[001-1a] 
欽定四庫全書
益古演段卷上 元 李冶 撰
第一問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七
分半並不記内圓外方只云從外田楞至内池楞四
邊各二十步問内圓外方各多少
答曰外田方六十步 内池徑二十步
法曰立天元一為内池徑加倍至步得□丨按太即/真數此
[001-1b]
即四十步/併一池徑為田方靣按方靣/即每邊以
自增乗得□□丨按此即一千/六百步八十
池徑一/平方併為方積於頭再立天元
一為内池徑以自之又三因四
而一得太/○○□按此即百分平方之七十/五上二○存步與池之位為池積以
減頭位得□□□按此即一千六百步八/十池徑二分半平方為一段虚
積寄左然後列直積以畝法按畝法二/百四十步通之得三千
三百步與左相消按相消者兩邊同減一千六百歩後/凡言相消者皆兩邉加減一數也
[001-2a]
得□□□按此即一千七百歩與八/十池徑二分半平方等開平方得二十
步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也
按今借根方法即立天元一法詳見
御製數理精蘊兹不盡釋
以條段求之真積内減四段至步冪為實四之至步
為從二分半常法
義曰真積内減四段至步冪者是減去四隅也以二
分半為常法者是於一步之内占却七分半外有二
[001-2b]
分半也
第二問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七
分半並不記徑面只云從外田南楞通内池北楞四
十步問内圓外方各多少
[001-3a]
答曰同前
法曰立天元為池徑減倍通步
得□丨按此即八十/步少一圓徑為田方靣
以自増乗得□□丨按此即六/千四百步
少一百六十/徑多一平方為方田積於頭又
以天元池徑自之三因四而一得太○/○□按此即百/分平方之
七十/五為池積以減頭位得□□□按此即六千四百/步少一百六十徑
多二分/半平方為一段虚積寄左然後列真積三千三百步
[001-3b]
與左相消得□□□按此即三千一百步與一百/六十徑少二分半平方等開
平方得二十歩即内池徑也倍通步内減池徑為方
靣也
依條段求之倍通步自乗於頭位以田積減頭位餘
為實四之通步為從二分半虚常法
義曰倍通步者是於方靣之外引出一圓也用二分
半虚常法者是一箇虚方内却有減餘圓池補了七
分半外欠二分半故以之為虚隅也
[001-4a]
第三問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三
百二十八歩只云從外田角斜至内池楞各五十二
[001-4b]
步問靣徑外方各多少
答曰外田方一百二十步 内池徑六十四步
法曰立天元一為内池徑加倍
至步得□丨為方斜以自増乗
得□□丨為方斜冪於頭其方/斜上
本合身外減四今不及減便是寄一/步四分為分母也今此方斜冪乃
是變斜為方靣以自乘之/數又别得是展起之數也又立天元為池徑自之又
三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池
[001-5a]
積亦須展起故又用一步九分六釐乗之得一步四
分七釐亦為一箇展起底圓池積也以一步九分六/釐乘之者葢為
分母十四以自之得/一步九分六釐也以池積減田積餘□□□為一
段虚積寄左然後列真積一萬一千三百二十八步
亦用分母冪一步九分六釐乗之或兩度不/加四亦同得二萬
二千二百○二步八分八釐與左相消得□□□平
方開之得六十四步為内池徑也倍至步加池徑身
外除四見方靣也 一法求所展池積以徑自之了
[001-5b]
更不湏三因四除及以一步九分六釐乗之只於徑
冪上以一步四分七釐按此即三因四除一/步九分六釐之數乗之便
為所展之池積也
依條段求之展積内減四段至步冪餘為實四之至
步為從四分七釐益隅
義曰凡言展積者是於正積上以一步九分六釐乗
起之數元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過
於每步上得一步九分六釐故今命之為展起之數
[001-6a]
也諸變斜為方者皆凖此所展
之池積是於一步圓積上展出
九分六釐若以池徑上取斜為
外圓徑則一步上止生得四分
七釐也故以四分七釐為虚常法又取方冪一步九
分六釐四分之三亦得圓積一步四分七釐也
按法内皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積
分數與宻率不合葢此書専為明理而作宻率數
[001-6b]
繁碍於講解故用古率以從簡且其法既明即用
宻率亦無不可
第四問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三
百二十八步只云從外田角斜通池徑得一百一十
六步問靣徑外方各多少
答曰外田方一百二十步 内池徑六十四步
法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜
[001-7a]
以自之得□□丨便為所展方
田積於上再立天元一為池徑
以自之又以一步四分七釐乗
之得太○/○□步/便為所展圓池
積也以池積減上田積餘得□□□為一段如積寄
左然後列真積如法展之得二萬二千二百○二步
八分八釐與左相消得□□□平方開之得六十四
步為内池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外
[001-7b]
除四為方靣也
以條段求之四段通步冪内減展積為實四之通步
為從四分七釐常法
義曰四之通步為從其減
積外實欠一箇方今即有展
池減時所剰之積補却一
箇虛方外猶剰一箇四分
七釐為常法也
[001-8a]
第五問
今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝二
分只云内圓周不及外方周一百六十八步問方圓
各多少
答曰外方周二百四十步 内圓周七十二步
法曰立天元一為内圓周加一百六十八步得□丨
為外方周以自増乗得□□丨為一十六箇方田積
又三因之得□□□為四十八段方田積於頭所以/三因
[001-8b]
為四十八者就為/四十八分母也再立天元圓
周以自之元/○丨為十二段圓池
積圓周冪為九箇圓徑冪每三九/箇圓徑冪為四箇圓池積今
箇圓徑冪共為十/二箇圓池積也又就分四之
得元/○□為四十八箇圓池積以減頭位得□□丨為
四十八段如積寄左然後列真積一十三畝二分以
畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八
之得一十五萬二千○六十四步與寄左相消得□
[001-9a]
□丨平方開之得七十二步為内圓周也三而一為
池徑
依條段求之四十八段田積内減三段不及步冪為
實六之不及為從一虚隅
義曰每一箇方周方為十六段方田積今三之為四
[001-9b]
十八段方田積也内除了三箇圓周冪外於見積上
虚了一箇圓周冪也今求圓周故以一步為虚隅法
舊術曰以十六乗田積為頭位以合方/周之積以不及步自
乗減頭位餘三之為實六之不及步為從法㢘常以
一步為減從法
第六問
今有方田一段内有圓池水占之外計地二千六百七
十三步只云内圓周與外方靣數等問各多少
[001-10a]
答曰外方靣内圓周各五十四步
法曰立天元一為方靣便是/圓周以
自之得元丨便為十二段池積
也再立天元方靣以自之又十
二之得元/○□為十二段方田積
也二數相減餘元/○□為十二段如積寄左然後列真
積就分母十二之得□與左相消得□□平方開之
得五十四步為方靣亦為圓周徑也
[001-10b]
依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法
義曰一箇方田積便是一
箇圓周積也一箇圓周積
便是十二箇圓池積今將
一十二箇圓池積減於十
二箇方田積通有十一段方田積也
舊術曰以十二乗田如十一而一所得開方除之合
前問也
[001-11a]
又法立天元一為等數以自之為外田積又就分母
九之得元/○□為九箇方田積於頭又立天元等數以
自之為十二箇圓池積也三之四而一得元/○□為九
箇圓池以減頭位得元/○□為九段如積寄左然後列
真積就分九之得二萬四千○五十七步與左相消
得□○□平方開得五十四步為等數也
依條段求之九之積為實無從八步二分半為常法
義曰每一箇方冪為十二箇圓池今將見有底九箇
[001-11b]
圓池去了七分半餘二分半併
實有八箇方恰是八箇二分半
也
又法立天元一為徑以三之為
外方靣以自之得元/○□為外方積於上再立天元圓
徑以自之三之四而一得元/○□為圓池積也以此圓
積減方積得元/○□為一段如積寄左然後列真積與
左相消得下式□○□平方開得一十八步為圓徑
[001-12a]
也
以條段求之積為實八步二分半為常法
義曰中間一方除圓池四分之
三外有四分之一即是一步内
得二分半也
舊術曰列積步以八步二分半
為法除之所得再開方見内圓徑
第七問
[001-12b]
今有方田一段内有圓池水占之外計地一千三百五
十七步只云外方靣不及内池周一十四步問方圓
各多少
答曰方靣四十步 圓周五十四步
法曰立天元一為外方加不及
一十四步得□丨為内周以自
増乗得□□丨為十二箇圓池
積於頭再立天元方靣以自之
[001-13a]
又十二之為十二箇方田積内減頭位得□□□為
十二段如積寄左然後列見積一千三百五十七步
就分母十二通之得一萬六千二百八十四步與左
相消得□□□開平方得四十步為外方靣也
依條段求之十二之積内加入不及步冪為實二之
不及步為虚從十一步常法
義曰其十二段積内𢃄起十二箇圓池其十二箇
圓池補成一箇圓周方其圓周多於方靣十四步故
[001-13b]
自之為冪加入所
欠之一角又二之
為虚從恰得十一
箇方也
第八問
今有方田一段内有圓池水占之外有地一十三畝七
分半只云内外方圓周共相和得三百步問方圓周
各多少
[001-14a]
答曰外方周二百四十步 内圓周六十步
法曰立天元一為圓徑以三之
為圓周以減共步得□□為方
周以自増乗得□□□為十六
段方田積於頭再立天元圓徑
以自之又十二之得太/○○□為十六箇圓池積以減
頭位得□□□為十六段如積寄左然後列真積一
十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分
[001-14b]
母一十六通之得五萬二千八百步與左相消得□
□□開平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也
依條段求之和步冪内減十六之見積為實六之和
步為從三步常法
義曰十六箇圓池該十二箇方内從步合除去九箇
方外猶剰三箇方故以三步為常法也
舊術曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減
頭位又六而一為實以相和步為從法廉常置五分
[001-15a]
第九問
今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六
[001-15b]
十八步只云内外周與實徑共相得三百三十步問
三事各多少
答曰外方周二百四十步 實徑十八步 圓周
七十二步
法曰立天元一為池徑以五之
減倍之相和步得□□為九箇
方靣以自増乗得□□□為八
十一段方田積於頭位二之相/和步别
[001-16a]
得是八方面六圓徑二實徑今將二實徑與一圓徑/就成一方靣共前數計九方靣五圓徑却更無實徑
也/再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之
得元/○□為八十一箇圓池所以用六十步七分半乘/之者欲齊其八十一分母
也每箇圓池七分半以八十/一通之得六十步七分半也以此減頭位餘□□□
為八十一段如積寄左然後列真積三千一百六十
八步以八十一通之得二十五萬六千六百○八與
左相消得下□□□步/開平方得二十四步為池徑
也五因池徑減倍相和餘九而一得方田靣以池徑
[001-16b]
減方餘折半為實徑
依條段求之倍共步自乗於頭以八十一之田積減
頭位餘為實二十之共步為從三十五步七分半為
常法
義曰八十一箇方田内𢃄起八
十一箇圓池每箇圓池七分半
此八十一箇計該六十步七分
半其從步内合除去二十五箇
[001-17a]
外猶剰三十五箇七分半故以之為常法也
舊術曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積
減頭位餘退一位為實倍相和步為從法廉常置三
步五分七釐半
第十問
今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六
十八步只云内外方圓周與斜徑共相和得三百四
十二步問三事各多少
[001-17b]
答曰外方周二百四十步 内圓周七十二步
斜三十步
法曰立天元一為池徑以二十
五之減於十之相和三千四百
二十步得□□為四十七箇外
方靣以自増乗得□□□為二
千二百九段方田積於頭位十之相和步三千四百/二十為方靣四十箇内
池徑三十箇斜至步一十箇以一十箇斜至步合入/五箇池徑共得五斜此五斜却便是七箇方靣計總
[001-18a]
數該四十七箇方靣二十五/箇圓徑外更無斜至步也再立天元池徑以自之
又以一千六百五十六步七分半乗之得元/○ □為
二千二百○九箇圓池積也所以用一千六百五十/六步七分半乗之者欲
齊其二千二百○九分母也每一箇圓池積七分半/今有二千二百○九箇圓池積以七分半乘之該一
千六百五十六/步七分半也以此減頭位得□□□為二千二百
九段如積數寄左然後列真積三千一百六十八步
以分母二千二百九通之得六百九十九萬八千一
百一十二步與左相消得□□□開平方得二十四
[001-18b]
步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步餘四十
七而一得為外方靣身加四内減了圓池徑餘折半
為斜徑也
按法内所用四十七方靣之數亦由立天元一法
取出但截去前段恐初學不能無疑兹仍依其法
補之
法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為
八方靣一斜共數以方五因之得□□為實又以
[001-19a]
方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七併之
得四十七為法除實得方靣不除便為四十七箇
方靣也
依條段求之相和步進一位自乗於頭位以二千二
百九之真積減頭位餘為實五百之和步為益從一
千三十一步七分五釐為益隅
義曰減數係是二千二百九段方靣冪内却漏下二
千二百九箇圓池此數該一千六百五十六箇七分
[001-19b]
圓徑冪却於從步上疊用了六
百二十五箇池徑冪外猶剰一
千三十一箇七分五釐故以之
為隅法其從法元有五十箇圓
徑今命為之五百者縁相和步進一位也
舊術曰列相和步進一位自相乗為頭位以二千二
百九之積減頭位餘以三之為實又以一千五百之
相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開平
[001-20a]
方見池徑
第十一問
今有圓田一段内有方池水占之外計地二十五畝餘
二百四步只云從外田楞至四邊各三十二步問外
圓内方各多少
答曰外圓徑一百步 内方靣三十六步
法曰立天元一為内方靣加倍至步為外田徑以自
之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積
[001-20b]
於頭再立天元方靣以自之又
就分母四之得元/○□為四池積
以減頭位得□□丨為四段如
積數寄左然後列真積又就分
四之得二萬四千八百一十六步與左相消得□□
丨開平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓
徑也
依條段求之四之積步於頭位作三箇外圓徑冪内/出了四箇方池積也
[001-21a]
内減十二之至步冪為實十二之至步為從一虚隅
義曰四箇外圓田内減了十二段至步冪復以十二
之至步為從又合去四箇方池今元積内有三箇虚
池外猶欠一箇虚池故以一步為虛隅常減從以為
法
[001-21b]
又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只
云方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問圓徑方
靣各若干
答曰徑十歩 靣五步
法曰立天元一為方斜加三步
為圓徑以自之又以一步九分
六釐乗之得□步/□□按此為/一平方
九分六釐多十一元七分六釐/多十七步六分四釐諸條皆步
[001-22a]
數在上此條/獨步數在下又三之得□步/□□内減四之天元冪
得上層□中下云云按即多三十五元二分八釐/多五十二平方九分二釐寄
左然後置五十步兩度加四得□步/又四之得□步/
與左相消得下層三百三十九步○八釐按此下當/加與一平
方八分八釐多三十五元/二分八釐等十八字方明負開平方得七步即池斜
也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即
方靣也合問
依條段求之四段展起見積内減三段展起至步冪
[001-22b]
為實六之至步展起為從一步八分八釐為常法也
此問若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細
分之
義曰三箇九分六釐共計二步八分八釐其元初作
四段如積時合有四箇所展之池今來只見三箇故
[001-23a]
於二步八分八釐内去却一步有餘只有一步八分
八釐為常法也此法於别紙上/抄得故録於此
第十二問
今有圓田一段内有方池水占之外有地二十五畝零
二百四步只云從外田楞通内方方靣六十八步問
各數若干
答曰外圓徑一百步内方靣三十六步
法曰立天元一為内方靣減倍通步得□丨為外圓
[001-23b]
徑以自之得□□丨為圓徑冪
以三之得□□□為四段圓田
積於頭再立天元内方靣以自
之又就分母四之得元/○□為四
段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左
然後以四之見積二萬四千八百一十六步與左相
消得□□丨平方開之得三十六步為内方靣也減
倍通步即圓徑
[001-24a]
依條段求之十二段至步冪内減四之見積為實十
二之通步為從一常法
義曰所減數内剰
下四箇方池疊補
了三箇外猶剰一
箇故以之為常法
第十三問
今有圓田一段内有方池水占之外計地五千步只云
[001-24b]
從外田楞至内池角四邊各一十五步問方圓各多
少
答曰外圓徑一百步 内方靣五十步
法曰立天元一為内方靣身外
加四為内方斜又加倍至步得
□□為外圓徑也以自増乗得
□□□為外徑冪以三之得□
□□為四段外圓積於頭再立天元内方靣以自之
[001-25a]
又四之得元/○□為四段方池積也以減頭位餘□□
□為四段如積數寄左然後列四之見積二萬步與
左相消得□□□開平方得五十步為池方靣也身
外加四又加入倍至步即為外田徑也
依條段求之四之積步内減十二段至步冪為實十
二之至步身外加四為從一步八分八釐為常法
義曰三箇九分六釐計二步八分八釐其四箇圓田
内有四箇方水池除從步合占三箇外猶剰一箇水
[001-25b]
池却於數内取了一步餘一步八分八釐故以之為
常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加
四不能見方靣而但得方斜也
舊術曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減
頭位餘折半為實又倍去角步三因加四為從法廉
[001-26a]
常置九分四釐
第十四問
今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七
步只云從田外楞通内池斜三十五步半問外圓内
方各多少
答曰外圓徑三十六步 内方靣二十五步
法曰立天元一為内方靣加四得元/□為方斜以減倍
通步得太/□□為外圓徑以自増乗得□□□為外田
[001-26b]
徑冪也以三之得□□□為四
段圓田積於頭再立天元内方
靣以自之又就分四之得元/○□
為四段方池以減頭位得□□
□為四段如積寄左然後列四之見積一千三百八
十八步與左相消得□□□開平方得二十五步為
内方靣也方靣加四減於倍通步得圓徑也
依條段求之十二段通步冪内減四之田積為實十
[001-27a]
二之通步加四為益從一步八分八釐常法
義曰此式元係虚從今以虛隅命之四段圓田減積
時剰下四段方池於從步内用訖三箇外猶剰一箇
却於二步八分八釐虛數内補了一歩外虚一步八
分八釐故以之為法從負隅正或從正隅負其實/皆同故因此廉從以别之
[001-27b]
舊術曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位
餘為實又十二通步加四為從法廉常置一步八分
八釐減從開方新舊廉從不同開/時則同故兩存之
第十五問
今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一
百七十六步只云内方周不及外圓周一百五十二
步問外圓内方各多少
答曰外圓周三百六十步 内方周二百八步
[001-28a]
法曰立天元一為内方靣以四
之為内方周加不及一百五十
二步得□□為外圓周以自増
乗得□□□為十二段圓田積
於頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得元/○
□為十二段方池積以減頭位餘□□□為十二段
如積寄左然後列見積八千○九十六步又就分十
二之得九萬七千一百五十二步與左相消得□□
[001-28b]
□平方開得五十二步為内池方靣也以四之為内
方周加不及步為圓周也
依條段求之十二段積步内減不及步冪為實八之
不及步為從四步為常法也
義曰十二段圓積該九段圓徑
冪九段圓徑冪便是九箇圓周
冪也據十二段圓積内元少十
二箇方池今於周冪内除折筭
[001-29a]
外剰四箇池積故以四步為常法也
舊術曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位
餘八而一為實以不及步為從法廉常置半步開平
方新舊二術不同者舊術從簡耳算術本貴簡易/而猶立新術者縁舊術難畫條段也餘倣此
第十六問
今有圓田一段内有方池水占之外計地三千五百六
十四步只云内方周與外圓徑等問等數各若干
答曰内方周外圓徑各七十二步
[001-29b]
法曰立天元一為等數便以為
方周以自之為十六箇方池於
頭元/○丨再立天元等數便以為
圓徑以自之又十二之得元/○□
為十六段圓田積内減頭位餘元/○□為十六段如積
寄左然後列真積三千五百六十四步又就分十六
之得五萬七千○二十四步與左相消得□○□平
方開得七十二步即等數也
[001-30a]
按法後落條段一條依前例補之
依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法
義曰十六箇圓積
乃十二段圓徑冪
也其十六箇圓積
内有十六箇方池恰是一箇方也此一箇方便是等
數冪也
舊術曰列田積從十一段平方開之得内方靣四之
[001-30b]
即等數也乂法以十六乗田積如十一而一所得開
方即等數
第十七問
今有圓田一段内有方池水占之外有地一千六百一
十一步只云外圓徑不及内方周四十二步問方圓
各若干
答曰外圓徑五十四步 内方周九十六步
法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得
[001-31a]
為内方周以自増乗得下式□
□丨為十六段池積於頭再立
天元外圓徑以自之又十二之
得元/○□為十六段田積也内減
頭位餘□□□為十六段如積寄左然後列真積一
千六百一十一步就分母十六之得二萬五千七百
七十六步與左相消得□□□平方開得五十四步
為外圓徑也加不及步為内方周也
[001-31b]
依條段求之置十六之積加不及步冪為實倍不及
步為虚從一十一步為常
義曰十二箇圓徑
冪該十六箇圓田
積十六箇圓田積
内有十六箇方池其十六箇方池於實積内侵過所
加一角并二段虛從之數也
第十八問
[001-32a]
今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七
步只云外圓周内方周共得二百八步問内外周各
多少
答曰外圓周一百八步 内方周一百步
法曰立天元一為内方靣以四
之為内方周減於相和二百八
步得□□為外圓周以自增乗
得□□□為圓周冪便為十二
[001-32b]
段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分十
二之得元/○□為十二段方池積也以減頭位餘□□
□為十二段如積寄左然後列見積三百四十七步
就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得
□□□開平方得二十五步為内方靣也四之為内
方周減於相和步為圓周也
依條段求之以十二之積步減和步冪為實八之和
步為虚從四常法
[001-33a]
義曰十二段圓田内有十二箇
方池於方周冪内補了十二池
外猶欠四箇故以四為隅法此
式元係虛從今却為虛隅命之
故以四為虛常法
舊術曰相和步自乗於頭位以十二之積步減頭位
餘八而一為實相和步為從法廉常置半步減從
第十九問
[001-33b]
今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一
百七十六步只云内外周與實徑共相和得六百二步
問三事各多少
答曰外圓周三百六十步 内方周二百八步
實徑三十四步
法曰立天元一為内方靣以減一百七十二得□丨
為外田徑也倍云數得一千二百四步别得是六箇/圓徑八箇方靣兩箇實徑今将一箇方
靣兩箇實徑合成一箇圓俓併前數而計是七箇方/靣七箇圓徑也今置一千二百四步在地以七約之
[001-34a]
得一百七十二步為徑靣共也/便是一箇方靣一箇圓徑更無
實徑/也以自增乘得□□丨為圓
徑冪也以三之得□□□為四
段圓田積於頭再立天元内池
靣以自之又就分四之得元/○□為四池積以減頭位
得□□丨為四段如積寄左然後列見積八千九十
六步又就分四之得三萬二千三百八十四步與左
相消得□□丨開平方得五十二步為内方靣也以
[001-34b]
七之方靣減於倍和步餘以七而一即圓徑也圓徑
内減方靣餘者又半之即實徑也
依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三
之於頭位内減四之見積餘為實六之徑靣共步為
從一常法
[001-35a]
義曰四之真積内有四箇方池於從法内疊周了三
箇外剰一箇故以一步為常法
舊術曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六
步按此即四與四/十九相乗之數之田積減頭位餘以十四而一為
實又六之相和步為從法廉常置三步半開平方見
内方靣
第二十問
今有圓田一段内有方池水占之外計地二千四百七
[001-35b]
十五步只云内外周與斜徑相和得二百五十九步
半問三事各多少
答曰外圓周一百八十步 内方周六十步 斜
十九步半
法曰立天元一為内方靣以三
十三之減於十之云數二千五
百九十五步得□□為三十五
箇圓田徑十之云數内有外圓/徑三十箇内方靣四
[001-36a]
十箇角斜十箇今將七箇方靣併入十箇角斜為五/箇圓徑也總别得十之云數是方靣三十三箇圓徑
三十五箇外更/無斜徑角也乃以三十五之圓徑自増乗得下式
□□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之
得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓
田積於頭再立天元内池靣以自之又就分以四千
九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位
得□□□為四千九百段如積數寄左然後列真積
二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千
[001-36b]
二百一十二萬七千五百步與左相消得□□□平
方開得一十五步為内方靣方三十三之方靣以減/於十之相和二千五
百九十五步餘三十五而一即圓徑以/方靣加四減圓徑餘半之即斜徑也
依條段求之十之相和步自之為冪以三之於頭位
以四千九百段見積減頭位為實一千九百八十之
相和步為從一千六百三十三為常法
義曰減數計三千六百七十五箇圓徑冪便是四千
九百箇圓田積也内漏下四千九百箇方池却於從
[001-37a]
内疊用了三千二
百六十七箇方池
外猶剰一千六百
三十三箇方靣冪故以之為常法也其從法元有一
百九十八箇方靣合用一百九十八之相和步為從
今用一千九百八十箇相和步者縁為相和步先進
了一位也
第二十一問
[001-37b]
今有方田三段共計積四千七百七十步只云方方相
較等三方靣共併得一百八步問三方多少
答曰大方靣五十七步 中方靣三十六步 小
方靣一十五步
法曰立天元一為方差以減中方靣
置併數三而一/即得中方靣得□丨為小方靣也
以自之得□□丨為小方積於頭再
立天元方差加入中方靣得□丨為
[001-38a]
大方靣以自之得□□丨為大方積於次位又列中
方靣□自之得下□為中方積於下位三位相併得
□○□為一段如積數寄左然後列真積四千七百
七十步與左相消得□○□開平方得二十一步即
是方差也置方差數加中方即大方/靣減中方即小方靣也
依條段求之列併數以三約之所得即中方靣也以
自之為冪又三之以減積為實無從二步常法
義曰積步内減三箇中方冪外有兩箇方故得二步
[001-38b]
常法舊術又折半止得一箇
方也
第二十二問
今有方田一段其西北隅被斜水占之外計地一千二
百一十二步七分半只云從田東南隅至水楞四十
五步半問田方靣多少
[001-39a]
答曰田方靣三十五步
法曰立天元一為水占斜加入
云數四十五步半得□元/丨為田
斜以自増乗得□步□丨為田
斜冪於頭再立天元一水占斜
以自之為水占得小方積就分以一步九分六釐乗
之得元/○□步/為所展得水占積也以減頭位得□□
□步/為如積一段寄左然後列真積一千二百一十
[001-39b]
二步七分半以一步九分六釐乘之得二千三百七
十六步九分九釐與左相消得□□□開平方得三
步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣
也
依條段求之展積内減至步冪為實二之至步為從
九分六釐虛常法開平方得三步半即水占斜也
義曰今將水占斜直命為小方池靣也
舊術曰列田積於頭位又列至步除四則直至步以
[001-40a]
自乗減頭位餘為實二之直至
為從以九分六釐為廉從開平
方得二步半加直至步三十二
步半得三十五步即田方靣也
此圖即舊術條段也舊術減云
步為直至步入法而求得二步
半為直至不及方靣步新術展
積入法而求得三步半為水占
[001-40b]
斜
益古演段卷上
