[033-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷二十八
體部六
球内容各等面體
球外切各等面體
[033-2a]
球内容各等面體
設如圓球徑一尺二寸求内容四面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸三歸二因得八
寸為圓球内容四面體自尖至每面中
心之立垂線自乘得六十四寸二歸三
因得九十六寸開平方得九寸七分九
釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内
[033-2b]
容四面體之每一邊也乃以四面體之
每一邊用等邊三角形求面積法求得
每一面積四十一寸五十六分九十二
釐一十九豪有餘與自尖至每面中心
之立垂線八寸相乘得三百三十二寸
五百五十三分七百五十釐有餘三歸
之得一百一十寸八百五十一分二百
五十釐有餘即圓球内容四面體之積
也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲
[033-2b]
丙丁戊四面體甲己與丙庚俱為自尖
[033-3a]
至每面中心之立垂線相交於辛為四
面體之中心亦即圓球之中心甲辛與
丙辛俱為圓球半徑甲己壬勾股形與
甲庚辛勾股形為同式形甲己壬勾股/形以甲己自
尖至底中心立垂線為股己壬一面中/垂線之三分之一為勾甲壬一面中垂
線為弦甲庚辛勾股形以甲庚一面中/垂線之三分之二為股庚辛四面體中
心至每面中心之垂線為勾甲辛四面/體自尖至中心立垂線為弦故兩勾股
形同用一甲角而己角庚角同為直角/其壬角與辛角亦必相等所以為同式
[033-3b]
形/也己壬為丙壬一面中垂線之三分之
一亦為甲壬一面中垂線之三分之一
故庚辛亦必為甲辛四面體自尖至中
心立垂線之三分之一而甲辛即圓球
之半徑故庚辛亦為圓球半徑之三分
之一庚辛與辛已等今命甲辛圓球半
徑為三分則甲乙圓球全徑為六分以
辛己一分與甲辛三分相加則得甲巳
四分是甲巳立垂線為甲乙圓球全徑
[033-3b]
之六分之四即三分之二故以甲乙圓
[033-4a]
球徑三歸二因即得甲己為四面體自
尖至每面中心之立垂線也又四面體
之立垂線自乘方為每邊自乘方之三
分之二見前四面/體求積法故以甲己立垂線自
乘二歸三因即得每一邊自乘方積開
平方得甲丙為四面體之每一邊也既
得一邊則用等邊三角形求面積法求
得丙丁戊三角形面積與甲巳立垂線
[033-4b]
相乘三歸之即得甲丙丁戊四面體之
積也
又求邊捷法以圓球徑一尺二寸自乘
三歸二因得九十六寸開平方亦得九
寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘
為内容四面體之每一邊也蓋四面體
之甲巳立垂線既為甲乙圓球徑之三
分之二則甲己自乘方必為甲乙自乘
方之九分之四而甲己自乘方又為甲
[033-4b]
丙每邊自乘方之三分之二即六分之
[033-5a]
四則甲丙每一邊自乘方必為甲乙圓
球徑自乘方之九分之六即三分之二
故以圓球徑自乘三歸二因開平方亦
得四面體之每一邊也如有四面體之
一邊求外切圓球徑則先求得自尖至
每面中心之立垂線二歸三因即圓球
徑或以一邊自乘二歸三因開平方亦
即得圓球徑也
[033-5b]
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容四面體之一邊八
一六四九六五八為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率九寸
七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即
圓球内容四面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
[033-5b]
積一○○○○○○○○○為一率圓
[033-6a]
球内容四面體積六四一五○○二九
為二率今所設之圓球徑一尺二寸自
乘再乘得一千七百二十八寸為三率
求得四率一百一十寸八百五十一分
二百五十釐有餘即圓球内容四面體
之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
[033-6b]
圓球内容四面體積一二二五一七五
三○為二率今所設之圓球徑一尺二
寸求得圓球積九百零四寸七百七十
八分六百八十四釐有餘為三率求得
四率一百一十寸八百五十一分二百
四十九釐有餘即圓球内容四面體之
積也
設如圓球徑一尺二寸求内容正方體之每一邊及
體積幾何
[033-6b]
法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四
[033-7a]
十四寸三歸之得四十八寸開平方得
六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘
即圓球内容正方體之每一邊以一邊
自乘再乘得三百三十二寸五百五十
三分七百四十四釐有餘即圓球内容
正方體之積也如圖甲乙圓球徑一尺
二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方體試
以丙丁一邊為股丁乙一邊為勾求得
[033-7b]
丙乙弦即每一面之對角斜線勾與股
既相等則丙乙每一面對角斜線自乘
方為丙丁或丁乙每邊自乘方之二倍
矣又試以丙乙對角斜線為股甲丙一
邊為勾求得甲乙弦即圓球徑則甲乙
圓球徑自乘方又為甲丙類每邊自乘
方之三倍矣故以圓球徑自乘三歸即
得每邊自乘之積開平方即得圓球内
容正方體之一邊以一邊自乘再乘即
[033-7b]
得圓球内容正方體之積也如有正方
[033-8a]
體之一邊求外切圓球徑則以一邊自
乘三因之開平方即得圓球徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容正方體之一邊五
七七三五○二六為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率六寸
九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓
[033-8b]
球内容正方體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容正方體積一九二四五○○八
六為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一千七百二十八寸為三
率求得四率三百三十二寸五百五十
三分七百四十八釐有餘即圓球内容
[033-8b]
正方體之積也
[033-9a]
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容正方體積三六七五五二五
九○為二率今所設之圓球徑一尺二
寸求得圓球積九百零四寸七百七十
八分六百八十四釐有餘為三率求得
四率三百三十二寸五百五十三分七
百四十八釐有餘即圓球内容正方體
[033-9b]
之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容八面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸自乘得一尺四
十四寸折半得七十二寸開平方得八
寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘
即圓球内容八面體之每一邊也乃以
八面體之每一邊自乘得七十二寸以
球徑一尺二寸再乘得八百六十四寸
[033-9b]
三歸之得二百八十八寸即圓球内容
[033-10a]
八面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺
二寸内容甲丙乙丁戊己八面體自正
中對四角平分截之則成甲丙己丁戊
乙丁戊丙己二尖方體甲乙圓球徑為
二尖方體之共髙即甲丙乙丁正方面
之對角斜線試以甲丙一邊為股乙丙
一邊為勾則甲乙球徑為弦勾與股既
相等則甲乙自乘方為甲丙自乘方之
[033-10b]
二倍故以甲乙球徑自乘折半開方即
得甲丙為内容八面體之一邊以戊丙
一邊自乘得戊丙己丁二尖方體之共
底面積以甲乙共髙再乘三歸之得二
尖方體積即八面體之總積也如有八
面體之一邊求外切圓球徑則以一邊
自乘加倍開平方得對角斜線即圓球
徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例
[033-10b]
以定率之圓球徑一○○○○○○○
[033-11a]
○為一率圓球内容八面體之一邊七
○七一○六七八為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率八寸
四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即
圓球内容八面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
[033-11b]
球内容八面體積一六六六六六六六
六為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一千七百二十八寸為三
率求得四率二百八十八寸即圓球内
容八面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容八面體積三一八三○九八
八五為二率今所設之圓球徑一尺二
[033-11b]
寸求得圓球積九百零四寸七百七十
[033-12a]
八分六百八十四釐有餘為三率求得
四率二百八十七寸九百九十九分九
百九十八釐有餘即圓球内容八面體
之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容十二面體之每一邊
及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為股小分三八一九六六○
[033-12b]
一為勾求得弦一○七○四六六二六
為一率小分三八一九六六○一為二
率今所設之圓球徑一尺二寸為三率
求得四率四寸二分八釐一豪八絲六
忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之
每一邊也乃以十二面體之每一邊用
五等邊形求面積法求得每一面積三
十一寸五十四分三十八釐五十七豪
有餘又用五等邊形求外切圜徑法求
[033-12b]
得半徑即分/角線三寸六分四釐二豪三絲
[033-13a]
七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為
弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二
忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面
中心之立垂線與每一面積三十一寸
五十四分三十八釐五十七豪相乘得
一百五十寸三百九十八分八百零七
釐有餘三歸之得五十寸一百三十二
分九百三十五釐為一五角尖體積十
[033-13b]
二因之得六百零一寸五百九十五分
二百二十釐有餘即圓球内容十二面
體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二
寸内容甲丙丁戊己十二面體自正中
平分截之則成十等邊面形其所截之
處皆正當每邊之一半故其所截之庚
辛等線亦為甲丙兩角相對斜線之一
半而為十等邊形之一邊試自十二面
體之甲卯一邊正中至中心辰作庚辰
[033-13b]
垂線即為所截十等邊形外切圜之半
[033-14a]
徑與甲庚每邊之半甲辰圓球半徑共
成甲庚辰勾股形庚辰為股甲庚為勾
甲辰為弦庚辰即如理分中末線之全
分甲庚即如理分中末線之小分何以
知之蓋十二面體每面之壬子兩角相
對斜線與甲/丙等為全分則子丑一邊與甲/卯等
為大分若以壬子兩角相對斜線為大
分則子丑一邊為小分兩角相對斜線
[033-14b]
之一半庚辛為大分則每邊之半甲庚
即為小分矣又庚辰中心至每邊正中
之垂線既為十等邊形外切圜之半徑
而庚辛為十等邊形之一邊則庚辛為
大分而庚辰必為全分矣因庚辰全分
為股甲庚小分為勾而甲辰圓球半徑
為弦故以理分中末線之全分為股小
分為勾求得弦與小分之比同於甲辰
半徑與甲庚半邊之比即同於今所設
[033-14b]
之甲乙全徑與甲卯全邊之比也既得
[033-15a]
一邊則用五等邊形求面積法求得壬
癸子丑寅五等邊形面積又求得巳癸
五等邊形外切圜半徑即分/角線乃以辰癸
圓球半徑為弦與辰/甲等已癸分角線為勾
求得辰巳股即圓球中心至内容十二
面體每面中心之立垂線與壬癸子丑
寅五等邊形面積相乘三歸之得辰壬
癸子丑寅一五角尖體積十二因之即
[033-15b]
得圓球内容十二面體之總積也如有
十二面體之每一邊求外切圓球徑則
先求得自中心至每邊正中之垂線為
股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑
也
又求邊法用求圓球内容正方體之一
邊法以圓球徑一尺二寸自乘得一百
四十四寸三歸之得四十八寸開平方
得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有
[033-15b]
餘為圓球内容十二面體每一面兩角
[033-16a]
相對斜線乃以理分中末線之全分一
○○○○○○○○為一率大分六一
八○三三九九為二率每一面兩角相
對斜線六寸九分二釐八豪二絲零三
㣲為三率求得四率四寸二分八釐一
豪八絲六忽四㣲有餘即圓球内容十
二面體之每一邊也如圖甲乙圓球徑
一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體
[033-16b]
試於每一面各作一斜線相連則十二
斜線之二十四端合為八角遂成正方
體形其十二面之十二斜線即正方體
之十二邊其八角即正方體之八角皆
切於圓球之面故用求球内容正方體
法求得正方體之一邊即十二面體每
一面兩角相對之斜線既得斜線則以
理分中末線之全分與大分之比即同
於兩角相對之斜線與每一邊之比而
[033-16b]
得十二面體之每一邊也如有十二面
[033-17a]
體之每一邊求外切圓球徑則先求得
每面兩角相對斜線為正方體之一邊
用正方體求外切圓球徑之法亦即得
圓球徑矣
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容十二面體之一邊
三五六八二二○九為二率今所設之
[033-17b]
圓球徑一尺二寸為三率求得四率四
寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘
即圓球内容十二面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容十二面體積三四八一四五四
八二為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一千七百二十八寸為
[033-17b]
三率求得四率六百零一寸五百九十
[033-18a]
五分三百九十二釐有餘即圓球内容
十二面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容十二面體積六六四九○八
八九一為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
[033-18b]
得四率六百零一寸五百九十五分三
百九十一釐有餘即圓球内容十二面
體之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容二十面體之每一邊
及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為股大分六一八○三三九
九為勾求得弦一一七五五七○五○
為一率大分六一八○三三九九為二
[033-18b]
率今所設之圓球徑一尺二寸為三率
[033-19a]
求得四率六寸三分零八豪七絲七忽
三㣲有餘即圓球内容二十面體之每
一邊也乃以二十面體之每一邊用等
邊三角形求面積法求得每一面積一
十七寸二十三分四十一釐七十豪有
餘又用三等邊形求外切圜徑法求得
半徑即分/角線三寸六分四釐二豪三絲七
忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦
[033-19b]
求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽
七㣲有餘為自圓球中心至每一面中
心之立垂線與每一面積一十七寸二
十三分四十一釐七十豪有餘相乘得
八十二寸一百七十一分二百六十四
釐有餘三歸之得二十七寸三百九十
分四百二十一釐有餘為一三角尖體
積二十因之得五百四十七寸八百零
八分四百二十釐有餘即圓球内容二
[033-19b]
十面體之總積也如圖甲乙圓球徑一
[033-20a]
尺二寸内容甲丙丁戊己二十面體自
正中平分截之則成十等邊面形其所
截之處皆正當每邊之一半故其所截
之庚辛等線亦為甲丙每邊之一半而
為十等邊形之一邊試自二十面體之
甲癸一邊正中至中心壬作庚壬垂線
即為所截十等邊形外切圜之半徑與
甲庚每邊之半甲壬圓球半徑共成甲
[033-20b]
庚壬勾股形庚壬為股甲庚為勾甲壬
為弦庚壬即如理分中末線之全分甲
庚即如理分中末線之大分何以知之
蓋庚壬中心至每邊正中之斜線既為
十等邊形外切圜之半徑庚辛既為十
等邊形之一邊則庚辛為大分庚壬必
為全分庚辛為每邊之半甲庚亦為每
邊之半則甲庚亦即為大分矣因庚壬
全分為股甲庚大分為勾甲壬圓球半
[033-20b]
徑為弦故以理分中末線之全分為股
[033-21a]
大分為勾求得弦與大分之比同於甲
壬半徑與甲庚半邊之比即同於今所
設之甲乙圓球全徑與甲癸全邊之比
也又圖子丑圓球内容子丙寅丑卯已
二十面體自丙已二處横截之則所截
之面成圓内容甲丙丁戊己五等邊面
形試自二十面體之巳角至寅角作已
寅全徑線則成巳丙寅勾股形巳丙為
[033-21b]
股丙寅為勾已寅為弦以甲丙丁戊己
五等邊面形言之則巳丙股為兩角相
對斜線即如理分中末線之全分丙寅
勾與丙丁一邊同即如理分中末線之
大分今己丙全分既為股丙寅大分既
為勾巳寅與子丑同為圓球徑既為弦
故以理分中末線之全分為股大分為
勾求得弦與大分之比即同於今所設
之子丑全徑與丙寅一邊之比也既得
[033-21b]
一邊則用三等邊形求面積法求得辰
[033-22a]
已午三等邊形面積又求得未巳三等
邊形外切圜半徑即分角線乃以壬巳
圓球半徑與甲/壬等為弦未巳分角線為勾
求得壬未股即圓球中心至内容二十
面體每面中心之立垂線與辰巳午三
等邊形面積相乘三歸之得壬辰巳午
一三角尖體積二十因之即得圓球内
容二十面體之積也如有二十面體之
[033-22b]
一邊求外切圓球徑則先求得自中心
至每邊正中之垂線為股半邊為勾求
得弦倍之即圓球全徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球内容二十面體之一邊
五二五七三一一一為二率今所設之
圓球徑一尺二寸為三率求得四率六
寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即
[033-22b]
圓球内容二十面體之一邊也
[033-23a]
又用求球内各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球内容二十面體積三一七○一八八
三三為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一千七百二十八寸為
三率求得四率五百四十七寸八百零
八分五百四十三釐有餘即圓球内容
[033-23b]
二十面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球内容二十面體積六○五四六一
三七二為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
得四率五百四十七寸八百零八分五
百四十三釐有餘即圓球内容二十面
[033-23b]
體之積也
[033-24a]
球外切各等面體
設如圓球徑一尺二寸求外切四面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸倍之得二尺四
寸為圓球外切四面體自尖至每面中
心之立垂線自乘得五尺七十六寸二
歸三因得八尺六十四寸開平方得二
尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲
[033-24b]
有餘即圓球外切四面體之每一邊也
乃以四面體之每一邊用等邊三角形
求面積法求得每一面積三尺七十四
寸一十二分二十九釐七十二豪有餘
與自尖至每面中心之立垂線二尺四
寸相乘三歸之得二尺九百九十二寸
九百八十三分七百七十六釐有餘即
圓球外切四面體之積也如圖甲乙圓
球徑一尺二寸外切丙丁戊己四面體
[033-24b]
丙乙與丁庚俱為自尖至每面中心之
[033-25a]
立垂線相交於辛為四面體之中心亦
即圓球之中心辛乙與辛庚俱為圓球
半徑丙乙壬勾股形與丙庚辛勾股形
為同式形丙乙壬勾股形以丙乙自尖/至底中心立垂線為股乙壬
一面中垂線之三分之一為勾丙壬一/面中垂線為弦丙庚辛勾股形以丙庚
一面中垂線之三分之二為股庚辛圓/球半徑為勾丙辛四面體自尖至中心
立垂線為弦故兩勾股形同用一丙角/而乙角庚角同為直角其壬角與辛角
亦必相等所/以為同式形乙壬為丁壬一面中垂線
[033-25b]
之三分之一亦為丙壬一面中垂線之
三分之一故庚辛亦必為丙辛四面體
自尖至中心立垂線之三分之一而庚
辛為圓球半徑與甲辛等甲辛既為丙
辛之三分之一則丙甲即為丙辛之三
分之二與甲乙全徑等故以甲乙圓球
徑倍之得丙乙為四面體自尖至每面
中心之立垂線也又四面體之立垂線
自乘方為每一邊自乘方之三分之二
[033-25b]
見前四面/體求積法故以丙乙立垂線自乘二歸
[033-26a]
三因得每一邊自乘方積開平方得丙
丁為四面體之每一邊也既得一邊則
用等邊三角形求面積法求得丁戊己
三角形面積與丙乙立垂線相乘三歸
之即得丙丁戊己四面體之積也如有
四面體之一邊求内容圓球徑則先求
得自尖至每面中心之立垂線折半即
内容圓球徑也
[033-26b]
又用求球外各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率球外切四面體之一邊二四
四九四八九七四為二率今所設之圓
球徑一尺二寸為三率求得四率二尺
九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有
餘即圓球外切四面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
[033-26b]
積一○○○○○○○○○為一率球
[033-27a]
外切四面體積一七三二○五○八○
七為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一尺七百二十八寸為三
率求得四率二尺九百九十二寸九百
八十三分七百九十四釐有餘即圓球
外切四面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
[033-27b]
圓球外切四面體積三三○七九七三
三七二為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
得四率二尺九百九十二寸九百八十
三分七百九十四釐有餘即圓球外切
四面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切正方體之每一邊及
體積幾何
[033-27b]
法因圓球徑一尺二寸即外切正方體
[033-28a]
之每一邊自乘再乘得一尺七百二十
八寸即外切正方體積故他法皆不設
止存此題以備一體焉
設如圓球徑一尺二寸求外切八面體之每一邊及
體積幾何
法以圓球徑一尺二寸折半得六寸為
圓球外切八面體中心至每面中心之
立垂線自乘得三十六寸六因之得二
[033-28b]
百一十六寸開平方得一尺四寸六分
九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球
外切八面體之每一邊也乃以八面體
之每一邊用等邊三角形求面積法求
得每一面積九十三寸五十三分零七
釐四十三豪有餘與圓球半徑六寸相
乘三歸之得一百八十七寸零六十一
分四百八十六釐有餘為一三角尖體
積八因之得一尺四百九十六寸四百
[033-28b]
九十一分八百八十八釐有餘即圓球
[033-29a]
外切八面體之總積也如圖甲乙圓球
徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面
體自丁辛己庚四角平分之則成丙丁
辛己庚戊己庚丁辛二尖方體將二尖
方體自尖依各稜直剖之則又得子丙
丁庚類八三角尖體圓球之外面皆切
於各面之中心圓球之半徑即外切八
面體中心至每一面中心之立垂線試
[033-29b]
自丙角至丁庚邊正中壬作丙壬一面
中垂線又自八面體中心子至丙丁庚
面中心癸作子癸立垂線復自八面體
中心子至丁庚邊正中壬作子壬線遂
成壬癸子勾股形此形以子癸立垂線
即圓球/半徑為股丙壬一面中垂線之三分
之一癸壬為勾八面體中心至每邊正
中斜線子壬為弦子壬即八面體每邊/之一半蓋壬丑與庚
己平行其度相等折半/於子故為每邊之半夫癸壬既為丙
[033-29b]
壬一面中垂線之三分之一則癸壬自
[033-30a]
乘方必為丙壬一面中垂線自乘方之
九分之一而丙壬一面中垂線自乘方
原為丙丁每邊自乘方之十二分之九
則癸壬自乘方必為丙丁每邊自乘方
之十二分之一又子壬既為每邊之半
則其自乘方必為每邊自乘方之四分
之一今命為十二分之三癸壬勾自乘
方既為每邊自乘方十二分之一子壬
[033-30b]
弦自乘方又為每邊自乘方十二分之
三則子癸股自乘方必為每邊自乘方
十二分之二即六分之一故以子癸圓
球半徑自乘六因之得每邊自乘方積
開平方得八面體之每一邊也既得每
一邊則用等邊三角形求面積法求得
丙丁庚一面積與子癸圓球半徑相乘
三歸之得子丙丁庚一三角尖體積八
因之即得丙丁戊己庚辛八面體之總
[033-30b]
積也如有八面體之一邊求内容圓球
[033-31a]
徑則求得自中心至每一面中心之立
垂線即内容圓球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球外切八面體之一邊一
二二四七四四八七為二率今所設之
圓球徑一尺二寸為三率求得四率一
尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲
[033-31b]
有餘即圓球外切八面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球外切八面體積八六六○二五四○
三為二率今所設之圓球徑一尺二寸
自乘再乘得一尺七百二十八寸為三
率求得四率一尺四百九十六寸四百
九十一分八百九十六釐有餘即圓球
[033-31b]
外切八面體之積也
[033-32a]
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球外切八面體積一六五三九八六
六八六為二率今所設之圓球徑一尺
二寸求得圓球積九百零四寸七百七
十八分六百八十四釐有餘為三率求
得四率一尺四百九十六寸四百九十
一分八百九十七釐有餘即圓球外切
[033-32b]
八面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切十二面體之每一邊
及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為一率大分六一八○三三
九九為二率今所設之圓球徑一尺二
寸折半得六寸為三率求得四率三寸
七分零八豪二絲零三㣲有餘為圓球
外切十二面體每一面中心至邊之垂
[033-32b]
線又以全分一○○○○○○○○為
[033-33a]
一率倍小分七六三九三二○二為二
率今所設之圓球半徑六寸為三率求
得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽
二㣲有餘為每一面中心至角之分角
線乃以每一面之分角線為弦每一面
中心至邊之垂線為股求得勾二寸六
分九釐四豪一絲六忽八㣲有餘倍之
得五寸三分八釐八豪三絲三忽六㣲
[033-33b]
有餘即圓球外切十二面體之每一邊
也乃以十二面體之每一邊與每一面
中心至邊之垂線相乘得數折半五因
之得四十九寸九十五分二十六釐零
九豪有餘為圓球外切十二面體之每
一面之積與圓球半徑六寸相乘三歸
之得九十九寸九百零五分二百一十
八釐有餘為每一五角尖體積十二因
之得一尺一百九十八寸八百六十二
[033-33b]
分六百一十六釐有餘即圓球外切十
[033-34a]
二面體之總積也蓋圓球外切十二面
體其圓球之外面皆切於各面之中心
圓球之半徑即外切十二面體中心至
每一面中心之立垂線以圓球半徑為
理分中末線之全分則外切十二面體
之每一面中心至邊之垂線即五等邊/形内容圜
半/徑為大分每一面中心至角之分角線
即五等邊形/外切圓半徑為倍小分如甲乙圓球徑
[033-34b]
一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面體
按其一面中垂線平分剖之則成丙辛
壬癸子丑不等邊六角形丙辛與子癸
皆十二面體之每一邊辛壬壬癸子丑
丑丙皆為十二面體之每一面自一角
至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為十
二面體中心至每邊正中之垂線寅辰
為十二面體中心至每面中心之立垂
線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊
[033-34b]
之垂線辰丙為每面中心至角之分角
[033-35a]
線今以寅辰為全分則辰丑為大分辰
丙為倍小分何以知之寅卯既為十二
面體中心至每邊正中之垂線平分丙
辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為
全分則丙卯為小分蓋十二面體中心/至每邊正中之垂
線為全分則其每一面兩角相對斜線/之一半為大分而毎邊之半即為小分
見球内容十/二面體法試依寅卯全分度作丑巳
卯寅正方形則丑巳與已卯亦皆為全
[033-35b]
分巳卯既為全分而丙卯又為小分則
巳丙即為大分丑已丙勾股形與寅辰
丑勾股形為同式形寅辰丑勾股形之/丑角與寅角併之
共九十度而寅長丑勾股形之丑角與/丑已丙勾股形之丑角併之亦共九十
度故此二勾股形之已丑丙角與丑寅/辰角為相等辰角與巳角又同為直角
其餘一角亦必/等故為同式形丑已丙勾股形之丑巳
股為全分則己丙勾為大分寅辰丑勾
股形之寅辰股為全分則辰丑勾亦即
為大分故以寅辰圓球半徑與辰丑每
[033-35b]
面中心至邊之垂線之比即同於理分
[033-36a]
中末線之全分與大分之比也又凡五
等邊形自心至邊之垂線為大分則自
心至角之分角線即為倍小分如丙午
未申酉五等邊形其辰丑垂線為大分
則辰申分角線為倍小分何以知之蓋
丙未兩角相對斜線為全分則未甲一
邊為大分而酉未與丙申兩兩角相對
斜線相交所截戌申一段即為小分成
[033-36b]
連比例三率故丙戌與戌未亦皆為大
分與未申等試自戌至亥作戌亥垂線
平分丙未兩角相對斜線於亥則成丙
亥戌勾股形與辰丑申勾股形為同式
形辰丑申勾股形之辰角當丑申半邊/所對之弧為未申邊所對之弧之一
半故辰丑申勾股形之辰角與丙戌亥/勾股形之丙角等丑角與亥角又同為
直角其餘一角亦/必等故為同式形夫丙未為全分則丙
戌為大分丙未為大分則丙戌為小分
若以丙未之半丙亥為大分則丙戌即
[033-36b]
為倍小分故以辰丑垂線為大分則辰
[033-37a]
申分角線亦即為倍小分今圓球半徑
與每面中心至邊之垂線之比既同於
全分與大分之比則圓球半徑與每面
分角線之比亦即同於全分與倍小分
之比也既得辰丑垂線又得辰申分角
線則用股弦求勾法求得丑申勾倍之
得未申即圓球外切十二面體之每一
邊既得每一邊又得每面中心至邊之
[033-37b]
垂線則以辰丑每面中心至邊之垂線
與未申一邊相乘折半五因之得丙午
未申酉五等邊形面積與寅辰圓球半
徑相乘三歸之得寅丙午未申酉一五
角尖體積十二因之即得丙丁戊己庚
十二面體之總積也如有十二面體之
一邊求内容圓球徑則求得十二面體
中心至每面中心之立垂線即内容圓
球之半徑也
[033-37b]
又用求球外各形之一邊之定率比例
[033-38a]
以定率之圓球徑一○○○○○○○
○為一率圓球外切十二面體之每一
邊四四九○二七九七為二率今所設
之圓球徑一尺二寸為三率求得四率
五寸三分八釐八豪三絲三忽五㣲有
餘即圓球外切十二面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
[033-38b]
積一○○○○○○○○○為一率圓
球外切十二面體積六九三七八六三
六七為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為
三率求得四率一尺一百九十八寸八
百六十二分八百四十釐有餘即圓球
外切十二面禮之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
[033-38b]
圓球外切十二面體積一三二五○三
[033-39a]
四三五八為二率今所設之圓球徑一
尺二寸求得圓球積九百零四寸七百
七十八分六百八十四釐有餘為三率
求得四率一尺一百九十八寸八百六
十二分八百四十二釐有餘即圓球外
切十二面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切二十面體之每一邊
及體積幾何
[033-39b]
法以理分中末線之全分一○○○○
○○○○為一率小分三八一九六六
○一為二率今所設之圓球徑一尺二
寸折半得六寸為三率求得四率二寸
二分九釐一豪七絲九忽六㣲有餘為
圓球外切二十面體每一面中心至邊
之垂線三因之得六寸八分七釐五豪
三絲八忽八㣲有餘為每一面自一角
至對邊之中垂線自乘三歸四因開平
[033-39b]
方得七寸九分三釐九豪零一忽四㣲
[033-40a]
有餘即圓球外切二十面體之每一邊
也乃以二十面體之每一邊用等邊三
角形求面積法求得每一面積二十七
寸二十九分一十九釐有餘與圓球半
徑六寸相乘三歸之得五十四寸五百
八十三分八百釐有餘為一三角尖體
積二十因之得一尺九十一寸六百七
十六分有餘即圓球外切二十面體之
[033-40b]
總積也蓋圓球外切二十面體其圓球
之外面皆切於各面之中心圓球之半
徑即外切二十面體中心至每一面中
心之立垂線以圓球半徑為理分中末
線之全分則外切二十面體之每一面
中心至邊之垂線即三等邊形/内容圜半徑為小分
每一面中心至角之分角線即三等邊/形外切圜
半/徑為倍小分其每一面自一角至對邊
之中垂線為三小分如甲乙圓球徑一
[033-40b]
尺二寸外切丙丁戊己庚二十面體按
[033-41a]
其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬
癸子丑不等邊六角形丙辛與癸子皆
二十面體之每一邊丑丙辛壬壬癸子
丑皆為二十面體之每一面自一角至
對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為二十
面體中心至每邊正中之垂線寅辰為
二十面體中心至每面中心之立垂線
即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之
[033-41b]
垂線辰丙為每面中心至角之分角線
今以寅辰為全分則辰丑為小分辰丙
為倍小分丙丑即為三小分也何以知
之寅卯既為二十面體中心至每邊正
中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為
每邊之半寅卯為全分則丙卯為大分
蓋二十面體中心至毎邊正中之垂線/為全分則每邊之半為大分見球内容
二十面/體法試依寅卯全分度作已卯寅丑
正方形則丑巳與已卯亦皆為全分已
[033-41b]
卯既為全分而丙卯又為大分則已丙
[033-42a]
即為小分丑巳丙勾股形與寅辰丑勾
股形為同式形丑已丙勾股形之丑巳
股為全分則巳丙勾為小分寅辰丑勾
股形之寅辰股為全分則辰丑勾為小
分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中
心至邊之垂線之比即同於理分中末
線之全分與小分之比也既得辰丑每
面中心至邊之垂線則以三因之即得
[033-42b]
丙丑每面自一角至對邊之中垂線而
每面自一角至對邊之中垂線自乘方
為每邊自乘方之四分之三故以所得
丙丑每面自一角至對邊之中垂線自
乘三歸四因開平方即得午未為圓球
外切二十面體之每一邊既得午未一
邊與丙丑每面自一角至對邊之中垂
線相乘折半得丙午未一三角形面積
與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙
[033-42b]
午未一三角尖體積二十因之即得丙
[033-43a]
丁戊己庚二十面體之總積也如有二
十面體之每一邊求内容圓球徑則求
得二十面體中心至每面中心之立垂
線即内容圓球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例
以定率之圓球徑○○○○○○○
○為一率圓球外切二十面體之每一
邊六六一五八四五三為二率今所設
[033-43b]
之圓球徑一尺二寸為三率求得四率
七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘
即圓球外切二十面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例
以定率之圓球徑自乘再乘之正方體
積一○○○○○○○○○為一率圓
球外切二十面體積六三一七五六九
九九為二率今所設之圓球徑一尺二
寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為
[033-43b]
三率求得四率一尺九十一寸六百七
[033-44a]
十六分零九十四釐有餘即圓球外切
二十面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球外切二十面體積一二○六五六
六九九一為二率今所設之圓球徑一
尺二寸求得圓球積九百零四寸七百
七十八分六百八十四釐有餘為三率
[033-44b]
求得四率一尺零九十一寸六百七十
六分零九十四釐有餘即圓球外切二
十面體之積也
[033-44b]
御製數理精藴下編卷二十八
