[021-1a] 
欽定四庫全書
御製數理精蘊下編卷十六
面部
割圜割圜八線/八線相求 六宗限内三要總法二簡法/求象 各線
[021-2a]
割圜八線
圜周定為三百六十度大而周天小而寸許皆如之
葢圜有大小而度分随之其為數則同自圜心平
分圜周為四分名曰四象限每一象限九十度一
象限之中設為正弦餘弦正矢餘矢正切餘切正
割餘割名之曰割圜八線
設如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全
圜為甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每
[021-2b]
一象限皆九十度乃自圜心戊任作一
戊己半徑則將甲丁九十度之弧分為
甲己己丁二段己丁為己戊丁角所對
之弧甲己為甲戊己角所對之弧如命
己戊丁為正角則甲戊己為餘角甲戊
己為正角則己戊丁為餘角正角所對
為正弧餘角所對為餘弧今以己丁為
正弧故甲己為餘弧又自己與甲丙全
徑平行作己辛線謂之通弦其對己丁
[021-2b]
正弧而立於戊丁半徑者曰正弦又與
[021-3a]
戊丁半徑平行作壬己線謂之餘弦以
其為甲己餘弧之所對也於戊丁半徑
内減戊庚餘庚丁謂之正矢於甲戊半
徑内減壬戊餘甲壬謂之餘矢自圜界
與甲戊半徑平行立於戊丁半徑之末
作垂線仍與己戊丁角相對者曰正切
將己戊半徑引長與正切相遇於癸成
戊癸線謂之正割又自圜界與戊丁半
[021-3b]
徑平行作甲子線謂之餘切戊癸正割
被甲子餘切截於子所分戊子謂之餘
割每一角一弧即有正弦餘弦正矢餘
矢己成四線於圜界之内復引出半徑
於圜界之外而成正切餘切正割餘割
之四線内外共為八線故曰割圜八線
逐度逐分正弧之餘即為餘弧之正餘
弧之正即為正弧之餘是以前四十五
度之八線正餘互相對待為用不必復
[021-3b]
求後四十五度之八線也凡此八線皆
[021-4a]
九十度以内鋭角之所成若直角九十
度者則不能成八線葢因半徑即九十
度之正弦甲戊半徑即甲丁弧之弦而
切線割線為平行終無相遇之處也若
鈍角過九十度以外者則於半周一百
八十度内減其角度用其餘度之八線
即如己庚為己丁弧之正弦亦即乙己
弧之正弦也要之八線以正弦為本有
[021-4b]
正弦則諸線皆由此生故六宗三要皆
係正弦之法
[021-5a]
六宗三要二簡法附/
西洋厯算家作割圜八線表始自圜内容六邊四邊
十邊三邊五邊十五邊名曰六宗葢用圜徑求各等
邊形之一邊為相當弧之通弦以為立表之原故謂
之宗然六者實本於三如六邊形之一邊即圜之半
徑不藉他求數無零餘而理最易見此其一也四邊
形之一邊則為半徑所作正方形之對角斜弦此又
其一也十邊形之一邊則為半徑所作連比例三率
[021-5b]
之中率西法謂之理分中末線此又其一也至於三
邊形則出於六邊五邊形則出於十邊十五邊形則
又出於三邊及五邊非别自立一法也既得此六種
形之一邊各半之即得六種弧之各正弦爰命此六
種弧為本弧按法可求本弧之餘弦可求倍本弧之
正弦餘弦亦可求半本弧之正弦餘弦是為三要又
以不等两弧之正弦餘弦求相加相減弧之正弦又
两弧距六十度前後之度等得其两正弦之較即得
距弧之正弦是又名為二簡法由此錯綜之可得正
[021-5b]
弦一百二十其中最小者為四十五分之弦其次一
[021-6a]
度三十分又次為二度十五分又次為三度如此每
越四十五分而得一弦其自一分至四十四分之弦
則以比例求之因弧分甚微與直線所差無幾故以
弦求弦而得之此西法立割圜八線表之大綱也爾
來西法對數表内有設連比例四率以求圜内容七
邊九邊二法因推廣其理於六宗之外增求圜内容
十八邊形十四邊形之法俱以半徑為首率求連比
例四率之第二率即十八邊形十四邊形之每一邊
[021-6b]
而七邉又因之以生亦猶三邊之出於六邊五
邊之出於十邊也有此二形與六宗相叅伍可得正
弦三百六十其中最小者為十五分之正弦又增一
法求十五分之三分之一五分之正弦所少者止一
分至四分之正弦較之四十五分為尤密可知矣今
以六宗三要二簡法理分中末線并新增數法皆按
類具例於左
[021-7a]
六宗圜内容六邊形四邊形三邊/形十邊形五邊形十五邊形
設如圜徑二十萬求内容六邊形之一邊幾何
法以圜徑二十萬折半得半徑十萬即
圜内容六邊形之每一邊也如甲圜内
容六邊形每邊之弧得圜周六分之一
皆六十度試自圜心甲至圜界乙丙二
處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙三
角形則甲角所對之弧為六十度而甲
[021-7b]
乙甲丙两腰俱為半徑既相等則乙角
丙角亦必相等而各為六十度矣三角
既等則三邊亦必相等故乙丙邊即與
甲乙甲丙半徑相等也乙丙弧既為六
十度則乙丙邊十萬為六十度之通弦
折半得乙丁五萬即乙戊弧三十度之
正弦也此即六邊起算之理前設圜徑
為二兆者所以求其密合今設圜徑為
二十萬所以取其便於用也
[021-7b]
設如圜徑二十萬求内容三邊形之一邊幾何
[021-8a]
法以圜徑二十萬為弦自乗得四百億
又以半徑十萬為勾自乗得一百億相
減餘三百億開方得股一十七萬三千
二百零五小餘○八○/七五六八即圜内容三邊
形之每一邊也如甲圜内容三邊形毎
邊之弧得圜周三分之一皆一百二十
度為六邊形每邊弧之一倍試自乙角
過圜心至對界作乙丁全徑線又自丁
[021-8b]
依半徑度至丙作丁丙線則成六邊形
之每一邊其丙丁弧即為三邊形之每
邊弧之一半而丙角立於圜界之一半
必為直角故半徑為勾全徑為弦求得
股即三邊形之每一邊也乙丙弧既為
一百二十度則乙丙邊一十七萬三千
二百零五小餘○八○/七五六八為一百二十度
之通弦折半得乙戊八萬六千六百零
二小餘五四○/三七八四即乙己弧六十度之正
[021-8b]
弦也
[021-9a]
設如圜徑二十萬求内容四邊形之一邊幾何
法以圜徑二十萬折半得半徑十萬自
乗得一百億倍之得二百億開方得一
十四萬一千四百二十一小餘三五六/二三七三
即圜内容四邊形之每一邊也如甲圜
内容四邊形每邊之弧得圜周四分之
一皆九十度試自圜心甲至圜界乙丙
二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙
[021-9b]
勾股形若命甲乙半徑為股則甲丙半
徑為勾若命甲丙半徑為股則甲乙半
徑為勾因勾股皆為半徑故以半徑自
乗倍之開方而得弦即如勾股各自乗
併之開方而得弦也乙丙弧既為九十
度則乙丙邊一十四萬一千四百二十
一小餘三五六/二三七三為九十度之通弦折半
得乙丁七萬零七百一十小餘六七八/一一八六
即乙戊弧四十五度之正弦也
[021-9b]
理分中末線此西法名也因命一線為首率將/此首率分為大小两分大分為中
[021-10a]
率小分為末率與原線共為相連/比例三率故謂之理分中末線也
設如以十萬為首率作相連比例三率使中率末率
相加與首率等求中率末率各幾何
法以十萬自乗得一百億為長方積以
十萬為長闊之較用帶縱較數開方法
算之得闊六萬一千八百零二即相連
比例之中率以中率與首率十萬相減
餘三萬八千一百九十七即相連比例
[021-10b]
之末率也此法葢因連比例三率之首
率末率相乗之長方積與中率自乗之
正方積等而首率之中有一中率一末
率之數故首率自乗之一正方積中有
首率中率相乗之一長方又有首率末
率相乗之一長方即如甲乙為首率丙
乙為中率甲丙為末率丙乙中率自乗
之正方為丁戊乙丙甲丙末率與甲乙
首率相乗之長方為甲丙庚辛甲辛與/甲乙等
[021-10b]
此一正方一長方之積等而甲乙首率
[021-11a]
自乗之正方為甲乙己辛丙乙中率與
甲乙首率相乗之長方為丙乙己庚丙/庚
與甲/乙等夫甲丙庚辛之長方既與丁戊乙
丙之正方等則甲乙己辛之正方亦必
與丁戊己庚之長方等是以丁戊己庚
長方形之闊即中率其長比闊之較即
首率故以首率自乗為長方積仍以首
率為長比闊之較用帶縱平方法開之
[021-11b]
得闊為中率也
又法以首率十萬為股首率十萬折半
得五萬為勾求得弦一十一萬一千八
百零三内減勾五萬餘六萬一千八百
零三為相連比例之中率以中率與首
率相減餘三萬八千一百九十七即為
相連比例之末率也如圖甲乙與乙丙
皆為首率今以甲乙為股乙丙折半得
乙丁為勾求得甲丁弦試依甲丁弦度
[021-11b]
將乙丁勾引長至戊作丁乙戊線仍自
[021-12a]
甲至戊作一圜界則甲丁戊丁同為半
徑且皆為弦於戊丁弦内減乙丁勾所
餘乙戊與己乙等即中率於甲乙首率
内減去與乙戊相等之己乙中率所餘
甲己即末率也此法與前法理實相同
帶縱較數開方法有以半較自乗與原
積相加開方得半和於半和内減半較
得闊者今此法以首率為股自乘得甲
[021-12b]
乙丙壬正方形即與庚戊丙辛長方形
積等乙丙即長闊之較乙丁即半較戊
丁即半和今以乙丁為勾自乘甲乙為
股自乘相加開方得甲丁弦即如乙丁
半較自乘與甲乙自乘原積相加開方
而得甲丁與戊丁等戊丁内減乙丁餘
戊乙即半和内減半較得闊為中率也
設如圜徑二十萬求内容十邊形之一邊幾何
法用連比例三率有首率求中率末率
[021-12b]
使中率末率相加與首率等之法以圜
[021-13a]
徑二十萬折半得十萬為首率自乘得
一百億為長方積以十萬為長闊之較
用帶縱較數開方法算之得六萬一千
八百零三小餘三九八/八七四九為連比例之中
率即圜内容十邊形之每一邊也如甲
圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分
之一皆三十六度其通弦即圜内十邊
形之一邊試自圜心甲至圜界乙丙二
[021-13b]
處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙
三角形復自圜界乙至圜界戊作一乙
戊線則截甲丙線於丁又成乙丙丁三
角形而乙戊遂為一百零八度之通弦
此乙丙丁三角形與甲乙丙三角形為
同式形乙丙丁三角形之乙角當戊丙/弧為乙丙弧之倍則乙丙丁三
角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角/等又同用丙角其餘一角亦必等故為
同式/形其相當各邊俱成相連比例故甲
乙與乙丙之比同於乙丙與丙丁之比
[021-13b]
為相連比例三率而甲乙為首率乙丙
[021-14a]
為中率丙丁為末率也又甲乙丙三角
形其甲角既居全圜十分之一為三十
六度則乙角必比甲角大一倍為七十
二度三角形之三角共一百八十度甲/角既為三十六度則乙丙两角必
為一百四十四度平分之各得/七十二度比甲角為大一倍也而乙丙
丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之
甲角等則甲丁乙三角形之乙角亦必
與甲角等是則甲丁乙三角形必两邊
[021-14b]
相等之三角形而乙丙丁三角形亦為
两邊相等之三角形也夫甲丁既與丁
乙等而丁乙又與乙丙中率等則甲丁
亦必與中率等矣是以甲丁中率與丁
丙末率相加與甲丙首率等故用連比
例三率有首率求中率法算之得中率
為十邊形之一邊也
又法以圜徑二十萬折半得半徑十萬
為股自乘得一百億又以半徑十萬折
[021-14b]
半得五萬為勾自乗得二十五億相加
[021-15a]
得一百二十五億開方得弦一十一萬
一千八百零三小餘三九八/八七四九於弦數内
減去勾數餘六萬一千八百零三小餘/三九
八八七/四九即圜内容十邊形之每一邊也
如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周
十分之一皆三十六度試自圜心甲至
圜界乙作甲乙半徑線為股又自圜心
甲取直角作甲丙半徑線折半得甲丁
[021-15b]
為勾求得乙丁弦内減與甲丁相等之
戊丁餘乙戊即與乙己等為圜内容十
邊形之毎一邊也乙己弧既為三十六
度則乙己邊六萬一千八百零三小餘/三九
八八七/四九為三十六度之通弦折半得乙
庚三萬零九百零一小餘六九九/四三七四即乙
辛弧十八度之正弦也
設如圜徑二十萬求内容五邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與
[021-15b]
圜内容十邊形之一邊六萬一千八百
[021-16a]
零三小餘三九八/八七四九為兩腰用三角形求
中垂線法算之得中垂線五萬八千七
百七十八小餘五二五/二二九二倍之得一十一
萬七千五百五十七小餘○五○/四五八四即圜
内容五邊形之每一邊也如甲圜内容
五邊形每邊之弧得圜周五分之一皆
七十二度試自圜心甲至圜界乙丙二
處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙
[021-16b]
三角形其乙丙邊為七十二度之通弦
如以乙丙弧七十二度折半於丁作乙
丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜
心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲
乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於
戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂
線即五邊形每邊之一半故以甲丁半
徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十邊形
之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之
[021-16b]
為五邊形之毎一邊也
[021-17a]
又法以半徑十萬為股自乘得一百億
圜内容十邊形之一邊六萬一千八百
零三小餘三九八/八七四九為勾自乘得三十八
億一千九百六十六萬零一百一十二
小餘四八九九九○/五八五八五○○一相加得一百三十
八億一千九百六十六萬零一百一十
二小餘四八九九九○/五八五八五○○一開方得弦一十
一萬七千五百五十七小餘○五○/四五八四即
[021-17b]
圜内容五邊形之每一邊也此法葢因
半徑自乘十邊形之一邊自乘兩自乘
方積相併即與五邊形之一邊自乘之
方積等故用勾股求弦之法算之如甲
圜内容五邊形將乙丙弧折半於丁作
乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自
圜心甲至丁作甲丁半徑線遂成甲乙
丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑
於己作乙己線成乙己丁三角形與甲
[021-17b]
乙丁三角形為同式形故甲乙為首率
[021-18a]
乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙
丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率
於戊又成乙戊丁勾股形乙戊五邊形
每邊之半為股丁戊末率之半為勾乙
丁中率為弦試依甲丁半徑度作甲庚
辛丁正方形又依乙丙五邊形之一邊
度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正
方形内甲子丑已為乙丁弦自乘之一
[021-18b]
正方甲已既與乙丁弦等故甲/子丑已為弦自乘之正方已寅辛
丁長方形亦與乙丁弦自乘之一正方
等丁辛原與甲丁首率等己丁末率與/丁辛首率相乘自與乙丁中率自乘
之正/方等而子庚寅丑長方形為乙丁弦自
乘之一正方内少勾自乘之四正方葢/子
庚辛夘長方形為首率與末率相乘之/長方與乙丁中率自乘之正方等内却
少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方/形實為戊丁勾自乘之四正方故子庚
寅丑長方形為乙丁弦自乘之/一正方少勾自乘之四正方也是則甲
丁半徑自乘之甲庚辛丁正方形内有
[021-18b]
弦自乘之三正方而少勾自乘之四正
[021-19a]
方再加乙丁弦自乘之一正方共得弦
自乘之四正方而少勾自乘之四正方
大凡弦自乘之正方内原有勾自乘之
一正方股自乘之一正方今弦自乘之
四正方内少勾自乘之四正方即與股
自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之
乙丙癸壬正方形實為乙戊股自乘之
四正方然則甲丁半徑自乘方與乙丁
[021-19b]
十邊形之一邊自乘方相併既與乙戊
股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘
之正方豈不與甲丁半徑自乘乙丁十
邊形之一邊自乘之兩正方等乎故以
甲丁半徑為股乙丁十邊形之一邊為
勾求得弦而為五邊形之一邊也
又法以半徑十萬自乘得一百億為長
方積仍以半徑十萬為長闊之較用帶
縱較數開方法算之得長一十六萬一
[021-19b]
千八百零三小餘三九八/八七四九折半得八萬
[021-20a]
零九百零一小餘六九九/四三七四為自圜心至
五邊形每邊之垂線乃以半徑十萬為
弦圜心至五邊形每邊之垂線為股求
得勾五萬八千七百七十八小餘五二/五二二九
二/倍之得一十一萬七千五百五十七
小餘○五○/四五八四即圜内容五邊形之每一
邊也如甲圜内容五邊形將乙丙弧折
半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之
[021-20b]
一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線
成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲
丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角
形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙
為首率乙丁為中率己丁為末率甲己
亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己
丁末率於戊是以己戊與戊丁俱為半
末率而甲戊自圜心至邊之垂線則為
一中率半末率之共數今以半徑首率
[021-20b]
自乘為長方積開帶縱平方得長乃首
[021-21a]
率與中率之和其内有兩中率一末率
折半得一中率半末率即甲戊自圜心
至邊之垂線既得甲戊垂線乃以甲乙
半徑為弦甲戊垂線為股求得乙戊勾
倍之得乙丙即圜内容五邊形之一邊
也或以乙丁中率為弦戊丁半末率為
勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五邊
形之一邊也乙丙弧既為七十二度則
[021-21b]
乙丙邊一十一萬七千五百五十七小/餘
○五○四/五八四為七十二度之通弦折半得
乙戊五萬八千七百七十八小餘五二/五二二九
二/即乙丁弧三十六度之正弦也
設如圜徑二十萬求内容十五邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為弦圜内容五邊形之
半五萬八千七百七十八小餘五二五/二二九二
為勾求得股八萬零九百零一小餘六/九九四
三七/五内減半徑之半五萬餘三萬零九
[021-21b]
百零一小餘六九九/四三七五為股次以圜内容
[021-22a]
三邊形之一邊一十七萬三千二百零
五小餘○八○/七五六八内減圜内容五邊形之
一邊一十一萬七千五百五十七小餘/○五
○四五/八四餘五萬五千六百四十八小餘/○三
○二九/八四折半得二萬七千八百二十四
小餘○一五/一四九二為勾求得弦四萬一千五
百八十二小餘三三八/一六三五即圜内容十五
邊形之每一邊也如甲圜内容十五邊
[021-22b]
形每邊之弧得圜周十五分之一皆二
十四度試從圜界乙作圜内容三邊形
又作圜内容五邊形将三邊形之每一
邊弧分五段五邊形之每一邊弧分三
段即得十五邊形之每一邊弧如戊庚
與己丁二段皆為十五邊形之弧故以
甲丁半徑為弦丁丙五邊之半為勾求
得甲丙股内減甲辛自圜心至三角底
邊之垂線為半徑之半餘辛丙與癸丁
[021-22b]
或壬庚等復於三邊形之戊己邊内減
[021-23a]
五邊形之庚丁邊即如戊己線内減壬
癸餘戊壬與癸己二段折半得癸己或
戊壬今任以癸丁或壬庚為股癸己或
戊壬為勾求得己丁弦或戊庚弦即圜
内容十五邊形之每一邊也己丁弧既
為二十四度則己丁邊四萬一千五百
八十二小餘三三八/一六三五為二十四度之通
弦折半得己子二萬零七百九十一小/餘
[021-23b]
一六九○/八一七即己丑弧十二度之正弦也
新增按分作相連比例四率法
設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四
率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何
法以一率十萬自乘再乘得一千兆成/一
立方/積為實又以一率十萬自乘三因之
得三百億成三平/面積為法以除原實一千
兆得三萬乃以三萬自乘再乘得二十
七兆益於原實一千兆内得一千零二
[021-23b]
十七兆為共實按除法以所得三萬與
[021-24a]
法三百億相因得九百兆與共實相減
餘一百二十七兆為第二位實以法之
三百億除之得四千乃以首位所得三
萬合次位所得四千共三萬四千自乘
再乘得三十九兆三千零四十億仍益
於原實一千兆内得一千零三十九兆
三千零四十億為共實按除法減首位
所得三萬與法三百億相因之九百兆
[021-24b]
又減次位所得四千與法三百億相因
之一百二十兆餘一十九兆三千零四
十億為第三位實以法之三百億除之
得六百所餘太多因益積故取畧大之
數為七百合前两位所得三萬四千共
三萬四千七百自乘再乘得四十一兆
七千八百一十九億二千三百萬仍益
於原實一千兆内得一千零四十一兆
七千八百一十九億二千三百萬為共
[021-24b]
實按除法減首位所得三萬與法三百
[021-25a]
億相因之九百兆又減次位所得四千
與法三百億相因之一百二十兆又減
三位所得七百與法三百億相因之二
十一兆餘七千八百一十九億二千三
百萬為第四位實以法之三百億除之
得二十合前三位所得三萬四千七百
共三萬四千七百二十自乘再乘得四
十一兆八千五百四十二億一千零四
[021-25b]
萬八千仍益於原實一千兆内得一千
零四十一兆八千五百四十二億一千
零四萬八千為共實按除法減首位所
得三萬與法三百億相因之九百兆又
減次位所得四千與法三百億相因之
一百二十兆又減三位所得七百與法
三百億相因之二十一兆又減四位所
得二十與法三百億相因之六千億餘
二千五百四十二億一千零四萬八千
[021-25b]
為末位實以法之三百億除之得八所
[021-26a]
餘亦太多因益積仍取畧大之數為九
合前四位所得三萬四千七百二十共
三萬四千七百二十九自乘再乘得四
十一兆八千八百六十七億六千六百
四十萬零二千四百八十九仍益於原
實一千兆内得一千零四十一兆八千
八百六十七億六千六百四十萬二千
四百八十九為共實按除法以五次所
[021-26b]
得之數與法相因之數遞減之仍餘一
百六十七億六千六百四十萬二千四
百八十九不盡是共除得三萬四千七
百二十九為相連比例之二率也以二
率之三萬四千七百二十九自乘得一
十二億零六百一十萬三千四百四十
一以一率之十萬除之得一萬二千零
六十一為三率以二率之三萬四千七
百二十九三倍之得十萬四千一百八
[021-26b]
十七内減去一率之十萬餘四千一百
[021-27a]
八十七為四率如以三率之一萬二千
零六十一自乘以二率之三萬四千七
百二十九除之亦得四千一百八十七
為四率也此為益實歸除之法葢因此
法止有一率之數作相連比例四率使
一率與四率之共數與二率三倍等而
連比例四率之理一率自乘用四率再
乘與二率自乘再乘之數等今立法以
[021-27b]
一率自乘再乘為原實較之三倍二率
與一率自乘之面積相乘之數却少一
二率自乘再乘之數故以累除所得之
數屢次自乘再乘益入原實然後按法
除之始足二率三倍之數也如圖甲乙
為一率庚子子辰辰乙皆為二率庚甲
為四率庚乙為一率四率之共數又為
二率之三倍甲乙丙丁戊己為一率自
乘再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為三
[021-27b]
倍二率與一率自乘面積相乘之長方
[021-28a]
體一率自乘三因之得三平面如以二/率乘之成三扁方體合之即成三倍
二率乘一率自乘/面積之一長方體比一率自乘再乘之
正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此
扁方體即一率自乘用四率再乘之數
與二率自乘再乘之積等若於一率自
乘再乘之正方體内加入二率自乘再
乘之正方體即如於甲乙丙丁戊己正
方體上加一庚甲酉戊壬癸之扁方體
[021-28b]
成庚乙丙丁壬癸之長方體而以一率
自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙
為二率之三倍苟合乙丙丁申與辰己
午未及子丑寅夘三方面除之必得庚
子或子辰或辰乙為二率若不加積止
以三方面除之則所得仍為一率之三
分之一比二率數必小故以屢除所得
之數屢次自乘再乘益入原積則積漸
增而得數亦漸大遞及末位則所少之
[021-28b]
積已足而除得之數即為二率之全數
[021-29a]
焉
設如圜徑二十萬求内容十八邊形之一邊幾何
法用連比例四率有一率求二率使一
率與四率相加與二率三倍等之法以
圜徑二十萬折半得十萬為一率自乘
再乘得一千兆為實又以半徑十萬自
乘三因之得三百億為法按益實歸除
之法除實得三萬四千七百二十九小/餘
[021-29b]
六三五五/三三四為二率即圜内十八邊形之
每一邊也如甲圜内容十八邊形每邊
之弧得圜周十八分之一皆二十度其
通弦即圜内十八邊形之一邊試自圜
心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線
遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜
界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又
成乙丙戊三角形而乙庚為六十度之
通弦復自圜界丙按丙戊線度至乙庚
[021-29b]
線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三
[021-30a]
角形此三三角形皆為同式形乙丙戊/三角形
之乙角當庚丙弧為乙丙弧之倍則乙/丙戊三角形之乙角與甲乙丙三角形
之甲角等又與甲乙丙三角形同用丙/角丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半
徑平行則丙丁戊三角形之丙角與甲/丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必
等又與乙丙戊三角形同用戊角是此/三三角形之各角互相等而為同式形
也/其相當各邊俱成相連比例故甲乙
與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙
丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之
[021-30b]
比為相連比例四率而甲乙為一率乙
丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也
又乙庚為六十度之通弦與甲乙一率
等而乙戊丁己己庚三段皆與乙丙二
率等是乙庚一率中有乙丙二率之三
倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率
與丁戊四率相加方與乙丙二率之三
倍等故用連比例四率有一率求二率
法算之得二率為十八邊形之一邊也
[021-30b]
乙丙弧既為二十度乙丙邊三萬四千
[021-31a]
七百二十九小餘六三五/五三三四為二十度之
通弦折半得一萬七千三百六十四小/餘
八一七七/六六七即十度之正弦也
設如圜徑二十萬求内容九邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與
圜内容十八邊形之一邊三萬四千七
百二十九小餘六三五/五三三四為兩腰用三角
形求中垂線法算之得中垂線三萬四
[021-31b]
千二百零二小餘○一四/三三二六倍之得六萬
八千四百零四小餘○二八/六六五二即圜内容
九邊形之每一邊也如甲圜容九邊形
每邊之弧得圜周九分之一皆四十度
試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙
甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其
乙丙邊為四十度之通弦如以乙丙弧
四十度折半於丁作乙丁線即圜内容
十八邊形之一邊仍自圜心甲至圜界
[021-31b]
丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形
[021-32a]
而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線
為甲乙丁三角形之中垂線即九邊形
每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙
半徑為大腰乙丁十八邊形之一邊為
小腰求得中垂線倍之為九邊形之每
一邊也乙丙弧既為四十度乙丙邊為
四十度之通弦其乙戊中垂線三萬四
千二百零二小餘○一四/三三二六即乙丁弧二
[021-32b]
十度之正弦也
按分作相連比例四率又法
設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四
率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率
三率四率各幾何
法以一率十萬自乘再乘得一千兆成/一
立方/體為實又以一率十萬自乘二因之
得二百億成二平/面積為法以除原實一千
兆得五萬為盡數因減實大於益實故
[021-32b]
取畧小之數為四萬乃以四萬自乘再
[021-33a]
乘得六十四兆益於原實一千兆内得
一千零六十四兆為益實復以所得四
萬自乘得一十六億以一率十萬再乘
得一百六十兆於益實内減之餘九百
零四兆為正實按除法以所得四萬與
法二百億相因得八百兆與正實相減
餘一百零四兆為第二位實以法之二
百億除之得五千仍取畧小之數為四
[021-33b]
千乃以首位所得四萬合次位所得四
千共四萬四千自乘再乘得八十五兆
一千八百四十億益於原實一千兆内
得一千零八十五兆一千八百四十億
為益實復以所得四萬四千自乘得一
十九億三千六百萬以一率十萬再乘
得一百九十三兆六千億於益實内減
之餘八百九十一兆五千八百四十億
為正實按除法減首位所得四萬與法
[021-33b]
二百億相因之八百兆又減次位所得
[021-34a]
四千與法二百億相因之八十兆餘一
十一兆五千八百四十億為第三位實
以法之二百億除之得五百合前两位
所得四萬四千共四萬四千五百自乗
再乗得八十八兆一千二百一十一億
二千五百萬益於原實一千兆内得一
千零八十八兆一千二百一十一億二
千五百萬為益實復以所得四萬四千
[021-34b]
五百自乗得一十九億八千零二十五
萬以一率十萬再乗得一百九十八兆
零二百五十億於益實内減之餘八百
九十兆零九百六十一億二千五百萬
為正實按除法減首位所得四萬與法
二百億相因之八百兆又減次位所得
四千與法二百億相因之八十兆又減
三位所得五百與法二百億相因之一
十兆餘九百六十一億二千五百萬為
[021-34b]
第四位實以法之二百億除之實不足
[021-35a]
法乃以第四位為空位而第五位得四
故以四為末位合前四位所得四萬四
千五百空十共四萬四千五百零四自
乗再乗得八十八兆一千四百四十八
億九千零一十三萬六千零六十四益
於原實一千兆内得一千零八十八兆
一千四百四十八億九千零一十三萬
六千零六十四為益實復以所得四萬
[021-35b]
四千五百零四自乗得一十九億八千
零六十萬六千零一十六以十萬再乗
得一百九十八兆零六百零六億零一
百六十萬於益實内減之餘八百九十
兆零八百四十二億八千八百五十二
萬六千零六十四為正實按除法以五
次所得之數於法相因之數遞減之仍
餘四十二億八千八百五十三萬六千
零六十四不盡是共除得四萬四千五
[021-35b]
百零四為相連比例之二率也以二率
[021-36a]
之四萬四千五百零四自乗得一十九
億八千零六十萬六千零一十六以一
率之十萬除之得一萬九千八百零六
為三率以二率之四萬四千五百零四
二因之與三率之一萬九千八百零六
相加得十萬八千八百一十四減去一
率之十萬餘八千八百一十四為四率
如以三率之一萬九千八百零六自乗
[021-36b]
以一率之四萬四千五百零四除之亦
得八千八百一十四為四率也此為益
實兼減實歸除之法葢因此法止有一
率之數作相連比例四率使一率與四
率之共數與二率两倍再加一三率之
數等而相連比例四率之理一率自乗
用四率再乗與二率自乘再乗之數等
又一率自乗用三率再乗與二率自乗
用一率再乗之數等今立法以一率自
[021-36b]
乘再乗為原實較之二率加倍與一率
[021-37a]
自乗之面積相乗之數却少一一率自
乗四率再乗之數又多一一率自乗三
率再乗之數故以屢除所得之數屢次
自乗再乗益入原實又以屢除所得之
數屢次自乗以一率再乗與益實相減
然後按法除之始足二率两倍之數也
如圖甲乙為一率庚子子辰皆為二率
辰乙為三率庚甲為四率庚乙為一率
[021-37b]
四率之共數又為二率两倍再加一三
率之共數甲乙丙丁戊巳為一率自乗
再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為两倍
二率併一三率與一率自乗面積相乘
之長方體比一率自乗再乗之正方體
多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體
即一率自乗四率再乗之扁方體與二
率自乗再乗之積等比两倍二率與一
率自乗面積相乗之扁方體多一辰乙
[021-37b]
丙丁午未扁方體此扁方體即一率自
[021-38a]
乗三率再乗之扁方體與二率自乗一
率再乗之積等若於一率自乗再乗之
正方體内加入二率自乗再乗之數再
減去二率自乗一率再乗之數即如於
甲乙丙丁戊己正方體内加入庚甲酉
戊壬癸之扁方體減去辰乙丙丁午未
之扁方體成一庚辰己午壬癸之扁方
體而以一率自乗之辰己午未方面除
[021-38b]
之必得庚辰為二率之两倍苟合辰巳
午未子丑寅夘二方面除之必得庚子
或子辰為二率若不益少減多而以二
方面除之則所得仍為一率之二分之
一比二率數必大故以屢除所得之數
屢次自乗再乗益入原積復以屢除所
得之數自乗用一率再乗逐層與原積
相減遞及末位則所少之積漸足所多
之積漸消而除得之數即為二率之全
[021-38b]
數焉
[021-39a]
設如圜徑二十萬求内容十四邊形之一邊幾何
法用連比例四率有一率求第二率使
一率與四率相加與二率兩倍再加一
三率等之法以圜徑二十萬折半得十
萬為一率自乗再乗得一千兆為實又
以半徑十萬自乗倍之得二百億為法
按益實兼減實歸除之法除實得四萬
四千五百零四小餘一八六/七九一三為二率即
[021-39b]
圜内十四邊形之每一邊也如甲圜内
容十四邊形每邊之弧得圜周十四分
之一皆二十五度四十二分五十一秒
有餘其通弦即圜内十四邊形之一邊
試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二
半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界
乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線
於戊又成乙丙戊三角形復自圜界丙
按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁
[021-39b]
線則又成丙丁戊三角形此三三角形
[021-40a]
皆為同式形乙戊丙三角形之乙角當/丙庚弧為乙丙弧之倍則
乙戊丙三角形之乙角與乙甲丙三角/形之甲角等又與乙甲丙三角形同用
丙角而丙丁戊三角形之丁丙線與甲/辛半徑平行即丙丁戊三角形之丙角
與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角/亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角
是此三三角形之各角/互相等而為同式形也其相當各邊俱
成相連比例故甲乙與乙丙之比同於
乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又
同於丙戊與戊丁之比為相連比例四
[021-40b]
率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為
三率戊丁為四率也又按乙戊度作壬
戊線與丁丙平行則截甲乙線於壬乃
自壬與乙丙平行作壬子線復自壬與
乙戊平行作壬癸線則又成甲壬子與
壬戊癸丙三角形與乙丙戊三角形等
成壬癸子一三角形與丙丁戊三角形
等其甲子癸戊皆與乙丙二率等而癸
子與丁戊四率等是甲丙一率内有兩
[021-40b]
二率一三率而少一四率也若以甲丙
[021-41a]
一率與癸子四率相加方與二率之兩
倍再加一三率之數等故用連比例四
率有一率求二率法算之得二率為十
四邊形之每一邊也
設如圜徑二十萬求内容七邊形之一邊幾何
法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與
圜内容十四邊形之一邊四萬四千五
百零四小餘一八六/七九一三為兩腰用三角形
[021-41b]
求中垂線法算之得中垂線四萬三千
三百八十八小餘三七三/九一一八倍之得八萬
六千七百七十六小餘七四七/八二三六即圜内
容七邊形之每一邊也如甲圜容七邊
形每邊之弧得圜周七分之一皆五十
一度二十五分四十二秒有餘試自圜
心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二
半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊
為五十一度二十五分四十二秒有餘
[021-41b]
之通弦如以乙丙弧五十一度二十五
[021-42a]
分四十二秒有餘折半於丁作乙丁線
即圜内容十四邊形之一邊仍自圜心
甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙
丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊
此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線
即七邊形每邊之一半故以甲丁半徑
為底甲乙半徑為大腰乙丁十四邊形
之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之
[021-42b]
為七邊形之每一邊也
[021-43a]
三要有本弧之正弦求本弧之餘弦有本弧之/正弦餘弦求倍弧之正弦餘弦有本弧之
正弦餘弦求半/弧之正弦餘弦
設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八
小餘五二五/二二九二求餘弧五十四度之正弦幾何
法以三十六度之正弦五萬八千七百
七十八小餘五二五/二二九二為勾半徑十萬為
弦求得股八萬零九百零一小餘六九/九四三七
五/為五十四度之正弦即三十六度之
[021-43b]
餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其
甲乙正弧三十六度乙丙餘弧五十四
度乙丁為三十六度之正弦試自乙至
象限中心戊作乙戊半徑線遂成乙丁
戊勾股形乙戊為弦乙丁為勾求得丁
戊股與乙己等為乙丙餘弧五十四度
之正弦即甲乙正弧三十六度之餘弦
也
設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八
[021-43b]
小餘五二五/二二九二餘弦八萬零九百零一小餘六九九/四三七五
[021-44a]
求倍弧七十二度之正弦餘弦各幾何
法以半徑十萬為一率本弧之正弦五
萬八千七百七十八小餘五二五/二二九二為二
率本弧之餘弦八萬零九百零一小餘/六九
九四三/七五為三率求得四率四萬七千五
百五十二小餘八二五/八一四七倍之得九萬五
千一百零五小餘六五一/六二九四即倍弧七十
二度之正弦也求餘弦則以三十六度
[021-44b]
之正弦五萬八千七百七十八小餘五/二五二
二九/二自乘以半徑十萬除之得三萬四
千五百四十九小餘一五○/二八一二倍之得六
萬九千零九十八小餘三○○/五六二四與半徑
十萬相減餘三萬零九百零一小餘六/九九四
三七/六即倍弧七十二度之餘弦也如甲
乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十
六度倍之為甲丁弧七十二度乙己為
三十六度之正弦庚乙為三十六度之
[021-44b]
餘弦與戊辛等葢辛甲與乙己等則戊/辛必與戊己等戊己即
[021-45a]
庚乙/也丁壬為七十二度之正弦試與乙
己平行作辛癸線遂成戊乙己戊辛癸
同式兩勾股形其戊乙己勾股形之戊
乙弦與乙己勾之比同於戊辛癸勾股
形之戊辛弦與辛癸勾之比為相當比
例四率而辛癸與子壬等為丁壬之半
葢辛甲為丁甲之半則/辛癸亦為丁壬之半故倍之得丁壬
為甲丁七十二度之正弦也又如求餘
[021-45b]
弦其甲辛戊甲癸辛為同式兩勾股形
其甲辛戊勾股形之甲戊弦與甲辛勾
之比同於甲癸辛勾股形之甲辛弦與
甲癸勾之比為相連比例三率既得甲
癸倍之得甲壬葢甲丁為甲辛之倍則/甲壬亦為甲癸之倍
與甲戊半徑相減餘壬戊與丁丑等即
甲丁七十二度之餘弦也
設如本弧四十五度之正弦七萬零七百一十小餘/六七
八一一/八六餘弦亦七萬零七百一十小餘六七八/一一八六求
[021-45b]
半弧二十二度三十分之正弦幾何
[021-46a]
法以本弧之正弦七萬零七百一十小/餘
六七八一/一八六為股本弧之餘弦七萬零七
百一十小餘六七八/一一八六與半徑十萬相減
餘二萬九千二百八十九小餘三二一/八八一四
為勾求得弦七萬六千五百三十六小/餘
六八六四/七三○折半得三萬八千二百六十
八小餘三四三/二三六五即半弧二十二度三十
分之正弦也如甲乙丙九十度之一象
[021-46b]
限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧
二十二度三十分乙己為四十五度之
正弦戊己與庚乙等為四十五度之餘
弦於戊甲半徑内減去戊己餘己甲為
勾乙己為股求弦得乙甲為四十五度
之通弦折半得乙辛即丁乙二十二度
三十分之正弦也
又捷法以本弧四十五度之餘弦七萬
零七百一十小餘六七八/一一八六與半徑十萬
[021-46b]
相減餘二萬九千二百八十九小餘三/二一八
[021-47a]
八一/四折半得一萬四千六百四十四小/餘
六六○九/四○七與半徑十萬相乘開方得三
萬八千二百六十八小餘三四三/二三六五即半
弧二十二度三十分之正弦也葢乙己
為四十五度之正弦甲己為四十五度
之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分
之正弦如與乙己平行作一辛壬線平
分甲己於壬成甲辛戊甲壬辛同式兩
[021-47b]
勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦與
甲辛勾之比同於甲壬辛勾股形之甲
辛弦與甲壬勾之比為連比例三率故
首率甲戊與末率甲壬相乘首率甲戊/與末率甲
壬相乘與中率甲/辛自乘之積相等開方得甲辛為二十
二度三十分之正弦也
新增有本弧之餘弦求倍弧之餘弦及半弧之
餘弦
設如本弧三十六度之餘弦八萬零九百零一小餘/六九
[021-47b]
九四三/七五求倍弧七十二度之餘弦幾何
[021-48a]
法以本弧三十六度之餘弦八萬零九
百零一小餘六九九/四三七五自乘以半徑十萬
除之得六萬五千四百五十小餘八四/九七一八
七/與半徑十萬相減餘三萬四千五百
四十九小餘一五○/二八一三倍之得六萬九千
零九十八小餘三○○/五六二六仍與半徑十萬
相減餘三萬零九百零一小餘六九九/四三七四
即倍弧七十二度之餘弦也如甲乙丙
[021-48b]
九十度之一象限其甲乙弧三十六度
倍之為甲丁弧七十二度丁己為三十
六度之正弦戊己為三十六度之餘弦
丁庚為七十二度之正弦辛丁為七十
二度之餘弦與戊庚等試自己至壬作
己壬垂線遂成甲己戊己壬戊同式兩
勾股形其甲己戊勾股形之戊甲弦與
戊己股之比同於己壬戊勾股形之戊
己弦與戊壬股之比為連比例三率故
[021-48b]
中率戊己自乘以首率戊甲除之得末
[021-49a]
率戊壬既得戊壬與戊甲半徑相減餘
壬甲倍之得庚甲仍與戊甲半徑相減
餘戊庚與辛丁等即甲丁弧七十二度
之餘弦也
設如本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十小餘/六七
八一一/八六求半弧二十二度三十分之餘弦幾何
法以本弧四十五度之餘弦七萬零七
百一十小餘六七八/一一八六與半徑十萬相減
[021-49b]
餘二萬九千二百八十九小餘三二一/八八一四
折半得一萬四千六百四十四小餘六/六○九
四○/七與本弧四十五度之餘弦七萬零
七百一十小餘六七八/一一八六相加得八萬五
千三百五十五小餘三三九/○五九三與半徑十
萬相乘開方得九萬二千三百八十七
小餘九五三/二五一一即半弧二十二度三十分
之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限
其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二
[021-49b]
十二度三十分乙己為四十五度之正
[021-50a]
弦戊己與庚乙等為四十五度之餘弦
乙辛為二十二度三十分之正弦戊辛
為二十二度三十分之餘弦戊己四十
五度之餘弦與戊甲半徑相減餘己甲
折半得己壬再與戊己相加得戊壬試
自辛至壬作辛壬垂線遂成甲辛戊辛
壬戊同式兩勾股形其甲辛戊勾股形
之戊甲弦與戊辛股之比同於辛壬戊
[021-50b]
勾股形之戊辛弦與戊壬股之比為連
比例三率故首率戊甲與末率戊壬相
乘開方得戊辛為二十二度三十分之
餘弦也
新增有本弧之正弦求其三分之一弧之正弦
設如三十六度之正弦五萬八千七百七十八小餘/五二
五二二/九二求其三分之一十二度之正弦幾何
法用連比例四率有一率求二率使一
率與四率相加與二率三倍等之法以
[021-50b]
三十六度之正弦五萬八千七百七十
[021-51a]
八小餘五二五/二二九二倍之得一十一萬七千
五百五十七小餘○五○/四五八四為七十二度
之通弦乃以半徑十萬自乘得一百億
用七十二度之通弦再乘得一千一百
七十五兆五千七百零五億零四百五
十八萬四千為實又以半徑十萬自乘
三因之得三百億為法按益實歸除之
法除實得四萬一千五百八十二小餘/三三
[021-51b]
八一六/三四為二十四度之通弦折半得二
萬零七百九十一小餘一六九/○八一七即十二
度之正弦也如甲乙丙九十度之一象
限其甲乙弧三十六度甲丁為其正弦
倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之
通弦試以七十二度取其三分之一二
十四度為甲庚弧其通弦甲庚與甲戊
庚戊兩半徑成一戊甲庚三角形又庚
戊半徑截甲己通弦於辛成一庚甲辛
[021-51b]
三角形又依庚辛度向辛甲邊作庚壬
[021-52a]
線成一庚辛壬三角形此兩三角形俱
與戊甲庚三角形為同式形其相當各
邊俱成相連比例故戊甲為一率甲庚
為二率庚辛為三率辛壬為四率也今
甲己七十二度之通弦内有甲庚二率
之三倍而少一辛壬四率葢己癸癸壬/辛甲三段皆
與甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却/重辛壬一小段是甲己通弦内有己癸
癸壬辛甲三二率而/少一辛壬四率也若以甲己通弦為
[021-52b]
髙與一率半徑自乘之方面相乘所成
之長方體則比三倍二率為高與一率
半徑自乘之方面相乘所成之長方體
必少一四率為高與一率半徑自乘之
方面相乘所成之扁方體此扁方體與
二率自乘再乘之正方體等故以一率
半徑自乘之三方面為法除實每次所
得二率之數自乘再乘益入原積則積
漸增與三倍二率與一率半徑自乘之
[021-52b]
方面相乘所成之長方體合而除得之
[021-53a]
數即為二率既得甲庚二率為二十四
度之通弦半之得甲子即甲丑弧十二
度之正弦也
[021-54a]
二簡法有兩弧之正弦餘弦求兩弧相加相減/之正弦有距六十度前後相等弧之正
弦求距弧/之正弦
設如四十五度之正弦七萬零七百一十小餘六七/八一一八
六/餘弦亦七萬零七百一十小餘六七八/一一八六又有二
十四度之正弦四萬零六百七十三小餘六六四/三○七五
餘弦九萬一千三百五十四小餘五四五/七六四二求兩弧
相加六十九度之正弦及兩弧相減二十一度之
正弦各幾何
[021-54b]
法以半徑十萬為一率四十五度之正
弦七萬零七百一十小餘六七八/一一八六為二
率二十四度之餘弦九萬一千三百五
十四小餘五四五/七六四二為三率求得四率六
萬四千五百九十七小餘四一八/八○二○又以
半徑十萬為一率四十五度之餘弦七
萬零七百一十小餘六七八/一一八六為二率二
十四度之正弦四萬零六百七十三小/餘
六六四三/○七五為三率求得四率二萬八千
[021-54b]
七百六十小餘六二三/八四七六乃以兩四率相
[021-55a]
加得九萬三千三百五十八小餘○四/二六四九
六/即兩弧相加所得六十九度之正弦
如以兩四率相減餘三萬五千八百三
十六小餘七九四/九五四五即兩弧相減所餘二
十一度之正弦也如甲乙丙丁九十度
之一象限其乙甲弧四十五度乙己為
四十五度之正弦己戊為四十五度之
餘弦於乙甲弧四十五度加丙乙弧二
[021-55b]
十四度得丙甲弧六十九度又於乙甲
弧四十五度減乙子弧二十四度餘子
甲弧二十一度試自丙至子作丙子線
則丙乙弧乙子弧皆為二十四度丙庚
與庚子皆為二十四度之正弦庚戊則
為二十四度之餘弦今以乙戊半徑為
一率乙己四十五度之正弦為二率庚
戊二十四度之餘弦為三率求得四率
庚辛與壬癸等又以乙戊半徑為一率
[021-55b]
己戊四十五度之餘弦為二率丙庚二
[021-56a]
十四度之正弦為三率求得四率丙壬
故以丙壬加於庚辛庚辛原與/壬癸等共得丙
癸即丙甲弧六十九度之正弦如於庚
辛内減與丙壬相等之庚夘餘夘辛與
子丑等即子甲弧二十一度之正弦也
葢乙己戊與庚辛戊為同式勾股形故
乙戊與乙己之比同於庚戊與庚辛之
比為相當比例四率又寅癸戊與乙己
[021-56b]
戊亦為同式勾股形而寅癸戊勾股形
之寅角與丙庚寅勾股形之寅角為兩
尖相對角其度等癸角與庚角俱為直
角其度又等則戊角必與丙角等如作
庚壬線成丙壬庚勾股形則此形之丙
角既與乙己戊勾股形之戊角等而壬
角又為直角與乙己戊勾股形之己角
等故亦為同式勾股形而乙戊與己戊
之比同於丙庚與丙壬之比為相當比
[021-56b]
例四率也
[021-57a]
設如八十四度之弧距六十度二十四度其正弦九
萬九千四百五十二小餘一八九/五三六八又有三十六度
之弧距六十度亦二十四度其正弦五萬八千七
百七十八小餘五二五/二二九二求距弧二十四度之正弦
幾何
法以八十四度之正弦九萬九千四百
五十二小餘一八九/五三六八内減三十六度之
正弦五萬八千七百七十八小餘五二/五二二九
[021-57b]
二/餘四萬零六百七十三小餘六六四/三○七六
即距弧二十四度之正弦也如有距六
十度前二十四度為三十六度其正弦
五萬八千七百七十八小餘五二五/二二九二距
弧二十四度之正弦四萬零六百七十
三小餘六六四/三○七六求距六十度後二十四
度為八十四度之正弦則以三十六度
之正弦五萬八千七百七十八小餘五/二五二
二九/二與距弧二十四度之正弦四萬零
[021-57b]
六百七十三小餘六六四/三○七六相加得九萬
[021-58a]
九千四百五十二小餘一八九/五三六八即八十
四度之正弦也又如有距六十度後二
十四度為八十四度其正弦九萬九千
四百五十二小餘一八九/五三六八距弧二十四
度之正弦四萬零六百七十三小餘六/六四三
○七/六求距六十度前二十四度為三十
六度之正弦則以八十四度之正弦九
萬九千四百五十二小餘一八九/五三六八與距
[021-58b]
弧二十四度之正弦四萬零六百七十
三小餘六六四/三○七六相減餘五萬八千七百
七十八小餘五二五/二二九二即三十六度之正
弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其
己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距
己二十四度乙甲弧三十六度乙距己
亦二十四度丙庚為八十四度之正弦
乙辛為三十六度之正弦與壬庚等丙
壬為兩正弦之較試自巳至象限中心
[021-58b]
戊作己戊線又自丙至乙作丙乙線則
[021-59a]
丙癸癸乙皆為距弧二十四度之正弦
與丙壬兩正弦之較相等葢己戊甲角
六十度則己戊丁角為三十度丙庚與
丁戊平行則丙子己角與丁戊己角為
二平行線上所成之内外角必相等皆
為三十度丙癸子角為直角則子丙癸
角必為六十度矣又自乙至子作乙子
線則乙癸子與丙癸子為同形勾股形
[021-59b]
癸乙子角亦必為六十度癸子乙角亦
必為三十度兩勾股形合之共成一丙
乙子三角形而丙子乙角亦必為六十
度矣三角度既等則三邊必相等今丙
壬為丙子之半丙癸為丙乙之半丙子
既與丙乙等故丙壬亦必與丙癸等也
有此法凡有六十度以前各弧之正弦
則以各距弧之正弦與之相加可得六
十度以後三十度各弧之正弦若有六
[021-59b]
十度以後各弧之正弦則以各距弧之
[021-60a]
正弦與之相減可得六十度以前三十
度各弧之正弦六十度前後三十度之
正弦用加減而即得較之勾股比例諸
法甚為簡便也
[021-61a]
八線相求
設如四十八度之正弦七萬四千三百一十四小餘/四八
二五四/七七餘弦六萬六千九百一十三小餘○六○/六三五八
求正矢正切正割各幾何
法以半徑十萬内減四十八度之餘弦
六萬六千九百一十三小餘○六○/六三五八餘
三萬三千零八十六小餘九三九/三六四二為正
矢以餘弦六萬六千九百一十三小餘/○六
[021-61b]
○六三/五八為一率正弦七萬四千三百一
十四小餘四八二/五四七七為二率半徑十萬為
三率求得四率一十一萬一千零六十
一小餘二五一/四八三○為正切以餘弦六萬六
千九百一十三小餘○六○/六三五八為一率半
徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率
求得四率一十四萬九千四百四十七
小餘六五四/九八六六為正割也如圖甲乙弧四
十八度甲丙為正弦甲丁為餘弦與丙
[021-61b]
戊等乙丙為正矢故乙戊半徑内減與
[021-62a]
甲丁餘弦相等之丙戊餘乙丙即為正
矢己乙為正切巳戊為正割甲丙戊己
乙戊兩勾股形為同式形故丙戊餘弦
與甲丙正弦之比同於乙戊半徑與己
乙正切之比為相當比例四率又丙戊
餘弦與甲戊半徑之比同於乙戊半徑
與己戊正割之比亦為相當比例四率
也
[021-62b]
又正切求正割捷法以餘弧折半得二
十一度乃以二十一度之正切三萬八
千三百八十六小餘四○三/三五○三六與本弧之
正切一十一萬一千零六十一小餘二/五一四
八三/○相加得一十四萬九千四百四十
七小餘六五四/八三三三即為本弧之正割也如
圖甲乙弧四十八度己乙為正切己戊
為正割試將甲庚餘弧四十二度折半
得庚辛二十一度移於乙壬又作乙癸
[021-62b]
為乙壬弧二十一度之正切與己乙相
[021-63a]
加得己癸與己戊正割相等葢甲戊乙
角四十八度己乙戊角為直角九十度
二角併之為一百三十八度於一百八
十度内減之餘四十二度為戊己乙角
今於甲戊乙角四十八度加乙戊壬角
二十一度遂成己戊癸角為六十九度
仍與戊己乙角四十二度相加於一百
八十度内減之所餘亦六十九度即為
[021-63b]
戊癸己角戊癸己角既與己戊癸角相
等則己戊與己癸邊亦必相等也有此
法則凡有逐度逐分之切線求割線可
止用加法不用四率矣又凡有本弧之
正切正割相減即得半餘弧之正切若
有本弧之正割及半餘弧之正切相減
即得本弧之正切也
設如四十八度之正弧七萬四千三百一十四小餘/四八
二五四/七七餘弦六萬六千九百一十三小餘○六○/六三五八
[021-63b]
求餘矢餘切餘割各幾何
[021-64a]
法以半徑十萬内減四十八度之正弦
七萬四千三百一十四小餘四八二/五四七七餘
二萬五千六百八十五小餘五一七/四五二三為
餘矢以正弦七萬四千三百一十四小/餘
四八二五/四七七為一率餘弦六萬六千九百
一十三小餘○六○/六三五八為二率半徑十萬
為三率求得四率九萬零四十小餘四/○四四
二九/七為餘切以正弦七萬四千三百一
[021-64b]
十四小餘四八二/五四七七為一率半徑十萬為
二率仍以半徑十萬為三率求得四率
一十三萬四千五百六十三小餘二七/二九六○
七/為餘割也如圖甲乙弧四十八度甲
丙為正弦與丁戊等甲丁為餘弦巳丁
為餘矢故已戊半徑内減與甲丙正弦
相等之丁戊餘己丁即為餘矢庚己為
餘切庚戊為餘割甲丁戊庚己戊兩勾
股形為同式形故丁戊正弦與甲丁餘
[021-64b]
弦之比同於己戊半徑與庚己餘切之
[021-65a]
比為相當比例四率又丁戊正弦與甲
戊半徑之比同於己戊半徑與庚戊餘
割之比亦為相當比例四率也
又餘切求餘割捷法以本弧折半得二
十四度乃以二十四度之正切四萬四
千五百二十二小餘六八六/五三一○與本弧之
餘切九萬零四十小餘四○四/四二九七相加得
一十三萬四千五百六十三小餘二七/二九六○
[021-65b]
七/即為本弧之餘割也如圖甲乙弧四
十八度庚己為其餘切庚戊為其餘割
試將甲乙正弧四十八度折半得辛乙
二十四度移於壬己又作癸己為壬己
弧二十四度之正切與庚己相加得庚
癸與庚戊餘割相等葢甲戊己角四十
二度庚己戊角為直角九十度二角相
併為一百三十二度於一百八十度内
減之餘四十八度為戊庚己角今於甲
[021-65b]
戊己角四十二度加己戊壬角二十四
[021-66a]
度遂成庚戊癸角為六十六度仍與戊
庚己角四十八度相加於一百八十度
内減之所餘亦為六十六度即為戊癸
庚角戊癸庚角既與庚戊癸角相等則
庚戊與庚癸邊亦必相等也有此法則
凡有逐度逐分之切線求餘割亦可止
用加法不用四率矣又凡有本弧之餘
切餘割相減即得半本弧之正切若有
[021-66b]
本弧之餘割及半本弧之正切相減即
得本弧之餘切矣
[021-67a]
求象限内各線總法
六宗倂新增十八邊形及九邊形之每邊各半之得
八弧之正弦用要法之一各求其餘弦次取十二度
十五邊/之半用要法之三折半四次得六度三度一度三
十分及四十五分之正弦復用新增法求其三分之
一得十五分之正弦復求其三分之一即得五分之
正弦既得五分之正弦乃用簡法之一求六十度以
内之正弦每越五分而得一弦可得七百二十又用
[021-67b]
簡法之二求六十度以外之正弦亦越五分而得一
弦又得三百六十如以一度之弦與五十九度之弦/相加即六十一度之弦以二度之
弦與五十八度之弦相加即六十二度之弦以至二/十九度之弦與三十一度之弦相加即得八十九度
之弦/也總而計之一象限中共得正弦一千零八十己
居全表五分之一象限中逐分計之共正弦五千四/百故一千零八十為五分之一也
再以五分之弦用要法之三得二分三十秒之弦復
用新增法求其三分之一得五十秒之弦乃以五十
秒之弧為一率五十秒之弦為二率一分之弧化六
十秒為三率得四率為一分之弦既得一分之弦即
[021-67b]
用簡法之一簡法之二錯綜加減之則一象限中每
[021-68a]
度每分之正弦悉得矣既得每度每分之正弦則用
前八線相求之法即得每度每分之切割諸線矣如
於一分之中欲析為六十秒則以比例四率求之即
得每秒之八線也
[021-68b]
御製數理精蘊下編卷十六
