[071-1a] 
欽定四庫全書
厯算全書卷五十八
宣城梅文鼎撰
㡬何補編卷四
方燈
凡燈形内可容立方立方在燈體内必以其尖角各切
於八三角面之心
如圖
[071-1b]
燈體者立方去其八角也平
分立方面之邊為㸃而聯為
斜線則各正方面内成斜線
正方依此斜線斜剖而去其
角則成燈體矣此體有正方
面六三角面八而邊線等故
亦為有法之體
凡燈體内可容八等面八等面在燈體内又以其尖角
[071-2a]
各切於六方面之心
凡燈體内可容立圓此立圓内仍可容八等面此八等
面在立圓内可以各角切立圓之㸃同㑹於燈體之六
方面而成一㸃
凡燈體容立圓其内仍可容諸體然惟八等面在立圓
内仍能切燈體餘不能也按圓燈在立圓内亦能切燈
體與八等面同
凡諸體相容皆有一定比例以其外可知其内
[071-2b]
燈體之邊設一百其幂一萬○倍之二萬開方得一百
四十一四二/一三為燈之高及其腰廣邊如方面高廣如/斜故倍幂求之
以高一百四十一四二/一三乘方斜之面幂二萬得二百八
十二萬八千四百二十六為方斜之立方積
立方積五因六除得二百三十五萬七千○二十一為
燈積
燈積為立方六之五
以燈積減立積餘四十七萬一千四百○五為内容八
[071-3a]
等面積此八等面在立積内亦在燈積内皆同腰廣同
高 其積之比例為立積六之一為燈積五之一
此相容比例
八等面與燈積不惟同高廣亦且同邊故五之一亦即
為八等面與燈積同邊之比例也
燈形内容立方其邊為燈體高廣三之二 設燈體邊
一百其高廣一百四十一四二/一三則内容立方邊九十四
二八/○八立方積八十三萬八千○五十一
[071-3b]
燈高廣自乘之幂二萬如左圖甲乙方去其左右各六
之一餘三之二如丙丁矩又去其两端六之一餘三之
二如戊正方丙丁矩一萬三千
三百三十三三/三戊正方八千
八百八十八八/八為内容正方
之一面幂其根九十四二八/○八
以根乘面得八十三萬八千
○五十一
[071-4a]
凡等邊平三角之心依邊剖
之皆近大邊三之一燈内容
立方之八角皆切於平三角
之心燈改立方則所去者皆
四圍斜面三之一於前形爲六之一四圍皆六之一合
之爲三之一而所存必三之二矣
凡立方體各自其邊之中半斜剖之得三角錐八此八
者合之卽同八等面體
[071-4b]
依前算八等面體其邊如方其中高如方之斜若以斜
徑爲立方則中含八等面體而其體積之比例爲六與一
何以言之如己心辛爲八等
面之中高庚心戊爲八等面
之腰廣己庚己戊戊辛辛庚
則八等面之邊也若以庚心
戊腰廣自乗爲甲乙丙丁平面又以己辛心中高乗之
爲甲乙丙丁立方立方一面之/形與平面等則八等面之角俱正切
[071-5a]
於立方各面之正中而爲立方内容八等面體矣夫己
心辛庚心戊皆八等面己庚/等面爲方之斜也故曰以其斜
徑爲立方則中含八等面體也
又用前圖甲乙丙丁爲立方之上下平面從己庚庚辛
辛戊戊己四線剖至底則所存爲立方之半而其所剖
三角柱體四合之亦爲立方之
半也
此方柱也其高之度如其方之斜
[071-5b]
立方之四隅各去一立三角
柱則成此體 其積爲立方
之半爲八等面之三倍其中
仍容一八等面體
八等面體在方柱體内
柱形從對角斜線如己辛/戊庚剖
至底又從對邊十字線如丑/尾卯
箕/剖至底又從腰線角申/亢横
[071-6a]
截則剖為三角柱一十六即/皆
如心辛申/未丑之體
三角柱眠視之則塹堵也
塹堵從一尖即心/尖斜剖至對
底未/申則鼈臑也鼈臑居塹堵
三之一
塹堵立則為三角柱鼈臑立
則為三角錐
[071-6b]
八等面體從尖心剖至對角
亦剖至對邊而皆至底子/又
從腰角申/亢横剖之則成三角
錐十六
夫方柱為塹堵十六而八等
面為鼈臑亦十六則塹堵鼈
臑之比例即方柱八等面之
比例矣鼈臑為塹堵三之一
[071-7a]
則八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等
面既為方柱三之一不得不為立方六之一矣
立方内容燈體
甲庚立方體六面各平分其
邊如壬丑癸卯及子/未酉午辰諸㸃而斜剖
其八角如從丑癸剖至子從/從癸卯剖至酉從酉
剖至午未則立/方去其八角成燈體
燈體立方六之五
[071-7b]
何以知之立方所去之八角
合之即成八等面八等面既
為立方六之一則所存燈體
不得不為立方六之五矣
凡立方内容燈體皆以燈之邊線為立方之半斜立方内
之燈體又容八等面則以内八等面之邊線為立方之
半斜與立方竟容八等面無異推此燈内容八等面其
邊線必等其中徑亦等
[071-8a]
剖立方之角成此
以剖處為底則三邊等以立
方之角丁為頂成三角扁錐
[071-8b]
扁錐立起則成偏頂錐為八
等面分體
凡八等面容燈體皆以燈體
之邊線得八等面之半八等
面内之燈體又容立方則亦
方斜比例與八等面竟容立
方無異也
[071-9a]
甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁
乙皆八等面之一己子卯等
小三角在甲丁丙等大三角
面内即燈體之八斜面正切
於八等面者也其中央心㸃
即内容立方角所切
等徑之比例
立方徑一 其邊一 其積一 一○○○○○○
[071-9b]
内容燈徑一 其邊○七 其積六之五○八三三三○○
内容八等面徑一 其邊○七 其積六之一○一六六六○○
凡立方内容燈體燈内又容立圓圓内又容八等面其
切於立方之面之中央凡六處皆同一㸃若立圓内容
燈體燈内又容立方方内又容八等面其相切俱隔逺
不能同在一㸃
凡燈體皆可依楞横剖如方燈横剖成六等邊面故其
外切立圓之半徑與邊等 如圓燈横剖成十等邊面
[071-10a]
故其外切立圓之半徑與其邊若理分中末之全分與
其大分
凡諸體改為燈皆半其邊作斜線剖之
凡燈體可補為諸體皆依其同類之面之邊引之而㑹
於不同類之面之中央成不同類之錐體乃虛錐也虛
者盈之即成原體所以化異類為同體也
如方燈依四等邊引之補其八隅成八尖即成立方
若依三等邊引之補其六隅成六尖即成八等面
[071-10b]
如圓燈依五等邊引之補其二十隅成二十尖即成十
二等面若依三等邊引之補其十二隅成十二尖即成
二十等面
増異類之面成錐則改為同類之面而異類之面隱此
化異為同之道也
凡燈體之尖皆以两線交加而成故稜之數皆倍於尖
方燈十二尖二十四稜/圓燈三十尖六十稜
凡燈體之稜即/邊皆可以聯為等邊平面圏 如方燈二
[071-11a]
十四稜聯之則成四圏每圏皆六等邊如六十度分圓
線 圓燈六十楞聯之則成六圏每圏皆十等邊如三
十六度分圓線 此外惟八等邊聯之成三圏每圏四
楞成四等面而十二稜成六尖有三稜八觚之正法
其餘四等面十二等面二十等面皆不能以邊正相聯
為圏
燈體亦有二
其一為立方及八等面所變其體有正方之面六三角
[071-11b]
之面八有邊稜二十四而皆同長稜尖凡十有二
其一為十二等面二十等面所變其體有五等邊之面
十二有三角等邊之面二十有邊楞六十而皆同長稜
尖凡三十
立方及八等面所變是刓方就圓終𢃄方勢謂之方燈
十二等面及二十等面所變是削圓就方終帶圓體謂
之圓燈方燈為立方及八等面所變其狀並同而比例
同
[071-12a]
甲乙立方體丙丁戊己庚辛
壬癸子皆其邊折半處各於
折半㸃聯為斜線如丙戊/丙己等依
此燈體斜線剖而去其角則
成燈形矣
燈形之丁辛高丙丁濶皆與立方同徑 其邊得立方
之半斜假如立方邊丁辛一百則/燈體邊丁壬七十有竒其積得立方六之五
假如立方邊一百其積百萬則燈體邊七十/有竒其積八十三萬三千三百三十三三三此為立方
[071-12b]
内容燈體之比例也若燈與立方同邊必反小于燈假/如
燈體邊亦一百則其積二百三十五萬七千○二/十一而立方一百之積只一百萬是反小於燈也
解曰燈體邊一百如前圖/之丁壬其外切立方必徑一百四十
一四二一三如/前圖之丁辛其自乘之幂二萬以徑乘幂得二百八
十二萬八四二六為立方積再五因六除得燈積二百
三十五萬七千○二十一
又法以燈邊自乘倍之開方得根仍以根乘倍幂再五
因六除
[071-13a]
見積亦同
甲乙為八等面體 甲乙丙
丁戊皆其邊稜所輳之尖
甲丙丁面三邊皆等其三邊
折半於辛於庚於己
甲丁戊面其邊折半於辛於
壬於癸乙丙丁面其邊折半
於寅於己於丑乙丁戊面其
[071-13b]
邊折半於丑於癸於子各以折半㸃聯為斜線則各成
小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等邊面其邊
皆半於原邊如庚辛得丁丙之半餘三邊同
各自其小三角之面之邊剖之而去其錐角則成燈形
矣
如依辛巳己丑丑癸癸辛四邊平剖之而去其丁角以/丁
角為尖辛巳丑癸為底成/扁方錐甲丙乙戊尖並同則所剖處成辛巳丑癸平方
面去甲壬辛庚錐成卯壬辛庚面去丙庚己/寅錐成庚酉寅己面並同一法餘可類推
[071-14a]
八等面體有六角皆依法剖之成平方面六而剖之後
各存原八等面中小三角等邊面八與立方剖其八角
者正同
燈形之高濶皆得八等面之半
如辛丑高得甲乙之半
己癸濶得丙戊之半
其邊亦為八等面原邊之半
其積得八等面八之五
[071-14b]
何以知之曰同類之體積以
其邊上立方積為比例故邊
得二之一其積必八之一也
今所剖去之各尖俱以平
方為底而成方錐兩方錐合
為一八等面體皆等面等邊
與原體為同類而其邊正得
原邊二之一則其積為八之
[071-15a]
一也 原體六尖各有所成之錐體皆相等合之成同
類八等面之體凡三其積共為原積八之三以為剖去
之數則所存燈體得八之五也
如上圖甲乙二錐合為八等面體一丙戊二錐合為八
等面體一 丁尖及所對之尖其二錐合為八等面體
一 通共剖去同類之形三
假如八等面之邊一百則其積四十七萬一千四百○
四其所容燈體邊五十其積必二十九萬四千六百二
[071-15b]
十七五 以八等面積五因八歸之見積
或用捷法竟以十六歸進位所得燈積亦同
右法乃八等面内容燈體比例也
若燈體之邊與八等面同大則其積五倍大於八等面
假如燈體邊一百則其積二百三十五萬七千○二十
以八等面邊一百之積四十七萬一千四百○四加五
倍得之 此法則燈體與八等面同為立方所容之比
例亦即為燈内容八等面之比例
[071-16a]
准此而知燈内容八等面八等面又容燈則内燈體為
外燈體八之一
燈體内容八等面 五之一 用畸零乘法化大分為小分/以八等面母數八乘五之一
八等面内容燈體 八之五 得八乘母數五得四十/
外燈體四十 八等面體八 内燈體五 合之為内體得外
體四十之五約為八之一
又八等面容燈燈又容八等面内八等面亦為外八等面八之
一 其體之比例既同則其所容之比例亦同也
[071-16b]
立方内容燈體燈内又容立方則内立方邊得外立方邊三之
二内立方積得外立方積二十七之八
以三之二自乘再乘為三加之比例也
六 之 五 一百三十五
二十七之八 四十八
准此而知燈内容立方則内立方積得燈積一百三十五之四
十八 若燈容立方立方又容燈則内燈積亦為外燈積二十
七之八其為所容者之比例即能容者之比例故也
[071-17a]
求方燈所去錐體
三角錐稜皆五十即原邊之
半甲乙甲/丙甲丁 底之邊皆七十
○七一/○七即燈體之邊丙乙乙/丁丁丙
其半三十五三五五三/乙戊戊丁
求甲戊斜垂線
法曰乙丁為甲乙之方斜線則甲戊為半斜與乙戊戊
丁等皆三十五三五/五三其幂皆一千二百五十
[071-17b]
求丙戊中長線
以戊丁幂三因之為丙戊幂平方開之得六十一二三/七二
為丙丁乙等邊三角形中長線
求甲己中高線
法以戊丁幂一千二/百五十取三之一為己戊幂四百一十六/六六六六
與甲戊幂即丁/戊幂相減餘八百三十三/三三三三為甲己中高幂開
方得甲己中高二十八八六/七五
又以己戊幂開方得己戊二十○四一/二四以己戊二十○/四一二
[071-18a]
四/乘戌丁三十五三/五五三得七百二十一/六八六五又三因之得二千/一百
六十四○/五七五為乙丙丁三等邊幂
又以中高甲己二十八八/六七五乘之得數三除之得三角錐
積二萬○八百二十三六六/三五又八乘之得一十六萬六
千五百八十七三/○為所去八三角錐共積即立方一百
萬六之一與前所推合本該一十六萬六千六百六十/六六六不盡因積算尾數有欠
然不過萬/分之一耳
圓燈為十二等面二十等面所變體勢並同而比例亦
[071-18b]
别
公法皆於原邊之半作斜線相聯則各平面之中成小
平面此小平面與原體之平面皆相似即為内容燈體
之面 依此小平面之邊平剖之去原體之銳角此所
去之銳角皆成錐體錐體之底平割錐體則原體挫銳
為平亦成平面於燈體原有若干銳亦成若干面而與
先所成之小平面不同類然其邊則同
如圖
[071-19a]
十二等面每面五邊等今自
其各邊之半聯為斜線則成
小平面於内亦五等邊為同
類
依此斜線剖之而去其角所
去者皆成三角錐錐體既去
即成三等面為異類
原有十二面故所存小平面
[071-19b]
同類者亦有十二
原有二十尖故所剖錐體而
成異類之面者亦二十
求燈體邊
法以十二等面邊為理分中末之大分求其全分而半
之即為内容燈體之邊
一率 理分中末之大分 六十一八○三/三九八
二率 理分中末全分之半 五十○
[071-20a]
三率 十二等面之邊 一百○○
四率 内容燈體之邊 八十○九○/一七
燈體邊原為大横線之半十二等面邊與其大横線若
小分與大分則亦若大分與全分也而十二等面邊與
燈邊亦必若大分與全分之半矣
總乘較為實戊丙底為法法
除實得丙辛以丙辛減戊丙
得戊辛折半為戊己
[071-20b]
法當以所得戊己自乘為句
幂用減甲戊幂餘為甲己幂
開方得一十七八四/一一為中高
今改用捷法省求/丙辛取戊丙幂
九之一為戊己幂戊己為戊/内三之一
故其幂為/九之一得五百四十五四/二
三/七
或徑用戊丁幂三之一亦同
[071-21a]
又捷法不求甲戊斜垂線但以戊丁幂三分加一以減
甲丁即甲丙/或甲乙幂為甲己幂開方即得甲己中高比前法
省數倍之力
戊丁幂 一千六百三十六二七/一二
三之一 五百四十五四二/三七
併得 二千一百八十七六九/四九
甲丁即甲/丙幂二千五百○○
相減餘甲乙/幂 三百一十八三○/五一 與前所得同
[071-21b]
解曰原以戊丁幂減甲丁幂得甲戊幂復以戊丁幂三
之一減甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而減甲
丁幂即徑得甲己幂其理正同
前之捷法有求丙辛及較總相乘後用底除諸法可謂
捷矣今法徑不求甲戊斜垂線捷之捷矣凡三角錐底
濶等者當以為式
訂定三角錐法圓燈所去/
用捷法以戊丁幂三分加一減甲丁幂為甲己幂
[071-22a]
甲丁甲乙/甲丙皆設五十
丙丁丁乙/乙丙皆八十○九○/一七其
半戊丁/戊乙四十○四五○/八半
丙戊七十○○六/二九為底之垂線
甲己一十七八四/一一為中高
丙乙丁底幂二千八百三十四
一○/三八
法以半邊戊/丁乘中長丙/戊得底幂丙乙/丁 以中高甲/己乘底
[071-22b]
幂丙乙/丁得三角柱積五萬○五百六十三五二/九三 三除
之得錐積一萬六千八百五十四五○/九七 又以二十乘
之為燈體所去之積三十三萬七千○九十○一九/四○
十二等面邊設一百前推其積為七百六十八萬三千
二百一十五今減去積三十三萬七千○九十存燈積
七百三十四萬五千一百二十五 内容燈體邊八十
○九○/一七
依測量全義凡同類之體皆以其邊上立方為比例可
[071-23a]
以推知二十等面所變之燈體
二十等面邊設一百則燈體之邊五十
捷法求得一百七十三萬三千九百四十八為設邊五
十之燈積
一 燈體邊八十○九○/一七之立方五十二萬九千○百○八五/
二 燈體積七百三十四萬五千一百二十五
三 燈體邊五十之立方一十二萬五千
四 燈體五十之積一百七十三萬三千九百四十八
[071-23b]
圓燈
邊設三十○九○一七即理分/中末之大分乙丁
外切立圓半徑五十即理分中末之/全分丁中乙中
外切立圓全徑一百即外切/立方
體積四十○萬三千三百四十九
内有三角錐計二十共計一十二萬
八千七百五十二
五稜錐計十二共積二十七萬四千
[071-24a]
五百九十六
丁中丙乙三角錐為圓燈分體之一 乙丁丙三等邊
面巳為平面心 中為體心 中巳為分體之中高
戊丁為半邊丁中自體心至角線為分體之稜 戊中
為斜垂線
乙癸中辛五稜錐亦圓燈分體之一 乙丁癸壬辛五
等邊面庚為平面心 中庚為分體中高 其戊丁半
邊丁中分體稜戊中斜垂線與前三角錐皆同一線
[071-24b]
何以知两種錐形得同諸線乎曰乙戊丁邊两種分體
所同用而两種錐體皆以體心中為其頂尖故諸線不
得不同觀上圖自明
先算三角錐共二十/
半邊一十五四五○/八五戊丁幂二百三十八七二/八七
平面容圓半徑即戊/巳○八九一/○五其幂七十九五七六二/用捷法取
戊丁幂以/三除得之
平面積乙丙/丁面四百一十三四八/七九
[071-25a]
中高即己/中四十六七○七五本法以戊丁幂減丁中幂/為戊中幂又以戊丁幂三之一當戊
己幂減之為巳中幂今徑以戊丁幂加/三之一減丁中幂為己中是捷法也
三角錐積六千四百三十七六六/二○
二十錐共積一十二萬八千七百五十三三/四
次算五稜錐共十二/
半邊一十五四五○八/五戊丁
半周七十七二五四二五用/半邊五因得之
平面容圓半徑二十一二六六三/戊庚
[071-25b]
五等邊平積一千六百四十二九一/二○
中高四十一七八五三/庚中
五稜錐積二萬一千九百六十二六/六
十二錐共積二十七萬四千五百九十六
求戊庚半徑
一率 三十六度切線 ○七二六五四
二率 全數 一○○○○○
三率 半邊戊丁 一十五四五/八五
[071-26a]
四率 平面容圓半徑戊/庚二十一二六/六二
戊丁句幂二百三十八七二/八七
丁中弦幂二千五百○○
戊中股幂二千二百六十一二七/一三
戊庚句幂四百五十二二五/五五
戊中弦幂二千二百六十一二七/一三
庚中股幂一千八百○九○一/五八
[071-26b]
戊丁半邊幂四因之為全邊三十○九○/一七之幂
一 燈體邊五十之立方一十二萬五千
二 燈體邊五十之體積一百七十三萬三千九百四
十八
三 燈體邊三十○九○/一七之立方二萬九千五百○八
四九/八七
四 燈體邊三十○九○/一七之體積四十○萬九千三百
二十九與細推者只差五千九百八十為八十分之一
[071-27a]
柱積六萬八千六百四十九
錐積二萬二千八百八十三
十二錐共積二十七萬四千五百九十六
孔林宗附記
方燈可名為二十四等邊體 圓燈可名為六十等邊
體
四等面體又可變為十八等邊體為六邊之面四為三
邊之面四凡十二角
[071-27b]
又可變為二十四等面體面皆三邊凸邊二十四凹邊
十二十字之交六凡八角如蒺藜形
六等面體又可變三十六等邊體為八邊之面六為三
邊之面八凡二十四角
八等面體亦可變三十六等邊體為六邊之面八為
四邊之面六凡二十四角
又可變四十八等邊體為四邊之面十八為三邊之面
八凡二十四角
[071-28a]
大圓容小圓法 平渾
甲大圓内容乙戊丙三小圓
法以小圓徑如乙戊/戊丙為邊作
等邊三角形而求其心如丁
乃於丁戊三角形自/心至角線加戊甲
小圖/半徑為大圓半徑丁/甲
凡平圓内容三平圓四平圓五平圓六平圓皆以小圓
自相扶立 若平圓内容七平圓以上皆中有稍大圓
[071-28b]
夾之
甲大渾圓内容丙戊乙己四
小渾圓法以小渾圓徑如乙/戊戊
巳/等為邊作四等面體而求其
體心如丁 次求體心至角
線如丁戊丁己丁乙丁丙/又為外切立圓半徑加小渾圓半徑即戊/甲為大圓
半徑如丁/甲
凡渾圓内容四渾圓或容六渾圓或容八渾圓十二渾
[071-29a]
圓皆直以小渾圓自相扶 若渾圓内二十渾圓則中
多餘空必内有稍大渾圓夾之
甲大平圓内容乙戊丙己四
小平圓法以小圓徑如乙/戊等為
邊作平方如乙戊/丙己方而求其斜
如丁乙即方心/至小圓心線加小圓半徑
如乙/甲為大圓半徑如丁/甲
若先有大圓甲/而求所容小圓則以三率之比例求之
[071-29b]
一率 方斜併數 二四一四
二率 方根 一○○
三率 所設之渾圓半徑 丁甲
四率 所容之小圓半徑 乙甲
推此而知五等邊形於其銳角為心半其邊為界作小
圓而以五等邊之心至角如半邊以為半徑而作大圓
則大圓容五小圓俱如上法
若六等邊於其鋭作小圓仍可於其心作圓共七小圓
[071-30a]
何也六等面之邊與半徑等也其法只以小圓徑即六/等邊
二分加一為大圓半徑
甲大渾圓内容乙丙等六小
渾圓
法以小渾圓之徑為邊作八
等面虛體如乙己丙辛戊皆
小立圓之心聯為線則成八
觚 乃求八等面心丁/至角
[071-30b]
之度如丁/乙等加小圓半徑如甲/乙
為大渾圓半徑如甲/丁
捷法以小渾圓徑為方即乙/己丙
辛平/方求其斜如丁/乙加小圓半
徑如甲/乙為大圓半徑或以小渾圓徑自乘而倍之開方
得根加小圓半徑為大圓半徑亦同
或先得大圓而求小圓徑則用比例
一率 方斜并 二四一四
[071-31a]
二率 方根 一○○
三率 所設大渾圓之徑
四率 内容六小渾圓之徑
甲渾圓内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小
圓
法以小立圓徑如乙/丙等作二十
等面虛體之稜如乙丙等俱/小圓之心聯
為線則成二/十等面之稜次求體心丁/至
[071-31b]
角即小/圓心之線如乙/丁加小圓半
徑如甲/乙為大圓半徑如甲/丁
按體心至角線即二十等面
外切圓半徑
二十等面之例邊一百即小/渾圓
例/徑
外切渾圓例徑二百八十八
一三/五五
[071-32a]
二十等面邊一百者其外切渾圓徑一百八十八奇又
加小渾例徑得此數
若先有大渾圓而求所容之十二小渾圓則以二率爲
一率四率爲三率
一 外切渾圓之例徑二百八十八一三/五五
二 二十等面之例邊一百卽小渾/圓例徑
三 設渾圓之全徑一百
四 内容十二小渾圓之徑三十八六九/四八 其比例如全/分與小分
[071-32b]
甲庚大平圓内容七小圓
法以甲庚圓徑取三之一如/丁
乙庚/辛等爲小圓徑若容八圓以
上則其數變矣假如以七小圓
均布於大圓周之内而切於
邊則中心一小圓必大於七
小圓而後能相切以上/倣此
[071-33a]
甲大渾圓内容八小立圓
法以小圓徑作立方如乙/庚方求
其立方心至角數即外切渾/圓半徑如
乙/丁再加小圓半徑如甲/乙為大
渾圓半徑如甲/丁
按八小員半徑十甲/乙則其全徑二十内斜線乙/丁十七加
甲/乙共二十七内減小圓徑二十餘七倍之得十四是比
小圓半徑為小其比例為十之七安得復容一稍大小
[071-33b]
圓在内乎
又二十等面有十二尖可作十二小圓以居大渾圓之
内而為所容
又八等面有六尖可作六小圓為大渾圓所容 四等
面有四尖可作四小圓
又方燈亦有十二尖可作十二小圓為大渾圓所容其
中容空處仍容一小圓為十三小圓皆等徑也
十二等面有二十尖用為小渾圓之心可作二十小立
[071-34a]
圓以切大渾圓内有稍大渾圓夾之
圓燈尖三十可作三十小球亦皆以内稍大渾圓夾之
公法皆以心至尖為小渾圓心距體心之度皆以小渾
圓徑為所作虛體邊
如作内容二十小渾圓聯其心成十二等面虛體
虛體之各邊皆如小渾圓徑也虛體之各尖距心皆等
此距心度以小渾圓半徑加之為外切之大渾圓半徑
以小渾圓半徑減之為内夾稍大渾圓半徑
[071-34b]
渾圓内容各種有法之體以查曲線弧面之細分
公法凡有法之體在渾圓體内其各尖必皆切於渾圓
之面
凡渾圓面與内容有法體之尖相切成㸃皆可以八線
知其弧度所當
内惟八等面皆以弧線十字相交為正角餘皆鋭角其
十二等面則鈍角
十二等面每面五邊等析之從每面之角至心成平三
[071-35a]
角形五則輳心之角
皆七十二度半之三
十六度即甲心乙角
其餘心乙甲角必五
十四度倍之為甲乙
丁角則百○八度故
為鈍角
凡渾圓面切㸃依内切各面之界聯為曲線以得所分
[071-35b]
渾體之弧面皆如其内切體等面之數之形
如四等面則其分為弧面者亦四而皆為三角弧面十
二等面則亦分弧面為十二而皆成五邊弧形八等面
則弧面亦分為八二十等面弧面亦分二十而皆為三
角弧形内惟六等面為立方體所分弧面共六皆為四
邊弧形
凡渾圓面上以内切兩㸃聯為線皆可以八線知其幾
何長
[071-36a]
其法以各體心到角之線命為渾圓半徑以此半徑求
其周作圈線即為圓渾體過極大圈以八線求两㸃所
當之度即知兩㸃間曲線之長
凡渾圓面以曲線為界分為若干相等之弧面即可以
知所分弧面之幂積
假如四等面外切渾圓依切㸃聨為曲線分渾圓面為
四則此四相等三角形弧面各與渾圓中剖之平圓面
等幂何也渾圓全幂得渾體中剖平圓面之四倍今以
[071-36b]
渾幂分為四即與渾圓中剖之平圓等幂矣
推此而知六等面分外切渾圓幂為六即各得中剖平
圓三之二
八等面分渾圓幂為八即各得中剖平圓之半幂
十二等面分渾圓幂為十二即各得中剖平圓三之一
二十等面分渾圓幂為二十即各得中剖平圓五之一
凡依等面切渾所剖之圓幂又細剖之皆可以知其分
幂
[071-37a]
假如四等面所分為渾圓幂
四之一而作三角弧面若中
分其邊而㑹於中心則一又
剖為三為渾圓幂十二之一
與十二等面所分正等但十
二等面所剖為三邊弧線等此所分為四邊弧線形如
方勝而邊不等若自各角中㑹於心成三邊形其幂亦
不等也
[071-37b]
再剖則一剖為六為渾圓面幂二十四之一皆得十二/等面所剖
之半而/邊不等若但一剖為二則得渾圓幂八之一與八等面
所剖正等但八等面三邊等又三皆直角此則邊不等
又非直角
假如八等面所剖為渾幂八
之一若一剖為二則十六之
一剖為四則三十二之一可
以剖為六十四至四千九十
[071-38a]
六 若以三剖則渾幂二十四之一如十二等面之均
剖亦如四等面之六剖也再細剖之可以剖為九十是
依度剖也可以剖為五千四百則依分剖也再以秒㣲
剖之可至無窮
惟八等面可以細細剖之者以腰圍為底而两弦㑹於
極其形皆相似故剖之可以不窮
又以此知曲面之容倍於平面何也八等面所剖之渾
體腰圍即平圓周也以平圓周之九十度為底两端皆
[071-38b]
以平徑為两弦以㑹於平圓
之心則其幂為平圓四之一
若渾體四面以腰圍九十度
為底两端各以曲線為两弦
以㑹於渾圓之極則其幂為
平圓二之一矣
假如六等面即立/方在渾圓内
剖渾幂為六得渾幂六之一
[071-39a]
若一剖為二則與十二等面
所剖等剖為四則二十四之
一再剖則一為八而得四十
八之一
假如十二等面剖渾幂為十
二各得渾幂十二之一若剖
一為五則得六十之一再剖
一為十則得百二十之一而
[071-39b]
與八等面所剖為十五之一
假如二十等面剖渾幂為二十各得渾幂二十之一若
一剖二則四十之一若一剖三則六十之一若一剖六
則百二十之一皆與十二等面所剖之幂等而邊不必
等也
凡球上所剖諸幂以為底直剖至球之中心成錐形即
分球體為若干分
如四等面之幂得球幂四之一依其邊直剖至球心成
[071-40a]
三角錐其錐積亦為球體四之一推之盡然
[071-41a]
㡬何補編補遺/
平三角六邊形之比例
平三角等邊形
甲丁丙三邊等形其邊丁/甲折半
丁/乙自乘而三之即為對角中
長線幂開方得中長線丙乙
既得中長線丙乙以乘丁
乙半邊即等邊三角形積 若以丙乙幂丁乙幂相乘
[071-41b]
得數平方開之得三等邊形之幂積
㨗法不求中長線但以丁乙幂三因之與丁乙幂相乘
開方得根即三等邊幂積 或用原邊丁甲自乘得數
乃四分之取四之一與四之三相乘得數開方得三等
邊積亦同
論曰邊與邊横直相乘得積若邊之幂乘邊之幂亦必
得積之幂矣故開方得積
法曰以原邊之幂三因四除之又以原邊之半乘之兩
[071-42a]
次為實平方為法開之得三等邊形幂積
解曰原邊幂四之三即中長幂也半邊乘二次以幂乘
也 又法以原邊與半邊幂相減相乘開方見積
平三角等邊形幂積自乘之幂與平方形幂積自乘之
幂若三與十六理同/前條
解曰甲戊庚丁為平方形丁
丙甲為等邊三角形其邊同
為甲丁題言丁甲線上所作
[071-42b]
三等邊形與所作正方形其積之比例若平積三與十
六之平方根也即一七竒/與四○
㨗法於分面線上取三點為等邊三角形積其十六點
即正方積 若以邊問積則以邊之方幂數於分面線
之十六點為句置尺取三點之句即得三等邊積其設
數得數並於平分線取之此用比/例尺算
又法作癸卯辰半員辰癸為徑於徑上勻分十七分而
儘一端取其四分如丑癸丑癸為辰癸十七分之四則/丑子為辰子十六分之三
[071-43a]
折半於丁以丁為心丁癸為
半徑作癸壬丑小半員又以
丁癸折半於子作卯子直線
與辰癸徑為/十字埀線割小員於壬則
壬子與卯子之比例即三等
邊幂與正方幂積比例
用法有三等邊形求積法以甲丁邊上方形即庚/甲積作
卯子直線如句四倍之作横線如辰子為股次引横線
[071-43b]
取子癸為卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸為
半徑丁為心作半員截卯子於壬即得壬子為三等邊
積
㨗法不作辰子線但於子作半十字線如癸丁次於子
點左右取癸取丁各為卯子四之一乃任以丁為心癸
為界作割員分即割卯子於壬而為三等邊形之積
論曰此借用開平方法也平方求根有算法有量法此
所用者量法也量法有二其一以兩方之邊當句當股
[071-44a]
而求其弦是為并方法也其一用半員取中比例此所
用者中比例也詳比例/規觧
附三等邊求容圓
法曰以原邊之幂十二除之為實平方開之得容圓半
徑
解曰原邊幂十二之一即半邊三之一也
附三等邊形求外切圓
法曰以原邊之幂三除之為實平方開之得外切圓半
[071-44b]
徑 一法倍容圓半徑即外切圓半徑
新増求六等邊法
法曰六等邊形者三等邊之六倍也以同邊/者言 用前法
得三等邊積六因之即六等邊積
依前法邊上方幂與三等邊形幂若四○與一七竒因
顯邊上方幂與六等邊形幂若四○與十○二竒亦若/一○
○與二/五五
今有六等邊形問積 法以六等邊形之一邊自乘得
[071-45a]
數再以二五五乘之降兩位見積
解曰置四○與一○二各以四除之則為一○○與二
五五之比例也
若問員内容六等邊形者即用員半徑上方幂為實以
二五五為法乘之得數降二位見積亦同降二位者一/○○除也
依顯平員積與其内容六等邊形積之比例若三一
四與二五五
論曰六等邊形之邊與外切員形之半徑同大故以半
[071-45b]
徑代邊其比例等半徑上方/與六等邊
形亦若一/與二五五然則員全徑上方
形與内容六等邊形必若四
○○與二五五全徑上方原/為半徑上方
之四/倍而員面幂積與六等邊形積亦必若三一四與二
五五矣員徑上方與員幂原若/四○○與三一四故也
用尺算 用平分線 求同根之幂
平方幂 四○○ 八十○ 皆倍而退/位之數
[071-46a]
平員冪 三一四 約爲六十三弱實六/二八
六等邊冪 二五五 五十一
三等邊冪 一七○ 三十四
右皆方内容員員内又容六角之比例其六等邊與
員同徑乃對角之徑也於六等邊之邊則爲倍數三
等邊則只用邊
若六等邊形亦卽用邊與平方平員之全徑相比則如
後法
[071-46b]
平方 四○○ 平方 一○○○○
平員 三一四 平員 七八五四
六角 一○二○ 六角 二五五○○
三角 一七○ 三角 四二五○
論曰以平方平員之徑六角三角之邊並設二○則爲
平方四○○之比例若設一○○則如下方平方一○
○○○之比例也
量體細法
[071-47a]
四等面體求積
法曰以原邊之幂三除之得數以乘邊幂得數副寘之
又置邊幂二十四除之得數以乘副平方開之即四等
面積也
又法置半邊冪三除之得數以乗半邊幂得數副寘之又
以六為法除半邊幂得數為實平方開之即四等面積四
分之一也即三角/扁錐
算二十等面
[071-47b]
二十等面之稜線甲丁設一百七十八原設一百一十/因欲使外切立
方與十二等面/同故改此數 心乙一百四十四即原切十等邊之/半徑又為外切立
方之/半徑 外切立方徑二百八十八
求中心為分體之高 法先
求乙中乃各棱折半處至三/角面中央一點之距
依㡬何補編半甲丁得八
十九為甲乙自乘七千九百/二十一
取三之一得二千六百四/十又三之一為
[071-48a]
乙中句幂又以心乙一四/四自乘二○七/三六為弦幂相減餘
一萬八千○九/十五又三之二為股幂開方得心中一百三十四半強
為分體鋭尖之高倍之得二百七十九半弱為内容立
員徑
求甲心為分體斜棱 法以甲乙為句其幂七九/二一以乙
心為股其幂二○七/三六併之二八六/五七為弦幂開方得甲心
一百六十九二為分體自角至鋭之斜棱 倍之三百
三十八半弱為外切渾員之徑
[071-48b]
或取理分中末線之大分如心/乙為股小分如甲乙/或丁乙為句
取其弦甲心或/丁心為二十等面自角至心之楞線合
之成甲心丁形即二十等面分形之
斜立面也甲丁則原形之楞也
如甲心/丁之面三皆以心角為宗以甲
心等弦合之三面皆/有此弦則甲丁等底三/底
並同/甲丁以尖相遇而成三等邊之面即
二十等面之一面也以此為底則成
[071-49a]
三角尖錐矣 尖錐之立三角面皆等皆稍小於底
解曰乙戊與甲乙等而甲心與戊心即乙/心不等如弦與
股乙戊即十等邊之一邊乃/二十等面横切之面之邊今欲求心中正立線中即
二十等面一面之中自此至
心成心中線則其正高也
法先求甲中為句取其幂以
減甲心弦幂即心中股幂開
方得心中
[071-49b]
簡法取乙甲即原楞之半/又即小分自幂三之一以減乙心即大/分又
即原楞均半處至形/心即斜立面中線之幂即心中幂
又解曰原以甲乙半楞又即二十等面中剖所成之楞/即十等邊之一邊故為小分
為句在形内為小分乃乙戊也今形外/之甲乙與甲乙同大故亦為小分乙心即二十等/面中切成
十等邊自角至心之弦故為大分又即/為二十尖錐各立面三角形之中長線為股則甲心為
弦自各角至/體心之線而甲心弦幂内有乙心股甲乙句兩幂今
求心中之高則又以甲中為句自各角至各面心也而
仍以甲心為弦弦幂内減甲中句幂則其餘心中股幂
[071-50a]
也 依㡬何補編甲乙幂三分加一為甲中幂故但於
乙心幂内減去甲乙幂三分之一即成心中股幂
又解曰若以乙心為弦則中乙為句而心中為股依補
編中乙幂為甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之
一為句幂以減心乙弦幂即得心中股幂開方得心中
此法尤㨗
作法 以二十等面之楞如甲/丁折半如甲乙或丁/乙亦即甲戊為理
分中末之小分求其大分如乙心即二十等面各楞線/當中一點至心之線亦即外
[071-50b]
切立方/之半徑 再以大分為股乙/心小分為句甲乙亦即甲/戊亦即戊乙取
其弦甲心即二十等面自各角至心之/線謂之角半徑亦即切員半徑 再以原楞甲/丁
為底切員半徑為兩弦甲心及/丁心成兩等邊之三角形即
二十等面體自各角依各楞線切至體心而成立錐體之
一面三面盡如是則成三角立錐矣 如是作立錐形
二十聚之成二十等面體
立錐體之中高線心/中以乘三體面之幂而三除之得各
錐積二十乘錐積得立積 其中高線心/中即内容立員
[071-51a]
之半徑
立方内容二十等面體其根之比例若全分與大分
立方内容十二等面體其根之比例若全分與小分
二十等面體之分體並三楞錐以元體之面為底
原體之楞甲/丁折半甲/乙為小分為句取其大分心/乙為股句
股求弦得自角至心為外切員之半徑心/甲
假如甲/丁原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘
三千○/二十五為句幂其大分乙心即外切立/方半徑八十九自乘七/千
[071-51b]
九百二/十一為股幂并二幂一萬/○九
百四/十六平方開之得弦一○四/又六二
不盡約為一/○四半强為角至體心之
線心/甲即外切立員之半徑
算二十等面之楞於渾天度
得㡬何分
法以心甲為渾天半徑甲乙
為正弦法為心甲與甲乙若
[071-52a]
半徑與甲心乙角之正弦查正弦表得度倍之為丁甲
通弦所當之度
算十二等面
五等邊面為十二等面之一 面有五邊在體之面則
為五楞錐其一楞設一百一十甲/丙半之五十五乙/丙以甲
丙為小分求其大分得一百七十八丙戊也即丙丁壬/丁壬戊丁
角為丙中甲角之半與/平圓十等邊之一面等半之八十九已丙也即乙辛以/丙巳乙為
兩腰等形辛巳乙亦兩腰等形故辛乙與巳丙等丙巳分乙/乙形與元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙為小
[071-52b]
巳或辛乙/為大分為内作小五等邊之一邊乙/辛亦即十二等面
從腰圍平切之十等邊面也
又以乙辛為小分求得大分一百四十四心乙也分圖/辛心
乙形即前圖辛心乙形乙辛為心壬之小分心乙為大/分乙心線即五等面一邊折半處至體心之距丙㸃即
五等面邊兩楞相凑之角丙辛形/乙丙辛虛線形即前圖乙為甲丙半楞乙/丙之全分何則
前圖之丙巳乙形乙丙為小分丙巳為大分試於辛乙
心形内分/圖作庚辛乙形與丙巳乙形等庚乙即乙丙五等面/一邊之半乙辛庚辛
即丙巳乙巳為小/五邊形之一邊則乙庚為小分乙辛為大分心庚/同今又以乙
[071-53a]
辛為小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也乙癸/同夫心
乙乃庚乙小/分辛乙大分即/心庚之并則乙心為庚乙之全分
矣其比例心乙與心庚若心庚與庚乙而乙心即外切
立圓半徑也
右法楊作枚補
今求心中線為五等邊最中一㸃中/至體心心/之距亦
即内容渾員半徑
先求乙中線為五等邊各楞折半處至最中之距 法
[071-53b]
為甲乙比乙中若半徑與五十四度之切線
一 半徑 一○○○○○
二 乙甲中角五十/四度切線一三七六三八
三 半楞甲乙 五十五
四 中乙 七十五七○/
用句股法以心乙一百四/十四為弦中乙七十/五七為句句弦各
自乘相減得心中股幂平方開之得中高線心中為容/員半徑
求得容員半徑一百二十二半弱心/中
[071-54a]
又求甲心線為各角至體心之距即外切渾/員半徑 用句股
法以甲乙五五/為句心乙一四/四為股并句股幂求甲心
弦
求得外切圓半徑一百五十四强甲/心
十二等面根一一○甲丙/
外切立員半徑一四四心/乙全徑二八八○
内容渾員半徑一二二半心/中全徑二四五弱/
外切渾員半徑一五四甲/心全徑三○八强/
[071-54b]
十二等面之分體並五楞錐並以五等邊面為底
原體之楞甲丙設一百一十半之乙甲五十五為小分
求其全分乙心一百四十四即外切立/方半徑乙甲五十/五自乘
三千○/二十五為句幂心乙一百四/十四自乘二萬○七/百三十六為股幂并
之得二萬三千七/百六十一平方開之得弦一百五/十四强為自角至心
之線甲心即外切員半徑
作法 以五等面之一邊為
底楞甲/丙以外切員半徑角至/心之
[071-55a]
線/為兩弦之楞甲心及/丙心而㑹於心五邊悉同則為十二
分體之一如是十二枚則成十二等面體
變體數
求渾圓積
設渾圓徑一○○○自乘得一○○○○○○又十一
古/法乘之得一一○○○○○○為實十四除之得○七
八五七一四為平圓面幂或用舊徑七圍念二之比例
亦得圓面七八五七一四以四因之得渾圓之幂三一
[071-55b]
四二八五六
置渾圓之幂以半徑五○○因之得一五七一四二八
○○○是為以渾圓面幂為底半徑為高之圓柱形積
置圓柱形積以三為法除之得五二三八○九三三三
是為以渾圓面幂為底半徑為高之圓角形積亦即渾
圓之積
渾圓根一○○○體積五二三八○九三三三用為公
積
[071-56a]
立方
置公積即渾圓積五二三八○/九三三三立方開之得立方根八
○六二○二七一七是為與渾圓等積之立方
方錐
置公積五二三八○/九三三三以三因之得數立方開之得高濶
相等之方錐形根一一六二二四四四四七是為與渾
圓等積之方錐
方
[071-56b]
錐
圓柱
置公積同/上十四因之十一除之為實立方開之得高濶
相等之圓柱形根八七四二三九四二是為與渾圓之
積之圓柱
圓/柱
圓錐
[071-57a]
置公積同/前以三因之變圓錐形積/為圓柱積再以十四因之十一
除之為實變圓柱積/為立方積立方開之得高濶相等之圓錐形
根一二五九四七五九是為與渾圓等積之圓錐 或
置積以四十二因之十一除之立方開之亦同
圓/錐
按變體線本法有四等面八等面十二等面二十等面
諸數表皆未及其同者惟有渾圓立方二形其餘三形
皆比例規解及測量全義之所未備今以法求之則皆
[071-57b]
長濶相等而不為渾圓立方者耳夫不為渾圖立方而
仍可以法求者以其長濶相等則仍為有法之形也然
而與今西書所載合者二不合者一意者其傳之有誤
耶或其所用非徑七圍二十二之率耶俟攷
渾圓以徑求積
置徑自乘又以半徑乘之又四因之又以十一乘之以
十四除之又以三除之見積
[071-58a]
解曰平圓與平方之比例知其周與周假如七則方周
二十八圓周二十二兩率各折半為十四與十一 徑
自乗則為平方形以十一乗十四除則平方變為平圓
矣以平圓為㡳半徑乗之成圓柱形再以三歸之成圓
角形即圓/錐渾圓面幂為㡳半徑為髙之角形四倍大於
此圓角形故又四因之即成渾積也
㨗法 徑自乗以乗半徑乃以四十四因四十二除見
積 或徑上立方形二十二因四十二除或用半數十
[071-58b]
一因二十二除見積並同
渾圓以積求徑
置積以三因之四除之又以十四因之十一除之再加
一倍立方開之得圓徑
解曰圓積是圓角形四今三因之變為圓柱形四矣故
用四除則成一圓柱此圓柱形是半徑為髙全徑之平
圓為㡳今以十四乗十一除則變為全徑之平方為㡳
半徑為髙矣故加一倍即成全徑之立方
[071-59a]
㨗法 積倍之以四十二因四十四除立方開之得圓
徑 或用本積以八十四乗四十四除立方開之 或
用半數以四十二乘二十二除立方開之 或又折半
以二十一乗乗十一除立方開之得積並同
按徑七圍二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可
見其立法之善雖異城有同情也雖其於真圓之數似
尚有盈朒然所差在㣲忽之間而已吾及錫山楊崑生
柘城孔林宗另有法其所得之周俱小於徑七圍二十
[071-59b]
二之率則其所得圓積亦必小於古率矣
楊法立圓徑一○○○○積五二三八○九二五六四
孔法立圓徑一○○○○積五二三五九八七七五
約法
立方與立圓之比例若二十一與十一 平圓與外方
若十一與十四 平圓與内方若十一與七
圓内容方之餘即四小/弧矢形若七與四圓外餘方即四角/減弧矢若
十一與三准此則餘圓即小/弧矢與餘方若四與三而小弧
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矢與其所減之餘方角若一與七五亦若四與三也
[071-60b]
厯算全書卷五十八
