六十尺為次商廉隅之共積乃以初商
一百尺倍之得二百尺與和數七百八
十二尺相減得五百八十二尺為廉法
以除一千一百六十尺止足二尺爰書
空位於原積三百尺之上而以二尺書
[016-55b]
於原積空尺之上而以廉法五百八十
[016-56a]
二尺與三商二尺相減得五百八十尺
以三商二尺乗之得一千一百六十尺
書於原積之下與餘積相減恰盡即知
長方之闊得一百零二尺與和七百八
十二尺相減餘六百八十尺即為長方
之長也此法初商應商二百尺因減縱
相乗得數轉大於原積故改商一百尺
凡遇此類不若用四因積數之法與半
[016-56b]
和自乗之法算之法以和數七百八十
二尺折半得三百九十一尺自乗得一
十五萬二千八百八十一尺與原積六
萬九千三百六十尺相減餘八萬三千
五百二十一尺開方得二百八十九尺
為半較於半和減半較得一百零二尺
為闊於半和加半較得六百八十尺為
長也
設如有錢四千七百六十文買果樹不知數但知樹
[016-56b]
之共數與每株之價相加得一百七十四問樹數
[016-57a]
及價各幾何
法以共數一百七十四折半得八十七
為半和自乗得七千五百六十九與共
錢四千七百六十文相減餘二千八百
零九開方得五十三為半較於半和減
半較餘三十四為樹數於半和加半較
得一百四十為樹價也此法以樹數為
闊樹價為長成一長方形其樹數與樹
[016-57b]
價相加即如長闊之和故以半和自乗
減積開方得半較既得半較以減半和
為樹數加半和為樹價也
設如有法書一卷共一千一百五十九字其行數與
每行字數相加共八十問行數及字數各幾何
法以和數八十折半得四十為半和自
乗得一千六百與共字一千一百五十
九相減餘四百四十一開方得二十一
為半較於半和加半較得六十一為行
[016-57b]
數於半和減半較餘十九為每行字數
[016-58a]
也
設如有五百八十八人用船均載其船數與每船所
載人數相加比船數多四分之三問船數與每船
所載人數各幾何
法先用比例分其積以三分為一率一
分為二率五百八十八人為三率得四
率一百九十六人用開平方法開之得
十四為船數以三因之得四十二為每
[016-58b]
船所載之人數也此以船數為闊每船
所載人數為長成一長方形船數與人
數相加即如長闊之和和數既比船數
多四分之三則是和數為四分每船所
載人數為三分船數為一分即闊為一
分長為三分也故將共人數三分之而
取其一則人數與船數同為一分而成
正方形矣故平方開之即得船數每船
所載人數既為船數之三倍故三因之
[016-58b]
為所載人數也
[016-59a]
[016-59b]
御製數理精藴下編卷十一
