[001-1a] 
欽定四庫全書
數學九章卷一上 宋 秦九韶 撰
大衍
按大衍術以各分數之竒零求各分數之總數
大而天行小而物數皆可御之其法有求元求
定求術求竒求乘求用之目大約以數之竒偶
為根而以諸數相度之盡不盡為用有求彼此
不能度盡之諸數者元數定數是也有求諸數
[001-1b]
皆能度盡之一數者衍母數是也有求諸數皆
能度盡而一數不能度盡之數者各衍數是也
其不盡之數即竒數也有求二數相度餘一之
數者乘數是也有求二數相度餘一而諸數又
能度盡之數者用數是也求元數定數初與約
分法相似終變二數務使其等數為一蓋以一
為等數始能度盡二數是他數俱不能度盡二
數而二數相度益不能盡也以定數竒數求乘
[001-2a]
數之法名曰大衍求一中有立天元一於左上
之語下載立天元一算式按立天元一法見於
元郭守敬之厯源李冶之測圓海鏡及四海之
借根方者皆虛設所求之數為一與所有實數
反覆推求歸於少廣諸乘方得其積數與邊數
或正負亷隅數而止次用除法或開方法得所
求數此數命定數為一與竒數反覆商較至餘
一實數而止其竒數所積即為乘數蓋其用不
[001-2b]
同而法則無二也然其極和較之用窮竒偶之
情則有為元法西法所未及者但原本法解煩
雜圖式譌舛今詳加改定並釋其義俾學者易
見焉
大衍數術
大衍總數術曰置諸問數類名/有四一曰元數謂尾位見單/零者本門揲
蓍酒息斛糶砌甎/失米之類是也二曰牧數謂尾位見分釐者假令冬/至三百六十五日二十五
刻欲與甲子六十日為/一會而求積日之類三曰通數謂諸數各有分子母/者本門問一會積年
[001-3a]
是/也四曰復數謂尾位見十或百及千以上者/本門築隄并急足之類是也
按此言問題有是四類
元數者先以兩連環求等約竒弗約偶或約得五而彼/有十乃約偶而
弗約/竒或元數俱偶約畢可存一位見偶或皆約而猶有
類數存姑置之俟與其他約徧而後乃與姑置者求等
約之或諸數皆不可盡類則以諸元數命曰復按復應/作定
數以復按同/上數格入之
按此以元數求定數法也連環求等者於諸數
[001-3b]
中逐次取二數相度得一數可以度盡者為等
數為法只約一數約竒弗約偶專為等數為偶
者言之若等數為竒者則約偶弗約竒而等數
為五與十者又有或約竒或約偶者矣皆約而
猶有類俟約徧求等約之者逐條兩兩取約畢
猶有二數可約者求得等數為續等見/後續等約
一數必復乘一數蓋等數為二數之較或二數/展轉之
較/可約續等乃已約之較不可冄約不可約而
[001-4a]
兩數又不可使有等故約一數乘一數猶之不
約也術内未詳
收數者乃命尾位分釐作單零以進所問之數定位訖
用元數格入之或如意立數為母收進分厘以從所問
用通數格入之
按收數者單位下有竒零之數也進位者以竒
零之末位為單位也若立分母通之反不如用
原數為簡
[001-4b]
通數者置問數通分内子互乘之皆曰通數求總等不
約一位約衆位得各原法數用元數格入之或諸母數
繁就分從省通之者皆不用元各母仍求總等存一位
約衆位亦各得原法數亦用元法數格入之
按通數與收數相似但單數有分母竒零為分
子耳通分納子即進尾數為單位之義因加互
乘一次故加總等一約然後為元數也
又按求總等不拘通數復數但題中有三數可
[001-5a]
以一等數度盡者即可用總等法存一數約衆
數然後為元數凡度之後等數仍可約者此數
必當存之
復數者問數尾位見十以上者以諸數求總等存一位
約衆位始得元數兩兩連環求等約竒弗約偶復乘偶
或約偶或約竒復乘竒按此四語有誤應作約竒弗約/偶復乘偶或約偶弗約竒弗乘
竒然皆續等下/用之此處可省或彼此可約而猶有類數存者又相减
以求續等以續等約彼則必復乘此乃得定數所有元
[001-5b]
數收數通數三格皆有復乘求定之理悉可入之
按復數者諸問數皆至十或百或千而止也右
各叚皆云以某格入之此又云三格悉可入之
大約古算必有其程式也
求定數勿使兩位見偶勿使見一太多見一多則借用
繁不欲借則任得一
按勿使兩位見偶者蓋衆數連乘中有兩偶數
則所得總數以一偶數除之必仍得偶數不能
[001-6a]
求餘一之乘數也勿使見一太多見一多則借
數繁者蓋見一多因數本如此且見一即不必
推乃云勿使太多又云借數皆塗人之耳目也
故曰不欲借則任得一
以定相乘為衍母以各定約衍母得各衍數或列各定/數於右行
各立天元一為子於左行/以母互乘子亦得衍數諸衍數各滿定母去之不滿
曰竒以竒與定用大衍求一入之以求乘率或竒得一/即為乘率
按諸定數連乘為衍母即為諸定數皆能度盡
[001-6b]
之數亦為總數最大之限凡總數在限内者各
定數之差皆不等若過限外則各定數之差有
與限内相等者其兩總數之差必為衍母之倍
數各衍母者即諸數度盡一數度不盡之數也
竒數者定數度衍數不盡之數也定數原為彼
此不能度盡之數衍數為他定數連乘之數以
此一定數度之必不能盡也
大衍求一數云置竒右上定居右下立天元一於左上
[001-7a]
先以右上除右下所得商數與左上一相生入左下然
後乃以右行上下以少除多遞互除之所得商數隨即
遞互累乘歸左行上下須使右上末後竒一而止乃驗
左上所得以為乘率或竒數已見單一者便為乘率按/此
二語/重上
按此以定數竒數求乘數也其法必使以定數
度竒數僅餘一數而竒數之倍數即乘數也置
竒右上定右下者初次以定為實竒為法也立
[001-7b]
天元一於左上者以一為竒之倍數也得商數
與左上相生入左下者以竒商定得商數即竒
之倍數以乘天元一而書於下也隨以竒數與
商數相乘以减定數為餘實次以竒為實减餘
為法置前左下於左上以法約實得商乘左上
又併前之左上為左下隨以法乘商减實又為
餘實次又以前餘為實次餘為法置前左下於
左上得商數乘左上又倂前左上為左下隨以
[001-8a]
法乘商减實如此展轉相求合兩次為一算至
餘實一乃視左下天元數即乘數也若未至兩
次餘實一者仍以一為法上餘數為實實二則
商一實三則商二如上求之復得餘一其天元
數方為乘數原文遞互乘除之語未詳
置各乘率對乘衍數得泛用併泛課衍母多一者為正
用或泛多衍母倍數者驗元數竒偶同者損其半倍或/三
處同類以三約衍/母於三處損之同衍母者為無用當驗元數同類者
[001-8b]
而正用至多處借之以元數兩位求等以等約衍母為
借數以借數損有以益其無為正用或數處無者如意
立數為母約衍母所得以如意子乘之均借補之或欲
從省勿借任之為空可也
按此求各用數法也其各乘率乘各衍數得用
數者即一數餘一諸數度盡之數也其云併泛
用過衍母倍數驗元數同類損之此語似有誤
當云驗問數同偶而用數相併過衍母者損之
[001-9a]
蓋取用皆問數非元數也凡偶數减偶仍餘偶
减竒仍餘竒其數有定竒數减竒則餘偶又或
餘竒减偶則餘竒又或餘偶其數無定故惟偶
數可驗也定數一者即無用數必虛為借數未
免徒滋煩擾
然後以其餘各乘正用為各總併總滿衍母去之不滿
為所求率數
按此既得各用數以題中所問之竒零求總數
[001-9b]
也以各餘數乗各用數者蓋用數為諸數度盡
一數餘一之數以幾數乘之必為諸數度盡一
數餘幾數之數也併各條而以各數度之必各
數仍餘幾數也餘數悉合則總數必合矣然衍
母為諸數度盡之數累加一衍母衆餘數皆不
變故滿衍母去之得在衍母内者其數最小為
第一數若大於此數者遞加一衍母數無不合
者
[001-10a]
按右大衍本法也原書入於蓍䇿發㣲題問荅
之後殊失其序今修冠於卷首
蓍卦發㣲
問易曰大衍之數五十其用四十有九又曰分而為二
以象兩卦一以象三揲之以四以象四時三變而成
爻十有八變而成卦欲知所衍之術及其數各幾何
按揲蓍之法載於易傳啓蒙言之甚明算術以
竒偶相生取名大衍可也竟欲以此易古法則
[001-10b]
過矣
荅曰衍母十二衍法三
一元衍數二十四二元衍數一十二三元衍
數八四元衍數六 已上四位衍數計五十
一楪用數一十二二楪用數二十四三楪用
數四四揲用數九 已上四位用數四十九
按此附會五十四十九之數與本衍已牽强不
合觀後可知
[001-11a]
水 火 木 金 始此四/數以揲
隂陽象數圖
老陽 少隂 少陽 老隂終此四/者為爻
按此條與數無取義可刪
本題術曰置諸元數兩兩連環求等約竒弗約偶徧
約畢乃變元數皆曰定母列右行各立天元一為子
列左行以諸定母互乘左行之子各得名曰衍數次
以各定母滿去衍數各餘名曰竒數以竒數與定母
[001-11b]
用大衍術求一大衍求一術云以竒於右上定母於/右下立天元一於左上先以右行上
下兩位以少除多所得商數乃遞互乘/歸左行使右上得一而止左上為乘率得各乘率以
乘衍數各得用數驗次所揲餘幾何以其餘數乘諸
用數併之名曰總數滿衍母去之不滿為所求數以
為實易以三才為衍法以法除實所得為象數如實
有餘或一或二皆命作一同為象數其象數得一為
老陽得二為少隂得三為少陽得四為老隂得老陽
畫重爻得少隂畫拆爻得少陽畫單爻得老隂畫交
[001-12a]
爻凡六畫乃成卦
按此即前大衍法末以三歸取爻象亦属附會
草曰一二三四列右行立天元一列左行
元數右行
天元左行
以右行一二三四互乘左行異子一弗乘對位本子
各得衍數
元數右行
[001-12b]
上 副 次 下
衍數左行 併之得五十
乃併左行衍數四位共計五十故易曰大衍之數五
十算理不可以此五十為用葢分之為二則左右手
之數竒偶不同見隂陽之伏數必須復求用數先名
此曰衍數以為限率遂乃復以一二三四之元數求
等數約定按前術以兩兩相連環求等約之先以一
與二求等一與三求等一與四求等皆得一各約竒
[001-13a]
弗約偶數不變次以二與三求等亦得一約竒弗約
偶數亦不變及以二與四求等乃得二此二只約副
數二變為一而弗約四次以三與四求等亦得一約
竒亦不變所得一一三四各為定數母列右行仍各
立天元一為子列左行
定母右行
天行左行
以右行定母一一三四互乘左行各子一惟不對乘
[001-13b]
本子畢左上得一十二左副得一十二左次得四次
下得三皆曰衍數
定母右行 以右定母滿去左
衍數左行 衍衍餘各為竒數
次以各母去衍數其一母去衍一十二竒一其副母
一亦去副子一十二亦各竒一其次母三去次衍四
亦竒一其下母四欲去下子三則不滿便以三為左
下竒數
[001-14a]
定母右行
竒數左行
凡竒數得一者便為乘率今左下衍是三乃與本母
四用大衍求一術入之列衍竒三於右上定母於右
下立天元一於左上空其左下
衍/竒 定/母 商/
天/元
先以右上少數三除右下多數四得一為商以商一
[001-14b]
乘左上天元一只得一歸左下其右下餘一
商/ 衍/竒 定母/餘○
天/元 歸/數
次以右下少數一除右上多數三須使右上必竒一
算乃止遂於右行最上商二以除右衍必竒一乃以
上商命右下定餘一除之右衍餘一
商/ 衍竒/餘 定母/餘
天/元 歸/數
[001-15a]
次以商二與左下歸數相乘得二加入左上天元一
内共得三
今驗右上衍餘得一當止乃以左上三為乘率與前
三者乘率各一與衍定圖衍數對列之通計三
行
[001-15b]
定母
衍數
乘率
以乘率對乘左行畢左上得一十二左副得一十二
左次得四左下得九皆曰泛用數
定母 衍母
泛用
次以右行一二三四相乘得一十二名曰衍母復推
[001-16a]
元用等數二約副母二為一今乃復歸之為二遂用
衍母一十二益於左副一十二内共為二十四
元數
定用
今驗用數圖右行之一二三四即是所揲之數左行
一十二併二十四及四與九併之得四十九名曰用
數用為蓍草數故易曰其用四十有九是也
假今用蓍四十九信手分之為二則左手竒右手必
[001-16b]
偶左手偶右手必竒欲使蓍數近大衍五十非四十
九或五十一不可二數信手分之必有一竒一偶故
所以用四十九取七七之數始有左副二十四内益
十二就其三十七泛為用數但三十七無意義兼蓍
少太露是以用四十有九凡揲蓍求一爻之數欲得
一二三四岀於無餘必令揲者不得知故以四十九
蓍分之為二只用左手之數假令左手分得三十三
自一一楪之必竒一故不繁楪乃徑掛一故易曰分
[001-17a]
而為二以象兩掛一以象三次後又令筮人以二二
揲之其三十三亦竒一故歸奇於㧅又令之以三三
揲之其三十三必奇三故歸奇於㧅又令之以四四
揲之又奇一亦歸奇於㧅與前掛一併三度揲通有
四㧅乃得一一三一其掛一者乘用數圖左上用數
一十二其二揲㧅一者乘左副用數二十四其三揲
㧅三者乘左次用數四得一十二其四揲一者乘左
下用數九
[001-17b]
用數
左行三㧅謂之三變
掛一得一十二㧅一得二十四㧅三得一十二又㧅
一得九並為總數
併此四總得五十七不問所握幾何乃滿衍母一十
二去之得不滿者九或使知其所握五十七亦/滿衍母去之亦只得九數以為
實用三才衍法約之得三乃畫少陽單爻或不滿得/八得七為
[001-18a]
實皆命/為三他皆倣此 術意謂揲二楪三楪四者凡三
度復以三十三從頭數揲之故曰三變而成爻既卦
有六爻必有十八變故曰十有八變而成卦
按此條强援蓍卦牽附衍數致本法反晦今以
本法列於前則其弊自見矣
古厯會積
問古厯冬至以三百六十五日四分日之一朔䇿以二
十九日九百四十分日之四百九十九甲子以六十
[001-18b]
日各為一周假令至淳祐丙午十一月丙辰朔初五
日庚申冬至初九日甲子欲求古厯氣朔甲子一會
積年積月積日及厯過未至年數各幾何
按此題嵗實朔䇿皆古法用數淳祐丙午嵗合
朔冬至干支乃宋開禧法所步題數已不相蒙
即推算無誤亦未合况不能無誤耶
荅曰一會積一萬八千二百四十年二十二萬五
千六百月六百六十六萬二千一百六十日 厯
[001-19a]
過九千一百六十三年未至九千七十七年
按荅數皆不合
術曰同前置問數有分者通之互/乘之得通數求總等不約一位
約衆位各得元法連環求等約竒弗約偶各得定母
本題欲求一/會不復乘偶以定相乘為衍母定除母得衍數滿定
去衍得竒以大衍入之得乘率以乘衍數得泛用數
併諸泛以課衍母如泛内多倍數者損之乃驗元數
竒偶同類處各損半倍或三位同類者/三約衍母損泛各得正用然
[001-19b]
後推氣朔不及或所遇甲子日數乘正用加减之為
總滿衍去之餘為所求厯過率實如紀元法而一為
厯過以氣元法除衍母得一會積年以氣周日刻乘
一會年得一會積日以朔元法除衍母得一會積月
數
按如紀元法而一以氣元法除衍母二語皆誤
故得數不合皆當以氣分為法葢氣分即嵗實
分也
[001-20a]
右本題問氣朔甲子相距日數係開禧厯推倒或
甲子日在氣朔之間及非十一月前後者其總數
必滿母贅去之所得厯過年數尾位雖倫首位必
異今設問以明大衍之理初不計其前多後少之
厯過
按此數語葢因得數不合而自解之然算家終
以得數為凖得數不合則無以取信於人矣
草曰置問數冬至三百六十五日四分日之一朔
[001-20b]
䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六
十日各通分内子互乘之列三等位具圖如後
冬至得一千四百六十一朔實得二萬七千七百五
十九甲子無母只是六十列三行互乘之具圖如後
氣通/ 母/ 總等不/約紀分
[001-21a]
[001-21b]
以三行互乘右得一百三十七萬三千三百四十為
氣分中得一十一萬一千三十六為朔分左得二十
二萬五千六百為紀分先求總等得一十二按十二/乃朔分
紀分所求等數亦可為/氣分等數故為總等乃存紀分一位不約只以等
一十二約氣分得一十一萬四千四百四十五又約
朔分得九千二百五十三皆為元法乃以連環求等
次以紀元二十二萬五千六百與朔元九千二百五
十三求等得一不約又以紀元與氣元一十一萬四
[001-22a]
千四百四十五求等得二百三十五只約氣元得四
百八十七次以氣元四百八十七與朔元九千二百
五十三求等得四百八十七只約朔元九千二百五
十三得一十九約偏畢得四百八十七為氣定得一
十九為氣定得二十二萬五千六百為紀定以三定
相乘得二十億八千七百四十七萬六千八百為衍
母具圖如後
[001-22b]
各以定數約衍母各得衍數氣得四百二十八萬六
千四百朔得一億九百八十六萬七千二百紀得九
[001-23a]
千二百五十三寄左行各滿定數去之各得竒數
氣竒得三百一十三朔竒得四紀竒得九千二百五
十三各與定數用大衍求一各得乘數列右行對寄
[001-23b]
左行衍數具圖如後
各以大數入之氣乘率得四百七十三朔乘率得五
紀乘率得一十七萬二千七百一十七對左行衍數
以右行乘率對乘左行衍數氣泛得二十億二千七
[001-24a]
百四十六萬七千二百朔泛得五億四千九百三十
三萬六千紀泛得一十五億九千八百一十五萬四
百一十具圖如後
[001-24b]
右列用數併之共得四十一億七千四百九十五萬
三千六百一為泛用數與衍母二十億八千七百四
十七萬六千八百驗之在衍母以上就以衍母除泛
得二乃知泛内多一倍母數當於各用内損去所多
[001-25a]
一倍按術驗法元圖内諸元數奇偶同類者各損其
半今驗法元圖氣元尾數是五紀元尾數是六百為
俱五同類乃以術母二十億八千七百四十七萬六
千八百折半得一十億四千三百七十三萬八千四
百以損泛用圖内氣泛紀泛畢其朔泛不損各得氣
朔紀正用數其氣正用得九億八千三百七十二萬
八千八百朔正用五億四千九百三十三萬六千紀
正用五億五千四百四十一萬二千一列為正用圖
[001-25b]
在前
既得正用數次驗問題十一月朔日丙辰冬至初五
日庚申初九日甲子乃以初一减初九甲子餘八日
為朔不及次以初五亦减初九甲子餘四日為氣不
及以二不及各乘正用得數具圖如後
[001-26a]
先以氣不及甲子四日以乘氣正用數九億八千三
百七十二萬八千八百得三十九億三千四百九十
一萬五千二百為氣總次以朔不及甲子八日數以
乘其朔正用數五億五千九百三十三萬六千得四
十三億九千四百六十八萬八千為朔總併之得八
十三億二千九百六十萬三千二百為總數滿母二
十億八千七百四十七萬六千八百去之不滿二十
億六千七百一十七萬二千八百為所求率實具圖
[001-26b]
如後
按求積嵗應以甲子距冬至前之日分乘紀用
[001-27a]
數為紀總以合朔距冬至前之日分乘朔用數
為朔總併紀總朔總滿衍母去之以嵗實分除
之即已過積年草内以冬至距甲子前之日分
乘氣用數合朔距甲子前之日分乘朔用數併
之乃求紀周法非求嵗周法也故不合
置所得率實二十億六千七百一十七萬二千八百
如法元圖紀元法二十二萬五千六百而一得九千
一百六十三年為厯過年數次置衍母二十億八千
[001-27b]
七百四十七萬六千八百為實如法元圖氣元一十
一萬四千四百四十五為法而一得一萬八千二百
四十年為氣朔甲子一會積年内减厯過九千一百
六十三年餘九千七十七年為未至年數次以冬至
周日三百六十五日二十五刻乘積一會年一萬八
千二百四十得六百六十六萬二千一百六十日為
一會積日又以術母為實如法元圖朔元法九千二
百五十二而一得二十二萬五千六百月為一會積
[001-28a]
月合問
按此紀元即紀分以紀分除率實乃紀周數非
已過年數也求一會積年當以氣分為法以氣
元為法亦誤此二數既誤餘數無是者矣然題
已不合既法合數亦不能合也今改設一題於
後以明其法焉
設古法嵗實三百六十五日四分日之一朔䇿二十
九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假
[001-28b]
令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一
十三冬至癸夘日子正初刻問距前後甲子日子
正初刻合朔冬至之年數各幾何
荅曰距前八百七十六年距後六百四十四年
法按前法求至正用乃以冬至癸夘距甲子後三十
九日為紀餘以日法即氣分母朔分/母相乘之數三千七百六十
分通之得十四萬六千六百四十為紀餘分以乘紀
正用得紀總八十一兆二千九百八十九億七千五
[001-29a]
百八十二萬六千六百四十次以平朔辛巳距甲子
十七日又四百七十分之一百一十三與冬至距甲
子三十九日相减得二十一日又四百七十分日之
三百五十七以日法三千七百六十通之得八萬一
千八百一十六為朔餘分以乘朔正用得朔總四十
四兆九千四百四十四億七千四百一十七萬六千
併二總數滿衍母去之得率實十二億零三百零四
萬五千八百四十為實以嵗實一百三十七萬三千
[001-29b]
三百四十為法除之得八百七十六年為距前氣朔
甲子會積之年數又以衍母為實以嵗實分為法除
之得一千五百二十年為前會積距後會積之年數
减去距前會積之年數餘六百四十四年為距後會
積之年數既得積年若欲還原求題中干支時刻則
以前會之積年與嵗實相乘得三十一萬九千九百
五十九為積日滿紀法六十去之餘三十九日自初
日起甲子得冬至為癸夘日子正初刻又置積日以
[001-30a]
朔䇿日分九百四十通之為實以朔䇿通分納子為
法除之得一萬零八百三十四為積朔餘二萬零四
百五十四又為實以朔䇿日分九百四十為法除之
得二十一日又九百四十分之七百一十四約之為
四百七十分日之三百五十七為距冬至前日數與
甲子距冬至前三十九日相减得一十七日又四百
七十分日之一百一十三為距甲子後日數自初日
起甲子得辛巳為平朔干支悉與題合
[001-30b]
推庫額錢
問有外邑七庫日納息足錢適等遞年成貫整納近縁
見錢稀少聽各庫照當處市陌凖解舊會其甲庫有
零錢一十文丁庚二庫各零四文戊庫零六文餘庫
無零錢甲庫所在市陌一十二文遞减一文至庚庫
而止欲求諸庫日息原納足錢展省及今納舊會并
大小月分各幾何
按題意係七邑日納共錢同數以各邑市陌數
[001-31a]
計之或適足或有餘多寡不同甲陌十二則餘
十乙陌十一丙陌十則無餘丁陌九則餘四戊
陌八則餘六己陌七則無餘庚陌六則餘四以
求共錢同數此本術也又問展省舊會按草中
展省乃官省陌以七十七為一百所展日息共
錢之數舊會乃以各陌數為一百所升日息共
錢之數二者在本術中已贅且不明言展省舊
會用數求法皆故為溟涬也
[001-31b]
荅曰諸庫納日息足錢二十貫九百五十文
展省三十五貫文
甲庫日息舊會二百二十四貫五百一十文
按應作五百文/又六分文之五大月舊會六千七百三十七
貫五百文按少二/十五文小月舊會六千五百一十
二貫九百二文按應作六千五百一十/貫五百又六分文之一
乙庫日息舊會二百四十五貫文 大月舊
會七千三百五十貫文 小月舊會七千五
[001-32a]
百貫文按應作七千/一百五貫
丙庫日息舊會二百六十九貫五百文 大
月舊會八千八十五貫文 小月舊會七千
八百一十五貫五百文
丁庫日息舊會二百九十九貫四百四文按/應
作四百四十四文/又九分文之四大月舊會八千九百八十
三貫三百三文按少三十文又/三分文之一 小月舊會
八千六百八十三貫八百八文按少八十文/又九分文之
[001-32b]
八/戊庫日息舊會三百三十六貫八百六文
按應作七/十五文 大月舊會一萬一百六貫二百
四文按應作二/百五十文 小月舊會九千七百六十
九貫三百六文按應作七/十五文
己庫日息舊會三百八十五貫文 大月舊
會一萬一千五百五十貫文 小月舊會一
萬一千一百六十貫文按少/五貫
庚庫日息舊會四百四十九貫一百四文按/應
[001-33a]
作一百六十六文/又分三文之二 大月舊會一萬三千四
百七十五貫文 小月舊會一萬三千二十
四貫八百二文按應作二萬三千二十五貫一/八百三十三文又三分文之
術曰以大衍求之置甲庫市陌以庫减庫减之各得
諸庫原陌連環求等約竒弗約偶按此特為等數為/偶者言之若等數
為竒者則約/偶弗約竒得定母諸定相乘為衍母以定約衍母
得衍數衍數同衍母者去之為無無者借/之同類其各滿定
母去餘為竒數以竒定用大衍求乘率乘衍數為用
[001-33b]
數無者則以原數同類者求等約衍母得數為借數
次置有零文庫零錢數乘本用數併為總數滿衍母
去之不滿為諸庫日息足錢各大小月日數乘之各
為實各以原陌約為舊會
草曰置甲庫市陌一十二遞减一得一十一為乙庫
陌十一為丙庫陌九為丁庫陌八為戊庫陌七為己
庫陌六為庚庫陌得諸庫原陌
甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
[001-34a]
以連環求等約訖甲得一乙得十一丙得五丁得九
戊得八己得七庚得一各為定母立各一為子
按此法之要在於求定而術中獨畧之今詳其
式於後
法列七庫陌數於前先以甲與
乙相約無等數與丙數相約得
[001-34b]
等數二偶/約丙十得五竒/與丁
數相約得等數三奇/約甲十二
得四偶/與戊數相約得等數四
偶/約甲四得一奇/甲數既為一
不能冄約即為與諸數徧約畢
次以乙與下五數相約俱無等
次以丙與下四數相約亦俱無
等次以丁與戊己二數相約俱
[001-35a]
無等與庚數相約得等數三奇/
約庚六得二偶/次以戊與己相
約無等與庚相約得等數二偶/
約庚二得一奇/庚既為一己亦
不能與之相約乃為連環求等畢得定數為甲
一乙十一丙五丁九戊八己七庚一也後凡求
定數倣此
定/母
[001-35b]
先以諸定相乘得二萬七千七百二十為衍母次以
諸定互乘諸子甲得二萬七千七百二十乙得二千
五百二十丙得五千五百四十四丁得三千八百戊
得三千四百六十五己得三千九百六十庚得二萬
七千七百二十各為衍數
定母右行
[001-36a]
次驗諸衍數有同衍母者皆去之為無衍數次各滿
定母去各本衍各得奇數甲無乙得一丙得四丁得
二戊得一己得五庚無各為竒數
[001-36b]
次驗有奇數者得一便以一為乘率或得二數以上
者各以奇數於右上定母於右下立天元一於左上
用大衍求一之數入之驗乘除至右上餘一而止皆
以左上所得為乘率甲無乙得一丙得四丁得五戊
得一己得四庚無各為乘率列右行以對寄左衍數
[001-37a]
以兩行對乘之為用數甲無乙得二千五百二十丙
得二萬二千一百七十六丁得一萬五千四百戊得
三千四百六十五巳得一萬一千八百八十庚無
[001-37b]
次推無用數者惟甲庚合於同類處借之其同類謂
原陌列而視之
[001-38a]
今視甲一十二庚六皆與丙一十戊八俱偶為同類
其戊用數三千四百六十五其數少不可借惟丙一
十之用數係二萬二千一百七十六為最多當以借
之乃以甲一十二丙一十庚六求等得二以等數二
約衍母二萬七千七百二十得一萬三千八百六十
為借數乃减丙用二萬二千一百七十六餘八千三
百一十六為丙用數乃以所借岀之數一萬三千八
百六十為實以原等二為法除之得六千九百三十
[001-38b]
為甲用數以甲用數减借岀數餘亦得六千九百三
十為庚用數今不欲甲庚之借數同乃驗得岀數一
萬三千八百六十可用幾約如意乃立三取三分之
一得四千六百二十為甲用取三分之二得九千二
百四十為庚用列右行
[001-39a]
一 ○ ○ ○ 零/數 左行
乃視諸庫有無零錢數驗得乙丙己三庫無先去其
用數乃以甲子戊庚四庫零錢列左行對乘本用甲
得四萬六千二百丁得六萬一千六百戊得二萬七
百九十庚得三萬六千九百六十合為總
[001-39b]
併此四總得一十六萬五千五百五十滿衍母二萬
七千七百二十去之不滿二萬六千九百五十為所
求率以貫約為二十六貫九千五十文為諸庫日息
等數以官省七十七陌展得三十五貫文按官省陌/以七十七
為一百故二十六貫/餘展為三十五貫各以其庫陌紐計按庫陌紐計/即以各陌數
為一/百各得舊會零錢各以三十日乘為大月息以日
息减大月息餘為小月息合問
分糶推原
[001-40a]
問有上農三人力田所收之米係用足斗均分各徃他
處岀糶甲糶本郡官塲餘三斗二升乙糶與吉安鄉
民餘七斗丙糶與平江
戸餘三斗欲知共米及三
人所分各糶石幾何
荅曰共米七百三十八石 三人各分米二百四
十六石
甲糶官斛二百九十六石 乙糶安吉斛二
百二十三石 丙糶平江斛一百八十二石
[001-40b]
術曰以大衍求之置官塲斛率安吉鄉斛率平江市
斛率官私共知者官斛八斗三升安吉鄉斛/一斗一升平江市斛一石三斗五升為原數
求總等不約一位約衆位連環求等約竒不約偶或
猶有類數存者有求等約彼為復乘此各等定母相
乘為衍母互乘為衍數滿定去之得竒大衍求一得
乘率乘衍數為用數以各餘米乘用併之為總滿衍
母去之不滿為所分以原人數乘之為共米
草曰置文思院官斛八十三升吉安州鄉一百一十
[001-41a]
升平江府市斛一百三十升各為其斛原率
先以三率求總等得一不約按此題只一數見十/不必用復數求總等次
以連環求等其安吉率一百一十與平江率一百三
十五求等得五以約平江率得二十七按五為中數/或約偶或約
[001-41b]
奇皆可但不約/可以冄約者餘皆求等得一不約各得原數
以定相乘得二十四萬六千五百一十為衍母各以
原率約之得二千九百七十為官斛衍數得二千二
百四十一為安吉州衍數得九千一百三十為平江
斛衍數
官斛 安吉 平江 衍母
[001-42a]
次以定母滿法去衍數得不滿六十五為官斛奇不
滿四十一為安吉奇不滿四為平江奇數
[001-42b]
定母奇數各以大衍入之求得乘數得二十三為官
斛乘率得五十一為安吉乘率得七為平江乘率
以乘率各乘寄左行衍數得六萬八千三百一十為
官斛用數得一十一萬四千二百九十一為安吉用
數得六萬三千九百一十為平江用數
[001-43a]
次以甲餘三十二升乘官斛用數六萬八千三百一
十得二百一十八萬五千九百二十升於上次以乙
餘七十升乘安吉用數一十一萬四千二百九十一
[001-43b]
得八百萬三百七十升於中次以丙餘三十升乘平
江用數六萬三千九百一十得一百一十九萬七千
三百於下各為總併之得一千二百一十萬三千五百
九十升為總數滿衍母二十四萬六千五百一十升
去之不滿二萬四千六百升為所求率展為二百四
十六石為三人各分米以兄弟三人因之得七百三
十八石為共米置分米二百四十六石各以官斛八
斗三升安吉斛一石一斗平江斛一石三斗五升約
[001-44a]
之甲得二百九十六石餘三斗二升乙得二百二十
三石餘七斗丙得一百八十二石餘三斗各為糶過
及餘米合問
[001-44b]
數學九章卷一上
[001-45a]
欽定四庫全書
數學九章卷一下 宋 秦九韶 撰
大衍
積足尋原
問欲砌基一叚見管大小方甎六門城甎四色令匠取
便或平或側只用一色甎砌湏要適足匠以甎量地
計料稱用大方料廣多六寸深少六寸按即多/七寸用小
方廣多二寸深少三寸按即多/八寸用城甎長廣多三寸
[001-45b]
深少一寸按即多一/尺一寸以闊深少一寸按即多/五寸廣多三
寸以厚廣多五分深多一寸用六門甎長廣三寸深
多一寸以闊廣多三寸深多一寸用厚廣多一寸深
多一寸皆不匼匝未免修破甎料禆補其四色甎大
方方一尺三寸小方方一尺一寸城甎長一尺二寸
闊六寸厚二寸五分六門長一尺闊五寸厚二寸欲
知基深廣㡬何
按題意謂以一尺三寸量基之廣未餘六寸以
[001-46a]
一尺一寸量之餘二寸以一尺二寸量之餘三
寸以六寸量之亦餘三寸以二寸五分量之餘
五分以一尺量之餘三寸以五寸量之亦餘三
寸以二寸量之餘一寸以求廣也其求深之意
亦同
答曰深三丈七尺一寸 廣一丈二尺三寸
術曰以大衍求之置甎方長闊厚為元數以小者為
單起一先求總等存一位約衆位列為多者/隨意立號乃為元
[001-46b]
數連環求等約為定母以定相乗為衍母各定約衍
母得衍數滿定去之得竒竒定大衍得乗率以乗衍
數得用數次置廣深多少數多者乘用少者減元數
餘以乘用併為總滿衍母去之不滿得廣深
草曰置四甎方長闊厚係八數城甎厚有分為小者
皆通之為單大方得一百三十分小方得一百一十
分城甎長得一百二十分闊得六十分厚得二十五
分六門甎長得一百分闊得五十分厚得二十分
[001-47a]
錐行置之右列位稍多甎名相互今假八音為號位
先以最少者自木二十與革二十五求等得五乃反
約木二十為四木四與土五十求等得二以約五十
為二十五木四與匏六十求等得四約六十為一十
五木四與竹一百求等得四約一百為二十五木四
[001-47b]
與絲一百一十求等得二約一百一十為五十五木
四與石一百二十求等得四反約木四為一以木一
與金求等得一不約為木與諸數求等約訖為一變
得數具圖如後
次以革二十五與土五十按前巳約土為二十五次/變不應復用原數然於得
[001-48a]
數却/無碍求等得二十五約五十為二以革二十五與匏
一十五求等得五約匏一十五為三以革二十五與
竹二十五求等得二十五約竹二十五為一又以革
二十五與絲五十五求等得五約絲五十五得一十
一以革二十五與石一百二十求等得五約一百二
十為二十四以革二十五與金一百三十求等得五
約金一百三十得二十六革與諸數徧約訖為二變
具圖如後
[001-48b]
乃以土二與匏三竹一絲一十一求等皆得一不約
以土二與石二十四求等得二及約土二得一又不
土一與金二十六求等得一不約土與諸數約訖為
三變具圖如後
[001-49a]
乃以匏三與竹一絲十十一求等皆得一又以匏三
與石二十四求等得三約石二十四為八又匏三與
金二十六求等得一不約匏與諸數約訖以為四變
次以竹一與絲一十一與石二十四按巳約為八/云二十四誤與
金二十六求等皆得一竹與諸數約訖為五變次以
絲一十一與石二十四按誤/同上與金二十六求等皆得
一不約為六變復以石二十/四按誤/同上與金二十六求
等得二約金二十六為一十三至此七變連環求等
[001-49b]
約俱畢得數為定母列圖如後
右定母列右行以相乗得八萬五千八百為衍母以
各定母約衍母各得衍數其竹木土定得一者為無
[001-50a]
金定一十三得衍數六千六百石定八得衍數一萬
七百二十五絲定一十一得衍數七千八百竹定一
無衍匏定三得衍數二萬八千六百土定一無衍數
革定五五得衍數三千四百三十二木定一無衍數
各滿定母去之得竒數
[001-50b]
金得竒九石得竒四絲得竒一匏得竒一草得竒七
其絲匏得竒數一者便以一為乗率其金石革三處
竒數皆與本定母用大衍求一入之各得乘率列右
行
[001-51a]
金得三石得五絲得一革得一革得一十八各為乘
率寄左行衍數各得為用數
[001-51b]
凡諸用數同類者類必多可互借以補無者先驗革
元數二十五與木元數二十為同類求等得五以等
五約衍母八萬五千八百得一萬七千一百六十乃
於革用數内減出以補木位為木用餘四萬四千六
[001-52a]
百一十六為革用次驗竹元數一百與土五十為同
類以求等得五十以等五十約衍母八萬五千八百
得一千七百一十六亦於革用内各借與竹土為用
數革止餘四萬一千一百八十四為用得諸定用數
[001-52b]
按無用數則此條可省借數轉生煩擾非
法也其所以可用借補者蓋以同類之元
數其較餘之竒偶必同故一數可分用也
然惟元數同偶者為然同竒則有不可用
者此題可用因題中餘數未過小元數
也
右行定用始列錐行假號求得今照甎色遷次列
之
[001-53a]
旣照甎次序列用數於右行乃驗問題所謂大方甎
砌廣多六寸小方多二寸城甎長多三寸城甎闊多
[001-53b]
三寸厚多五分六門長多三寸闊多三寸厚多一寸
對本用列左行各對乘之具圖如後
兩行乗畢金得一百一十八萬八千絲得一十五萬
六千石得一百六十萬八千七百五十匏得八十五
[001-54a]
萬八千革得二十萬五千九百二十竹得五萬一十
四百八十土亦得五萬一千四百八十木得一十七
萬一千六百乃併前八位數共得四百二十九萬一
千二百三十分為總滿衍母八萬五千八百去之不
滿一千二百三十分約之為一丈二尺三寸為基元
廣數 乃求其深驗問題大方砌少六寸小方砌少
三寸城甎長砌少一寸闊砌少一寸厚砌多一寸六
門長砌多一寸六門闊砌多一寸六門厚砌多一寸
[001-54b]
列為中行次置諸甎元數列為左行課減之具圖如
後
今以中行多者存之少者用減左行存者左行元數
去之所減者左行餘數存之金得七十絲得八十石
[001-55a]
得一百一十匏得五十革得一十竹一十土一十本
一十具圖如後
列為左行以對右行定用數具圖如後
[001-55b]
以左行多餘數對乘右行用數金得一百三十八萬
六千絲得六十二萬四千石得五百八十九萬八千
[001-56a]
七百五十匏得一百四十三萬革得四十一萬一千
八百四十竹得一萬七千一百六十土得一萬七千
一百六十木得一十七萬一千六百具圖如後
[001-56b]
併八位得九百九十五萬六千五百一十分為總滿
衍母八萬五千八百去之不滿三千七百一十分展
為三丈七尺一寸為基地深
推計土功
問築堤起四縣夫分給里歩皆同齊闊二丈里法三百
六十歩歩法五尺八寸人夫以物力差定甲縣物力
一十三萬八千六百貫乙縣物力一十四萬六千三
百貫丙縣物力一十九萬二千五百貫丁縣物力
[001-57a]
一十八萬四千八百貫每力七百七十貫科一名春
程人功平方六十尺先到縣先給今甲乙二縣俱畢
丙縣餘五十一丈丁縣餘一十八丈不及一日全功
欲知堤長及四縣夫所築各㡬何
按題意以四縣修堤總長相同毎日所修之長
不同以各每日所修之長計總長或適足或有
餘以求總長也但不正言其數而設堤闊數各
縣物力數一夫力數一夫平方數以取每日所
[001-57b]
修堤長數故令人不能驟觧
答曰堤長一十九里二百三十五歩五尺 甲縣
夫築一千二十六丈乙丙/丁同 乙縣夫築一千
七百六十八歩五尺六寸甲丙/丁同 丙縣夫築
四里三百二十八歩五尺六寸甲乙/丁同 丁縣
夫築同前三/縣數
按四縣所築堤長等則丈數歩數里數皆同今
以三数分載三縣下而復註以與某縣同殊混
[001-58a]
人目
術曰置各縣力以程功程為實以力率乗堤齊闊為
法除之得各縣日築復數有分者通之互/乗之得通數求總等不
約一位約衆位曰元數連環求等約竒得定母陸續
求衍數竒數乗率用數以丙丁縣不及數乘本用併
為總數以定母相乘為衍母滿母去總數得各縣分
給里歩積尺數以縣數因之為堤長各以里法歩法
約之為里歩
[001-58b]
草曰置甲縣力一十三萬八千六百貫乙縣力一十
四萬六千三百貫丙縣力一十九萬二千五百貫丁
縣力一十八萬四千八百貫以程功六十尺徧乗之
皆以貫黙按貫黙乃以一貫千文為法/之名與前官陌市陌名相似約之甲得八
百三十一萬六千尺乙得八百七十七萬八千尺丙
得一千一百五十五萬尺丁得一千一百八萬八千
尺各為實次以力率七百七十貫乗堤齊闊二十尺
亦以貫黙約之得一萬五千四百尺為法徧除諸各
[001-59a]
實甲得五十四丈乙得五十七丈丙得七十五丈丁
得七十二丈各為四縣衆夫每日築長率按大衍術
命曰復數列右行
以復數按前術以尾數在十以/上者為復數此數不合求總等得三大按此/條原
本皆以丈為寸於/義無取今皆改正以約三位多者不約其少者甲得
[001-59b]
五十四乙得一十九丙得二十五丁得二十四仍為
元數次以兩兩連環求等各約之
按四縣每日築長數皆以丈為单位非位數也但
一等數可以度盡四數必先求總等約之然後
可以為元數即此可見總等法不獨用於通數
復數也
[001-60a]
先以丁丙求等又以丁乙求等皆得一不約次以丁
甲求等得六只約甲五十四得九不約丁次以丙與
乙求等又以丙與甲九求等皆得一不約後以乙與
甲九求等得一不約復驗甲九與丁二十四猶可再
約又求等得三以約丁二十四得八復乘甲為二十七
次以定母四位相乗求得一十萬二千六百為衍母
[001-60b]
各以定母約衍母甲得三千八百乙得五千四百丙
得四千一百四丁得一萬二千八百二十五為衍數
[001-61a]
滿定母各去衍數甲不滿二十乙不滿四丙不滿四
丁不滿一各為竒數
以各定母與本竒數用大衍求一術入之各得乘率
甲得二十三乙得五丙得一十九丁得一
[001-61b]
以右行乗率對乘寄左行衍數甲得八萬七千四百
乙得二萬七千丙得七萬七千九百七十六丁得一
萬二千八百二十五各為用數
[001-62a]
次驗四縣所築有無不及零丈尺寸今甲乙俱畢為
無丙餘五十一丈丁餘一十八丈為有以丙丁二縣
餘丈各乗丙丁二用數其丙五十一丈乗丙用七萬
七千九百七十六得三百九十七萬六千七百七十
六丈為丙總以丁餘一十八乗丁用一萬二千八百
[001-62b]
二十五得二十三萬八百五十丈為丁總併二總得
四百二十萬七千六百二十六丈為總數亦以丈通
衍母得一十萬二千六百丈仍為衍母滿去總數不
滿一千二十六丈為所求長率以四縣因之得四十
一百四丈為實以歩法五尺八寸除之得七千七十
五歩五尺為堤長歩以里法三百六十歩約之得一
十九里二百三十五歩五尺為堤通長置長率一千
二十六丈以歩法約之得一千七百六十八歩五尺
[001-63a]
六寸又以里法約之得四里三百二十八歩五尺六
寸為各縣所給道里歩尺數
餘米推數
問有米鋪訴被盗去米一般三籮皆適滿不記細數今
左壁籮剰一合中間籮剰一升四合右壁籮剰一合
後獲賊係甲乙丙三名甲稱當夜摸得馬杓在左壁
籮舀入布袋乙稱踢着木履在中籮舀入袋丙稱摸
得漆椀在左邉籮舀入袋將歸食用日乆不知數索
[001-63b]
到三器馬杓滿容一升九合木履容一升七合漆椀
容一升二合欲知所失米數計贓結㫁三盗各㡬何
答曰共失米九石五斗六升三合環甲米三石
一斗九升二合 乙米三石一斗七升九合
丙米三石一斗九升二合
術曰以大衍求之列三器所容為元數連環求等約
為定母以相乘為衍母以定各約衍母得衍數各滿
定母去之得竒以竒定用大衍求得乘率以乘衍數
[001-64a]
得用數次以各剰米乗用併之為總滿衍母去之不
滿為毎籮米各以剰米減之餘為甲乙丙盗米併之
為共失米
草曰列三器所容一升九合一升七合一升二合為
元數連環求等皆得一不約便以元數相乗得三千
八百七十六為衍母以各元數為定母以定約衍母
得衍數甲得二百四乙得二百二十八丙得三百二
十三各為衍數列左行以三定母甲十九乙十七丙
[001-64b]
十二列右行具圖如後
各滿定母去衍數得竒數甲得一十四乙得七得七
丙得一十一
[001-65a]
各以竒定用大衍求一各得乗率甲得十五乙得五
丙得一十一各為乘率列右行對寄在行衍數具圖
如後
以丙行對乗之得用數甲得三千六十乙得一千一
百四十丙得三千五百五十三列右行具圖如後
[001-65b]
既得用數始驗問題三籮剰米列左行對三人所用
以兩行對乗之甲得三千六十乙得一萬五千九百
六十丙得三千五百五十三
[001-66a]
併三數得二萬二千五百七十三為總數滿衍母三
千八百七十六去之不滿三千一百九十三合展為
三石一斗九升三合為三籮適滿細數以左籮剰一
合減之餘三石一斗九升二合為甲盗米又為丙盗
米以中籮剰米一升四合減之餘三石一斗七升九
[001-66b]
合為乙盗米併三人共得九石五斗六升三合為所
失總米合問
程行計地
問軍師獲㨗當早㸃差急足三名徃都下節節走報具
[001-67a]
甲於前數日申末到乙後數日未正到丙於今日辰
未到據供甲日行三百里乙日行二百四十里丙日
行一百八十里問自軍前至都里數及三人各行日
數㡬何
答曰軍前至都三千三百里 甲行一十一日
乙行一十三日四時半 丙行一十八日二
時
術曰以大衍求之置各行里先求總等存一約衆得
[001-67b]
原里次以連環求等約竒復乘偶得定母以定相乘
為衍母滿定除衍
衍得乘率以乘衍數得用數 次置辰刻正末乗各
行里為實以晝六時約之得餘里各乗用數併為總
滿衍母去得所求至都里以各日行約之得日辰刻
數草曰置甲三百里乙二百四十里丙一百八十里
先求總等得六十只存甲三百勿約乃約乙二百四
十得四次約丙一百八十得三各為元數連環求等
[001-68a]
先以丙乙求等得一不約次以丙甲求等三於術約
竒不約偶盖以等三約三因得一為竒盧無衍數乃
便徑先約甲三百為一百復以等三兼丙三為九既
丙九為竒甲百為偶此即是約竒弗約偶次以一四
與甲百求等得四以四約一百得二十五為甲復以
四乗乙四得一十六為乙各為定母
[001-68b]
以定母相乗得三千六百為衍母以各定約衍母為
衍數甲得一百四十四乙得二百二十五丙得四百
[001-69a]
術數各滿衍母去之不滿為竒數甲得一十九乙得
一丙得四
以各竒數與定母用大衍入之各得乘數甲得四乙
得一丙得七各為乗率列右行
[001-69b]
以乗率對乘寄左行衍數甲得五百七十六乙得二
百二十五丙得二千八百各為用數
[001-70a]
次置甲申末到者其酉初為夜此是甲以全日到為
無餘里次置乙於未正到乃於卯時數至未正得四
箇半時以四半乗乙行二百四十里得一千八十為
實以畫六時約之得一百八十里為乙行不及全日
之餘里次置丙於辰未到自卯初數至辰未得二時
以因丙行一百八十里得三百六十為實以六時除
之得六十里為丙行不及全日之餘里
[001-70b]
以乙餘一百八十乗乙用二百二十五得四萬五百
於中以丙餘六十乗丙用二千八百得十六萬八千
加中共得二十萬八千五百為總滿衍母三千六百
去之不滿三千三百里為軍前至都里以甲三百除
[001-71a]
之得一十一日以乙二百四十除之得一十三日四
時半以丙一百八十除之得一十八日二時合問
按凡總等數必小於連環等數若甚大即為連
環等數此題數是也故再約即用求續等法不
然不能合也
程行相及
問有急足三名甲日行三百里乙日行二百五十里丙
日行二百里先差丙徃他處下文字旣兩日又有文
[001-71b]
字遣乙追付已半日復有文字續令甲趕付乙三人
偶不相及乃同時俱至彼所先欲知乙果及丙甲果
及乙得日并里次問彼處去此里數各㡬何
按題意謂三行遲疾不同乙後丙兩日甲後乙
半日問㡬日㡬里可以追及又旣及之後三人
不能同行及各至彼處之時刻皆與各起程之
時刻相同盖言自此至彼所行皆為整日數也
答曰乙果追及丙八日行二千里 甲果追及乙
[001-72a]
二日半行七百五十里 彼處去此三千里
術曰以均輸求之大衍入之置乙己去日數乗乙行
里為實以甲乙行里差為法除之得甲及乙日數辰
刻以乗甲行得里次置丙旣去日乗丙行里為實以
丙乙行里差為法除之得乙及丙日數以乗乙行得
里然後置三人日行求總等約得原數以連環求等
約得定母以定相乗得衍母各定約衍得衍數滿定
去衍得竒竒定大衍得乗率以乗寄衍得用數視甲
[001-72b]
及乙里為乙率乙及丙里為丙率以乙日行滿去乙
率不滿為乙餘以丙日行滿去丙率不滿為丙餘以
二餘各乗本用併之為總滿衍去之不滿為彼去此
里
草曰置乙己去日乘乙日行二百五十里得一百二
十五里為實次置甲日行三百里減去乙行二百五
十里餘五十里為差法除實得二日五十刻甲果及
乙數以乗甲行三百里得七百五十為甲及乙里數
[001-73a]
次置丙既行二百乗丙日二百里得四百里為實次
置乙行二百五十里減丙行二百里餘五十里為差
法除實得八百為乙及丙日數以乗乙行二百五十
里得二千里為乙得及丙之里數已上為先欲知果
及數次列甲乙丙三名日行求總等得五十先約甲
丙存得甲六乙二百五十丙四
[001-73b]
以甲六丙四求等得二以二約甲為三復以二因丙
為八次將乙二百五十與丙八相約得二乃約乙為
一百二十五復以二因丙為十六定得甲三乙一百
二十五兩十六為定母
以定相乗得六千為衍母以各定約衍母得衍數甲
得二千乙得四十八丙得三百七十五求竒數
[001-74a]
左上二千以甲三去之竒二左中四十八即為乙竒
左下三百七十五丙十六去之竒也
[001-74b]
各以大衍求得甲二乙一百一十二丙七各為乘率
以乗率對乗衍數甲得四千乙得五千三百七十六
丙得二千六百二十五為泛用數
[001-75a]
併三泛得二萬二千一乃多衍母一倍當半衍母六
千得三千以消甲四千餘一千又消乙五千三百七
十六餘二千三百七十六丙不消各為定用數
既得用數次視前草中甲及乙七百五十里為乙率
乙及丙一千里為丙率各滿乙丙日行里去之
[001-75b]
今乙丙二人所行各皆適滿去之無餘雖稱同時俱
至乃各係全日所行便以乙丙二人約六千里得三
千里為彼去此里數合問
按復數求元數用總等法尚屬未密盖總等約
後有當連環求等者有當即求續等者其法不
[001-76a]
能定也今少為變通凡復數皆見十者先以十
為總等徧約之百千/萬同為元數俟連環求等畢復
以總等十乗一數百千/萬同然後再求續等以得定
數爰依題數具式於後
法列三數於上以十為總等徧約之得
甲三十乙二十五丙二十即為元數連
環求等以甲與乙約得等數五竒/約甲
得六偶/以甲與丙約得等數二偶/約甲
[001-76b]
得三竒/為甲數徧約畢次以乙與丙約
得等數五竒/約丙得四偶/為乙丙二數
徧約畢乃以總等十乗乙數得二百五
十次求續等以甲與乙與丙相約俱無
續等以乙與丙約得續等二偶/約乙數
得一百二十五竒/復乗丙得八則甲三
乙一百二十五丙八即為各定數也以
三定數連乗得三千為衍母即所問彼
[001-77a]
處去此之里數較舊術算省而數亦確
矣
[001-77b]
數學九章卷一下
