[005-1a] 
欽定四庫全書
測圓海鏡卷五
元 李冶 撰
大股一十八問
或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅南
行六百步望乙與城叅相直問答同前
法曰倍二行差内減甲南行步復以乗甲南行步為
實倍二行差減甲南行步即是甲/南行步内減二之乙南行也四之甲南行步内
[005-1b]
減二之乙南行為從方四為益隅開平方得半徑
草曰立天元一為半徑以二之加乙南行步得□□
為中股以中股又減於甲南行步得□□為股率其
天元半徑即勾率也置甲南行為大股以勾率乗之
得□合以股率除之不受除便以此為大勾内𢃄股/率分母
再置天元以二之以股率乘之得□□減於大勾餘
□□為勾圓差於上内有股/率分母又以二之天元減甲南
行得□□為大差以乘上位得□□□為半段黄方
[005-2a]
冪内寄股/率分母然後以天元自之又以股率乘之又倍之
得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方
得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出南門東行七十二步而止甲從乾隅南行六
百步望乙與城叅相直問答同前
法曰云數相乘為平實甲南行為從二益隅得半徑
草曰别得虛勾乗通股得半段圓徑冪此與虚股乗
通勾同立天元一為半徑内減乙東行得□□為虚
[005-2b]
勾以乘甲南行得□□為半段徑冪寄/左再以天元為
冪又倍之得□□為同數與左相消得□□□開平
方得一百二十步即城徑也合問
或問乙出東門直行一十六步甲從乾隅南行六百步
望見乙問答同前
法曰以乙東行乘甲南行冪為實二之乙東行乘甲
行為從方亷空二步隅法得半徑
草曰立天元一以為半城徑以二之加於乙東行得
[005-3a]
□□為勾率又以天元減甲南行得□□為股率乃
置乙東行以股率乗之得□□合以勾率除不除便
以此為小股此小股即半梯之頭也内帶勾/率分母又以股
率乗之此股率即半/梯之底也得□□□為半徑冪内帶勾/率分母寄
左然後置天元冪以勾率通之得□□□為同數與
左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即
城徑也合問
或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅南行六百
[005-3b]
步望見乙問答同前
法曰二行步相乗為寳以南行為從一步常法得半
徑
草曰立天元一為半徑以減於甲南行得□□為半
梯底以乙南行三十步為半梯頭以乗之得□□為
半徑冪寄/左乃以天元冪與左相消得丨□□開平方
得一百二十步即半城徑也合問
或問乙從艮隅南行一百五十步而立甲從乾隅南行
[005-4a]
六百步望見乙問答同前
法曰二行步相乗為實并二行步為法得半徑
草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙南行得
□□為半梯頭下以減於甲南行得□□為半梯底
上下相乗得丨□□為半徑冪寄/左乃以天元冪與左
相消得下式□□上法下實如法而一得一百二十
步倍之即城徑也合問
或問乙從艮隅東行八十步而立甲從乾隅南行六百
[005-4b]
步望見乙問答同前
法曰二行步相乘又倍之為實二之乙東行為從一
步常法得全徑
草曰别得乙東行八十步即小差也立天元一為城
徑減於甲南行步得□□為大差以乙東行步乘之
得□□又倍之得□□為城徑冪寄/左然後以天元冪
與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑
也合問
[005-5a]
或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望
樹與城㕘相直復就樹斜行四百八步至樹問答同
前
法曰南行步冪内減兩段兩行相乘數為實二之南
行步為從一步益隅得城徑
草曰别得南行步内減城徑即小股也其斜行步即
小弦也又二行相減即大差為股之勾也立天元一
為圓徑以減南行步得□□為股圓差也合為/小股置南
[005-5b]
行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便
以此為大弦内帶小/股分母再置南行步以小股乗之得□
□為大股亦帶小/股分母以大股減大弦得□□為小差也
合以大差乘之縁於内帶大差分母更不湏乘便以
為半段黄方冪更無/分母又二之得□□為一段黄方冪
寄/左然後以天元冪為同數與左相消得□□□開平
方得二百四十步即城徑也合問
依前問假令乙出南門東行不知步數而立甲從乾南
[005-6a]
行六百步望乙與城相直復就乙斜行四百八步按/此
即前問以/明又法
法曰二行差冪乗甲南行為實二之二行差以乗南
行步為益方二之二行差為隅得半徑
草曰識别得二行相減即半城徑與乙東行共也得
此數更不須用斜立天元為半徑減於二行差一百
九十二得□□即半梯頭也又以二天元減甲南行
步得□□為股率又以一百九十二為勾率乃置甲
[005-6b]
南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此為大
勾内寄股/率分母再置天元以股率乘之得□□以減於大
勾得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□
為半城徑冪内寄股/率分母寄左然後以股率乘天元冪得
□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百
二十步倍之即城徑也合問
或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步見
樹復向樹斜行五百一十步至樹問答同前
[005-7a]
法曰二行差步乘甲南行步為實二行之差步併甲
南行步為從二益隅若欲從簡上/下俱折半
草曰别得二行相減數即虚積之股也立天元一為
半徑内減二行之差步得□□為梯頭於上又以天
元減於甲之南行步得□□為梯底上下相乗得□
□□為圓徑冪寄/左然後以天元冪與左相消得□□
□開平方得一百二十步即城徑也合問
或問乙出東門直行不知步數而立甲從乾隅南行六
[005-7b]
百步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相㑹
問答同前
法曰以二行步相減乘甲南行步得數又半之南行
步以乘之為實以二行差乘南行步於上又以半之
南行步乘南行步加於上為從方二之南行步為益
亷一步常法得半徑
草曰别得二行相減即半徑上勾股較此股即/半徑也又别
得是大勾圓差不及平弦數立天元一以為半城徑
[005-8a]
以減南行步得□□為中股其斜行步即中弦也乃
立半城徑以斜步乘之得□合以中股除今不受除
便以此為平弦内帶中/股分母又以二行步相減餘五十六
步為勾圓差不及平弦數置此數以中股乗之得□
□復以減平弦餘得□□為小差内帶中/股分母乃以二天
元減甲南行步得□□為大差又半之得□□以乘
小差得□□□為半徑冪寄/左然後以天元自乗又以
中股通之得□□□為同數與左相消得丨□□□
[005-8b]
開立方得一百二十歩倍之即城徑也合問翻法在記/
或問甲乙二人俱在乾隅乙東行不知步數而立甲南
行六百步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相
會問答同前
法曰以二行差乘二行併開平方得數内復減二行
差得全徑
草曰别得二行相減即勾圓差也先求大勾立天元
一為大勾以二行相減餘八十步以乘二行相併數
[005-9a]
一千二百八十步得□為勾冪開平方得三百二十
步即大勾也大勾内減去勾圓差餘二百四十步即
城徑也合問
或問南門外不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望
樹與城㕘相直復就樹斜行二百五十五步至樹問
答同前
法曰倍二行相減數内減甲南行得數復以乘甲南
行為實倍二行相減數為從二步益隅得半徑
[005-9b]
草曰識别得斜行步乃是樹至城心之數也立天元
一為半徑加斜行步得□□為樹至城北門之步也
乃以減於甲南行得□□為小股率其天元半徑即
小勾率其斜步即小弦數也再置甲南行步内減天
元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小股率
得□□即梯頭也復以乘上位得□□□為半徑冪
寄/左然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方
得一百二十歩倍之即城徑也合問
[005-10a]
或問東門外不知步數有槐樹一株甲從乾隅南行至
柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行
了一千一百四十四步乙從艮隅東行望見槐樹與
城相直復斜行至槐樹下乙自云我東行少不及斜
行五十六步問答同前
法曰甲斜行減於甲南行以乘甲南行得數復以乘
二之甲南行為實半之甲南行以乘二之甲南行於
上甲斜行減於甲南行餘復以乘甲南行又倍之加
[005-10b]
上位為從方二之甲南行為益亷五分隅法按五分/隅法即
半箇/立方
草曰識别得五十六步是小差不及平弦數此小差/即勾圓
差/也又為平弦上勾股差又為甲斜行不及大股乃副
置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百
步即大股也其下位減五十六步而半之得五百四
十四步即今弦也立天元一為圓徑以半之減於甲
南行步得□□為中股其斜行五百四十四步即中
[005-11a]
弦也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之
今不受除便以此為平弦内寄中/股分母又置勾圓差不及
平弦數以中股乘之得□□復以減於平弦□□為
小差内帶小/股分母又以天元減甲南行倍之得□□為兩
个大差以乘小差得□□□為圓徑冪寄/左然後以中
股乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□
□□□開立方得二百四十步即城徑也合問翻法/
在記/
[005-11b]
或問出東門向南行不知步數有柳樹一株甲從乾隅
南行六百步望見柳樹而止乙出東門直行不知步
數望柳樹與甲相直却斜行三十四步至柳樹下問
答同前
法曰乙斜行乘甲南行數以乗甲南行冪為實斜行
乗甲南行冪又三之為從方甲行冪内減兩段斜行
南行相乘數按甲南行内減二之乙/斜行以甲南行乘之為第一亷二之
南行步為第二益亷二步常法得半徑
[005-12a]
草曰立天元一為半徑以二之減甲南行得□□為
大差以自之得□□□為大差冪加於南行冪得□
□□又半之得□□□為大弦也内帶大差□□分
母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大
弦除不除便以此為小股也内帶大/弦分母乃以天元減甲
南行得□□即半梯底也以乗小股半梯頭得□□
為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母縁别寄大
弦分母元帶大差分母故又用大差分母□□乘上
[005-12b]
半徑冪得□□□為帶分半徑冪也所帶之分謂只
帶大弦分母也寄/左然後以大弦乘天元冪得□□□
□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一
百二十步即半城徑也合問
按此條寄分内又帶寄分則以所帶之分乘本條
仍以寄分乘次條者蓋寄分為應除本條之數而
寄分内所帶之分又為應除寄分之數今不除寄
分而乘本條則猶是寄分乘次條之理也乗除之
[005-13a]
變至斯而極矣
又法置甲南行冪於上又置甲行冪半之以乗上位為
實以斜行乗甲行冪倍之於上位又以甲行再自乗
加上位為益方置甲行冪於上以斜行乗甲南行倍
之以減上位為第一亷甲南行步為第二亷半步常
法得股圓差
草曰立天元一為股圓差即大/差以自之為冪以加甲
南行冪得丨□□半之又以天元除之得□□□為
[005-13b]
大弦其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以
大股乗之得□合大弦除不除便以為小股内寄大/弦分母
乃以天元加甲南行步得□□為全梯底也以乗小
股半梯頭得□□又倍之得□□為城徑冪内寄大/弦為母
寄左置天元大差減甲南行餘□□為圓徑以自之
得丨□□又以大弦分母乗之得□□□□□為同
數與左相消得□□□□□開三乘方得三百六十
步即股圓差也以股圓差減甲南行餘二百四十步
[005-14a]
即城徑也合問
或問甲從乾隅南行六百步而止丙出南門直行乙出
南門東行各不知步數而立甲望乙丙悉與城㕘相
直既而乙就丙斜行一百五十三步相㑹問答同前
法曰以甲南行步再自之於上以斜行步乘甲南行
冪又倍之減上位為立方實南行步自之又四之於
上以斜步乗甲南行又倍之減上位為益從六之甲
行步為從亷四步虚常法得半徑
[005-14b]
草曰立天元一為半徑以二之減於甲南行得□□
為大差也以自之得□□□為大差冪也乃置甲南
行冪内加大差冪而半之得□□□為大弦也内寄/大差
分/母又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□為大
勾也亦帶大/差分母乃置斜行步在地以大勾乗之得□□
合以大弦除不除便以此為小勾内帶大弦為母其/大
勾内元有大/差分母不用即半梯頭也寄上/位再寄天元半徑以大
差乘之得□□以減於大勾得□為半梯底也以乘
[005-15a]
上位得□□□為半徑冪也内帶大差及/大弦為母寄左然後
置天元冪以大差通之又以大弦通之得□□□□□
為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步
即半城徑也合問
依前問假令南門外有樹乙出南門東行不知步數而
立只云乙東行步/少於樹去城步甲從乾隅向南行六百步望樹與
乙悉與城㕘相直乙就樹斜行一百五十三步至問
答同前
[005-15b]
法曰以斜行步乗甲行冪為立方實以甲行冪半之
於上以斜行步乘甲行步減上位為益從亷空五分
隅得大勾大弦差
草曰别得斜步即小弦小弦得小和即勾弦差也立
天元一為股圓差以自之為冪副之上以加甲南行
冪而半之得□□□為大弦也寄大差/分母下以減於甲
南行冪而半之得下式□□□為大勾也寄大差/分母乃
置斜步以大勾乗之得下□□□合以大弦除不除
[005-16a]
便以此為小勾寄大弦/分母又置斜步以甲南行乗之得
□合以大弦除為小股不除而又以同母分通之得
□○為同分小股也内只寄大/弦分母注大股乘時無大差/分母故今通之以
齊大勾上所有/大差分母也又置斜步以大弦通之得□□□為
通分小弦也三位相併得□□為股圓差寄/左然後置
天元大差以大弦分母通之得□○□為同數與左
相消得□○□□開立方得三百六十步即股圓差
也以股圓差減於甲南行步即城徑也合問
[005-16b]
或問東門外不知步數有樹甲從乾南行六百步而止
乙出北門東行斜望樹及甲與城㕘相直却就樹斜
行一百三十六步問答同前
法曰二行步相乘於上又半甲南行乘之為實二行
相乗於上又半甲南行以乘甲南行加上位為益從
甲南行為從亷一步益隅開立方得半徑
草曰立天元一為半徑便以為小股其斜行步即小
弦也乃以甲南行為大股以小弦乘之復以天元除
[005-17a]
之得□□即大弦也又倍天元減甲南行餘□□為
大差以減大弦餘□□□為大勾也又倍天元以減
勾得□□□為小差也却以半大差□□乘之得□
□□為半徑冪寄/左乃以天元冪相消得下式丨□□
□開立方得一百二十步即半徑合問
或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數
有柳樹一株槐柳二樹相去二百八十九步有人從
乾南行六百步而止斜望槐柳與城㕘相直問答同
[005-17b]
前
法曰云數相乘得又自增乗為三乗方實斜步冪乘
南行步又云之為益從二云數相乘又倍之按此下/脫内減
斜步冪/五字為益亷二之斜步為第二從亷二法常法得
槐至城心步
草曰别得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也乃
立天元一為槐樹至城心步即人至/槐處加於斜步得□
□為邊弦也以天元乗之得丨□合斜步除不除便
[005-18a]
以此為邊股寄斜步/分母又以斜步乗南行步得□為大
股以邊股減之餘□□□為半城徑寄斜步/分母以自之
得丨□□□□為半徑冪内帶斜/步為母寄左又以天元減
斜歩得□□為□弦以天元乘之得□□○合斜步
除不除寄為母便以此為半梯頭以邊股半梯底乗
之得□○□□為同數與左相消得□□□□□開
三乘方得二百五十五步即槐樹至城心之步也亦
為皇極正股又自之得數以減斜冪餘如平方而一
[005-18b]
得城心至柳樹步又為皇極正勾也勾股相乘倍之
為實如斜步而一即城徑也合問
或問甲從乾南行六百步而立乙出南門直行丙出東
門直行三人相望俱與城相直而乙丙共行了一百
五十一步問答同前
法曰甲南行為冪折半又以自之為實倍共步加甲
南行以乘半段甲行冪為從方甲行乘共數為從亷
一个半甲南行為第二益亷二分五釐為三乘方隅
[005-19a]
草曰識别得共步加城徑即皇極和也又是半徑為
勾之弦與半徑為股之弦相和步也二之此數内減
去大弦即皇極勾股内黄方面也亦為太虚弦乃立
天元一為大差以自之副置二位上位減於甲行冪
以天元除之又折半得□□□為大勾也下位加甲
南行以天元除之又折半得□□□為大弦也其甲
南行即大股也併勾大股得下式□□□即大和也
再以天元減甲南行得□□即圓徑也加共步得□
[005-19b]
□即皇極和又是半徑為勾之弦及半徑為股之弦
共數也又倍之得□□即全徑為勾之弦及全徑為
股之弦共數也内減大弦得□□□即小和内黄方
面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□
□□合以小和除之不除便以此為大黄方也内寄/小和
為/母寄左然後以天元減甲南行得□□為大黄方以
小和乗之得丨□□為同數與左相消得□□□□
□開三乗方得三百六十步即股圓差也以股圓差
[005-20a]
減於甲南行餘二百四十步即城徑也合問
或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立
甲從乾隅南行六百步斜望乙丙悉與城叅相直乙
就丙斜行一百二步相㑹問答同前
法曰以斜步乘甲南行冪又倍之為實倍甲行冪於
上又以斜步乘二之甲南行加於上為從方四之甲
南行為益亷四步常法開立方得半徑
草曰别得斜步為小弦也以斜步減圓徑餘為小和
[005-20b]
也乃立天元為半徑以二之減於甲南行得□□為
大差也以自之得□□□為大差冪也置甲南行冪
□内加大差冪而半之得□□□為大弦也内帶大/差為分
母/又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□○為
大勾也帶大差/分母又以大差乘股六百步得□□併入
大勾得□□□為大和也帶大差/分母乃先以小弦乘大
和得下式□□□寄左又以倍天元減斜步得□□
為小和以乘大弦得□□□□為同數與左相消得
[005-21a]
□□□□開立方得一百二十步即半徑也合問
依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步
數而立只云丙行步/多於乙行步甲從乾隅南行六百步望乙丙
與城叅相直乙復斜行就丙行了一百二步與丙相
㑹問答同前
法曰以斜步乘甲行冪又倍之為立方實甲行冪内
加斜行南行相乗數為從方甲南行為益亷半步為
隅得全徑
[005-21b]
草曰别得相就步即小弦也小弦得小和為直徑也
立天元一為城徑以減於甲南行步得□□為大差
以自之得丨□□為太差冪也置甲南行步以自之
為冪副之上以加大差冪而半之得□□□為大弦
也内寄大/差分母下以減大差冪而半之得□□○為大勾
也内寄大/差分母乃置相就步在地以大勾乗之得□□合
大弦除不除寄為母便以此為小勾也寄大弦母又
置斜步即相就/步也以甲南行乘之得□合以大弦除之
[005-22a]
不除寄為母便以此為小股而又以元分母大差乗
之得□□為同分小股也只寄大弦為母其大勾内/元有大差
分母其大股内却無分母故今/乘過復以大差通之齊分母也又置斜行步以大弦
通之得□□□為小弦也上三位相併得□□為城
徑也内寄大/弦分母寄左然後置天元以大弦通之得□□
□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四
十步即城徑也合問
[005-22b]
測圓海鏡卷五
