[001-1a]
欽定四庫全書
弧矢筭術 明 顧應祥 撰
圓徑與截矢求截弦
術曰半徑為弦半徑减矢為股各自乗相减餘為勾
筭平方開之得勾即半截弦
又曰以矢减徑以矢乗之即半截弦筭
圓徑十寸從旁截一弧矢闊一寸問截弦
答曰六寸
[001-1b]
術曰半徑自之得二十五 半徑减矢自之得一十
六寸相减餘九平方開之得三倍之即截弦
又曰圓徑自之得一百為弦筭圓徑减倍矢自之得
六十四為股筭相减餘三十六為勾筭平方開之得
全弦
圓徑十三步截矢闊四歩問截弦
答曰十二歩
術曰半徑筭四十二步二五/减矢半徑筭六歩二五/
[001-2a]
相减餘三十六歩為勾筭
又曰全徑筭一百六十九 减倍矢徑筭二十五相
减餘一百四十四平方開之得全截弦
圓徑九十歩截矢九歩問截弦
答曰五十四步
術同
圓材徑二尺五寸鋸板欲厚七寸問闊幾何
答曰板闊二尺四寸
[001-2b]
術曰圓徑為弦自之得六十二尺五寸 板厚為勾
自之得四尺九寸相减得五十七尺六寸為股筭平
方開之
[001-3a]
[001-3b]
闕/
[001-4a]
[001-6a]
商得
一寸 置一於左上為法 置一乗上亷仍得一十
四寸 置一隅因得五以减下亷餘三十五寸 置
一自之以乗下亷仍得三十五寸併上亷得四十九
為下法
圓徑九十歩從旁截積二百八十三歩半問截矢
答曰矢九歩
[001-6b]
術曰倍積自之得三十二萬一千四百八十九歩為
正實 四因積得一千一百三十四為上亷 四因
徑得三百六十為下亷 五為負隅 商得九 置
一於左上為法 置一乗上亷得一萬○二百○六
置一隅因得四十五以减下亷餘三百一十五 置
一自之以乗餘下亷得二萬五千五百一十五併上
亷共二萬五千七百二十一為下法
圓徑九十歩從旁截積八百一十歩問矢
[001-7a]
荅曰矢一十八歩
術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百爲正實
四因截積得三千二百四十為從上亷 四因圓
徑得三百六十為從下亷 五爲負隅 初商一十
置一於左上為法 置一乗上亷得三萬二千四
百 置一以隅因之得五十以减從下亷餘三百一
十 置一自之以乗餘下亷得三萬一千 併上亷
共六萬三千四百為下法與上法相乗除實六十三
[001-7b]
萬四千 餘實一百九十九萬○四百未盡 倍上
亷得六萬四千八百初商自之三因得三百為下亷
方法 初商三之得三十為下亷亷法 初商自乗
再乗隅因得五千為下亷减隅 次商八 置一於
左上為法 置一乗上亷得二萬五千九百二十併
倍上亷共九萬○七百二十 置一併入初商得一
十八以隅因之得九十以减從下亷餘二百七十
以方法乗之得八萬一千 置一乗亷法得二百四
[001-8a]
十以乗餘下亷得六萬四千八百 置一自之得六
十四以乗餘下亷得一萬七千二百八十减去减隅
五千止存一萬二千二百八十 下亷方亷隅共一
十五萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百
為下法與上法相乗除實盡
又術次商八 置一於左上為法 倍初商加次商
得二十八以乗上亷得九萬○七百二十 置一隅
因得四十以减餘下亷止存二百七十倍初商加次
[001-8b]
商併初次商因之得五百○四加初商自之一百共
六百○四以乗二百七十得一十六萬三千○八十
以初商自乗再乗隅因得五千减之止存一十五
萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百為下
法
又為添積開三乗方法
術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百為正實
四因截積得三千二百四十為上亷 四因圓徑
[001-9a]
得三百六十為下亷 五為負隅
初商一十 置一於左上為法 置一自之又自之
得一萬為三乗方面以隅因之得五萬為益實加入
正實得二百六十七萬四千四百為通實 置一乗
上亷得三萬二千四百 置一自之以乗下亷得三
萬六千併上亷共六萬八千四百為下法與上法相
乗除實六十八萬四千 餘實一百九十九萬○四
百未盡為次商正實
[001-9b]
次商八 置一於左上為法 置一加初商自之又
自之得一十○萬四千九百七十六為三乗方面以
隅法因之得五十二萬四千八百八十内减初益實
五萬餘四十七萬四千八百八十為益實加入次正
實共二百四十六萬五千二百八十為通實 倍初
商加次商得二十八以乗上亷得九萬○七百二十
倍初商加次商得二十八併初次商一十八相因
加初商自乗共六百○四以乗下亷得二十一萬七
[001-10a]
千四百四十 併上亷共三十○萬八千一百六十
與上法相乗除實盡
圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截
矢
答曰矢二十五歩
不用倍積術曰積自之得一百七十二萬二千六百
五十六歩二五/ 截積一千三百一十二歩半為上
亷徑八十九歩為下亷以一歩二分五釐為負隅
[001-10b]
初商二十 置一於左上為法 置一乗上亷得二
萬六千二百五十 置一以隅因之得二十五以减
下亷餘六十四 置一自之以乗餘下亷得二萬五
千六百併上亷得五萬一千八百五十為下法與上
法相乗除實一百○三萬七千 餘實六十八萬五
千六百五十六歩二五未盡
次商五 置一於左上為法 置一以隅因之得六
歩二分五釐以减餘下亷餘五十七歩七分五釐
[001-11a]
倍初商加次商得四十五以乗上亷得五萬九千
○六十二半 倍初商加次商併初次商因之得一
千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十
五以乗餘下亷得八萬八千○六十八歩七五 内
减初商自乗再乗隅因一萬 止存七萬八千○六
十八歩七五併上亷共一十三萬七千一百三十一
歩二五 與上法相乗除實盡
解曰弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以
[001-11b]
股除之即得勾弧背曲倍積則長一弦而又一矢以
矢乗積倍之恰得一弦一矢之數因未知矢故以積
自乗為實約矢一度乗積以為上亷兩度乗徑以為
下亷併之為法而後可以得矢用三乗者何也積本
平方以積乗積是兩度平方矣故用三乗方法開之
上亷下亷俱用四因者何也倍積則乗出之數為積
者四故上下亷俱四以就之减徑者何也徑乃圓之
全徑矢乃截處之勾矢本减徑而得故亦减徑以求
[001-12a]
矢五為負隅者何也凡平圓之積得平方四之三在
内者七五在外者二五不拘圓之大小毎方一尺該
虚隅二寸五分四其矢得四四其虚隅得一合而為
五亦升實就法之意如不倍積亷不用四因以一二
五為隅法亦通 或不减徑作添積三乗方法亦通
[001-13a]
[001-13b]
圓徑與截積求截弦
術曰倍積以矢除之减矢即弦
又法用矢徑求弦術
圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截
弦
答曰弦八十歩
術曰倍積得二千六百二十五歩以求出矢二十五
除之得一百○五歩乃一弦一矢减矢即弦
[001-14a]
又曰倍矢减徑餘三十九自之得一千五百二十一
為勾筭全徑自之得七千九百二十一為弦筭相减
餘六千四百為股筭平方開之
若求弧背以徑除矢筭即半背弦差
圓徑與弧背求矢
術曰半弧筭徑筭相乗為實徑乗徑筭為從方徑筭
為上亷徑背相乗為下亷以上亷减從以隅减下亷
三乗方法開之
[001-14b]
平圓徑十尺從旁截處弧背八尺八寸問矢
答曰矢二尺
術曰半弧背自之得一十九尺三寸六分 徑自之
得一百尺 相乗得一千九百三十六尺為正實
徑乗徑筭得一千尺為從方 徑筭一百尺為上亷
全背乗徑得八十八尺為下亷
約商二尺 置一於左上為法 置一乗上亷得二
百尺以减從方餘八百尺 置一自之得四以减下
[001-15a]
亷餘八十四尺 又以二乗餘下亷得一百六十八
尺 併從方共九百六十八尺為下法
又術商矢减徑存八尺以矢乗之得十六平方開之
即得半弦
平圓徑九十歩旁截邊弧背五十五歩八分問矢
答曰九歩
術曰半背筭七百七十八歩四一 徑筭八千一百
二筭相乗得六百三十○萬五千一百二十一為正
[001-15b]
實 徑乗徑筭得七十二萬九千為從方 徑筭八
千一百為上亷 徑背相乗得五千○二十二為下
亷如前法求之
平圓徑九十歩旁截弧背七十九歩二分問矢
答曰矢一十八歩
術曰半弧筭一千五百六十八歩一六 徑筭八千
一百 二筭相乗得一千二百七十○萬二千○九
十六為正實 徑乗徑筭得七十二萬九千為益從
[001-16a]
方 徑筭八千一百為上亷 徑背相乗得七千一
百二十八為下亷
初商一十 置一於左上為法 置一乗上亷得八
萬一千以减從方餘六十四萬八千 置一自之得
一百以减下亷餘七千○二十八 置一乗餘下亷
得七萬○二百八十併减餘從方共七十一萬八千
二百八十為下法與上法相乗除實七百一十八萬
二千八百餘實五百五十一萬九千二百九十六未
[001-16b]
盡
次商八 置一於左次為上法 倍初商加次商得
二十八以乗上亷得二十二萬六千八百以减益從
方餘五十○萬二千二百為從方 併初次商得一
十八自之得三百二十四加初商自之一百為四百
二十四以减下亷餘六千七百○四 倍初商加次
商得二十八因之得一十八萬七千七百一十二
併入從方共六十八萬九千九百一十二為下法與
[001-17a]
上法相乗除實盡
解曰徑除矢筭得半背弦差今以弧背求矢故亦用
半背筭與徑筭相乗為實以徑乗徑筭為從方而從
方内多一矢乗徑筭之數故以徑筭為上亷以矢乗
而减之然從方得矢之方而未得矢之亷也故又以
全背與徑相乗為下亷而下亷之中又多一矢自乗
之數故又約矢以减之而以餘數乗矢為下亷併從
方以為法
[001-17b]
假如周天徑一百二十一度七十五分二十五秒厯書/中不
用秒故/因之
黄赤道内外弧背二十四度 問矢度
答曰四度八十四分八十二秒
術曰半弧背自之得五百七十六度為半弧背筭
周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六分二
十五秒為徑筭 二筭相乗得八百五十三萬八千
○八十四度為正實 徑乗徑筭得一百八十○萬
[001-18a]
四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從
方 以徑筭為上亷 倍半弧背得四十八度以乗
周徑得五千八百四十四度為下亷
初商四度 置一於左上為法 置一乗上亷得五
萬九千二百九十二度二十五分以减益從方餘一
百七十四萬五千四百一十五度六十○分九十三
秒七五置一自之得一十六度以减下亷餘五千八
百二十八度又以四度因之得二萬三千三百一十
[001-18b]
二度為從亷併從方共一百七十六萬八千七百二
十七度六十○分九十三秒七五為下法與上法相
乗除實七百○七萬四千九百一十○度四十三分
七十五秒
餘實一百四十六萬三千一百七十三度五十六分
二十五秒
次商八十分 置一於左上為法 置一倍初商共
八度八十分以乗上亷得一十三萬○四百四十三
[001-19a]
度九十五分以减益從方餘一百六十七萬四千二
百六十四度九十○分九十三秒七五為從方 置
一併初商自之得二十三度○四分加初商自之一
十六度共三十九度○四分以减下亷餘五千八百
○四度九十六又以八度八十分因之得五萬一千
○八十三度六十四分八十秒為從亷 併從方共
一百七十二萬五千三百四十八度五十五分七十
三秒七五為下法與上闕/
[001-20a]
[001-22a]
度九十九分一十八秒五二
七六又以九度六十九分六十二秒乗之得五萬六
千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五
一二為從亷 併從方共一百七十一萬七千一百
八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二
為下法與上法相乗除實三百四十三度四十三分
七十八秒五四六三三○四六三○二四
[001-22b]
餘實一百○五度○九分五十五秒五三○○一七
六九六九七六不勾一秒之數
圓徑與弧背求截弦
術曰求得矢用矢求弦術
圓徑與弧背求截積
術曰求得矢用矢徑求積
截積與截矢求截弦
術曰倍積减矢筭餘如矢而一即弦
[001-23a]
又曰倍積以矢除之减矢
圓不知徑從旁截積二百八十三歩二分歩之一矢闊
九歩問截弦
答曰截弦五十四歩
術曰倍積得五百六十七歩减矢筭八十一餘四百
八十六以矢除之得五十四為弦
圓不知徑從旁截積八百一十步矢闊一十八步問截
弦
[001-23b]
答曰截弦長七十二歩
術同
截積與截弦求截矢
術曰倍積以弦為從方平方開之
圓不知徑從旁截積二百八十三歩二分歩之一截弦
長五十四步問矢
答曰九歩
術曰倍積得五百六十七為實 以五十四為從方
[001-24a]
約商九 置一於左上為法 置一帶從得六十三
為下法與上法相乗除實盡
圓不知徑從旁截積八百一十歩弦長七十二歩問矢
答曰矢一十八歩
術曰倍積得一千六百二十為實 以七十二為從
方
初商一十 置一於左上為法 置一帶從方共八
十二為下法與上法相乗除實八百二十 餘實八
[001-24b]
百 倍初商得二十帶從方共九十二為方法
次商八 置一於左上為法 置一帶方法共一百
為下法與上法相乗除實盡
截積與截矢求圓徑
術曰先求出弦半之為筭如矢而一即矢徑差
又曰積自乗减矢自乗乗積餘為實矢自乗再乗為
法除之加虛隅即徑
圓不知徑從旁截積六十二歩半矢五歩問徑
[001-25a]
術曰積自之得三千九百○六歩二五 矢自之乗
積得一千五百六十二步五相减餘二千三百四十
三步七五為實矢自乗再乗得一百二十五為法除
之得一十八步七五矢乗虚隅一步二分五釐得六
步二分五釐加入即圓徑二十五
截積與截弦求圓徑
術曰先求得矢矢除半弦筭加矢即徑
圓不知徑從旁截積一千三百一十二步半截弦長八
[001-25b]
十步問圓徑幾何
答曰圓徑八十九步
術曰先倍積以弦為從方平方開之得矢二十五步
後用半弦自之得一千六百步以矢除之得六十四
為矢徑差加矢即圓徑
截積與截矢求截弧背弦求弧背同/
術曰先求得徑以除矢筭得半背弦差
截矢與弦求圓徑
[001-26a]
術曰半弦自之如矢而一為矢徑差
圓不知徑從旁截一弧矢闊九步弦長五十四步問圓
徑
答曰圓徑九十步
術曰半弦自之得七百二十九以矢除之得八十一
為矢徑差加矢即徑
截矢與弦求截弧背
術曰先求得徑以除矢筭為半背弦差
[001-26b]
截矢與截弦求截積
術曰以矢加弦以乗矢得二積
截弦與外周求截矢外周乃割殘之周也/
術曰弦筭半弦筭相乗四而三之為實併弦及殘周
乗半弦筭為益方倍半弦筭加弦筭為從上亷併弦
及殘周為下亷以隅併上亷减從以餘從併下亷為
法三乗方法開之
平圓旁割一弧截處弦五十四步外殘周二百一十四
[001-27a]
步二分問截矢幾何
答曰矢九步
術曰弦自之得二千九百一十六為弦筭 半弦自
之得七百二十九為半弦筭 二筭相乗得二百一
十二萬五千七百六十四四而三之得一百五十九
萬四千三百二十三為正實 弦併殘周共二百六
十八步二分以半弦筭乗之得一十九萬五千五百
一十七步八分為益方 倍半弦筭加全弦筭得四
[001-27b]
千三百七十四為從上亷 弦併殘周得二百六十
八步二分為下亷一為隅法
商得九 置一於左上為法 置一乗上亷得三萬
九千三百六十六為减亷 置一自之為八十一以
乗下亷得二萬一千七百二十四步二分為益亷
置一自乗再乗得七百二十九為隅法併入减亷共
四萬○○九十五 以减從方餘一十五萬五千四
百二十二步八分併入下亷共一十七萬七千一百
[001-28a]
四十七步為下法
圓田一段西邊被水浸入一弧弦長二十步外殘周五
十三步問矢闊田徑田積
答曰截矢闊五步圓徑二十五步 弧背二十二步
術曰如積求之得三萬為正實 七千三百為益方
六百為從上亷七十三為益下亷 一為正隅 三
乗方開之得矢闊 矢除半弦筭加矢得徑 倍矢
筭以徑除之得背弦差加弦即弧背 徑自之四而
[001-28b]
三之得田積
圓田水浸一弧弦長七十二步外有殘周一百九十○
步八分問矢闊
答曰矢闊一十八步 弧背七十九步二分
圓徑九十歩 原田二十五畆三分一釐二毫五絲
術曰先求矢闊 弦筭五千一百八十四 半弦筭
一千二百九十六相乗得六百七十一萬八千四百
六十四步四歸三因得五百○三萬八千八百四十
[001-29a]
八為正實 併弦及殘周共二百六十二步八分以
半弦筭乗之得三十四萬○五百八十八步八分為
益從方 倍半弦筭加全弦筭得七千七百七十六
為减上亷 弦併殘周二百六十二步八分為益下
亷
初商一十 置一於左上為法 置一乗减上亷得
七萬七千七百六十為减亷 置一自之以乗益下
亷得二萬六千二百八十為益亷 置一自乗再乗
[001-29b]
得一千為减隅併入减亷共七萬八千七百六十為
减從之算以减益方餘二十六萬一千八百二十八
步八分為從方併益亷共二十八萬八千一百○八
步八分為下法 與上法相乗除實二百八十八萬
一千○八十八 餘實二百一十五萬七千七百六
十未盡
二因减上亷得一十五萬五千五百二十
三因益下亷得七萬八千八百四十為益亷之方
[001-30a]
四因隅法得四千為方法
又以初商三之以乗益下亷得七千八百八十四為
益亷之亷 初商自之六因得六百為隅上亷
初商四之得四十為隅下亷
次商八 置一於左上為法 置一乗初减上亷得
六萬二千二百○八加入前二因上亷得二十一萬
七千七百二十八為减亷 置一乗益亷之亷得六
萬三千○七十二步併益亷之方共一十四萬一千
[001-30b]
九百一十二為益亷之筭 置一自之以乗初益下
亷得一萬六千八百一十九步二分併入益亷之筭
共一十五萬八千七百三十一步二分為益亷 置
一乗隅上亷得四千八百 置一自之以乗隅下亷
得二千五百六十 置一自乗再乗得五百一十二
為隅法併方法上下亷隅法共一萬一千八百七十
二為减隅 併减亷共二十二萬九千六百為减從
之筭以减原從餘一十一萬○九百八十八步八分
[001-31a]
加益亷共二十六萬九千七百二十為下法與上法
相乗除實盡
矢除半弦筭得七十二為矢徑差加矢即圓徑
倍矢筭以圓徑除之得七步二分為弦背差加弦即
弧背 圓徑自之四而三得六千○七十五步以畆
約之為畆
解曰求矢者起於弦與徑今不知徑而有殘周故以
弦自乗半弦自乗相乗為實方中取圓故四而三之
[001-31b]
為三乗方實以弦併殘周與半弦筭相乗為從方而
從方之中又多一弦筭兩半弦筭及矢自乗再乗之
數故以全弦筭與倍半弦筭為上亷併求出矢自乗
再乗之數以减之却以弦併殘周為益下亷以求出
矢兩度乗之併餘從以為法盖隅與上亷專主於减
從而下亷所以益從也
弦筭為平方以弦乗之為立方又以半弦筭乗是為
三乗方
[001-32a]
正實五百○三萬八千八百四十八乃三乘方數内
下亷該除一百五十三萬二千六百四十九步六分
從方該除三百五十○萬六千一百九十八步四分
從方三十四萬○五百八十八步八分乃立方之數
内上亷减一十三萬九千九百六十八隅减五千八
百三十二止存一十九萬四千七百八十八步八分
以矢十八因之以除實
上亷减從除實用减從開平方法
[001-32b]
從方帶上亷一度矢乗之數共三十三萬四千七百
五十六步八分以十八因之該正實六百○二萬五
千六百二十二步四分欠二百五十一萬九千四百
二十四乃上亷减去之數
初商一十 置一為上法 置一乗上亷得七萬七
千七百六十以减從方餘二十五萬六千九百九
十六步八分與上法相乗除實二百五十六萬九
千九百六十八餘實九十三萬六千二百三十○
[001-33a]
步四分 倍上㢘得一十五萬五千五百二十為
亷法
次商八 置一為上法 置一乗上亷得六萬二
千二百○八併亷法共二十一萬七千七百二十
八以減原從餘一十一萬七千○二十八步八分
為下法與上法相乗除實盡
從方假作平方形長一十九萬四千七百八十八步
八分濶一十八步帶十八因上亷共長三十三萬四
[001-33b]
千七百五十六步八分 初商十步十因上亷止除
七萬七千七百六十少減六萬二千二百○八步計
多除正實六十二萬二千○八十 次商濶八步如
從方原長該除實一百五十五萬八千三百一十○
步八分今止餘實九十三萬六千二百三十○步
四分欠六十二萬二千○八十正合初商多除之
數 次商倍亷法多減七萬七千七百六十以
八因之其數適合此自然之妙凡用減從者俱如
[001-34a]
此
隅減從用減從開三乗方法
隅立方併從共二十○萬○六百二十○步八分以
十八因該正實三百六十一萬一千一百七十四步
四分欠一十○萬四千九百七十六乃隅減之數
初商一十 置一為上法 置一自乗再乗得一千
為方法以減從方餘一十九萬九千六百二十○步
八分為下法與上法相乗除實一百九十九萬六
[001-34b]
千二百○八步餘實一百五十○萬九千九百九
十○步四分 四因方法得四千為方法 初商自
之六因得六百為上亷初商四之得四十為下亷
次商八 置一為上法 置一乗上亷得四千
八百 置一自之以乗下亷得二千五百六十
置一自乗再乗得五百一十二為隅法併方亷
隅共一萬一千八百七十二為減從以減原從餘
一十八萬八千七百四十八步八分為下法與上法
[001-35a]
相乗除實盡
初商多存長四千八百三十二濶十步共四萬八
千三百二十次商多減六千○四十以八因之相合
下亷除實
下亷二百六十二步八分十八因之得四千七百三
十○步四分為平方積又十八因得八萬五千一
百四十七步二分為立方積又十八因得一百五十
三萬二千六百四十九步六分為三乗方積
[001-35b]
初商一十 置一為上法 置一自之以乗下亷得
二萬六千二百八十為下法與上法相乗除實二十
六萬二千八百餘實一百二十六萬九千八百四十
九步六分 三因下法得七萬八千八百四十為方
法 三因初商以乗下亷得七千八百八十四為
亷法 次商八置一為上法 置一乗亷法得六
萬三千○七十二步置一自之以乗下亷得一萬
六千八百一十九步二分併方亷共一十五萬八
[001-36a]
千七百三十一步二分為下法除盡
方圓術附/
圓求容方
術曰方徑即圓徑若求圓積四而三之不必立法惟
以圓求方其法不一姑録於此盖徑一則圍不止於
三所謂圍三徑一者舉其大較耳
圓周五尺中容一斗斗方面幾何
答曰斗靣一尺一寸六分六釐三分釐之二/
[001-36b]
術曰七因周得三尺五寸以三歸之
此術載呉信民筭法以周為弦以方為股然七因五
尺為三十五未是
圓材徑二尺一寸為方靣幾何
答曰方徑一尺四寸五十八分寸之四十九
術曰徑為股自之得四百四十一寸折半平方開之
又曰三因徑得六尺三寸七分因之三歸得方靣一
尺四寸一十分寸之七
[001-37a]
圓徑十尺問容方面幾何
答曰容方面七尺
術曰三其徑得三十尺以七寸因之得二十一尺三
歸得七尺方圓之術徑一則圍三有竒方五則斜七
有竒難以一定之法例之徑自之折半平方開之多/一筭
圓徑折變
圓周求徑
古法圍三徑一 徽術周一百五十七徑五十
[001-37b]
宻術周二十二徑七
周八十四問徑
古術答曰二十八
術用三歸
徽答曰二十六步一百五十七分步之一百一十八/
術曰周五十因如一百五十七而一
宻答曰二十六步一十一分步之八/
術曰周七因如二十二而一
[001-38a]
周八十七二十五分步之二十三/問徑
古術答曰二十九步七十五分步之二十三/
術曰分母通其全分子從之得二千一百九十八為
實三因分母得七十五為法
徽答曰二十八步
術曰分母通其全分子從之以五十因之得一十○
萬九千九百為實 一百五十七因分母得三千九
百二十五為法
[001-38b]
宻答曰二十七步二百七十五分步之二百六十八/
術曰分母乗其全分子從之七因得一萬五千三百
八十六置分母以二十二因得五百五十為法不盡
者法實俱半約之
假如厯法周天三百六十五度二十五分七十五秒問
周天徑幾何
答曰一百二十一度七十五分二十五秒
此以圍三徑一求之
[001-39a]
以徽術求之為徑幾何
答曰徑一百一十六度三十二分四十秒一百五十/七分秒之
七/
術曰五十因周得一萬八千二百六十二度八十七
分五十秒以一百五十七除之
以宻術求之為徑幾何
答曰一百一十六度二十一分八十二秒二十二分/秒之二十
一/
[001-39b]
術曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十
五秒以二十二除之
圓徑求周
圓徑二十八問周
古法答曰八十四
術用三因
徽答曰八十七步二十五分步之二十三/
術曰徑一百五十七因得四千三百九十六如五十
[001-40a]
而一
宻答曰八十八步
術曰徑二十二因如七而一
圓徑二十六步一百五十七分步之一百一十八/問周
古法答曰八十步一百五十七分步之四十/
術曰分母通其全分子從之三因得一萬二千六百
為實如分母而一
徽答曰八十四步
[001-40b]
術曰分母通其全分子從之又一百五十七因得六
十五萬九千四百為實 分母五十因得七千八百
五十為法
又曰分母通其全分子從之得四千二百如五十而
一
宻答曰八十四步一百五十七分步之一十二/
術曰分母通其全分子從之又二十二因得九萬二
千四百為實 七因分母得一千○九十九為法
[001-41a]
圓徑二十六歩一十一分步之八/問周
古法答曰八十步一十一分步之二/
術曰分母通其全分子從之得二百九十四又三因
得八百八十二為實如分母而一
徽答曰八十三步二百七十五分步之二百五十四/
術曰分母通其全分子從之又一百五十七因得四
萬六千一百五十八為實 五十因分母得五百五
十為法
[001-41b]
宻答曰八十四步
術曰分母通其全分子從之又二十二因得六千四
百六十八為實 七因分母得七十七為法
又曰分母通其全分子從之倍之得五百八十八如
七而一
圓周求積
周八十四問積
古術答曰五百八十八步
[001-42a]
術曰周自之得七千○五十六如圓法十二而一
徽答曰五百六十一步一百五十七分步之一百二/十三
術曰周自之又二十五因得一十七萬六千四百為
實如三百一十四而一
宻答曰五百六十一步一十一分步之三/
術曰周自之七因得四萬九千三百九十二為實如
八十八而一
圓周八十七步二十五分步之二十三/問積
[001-42b]
古法答曰六百四十四步一千八百七十五分步之/三百○一
術曰分母通其全分子從之得二千一百九十八自
之得四百八十三萬一千二百○四為實 分母自
之得六百二十五又十二因得七千五百為法
徽答曰六百一十五步二十五分步之一十一/
術曰分母通其全分子從之自乗又以二十五乗之
得一億二千○七十八萬○一百為實 分母自乗
又以三百一十四乗之得一十九萬六千二百五十
[001-43a]
為法除之不盡八萬六千三百五十法實皆七千八
百五十約之
宻答曰六百一十四步一萬三千七百五十分步之/一萬二千一百○七
術曰分母通其全分子從之自乗又七因得三千三
百八十一萬八千四百二十八為實 分母自乗又
八十八因得五萬五千為法除之不盡四萬八千四
百二十八法實皆四約之
周八十八步問積
[001-43b]
古法答曰六百四十五步三分步之一/
術曰周自之得七千七百四十四如十二而一
徽答曰六百一十六步一百五十七分步之八十八/
術曰周自乗二十五因得一十九萬三千六百為實
如三百一十四而一
宻答曰六百一十六步
術曰周自之七因得五萬四千二百○八為實如八
十八而一
[001-44a]
圓徑求積
圓徑二十八步問積
古術答曰五百八十八步
術曰徑自乗四歸三因
徽答曰六百一十五步二十五分步之一十一/
術曰徑自乗以七十八步半因之得六萬一千五百
四十四如百而一
宻答曰六百一十六步
[001-44b]
術曰徑自乗一十一因得八千六百二十四如一十
四而一
圓徑二十六步一百五十七分步之一百一十八/問積
古法答曰五百三十六步二萬四千六百四十九分六/步之一萬八千一百三十
術曰分母通其全分子從之自乗四歸三因得一千
三百二十三萬為實分母自之得二萬四千六百四
十九為法
徽答曰五百六十一步二萬四千六百四十九分步/之一萬九千三百一十一
[001-45a]
術曰分母通其全加分子自乗又以七十八步半乗
之得一十三億八千四百七十四萬為實 分母自
乗百因得二百四十六萬四千九百為法
宻答曰五百六十二步二萬四千六百四十九分步/之七千二百六十二
術曰分母通其全加分子自乗得數又以一十一因
之得一億九千四百○四萬為實
分母相乗又十四因之得三十四萬五千○八十六
為法除之未盡一十○萬一千六百六十八法實皆
[001-45b]
一十四約之
圓徑二十六步一十一分步之八/問積
古法答曰五百三十五步一百二十一分步之九十/二
術曰分母通其全加分子自乗得數四而三之得六
萬四千八百二十七為實
分母相乗為法
徽答曰五百六十步六千○五十分步之四千六百/一十三
術曰分母乗其全加分子自乗又以一百五十七乗
[001-46a]
之得一千三百五十七萬○四百五十二為實 分
母自乗二百因之得二萬四千二百為法
宻答曰五百六十一步一十一分步之三/
術曰分母通其全加分子自乗又一十一因之得九
十五萬○七百九十六為實 分母自之又十四因
之得一千六百九十四為法
圓積求周
圓積五百八十八步問周
[001-46b]
古法答曰周八十四步
術曰十二因積平方開之
徽答曰八十五步一萬七千一百分步之一萬六千/五百二十八
術曰積三百一十四因得一十八萬四千六百三十
二以二十五除之得七千三百八十五步二八平方
開之
宻答曰八十五步一百七十一分步之一百六十七/
術曰積八十八因得五萬一千七百四十四七除之
[001-47a]
得七千三百九十二平方開之
平方還原方自乗以分母乗之得一百二十三萬五
千四百七十五 分母子相乗得二萬八千五百五
十七為益實併得一百二十六萬四千○三十二為
實分母為法除之還原
圓積六百一十六步問周
古法答曰周八十五步一百七十一分步之一百六/十七
術曰十二因積得七千三百九十二為實平方開之
[001-47b]
徽答曰八十七步一萬七千五百分步之一萬六千/七百九十六
術曰積三百一十四因得一十九萬三千四百二十
四以二十五除之得七千七百三十六步九六平方
開之不盡者以百因約之
宻答曰八十八步
術曰積八十八因得五萬四千二百○八以七除之
得七千七百四十四平方開之
圓積五百六十一步一百五十七分步/之一百二十三問周幾何
[001-48a]
古法答曰周八十二步二萬五千九百○五分步之/二千七百三十二
術曰分母乗其全加分子得八萬八千二百以圓法
十二因之得一百○五萬八千四百為實 以一百
五十七為隅法作𢃄從隅開平方法除之
初商八十 置一於左上為法 置一乗從隅得一
萬二千五百六十為隅法與上法相乗除實一百○
○萬四千八百餘五萬三千六百未盡 倍隅法得
二萬五千一百二十為亷法 約次商二 置一於
[001-48b]
左次為上法 置一乗從隅得三百一十四併入亷
法共二萬五千四百三十四為下法與上法相乗除
實五萬○八百六十八 尚餘二千七百三十二
倍八十二加一筭以分母乗之為母約之
又術分母通其全加分子十二因之得一百○五萬
八千四百又以母乗之得一億六千六百一十六萬
八千八百平方開之得一萬二千八百九十 餘實
一萬六千七百未盡另寄 將開出之數以分母約
[001-49a]
之得八十二 仍未盡一十六以分母乗之得二千
五百一十二加入寄位共一萬九千二百一十二為
不盡之數 倍八十二加一筭得一百六十五以分
母乗之得二萬五千九百○五
徽答曰八十四步
術曰分母通其全加分子得八萬八千二百以三百
一十四因得二千七百六十九萬四千八百以二十
五因分母得三千九百二十五為法除之得七千○
[001-49b]
五十六平方開之
宻答曰八十四步二千○四十一分步之一百○八/
術曰分母通其全加分子得八萬八千二百又八十
八因得七百七十六萬一千六百 七因分母作一
千○九十九除之得七千○六十二 餘實四百六
十二未盡
置七千○六十二平方開之得八十四 餘六未盡
以分母通之得九百四十二加前未盡共一千四百
[001-50a]
○四倍八十四加一筭得一百六十九以分母乗之
得二萬六千五百三十三是謂二萬六千五百三十
三分步之一千四百○四 法實皆十三約之得二
千○四十一分步之一百○八
積四十五步一十一分步之九/爲宻圓周幾何
答曰二十四步
術曰分母乗其全加分子得五百○四以八十八因
之得四萬四千三百五十二以七因分母為七十七
[001-50b]
除得五百七十六平方開之
右四元玉鑑所載不用從隅
圓積求徑
圓積五百八十八步問徑
古法答曰二十八步
積三歸四因平方開之
徽答曰二十七步八千六百三十五分步之三千一/百四十七
術曰積百因得五萬八千八百以七十八步半為從
[001-51a]
隅平方開之 初商二十置一於左上為法置一乗
從隅得一千五百七十為隅法與上法相乗除實三
萬一千四百餘實二萬七千四百未盡 倍隅法得
三千一百四十為亷法 約次商七 置一於左次
為上法 置一乗從隅得五百四十九步半併亷法
共三千六百八十九步半為下法與上法相乗除實
二萬五千八百二十六步半 餘實一千五百七十
三步半 倍二十七加一筭得五十五以七十八步
[001-51b]
半因之得四千三百一十七步半法實皆倍命之
宻答曰二十七步六百○五分步之二百一十三/
術曰積一十四因得八千二百三十二以一十一為
從隅平方開之 初商二十 置一於左上為法
置一乗從隅得二百二十為隅法與上法相乗除實
四千四百餘實三千八百三十二 倍隅法得四百
四十為亷法 約次商七 置一於左次為上法
置一乗從隅得七十七為隅法 併亷隅共五百一
[001-52a]
十七為下法與上法相乗除實三千六百一十九餘
實二百一十三未盡如前法約之
積六百一十五步二十五分步之一十一/問徑
古法答曰二十八步四千二百七十五分步之二千/七百四十四
術曰分母乗其全加分子得一萬五千三百八十六
以四因之得六萬一千五百四十四分母三之為七
十五為從隅平方開之餘實二千七百四十四倍開
出之數加一算得五十七以從隅因之得四千二百
[001-52b]
七十五為母約之
徽答曰二十八步
術曰以積分母除分子得四分四釐加全步得六百
一十五步四分四釐百之得六萬一千五百四十四
為正實以七十八步五分為從隅平方開之
宻答曰二十七步一萬五千一百二十五分步之一/萬四千九百二十九
術曰置積以分母通之加分子得一萬五千三百八
十六以一十四因之得二十一萬五千四百○四為
[001-53a]
正實以二百七十五為從隅平方開之 餘實一
萬四千九百二十九 倍徑加一算以從隅乗之為
分母約之
平圓積四十五步一十一分步之九/問宻圓徑幾何
答曰七步一十一分步之七/
術曰分母乗其全加分子以一十四乗之得七千○
五十六平方開之得八十四以一十一除之不盡七
還原法曰分母乗七加分子自之又一十一因得
[001-53b]
七萬七千六百一十六為實 分母自之又一
十四因得一千六百九十四為法 除之得四十
五餘一千三百八十六法實皆一百五十四約之
還原數
黄鍾算附
假如黄鍾之管空容九分問圍圓幾何
答曰圍圓一十○分三釐二百○七分釐之一百九/十一
此以圍三徑一求之十二因積得一百○八平方
[001-54a]
開之以徽術推之得幾
答曰圍一十○分七釐二百一十五分釐之五十五/
術曰積三百一十四因得二千八百二十六以二十
五除之得一百一十三○四平方開之
以宻術推之得幾
答曰圍一十○分一百四十七分分之九十二/
術曰積八十八因得七百九十二如七而一得一百
一十三七分之一/平方開之不盡一十三以七因加
[001-54b]
一為子倍十分加一七因為母命之
黄鍾之管空容九分問徑
答曰徑三分四釐六毫六百九十三分毫之二百八/十四
此用三歸四因平方開之
以徽術求之
答曰徑三分三釐八毫五十三萬一千四百四十五分/毫之三萬一千八百四十六
術曰百因積得九百分以七十八分半為從隅平
方法開之 初商三分 置一於左上為法 置一乗
[001-55a]
從隅得二百三十五分五釐為下法與上法相乗除
實七百○六分半餘實一百九十三分半倍隅法得
六分為㢘法 次商三釐 置一於左上為法 置
一併亷法共六十三釐以乗從隅得四千九百四十
五釐五毫與上法相乗除實一百四十八分三釐六
毫五絲餘實四十五分一釐三毫五絲 倍初次商
得六分六釐為亷法三商八毫 置一於左上為法
置一併亷法共六分六釐八毫以乗從隅得五百
[001-55b]
二十四分三釐八毫與上法相乗除實四十一分九
釐五毫○四忽餘實三分一釐八毫四絲六忽 倍
商加一算以從隅乗之為分母命之
以宻術求之得徑幾
答曰徑三分三釐七百三十七分釐之六百二十一/
術曰一十四因積得一百二十六以一十一為從隅
平方開之 初商三分 置一於左上為法 置一
乗從隅得三十三分與上法相乗除實九十九分餘
[001-56a]
實二十七分 倍下法得六分為亷法 次商三釐
置一為上法 置一併亷法乗從隅得六百九十
三釐與上法相乗除實二十○分七釐九毫餘實六
分二釐一毫 倍商加一算以從隅因之得七百三
十七為分母命之
還原曰徑相乗得一十○分八釐九毫以一十一因
得一百一十九分七釐九毫加不盡四分二釐一毫
得原數
[001-56b]
黄鍾之大小不係於此但假此以明數之㣲妙耳嘗
觀儒者之論律管徃徃泥於數而不察夫理假如黄
鍾之實乃十一度三因以起十一律之數律管以三
分為損益故十一度三之非實有數也實乃算法中
之實耳雖蔡九峯亦謂仲呂之實數不可三其數不
行此律之所以止於十二也殊不知五音六律乃天
地隂陽自然之理聖人因之製管以宣其聲而又三
分損益以定其管之長短使其無相奪倫顧乃以數
[001-57a]
為造律之本豈不謬哉
律管算附律管以三分損益故止立二三四乗除之法
二一如二 二二如四 二三如六
二四如八 二五作一一 二六作一三
二七作一五 二八作一七 二九作二
三一如三 三二如六 三三作一
三四作一三 三五作一六 三六作二
三七作二三 三八作二六 三九作三
[001-57b]
四一如四 四二如八 四三作一三
四四作一七 四五作二二 四六作二六
四七作三一 四八作三五 四九作四 右因
二歸逢一作四一逢二進一
三歸逢一作三 逢二作六 逢三進一
四歸逢一作二一逢二作四二 逢三作六三
逢四進一 右歸
黄鍾管長九寸 三歸二因
[001-58a]
林鍾管長六寸 三歸四因
太簇管長八寸 三歸二因
南呂管長五寸三分 三歸四因
姑洗管長七寸一分 三歸二因
應鍾管長四寸六分六釐 三歸四因
㽔賔管長六寸二分八釐 三歸四因
大呂管長八寸三分七釐六毫 三歸二因
夷則管長五寸五分五釐一毫 三歸四因
[001-58b]
夾鍾管長七寸四分三釐七毫三絲 三歸二因
無射管長四寸八分八釐四毫八絲 三歸四因
仲呂管長六寸五分八釐三毫四絲六忽
右術止用九寸損益以定十一律管不必用十一度
三因若求變黄鍾就以仲呂之管三歸四因即是不
必更用七百二十九乗之數
弧矢算術